第3章静电场及其边值问题的解法

∇⋅E
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2
− ρ0r 3ε 0
⎟⎟⎠⎞
=
− ρ0 ε0
,
当
r >a:
∇⋅E
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2
− ρ0a3 3ε 0 r 2
⎟⎟⎠⎞
=
0,
（c）取 r → ∞处为电位参考点，得
得证。 得证。
当
∫ ∫ ∫ r < a :
φ=
∞
Edr
r
=
a − ρ 0 r dr + r 3ε 0
满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，这就是静电 场惟一性定律。
惟一性定律为静电场问题的多种解法(解析解、数值解等）提供了思 路及理论根据。
19
§3.6 镜像法
镜像法:
用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质 空间，使计算简化。
要点：
确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原电荷共同产生的场 保持原有边界条件不变，根据惟一性定律，所得的解是惟一的。
第3章 静电场及其边值问题解法
本章先研究静电场的电位方程和介质特性。
本章还将介绍两种求解静电场边值问题的方法。
主要内容
静电场与电位方程
静电场的介质 镜像法 分离变量法
§3.1 静电场基本方程与电位方程
一、静电场基本方程
静电场的场源电荷和所有场量都不随时间变化，只是空间坐标的函数。
由麦克斯韦方程组得静电场基本方程：
解:（a）因为电荷均匀分布于球体中，所有电场有球对称性。可应用高斯 定理求距球心r处的电场强度。取该处球面为高斯面，有：
∫ 当 r < a :
E ⋅ ds = rˆE ⋅ rˆ4πr 2 = − ρ 0 4 πr 3 , E = rˆ − ρ 0r
s
ε0 3
3ε 0
当
r>a:
E 4πr 2 = − ρ 0 4 πa 3, ε0 3
为了用单值的电位描述电场，需要选定电位参考点（零点）。
3
§3.1 静电场基本方程与电位方程
电位参考点的选择原则：
y 同一个问题只能选择一个参考点 y 当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处为零电位点 y 当电荷分布在无穷远处时，通常选择有限远处为零电位点
在点电荷的电场中，选择无穷远处为电位参考点P，则任意点A的电位为：
E
=
rˆ
− ρ0a3 3ε 0r 2
（b）采用球坐标旋度和散度表示式，因 E只有 rˆ分量且只是 r的函数得
∇ × E = θˆ 1 ∂Er − ϕˆ 1 ∂Er = 0, r sin θ ∂ϕ r ∂θ
得证。
( ) ∇
⋅
E
=
1 r2
∂ ∂r
r 2 Er
7
§3.1 静电场基本方程与电位方程
当
r < a:
q
则在紧贴q的表面上，总的面束缚电荷量为：
lim lim Q′ = 4πr2nˆ ⋅ P = 4πr2(− rˆ)⋅ P = − εr −1q
r→0
r→0
εr
此时产生电场的总电荷量减少为：q′ = q +Q′ = q − εr −1q = q
εr
εr
可见，正是总电荷量由真空时的q 减少至 q′ =q εr ，从而使电场也减弱至 1 εr 。 15
的位置上放置q’的镜像点电荷来代替原导体平板上的感应电荷。
*在z>0的空间任一点p(x,y,z)的电位就等于原点电荷q和镜像q’所产生电位的总和。
21
§ 3.6 镜像法
z
p(x, y, z)
q
ε
h
x
* 选无穷远处为参考点，则在z>0的空间任一点p的总电位是：
φ
=
q
4πε R
+ q′
4πε R ′
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
r 3ε 0
6ε 0
当
∫ ∫ r > a :
φ=
a r
− ρ0a3 3ε 0 r 2
dr
+
0 − ρ 0 r dr = − ρ 0 a 3 + ρ 0 a 2
a 3ε 0
3ε 0 r
2ε 0
由上可见，电位参考点取得不同，电位值仅差一常数 − ρ0a2 2ε0 ，它是以 r → ∞ 处为零电位时球心（r=0）处的电位。
8
§3.1 静电场基本方程与电位方程
（d）采用球坐标拉普拉斯表示式，因 φ 只是r函数，得
当
r<a:
∇ 2φ
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎛ r 2 ⎝
∂φ ∂r
⎟⎞ ⎠
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2 2
ρ0r 6ε 0
⎟⎟⎠⎞
=
− ρv ε0
,
当
r>a:
∇ 2φ
=
1 r2
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛ r 2
− ρ0a3 3ε 0r 2
三、电位方程
根据静电场的基本方程 ∇⋅E = ρv ε ，以及 E = −∇ φ ，得泊松方程：
∇2φ = − ρv ε
( ) 在无界均匀媒质中，当体积V中有体电荷密度
方程的解为：
ρv r′
分布时，泊松
( ) ( ) ∫ φ r′ = 1 ρv r′ dv′ , R =| r − r′ | 4πε v R
体积元 dv′ ，其电偶极矩为 dp = Pdv′，产生的电位为(P70)：
( ) ( ) dφ r
=
P r′ ⋅ Rˆ
4πε 0 R 2
dv′,
R = r − r′
则体积v中的所有电矩在场点产生的电位为：
( ) ( ) ∫ φ r
=1
4πε0
v
P
r′ ⋅ R2
Rˆ
dv′
( ) 由式
∇ ′⎜⎛ 1 ⎟⎞ = ⎝R⎠
⎟⎟⎠⎞
=
0,
得证。
得证。
9
§3.2 静电场中的介质
一、介质的极化
理想的电介质内部没有自由电子，其电子被原子核紧紧束缚于其周围，这些电子不 会自由运动，称这些电荷为束缚电荷。
无极分子
有极分子
E0 = 0
±±±±± ±±±±±
± ±± ±±
∑ p分子 = 0
↘↗↙→← ↓→↗↘↙ ↙↓↙↗↘
E0 ≠ 0
因此，任一极化介质区域内部的体束缚电荷总量与其表面的总束缚电荷是等值 异性的，介质整体呈电中性。
13
§3.2 静电场中的介质
二、介质中的高斯定理，相对介电常数
介质中的高斯定理： ∇ ⋅ E = ρv + ρv′ ε0
( ) 将ρv′ 带入可得： ∇⋅ ε0E+P = ρv
定义电通量密度： D = ε0 E + P = ε0(1+ χe )E = ε E 式中： ε =ε0εr, εr =1+χe
故对z=0平面上任意点有 (R = R′ = R0 ):
φ = q + q′ = 0 得 q′ = −q 4πεR0
φ
=
q
4πε
⎛ ⎜⎝
1 R
−
1⎞ R′ ⎟⎠
=
q
4πε
⎡ ⎢ ⎢⎣
1
−
x2 + y2 + (z − h)2
1
⎤ ⎥
x 2 + y 2 + ( z + h)2 ⎥⎦
可见，引入镜像电荷 q′ = −q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，
则可得： ∇⋅ D = ρv
可见，D 的源是自由电荷， D矢量线从正自由电荷出发终止于负的自由电荷。
14
§3.2 静电场中的介质
作业：3.1-3，3.2-2
举例说明介质极化是如何影响电场的：
坐标原点处点电荷q在P点产生的电场为：
E
=
rˆ
q
4πε0ε
r
r
2
由上式得：
P
=
D
−ε0
E
=
rˆ
εr −1 4πεr r 2
( ) ( ) ∫ φ r ′ = 1
ρv r′ dv′
4πε 0 v R
( ) ( ) ∫ φ r ′ = 1
ρ s r′ ds′
4πε 0 s R
( ) ( ) ∫ φ r ′ = 1
ρl r′ dl′
4πε 0 l R
式中 R =| r − r′ | ，为源点至场点的距离。
5
§3.1 静电场基本方程与电位方程
§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
一、静电场边值问题
电位方程
∇2φ = −ρv ε
电位边界条件
两种介质分界处
ϕ1
= ϕ2、ε1
∂ϕ1 ∂n
=
ε2
∂ϕ2 ∂n
导体介质分界处
ϕ1
=
Cons.、ε
1
∂ϕ1 ∂n
=
−ρs
证明见P83
16
§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
分布型问题
给定场源分布，求任意点
导体表面的总感应电荷
∫ ∫ ∫ Qi =
S ρsds =
2π dϕ
0
∞ 0
⎜⎛ ⎝
−
qh
2π
证明：见P.66-67
在无源区，泊松方程化为拉普拉斯方程： ∇2φ =0
6
§3.1 静电场基本方程与电位方程
例3-1 空气中有一个半径为a的球形电子云，其中均匀分布着体电荷密度为
ρv ( = −ρ0 C m3 ) 的电荷，求：
（a）球内外的电场强度； （b）验证静电场的两个基本方程； （c）球内外的电位分布； （d）验证静电场的电位方程。
∫ ∫ ∫ φA = φA −φP =
∞
E ⋅ dl =
A
∞q
R 4πε0R2
Rˆ ⋅ dR
=
q
4πε0
∞dR = q
R R2 4πε0R
当有限空间中有N个点电荷时，由叠加原理得：
∑ φA
=1
4πε0
N i=1
qi Ri
4
§3.1 静电场基本方程与电位方程
( ) ( ) ( ) 对密度分布为 ρ v r′ 、 ρs r′ 、 ρl r′ 的体电荷、面电荷和线电荷，分别有：
或
φr
=1 4πε 0
P r′ ⋅ nˆ′ ds′ − 1
sR
4πε 0
∇′⋅ P r′ dv′ vR
将两式与3.1节中的电位式比较，得一般形式：
( ) ( ) ( ) ( ) ρs′ r = nˆ ⋅ P r = Pn ρv′ r = −∇⋅ P r
由上式可得体束缚电荷： Q′ = −∫sP ⋅ ds
∑ p分子≠0
位移极化
10
取向极化
§3.2 静电场中的介质
极化强度
N
∑ pi
极化强度定义为介质中给定点处单位体积中电矩的矢量和： P = i=1 Δv
对于均匀、线性，各向同性的简单媒质：
式中电极化率 χe [ka:]是正实数。
P = χeε0 E
11
§3.2 静电场中的介质
束缚电荷密度
极化介质对电场的影响可归结于束缚电荷所产生的影响，极化介质内取一微分
20
§ 3.6 镜像法
一、导体平面附近的点电荷
设一无限大接地导体平面附近有一点电荷q，它与导体板的垂直距离是h，如图。 现求（1）导体上方（即z>0的空间）的电位分布；（2）导体表面的感应电荷。
z
p(x, y, z)
z
p(x, y, z)
q
ε
h
x
q
ε
h
ε
0
x
h
q′
q
′
(1)设想将导体板抽去，使整个空间充满同一种媒质，在与原来点电荷对称
Rˆ R2
，并利用矢量恒等式
∇ ⋅ φ A = φ∇ ⋅ A + A⋅∇φ
12
§3.2 静电场中的介质
可将电位中的积分分为两项：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ φ r
∫ ∫ = 1
4πε 0
∇′
v
⋅
⎜⎜⎝⎛
P r′ R
⎟⎟⎠⎞dv′ −
1 4πε 0
∇′⋅ P r′ dv′ vR
式中负号表示电场强度从高电位指向低电位。 2）已知电荷分布求电位
定义式中 φ不是单值的，任加一常数C都有 ∇(φ +C) = ∇φ ，但任意两点间的
电位差是不变的：
∫ ∫ ∫ ∫ φ A − φB =
A
d
φ
=
B
A
∇
φ
⋅ dl
=
−
A
E ⋅ dl =
B
B
B
E ⋅ dl
A
可见，A、B两点间的电位差等于电场强度 E 从A点到B点沿任意路径的线积分。
微分形式
∇×E =0
∇⋅D = ρv ∇⋅E = ρv ε
积分形式
∫l E ⋅ dl = 0 ∫l D ⋅ ds = Q ∫l E ⋅ ds = Q ε
第三个仅适用于简单媒质，其中
D =εE
2
§3.1 静电场基本方程与电位方程
二、电位定义
1）电位的引出
∵∇×E =0 根据矢量恒等式 ∇×∇φ = 0 ∴ E = −∇ φ
未改变所求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一
性定律知结果正确。 注意：仅对上半空间等效。
22
§ 3.6 镜像法
（2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：
( ) ρs
= −ε ∂φ
∂n
z=0
= −ε ∂φ
∂z
z=0
=−
2π
qh x2 + y2 + h2
3 2
静
场强或位函数
态
场
第一类
问
边界条件
题
边值型问题
给定边界条件，求任意点 位函数或场强
第二类 边界条件
第三类 边界条件
已知场域边界上各点 电位值
ϕ s = f1 (s )
已知场域边界上各点
电位的法向导数
∂ϕ ∂n
s
=
f 2 (s )
一、二类边界条件的
线性组合
ϕ s1
=
Fra Baidu bibliotek
f3 (s )
∂ϕ ∂n
s2
=
f 4 (s )
17
§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
边值型问 题解法
计算法 实验法
解析法 数值法
镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法
…
有限差分法 有限元法 矩量法
…
18
§3.5 静电场边值问题，惟一性定律
二、惟一性定律
对于任一静电场，若整个边界上的边界条件给定(可能给出一部分 边界上的位函数，另一部分边界上位函数的法向导数)，则空间中的场 就惟一地确定了。
∞ a
− ρ0a3 3ε 0 r 2
dr
=
ρ0r 2 6ε 0
−
ρ0a2 2ε 0
当
∫ ∫ r > a :
φ=
∞
Edr
r
=−
∞ a
− ρ0a3 3ε 0 r 2
dr
= − ρ0a3 3ε 0 r
若取r=0处为电位参考点，则得
∫ 当 r < a : φ = 0 − ρ 0 r dr = ρ 0 r 2