第3章静电场及其边值问题的解法

导体表面的总感应电荷
∫ ∫ ∫ Qi =
S ρsds =
2π dϕ
0
∞ 0
⎜⎛ ⎝
−
qh
2π
∑ p分子≠0
位移极化
10
取向极化
§3.2 静电场中的介质
极化强度
N
∑ pi
极化ห้องสมุดไป่ตู้度定义为介质中给定点处单位体积中电矩的矢量和： P = i=1 Δv
对于均匀、线性，各向同性的简单媒质：
式中电极化率 χe [ka:]是正实数。
P = χeε0 E
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§3.2 静电场中的介质
束缚电荷密度
极化介质对电场的影响可归结于束缚电荷所产生的影响，极化介质内取一微分
解:（a）因为电荷均匀分布于球体中，所有电场有球对称性。可应用高斯 定理求距球心r处的电场强度。取该处球面为高斯面，有：
∫ 当 r < a :
E ⋅ ds = rˆE ⋅ rˆ4πr 2 = − ρ 0 4 πr 3 , E = rˆ − ρ 0r
s
ε0 3
3ε 0
当
r>a:
E 4πr 2 = − ρ 0 4 πa 3, ε0 3
则可得： ∇⋅ D = ρv
可见，D 的源是自由电荷， D矢量线从正自由电荷出发终止于负的自由电荷。
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§3.2 静电场中的介质
作业：3.1-3，3.2-2
举例说明介质极化是如何影响电场的：
坐标原点处点电荷q在P点产生的电场为：
E
=
rˆ
q
4πε0ε
r
r
2
由上式得：
P
=
D
−ε0
E
=
rˆ
εr −1 4πεr r 2
体积元 dv′ ，其电偶极矩为 dp = Pdv′，产生的电位为(P70)：
( ) ( ) dφ r
=
P r′ ⋅ Rˆ
4πε 0 R 2
dv′,
R = r − r′
则体积v中的所有电矩在场点产生的电位为：
( ) ( ) ∫ φ r
=1
4πε0
v
P
r′ ⋅ R2
Rˆ
dv′
( ) 由式
∇ ′⎜⎛ 1 ⎟⎞ = ⎝R⎠
微分形式
∇×E =0
∇⋅D = ρv ∇⋅E = ρv ε
积分形式
∫l E ⋅ dl = 0 ∫l D ⋅ ds = Q ∫l E ⋅ ds = Q ε
第三个仅适用于简单媒质，其中
D =εE
2
§3.1 静电场基本方程与电位方程
二、电位定义
1）电位的引出
∵∇×E =0 根据矢量恒等式 ∇×∇φ = 0 ∴ E = −∇ φ
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§ 3.6 镜像法
一、导体平面附近的点电荷
设一无限大接地导体平面附近有一点电荷q，它与导体板的垂直距离是h，如图。 现求（1）导体上方（即z>0的空间）的电位分布；（2）导体表面的感应电荷。
z
p(x, y, z)
z
p(x, y, z)
q
ε
h
x
q
ε
h
ε
0
x
h
q′
q
′
(1)设想将导体板抽去，使整个空间充满同一种媒质，在与原来点电荷对称
Rˆ R2
，并利用矢量恒等式
∇ ⋅ φ A = φ∇ ⋅ A + A⋅∇φ
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§3.2 静电场中的介质
可将电位中的积分分为两项：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ φ r
∫ ∫ = 1
4πε 0
∇′
v
⋅
⎜⎜⎝⎛
P r′ R
⎟⎟⎠⎞dv′ −
1 4πε 0
∇′⋅ P r′ dv′ vR
∇⋅E
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2
− ρ0r 3ε 0
⎟⎟⎠⎞
=
− ρ0 ε0
,
当
r >a:
∇⋅E
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2
− ρ0a3 3ε 0 r 2
⎟⎟⎠⎞
=
0,
（c）取 r → ∞处为电位参考点，得
得证。 得证。
当
∫ ∫ ∫ r < a :
φ=
∞
Edr
r
=
a − ρ 0 r dr + r 3ε 0
§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
一、静电场边值问题
电位方程
∇2φ = −ρv ε
电位边界条件
两种介质分界处
ϕ1
= ϕ2、ε1
∂ϕ1 ∂n
=
ε2
∂ϕ2 ∂n
导体介质分界处
ϕ1
=
Cons.、ε
1
∂ϕ1 ∂n
=
−ρs
证明见P83
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§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
分布型问题
给定场源分布，求任意点
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§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
边值型问 题解法
计算法 实验法
解析法 数值法
镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法
…
有限差分法 有限元法 矩量法
…
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§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
二、惟一性定律
对于任一静电场，若整个边界上的边界条件给定(可能给出一部分 边界上的位函数，另一部分边界上位函数的法向导数)，则空间中的场 就惟一地确定了。
故对z=0平面上任意点有 (R = R′ = R0 ):
φ = q + q′ = 0 得 q′ = −q 4πεR0
φ
=
q
4πε
⎛ ⎜⎝
1 R
−
1⎞ R′ ⎟⎠
=
q
4πε
⎡ ⎢ ⎢⎣
1
−
x2 + y2 + (z − h)2
1
⎤ ⎥
x 2 + y 2 + ( z + h)2 ⎥⎦
可见，引入镜像电荷 q′ = −q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，
三、电位方程
根据静电场的基本方程 ∇⋅E = ρv ε ，以及 E = −∇ φ ，得泊松方程：
∇2φ = − ρv ε
( ) 在无界均匀媒质中，当体积V中有体电荷密度
方程的解为：
ρv r′
分布时，泊松
( ) ( ) ∫ φ r′ = 1 ρv r′ dv′ , R =| r − r′ | 4πε v R
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§3.1 静电场基本方程与电位方程
（d）采用球坐标拉普拉斯表示式，因 φ 只是r函数，得
当
r<a:
∇ 2φ
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎛ r 2 ⎝
∂φ ∂r
⎟⎞ ⎠
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2 2
ρ0r 6ε 0
⎟⎟⎠⎞
=
− ρv ε0
,
当
r>a:
∇ 2φ
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2
− ρ0a3 3ε 0r 2
满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，这就是静电 场惟一性定律。
惟一性定律为静电场问题的多种解法(解析解、数值解等）提供了思 路及理论根据。
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§3.6 镜像法
镜像法:
用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质 空间，使计算简化。
要点：
确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原电荷共同产生的场 保持原有边界条件不变，根据惟一性定律，所得的解是惟一的。
或
φr
=1 4πε 0
P r′ ⋅ nˆ′ ds′ − 1
sR
4πε 0
∇′⋅ P r′ dv′ vR
将两式与3.1节中的电位式比较，得一般形式：
( ) ( ) ( ) ( ) ρs′ r = nˆ ⋅ P r = Pn ρv′ r = −∇⋅ P r
由上式可得体束缚电荷： Q′ = −∫sP ⋅ ds
E
=
rˆ
− ρ0a3 3ε 0r 2
（b）采用球坐标旋度和散度表示式，因 E只有 rˆ分量且只是 r的函数得
∇ × E = θˆ 1 ∂Er − ϕˆ 1 ∂Er = 0, r sin θ ∂ϕ r ∂θ
得证。
( ) ∇
⋅
E
=
1 r2
∂ ∂r
r 2 Er
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§3.1 静电场基本方程与电位方程
当
r < a:
式中负号表示电场强度从高电位指向低电位。 2）已知电荷分布求电位
定义式中 φ不是单值的，任加一常数C都有 ∇(φ +C) = ∇φ ，但任意两点间的
电位差是不变的：
∫ ∫ ∫ ∫ φ A − φB =
A
d
φ
=
B
A
∇
φ
⋅ dl
=
−
A
E ⋅ dl =
B
B
B
E ⋅ dl
A
可见，A、B两点间的电位差等于电场强度 E 从A点到B点沿任意路径的线积分。
为了用单值的电位描述电场，需要选定电位参考点（零点）。
3
§3.1 静电场基本方程与电位方程
电位参考点的选择原则：
y 同一个问题只能选择一个参考点 y 当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处为零电位点 y 当电荷分布在无穷远处时，通常选择有限远处为零电位点
在点电荷的电场中，选择无穷远处为电位参考点P，则任意点A的电位为：
∫ ∫ ∫ φA = φA −φP =