《大学物理2》 磁场习题课1

解：由磁场的高斯定理
S B d S 0
穿过半球面的磁感应线全 部穿过圆面S，因此有
2 Φ B S R B cos
9
5. 在一通有电流I 的无限长载流导线的右侧有面积为S1、S2 的两个矩形回路，回路与长直导线共面，矩形的一边长与 导线平行，求通过S1、S2 回路的磁通量之比。 解：设矩形宽为l，任取一与电流方 向平行的窄条面元 dS = ldr。
解:小线圈在任意位置受到的磁力矩 M Pm B 则
M I 2R2
O
I1
0 I1 sin 2d
I2
R
d
考虑（刚体定轴转动）动能定理
1 2 0 M d 2 I 0
0
I —转动惯量
O
23
O
根据转动惯量的定义，由图可求得小 线圈绕OO′轴转动的转动惯量 I2
2
x
O2 R
I
R
x
P90 公式14.19
作业:14.4
5
设两线圈相距为2a，以O点为原 点建立坐标，两线圈在x点产生 的场强分别为
2a
I
O1
R
O
B1
0 IR
2
x
O2
R
I
2[ R2 (a x)2 ]3/ 2
x
B2
0 IR2
2[ R2 (a x)2 ]3/ 2
方向相同，总场强为B = B1 + B2． 设k = μ0IR2/2，则
4
3（实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀 的磁场，其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈， 它们的半径均为R，通过的电流均为I，且两线圈中电流的流向相 同。）两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是 I，半径为R， 两个圆心间距离O1O2 = R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁 场。
取 电流元 Idl
I dl B
19
由对称性可知，半圆弧所 受安培力 F 的水平分量相 互抵消为零，故有
F dFy
0 BIR sin d 2BIR
两段直线部分所受安培力 大小相等，但方向相反， 当导体形状不变时，该两 力平衡，因而，整个导线 所受安培力

d F I dl B
15
复习：无限大平板电流的磁场分布 设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于 纸面朝外的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂 直的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j
解：视为无限多平行 长直电流的场。
dB
d B'
P
d B' '
分析求场点P的对称性
做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
解: (1) 当两个无限长的同轴圆柱体和圆柱面 中有电流通过时，它们所激发的磁场是轴对 称分布的，而磁介质亦呈轴对称分布，因而 不会改变场的这种对称分布。设圆柱体外圆 柱面内一点到轴的垂直距离是r1，以r1为半径 作一圆，取此圆为积分回路，根据安培环路 定理有

R1
R2
r1
H d l H 0 d l I
d F I d lB
d l R d
20
F 2 BIR j
d Fy d F sin
9.将一电流均匀分布的无限大载流平面放入磁感应强度为 B0的均匀磁场中，电流方向与磁场垂直，放入后，平面两 侧磁场的磁感应强度分别为B1和B2（图），求该载流平面 上单位面积所受的磁场力的大小和方向。 分析磁场方向：
d l'
o
d l''
无数对称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
16
d B'
作一闭合回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有 B d l B2l o jl
1 1 B k{ 2 2 } 2 3/ 2 2 3/ 2 [ R ( a x) ] [ R ( a x) ]
6
一个线圈产生的磁场的曲线是凸 状，两边各有一个拐点．
两个线圈的磁场叠加之后，如果 它们相距太近，其曲线就是更高 的凸状；
如果它们相距太远，其曲线的中 间部分就会下凹，与两边的峰之 间各有一个拐点． 当它们由远而近到最适当的位置时， 两个拐点就会在中间重合，这时的 磁场最均匀，而拐点处的二阶导数 为零．
0 I R32 r 2 B3 2 2r R3 R22
（4）r >R3
B4 2r 0 ( I I ) 0,
B4 0
磁感强度Ｂ(r)的分布曲线如图。
14
7.设有两无限大平行载流平面，它们的面电流密度 均为j，电流流向相反，如图所示，求： （1）两载流平面之间的磁感应强度； （2）两面之外空间的磁感应强度。
7
B对x求一阶导数得
ax dB ax } 3k{ 2 2 2 5/ 2 2 5/ 2 [ R (a x) ] dx [ R ( a x) ]
求二阶导数得
d2 B R 2 4(a x)2 R 2 4(a x)2 2 } 3k{ 2 2 7/2 2 2 7/2 [ R (a x) ] dx [ R ( a x) ]
r2 r1
I
I I
H 0
B0
( R2 r )
12Βιβλιοθήκη Baidu
6.有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体中的电流均为I， 但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处 的磁感强度：（1）r<R1；（2）R1<r<R2；（3）R2<r<R3； （4）r>R3。画出B－r图线。 解:由安培环路定理
B d l 0 I
大学物理
大学物理教研室：郑采星
习题讨论课
稳恒电流的静磁场 磁场中的磁介质
1
1.如图所示，载流导线在平面内分布，电流为I， 它在点0的磁感强度为多少？
解：长直电流对点0而言，
有
I dl r 0
因此它在点 0 产生的磁场为零，
则点0处总的磁感强度为1/4圆 弧电流所激发，故有
0
1 0 I 0 I B0 4 2 R 8R
B＝H
2r 1
I
I I
H
I 2r1
I 2r1
( R1 r R2 )
11
(2) 设在圆柱体内一点到轴的垂直距离是r2，则以r2为半径作一 圆，根据安培环路定理有 r22 r22 2r2 H d l H 0 d l H 2r2＝I R 2 ＝I R 2 1 1
沿弧长取dl， d I In d l
2N dI R d I R
d l R d
作业:14.8
dl
该圆电流在球心O处激发的磁场为
y dB dI 2 2 3/ 2 2 (x y )
y
x
0
2
P90 公式14.19
3
y2 dB dI 2 2 3/ 2 2 (x y )
0 j 0 j B i i 0 ji 2 2
（2） 两导体载流平面之 外的磁感应强度为
0 j 0 j B i i 0 2 2
18
8.一通有电流为I的导线，弯成如图所示的形状，放 在磁感应强度为B的均匀磁场中，B的方向垂直纸面 向里，求此导线受到的安培力为多少？ dF 分析：半圆载流导线在磁 I dl 场中所受安培力的方向是 解答的关键。
I1
R
d
O
I r2 d m
( r R sin )
m为圆环的质量，
m m dm dl d 2 2R
(d l R d )
2
O
dm
在x = 0处d2B/dx2 = 0，得R2 = 4a2，所以2a= R． x = 0处的场强为
Bk
8 0 I 16 2 k [ R 2 ( R / 2) 2 ]3/ 2 5 5R3 5 5R
8
4.如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有 一半径为R的半球面，B与半球面轴线的夹角为， 求通过该半球面的磁通量。
方向垂纸面向外。
μo I d l r ˆ0 dB 4π r2
2
2.如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面 彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数 为N，通过线圈的电流为I，求球心O处的磁感应强度。 解：设单位弧长上电流线圈匝数为 n， 则
n N 2N 2R / 4 R
Ir2 0 Ir2 H＝ B ＝ H 0 2R12 2 R12
(r R1 )

r3
R1
R2
(3) 在圆柱面外取一点，它到轴的垂直距 离是 r3 ，以 r3 为半径作一圆，根据安培环 路定理,考虑到环路中所包围的电流的代数 和为零，所以得 2r3 H d l H 0 d l 0
得 (1) r R1
I B1 2r 0 2 r 2 R1
(2) R1 r R2
0 Ir B1 2R12
B2 2r 0 I
0 I B2 2r
13
（3）R2<r<R3
( r 2 R2 2 ) B3 2r 0 I I 2 2 ( R3 R2 )
0
球心O处总的磁感强度B为
B
/2 0
y
x
0 y2I 2N 2 R d 2 3/ 2 2 (x y ) R
由图可知： x R cos ; y R sin 得： B / 2 0 NI sin2 d 0 NI 0 R 4R 磁感强度B的方向由电流的流向根据右手定则确定。
外磁场B0作用在单位面积载流平面上的安培力 依照右手定则 可知磁场力的 方向为水平指 向左侧。
22
10.如图所示，在一通有电流I1 的长直导线附近，有一半径 为R，质量为m的细小线圈，细小线圈可绕通过其中心与直 导线平行的轴转动，直导线与细小线圈中心相距为d，设d >>R，通过小线圈的电流为I2，若开始时线圈是静止的，它 的正法线矢量的方向与纸面法线的方向成0角。问线圈平 面转至与 纸面重叠时，其角速度的值为多大？
B0 左： B1 右： B2
B
B
B1
j
B2
B0 B
B0 B
21
1 无限大载流平面两侧为均匀磁场，磁感强度大小为 0 j 2 0 B1 B0 j （ 1 ） 则 2 ds=dxdy 0 B2 B0 j （2） I=jdx 2 dx B1 B2dlB j dF=I 由式（1）、（2）解得 0 dy =IdyB0 1 1 = jdxdyB0 B0 ( B1 B2 )， j ( B2 B1 ) 2 0
设面元正方向垂直纸面向里， μ0 I d ＝B d S＝B d S＝ ldr 2πr 则通过S2面的磁通量为
0 Il 4 a d r μ 0 Il Φ2＝ d ln 2 2 2 a r 2π
r
dr
I
a
S1
a
S2
2a
l
依同样的方法，可求得通过S1 面的磁通量为
μ 0 I 2 a d r Φ1＝ d 2π a r μ 0 Il lｎ2 2π
提示：如以两线圈中心 连成的中心为坐标原点O，两线圈中心连线为x轴，则 d2 B 中点附近的磁场可看成是均匀磁场的条件为 : d B 0; 0 2 dx dx
[证明] 一个半径为R的环电流在离圆 心为x的轴线上产生的磁感应强度大 小为：
2a
I
O1
O
0 IR B 2( R 2 x 2 )3/ 2
所以1＝2
10
例：如图所示，一半径为R1的无限长圆柱体（导体 ≈0）中 均匀地通有电流 I，在它外面有半径为 R2的无限长同轴圆柱面， 两者之间充满着磁导率为 的均匀磁介质，在圆柱面上通有相 反方向的电流 I。试求 (1) 圆柱体外圆柱面内一点的磁场；(2) 圆柱体内一点磁场；(3)圆柱面外一点的磁场。
L
dB d B' '
d l'
P
d
l
c
o
d l''
a
b
B
o j
2
方向如图所示。
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
17
由安培环路定理，可求得单块无限大载流平面在两侧的磁 感应强度大小为0j/2，方向如图所示，根据磁场的叠加原 理可得 （1）取垂直于屏幕向里为x轴正向，两载流平面之间 合磁场为