平面任意力系

B
FBE = 2FB = 2 2 (kN)（压）
F E F2 a
a a aB CD F1
FDE
（4）取节点D为研究对象
∑Fy=0 , FDE = 0
FCD
D FBD′
∑Fx=0 , FCD = FBD=2 (kN) （拉）
（5）取节点E为研究对象
F E F2
∑Fy=0 , FE C= FBE=2.83(kN）
⎨
⎩∑
F y
M
=0 =0
A
各力不得与投影轴垂直
⎧∑ ⎩⎨∑
M M
A B
= =
0 0
A、B两点连线不得与各力平行
例3-3 已知：P1 = 700kN, P2 = 200kN, 尺寸如图；
求：起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3。
解：取起重机（平面平行力系），画受力图。
（1）满载时，须 FA ≥ 0 等于零为临界平衡状态
l
求A、C处的约束力。
FAy 3
3
解: 取整体,画受力图. FAx A
D
∑ M A = 0,
FCx
⋅
l
−
P
⋅
(l
+
l 6
)
=
0
∑ Fx = 0, FAx + FCx = 0
FAx = −7kN, FCx = 7kN
∑ ?? Fy = 0, FAy + FCy − P = 0
E
4F5CD y C FCx
得一合力偶，其矩与简化中心无关。
（3）合力： FR′ ≠ 0 , MO = 0
得一合力，其合力的作用线通过简化中心。
（4）
FR′ ≠ 0 , MO ≠ 0
★ 平面任意力系简化结果的讨论
（4） FR′ ≠ 0 , MO ≠ 0
由力线平移
d = MO FR′
FR = FR′
（3）合力
★ 平面力系简化的最后结果
主矢： 主矩 :
∑ ∑ FR′ =
n
n
Fi′ =
Fi
i =1
i =1
n
∑ MO = MO ( Fi ) i =1
O MO
FR′
思考：主矢和主矩是否与简化中心有关？
主矢与简化中心无关；
主矩一般与简化中心有关（除？外）。
主矢： F R′ = ∑ F i
∑ ⎧⎪
⎨
∑ ⎪⎩
FR′x = FR′y =
Fx Fy
FBy
B
FBx
例3-5 三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示。
已知P =20kN，均布荷载q = 4kN/m。求铰链支座
A和B的约束力。
P
1m
q
C
3m
2m
A
2m
B
解:取整体为研究对 q 象画受力图.
∑MA(Fi) = 0
4 FBy - q × 3 × 1.5
-P×3=0
2m
FAx A
FBy = 19.5 kN
第三章 平面任意力系
(Plane Force System )
2011年3月13日
第三章 平面任意力系
§3-1 力线平移定理 §3-2 平面力系向一点的简化 §3-3 平面任意力系的平衡方程 §3-4 物体系统的平衡 §3-5 平面简单桁架的内力计算
§3-1 力线平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶 的矩等于原来的力F对新作用点B的矩.
大小 FR′ = (∑Fx)2 +(∑Fy)2
方向
cos(FR
,
i)
=
∑ Fx FR′
cos(FR
,
j)
=
∑ Fy FR′
作用于简化中心上
主矩： M O = ∑ M O ( F i )
★ 平面固定端约束
FAx FAy
★ 平面任意力系简化结果的讨论
（1）平衡： FR′ = 0 , MO = 0
（2）合力偶： FR′ = 0 , MO ≠ 0
B
？ ∑Fy= 0，FAy –W-W1 –W2=0
0.5m 0.45m
FAy
W1
FAy = 8.575 kN
约束力求完了吗
∑MA(F) = 0，
MA - (0.5-0.167)Q- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0
MA = 5.247 kN·m
★ 平面平行力系的平衡方程
⎧∑
1m
B
C
d = 1 × 0.5 = 1 m
3
6
W = (1×9.8)×1×0.9 ×0.5 = 4.41 kN
WQ
0.45m
W2 d
FAx A MA
B
0.5m 0.45m
FAy
W1
C
由平衡方程:
∑Fx = 0， FAx + Q = 0
WQ
0.45m
W2 d
FAx =- 1.225 kN
FAx A MA
F
E F2
a
a
a
aB
C
D
F1
（1）取整体为研究对象
（2）列平衡方程
FAy
F
E F2
∑ M AA ( F ) = 0,
FAx A
a C
a
a
a
D
BFB
−F11 × a − F22 × a + FBB × 3a = 0
F1
FB= 2 (kN)
（3）取节点B为研究对象
FBD
FBE
FBA
FBE FB
FBD=FB=2 (kN ) （拉）FDB
§3-5 平面简单桁架的内力计算 ★ 桁架的概念 ★ 桁架内力的计算 ★ 零力杆的判断
★ 桁架的概念
桁架 —由杆件通过焊接、铆接或螺栓连 接而成的结构 。
◇工程实例
◇工程实例
◇理想桁架
简
化
节点
计
算
模
型
杆件
理想桁架的假设：
1. 各杆件为直杆； 2. 杆件间用光滑铰链连接； 3. 外力作用在节点上； 4. 各杆件自重不计或均匀分布在节点上。
FAy
∑Fy = 0
FAy + FBy - P = 0
∑Fx = 0 FAx+FBx +q×3= 0
P
1m
C
2m
FBx
B
FBy
FAy = 0.5 kN
3m
取BC为研究对象画受力图。 FCy
FCx C
∑MC(Fi) = 0 3 FBx + 2×FBy –P = 0
FBx = - 6.33 kN
FAx = - 5.67 kN
BB 60D
30D
F
DD
FBB
sin
60DD
×l
−
ql
×
l 2
−
F
cos
30DD
×
2l
=
0
FB
代入数据得 FBB = 45.77 kN
解：2. 取整体为研究对象
∑Fxx = 0 ,
FAAxx − FBB cos 60DD − F sin 30DD = 0
30D
Mq
F
A
C
B 60D D
l
l
l
l
∑Fyy = 0,
只有三个独立的平衡方程， 可解3个未知量。
★ 平面任意力系平衡方程的讨论
平面任意力系：
⎧ ⎪ ⎨
Σ Fx ΣFy
= =
0 0
3
⎪⎩ Σ M O = 0
平面汇交力系：若选汇交点为坐标原点， ΣM O ≡ 0
⎧ ⎨ ⎩
Σ Σ
F F
x y
= =
0 0
2
平面平行力系：若选各力作用线方向为y轴， ΣFx ≡ 0
平面力系平衡
FR' = 0, M O = 0
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
又称（一矩式）
Σ MO（F）= 0
为平面任意力系平衡的基本方程， 三个独立的平衡方程，可解3个未知量。
★ 平面任意力系平衡方程的形式
（两矩式）
⎧ ⎪ ⎨
ΣFx = 0 ΣM A = 0
⎪⎩ ΣMB = 0
AB 不垂直于x 轴
∑ M A = 0 FB ⋅ 4a − M − P ⋅ 2a − q ⋅ 2a ⋅ a = 0
FB = 2qa
∑
F y
=
0
FAy − q ⋅ 2a − P + FB = 0
FAy = 2qa
例3-2 钢筋混凝土配水槽，底宽1m，高0.8m，壁及
底厚10cm，水深为50cm。求1m长度上支座A处的约
P
1m
FBx
B
FBy
3m
例3-6 组 合 梁 如 图 , 已
知 ： F=20kN ， 均 布 载 荷 q=10kN/m, l=1 m , M=20 kN•m 。 求：A处的约束力。
30D
Mq
F
A
C
B 60D D
l
l
l
l
解：1. 取梁CD为研究对象 FCy q
∑MCC (F ) = 0,
FCx CC
∑MB =0
P3min ⋅8 + 2P2 −10P1 = 0
解得 P3min=75kN
2m 2m
（2） 空载时，须 FB ≥ 0 等于零为临界平衡状态
∑ M A = 0 4P3max-2P2=0
解得
P3max=350kN
75kN ≤ P3 ≤ 350kN
2m 2m
§3-4 物体系统的平衡 ★ 静定和超静定的概念 ★ 物体系统的平衡问题
3
梯形分布线载荷：
合力大小:？
合力作用线：？
Q
q
A
l/2
C
B
l
Q
qm
A
C
B
2l / 3 l
q2 q1
A
B
l
§3-3 平面任意力系的平衡方程 ★ 平面任意力系的平衡条件 ★ 平面任意力系平衡方程的形式 ★ 平面任意力系平衡方程的讨论 ★ 平面平行力系的平衡方程
§3-3 平面任意力系的平衡方程 ★ 平面任意力系的平衡条件
A
a C
a a aB
D
∑Fx=0 ,
F1
F2 − FEF −
2 2
FBE
−
2 2
FEC
=
0
FEF= -2 (kN）
EF杆受压 EC杆受拉
E F2 FEF
FEC
FBE′
例3-8 解：法2 截面法
m
F
E F2
（1）分析系统
∑MAA(F ) = 0,
FBB = 2(kN)
( 2 ) 作m-m截面
A
FAx
桁架各杆件均为二力杆
★ 桁架内力的计算
1. 节点法 2. 截面法
＊ 以节点为研究对象； ＊ 由平面汇交力系平衡 方程求解。 ＊ 用假想截面将桁架截开； ＊ 研究局部桁架的平衡， 直接求得杆件的内力。
例3-8已知铅垂力F1=4
kN，水平力F2= 2kN 。
求杆EF、CE、CD 内力。A
解：法1 节点法
(＊)
l 3
B
P
例3-4
l
FAy 3
FAx A
l
l
3
3
D
B
4F5CDy E C FCx
∑ Fy = 0, FAy + FCy − P = 0
P
FT
E
FCy
(＊) C FCx
取杆BC为研究对象
∑ M B = 0,
FC y
⋅l
−
FC x
⋅l
+
FT
⋅
2 3
l
=
0
FCy = 3kN
代入（＊），
FAy = 3kN
（三矩式）
⎧ ⎪ ⎨
ΣM A = 0 ΣMB = 0
⎩⎪ ΣMC = 0
A、B、C不共线
★ 平面任意力系平衡方程的形式
⎧ ⎪ ⎨
ΣFx ΣFy
= =
0 0
（一⎧⎪⎨矩ΣΣ式MF）xA
==00（二⎧⎪⎨矩ΣΣ式MM）BA
= =
0 0（三矩式）
⎪⎩ΣMO = 0 ⎪⎩ΣMB = 0 ⎪⎩ΣMC = 0
P
B
MA A
FAy FAx
P
B
FB
★ 静定和超静定的概念 机 静构 定 不问 定题 问题
思考：指出下列问题属于静定问题还是超静定问题
P
P
(a)
(c)
P
P
(b)
(d)
★ 物体系统的平衡问题
物体系统的独立平衡方程数＝ 各物体独立平衡方程数之和
★ 物体系统的平衡问题
例3-4 已知：P=6kN ,
l
①平衡 ②合力偶 ③合力
■讨 论
请指出以下各图力系的最终简化结果
力偶
平衡
平衡
合力
合力
合力
★ 分布载荷
线荷载集度q N/m ; kN/m
q
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
A
x
qx B
均布线荷载
非均布线荷载
均布线载荷：
合力大小: Q = ql ,
合力作用线通过中点C。
线性分布线载荷：
合力大小:
Q
=
1 2
qm
l
，
合力作用线 AC = 2 l 。
束力（槽的单位体积重量γ = 24.5kN/m³）。
C
0.5m 0.8m
A
1m
B
解：取水槽为研究对象，画受力图。
C 水槽：W1 = 24.5×1×1×0.1= 2.45 kN
0.5m 0.8m
W2 = 24.5×1×0.7×0.1 = 1.715 kN
水：Q= 0.5×(1×9.8×0.5) ×0.5×1 A = 1.225 kN
a
a
C
FAy F1 m
a aB
D
FB
分析右侧部分
F FEF E F2
∑ Fyy = 0,
FBB −
2 2
FCCEE
=
0
FEC
⎧ ⎨ ⎩
ΣF ΣM
y O
= =
0 0
2
平面力偶系： ΣFx ≡ 0, ΣFy ≡ 0
ΣM O = 0
1
例3-1 简支梁的尺寸如图。
已知：q, a, P = 2qa, M = 2qa2.
q
P M
求：支座A、B处的约束力. A 解：取AB梁，画受力图. FAy
FAx2a
C 4a
B
FB
∑
F x
=
0
FAx = 0
MB = MB(F) = F ⋅d
§3-2 平面力系向一点的简化
平面任意力系 (F1, F2 ,⋅⋅⋅, Fn )
任选O点为简化中心，则
平面汇交力系 (F1′, F2′,⋅⋅⋅, Fn′)
平面力偶系 (M1, M 2,⋅⋅⋅, M n )
∑ ∑ FR′ = Fi′= Fi
主矢
∑ ∑ MO = Mi = MO (Fi ) 主矩
MA
FAy M
FAAyy
+
FBB
sin
60DD
−
2ql
−
F
cos
30DD
=
0
FAx
A
∑MAA(F ) = 0,
l
q
30D
F
C
B 60D D
FB
l
l
l
MAA − M − 2ql × 2l + FBB sin 60DD ×3l − F cos30DD × 4l = 0
解方程得: FAAxx =32. 89 kN, FAAyy =−2. 32 kN, MAA =10. 37 kN⋅m
★ 静定和超静定的概念 静定问题 (statically determinate problem) —由静力学平衡方程可解出全部未知数。 超静定问题(statically indeterminate problem) — 仅由平衡方程无法求出全部未知数。
★ 静定和超静定的概念
MA A
FAy FAx