二叉树模型

重复式（8.2）的计算，给出：
fu ert[ pfuu (1 p) fud ] （8.5）
fd ert[ pfud (1 p) fdd ] （8.6）
f ert[ pfu (1 p) fd ] （8.7）
两步二叉树图中的股票价格和期权价格
根据前面的定价公式，可以得到：
f e2rt[ p2 fuu 2 p(1 p) fud (1 p)2 fdd ]
第八章 二叉树模型
教学目的与要求
通过本章的学习，要求能够掌握运 用单步和两步二叉树图方法对欧式 期权和美式期权进行估值
理解并掌握在衍生证券估值中的风 险中性原理
教学重点及难点
用二叉树图方法对期权进行估值的 基本思路
风险中性估值原理 Delta的含义和计算
单步二叉树图
二叉树图的构造思路
(Su
fu )erT
而构造该组合的成本是： S f
因此 S f (Su fu )erT
将式（9.1）代入上式，得到
f erT [ pfu (1 p) fd ] （8.2）
其中
p erT d ud
（8.3）
运用单步二叉树图方法，式（8.2）和（8.3）
就可为衍生证券估值。
股票预期收益的无关性
E(ST)=SerT （8.4） 这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。 因此，设定上升运动的概率等于p就等价于假设 股票收益等于无风险利率。
在风险中性世界中，投资者对风险不要求补偿， 所有证券的预期收益都是无风险利率；未来现 金流可以用其期望值按无风险利率贴现。当为 期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设， 世界是风险中性的。这就是所谓 风险中性（risk-neutral valuation）原理。
例：假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格 将可能为$22或$18，假设股票三个月内不付红利，无 风险年利率为12%。有效期为3个月的欧式看涨期权执 行价格为$21，运用风险中性估值原理对该期权进行 估值。
两步二叉树图
问题
假设一种股票开始的价格为$20，在下图 所示的两步二叉树图的每个单步二叉树图中， 股票价格可以上升10％或者下降10％。
上面的定价公式并没有用到股票上升和下 降的概率。只是根据标的股票的价格估计期权 的价值。
风险中性估值
式（8.2）的变量p可以解释为股票价格上升的 概率，变量（1-p）就是股票价格下降的概率。这
样，pfu (1 p) fd 就是衍生证券的预期收益。
关于衍生证券的定价公式（8.2）可以表述为： 衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴 现的值。 同理，可以推导出在T时刻预期的股票价格为：
有效期末该组合的价
值为:SdΔ-fd 当两个价值相等时
单步二叉树图中的股票价格 SuΔ-fu =SdΔ- fd
和衍生证券价格
fu fd （8.1）
Su Sd
该组合源自文库无风险的，收益必得无风险利率。在T
时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格
变化与股票价格变化之比。
用r表示无风险利率， 该组合的现值应为：
根据期权的特性，可以用二叉树图来描述股 票和期权的价格运动。如果能够用一种股票和基 于该股票的期权构造一个组合，使得在有效期末 该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收 益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得 到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票 的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。
假设在每个单步二叉树的步长是3个月，无 风险利率是年率12％。考虑一个执行价格为 $21的期权。
思路
两步二叉树图中的股票价格和期权价格
一般结论
假设初始股票价格为S。在每个单步二叉树 中，股票价格或者上升到初始值的u倍，或下 降到初始值的d倍。假设无风险利率是r。每个 单步二又树的时间长度是Δt年。
p2，2p(1-p)和(1-p)2是达到最后上、中、 下三个节点的概率。衍生证券的价格等于它在 风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的 值。
如果在树图中加入更多的步(step)以推广应 用二叉树图方法，风险中性估值的原理一直是 成立的。
看跌期权
考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执 行价格为$52，当前价格为$50。
考虑一个无红利支付的股票，股票价格为 S。基于该股票的某个衍生证券的当前价格为 f。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了 在T时刻的盈亏状况 。
一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生 证券空头构成。利用单步二叉树图，根据无 套利假设和期权的特性，可以推导出:
如果股票价格上升，
有效期末该组合的价
值为:SuΔ-fu 如果股票价格下降，
假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。 在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上 升20％，或者按比率下降20％。无风险利率 为5％。
构造如下图所示的两步二叉树图。风险中
性概率P的值为
e0.051 0.8
p
0.6282
1.2 0.8
利用两步二叉树图方法为欧式看跌期权估值
美式期权估值
二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法 是：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。 在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点 的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相 同。在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两 者之中较大者：
Delta
Delta的含义
股票期权的Delta是股票期权价格的变化与 标的股票价格的变化之比，是为了构造一个无风 险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有 的股票数目。
例题
假设一种股票当前价格为$20，三个月后 的价格将可能为$22或$18，假设股票三个月 内不付红利，无风险年利率为12%。有效期 为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21，如 何对该期权进行估值？
思路
股票价格$20
股票价格$22 期权价格$1
股票价格$18 期权价格$0
二叉树图构造的一般结论
1.由式 f erT [ pfu 求(1出 的p)值fd。]
2.提前执行所得的收益。
考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执 行价格为$52，当前价格为$50。假设价格为 两步二叉树，每个步长为一年，在每个单步二 叉树中股票价格或者按比率上升20％，或者 按比率下降20％。无风险利率为5％。
利用两步二叉树图方法为美式看跌期权估值