反常积分审敛法

f (x) d x lim f (x) d x
a
0 a
令 x a 1 , 则有
t
b
f (x) d x lim
a
0
1
1 ba
f
(a 1) t
dt t2


1 ba
f
(a

1) t
dt t2
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
I2
xs1 exd x
1
1) 讨论 I1. 当s 1时, I1 是定积分;
当0 s 1时,
xs1 ex

1 x1s

e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较审敛法 2 知 I1 收敛.
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I2
解:
lim x2 1 lim x x 1 x2 x
1 1
1 x2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
3
例3.
判别反常积分
x2 1 1 x2
dx
的敛散性
.
解:
3

lim
x
x
1 2
x 1
2
x2

lim
x
1
x2 x
2

1
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .

f (x)d x 2
(x)d x

a
a
a
f (x) d x
可见反常积分

a
f
( x) d
x
收敛 .
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定义.
设反常积分

a
f
( x) d
x
收敛 ,
若 a
f (x)
dx 收敛 , 则称
若 a
f (x) dx 发散 , 则称
绝对收敛 ; 条件收敛 .
例4. 判断反常积分 的敛散性 .
解:
根据比
较审敛原理知 eax sin bx dx 收敛 , 故由定理5知所 a
给积分收敛 (绝对收敛) .
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二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义
b
b
的反常积分中来 .
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利用
b
a (x
1 a)q
dx

收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 , 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
q 1,
有
f
(
x)

(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
定理7. (极限审敛法2)
lim (x a)q f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别反常积分
3
1
dx ln x
的敛散性.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
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定理5.
若
f
(
x)

C
[a
,

)
,
且

a
f（x）d x收敛 ,
则反常积分

a
f
( x) d
x 收敛 .
证：令

(
x)

1 2
[
f
(
x)

f (x) ], 则 0 (x)
f (x)


a
f（x）d x收敛 ,

a

(
x)
d
x
也收敛
,
而
f (x) 2 (x) f (x)
分大时, 必有
,即
当x充
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2) 当p 1时,可取 0, 使 l 0, (l 时用任意正 数 N 代替 l ), 必有
即
注意:
此极限的大小刻画了
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d x
例2. 判别反常积分 1 x 1 x2 的敛散性 .
,
因此
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t

lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在 ,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
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定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)

M xp
p 1,
f
(x)

N xp
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例1. 判别反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分 a
f
(x) d x收敛.
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在
,
即反常积分 a
f
(x) d x收敛 .
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定理4 目录 上页 下页 返回 结束
类似定理5, 有下列结论:
ห้องสมุดไป่ตู้
若反常积分
b
a
f
(x)
dx
(a为瑕点)收敛 , 则反常积分
b
a
f
( x) d
x
收敛 ,
称为绝对收敛
.
例7. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
此处 x 0 为瑕点, 因
lim
1
x4 ln x 0,故对充分小
1
x0
的 x , 有 x4 ln x 1, 从而
的敛散性 .
解:
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的敛散性 .
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
1
ln x x
x4 ln x
1
x4

1
1
x4
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
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三、 函数
1. 定义
(s) xs1 exd x 0
(s 0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 . 令
I1
1 xs1 exd x ,
0
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C[a , ),且对充
分大的x 有 0 f (x) g(x) , 则

a
g
(
x)
dx
收敛

a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性 ,
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t
a
f
(x)dx 是
t
的单调递增有上界函数
例6. 判定椭圆积分 1 0
dx (1 x2 )(1 k 2 x2 )
(k 2 1) 的敛
散性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
1
(x 1)2
1
(1 x2 )(1 k 2x2 )
lim
1
1
x1 (1 x)(1 k 2x2 ) 2(1 k 2 )
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .