函数的概念与性质

（八

）函数的概念

与性质

【命题解读】

考向1：函数的概念与性质（包括基本初等函数）

分析定位：理解函数概念的核心是从运动与相互联系的角度理解两个变量之间的关系，定义域、值域与对应法则是函数的三要素，而单调性、奇偶性、对称性等是一个函数特有的性质，是认识函数的重要桥梁，特别是基本初等函数的性质，常成为命题的重要载体. 例1（2015年全国Ⅰ卷第

13题）若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = .

分析：先转化成()ln(g x x =为奇函数，再联想到ln(y x =是奇函数进行解决.

解：因为()ln(g x x =为奇函数，先从定义域入手，解02>++x a x

得

x x a ->+2，若0>x ，则只需02≥+x a ；若0≤x ，则0>a ，否则无解；

所以0>a ，且()()ln 0g x g x a +-==，即1=a .

总结：函数的概念与性质是必考知识点，考生要抓住它们的本质进行解题，当然还要了解一些特殊的函数如x

x

x f e e )(±=，1

1

lg )(-+=x x x g 的性质. 考向2：函数的零点与方程的根

分析定位：函数的零点与方程的根是考查函数与方程思想、数形结合思想的重要载体，常放在压轴位置进行考查.

例2（2016年全国Ⅱ卷第12题）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1

x y x

+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，， ()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1m

i i i x y =+=∑

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

分析：先由)(2)(x f x f -=-得出函数)(x f 的对称性，再观察函数x

x y 1

+=

的性质. 解：由)(2)(x f x f -=-得2)()(=+-x f x f ，即函数1)(-=x f y 的图像关于原点对称，所以)

(x f

的图像关于点)1,0(对称；而x

x x y 1

11+=+=

的图像也关于点)1,0(对称， 所以)(x f 与

x

x y 1

+=

的交点关于点)1,0(对称，并且是成对出现的， 所以

m m

y x y x m

i i m

i i m

i i i =⨯+

=+=+∑∑∑===22

0)(1

1

1

. 总结：函数的交点、零点问题常放在选择题第12题考查，此时可能用函数本身的性质解决，也可能用导数工具解决，它们的共同之处就是都要考虑能否借助函数的图像进行解决.

【备考启示】

1.重视以函数的概念与性质为考点的试题，包括：（1）考查函数的概念与函数解析式；（2）考查函数的奇偶性、单调性与最值；（3）考查对函数基本性质的灵活运用.如： 2013年全国Ⅰ卷第6题:如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，

P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直

线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的

函数

()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为

分析：当4π0<

≤x 时递增，2

1

)4π(=f ，然后减至0，再增，再减. 2.重视以基本函数为考点的试题，包括：（1）考查指数与对数的运算与性质；（2）考查指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质；（3）考查分段函数的图象与性质.如： 2016年全国Ⅰ卷第8题：若0a b >>，01c <<，则

（A ）c

c

a b < （B ）c

c

ab ba <

（A ）

（C ）

（D ）

（C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <

分析：通过考察幂函数c

x y =（10<

c b a >，排除A ；又考察幂函数1

-=c x

y （10<

--

，即c c ab ba <，排除B ；又考察对

数函数x y c log =（10<>>b a 时，b a c c log log 0<<，所以c c b a log log >，排除D ，所以选C. 3.重视以函数的图像为考点的题目，包括（1）作图；（2）识图；（3）用图. 2009年全国卷第12题：用{}min

,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设

{}()min 2,2,10x f x x x =+-（0x ≥）,则()f x 的最大值为

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 2016年全国Ⅰ卷第7题：函数2

2e x

y x =-在

[]2,2-的图像大致为

（A ） （B ）

（C ）

（D ）

分析：常用排除法

（1）利用17.28e 8)2(2

2<-<-=±f ，排除A ，B ；

（2）当0>x 时，x

x y e 22

-=，x

x y e 4'-=，存在)1,0(0∈x ，使0)('0=x f ，

0x x =是)(x f 的极小值点.

【十年真题】

（A ）组

1．（2011年全国卷第2题）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 （A ）3

y x = (B) 1y x =

+ （C ）21y x =-+ (D) 2

x

y -=