并且具有连续性特征.典型的连续优化问题包含无约束优
非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
无约束问题的最优性条件
一阶必要条件的表述
若$x^*$是无约束问题的局部最 优解，则$x^*$处的梯度$nabla f(x^*)=0$。这意味着在最优解处， 目标函数的梯度向量必须为零向 量。
几何解释
一阶必要条件可以理解为，在最 优解处，目标函数的等值面（或 曲线）与任意方向的切线（或切 面）都相切，即没有下降方向。
一阶充分条件
04 二阶最优性条件
二阶必要条件
二阶导数矩阵半正定
在最优解处，目标函数的二阶导数矩阵（即海森矩阵）必须是半正定 的，这意味着对于所有非零向量，海森矩阵与其的乘积至少为零。
梯度为零
同时，目标函数在最优解处的梯度必须为零，这是一阶必 要条件的补充。
约束条件
对于约束优化问题，还需要考虑约束条件的二阶影响。在最优 解处，积极约束的拉格朗日乘子应满足相应的二阶条件。
06 最优性条件的应用举例
线性规划的最优性条件
可行域
线性规划问题的可行域是由线性约束条 件所围成的凸多边形区域。
最优解
在可行域中，使目标函数达到最小 （或最大）值的可行解。
基本可行解
满足所有约束条件的解，且所有非基 变量都取值为0的解。
最优性条件
对于线性规划问题，当且仅当所有非 基变量对应的检验数都小于等于0时， 基本可行解才是最优解。
一阶充分条件的表述
若目标函数$f(x)$在$x^*$处可微，且存在某个正数$alpha$，使得对于所有满足$||d||=1$的 方向$d$，都有$nabla f(x^*)^Td ge alpha$，则$x^*$是无约束问题的严格局部最优解。
几何解释与意义
一阶充分条件表明，在最优解处，不仅梯度为零向量，而且目标函数在最优解附近具有“凸 性”，即对于任意方向$d$，目标函数在$x^*$处的方向导数都大于零。这保证了最优解的 唯一性和全局最优性。
优化设计的概念和原理
优化设计的概念和原理优化设计的概念和原则概念1前言对于任何设计者来说，其目的都是为了制定最优的设计方案，使所设计的产品或工程设施具有最佳的性能和最低的材料消耗和制造成本，以获得最佳的经济效益和社会效益。
因此，在实际设计中，科技人员往往会先提出几种不同的方案，并通过比较分析来选择最佳方案。
然而，在现实中，由于资金限制，选定的候选方案的数量往往非常有限。
因此，迫切需要一种科学有效的数学方法，于是“优化设计”理论应运而生。
优化设计是在计算机广泛应用的基础上发展起来的新技术。
这是一种现代设计方法，它根据优化原理和方法将各种因素结合起来，在计算机上以人机合作或“自动探索”的方式进行半自动或自动设计，以选择现有工程条件下的最佳设计方案。
其设计原则是优化设计:设计手段是电子计算机和计算程序；设计方法是采用最优化数学方法。
本文将简要介绍优化设计中常用的概念，如设计变量、目标函数、约束条件等。
2设计变量设计变量是独立参数，必须在设计过程的最终选择中确定它们是选择过程中的变量，但是一旦确定了变量，设计对象就完全确定了。
优化设计是研究如何合理优化这些设计变量值的现代设计方法。
机械设计中常用的独立参数包括结构的整体构型尺寸、部件的几何尺寸和材料的机械物理性能等。
在这些参数中，根据设计要求可以预先给出的不是设计变量，而是设计常数。
最简单的设计变量是元件尺寸，例如杆元件的长度、横截面积、弯曲元件的惯性矩、板元件的厚度等。
3目标函数目标函数是设计中要达到的目标在优化设计中，所追求的设计目标(最优指标)可以用设计变量的函数来表示。
这个过程被称为建立目标函数。
一般目标函数表示为f(x)=f(xl，xZ，？，x)此功能代表设计的最重要特征，如设计组件的性能、质量或体积以及成本。
最常见的情况是使用质量作为一个函数，因为质量的大小是最容易量化的价值度量。
尽管费用具有更大的实际重要性，但通常需要有足够的数据来构成费用的目标函数。
目标函数是设计变量的标量函数。
最优化第一次作业
无约束优化算法最优化课程作业（一）姓名：丁敏学号：31130510012014/6/24一、无约束优化算法无约束优化计算方法是数值计算领域中十分活跃的研究课题。
快速地求解无约束优化问题已经成为当今的焦点，除了其自身的重要性外，还由于目前求解约束优化问题的基本思想之一就是把约束问题变换为一系列无约束子问题进行求解。
因此，无约束优化算法的求解效率将直接影响到约束问题的求解，尤其是在大规模优化问题中。
所以，对无约束优化算法的研究具有重要的理论意义和实际价值。
无约束优化问题，是指优化问题的可行集为n R ，无约束的标准形式（1-1）为：R R f x f n→:)(m i n求解无约束优化问题时将会涉及到以下概念：(1) 驻点、鞍点：若f (x )在点x*处可微，并且0f (x*)∇=，则称x*为f (x )的一个驻点(或者平稳点)。
既不是极小点，也不是极大点的驻点称为鞍点。
(2) 全局最优解：若n x*Z,x R ∈∀∈均有f (x )f (x*)≥，则称x*为问题(1-1)的全局 最优解(3) 局部最优解：若*x D ∈且存在0δ>使得()()()**f x f x ,x DN x δ≥∀∈则称x*为问题(1-1)的一个局部最优解（极小点）；若*x D ∈且存在0δ>使得()()()**f x f x ,x DN x δ≤∀∈则称x*为问题(1-1)的一个局部最优解（极大点）；当目标函数 f ( x )为凸函数时，我们认为全局最优解即是局部最优解，然而，通常寻求全局最优解并不容易。
因此，在非线性优化中我们认为局部最优解即为所求。
无约束优化算法可以分为两大类: 一类是借助目标函数的导数信息来构造下降的搜索方向。
另一类是由目标函数值信息直接搜索求解的方法。
本文章重点介绍最速下降法，阻尼牛顿法以及共轭梯度法。
二、最速下降法1、最速下降法思想经典最速下降法是由 Cauchy 于 1847 年提出的，Forsythe 和 Motzkin 在 1951 年对它做了初步的分析。
自洽 解析 数值-概述说明以及解释
自洽解析数值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对自洽以及解析数值的概念进行简要介绍。
概述部分：自洽是一种重要的数值分析技术，用于解决复杂系统的数值模拟和计算问题。
它是指在一个系统中，各个部分之间的各种关系和条件都能够得到满足和保持一致，从而使系统的计算结果更加准确和可靠。
解析数值方法是一种应用于数学和物理问题的数值计算方法，通过将问题转化为一系列代数或微分方程，通过数值求解这些方程获得问题的解。
这种方法结合了解析方法和数值计算方法的优点，既能够保持问题的解析性质，又能够利用计算机进行高效的数值计算。
本文将从自洽的概念和解析方法两个方面对数值进行深入的探讨和解析。
首先，我们将介绍自洽的概念，包括它的定义、特点和应用领域。
然后，我们将详细介绍解析方法，包括常用的解析数值方法和算法，以及它们的原理和应用。
通过对自洽和解析数值方法的研究和分析，我们可以更好地理解和应用这些方法，提高数值分析的精度和效率。
同时，我们也可以展望自洽和解析数值方法在未来的应用前景，探讨它们在各个领域中的潜在价值和发展方向。
总之，本文旨在深入探讨自洽和解析数值方法的原理和应用，通过对这些方法的分析和研究，进一步提高数值计算的准确性和可靠性。
这对于促进数值分析领域的发展和推动相关领域的科学研究具有重要意义。
1.2 文章结构文章结构是指文章整体的组织和布局方式，旨在使读者能够更好地理解文章的内容和逻辑关系。
在本文中，文章结构分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分（1.1-1.3）主要对文章的背景、目的和大纲进行介绍。
其中概述部分（1.1）简要概括了本文要讨论的主题：自洽解析数值。
文章结构的介绍（1.2）则是本节的重点内容，它将详细阐述本文的整体组织方式，以及每个部分的主要内容和目标。
最后，目的部分（1.3）说明了本文的写作目的，即为了解析和探讨自洽解析数值的重要性及其应用前景。
接下来是正文部分（2.1-2.2），它是文章的核心部分，主要介绍自洽的概念和解析方法。
第四章无约束优化方法
解： (1) 第一个搜索方向
对称正定
(0) (3) 从 X1 点沿S1方向求极小点x(1)，即 点沿S 方向求极小点x
17
例
(0) 方向一维搜索求得该方向极小点x (4) 任取另初始点 x2 = 沿S1方向一维搜索求得该方向极小点 (2)
1 1
X(2)= 0.5 (5) 求与 1相共轭的方向 2 求与S 相共轭的方向S S2 =X(2)-X(1)=
x2
X(0)→X0
(1) (1) X1
终止准则: 终止准则:
( ( Xnk) − X0k) ≤ε
(2) X1
(1) (2) X2 →X0
(2) X2 →X0
(3)
( X* ←Xnk)
上式点距准则中的 两点应是一轮 轮 换 法 的 流 程 图
k Xi(−1)
Xi(k)
以最优步长原则确定α 以最优步长原则确定 2，即极小化
按最优步长原则确定步长α 按最优步长原则确定步长 1，即极小化
此问题可用某种一维优化方法求出α 此问题可用某种一维优化方法求出 1。 在这里， 在这里，我们暂且借用微分学求导解出 令其一阶导数为零， ，令其一阶导数为零，α1=5
得α2=4.5， ，
正定
10
4.2
鲍威尔(Powell)法 鲍威尔(Powell)法 (Powell)
鲍威尔法是直接搜索法中一个十分有效的算法。 鲍威尔法是直接搜索法中一个十分有效的算法。该算法是沿着 逐步产生的共轭方向进行搜索的，因此本质上是一种 共轭方向进行搜索的 本质上是一种共轭方向 逐步产生的共轭方向进行搜索的，因此本质上是一种共轭方向 鲍威尔法的收敛速率较快。 法，鲍威尔法的收敛速率较快。 以共轭方向作为搜索方向，不只限于鲍威尔法， 以共轭方向作为搜索方向，不只限于鲍威尔法，也用于其他一 共轭方向法。 些较为有效的方法，可以统称为共轭方向法 因此， 些较为有效的方法，可以统称为共轭方向法。因此，共轭方向 的概念在优化方法研究中占有重要的地位。 的概念在优化方法研究中占有重要的地位。 共轭方向在最优化问题中的应用是基于其具有一个重要性质， 共轭方向在最优化问题中的应用是基于其具有一个重要性质， 重要性质 个互相共轭的向量， 即：设 S1、S2、…、Sn是关于A的n个互相共轭的向量，则对于 、 是关于A 1 T 的极小点， 求正定二次函数 F ( X ) = c + bT X + X AX 的极小点，从任意初始 2…，n)方向进行一维最优化搜 点出发，依次沿S i=1， 点出发，依次沿Si （i=1，2， ，n)方向进行一维最优化搜 至多n步便可以收敛到极小点． 索，至多n步便可以收敛到极小点．
连续优化、离散优化、组合优化与整数优化
连续优化、离散优化、组合优化与整数优化最优化问题（optimization problem）⾃然地分成两类：⼀类是连续变量的问题，称为连续优化问题；另⼀类是离散变量的问题，称为离散优化问题。
1. 连续优化（continuous optimization）连续优化是求解连续优化是求解在连续变量的问题，其⼀般地是求⼀组实数，或者⼀个函数。
离散优化（discrete optimization）2. 离散优化连续优化是求解离散变量的问题，是从⼀个⽆限集或者可数⽆限集⾥寻找⼀个对象，典型地是⼀个整数，⼀个集合，⼀个排列，或者⼀个图。
3. 组合优化（combinatorial optimization）组合优化问题的⽬标是从组合问题的可⾏解集中求出最优解，通常可描述为：令Ω={s1，s2，…，sn}为所有状态构成的解空间，C(si)为状态si对应的⽬标函数值，要求寻找最优解s*，使得对于所有的si∈Ω，有C(s*)=minC(si)。
组合优化往往涉及排序、分类、筛选等问题，它是运筹学的⼀个重要分⽀。
典型的组合优化问题有旅⾏商问题（Traveling Salesman Problem－TSP）、加⼯调度问题（Scheduling Problem，如Flow-Shop，Job-Shop）、0-1背包问题（Knapsack Problem）、装箱问题（Bin Packing Problem）、图着⾊问题（Graph Coloring Problem）、聚类问题（Clustering Problem）等。
这些问题描述⾮常简单，并且有很强的⼯程代表性，但最优化求解很困难，其主要原因是求解这些问题的算法需要极长的运⾏时间与极⼤的存储空间，以致根本不可能在现有计算机上实现，即所谓的“组合爆炸”。
正是这些问题的代表性和复杂性激起了⼈们对组合优化理论与算法的研究兴趣。
4. 整数优化（integer programming, IP）要求所有的未知量都为整数的线性规划问题叫做整数规划 (integer programming, IP) 或整数线性规划 (integer linear programming, ILP) 问题。
数学中的最优化理论
数学中的最优化理论最优化理论作为数学中一个重要的分支，其目的是寻找在给定条件下能够使某一函数取得最优值的变量取值。
最优化问题广泛应用于工程、经济、计算机科学等领域，对于提高效率、降低成本具有重要意义。
本文将对最优化理论的基本概念、常见方法和应用进行介绍。
一、最优化理论的基本概念最优化问题可以归结为如下形式：$$\min_{x \in D} f(x)$$其中，$D$是定义域，$f(x)$是目标函数。
最优化问题分为约束优化和无约束优化两类。
在约束优化问题中，目标函数的取值需要满足一定的条件。
无约束优化问题则没有这样的限制条件。
在求解最优化问题时，我们需要找到一个使目标函数值最小的变量取值。
这个变量取值被称为最优解，对应的目标函数值被称为最优值。
最优解的存在性和唯一性是最优化问题的重要性质，而最优化理论研究的就是如何找到最优解。
二、最优化问题的常见求解方法1. 数学分析方法数学分析方法主要通过对目标函数进行求导以及对约束条件进行分析，来得到最优解。
这种方法通常适用于目标函数和约束条件具有良好的可导性质的情况。
通过求解一阶导数为零的方程组，可以得到最优解的可能取值。
然后通过二阶导数的符号来判断这些取值是最大值还是最小值。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化方法，特别适用于目标函数为凸函数的情况。
其基本思想是通过不断朝着函数梯度的负方向迭代，直到找到最小值或达到预设的停止条件。
梯度下降法的优势在于可以处理大规模问题，并且不需要求解函数的导数。
然而，梯度下降法可能陷入局部最优解，因此在实际应用中需要谨慎选择初始点和调整学习率。
3. 线性规划法线性规划是一种特殊的最优化问题，其目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划问题具有良好的可解性，并且有高效的算法可以求解。
最著名的线性规划方法是单纯形法，它通过不断沿着可行解空间中的边界移动，寻找最优解。
此外，整数规划、二次规划等也是常见的最优化问题，各自有不同的求解方法。
第3章 无约束最优化方法 3-1 最速下降法 3-2 牛顿法
是局部性质。 n （3）锯齿现象 n （4）改进策略：在计算的开始阶段使用最
速下降法，在迭代数次后，改用其他算法。
第3.1节 最速下降法（Steepest Method）
n [引理3.2]（康德洛维奇Kntorovich不等式）
第3.2节 Newton法及其改进
n [推论3.8]设 且对任意的 在水平集
在开凸集D上二阶连续可微， ，存在常数 ，使得
上满足
则从任意的初始点 出发，牛顿法产生的迭
代点列 满足
，且收敛到
的唯一极小点。
第3.2节 Newton法及其改进
n 阻尼牛顿法的优点与缺点： 阻尼牛顿法克服了牛顿法要求初始点充分靠
n
，则d是下降方向；
n
，则 是下降方向。
第3.2.4节 吉尔-默里稳定牛顿法
n Gill-Murray稳定牛顿法的基本思想： n 当Hesse矩阵 在迭代点
处为不定矩阵时，对其进行强迫正 定的 分解；当 趋于零时， 采用负曲率方向使函数值下降。
第3.2.4节 吉尔-默里稳定牛顿法
n [算法3.15]（求负曲率方向的算法）
得到方向 ，令
。
n （6）精确线性搜索求 ，且令
n （7）若
，则进行步（8）；否则，
令
，转步（2）。
n （8）输出
，停止计算。
第3.2.4节 吉尔-默里稳定牛顿法
n [定理3.18]设 二阶连续可微，且存在
，使得
为有界闭
凸集。假定在吉尔-默里稳定牛顿法中取
，且初始点
，则吉尔-默里稳
定牛顿法产生的迭代序列 满足：
浅谈机械优化设计
浅谈机械优化设计作者：李银玉来源：《科技资讯》 2012年第26期李银玉(沈阳理工大学应用技术学院辽宁抚顺 113122)摘要:机械优化设计将传统机械设计理论与现代设计方法进行合理结合而产生的一种更科学的优化设计方法,有助于提高机械产品的质量与生产效率。
本文就机械优化设计技术的发展概况、主要涉及方法及方法的选择作出简单探讨与研究。
关键词:机械优化设计方法中图分类号:TH122 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2012)09(b)-0084-01对于从事机械设计的科研人员和工程技术人员而言,最优的设计方案意味着最佳的经济效益和社会效益。
为此,人们将现代设计理论与方法广泛应用于机械设计过程当中,不断改进与提高机械产品的质量,降低成本,缩短研发周期,增强机械产品的市场竞争能力。
机械优化设计是将最优化技术移植并应用于机械设计领域,并且根据机械设计的理论、方法以及标准规范等建立数学模型以此反映工程设计问题,再采用数学规划方法和计算机计算技术自动找出设计问题的最优方案。
计算技术作出的选择不仅能保证多参数的组合方案适合各种设计的要求,而且有助于使得设计指标达到最优值。
1 机械优化设计技术的发展概况采用优化方法有助于设计方案在既定的设计要求下达到最佳的结果,并且节省计算工作量和工作时间,其显著的优点得到了科研者和相关工作从事人员广泛的重视,因此应用领域也日益广阔。
20世纪50年代数学规划理论逐渐发展起来,并成为应用数学的重要分支,这为优化设计奠定了坚实的理论基础;到了20世纪60年代,计算机技术的迅猛发展为优化设计提供了强有力的手段,使工程技术人员把主要精力转到优化方案的选择上;直到20世纪60年代后期开始,最优化技术才被成功应用于机械设计领域。
而国内的机械优化设计技术发展相比国际起步较晚,但发展势头不可小觑,无论是在机构综合、机械的通用零部件的设计还是工艺设计方面都得到了广泛的应用。
近年来,随着计算机辅助设计(CAD)的发展是优化设计技术有了新的发展出路,在CAD技术的支持下设计周期不断缩减、最优设计方案的筛选效率与质量不断提高。
数学中的最优化问题
数学中的最优化问题数学中的最优化问题是一类重要的数学问题，其目标是寻找某个函数的最优解，即使得函数取得最大值或最小值的输入变量的取值。
最优化问题在数学、经济学、物理学等领域有广泛的应用，对于解决实际问题具有重要意义。
一、最优化问题的基本概念在介绍最优化问题之前，需要先了解几个基本的概念。
1. 目标函数：最优化问题中，我们定义一个目标函数，该函数是一个关于变量的函数，表示我们要优化的目标。
2. 约束条件：最优化问题中，往往存在一些限制条件，这些条件限制了变量的取值范围。
这些限制条件可以是等式约束或者不等式约束。
3. 最优解：最优解是指满足约束条件下使得目标函数取得最优值的变量取值。
最优解可能是唯一的，也可能存在多个。
二、最优化问题的求解方法在数学中，有多种方法可以求解最优化问题。
以下是几种常见的方法：1. 解析法：对于一些特殊的最优化问题，我们可以通过解析的方法求解。
这种方法通常需要对目标函数进行求导，并解方程得到极值点。
2. 迭代法：对于一些复杂的最优化问题，解析法并不适用，这时可以采用迭代法求解。
迭代法通过不断地逼近最优解，逐步优化目标函数的值。
3. 线性规划：线性规划是一种常见的最优化问题，它的约束条件和目标函数都是线性的。
线性规划可以利用线性代数的方法进行求解，有着广泛的应用。
4. 非线性规划：非线性规划是一类更一般的最优化问题，约束条件和目标函数都可以是非线性的。
非线性规划的求解比线性规划更为困难，需要采用一些数值方法进行逼近求解。
三、最优化问题的应用最优化问题在各个领域都有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 经济学中的最优化问题：经济学中的生产优化、消费优化等问题都可以抽象为最优化问题。
通过求解最优化问题，可以找到最有效的生产组合或最佳的消费策略。
2. 物理学中的最优化问题：在物理学中，最优化问题常常涉及到动力学、优化控制等方面。
例如，在机械设计中，可以通过最优化问题确定各部件的尺寸和形状，使得机械系统具有最佳的性能。
最优化问题的数学模型一般可以用约束集X和目标函数f进行表示.集合X
n n
) (UP)
.
在后面的章节中， 我们将研究 X 是
n
的子集的优化问题， 其中 X 可由等式和 f 是一个连续可微的函数， 并且是二阶连续可微的， f 的 一阶和二阶导数在最优解的特征， 即充分必要条件中发挥了重要作用， 这是 1.1 节的主要 内容. 一阶和二阶导数对于计算近似最优解也是非常重要的，1.2 节～ 1.8 节将讨论这方 面的若干算法和理论.1.9 节将前几节的方法运用到了求解含有离散时间动态系统的最优 控制问题中. 虽然本章主要研究的是无约束优化问题， 但是本章的内容的很多思想也是全 书其余内容的重要基础.
况. 即 x 是 f 在 X 上的一个局部最小点值，如果 x ∈ X 并且存在 ε > 0，对于所有满 足 x − x∗ < ε 的 x ∈ X ，都有 f (x∗ ) 小值点的定义可以类似地给出. 局部和全局的 最大值点 的定义也是类似的，即如果 x∗ 是 −f 的无约束局部 (全局) 最小值点，那么 x∗ 是 f 的无约束局部 (全局) 最大值点. 最优性的必要条件 如果目标函数可微， 那么就可利用梯度和泰勒展开去比较某个向量的函数值及其邻域 内的向量函数值的大小关系. 特别地， 我们考虑在给定向量 x∗ 上给予一个微小扰动 ∆x， 从而利用一阶近似得到目标函数的变化量为
最优化问题的数学模型一般可以用 约束集X 和 目标函数f 进行表示. 集合 X 包含 所有可用的决策 x，函数 f (x) 将 X 的元素映射到实数集上，表示决策 x 带来的成本损 失. 我们试图寻找一个最优的决策，即 x∗ ∈ X ，并且满足
f (x∗ ) f (x), ∀ x ∈ X.
本书假定 x 是一个 n 维向量，即 x 是一个由实数构成的 n 元数组 (x1 , · · · , xn )，因此约 束集 X 是 n 维欧氏空间
《最优化方法》复习题(含答案)
附录5 《最优化方法》复习题1、设n n A R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2TT f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 2(),()f x Ax b f x A ∇=+∇=．2、设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ϕ''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+．3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令()()()()()T TT Tdd f x f x H I d f x f x f x ∇∇=--∇∇∇， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-∇也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ∇<，从而()()()T T f x p f x H f x ∇=-∇∇()()()()()()()()T TTT T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ∇∇=-∇--∇∇∇∇()()()0T T f x f x f x d =-∇∇+∇<，所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ⊆是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ∀≥∀∈的一切凸组合都属于S ．证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令11k i i i x x λ+==∑，其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+，且111k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈，结论成立），记111kii i k y x λλ=+=-∑，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，又1110,1,2,,,111kiii k k i k λλλλ=++≥==--∑，则由归纳假设知，y S ∈，而1k x S +∈，且S 是凸集，故x S ∈．5、设n R S ⊆为非空开凸集，R S f →:在S 上可微，证明：f 为S 上的凸函数的充要条件是2112112()()()(),,T f x f x f x x x x x S ≥+∇-∀∈．证明 必要性．设f 是S 上的凸函数，则12,x x S ∀∈及(0,1)λ∈，有2121((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，于是121121(())()()()f x x x f x f x f x λλ+--≤-，因S 为开集，f 在S 上可微，故令0λ+→，得12121()()()()T f x x x f x f x ∇-≤-，即2112112()()()(),,T f x f x f x x x x x S ≥+∇-∀∈．充分性．若有2112112()()()(),,T f x f x f x x x x x S ≥+∇-∀∈， 则[0,1]λ∀∈，取12(1)x x x S λλ=+-∈，从而11()()()()T f x f x f x x x ≥+∇-，22()()()()T f x f x f x x x ≥+∇-，将上述两式分别乘以λ和1λ-后，相加得1212()(1)()()()((1))T f x f x f x f x x x x λλλλ+-≥+∇+--12()((1))f x f x x λλ==+-，所以f 为凸函数．6、证明：凸规划min ()x Sf x ∈的任意局部最优解必是全局最优解．证明 用反证法．设x S ∈为凸规划问题min ()x Sf x ∈的局部最优解，即存在x 的某个δ邻域()N x δ，使()(),()f x f x x N x S δ≤∀∈．若x 不是全局最优解，则存在x S ∈，使()()f x f x <．由于()f x 为S 上的凸函数，因此(0,1)λ∀∈，有((1))()(1)()()f x x f x f x f x λλλλ+-≤+-<．当λ充分接近1时，可使(1)()x x N x S δλλ+-∈，于是()((1))f x f x x λλ≤+-，矛盾．从而x 是全局最优解．7、设n R S ⊆为非空凸集，R S f →:是具有一阶连续偏导数的凸函数，证明：x 是问题min ()x Sf x ∈的最优解的充要条件是：()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．证明 必要性．若x 为问题min ()x Sf x ∈的最优解．反设存在x S ∈，使得()()0T f x x x ∇-<，则d x x =-是函数()f x 在点x 处的下降方向，这与x 为问题min ()x Sf x ∈的最优解矛盾．故()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．充分性．若()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．反设存在x S ∈，使得()()f x f x <．(())()((1))()f x x x f x f x x f x λλλλλ+--+--=()(1)()()()()0((0,1)f x f x f x f x f x λλλλ+--≤=-<∀，因S 为凸集，f 在S 上可微，故令0λ+→，得()()()()0T f x x x f x f x ∇-≤-<，这与已知条件矛盾，故x 是问题min ()x Sf x ∈的最优解．8、设函数()f x 具有二阶连续偏导数，k x 是()f x 的极小点的第k 次近似，利用()f x 在点k x 处的二阶Taylor 展开式推导Newton 法的迭代公式为 211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇．证明 由于()f x 具有二阶连续偏导数，故21()()()()()()()()2T T k k k k k k f x x f x f x x x x x f x x x ϕ≈=+∇-+-∇-．且2()k f x ∇是对称矩阵，因此()x ϕ是二次函数．为求()x ϕ的极小点，可令()0x ϕ∇=，即2()()()0k k k f x f x x x ∇+∇-=，若2()k f x ∇正定，则上式解出的()x ϕ的平稳点就是()x ϕ的极小点，以它作为()f x 的极小点的第1k +次近似，记为1k x +，即211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇，这就得到了Newton 法的迭代公式.9、叙述常用优化算法的迭代公式．（1）0.618法的迭代公式：(1)(),().k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--⎧⎨=+-⎩（2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)()n k kk k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+⎧=+-⎪⎪=-⎨⎪=+-⎪⎩．（3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1()()k k k k t t t t ϕϕ+'=-''． （4）最速下降法用于问题1min ()2TT f x x Qx b x c =++的迭代公式： 1()()()()()T k k k k k Tk k f x f x x x f x f x Q f x +∇∇=-∇∇∇ （5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇． （6）共轭方向法用于问题1min ()2TT f x x Qx b x c =++的迭代公式： 1()T k kk k k Tk kf x d x x d d Qd +∇=-． 10、已知线性规划：123123123123123min ()2;..360,2210,20,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x =-+⎧⎪++≤⎪⎪-+≤⎨⎪+-≤⎪⎪≥⎩（1）用单纯形法求解该线性规划问题的最优解和最优值； （2）写出线性规划的对偶问题； （3）求解对偶问题的最优解和最优值．解 （1）引进变量456,,x x x ，将给定的线性规划问题化为标准形式：123123412351236126min ()2;..360,2210,20,,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+⎧⎪+++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎪≥⎩所给问题的最优解为(0,20,0)T x =，最优值为20f =-． （2）所给问题的对偶问题为：123123123123123max ()601020;..32,21,21,,,0.g y y y y s t y y y y y y y y y y y y =---⎧⎪---≤⎪⎪-+-≤-⎨⎪--+≤⎪⎪≥⎩（1） （3）将上述问题化成如下等价问题：123123123123123min ()601020;..32,21,21,,,0.h y y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪---≤⎪⎪-+-≤-⎨⎪--+≤⎪⎪≥⎩引进变量456,,y y y ，将上述问题化为标准形式：123123412351236126min ()601020;..32,21,21,,,,0.h y y y y s t y y y y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪---+=⎪⎪-+-+=-⎨⎪--++=⎪⎪≥⎩ （2）问题（2）的最优解为(0,0,1)T y =，最优值为20h =（最小值）． 问题（1）的最优解为(0,0,1)T y =，最优值为20g =-（最大值）．11、用0.618法求解 2min ()(3)t t ϕ=-，要求缩短后的区间长度不超过0.2，初始区间取[0,10]． 解 第一次迭代： 取11[,][0,10],0.2a b ε==． 确定最初试探点11,λμ分别为11110.382() 3.82a b a λ=+-=，11110.618() 6.18a b a μ=+-=．求目标函数值：21()(3.823)0.67ϕλ=-=，21()(6.183)10.11ϕμ=-=． 比较目标函数值：11()()ϕλϕμ<． 比较11 6.1800.2a με-=->=． 第二次迭代：212121210, 6.18, 3.82,()()0.67a a b μμλϕμϕλ========．2222220.382()0.382(6.180) 2.36,()(2.363)0.4a b a λϕλ=+-=-==-=．2222()(), 3.82a ϕλϕμμε<-=>．323232320, 3.82, 2.36,()()0.4a a b μμλϕμϕλ========．2333330.382()0.382(3.820) 1.46,()(1.463) 2.37a b a λϕλ=+-=-==-=．3333()(), 3.82 1.46b ϕλϕμλε>-=->． 第四次迭代：434343431.46, 3.82, 2.36,()()0.4a b b λλμϕλϕμ========．444440.618() 1.460.0.618(3.82 1.46) 2.918,()0.0067a b a μϕμ=+-=+-==． 4444()(), 3.82 2.36b ϕλϕμλε>-=->． 第五次迭代：545454542.36, 3.82, 2.918,()()0.0067a b b λλμϕλϕμ========．555550.618() 3.262,()0.0686a b a μϕμ=+-==． 5555()(), 3.262 2.36a ϕλϕμμε<-=->． 第六次迭代：656565652.36, 3.262, 2.918,()()0.0067a a b μμλϕμϕλ========．666660.382() 2.7045,()0.087a b a λϕλ=+-==．6666()(), 3.262 2.7045b ϕλϕμλε>-=->． 第七次迭代：767676762.7045, 3.262, 2.918,()()0.0067a b b λλμϕλϕμ========．777770.618() 3.049,()0.002a b a μϕμ=+-==． 7777()(),b ϕλϕμλε>->． 第八次迭代：878787872.918, 3.262, 3.049,()()0.002a b b λλμϕλϕμ========．888880.618() 3.131,()0.017a b a μϕμ=+-==． 8888()(),a ϕλϕμμε<->．989899982.918, 3.131, 3.049,()()0.002a a b μμλϕμϕλ========．999990.382() 2.999,()0.000001a b a λϕλ=+-==． 9999()(), 3.049 2.918a ϕλϕμμε<-=-<． 故993.0242x λμ+==．12、用最速下降法求解 22112212min ()2243f x x x x x x x =++--，取(0)(1,1)T x =，迭代两次．解 1212()(224,243)T f x x x x x ∇=+-+-， 将()f x 写成1()2TT f x x Qx b x =+的形式，则224,243Q b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 第一次迭代：(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)()()()()()T T f x f x xxf x f x Q f x ∇∇=-∇∇∇ 0(0,3)1013220131/4(0,3)243⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 第二次迭代：(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)()()()()()T T f x f x xx f x f x Q f x ∇∇=-∇∇∇ 3/2(3/2,0)13/27/40223/21/401/4(3/2,0)240-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 13、用FR 共轭梯度法求解222123123123min ()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++-，取(0)11(,1,)22T x =，迭代两次．若给定0.01,ε=判定是否还需进行迭代计算． 解 222123121323()3()2()f x x x x x x x x x x =++-++，再写成1()2T f x x Gx =，622262226G --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，()f x Gx ∇=．第一次迭代：(0)()(0,4,0)T f x ∇=，令(0)0()(0,4,0)T d f x =-∇=-，从(0)x 出发，沿0d 进行一维搜索，即求(0)200min ()21648f x d λλλλ≥+=-+的最优解，得(1)(0)0001/6,(1/2,1/3,1/2)T x x d λλ==+=．第一次迭代：(1)()(4/3,0,4/3)T f x ∇=．2(1)02(0)()29()f x f x α∇==∇， (1)100()(4/3,8/9,4/3)T d f x d α=-∇+=---．从(1)x 出发，沿1d 进行一维搜索，即求(1)10142362214181418min ()(,,)262233923392261423f x d λλλλλλλλ≥⎛⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪+=------ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭的最优解，得(2)(1)1111/24/333,1/38/9(0,0,0)881/24/3T x x d λλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．此时(2)(2)()(0,0,0),()00.01T f x f x ε∇=∇=<=．得问题的最优解为(0,0,0)T x =，无需再进行迭代计算．14、用坐标轮换法求解 2212112min ()242f x x x x x x =+--，取(0)(1,1)T x =，迭代一步．解 从点(0)(1,1)T x =出发，沿1(1,0)T e =进行一维搜索， 即求(0)210min ()43f x e λλλλ≥+=--的最优解，得(1)(0)0012,(3,1)T x x e λλ==+=．再从点(1)x 出发，沿2(0,1)T e =进行一维搜索， 即求(1)220min ()227f x e λλλλ≥+=--的最优解，得(2)(1)1121/2,(3,3/2)T x x e λλ==+=．15、用Powell 法求解2212112min ()3f x x x x x x =+--，取(0)(0,0)T x =，初始搜索方向组01(0,1),(1,0)T T d d ==，给定允许误差0.1ε=（迭代两次）． 解 第一次迭代：令(0)(0)(0,0)T y x ==，从点(0)y 出发沿0d 进行一维搜索，易得(1)(0)0000,(0,0)T y y d λλ==+=；接着从点(1)y 出发沿1d 进行一维搜索，得(2)(1)11133,(,0)22T y y d λλ==+=由此有加速方向 (2)(0)23(,0)2T d y y =-=．因为23/2d ε=>，所以要确定调整方向．由于 (0)(1)(2)9()0,()0,()4f y f y f y ===-，按（8.4.17）式有(1)(2)()(1)()()max{()()|0,1}j j f y f y f y f y j +-=-=，因此1m =，并且()(1)(1)(2)9()()()()4m m f y f y f y f y +-=-=． 又因(2)(0)(2)0f y y -=，故（8.4.18）式不成立．于是，不调整搜索方向组，并令(1)(2)3(,0)2T x y ==．第二次迭代：取(0)(1)3(,0)2T y x ==，从点(0)y 出发沿0d 作一维搜索，得(1)(0)000333,(,)424T y y d λλ==+=．接着从点(1)y 出发沿方向1d 作一维搜索，得(2)(1)1113153,(,)884Ty y d λλ==+=． 由此有加速方向(2)(0)233(,)84T d y y =-=．因为2d ε=>，所以要确定调整方向．因(0)(1)(2)945189(),(),()41664f y f y f y =-=-=-， 故按（8.4.17）式易知0m =，并且()(1)(0)(1)9()()()()16m m f y f y f y f y +-=-=． 由于(2)(0)45(2)16f y y -=-， 因此（8.4.18）式成立。
拉格朗日函数与质心定理-概念解析以及定义
拉格朗日函数与质心定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拉格朗日函数与质心定理是应用于优化问题和力学中的两个重要概念。
拉格朗日函数是一种利用约束条件进行优化的方法，而质心定理是一个有关质点运动的定理。
在实际问题中，往往存在着多个约束条件，这使得我们需要一种方法来同时满足所有的约束条件。
拉格朗日函数的引入就是为了解决这个问题。
通过建立拉格朗日函数，我们可以将含有多个约束条件的优化问题转化为一个只有一个变量的无约束优化问题。
这大大简化了问题的求解过程，并且能够有效地找到问题的最优解。
因此，拉格朗日函数在经济学、物理学以及工程学等领域具有广泛的应用。
另一方面，质心定理是力学中的一个基本原理，用于描述质点的运动。
根据质心定理，质点系统的总质量乘以其质心的加速度等于系统外力的合力。
这一定理帮助我们理解物体的运动状态，并且在分析和预测复杂系统的运动行为方面具有重要的作用。
质心定理在力学、天体物理学和机械工程等领域得到了广泛的应用。
本文将重点介绍拉格朗日函数的定义、求解方法和应用领域。
同时，我们也将探讨质心定理的定义、证明过程和应用示例。
通过深入研究这两个概念，我们可以更好地理解和应用它们，解决实际问题，并为进一步的研究提供思路。
总之，拉格朗日函数和质心定理是两个在不同领域中发挥重要作用的概念。
本文的目的是系统介绍它们的概念、求解方法和应用示例，以便读者能够更好地理解和应用这些概念，为实际问题的解决和未来的研究提供帮助。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：文章结构：本文主要分为四个部分进行讨论。
首先，引言部分将介绍整篇文章的背景和目的，以及对拉格朗日函数和质心定理的概述。
然后，第二部分将重点介绍拉格朗日函数，包括其定义、求解方法和应用领域。
接下来，第三部分将探讨质心定理，包括其定义、证明过程和应用示例。
最后，在结论部分，我们将总结拉格朗日函数和质心定理的重要性，并提出进一步探讨可能的研究方向。
蚁群算法简述
2.蚁群算法的特征
下面是对蚁群算法的进行过程中采用的规则进行的一些说明. 范围
蚂蚁观察到的范围是一个方格世界,蚂蚁有一个参数为速度半径一般 是3,那么它能观察到的范围就是33个方格世界,并且能移动的距离也在这 个范围之内. 环境
蚂蚁所在的环境是一个虚拟的世界,其中有障碍物,有别的蚂蚁,还有 信息素,信息素有两种,一种是找到食物的蚂蚁洒下的食物信息素,一种是找 到窝的蚂蚁洒下的窝的信息素.每个蚂蚁都仅仅能感知它范围内的环境信 息.环境以一定的速率让信息素消失. 觅食规则
2.蚁群算法的特征
基本蚁群算法流程图详细
1. 在初始状态下,一群蚂蚁外出,此时没有信息素,那么各 自会随机的选择一条路径. 2. 在下一个状态,每只蚂蚁到达了不同的点,从初始点到这 些点之间留下了信息素,蚂蚁继续走,已经到达目标的蚂蚁 开始返回,与此同时,下一批蚂蚁出动,它们都会按照各条路 径上信息素的多少选择路线selection,更倾向于选择信息 素多的路径走当然也有随机性. 3. 又到了再下一个状态,刚刚没有蚂蚁经过的路线上的信 息素不同程度的挥发掉了evaporation,而刚刚经过了蚂蚁 的路线信息素增强reinforcement.然后又出动一批蚂蚁,重 复第2个步骤. 每个状态到下一个状态的变化称为一次迭代,在迭代多次 过后,就会有某一条路径上的信息素明显多于其它路径,这 通常就是一条最优路径.
人工蚁群算法
基于以上蚁群寻找食物时的最优路径选择问题,可 以构造人工蚁群,来解决最优化问题,如TSP问题.
人工蚁群中把具有简单功能的工作单元看作蚂蚁. 二者的相似之处在于都是优先选择信息素浓度大的路 径.较短路径的信息素浓度高,所以能够最终被所有蚂 蚁选择,也就是最终的优化结果.
两者的区别在于人工蚁群有一定的记忆能力,能够 记忆已经访问过的节点.同时,人工蚁群再选择下一条 路径的时候是按一定算法规律有意识地寻找最短路径, 而不是盲目的.例如在TSP问题中,可以预先知道当前 城市到下一个目的地的距离.
《机械优化设计》复习题 答案 (2)
机械优化设计复习题解答一、填空题1、用最速下降法求fX=100x 2- x 12 2+1- x 1 2的最优解时,设X 0＝,T ,第一步迭代的搜索方向为 -47,-50T ;2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是寻找搜索方向,二是计算最优步长;3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解;4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高－低－高 趋势;5、包含n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题;6、函数C X B HX X T T++21的梯度为B ; 7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足d 0T Gd 1=0,则d 0、d 1之间存在共轭关系;8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素;9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是f(x 10,x 20)=0 ,充分条件是2fx 10,x 20)=0正定 ;10、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合; 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 10 ; 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件;13、牛顿法的搜索方向d k = ,其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近 位置; 14、将函数fX=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 12[x 1x 2][2−1−12][x 1x 2]+[−10−4][x 1x 2]+60 ;15、存在矩阵H,向量 d 1,向量 d 2,当满足d 1T Hd 2=0,向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭; 16、采用外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列,具有单调递增特点;17、采用数学规划法求解多元函数极值点时,根据迭代公式需要进行一维搜索,即求最优步长;1k k H g --二、选择题1、下面C 方法需要求海赛矩阵; A 、最速下降法 B 、共轭梯度法 C 、牛顿型法 D 、DFP 法2、对于约束问题根据目标函数等值线和约束曲线,判断()1[1,1]T X =为 ,()251[,]22TX =为 ;D A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解B 优化问题; A 无约束优化问题B 只含有不等式约束的优化问题C 只含有等式的优化问题D 含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索,搜索区间为a,b,中间插入两个点a 1、b 1,a 1<b 1,计算出fa 1<fb 1,则缩短后的搜索区间为D ; A a 1,b 1 B b 1,b C a 1,b D a,b 15、D 不是优化设计问题数学模型的基本要素; A 设计变量 B 约束条件 C 目标函数 D 最佳步长6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k -αk H k ▽fx k ,下列不属于H k 必须满足的条件的是C ;A. Hk之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定7、函数)(Xf在某点的梯度方向为函数在该点的A;A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中,D在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数;A 梯度法B 牛顿法C 变尺度法D 坐标轮换法9、设)(Xf为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数,则)(Xf在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵GX在R上处处B;A 正定B 半正定C 负定D 半负定10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述,错误的是D,假设要求在区间a,b插入两点α1、α2,且α1<α2;A、其缩短率为B、α1=b-λb-aC、α1=a+λb-aD、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法;11、与梯度成锐角的方向为函数值A方向,与负梯度成锐角的方向为函数值B方向,与梯度成直角的方向为函数值 C方向;A、上升B、下降C 、不变D 、为零12、二维目标函数的无约束极小点就是 B ; A 、等值线族的一个共同中心 B 、梯度为0的点C 、全局最优解D 、海塞矩阵正定的点13、最速下降法相邻两搜索方向d k 和d k+1必为 B 向量; A 相切 B 正交 C 成锐角 D 共轭14、下列关于内点惩罚函数法的叙述,错误的是A ; A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题; B 惩罚因子是不断递减的正值C 初始点应选择一个离约束边界较远的点;D 初始点必须在可行域内 三、问答题看讲义1、试述两种一维搜索方法的原理,它们之间有何区别2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路;4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点;5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式,并说明公式中各变量的意义,并说明迭代公式的意义;6、什么是共轭方向满足什么关系共轭与正交是什么关系 四、解答题1、试用梯度法求目标函数fX=+ x 1x 2-2x 1的最优解,设初始点x 0=-2,4T ,选代精度ε=迭代一步;解：首先计算目标函数的梯度函数 f =[3∗x1−x2−2x2−x1],计算当前迭代点的 梯度向量值 f(X (0))=[−3∗2−4−24+2]=[−126]梯度法的搜索方向为 S （k ）=−f , 因此在迭代点x 0 的搜索方向为12,－6T在此方向上新的迭代点为：X （k+1）=X （k ）+αS （k ）=X （0）+αS （0）=[−24]+α[12−6]=[−2+12α4−6α]把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量α的函数F(α) f(X (k+1))=f ([−2+12α4−6α])=1.5(−2+12α)2+0.5(4−6α)2−(−2+12α)(4−6α)− 2(−2+12α)＝F(α) 令dF(α)dα=−180+612α＝0,可以求出当前搜索方向上的最优步长α＝517≈0.2941新的迭代点为X （0）+αS （0）＝ [1.52922.2354]当前梯度向量的长度‖f ‖=√12x12+6x6=13.4164>ε, 因此继续进行迭代; 第一迭代步完成;2、试用牛顿法求f X =x 1-22+x 1-2x 22的最优解,设初始点x 0=2,1T ; 解1：注：题目出题不当,初始点已经是最优点,解2是修改题目后解法; 牛顿法的搜索方向为S (k)=−2(f )−1(f),因此首先求出当前迭代点x 0的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵(f )＝[4∗x1 − 4∗x2 − 48∗x2 − 4∗x1](f （x (0)）)=[00]2(f )＝[4−4−48] 2(f )−1= 14[2111]S (k)=−2(f )−1(f )=[00]不用搜索,当前点就是最优点;解2：上述解法不是典型的牛顿方法,原因在于题目的初始点选择不当;以下修改求解题目的初始点,以体现牛顿方法的典型步骤;以非最优点x 0=1,2T 作为初始点,重新采用牛顿法计算牛顿法的搜索方向为S (k)=−2(f )−1(f),因此首先求出当前迭代点x 0的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵梯度函数：(f )＝[4∗x1 − 4∗x2 − 48∗x2 − 4∗x1]初始点梯度向量：(f （x (0)）)=[−812]海色矩阵：2(f )＝[4−4−48]海色矩阵逆矩阵：2(f )−1 = 14[2111]当前步的搜索方向为： S (k)=−2(f )−1(f)＝− 14[2111][−812]＝[−11] 新的迭代点位于当前的搜索方向上 ： X （k+1）=X （k ）+αS （k ）=X （0）+αS （0） ＝[12]＋α[−11]＝[1−α2＋α]把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量α的函数F(α) f(X (k+1))=f ([1−α2＋α])=(α + 1)2 + (3α + 3)2＝F(α) 令dF(α)dα=20α+ 20＝0,可以求出当前搜索方向上的最优步长α＝−1新的迭代点为 X (1)=X （0）+αS （0）＝ [12] –[−11]＝ [21]当前梯度向量的长度‖f ‖=√12x12+8x8=14.4222>ε, 因此继续进行迭代; 第二迭代步：(f )＝[4∗x1 − 4∗x2 − 48∗x2 − 4∗x1](f （x (1)）)=[0]‖f ‖=0<ε因此不用继续计算,第一步迭代已经到达最优点;这正是牛顿法的二次收敛性;对正定二次函数,牛顿法一步即可求出最优点; 3、设有函数 fX=x 12+2x 22-2x 1x 2-4x 1,试利用极值条件求其极值点和极值; 解：首先利用极值必要条件(f )=[00]找出可能的极值点：令(f )＝[2∗x1 − 2∗x2 − 44∗x2 − 2∗x1]＝[00]求得[x1x2]=[42],是可能的极值点;再利用充分条件2(f )正定或负定确认极值点;2(f )＝[2−2−24]|2|＝2>0|2−2−24|＝8−4＝4>0 因此2(f )正定, X ∗=[x1x2]=[42]是极小点,极值为fX=-84、求目标函数f X =x 12+x 1x 2+2x 22 +4x 1+6x 2+10的极值和极值点; 解法同上5、试证明函数 f X =2x 12+5x 22 +x 32+2x 3x 2+2x 3x 1-6x 2+3在点1,1,-2T 处具有极小值; 解： 必要条件：(f )＝[ 4∗x1 + 2∗x310∗x2 + 2∗x3 − 62∗x1 + 2∗x2 + 2∗x3]将点1,1,-2T 带入上式,可得(f )＝[ 000]充分条件2(f )＝[4020102222] |4|＝4>0|40010|＝40>0|4020102222|＝80−40−16＝24>0 2(f )正定;因此函数在点1,1,-2T 处具有极小值 6、给定约束优化问题min fX=x 1-32+x 2-22 . g 1X=－x 12－x 22＋5≥0 g 2X=－x 1－2x 2＋4≥0 g 3X= x 1≥0 g 4X=x 2≥0验证在点T X ]2[，１=Kuhn-Tucker 条件成立; 解：首先,找出在点T X ]2[，１=起作用约束： g 1X ＝0 g 2X ＝0 g 3X ＝2 g 4X ＝1因此起作用约束为g 1X 、g 2X;然后,计算目标函数、起作用约束函数的梯度,检查目标函数梯度是否可以表示为起作用约束函数梯度的非负线性组合;(f )＝[2∗x1 − 6 2∗x2 − 4]＝[−2−2](g1)＝[ −2∗x1 −2∗x2]＝[−4−2], (g2)＝[−1−2]求解线性组合系数 (f )=λ1?(g1)+λ2?(g2) [−2−2]=λ1[−4−2]+λ2[−1 −2] 得到 λ1＝13,λ2=23, 均大于0因此在点T X ]2[，１=Kuhn-Tucker 条件成立 7、设非线性规划问题用K-T 条件验证[]TX 0,1*=为其约束最优点;解法同上8、已知目标函数为fX= x 1+x 2,受约束于：g 1X=-x 12+x 2≥0 g 2X=x 1≥0 写出内点罚函数; 解：内点罚函数的一般公式为其中： r 1>r 2 >r 3… >r k … >0 是一个递减的正值数列 r k＝Cr k-1, 0＜C ＜1 因此 罚函数为：(X,r(k ))=x1+x2+r(k )(1−x12+x2+1x1) 9、已知目标函数为fX= x 1-12+x 2+22受约束于：g 1X=-x 2-x 1-1≥0g 2X=2-x 1-x 2≥0 g 3X=x 1≥0 g 4X=x 2≥0试写出内点罚函数; 解法同上10、如图,有一块边长为6m 的正方形铝板,四角截去相等的边长为x 的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何截法x 取何值才能获得最大容器的箱子;试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;11、某厂生产一个容积为8000cm 3的平底无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;12、一根长l 的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序;13、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积;试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序;14、薄铁板宽20cm,折成梯形槽,求梯形侧边多长及底角多大,才会使槽的断面积最大;写出这一优化设计问题的数学模型,并用matlab软件的优化工具箱求解写出M文件和求解命令;15、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c,高度为h,面积A=64516mm2,斜边与底边的夹角为θ,见图1;管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系s只包括底边和两侧边,不计顶边;试按照使液体流速最大确定该管道的参数;写出这一优化设计问题的数学模型;并用matlab软件的优化工具箱求解写出M文件和求解命令;16、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品;力缆每米需用材料9kg,3个工时,消耗电能4kW·h,可得利润60元；话缆每米需用材料4kg,10个工时,消耗电能5kW·h,可得利润120元;若每天材料可供应360kg,有300个工时消耗电能200kW·h可利用;如要获得最大利润,每天应生产力缆、话缆各多少米写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序;。
论文
无约束最优化摘要无约束优化方法就是求n元函数的极值的方法。
无约束优化方法的研究，一方面有其实际的需要，在很多学科领域存在着大量的非线性优化问题，因此，如何快速准确地求出非线性优化问题的解成为数学工作者的一个重要课题，另一方面它也是约束优化方法研究的基础。
本论文介绍了无约束优化的基本原理，详细介绍了直接搜索法、最速下降法、线性搜索法、二次函数的最速下降法、牛顿法、拟牛顿法等算法的原理和步骤。
文章论述了各种算法的优缺点以及适用的不同条件，为解决不同的无约束优化问题提供了理论依据。
AbstractThe method of Unconstrained Optimization just is searching the minimization of a function of several variables. The researchment of method of Unconstrained Optimization has it’s actual need ,there remain a large number of nonlinear optimization problems in many subjects. So how to solve nonlinear optimization problems exactly and quickly becomes an important subject of mathematical workers. On the other hand, it is the basis of researchment of Constrained Optimization. The article has introduced the basic theory of Unconstrained Optimization and has introduced some methods’theory and algorithm detailly, including Direct Search Methods, Descent Methods, Descent Methods for Quadratic Functions, Line Search Techniques, Newton Methods, Quasi-Newton Methods. The article has discussed the adwantage and disadvantages of a variety of algorithms and provides the theory basis for solving different Unconstrained Optimization problems.引言追求最优化目标是人类共同的理想，最优化就是从众多可能方案中选出最佳方案，以达到最优目标。
内点法 有效集法-概述说明以及解释
内点法有效集法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述内点法和有效集法是数学优化领域中常用的求解非线性规划问题的方法。
非线性规划问题是在一定约束条件下，寻找目标函数取得最大或最小值的问题。
内点法和有效集法通过不同的思路和技巧，帮助我们在复杂的非线性规划问题中找到最优解。
内点法是一种基于内点思想的求解方法，其核心思想是将规划问题转化为一系列的数学规划子问题。
通过逐渐接近可行域的内部点，内点法可以逼近最优解。
实际应用中，内点法具有较好的收敛性、快速求解速度和较高的精度等优点，广泛应用于线性规划、二次规划以及非线性规划等领域。
有效集法是一种通过构造有效集来有效地处理非线性规划问题的方法。
有效集法通过寻找约束条件的紧缩有效集，将复杂的非线性规划问题转化为一系列相对简单的线性规划子问题。
有效集法在求解过程中通过动态调整约束条件，以求得更加精确的解。
该方法具有较好的求解速度和收敛性，并且可以处理带有不等式约束和等式约束的非线性规划问题。
总的来说，内点法和有效集法在非线性规划领域具有重要的应用价值。
它们通过不同的思路和方法帮助我们更高效地解决复杂的非线性规划问题。
本文将分别介绍内点法和有效集法的原理和应用领域，并对其优缺点进行总结和展望。
通过深入了解和掌握这两种方法，我们可以更好地应对和解决实际问题中的非线性规划挑战，提高优化问题的求解效率和精度。
文章结构部分的内容需要说明整篇文章的组织结构以及各个部分的内容概要。
以下是对文章结构部分内容的一种可能的描述：1.2 文章结构本文主要分为四个部分，分别是引言、内点法、有效集法和结论。
在引言部分（Section 1），将首先对本文要讨论的主题进行概述，简要介绍内点法和有效集法的背景和重要性。
随后，会对文章的结构进行概述，以帮助读者理解文章的整体内容。
接下来，第二部分是内点法（Section 2）。
我们将详细介绍内点法的原理和基本思想。
可能会涵盖如何通过将问题转化为等效问题，并引入罚函数、寻找内点等方法来解决约束优化问题。
从不同角度简述最优化问题的分类
最优化问题是数学、工程、经济等领域中常见的一个重要问题。
在实际问题中，我们常常需要寻找最优解来使得某个目标函数达到最小值或最大值。
最优化问题可分为线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划等不同类型。
接下来从不同角度简述最优化问题的分类。
一、按照目标函数的性质分类1. 线性规划线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
典型的线性规划问题包括资源分配、生产计划等。
2. 非线性规划非线性规划是指目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的最优化问题。
非线性规划在实际中应用广泛，包括工程优化、信号处理、经济学等领域。
3. 整数规划整数规划是指最优化问题中的决策变量是整数的问题。
整数规划常用于制造业的生产调度、运输与物流优化等。
二、按照优化变量的性质分类1. 连续优化问题连续优化问题是指最优化问题中的决策变量可以取任意实数值的问题。
常见的连续优化问题包括线性规划、非线性规划等。
2. 离散优化问题离散优化问题是指最优化问题中的决策变量只能取离散的数值。
典型的离散优化问题包括整数规划、组合优化、图论优化等。
三、按照约束条件的性质分类1. 约束优化问题约束优化问题是指最优化问题中存在一定的约束条件限制的问题。
约束条件可以是线性约束、非线性约束、等式约束、不等式约束等。
2. 无约束优化问题无约束优化问题是指最优化问题中不存在任何约束条件的问题。
无约束优化问题通常比较简单，但在实际中也有着重要的应用，包括函数拟合、参数估计等。
四、按照目标函数的性质分类1. 单目标优化问题单目标优化问题是指最优化问题中只有一个目标函数的问题。
在实际问题中，单目标优化问题是最常见的。
2. 多目标优化问题多目标优化问题是指最优化问题中存在多个目标函数，且这些目标函数可能彼此矛盾的问题。
多目标优化问题的解称为帕累托最优解。
最优化问题的分类可以从不同的角度进行划分，包括目标函数的性质、优化变量的性质、约束条件的性质、目标函数的性质等。
单目标多变量无约束优化问题的典型优化算法
单目标多变量无约束优化问题在工程和科学领域中广泛存在，求解这类问题需要采用有效的优化算法。
本文将介绍几种典型的优化算法，包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、粒子裙算法和遗传算法等，以帮助读者更好地理解和应用这些算法。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，通过不断沿着目标函数的负梯度方向更新参数，以最小化目标函数。
其具体步骤如下：1. 初始化参数向量x和学习率α；2. 计算目标函数的梯度g=∇f(x)；3. 更新参数向量：x=x-αg；4. 重复步骤2和步骤3，直到收敛或达到迭代次数。
梯度下降法的优点是简单易用，但也存在收敛速度慢、易陷入局部最优解等缺点。
二、牛顿法牛顿法是一种快速收敛的优化算法，其基本思想是利用目标函数的二阶导数信息加速收敛。
牛顿法的步骤如下：1. 初始化参数向量x；2. 计算目标函数的梯度g=∇f(x)和海森矩阵H=∇²f(x)；3. 更新参数向量：x=x-(H^-1)g；4. 重复步骤2和步骤3，直到收敛或达到迭代次数。
牛顿法具有快速收敛的优点，但也存在计算海森矩阵复杂、可能导致矩阵奇异等缺点。
三、拟牛顿法拟牛顿法是对牛顿法的改进，通过估计目标函数的海森矩阵来避免直接计算。
拟牛顿法的步骤如下：1. 初始化参数向量x和拟海森矩阵G；2. 计算目标函数的梯度g=∇f(x)；3. 更新参数向量：x=x-Gg；4. 更新拟海森矩阵G；5. 重复步骤2至步骤4，直到收敛或达到迭代次数。
拟牛顿法克服了牛顿法中计算海森矩阵的困难，同时具有较快的收敛速度。
四、粒子裙算法粒子裙算法是一种基于裙体智能的优化算法，模拟了鸟裙觅食的行为。
其基本思想是通过不断更新粒子的位置和速度来搜索最优解。
粒子裙算法的具体步骤如下：1. 初始化粒子的位置和速度；2. 计算目标函数值，并更新个体最优位置和全局最优位置；3. 根据个体最优位置和全局最优位置更新粒子的速度和位置；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足停止条件。
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(除非有特别说明，否则将采用欧氏范数 x = x x. 附录 A 对本书中用到的数学记号和 术语进行了详细介绍.)
3
向量 x∗ 被称为是 f 的一个 无约束的全局最小值点，是指该点的函数值不大于其他 所有点的函数值，即满足
f (x∗) f (x), ∀ x ∈ n. 无约束优化问题的局部或者全局最小值点 x∗ 被称作是 严格的，如果相应的不等式 对于 x = x∗ 都是严格成立的. 图 1.1.1 给出以上定义的图示.
在本章中，我们首先考虑如下的非线性规划问题 (其中 X = n)
minimize f (x) subject to x ∈ n.
(UP)
在后面的章节中，我们将研究 X 是 n 的子集的优化问题，其中 X 可由等式和不等式约 束给出，在大多数情况下，假定 f 是一个连续可微的函数，并且是二阶连续可微的，f 的 一阶和二阶导数在最优解的特征，即充分必要条件中发挥了重要作用，这是 1.1 节的主要 内容. 一阶和二阶导数对于计算近似最优解也是非常重要的，1.2 节～ 1.8 节将讨论这方 面的若干算法和理论.1.9 节将前几节的方法运用到了求解含有离散时间动态系统的最优 控制问题中. 虽然本章主要研究的是无约束优化问题，但是本章的内容的很多思想也是全 书其余内容的重要基础.
本书重点研究非线性规划问题的连续性特性以及相应的数学分析方法，然而，我们也 会涉及存在某些离散特性的问题. 我们将会对线性规划与非线性规划的联系进行讨论，比 如内点法和多面体的凸性 (见 2.5 节、2.6 节、4.1 节、4.4 节、B.3 节和 B.4 节).2.1 节和 5.5 节将对网络优化问题的连续特性和离散特性进行讨论 (对此类问题的更加深入的讨论 请参见本书作者网络优化专著 [Ber98]). 最后，将对求解整数规划和组合优化的主要方法 进行讨论，比如分枝定界方法和拉格朗日松弛方法，这些方法依赖于对偶性质以及连续优 化子问题的解 (见 5.5 节和 6.3 节).
非线性规划 是指目标函数 f 是非线性函数，或者约束集 X 是由非线性的等式和不 等式给定的优化问题. 这种问题属于连续优化问题. 一些其他优化问题，虽然也有各自的 特点，但是往往与非线性规划问题具有密切的关系.
线性规划 问题是指 f 是线性函数，并且 X 是由线性不等式约束给定的多面体的一类 优化问题. 这种问题具有连续优化问题的很多特性，同时它还具有组合优化的结构特性： 根据多面体表示的基本定理 [附录 B 命题 B.21(d)]，线性规划的最优解可以在多面体 X 的某个极点 (极点数目是有限的) 上取得. 因此，寻找最优解的过程是在某个有限集中进 行搜索. 实际上，最流行的线性规划问题的求解方法，即单纯形方法，就是基于这种思想 设计的. 然而，我们也注意到其他重要的线性规划的方法，比如内点法 (将在 2.6 节,4.1 节
2
以及 4.2 节中讨论) 和第 5 章、第 6 章中的其他一些对偶方法，都是基于线性规划的连续 结构和非线性规划的思想提出的.
另一类同时具有连续优化问题和离散优化问题特点的优化问题是 网络优化问题. 该类 问题的约束集 X 是由包含节点和有向弧的图定义的 n 中的多面体. 该约束集的明显特征 是其极点都具有 整数分量，而这对于通常的多面体是不成立的. 因此，很多重要的组合优 化或者整数规划问题，比如匹配问题和最短路径问题，都可以利用连续网络优化的方法求解.
最优化问题的数学模型一般可以用 约束集X 和 目标函数f 进行表示. 集合 X 包含 所有可用的决策 x，函数 f (x) 将 X 的元素映射到实数集上，表示决策 x 带来的成本损 失. 我们试图寻找一个最优的决策，即 x∗ ∈ X，并且满足
f (x∗) f (x), ∀ x ∈ X.
本书假定 x 是一个 n 维向量，即 x 是一个由实数构成的 n 元数组 (x1, · · · , xn)，因此约 束集 X 是 n 维欧氏空间 n 的子集.
局部和全局的 最大值点 的定义也是类似的，即如果 x∗ 是 −f 的无约束局部 (全局) 最小值点，那么 x∗ 是 f 的无约束局部 (全局) 最大值点.
1.1 最优性条件
虽然下面对非线性规划的最优性条件的证明比较复杂，但是其主要思想是比较容易 理解的. 因此，在这一节中，我们首先简要地对最优性条件的主要思想进行阐述，然后在 下一节再给出严格的结论及其证明.
局部最小值点与全局最小值点
向量 x∗ 被称为是 f 的一个 无约束局部最小值点，是指该点处的函数值不大于其邻 域内所有点的函数值，即存在 ε > 0 满足
离散优化问题就是非连续问题，通常其约束集 X 是有限集. 典型的离散优化问题包 含调度、路径规划以及匹配问题. 一类重要的离散问题是 整数规划，在这种问题中约束集 的变量的取值是某一范围内的整数 (比如 0 或者 1). 离散优化问题一般利用组合数学和 离散数学进行分析，同时会利用一些特殊的方法以及一些和连续优化问题相关的方法.
最优化问题是非常广泛的，包含了很多具有不同结构的重要问题. 本书主要研究非线 性规划问题. 我们将提供处理这些问题的方法，并讨论这些问题与其他优化问题之间的 联系.
最优化问题可以被分为 连续优化问题 和 离散优化问题. 连续优化问题中，约束集 X 包含无穷多个元素，并且具有“连续性”特征. 典型的连续优化问题包含无约束优化问 题，即 X = n，以及 X 是被某些等式和不等式限定的约束优化问题. 一般而言，可利用 微积分和凸函数性质来分析连续优化问题.
图 1.1.1 一维函数无约束优化问题的局部与全局最小值点.
局部和全局最小值点的定义还可以扩展到当 f 是定义在 n 的子集 X 上的函数的情 况. 即 x∗ 是 f 在 X 上的一个局部最小点值，如果 x∗ ∈ X 并且存在 ε > 0，对于所有满 足 x − x∗ < ε 的 x ∈ X，都有 f (x∗) f (x). 对于 f 在 X 上的全局最小值点和严格最 小值点的定义可以类似地给出.