运筹学 第三章 运输问题

x24 运输量，可使得总运费减少1。在以 x24 为出发点的闭 回路中，找出所有偶数顶点的调运量： x 3 ， x23 1 14
则调整量
x24 min( 1,3) 1
（2）调整方法：把所有闭回路上为偶数顶点的运输量都减 少这个值，奇数顶点的运输量都增加这个值(见下表)。
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xij 表示从产地 i
B2
11
运往销地 j 的产
j 1,2,3,4. 建立如下表格：
B1
3
B3
3
B4
10
产量 （吨） 7
A1
A2
A3 销量（吨）
1
7
x11 x21 x31
3
9
4
x12 x22 x32
6
2
10
x13 x23 x33
5
8
5
x14 x24 x34
6
4
9
于是可建立如下的数学模型：
2016/3/11 4
3
1 7
6
6 0
4
3
6 3 0
5
3 0
5 4 0
20
表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应
的是非基变量（取值为零）.

在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。 （或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
销地 运费单价 产地
B1
3 1 7 3
B2
11 9 4 6
B3
3 2 10 5
B4
10 8 5 6
产量 （吨） 7 4 9
A1 A2 A3 销量（吨）
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13
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2 10
产量
10 8
4
1
3
7 4 9
3 1 3
0 0 0 20
目标函数： MinZ 3x11 11x12
3x13 10x14
x21 9 x22 2 x23 8 x24
约束条件：
产量约束
7 x31 4 x32 10x33 5x34 x11 x12 x13 x14 7
x21 x22 x23 x24 4 x31 x32 x33 x34 9 x11 x21 x31 3 x12 x22 x32 6 x13 x23 x33 5 x14 x24 x34 6 xij 0, i 1,2,3; j 1,2,3,4
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
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1
第三章 运输问题

运输问题的数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题及应用
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2
§1 运输问题的典例及数学模型
一、 引例
某公司从三个产地 A1 ， A2 ， B2 A3 将产品运往四个销地 B1 ，
B3 ，B4 ，各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销
20
销量约束
20
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5
二、一般运输问题数学模型
Am ; 设有m个产地，分别为 A 1, A 2 ,....
n 个销地，分别是
B Bn 1 , B2 ,....
；
从产地 Ai运往销地 B j 的单位运价是 cij ，运量 xij
s i 是产地 A 的产量；d j
i
是销地 B j
的销量。
B3
B4
10
8
产量 7 4 9
（ +） 1
4 （-）3 3
（ -） 3
1 （+）2
10
6
6
4
3
6
5
3
5
销地
产地 A1 A2 A3 销量
B1
B2
3 1 7 11 9
B3
B4
10 8
产量 7 4 9
（ +） 1 （ -） 3
4 （-）3 3 1 （+）2
10
6
6
4
3
6
5
3
5
从非基变量 x11 出发，找到一个闭回路如上表所示。回路有四 个顶点，除 x11 外，其余都为基变量。 调整调运量：x11 1，运费增加了3元； x13 1 ，运费减少3元 ，运费减少1元 x23 1，运费增加2元； x21 1 调整后，总运费增加：3-3+2-1=1元。 说明如果让 x11 为基变量，运费就会增加，其增加值1作为 x11 的检验数，
B1
B2
3 1 7
B3
11 9 4
B4
3 2 10
ui
10 8 5
1 3
10
2
2 1
6
9
4 1
12
3
3 -1
3
10
0 -1 -5
销地 产地 A1 A2 A3 vj
B1
B2
3 1 7
B3
11 9 4
B4
3 2 10
ui
10 8 5
1 3 10
2
2 1 6
9
4 1 12
3
3 -1 3
10
0 -1 -5
i 1 i j 1
m
n
j
时，称其为产销平衡的运输问题，
否则产销不平衡。
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7
说明：从上述模型可以看出： （1）这是一个线性规划的模型； （2）变量有m×n个； （3）约束条件有 m+n 个； （4）系数矩阵非常稀疏；系数矩阵的秩一般为（m+n-1), 而非m+n 。 若直接用单纯形法求解，显然单纯形表比较庞大，于是在 单纯形法的基础上创建了表上作业法求解运输问题这一特 殊的线性规划问题
则该运输问题的模型如下：
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6
Min f s.t
c
i 1 m j 1
m
n
ij
xij j 1,...,n i 1,... m i 1,... m, j 1,...,n
x
i 1 n j 1
ij
dj si
x
ij
xij 0,
说明：当
s d
第i个分量
第m+j个分 量
又因为基变量的检验数为0，于是由（m+n-1)个基变 cij ui v j 0 量的检验数 可解出 (u1,..., um , v1 ,...vn ) 变量的检验数。
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，进而计算其他非基
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三、改进运输方案的办法——闭回路调整法
当表中的某个检验数小于零时，方案不为最优，需要调整。 方法是：选取所有负检验数中最小的非基变量作为入基变量， 以求尽快实现最优。 （1）确定调整量：例：取 24 1 ，表明增加一个单位的
ij cij ui v j 0
非基变量 求出。
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xij
的检验数就可以用公式
ij cij ui v j
22
销地 产地 A1
B1
3
B2
11
B3
B4
3 2 10
产量
10 8
4 1
3
7
A2 A3
销量 销地
3
1
9
4 9
7
6
6
4
3
6
5
3
5
产地
A1 A2 A3 vj
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
销地 运费单价 产地
B1
3wk.baidu.com
B2
11
B3
3
B4
10
产量 （吨） 7
A1
A2
A3 销量（吨）
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1
7 3
9
4 6
2
10 5
8
5 6
4
9
3
解：从表中可知：总产量 = 总销量。这是一个产销平衡的 运输问题。假设 品数量，i 1,2,3;
销地 运费单价 产地
销地 运费单价 产地
B1
3 1 7
B2
11 9 4
B3
3 2 10
B4
10 8 5
产量 （吨） 7 4 9
A1 A2 A3
销量（吨）
3
6
5
6
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销地 产地 A1 A2 A3 2 2 2
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2 10
5
2 1 3
3 3 2 2
10 8 5
0 0 0 7 1 1 1 6 1 2 20 20
26
销地 产地 A1 A2 A3 vj
B1
B2
3 1 7
B3
11 9 4
B4
3 2 10
ui
10 8 5
1 3 10
2
2 1 6
9
4 1 12
3
3 -1 3
10
0 -1 -5
销地
产地
A1 A2 A3 vj
B1
3
B2
11 9
B3
B4
3 2 10
ui
10 8 5
4(+1) 1 (-1)
3(-1) +1
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销地 运费单价 产地
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2
B4
10 8
产量 （吨）
7 4
A1 A2
A3 销量（吨）
7 3
4 6
10 5
5 6
9
那么在该例中，应有 3+4-1=6个基变量。
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1.最小元素法
最小元素法的思想是就近供应，即对单位运价最小 的变量分配运输量。 在表上找到单位运价最小的x21，并使x21取尽可能大 的值，即x21=3,把A1的产量改为1，B1的销量改为0，并 把B1列划去。在剩下的3×3矩阵中再找最小运价，同 理可得其他的基本可行解。
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一、确定初始基本可行解：
对于有m个产地n个销地的产销平衡问题，有m个关于产量 的约束方程和n个关于销量的约束方程。表面上，共有m+n个 约束方程。
但由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约束方 程，所以运输问题实际上有m+n-1个基变量。在m×n的产销 平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量的值即为 基变量的值。
我们先给u1赋个任意数值，不妨设u1=0，则从基变 量x11的检验数求得 v3=c13-u1=3-0=3 。 同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ij cij ui v j
如 11 c11 u1 v1 3 0 2 1
表上作业法适用于求解产销平衡的运输问题。（产销不平 衡的问题可转化为平衡问题）
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9
表上作业法 一般步骤：
1、找出初始基本可行解； 2、检查各非基变量的检验数，是否达到最优性条件，若达到，则得最优 解；否则 转第三步； 3、确定出基变量、进基变量，用闭回路方法进行调整，得到新的基可 行解； 4、重复第二、第三步，直至得到最优解。
ui
10 8 5
0 3 9
3
2 2 6
9
5 1 12
3
判别最优解准则：如果所有代表非基变量的空格的检验
数都大于等于零，则已求得最优解；否则继续改进找出最优 解。
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2.位势法
（1）对运输表上的每一行赋予一个数值 ui ， 对每一列赋予一个数值 v ，称为行（列)位势。
j
（2）行（列)位势的数值是由基变量的检验数所决 定的，即基变量要满足：
3
1 7
6
5
4
1 1 1 1
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二、最优解的判别 判别解的最优性需要：计算检验数。方法有两种 1.闭回路法
闭回路：是在已给出的调运方案的运输表上从一个代表 非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，遇到代表 基变量的填入数字的格可转90度（当然也可以不改变方向） 继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那个空格，由 此形成的封闭折线叫做闭回路。一个空格存在唯一的闭回 路。
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，
。
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位势法计算检验数：
检验数： ij cij C B B 1 Pij
cij YP um , v1 ,...vn ) Pij ij cij (u1,...,
其中
T P ( 0 ,.... 1 , 0 ...., 1 , 0 ... 0 ) ij
因为任意非基向量均可表示为基向量的唯一线性组 合，因此对于任意空格都能够找到、并且只能找到 唯一的一条闭回路。
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销地 产地 A1
B1
3
B2
11
B3
B4
3 2 10
产量
10 8
4 1
3
7
A2 A3
销量
3
1
9
4 9
7
6
6
4
3
6
5
3
5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1
B2
3 1 7 11 9
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§2 运输问题的表上作业法
从第一节的运输问题的数学模型可知，运输问题实际上 也属于线性规划，但由于运输问题的特殊性（变量个数较多， 系数矩阵的特点），如果用单纯形表格方法迭代，计算量很 大。今天介绍的 “表上作业法”，是针对运输问题的特殊求解 方法，实质还是单纯形法，但减少了计算量。
3
10
0 -1 -5
3
1 7
6
9
4
2
3
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调整运量后的新方案：
销地
产地 A1
A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
产量
5 3 6
3 6 5
2 1 3
6
7
4 9
对上表用位势法进行检验如下表，可知已达最优解。
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2
3 1 7
B3
11 9 4
B4
3 2 10
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为
m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
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闭回路法计算检验数：就是对于代表非基变量的空格
（其调运量为零），把它的调运量调整为1，由于产销平衡的 要求,必须对这个空格的闭回路中的各顶点的调运量加上或减 少1。最后计算出由这些变化给整个运输方案的总运输费带来 的变化。以这个变化的数值，作为各空格（非基变量）的检 验数。