1-2图的概念和术语精华版分解
图论--图的基本概念
图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。
注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。
某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。
例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。
从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。
1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。
通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。
与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。
通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。
⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。
（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。
（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。
1阶零图N1称作平凡图。
平凡图只有⼀个顶点，没有边。
（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。
（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。
（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。
（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。
高二数学选修1-2_42结构图
工程师 技术员
计划员 仓库管理员
例2.写出《数学3(必修)》第２章统计的知识结构
图✓分. 析：本章主要内容：通过对样本的分析对总体作出估计，
具体内容分三部分：
“抽样”－－简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；
“分析”－－可从样本分布、样本特征数和相关关系三个
角度分析；
“估计”－－根据对样本的分析，推测或预估总体的特征. 总体
分析问题 弄清关系 写出算法 画出框图
算法：
1.设初始值：n=0，S=0； 2.计数累加：n=n+1，S=S+n； 3.判断“S>2014”是否成立； 4.若成立，输出n，算法结束；
5.若不成立，执行第2步.
开始
n=0 S=0
n=n+1 S=S+n S>2014? N
Y
输出 n
结束
开始
某工厂加工某种零件有三道工序，流程图如下：
流程图，是人们将思考的过程和工作（操 作）的顺序进行分析、整理，用规定的文字、 符号、图形的组合加以直观描述的方法。
流程图已经成为我们表述工作方式、工艺 流程的一种常用手段，它的最大特点就是直观、 清楚。
框图
流程图
结构图
程 序 框 图
工 序 流 程 图
其 它 流 程 图
基础预习点拨 要基点础探预究习归点纳拨 知要能点达探标究演归练纳 课知后能巩达固标作演业练 课后巩固作业
理和财务经理. 执行经理领导生产经理、工程经理、品质
管理经理和物料经理. 生产经理领导线长，工程经理领导
工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理
员.试画出这家公司的组织结构图.
分析：必须理清层次，要分清几部分是并列关系还
1-2图的概念和术语
7/21/2013 8:48 AM
简单图(simple graph)
简单图(simple graph): 无环,无平行边 若G是简单图, 则 0 (G) n-1
7/21/2013 8:48 AM
12
度数列
度数列: 设G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn}, 称 d = ( d(v1),d(v2),…, d(vn) ) 为G的度数列 例1: d = ( 5, 1, 2, 3, 3 )
10
7/21/2013 8:48 AM
最大(出/入)度,最小(出/入)度
最大度: (G) = max{ dG(v) | vV(G) } 最小度: (G) = min{ dG(v) | vV(G) } 最大出度: +(D) = max{ dD+(v) | vV(D) } 最小出度: +(D) = min{ dD+(v) | vV(D) } 最大入度: -(D) = max{ dD-(v) | vV(D) } 最小入度: -(D) = min{ dD-(v) | vV(D) } 简记为 , , +, +, -, 悬挂顶点（度数为1的顶点），悬挂边（与悬 挂点关联的边）
5 欧拉与哈密尔顿图/ Euler and Hamilton Graphs
6 树/Tree 7 平面图/Planar Graphs 8 图的着色/Graph Coloring 9 二部图/Biparties
7/21/2013 8:48 AM 2
预备知识
有序积: AB={ <x,y> |xAyB} 有序对(序偶): <x,y><y,x> 无序积: A&B={ (x,y) |xAyB} 无序对: (x,y)=(y,x) 多重集: {a,a,a,b,b,c}{a,b,c} 重复度: a的重复度为3, b为2, c为1
1-图
27
在AOV网络中，如果活动Vi 必须在活动Vj 之前进行，则存在有向边<Vi, Vj>，AOV 网络中不能出现有向回路，即有向环。 在AOV网络中如果出现了有向环，则意味 着某项活动应以自己作为先决条件。 因此，要测一个工程是否可行，就是要 查对应的AOV网是否有回路，查AOV网是 否有回路的方法称为拓朴排序
12
2
图的存储结构
图是由两部分组成，一部分是图的 顶点信息，另一部分是图顶点间的关系 信息(边)。所以要想将图的全部信息存 储到计算机中，也必须将顶点的信息和 顶点间的关系信息都存储。
13
一、图的邻接矩阵存储
设图 G = (V, E)是一个有 n 个顶点的图， 有一个记录各个顶点信息v0 ,v1, v2, …, vn-1 的顶点表，可以用顺序方式或链式方式来存储 顶点表；而图的边用一个二维数组表示，它是 一个n×n的矩阵（邻接矩阵），用于表示顶点 之间的邻接关系。定义为：
28
4
邻接顶点:一条边连接的两个顶点 如（vi,vj）是一条无向边，则称顶 点vi和vj互为邻接点，或称vi和vj相 邻接，并称边（vi,vj）关联于顶点 vi和vj，或称（vi,vj）与顶点vi和vj 相关联。
5
顶点的度：在无向图中，顶点v所关联的边的条数 称为该顶点的度。 顶点 v 的入度是以 v 为终点的有向边的条数。 顶点 v 的出度是以 v 为始点的有向边的条数。
径,则称此图是强连通图。非强连通图的极大强连通 子图叫做强连通分量。
三个强连通分量
9
权：图的边具有与它相关的数, 称之为权。这种带 权图叫做网络。
10
2
6
7 12
5
9
60
B
80 75
1-2安全生产标准化-2术语和定义3建立运行4要求
2术语和定义本管理手册及本体系其他文件使用AQ2007－2006《金属非金属矿山安全标准化规范导则》中的“术语及定义”。
2.1本规范手册及本体系其他文件使用AQ2007－2006《金属非金属矿山安全标准化规范导则》中的“术语及定义”。
2.2其他定义及说明2.2.1本单位：是原平市XX铁矿的代称。
2.2.2生产单位：是指本矿进行地下开采工作的采矿队、辅助队。
2.2.3科室：是指本矿的安全环保科、生产技术科、机电设备科、综合办公室、供销科、财务科、采矿队等科室。
2.2.4最高管理者：指本单位矿长。
2.2.5体系负责人：是受最高管理者委托，全面负责建立和保持安全标准化管理体系的单位最高管理层的成员，由安全管理科室负责人担任。
2.2.6管理执行者：是生产单位的行政主管的代称，也称第一责任人。
2.2.7执行者代表：是生产单位分管安全的副职的代称。
2.2.8重大危险：是指通过风险评价，确定的不可容许或不可接受的危险。
2.2.9轻伤事故：因工受伤后歇工在1个工作日以上105个工作日以内，但不构成重伤的事故。
2.2.10重伤事故：因工受伤损失工作日等于或超过105个工作日的事故。
2.2.11死亡事故：指发生事故后当时死亡或负伤后1个月内死亡的事故。
2.2.12非伤亡事故：指发生事故后只造成财产损失而未发生人员伤亡的事故。
2.2.13职业病：指劳动者在生产劳动及其他职业活动中，接触职业有害因素引起的疾病。
3 企业安全生产标准化系统的建立与运行情况XX铁矿2010年11月专门成立了安全生产标准化工作小组，负责安全生产标准化的创建工作。
领导小组认真学习了国家关于安全生产的法律、法规和规章，深刻理解和掌握了标准的内容和要求，并与矿部有机的结合起来，对矿部原有的制度进行归并、增补，建立了符合标准化系统要求的制度体系，矿部的安全生产标准化系统于2011年1月1日正式开始运行，并且在运行中企业能够不断改进与提高。
2011年11月，根据《国家安全监管总局办公厅关于印发金属非金属矿山安全生产标准化评分办法的通知》（安监总厅管一【2011】177号），企业修订和完善了安全生产标准化系统，使矿部的安全生产标准化系统得到了进一步的改进与提高。
1-2 比例
教学时数：2学时课题：§1-2 比例教学目标：1、了解画图时常用的比例以及选择比例的原则；2、掌握图样上字体的书写等国家标准。
教学重点：1、比例的概念；2、长仿宋体字的书写。
教学难点：长仿宋字的书写教学方法：讲授法与演示法相结合。
教具：图纸作业，相关挂图教学步骤：（复习提问）1、幅面代号有哪几种？2、标题栏、明细栏有哪些规定？（引入新课）（讲授新课）§1-2 比例（GB/T14690-1993）一、术语比例：图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。
1、原值比例比值为1的比例，即1:1；2、放大比例比值大于1的比例，如2:1等；3、缩小比例比值小于1的比例，如1:2等。
二、比例系列三、标注方法（1）比例符号应以“:”表示；（2）比例一般应标注在标题栏中的比例栏内，必要时可以作如下处理：四、选择比例的原则1、当表达对象的形状复杂程度和尺寸适中时，一般采用原值比例1:1绘制；2、当表达对象的尺寸较大时应采用缩小比例，但要保证复杂部位清晰可读；3、当表达对象的尺寸较小时应采用放大比例，使各部位清晰可读；4、尽量优先选用表1-3中的比例。
5、选择比例时，应结合幅面尺寸选择，综合考虑其最佳表达效果和图面的审美价值。
§1-3 字体（GB/T14691-1993）一、基本要求1、书写字体必须做到：字体工整、笔画清楚、间隔均匀、排列整齐；2、字体高度（h）的公称尺寸系列为：1.8,2.5,3.5,5,7,10,14,20按照2的比率递增（字宽与字高之比为2:3，字高代表字体的号数）；3、汉字应写成长仿宋体，汉字的高度h不应小于3.5mm，其字宽为h / 2；4、字母和数字分A型和B 型；5、字母和数字可以写成斜体和直体；6、用作指数、分数、极限偏差、注角等的数字和字母，一般应采用小一号的字体。
二、字体示例（巩固练习）练习书写仿宋体字（课堂小结）通过对图幅比例、字体标准的学习，大家应弄清字体的相关知识，特别要强调的是大家要搞清比例是谁与谁之比，课后要多花点时间，刻苦训练仿宋体字的书写技能技巧，一定要去做，决不能敷衍了事。
完全二部图的K-%2c1%2ck--因子分解
塞全三塑堕塑鉴！！：里王坌塑一一—————————ｉ！墨摘要Ｋ。
表示完全二部图，其两个部分点集ｘ和Ｙ分别具有ｍ和ｎ个点。
九Ｋ。
表示完全二部多重图，它是由Ｋ。
，。
的每条边重复＾次而得到的多重图。
如果九Ｋ。
，。
的边集可以划分为九Ｋ。
，。
的Ｋｌ，ｒ因子，则称九Ｋ。
．。
存在ＫＩ．ｋ＿因子分解。
九Ｋ。
．。
的Ｋ１．ｋ＿因子分解的存在性问题在数据库存储技术中有着广泛的应用（见【７］），因此被许多研究者长期研究，并且已有部分结论。
当ｋ＝２时，Ｋ。
．。
的Ｋｌ，２－因子分解存在性问题已被Ｕｓｈｉｏ（［６】）完全解决。
当ｋ是质数Ｐ时，Ｋ。
的Ｋ１，口＿一因子分解存在性问题已被部分解决。
妊论文［１０】中，Ｗａｎｇ研究了Ｋ吐。
的Ｋｌ厂因子分解问题，并给出了Ｋ。
，。
存在Ｋ。
，ｐ＿一因子分解的一个充分条件。
随后，在将Ｗａｎｇ的结论由质数推广到任意正整数方面又做了许多工作。
在论文［３］和［４］中，Ｄｕ将Ｗａｎｇ的结果推广到ｋ为质数幂Ｐ“的情形；在论文［５］中，Ｄｕ又对ｋ是质数积Ｐｑ推广了Ｗａｎｇ的结论。
ｐ７本文将给出上述问题的一个完整解，得出Ｗａｎｇ在论文［１０］中所给出的充分条件对于任意正整数也是成立的。
即我们将证明Ｋ。
．。
可Ｋｌ，ｋ＿一因子分解的充分条件是（１）ｍ一＜ｋｎ，（２）ｎ一＜ｋｍ，（３）ｋｍ—ｎ＝ｋｎ—ｍ－－＝０（ｍｏｄ（ｋ２－１））和（４）（ｋｒｎ．ｎ）（ｋｎ．ｍ）＝０（ｒｏｏｄｋ（ｋ．１）（ｋ２．１）（ｍ＋ｎ））。
本文同时考虑了腻。
．。
的Ｋ１．Ｉ广因子分解的问题，对于任意正整数ｋ和九，给出了一个相应的结果。
ｈ／关键词完全二部图，Ｋ１．ｒ因子，Ｋｌｋ＿因子分解。
塞全三塑望塑垦址：堕王坌坚．——————墼！坚堕ＡｂｓｔｒａｃｔＬｅｔＫｍ’ｎｂｅａｃｏｍｐｌｅｔｅｂｉｐａｒｔｉｔｅｇｒａｐｈｗｉｔｈｔｗｏｐａｒｔｉｔｅｓｅｔｓｈａｖｉｎｇｍａｎｄｎｖｅｒｔｉｃｅｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．ｋＫｍ．ｎｉｓｔｈｅｄｉｓｊｏｉｎｔｕｎｉｏｎｏｆ九ｇｒａｐｈｓｅａｃｈｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃｔｏＫｍ．ｎ．ＡＫ１，ｋ—ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｋＫｍ，ｎｉｓａｓｅｔｏｆｅｄｇｅ—ｄｉｓｊｏｉｎｔＫ１，ｋ－ｆａｃｔｏｒｓｏｆ九Ｋｍ．ｎｗｈｉｃｈｐａｒｔｉｔｉｏｎｔｈｅｓｅｔｏｆｅｄｇｅｓｏｆ九Ｋｍ”ＴｈｅＫ１，ｋ—ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｏｆ九Ｋｍ．ｎｃａｎｂｅａｐｐｌｉｅｄｔｏｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌｍｕｌｔｉｐｌｅｖａｌｕｅｄｉｎｄｅｘ—ｆｉｌｅｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎｓｃｈｅｍｅｓｏｆｏｒｄｅｒｔｗｏｉｎｄａｔａｂａｓｅｓｙｓｔｅｍｓ（ｓｅｅ［７］）．ＳｏｔｈｅＫｌ，ｋ—ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｔＫｍ，ｎｈａｓｂｅｅｎｓｔｕｄｉｅｄｂｙｓｅｖｅｒａｌｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ．Ａｎｄｔｈｅｒｅａｒｅｓｏｍｅｋｎｏｗｎｒｅｓｕｌｔｓ．Ｗｈｅｎｋ＝２，ｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒＫ１，２－ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｌｅｔｅｂｉｐａｒｔｉｔｅｇｒａｐｈＫｍ，ｎｈａｓｂｅｅｎｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙｓｏｌｖｅｄｂｙＵｓｈｉｏ［６】．ＷｈｅｎｋｉｓａｐｒｉｍｅｎｕｍｂｅｒＰ，ｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒＫ１，ｐ—ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｌｅｔｅｂｉｐａｒｔｉｔｅｇｒａｐｈＫ。
第四章 图论
C4
C3
P4
P3
定义3 定义3、若lk=(vi,vj)，则称边lk与结点vi,vj相关联， 则称边l 与结点v 相关联， vi与vj称为邻接的。 称为邻接的 邻接的。 几条边相关联于同一个结点，则这些边称为邻接的。 几条边相关联于同一个结点，则这些边称为邻接的 邻接的。 一条边若与两相同结点相关联，则称为环。 一条边若与两相同结点相关联，则称为环 不与任何结点相邻接的结点称为孤立点 不与任何结点相邻接的结点称为孤立点。 孤立点。
§1
图论基本概念
1-1 图的实例 问题1、 问题 、哥尼斯堡桥问题
A C B D C B A D
Байду номын сангаас
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发， 问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？ 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
问题2、旅游问题。 问题 、旅游问题。
其中c 例2、设有四个城市 1,c2,c3,c4；其中 1与c2间， 、设有四个城市c c1与c4间，c2与c3间有高速公路直接相连，用图表 间有高速公路直接相连， 示该事实。 示该事实。 解：G=<V,E>，其中：V={c1,c2,c3,c4}， ，其中： ， E={l1,l2,l3}={(c1,c2),(c1,c4),(c2,c3)} 其间调用关系为p 例3、有四个程序 1,p2,p3,p4,其间调用关系为 1 p2， 、有四个程序p 其间调用关系为 p1 p4，p2 p3，用图表示该事实。 用图表示该事实。 解：G=<V,E>,V={p1,p2,p3,p4}， ， E={l1,l2,l3}={(p1,p2),(p1,p4),(p2,p3)}
(图论)图的基本概念(课堂PPT)
图的度数的相关概念
在无向图G中， 最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
在有向图D中， 最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元 素重复出现的次数称为该元素的重复度。 例如 在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中， a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。
4
笛卡尔积
设A，B为任意的两个集合，称{<a,b>|a∈A∧b∈B}为A与B 的笛卡尔积，记作AXB。 笛卡尔积中的是有序对<a,b>。只有a,b相等的时候才有 (a,b)＝(b,a). 也只有A=B时才有AXB＝BXA。
16
图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)，
d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3，
△+＝4 (在a点达到)
δ+＝0(在b点达到)
△-＝3(在b点达到)
δ-＝1(在a和c点达到)
例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。
什么是图的基本概念和特征
什么是图的基本概念和特征图是一种数学结构，用于表示多个对象之间的关系。
图由节点（vertex）和边（edge）组成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图的基本概念和特征包括节点的度、路径、连通性、连通分量等。
1. 节点的度：节点的度是指与该节点相连的边的数量。
对于有向图来说，节点的度分为入度和出度，分别表示指向该节点的边的数量和由该节点指出的边的数量。
节点的度可以用来描述节点的重要性和连接的紧密程度。
2. 路径：路径是指由边连接的一系列节点的序列。
路径的长度是指路径中包含的边的数量。
最短路径是指连接两个节点之间具有最少边数的路径。
路径可以用来描述节点之间的关系和节点之间的可达性。
3. 连通性：图的连通性表示图中任意两个节点之间是否存在路径。
如果图中任意两个节点之间都存在路径，那么图被称为连通图；如果存在某些节点之间不存在路径，那么图被称为非连通图。
连通性可以用来描述图的整体连接情况。
4. 连通分量：连通分量是指图中的最大连通子图。
一个连通分量包含一组相互可达的节点，并且在该连通分量内部的任意两个节点之间都存在路径，而与该连通分量外的节点之间不存在路径。
图可以由多个连通分量组成。
图有以下几种常见的特征：1. 有向图和无向图：根据边的有向性，图可以分为有向图和无向图。
在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系；而在有向图中，边有方向，表示节点之间的单向关系。
2. 权重：图的边可以带有权重，用来表示节点之间的距离、成本等。
带权重的图被称为带权图，而不带权重的图被称为无权图。
3. 稀疏图和稠密图：如果图中的边数接近节点数的平方，那么图被称为稠密图；如果图中的边数相对较少，那么图被称为稀疏图。
稠密图和稀疏图在算法设计和空间复杂度上有不同的考虑。
4. 循环和非循环图：如果图中存在一个节点可以通过一系列边回到自身，那么图被称为循环图；如果图中不存在这样的节点，那么图被称为非循环图（也称为无环图）。
5. 连通图和非连通图：根据连通性，图可以分为连通图和非连通图。
1-2图的概念和术语精华版
推论:任何图中,奇数度顶点的个数是偶数. #
10/30/2019 6:09 AM
4
简单图(simple graph)
二部图: G=<V1,V2; E>, 也称为偶图
10/30/2019 6:09 AM
13
练习
PP291 1,5,6,7,8,9
10/30/2019 6:09 AM
14
练习
PP292 12,13,16
10/30/2019 6:09 AM
15
n阶竞赛图：基图是无向完全图Kn
10/30/2019 6:09 AM
11
补图(complement graph)
补图: G=<V,E>, G=<V,E(Kn)-E> 自补图(self-complement graph):GG
10/30/2019 6:09 AM
12
二部图(偶图)(bipartite graphs)
生成子图(spanning subgraph): G’是G的生成子图 G’G V’=V
10/30/2019 6:09 AM
9
导出子图(induced subgraph)
导出子图: G=<V,E>,
若V1V, E1= E V1&V1,则称
G[V1] = <V1,E1>
为由V1导出的子图
1-2_LP图解法-3原理
一 、LP问题的解的概念 1可行解 满足全部约束条件的解 X = (x 1, x 2, … , x n ) T 目标函数: max z = 2x1 + 3x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 2 x = 12 1 + 2 x2 + x 3 约束条件: 4 x1 + x4 = 16 s .t . 5 x2 + x5 = 15 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 非负约束: O ( 0, 0, 12, 16, 15)T Z = 0 E 2x1 + 2 x2 = 12 A ( 0, 3, 6, 16, 0)T Z = 9 x1 = 4 x2 B ( 3, 3, 0, 4, 0)T Z = 15* 4 Fx2 = 3 C ( 4, 2, 0, 0, 5)T Z = 14 B A D ( 4, 0, 4, 0, 15)T Z = 8 2 可行域 C E ( 0, 6, 0, 16, -15)T 全部基可行解 G T D F ( 4, 3, -2, 0, 0) 0 2 4 x1 G ( 6, 0, 0, -8, 15)T 全部基解
在点A处达到最小.
在点 A 处达到最小. 离原点最近
LP问题求解的几种可能结局
1.有唯一最优解; 2. 有无穷多组最优解;
目标函数直线与可行域一边重合
4 3
x2
max Z = 4x1 + 5x2
4 s .t .
x1
0 4 5
x1 + 5 x2 ≤20 x1 ≤ 4 x2 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0
2
4
x1 , x2 , x3 ≥ 0
1 1 B1 1 2
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练习
PP291 1,5,6,7,8,9
11/10/2018 2:40 PM
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练习
PP292 12,13,16
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相邻(邻接)(adjacent): 点与点,边与边 邻接到,邻接于: u邻接到v, v邻接于u u 关联(incident),端点:点与边 +1 -1 2 关联次数: 1 1 ? 环(loop):只与一个顶点关联的边 孤立点(isolated vertex): 平行边(parallel edge): 关联集: IG(v) = { e | e与v关联 } 邻域: NG(v)={u | u与v相邻但uv }
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导出子图(induced subgraph)
导出子图: G=<V,E>, 若V1V, E1= E V1&V1,则称 G[V1] = <V1,E1> 为由V1导出的子图 若E1E, V1={v|v与E1中的边关联}, 则称 G[E1] = <V1,E1> 为由E1导出的子图
5 欧拉与哈密尔顿图/ Euler and Hamilton Graphs
6 树/Tree 7 平面图/Planar Graphs 8 9 图的着色/Graph Coloring 二部图/Biparties
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相邻(adjacent),关联(incident)
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v
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握手定理
定理14.1:设G=<V,E>是无向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d(v1)+d(v2)+…+d(vn)=2m. # 定理14.2:设D=<V,E>是有向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d+(v1)+d+(v2)+…+d+(vn) = d-(v1)+d-(v2) +…+d-(vn) = m. # 推论:任何图中,奇数度顶点的个数是偶数. #
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Hale Waihona Puke 16可简单图化(Havel定理)
定理 (V. Havel, 1955):设非负整数列 d=(d1,d2,…,dn)满足: d1+d2+…+dn=0(mod 2), n-1d1d2…dn0, 则d可简单图化当且仅当 d’=(d2-1,d3-1,…,dd1+1-1,dd1+2,…,dn) 可简单图化. 例: d=(4,4,3,3,2,2), d’=(3,2,2,1,2)
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图同构(graph isomorphism)
图同构: 设(有向)图G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>, 若存在双射 f:V1V2, 满足 uV1,vV1, (u,v)E1 (f(u),f(v))E2 ( <u,v>E1 <f(u),f(v)>E2 ) 则称G1与G2同构, 记作G1G2 说明: 同构的图,其图论性质完全一样
补图: G=<V,E>, G=<V,E(Kn)-E> 自补图(self-complement graph):GG
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二部图(偶图)(bipartite graphs)
二部图: G=<V1,V2; E>, 也称为偶图
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Graphs / 图 论
图/Graph 可直观地表示离散对象之间的相互关系， 研究它们的共性和特性，以便解决具体 问题。
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图论/Graphs
1 图的概念/Introduction of Graph 2 图的术语/Graph Terminology 3 图的表示/ Representing Graph 4 连通性/Connectivity
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完全图(complete graphs)
无向完全图：每个顶点均与其余的n-1个 顶点相邻。Kn(n1） 有向完全图：每个顶点均邻接到其余的 n-1个顶点。 n阶竞赛图：基图是无向完全图Kn
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补图(complement graph)
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子图,生成子图
子图(subgraph): G=<V,E>, G’=<V’,E’>, G’G V’V E’E 真子图(proper subgraph): G’G G’G (V’V E’E) 生成子图(spanning subgraph): G’是G的生成子图 G’G V’=V
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简单图(simple graph)
简单图(simple graph): 无环,无平行边 若G是简单图, 则 0 (G) n-1(定理 14.4)
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可图化
定理14.3:非负整数列d=(d1,d2,…,dn)是 可图化的, 当且仅当 d1+d2+…+dn=0(mod 2). 证明: () 握手定理 () 奇数度点两两之间连一边, 剩余度用 环来实现. # 例3: (1)d=(5,4,4,3,3,2); (2)d=(5,3,3,2,1).