【教师版】第三讲 一元二次方程的整数根问题

第三讲 一元二次的整数根问题

形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。因此成为近年来各种自招考试的热点。下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。

【例题解析】

一、利用因式分解

例1、已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，

那么符合条件的整数a 有___________个.

解: 当a=1时,x=1

当a ≠1时,原方程左边因式分解,得 (x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得1221,11x x a ==-+

- ∵ x 是整数

∴ 1-a=±1,±2, ∴a=-1,0,2,3

由上可知符合条件的整数有5个.

由此128x x ⋅=或0，分别代入②，得7m =或1m =-

例2、已知关于x 的方程()

()221251240a x a x --++=有两个不等的负整数根，求实数a 的值。

解：()()()2222101145025142410a a a a a a ⎧-≠≠±⎧⎪⎪⇒⇒≠±⎨⎨∆=+>∆=+-⨯->⎡⎤⎪⎪⎩⎣⎦⎩、5a ≠-， 方程的两根为141x a =+，261

x a =-，12x x <，即

()()112212112

24146223032661a x x x x x x x x x a x ⎧+=⎪⎪⇒=-⇒-+=⇒+-=-⎨⎪-=⎪⎩ 2211

31,2,3,62,1,0,326,3,2,14,1,0,1x x x x +==--⎧⎧⇒⇒⎨⎨-=----=--⎩⎩，因为1x 、2x 为两个不等的负整数根，所以21

24x x =-⎧⎨=-⎩，则4124a a +=⇒=--。

例3、设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=

的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-

由求根公式得222642(6)2(68)

k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142

x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211

k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211

x x -=++ 即 12(3)2x x +=-

由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==- 分别代入，易得k=

3

10，6，3。

二、利用判别式是完全平方式

求形如02=++c bx ax 的方程只有一个整数根，或至少有一个整数根时，可以根据判别式一定是完全平方式解题。

例4、已知关于x的方程x2＋（k＋1）x＋（k－1）＝0有两个整数根，求整数k的值。解法一（判别式之完全平方数）：

由题意得，△＝k2＋2k＋1－4k＋4＝k2－2k＋5＝（k－1）2＋4＝n2（n∈N）。

∴n2－（k－1）2＝4，（n－k＋1）（n＋k－1）＝4.

∵n－k＋1与n＋k－1同奇偶性，∴

12,2

12,2

n k

n k

-+=-

⎧

⎨

+-=-

⎩

，k＝1。

原方程为x2＋2x＝0，x1＝－2，x2＝0。∴k＝1。

例5、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440

mx x

-+=与22

44450

x mx m m

-+--=的根都是整数。

解：∵方程2440

mx x

-+=有整数根，

∴⊿=16-16m≥0，得m≤1

又∵方程22

44450

x mx m m

-+--=有整数根

∴22

164(445)0

m m m

=---≥

得

5

4 m≥-

综上所述，－

4

5≤m≤1

∴x可取的整数值是-1，0，1

当m=-1时，方程为－x2-4x+4=0 没有整数解，舍去。

而m≠0∴ m=1

例6、已知方程210

x mx m

+-+=有两个不相等的正整数根，求m的值。

解：设原方程的两个正整数根为x

1，x

2

，则m=－(x

1

+x

2

)为负整数.

∴244

m m

=+-

一定是完全平方数设22

44

m m k

+-=（k为正整数）∴22

(2)8

m k

+-=

即：(2)(2)8m k m k +++-=

∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同

∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224

m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。

当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。

三、利用韦达定理（数的整除性，消参）

例7、 已知关于x 的方程kx 2＋（k ＋1）x ＋（k －1）＝0有两个整数根，求整数k 的值。 解法六（根与系数关系，整除）：

由题意得，k ≠0，x 1＋x 2＝－1－1k ，x 1x 2＝1－1k

。∵x 1、x 2、k ∈Z ，∴k ＝±1。 k ＝1时，x 2＋2x ＝0，x 1=0，x 2=－2；k ＝－1时，－x 2－2＝0，无整数根，舍去。∴k ＝1.

例8、当m 是什么整数时,关于x 的方程2(1)10x m x m --++=

的两根都是整数?

解：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得

121x x m +=- ① 121x x m ⋅=+ ②

由②-①消去m ，可得12212x x x x --=

12(1)(1)3131(3)x x --==⨯=-⨯-

则有121113x x -=⎧⎨-=⎩ 或12

1113x x -=-⎧⎨-=-⎩ 解得：1224x x =⎧⎨

=⎩ 或1202x x =⎧⎨=-⎩