二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题

二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数
1.(201４•北京)在平面直角坐标系xＯy中，抛物线ｙ=2x2+mx＋n经过点Ａ(0,﹣2）,Ｂ（3,４).
(1)求抛物线得表达式及对称轴;
（2)设点B关于原点得对称点为C,点D就是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A，B之间得部分为图象G（包含A，B两点).若直线CD 与图象Ｇ有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t得取值范围.
考点: 待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式;二次函数得最值.
专题: 计算题.
分析:(1)将A与Ｂ坐标代入抛物线解析式求出m与ｎ得值,确定出抛物线解析式，求出对称轴即可;
(２)由题意确定出C坐标,以及二次函数得最小值,确定出D纵坐标得最小值,求出直线BC解析式,令x=１求出ｙ得值,即可确定出t得范围.
解答:解:(1）∵抛物线y＝2x2+ｍx+n经过点A（0，﹣2),Ｂ（3,4），
代入得:,
解得:，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣4ｘ﹣２,对称轴为直线ｘ=1;
(2)由题意得:C（﹣3，﹣4),二次函数y＝2x2﹣4x﹣2得最小值为﹣４,
由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4,
设直线BC解析式为ｙ=kx+b,
将B与C坐标代入得:,
解得:k=，ｂ＝0,
∴直线BＣ解析式为y=x,
当x=1时,y=,
则t得范围为﹣4≤ｔ≤.
点评:此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式,以及函数得最值,熟练掌握待定系数法就是解本题得关键.
2.（2011•石景山区二模)已知:抛物线与x轴交于Ａ(﹣２，0)、B(4，0)，与y轴交于C(0,4).
（1)求抛物线顶点D得坐标;
(２)设直线ＣD交ｘ轴于点Ｅ,过点Ｂ作ｘ轴得垂线,交直线CD于点Ｆ,将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段EＦ总有公共点.试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？
考点：二次函数图象与几何变换；二次函数得性质;待定系数法求二次函数解析式．
专题: 探究型.
分析:(1)先设出过A(﹣２,０)、B(4，0）两点得抛物线得解析式为y＝a(ｘ＋2)(x﹣4),再根据抛物线与y轴得交点坐标即可求出a得值,进而得出此抛物线得解析式;
(２）先用待定系数法求出直线ＣD解析式，再根据抛物线平移得法则得到(１)中抛物线向下平移m各单位所得抛物线得解析式，再将此解析式与直线CD得解析式联立,根据两函数图象有交点即可求出ｍ得取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位;同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位.
解答：解：(1）设抛物线解析式为y=a(x+2）（x﹣4),
∵C点坐标为(0,4),
∴a=﹣，（1分)
∴解析式为y=﹣ｘ2+x＋４，
顶点Ｄ坐标为（1，);（２分)
(2)直线CＤ解析式为y＝kx+b.
则，，
∴,
∴直线ＣD解析式为y=ｘ+４,(3分)
∴E（﹣８,０）,F(4,6),
若抛物线向下移ｍ个单位,其解析式y＝﹣x2＋x+4﹣m(m>0),
由消去y，得﹣x2+x﹣m＝0,
∵△＝﹣2m≥０，
∴0<m≤,
∴向下最多可平移个单位.(５分）
若抛物线向上移ｍ个单位,其解析式y=﹣x2+ｘ＋4+m(m＞０),
方法一:当ｘ=﹣8时，ｙ＝﹣3６+ｍ,
当x=４时,y＝m,
要使抛物线与EF有公共点,则﹣36+m≤0或m≤6,
∴0<m≤3６;(７分)
方法二:当平移后得抛物线过点E(﹣8，0）时，解得m=３6，
当平移后得抛物线过点F(４,6）时,m=6,
由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度,(７分)
综上,要使抛物线与ＥＦ有公共点，向上最多可平移3６个单位,向下最多可平移个单位．
点评:本题考查得就是二次函数得图象与几何变换,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数得解析式、二次函数与一次函数得交点问题,有一定得难度．
３.(2013•丰台区一模）二次函数ｙ=x２＋bx+c得图象如图所示,其顶点坐标为Ｍ（1，﹣4)．
（１)求二次函数得解析式；
(2）将二次函数得图象在ｘ轴下方得部分沿ｘ轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象,请您结合新图象回答:当直线y=x＋n与这个新图象有两个公共点时,求ｎ得取值范围.
考点：待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象与几何变换.
分析:（1）确定二次函数得顶点式，即可得出二次函数得解析式.
(2）求出两个边界点,继而可得出n得取值范围.
解答:解:(１)因为M(1,﹣4)就是二次函数y=(x+ｍ）2+k得顶点坐标,
所以y=(x﹣１)２﹣4=x２﹣2x﹣3,
(2)令x2﹣２x﹣３=０,
解之得:x１=﹣1，x2=3,
故A,B两点得坐标分别为A(﹣１,0),Ｂ(3,0).
如图,当直线y＝x+n(ｎ＜1)，
经过A点时,可得ｎ=1，
当直线y=x＋n经过Ｂ点时,
可得n=﹣3，
∴ｎ得取值范围为﹣3<n＜1,
翻折后得二次函数解析式为二次函数y＝﹣x２+２x+3
当直线y＝x＋n与二次函数y=﹣x２+2x+３得图象只有一个交点时,
x+n=﹣x2+2x+3，
整理得:x2﹣x+n﹣3=0,
△=b２﹣4aｃ＝1﹣4(ｎ﹣3)=１3﹣4n=０，
解得:n＝,
∴n得取值范围为:n>，
由图可知,符合题意得ｎ得取值范围为:n＞或﹣3＜n＜１．
点评:本题考查了待定系数法求二次函数解析式得知识,难点在第二问,关键就是求出边界点时n得值．
4.(2009•北京)已知关于x得一元二次方程2x2＋４ｘ+k﹣1=0有实数根，k为正整数．
(1)求k得值;
(2)当此方程有两个非零得整数根时,将关于ｘ得二次函数y=2x２+4x+k﹣１得图象向下平移８个单位，求平移后得图象得解析式;
(3)在（2)得条件下,将平移后得二次函数得图象在x轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答:当直线y=x+b(ｂ<k）与此图象有两个公共点时,ｂ得取值范围.
考点: 二次函数综合题.
专题：综合题.
分析：(1）综合根得判别式及k得要求求出ｋ得取值;
(2)对ｋ得取值进行一一验证,求出符合要求得k值,再结合抛物线平移得规律写出其平移后得解析式；
（３)求出新抛物线与x轴得交点坐标,再分别求出直线y=x+b经过点Ａ、B时得b得取值，进而求出其取值范围.本题第二问就是难点，主要就是不会借助计算淘汰不合题意得ｋ值.
解答：解：(１)由题意得,△=1６﹣８(k﹣１)≥0.
∴k≤3.
∵ｋ为正整数,
∴ｋ=1,２,3;
(2)设方程２x2+4x+ｋ﹣1=0得两根为x１,x２,则
x１＋ｘ２＝﹣２,ｘ１•x２=．
当ｋ＝1时,方程2ｘ２+４ｘ+k﹣１=0有一个根为零;
当k=2时,x1•x2=,方程２x２+4ｘ+k﹣１=０没有两个不同得非零整数根;
当k=３时,方程2x2+4ｘ＋k﹣1=0有两个相同得非零实数根﹣１.
综上所述,ｋ＝1与k=２不合题意,舍去,k=3符合题意.
当k=3时，二次函数为ｙ=2ｘ２+４x+2,把它得图象向下平移8个单位得到得图象得解析式为y＝2x2＋4x﹣6；
(3）设二次函数y=2ｘ2＋4ｘ﹣6得图象与ｘ轴交于Ａ、B两点,则A(﹣3，0),B(１，0).
依题意翻折后得图象如图所示.
当直线y=x+ｂ经过A点时,可得b=；
当直线ｙ=x＋b经过B点时,可得b=﹣．
由图象可知,符合题意得b(b＜３)得取值范围为<b＜.
（３)依图象得，要图象y=ｘ+ｂ（b小于k)与二次函数图象有两个公共点时，显然有两段.
而因式分解得y=2x2＋4x﹣６＝2(x﹣１)(x+３）,
第一段,当y=x＋b过（1,0)时,有一个交点,此时b=﹣.
当ｙ=x+ｂ过(﹣３,0)时,有三个交点，此时b=.而在此中间即为两个交点,此时﹣＜b＜.
第二段,将平移后得二次函数得图象在ｘ轴下方得部分沿ｘ轴翻折后,
开口向下得部分得函数解析式为y=﹣２（x﹣1)（x+3）．显然,
当y＝x+b与y=﹣2(x﹣1)(ｘ+3）(﹣３＜ｘ＜1)相切时，y=x＋ｂ与这个二次函数图象有三个交点,若直线再向上移,则只有两个交点.
因为b<3,而ｙ=ｘ+b(ｂ小于ｋ,k＝3),所以当ｂ＝３时,将y=ｘ+3代入二次函数y=﹣2（ｘ﹣１)（x+3)整理得, 4x2+9x﹣6=0,△>０,所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合得二次函数图象相交只有两个公共点.
这种情况故舍去.
综上,﹣<ｂ＜.
点评:考查知识点：一元二次方程根得判别式、二次函数及函数图象得平移与翻折,最后还考到了与一次函数得结合等问题.不错得题目,难度不大,综合性强,考查面广,似乎就是一个趋势或热点.
5.(2012•东城区二模）已知关于x得方程(１﹣m)x2+(4﹣m)x+3＝0.
(1）若方程有两个不相等得实数根，求ｍ得取值范围;
（2)若正整数m满足８﹣2m>2，设二次函数y＝(1﹣ｍ)x２+(4﹣m）x＋3得图象与x轴交于Ａ、Ｂ两点，将此图象在x轴下方得部分沿ｘ轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答:当直线y=k ｘ+3与此图象恰好有三个公共点时,求出ｋ得值（只需要求出两个满足题意得ｋ值即可).
考点：二次函数综合题.
分析:(1)根据方程有两个不相等得实数根,由一元二次方程得定义与根得判别式可求m得取值范围;
(2)先求出正整数m得值,从而确定二次函数得解析式，得到解析式与x轴交点得坐标,由图象可知符合题意
得直线y=kx＋3经过点A、B.从而求出k得值．
解答:解:(1)△＝(4﹣m)2﹣12（1﹣m)=（ｍ+2)2,
由题意得,（m+2）２＞0且1﹣m≠０.
故符合题意得m得取值范围就是m≠﹣2且m≠１得一切实数.
(2)∵正整数m满足8﹣2ｍ＞2,
∴m可取得值为1与2.
又∵二次函数ｙ=(1﹣m)x2+(4﹣m)ｘ+3，
∴ｍ=2.…（4分)
∴二次函数为ｙ＝﹣x2+2x+3.
∴A点、B点得坐标分别为(﹣1,0)、(３,０）.
依题意翻折后得图象如图所示.
由图象可知符合题意得直线y=kｘ＋３经过点Ａ、B.
可求出此时ｋ得值分别为3或﹣１.…(7分)
注:若学生利用直线与抛物线相切求出k＝2也就是符合题意得答案.
点评:本题考查了二次函数综合题.(1)考查了一元二次方程根得情况与判别式△得关系:△＞０⇔方程有两个不相
等得实数根.(2)得到符合题意得直线y=kｘ+３经过点A、B就是解题得关键.
6.在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣x2+mx＋m2﹣３m+2与ｘ轴得交点分别为原点O与点A,点B(4,n）在这条抛物线上.
(1)求B点得坐标;
(2）将此抛物线得图象向上平移个单位，求平移后得图象得解析式;
(3)在(2)得条件下，将平移后得二次函数得图象在ｘ轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变，得到一个新得图象．请您结合这个新得图象回答:当直线y＝ｘ+b与此图象有两个公共点时,b得取值范围．
考点: 二次函数综合题.
专题：压轴题.
分析：(1）把原点坐标代入抛物线,解关于ｍ得一元二次方程得到m得值,再根据二次项系数不等于0确定出函数解析式,再把点B坐标代入函数解析式求出n得值,即可得解;
(2)根据向上平移纵坐标加解答即可;
（3)把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉y得到关于x得一元二次方程,根据△=0求出ｂ得值，然后令y=０求出抛物线与ｘ轴得交点坐标,再求出直线经过抛物线与x轴左边交点得ｂ值，然后根据图形写出b得取值范围即可.
解答：解:(1)∵抛物线经过原点O,
∴m2﹣3ｍ+2=0,
解得m１＝１，m2=2,
当m=１时，﹣＝﹣＝０,
∴m=2,
∴抛物线得解析式为y＝﹣x2+３ｘ,
∵点Ｂ（4,n)在这条抛物线上，
∴n=﹣×42+3×４=﹣8+12=４,
∴点B（４，4)；
（2)∵抛物线得图象向上平移个单位，
∴平移后得图象得解析式y=﹣ｘ2+3ｘ+;
(3)联立，
消掉ｙ得，﹣ｘ2+３ｘ+=x+b,
整理得,x2﹣5x+2b﹣７＝0,
△=（﹣５)２﹣４×1×(2ｂ﹣7)=0，
解得b=,
令ｙ=0，则﹣x２＋３ｘ＋＝0,
整理得，x2﹣６ｘ﹣７＝0,
解得x1=﹣1,x2=7,
∴抛物线与x轴左边得交点为（﹣1,０),
当直线y=x+b经过点(﹣１,0)时，×(﹣１)+ｂ=0,
解得b=,
∴当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b得取值范围为b>或ｂ<．
点评:本题就是二次函数综合题,主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点得坐标特征,二次函数图象与几何变换,难点在于(３）求出直线与抛物线有三个交点时得b值,作出图形更形象直观.
7.关于x得二次函数ｙ=x2＋2ｘ+ｋ﹣1得图象与ｘ轴有交点，k为正整数.
（１)求k得值；
(2)当关于x得二次函数y＝ｘ2＋２x+k﹣１与x轴得交点得横坐标均就是负整数时,将关于x得二次函数ｙ=ｘ2+２ｘ+k﹣１得图象向下平移4个单位,求平移后得图象得解析式;
(3)在(2)得条件下，将平移后得二次函数得图象在x轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答:当直线y＝（ｂ<3)与此图象有两个公共点时,b得取值范围.
考点: 二次函数综合题.
分析:（１）综合根得判别式及k得要求,求出k得取值;
(2)对k得取值进行一一验证，求出符合要求得k值，再结合抛物线平移得规律写出其平移后得解析式;
(3)求出新抛物线与ｘ轴得交点坐标,再分别求出直线y=x+b经过点A、B时得b得取值,进而求出其取值范围. 解答：解:(1)由题意得，△=4﹣4(k﹣1)≥0．
∴k≤２.
∵ｋ为正整数,
∴k=1,2；
(2）设方程x2＋2x+k﹣1=０得两根为x1,x2,则
ｘ1+x2=﹣2,x１•x２＝k﹣1．
当k＝1时,图象y=x２+２x＋k﹣1与x轴有一个交点为(0,0）,不合题意;
当k＝２时，图象y=ｘ2+2x+k﹣1与x轴有一个交点为（﹣1,0),符合题意;
综上所述,k＝２符合题意.
当k=２时,二次函数为y=x２+2ｘ+１，把它得图象向下平移4个单位得到得图象得解析式为:y=x2+2x﹣3；
(3)设二次函数y＝x2+2ｘ﹣3得图象与x轴交于A、B两点，则Ａ(﹣3，０）,B(１，0)．
依题意翻折后得图象如图所示.
当直线y=x+b经过A点时,可得b＝;
当直线y=x+ｂ经过B点时,可得b=﹣.
由图象可知,符合题意得b(b＜3）得取值范围为:﹣＜b<.
点评:此题主要考查了一元二次方程根得判别式、二次函数及函数图象得平移与翻折，最后还考到了与一次函数得结合等问题．不错得题目,难度不大，综合性强．
8．（2014•东城区一模)已知:关于ｘ得一元二次方程mx２﹣(4m+1)x+3m+３=０(m>1)．
（1)求证:方程有两个不相等得实数根;
(2)设方程得两个实数根分别为x１,x2(其中x1>x2),若y就是关于m得函数,且y＝ｘ1﹣3x2,求这个函数得解析式; （３）将(2）中所得得函数得图象在直线ｍ=2得左侧部分沿直线m=２翻折,图象得其余部分保持不变，得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答：当关于m得函数y=2ｍ+b得图象与此图象有两个公共点时,b得取值范围．
考点: 一次函数综合题.
专题：压轴题．
分析:(1)列式表示出根得判别式△,再根据△＞０,方程有两个不相等得实数根证明;
（２）利用求根公式法求出ｘ１、x2，然后代入关系式整理即可得解；
(３)作出函数图象，然后求出m=2时得函数值与以及m=１时得翻折图象得对应点得坐标，再代入直线解析式求出b值,然后结合图形写出b得取值范围即可.
解答:(1)证明：△=(4m+１)2﹣4ｍ(3m＋３)＝４ｍ２﹣4m+1=(２ｍ﹣1)2,
∵m>1,
∴(2m﹣1)2>0,
∴方程有两个不等实根;
(2)解：x=,
∴两根分别为=３,
=1+,
∵m>1，
∴0＜<1,
∴1＜１+＜２,
∵x1＞ｘ2,
∴x１=3,x２＝1+,
∴ｙ=x1﹣3x2,
=３﹣３(１+),
=﹣,
所以,这个函数解析式为y=﹣（ｍ>1);
(3)解:作出函数y=﹣(m＞1）得图象，并将图象在直线m=２左侧部分沿此直线翻折,所得新图形如图所示，
m=2时,ｙ=﹣,
ｍ=1时,y=﹣=﹣3，
∴函数图象直线m=2左侧部分翻折后得两端点坐标为(３,﹣3),(２，﹣),
当m=3时,2×3+b=﹣3,
解得b=﹣9，
当m=2时,２×2＋ｂ=﹣，
解得ｂ=﹣,
所以,此图象有两个公共点时,ｂ得取值范围﹣９＜b<﹣.
点评:本题就是一次函数综合题型,主要利用了根得判别式，求根公式法解一元二次方程,一次函数与反比例函数交点问题,难点在于(3)确定出翻折部分得两个端点得坐标以及有两个交点时得b得取值范围，作出图形更形象直观.
9.(２０13•门头沟区一模)已知关于x得一元二次方程.
(１）求证:无论m取任何实数,方程都有两个实数根;
（２)当m<3时，关于x得二次函数得图象与x轴交于A、B两点(点A在点B得左侧),与ｙ轴交于点Ｃ，且２ＡB=3OC，求m得值;
(3)在(2)得条件下,过点C作直线ｌ∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧得部分沿直线l翻折,二次函数图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象,记为G.请您结合图象回答:当直线与图象G只有一个公共点时,b得取值范围．
考点: 二次函数综合题.
分析:(1)运用根得判别式就可以求出△得值就可以得出结论；
(2)先当x=0或y=0就是分别表示出抛物线与ｘ轴与y轴得交点坐标,表示出AB、ＯＣ得值,由2AＢ=3OC建
立方程即可求出ｍ得值;
（3)把(２)m得值代入抛物线得解析式就可以求出抛物线得解析式与C点得坐标,当直线经过点C时就可以求出b得值,由直线与抛物线只有一个公共点建立方程,根据△＝0就可以求出ｂ得值,再根据图象就可以得出结论.
解答：解:(1)根据题意,得
△＝(ｍ﹣2)2﹣4××(2m﹣6)
=(m﹣4)2,
∵无论ｍ为任何数时,都有(m﹣4)2≥0,即△≥0.
∴无论m取任何实数,方程都有两个实数根；
(２)由题意，得
当ｙ=0时,则,
解得：ｘ1=6﹣２m,ｘ２=﹣２,
∵ｍ<3，点Ａ在点B得左侧,
∴A(﹣2,０),B(﹣2m+6,0)，
∴ＯA=2,OB=﹣2m+6．
当x=０时,ｙ=2m﹣６,
∴C(０,2m﹣6),
∴OC＝﹣(2ｍ﹣6)=﹣2m+６.
∵２AB=3ＯＣ,
∴2(2﹣2m+6)=3(﹣2m+6),
解得:m＝1;
(3)如图,当m=1时,抛物线得解析式为ｙ=ｘ2﹣x﹣4,
点C得坐标为(0，﹣４）.
当直线y＝x+b经过点C时，可得ｂ＝﹣4,
当直线ｙ=ｘ＋ｂ(b＜﹣4）与函数y＝x2﹣ｘ﹣4(ｘ＞０)得图象只有一个公共点时,得
x＋b═x２﹣x﹣4．
整理得:3ｘ２﹣8x﹣6b﹣24=０,
∴△＝(﹣８)２﹣4×3×（﹣6b﹣24)=0,
解得：b＝﹣.
结合图象可知,符合题意得b得取值范围为ｂ＞﹣4或ｂ<﹣.
点评:本题就是一道一次函数与二次函数得综合试题,考查了一元二次方程根得判别式得运用，二次函数与坐标轴得交点坐标得运用,轴对称得性质得运用，解答时根据函数之间得关系建立方程灵活运用根得判别式就是解答本题得关键.。