高中数学直线与圆精选题目(附答案)

高中数学直线与圆精选题目（附答案）

一、两直线的位置关系

1．求直线斜率的基本方法

(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α.

(2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1

x 2－x 1.

2．判断两直线平行的方法

(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1

∥l 2.

(2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法

(1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2.

1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．

(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；

(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②

解①②组成的方程组得⎩⎨

⎧

a ＝2，

b ＝2.

(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b

＝1－a .③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，

即4

b

＝－(－b )．④

由③④联立，解得⎩⎨

⎧

a ＝2，

b ＝－2

或⎩⎨⎧

a ＝23，

b ＝2.

经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ⎩⎨

⎧

a ＝2，

b ＝－2或⎩⎨⎧

a ＝23 ，

b ＝2.

注：

已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0

(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．

(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43

C ．2

D ．3

解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D.

3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )

或0 C ．0

D ．－2

解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，

a －11

＝

a 2a ，解得a ＝3

2

.故选A. 二、直线方程

1．直线方程的五种形式

2．常见的直线系方程

(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.

(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．

(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.

4.过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．

[解] 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，

∴B(3,0)，C(3,6)．

此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，

∴直线l的斜率存在．

设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，

显然k≠0且k≠2.

令y＝0，得x＝3＋1 k ，

∴B ⎝ ⎛

⎭⎪⎫3＋1k ，0，

由⎩⎨

⎧

y ＝2x ，

y ＋1＝k

x －3，

得点C 的横坐标x C ＝

3k ＋1

k －2

. ∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |， ∴⎪⎪

⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪

1k ， ∴

3k ＋1k －2－1k －3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2

k

， 解得k ＝－32或k ＝14

.

∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0. 注：

求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．

5．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．

解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．

设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝

|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13

，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.

故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 6．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；

(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．

解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．