中考圆的切线证明题(学生版)
中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)

中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)1.(24年湖北中考)Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,点O 在AC 上,以OC 为半径的圆交AB 于点D ,交AC 于点E .(1)求证:AB 是O 的切线。
(2)连接OB 交O 于点F ,若1AD AE ==,求弧CF 的长.2.(24年成都中考)如图,在Rt ABC ∆中,90C ︒∠=,D 为斜边AB 上一点,以BD 为直径作O ,交AC 于,E F 两点,连接,,BE BF DF .(1)BC DF BF CE ⋅=⋅(2)若,A CBF ∠=∠tan BFC AF ∠==,求CF 的长和O 的直径.3.(24年浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,ADC BAD∠<∠,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连结EF,使AFE ADC∠=∠.(1)若60O∠的度数.∠=,CD为直径,求ABDAFE(2)求证:①EF∥BC ②EF=BD.4.(24年辽宁中考)如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,点D在BC上,AC BD=,E ∠=∠.在BA的延长线上,CEA CAD(1)如图1,求证:CE是O的切线OA=,求BD的长.(2)如图2,若2CEA DAB∠=∠,85.(24年安徽中考)如图,O 是ABC ∆的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点,.F FA FE =(1)求证:;CD AB ⊥(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.6.(24年新疆中考)如图,在O 中,AB 是O 的直径,弦CD 交AB 于点E,AD BD =.(1)求证:△ACD ∽△ECB.(2)若AC=3,BC=1,求CE 的长.7.(24年江西中考)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ,,60D ABC ∠=∠=︒.(1)求证:BD 是半圆O 的切线.(2)当3BC =时,求AC 的长.8.(24年呼伦贝尔中考)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E . O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=.(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30,C CD ∠=︒=,求扇形OBD 的面积.9.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论.如图,已知ABC ,CA CB =, O 是ABC 的外接圆,点D 在O 上(AD BD >),连接AD ,BD ,CD .【特殊化感知】(1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】(2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】(3)若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系.(用含α的式子表示)10.(24年赤峰中考)如图,ABC中,90ACB∠=︒,AC BC=,O经过B,C两点,与斜边AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交O于点D,过点E作EF CD∥,交AC于点F.(1)求证:EF是O的切线;(2)若BM=,1tan2BCD∠=,求OM的长.11.(24年绥化中考)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的O 与AD相切于点E,与AC相交于点F.(1)求证:AB与O相切.(2)若正方形ABCD1,求O的半径.(3)如图2,在(2)的条件下,若点M是半径OC上的一个动点,过点M作MN OC⊥交CE于点N.当:1:4CM FM=时,求CN的长.12.(24年河北中考)已知O的半径为3,弦MN=ABC中.∠=︒==在平面上,先将ABC和O按图1位置摆放(点B与点N重90,3,ABC AB BC合,点A在O上,点C在O内),随后移动ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在O上=.随之移动,设BN x(1)当点B与点N重合时,求劣弧AN的长.(2)当OA MN∥时,如图2,求点B到OA的距离,并求此时x的值.(3)设点O到BC的距离为d.①当点A在劣弧MN上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值.①直接写出d的最小值.13.(24年滨州中考)【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题: 如图,在锐角ABC 中,探究sin a A ,sin b B ,sin c C之间的关系.(提示:分别作AB 和BC 边上的高.)【得出结论】sin sin sin a b c A B C==. 【基础应用】在ABC 中,75B ∠=︒,45C ∠=︒,2BC =,利用以上结论求AB 的长;【推广证明】进一步研究发现,sin sin sin a b c A B C==不仅在锐角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且还满足2sin sin sin a b c R A B C===(R 为ABC 外接圆的半径). 请利用图1证明:2sin sin sin a b c R A B C ===.【拓展应用】如图2,四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,4CD =,90B C ∠=∠=︒.求过A,B,D 三点的圆的半径.14.(24年苏州中考)如图,ABC 中,AB =为AB 中点,BAC BCD ∠=∠cos ADC ∠=. O 是ACD 的外接圆.(1)求BC 的长(2)求O 的半径.15.(24年乐山中考)如图,O 是ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D,点E 为CB 上一点,且AC CE =.(1)求证:DC AE ∥;(2)若EF 垂直平分OB ,3DA =,求阴影部分的面积.16.(24年武汉中考)如图,ABC ∆为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,腰AC 与半圆O 相切于点D ,底边BC 与半圆O 交于E ,F 两点.(1)求证:AB 与半圆O 相切(2)连接OA .若4CD =,2CF =,求sin OAC ∠的值.17.(24年甘肃武威中考)如图,AB 是O 的直径,BC BD =,点E 在AD 的延长线上,且ADC AEB ∠=∠.(1)求证:BE 是O 的切线;(2)当O 的半径为2,3BC =时,求tan AEB ∠的值.18.(24年深圳中考)如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E .(1)求证:DE BE ⊥(2)若AB =5BE =,求O 的半径.19.(24年盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,过点C 作O 的切线l,过点A 作AD l ⊥,垂足为D,连接AC BC 、.(1)求证:ABC ACD △△∽;(2)若5AC =,4CD =,求O 的半径.20.(24年广西中考)如图,已知O 是ABC ∆的外接圆,AB AC =.点D,E 分别是BC ,AC 的中点,连接DE 并延长至点F,使DE EF =,连接AF .(1)求证:四边形ABDF 是平行四边形(2)求证:AF 与O 相切(3)若3tan 4BAC ∠=,12BC =,求O 的半径. 21.(24年四川广安中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,点D 在BA 的延长线上,DCA CBA ∠=∠.(1)求证:DC 是O 的切线;(2)点G 是半径OB 上的点,过点G 作OB 的垂线与BC 交于点F ,与DC 的延长线交于点E ,若4sin 5D =,2DA FG ==,求CE 的长.22.(24年四川南充中考)如图,在O 中,AB 是直径,AE 是弦,点F 是AE 上一点,AF BE =,,AE BF 交于点C,点D 为BF 延长线上一点,且CAD CDA ∠=∠.(1)求证:AD 是O 的切线.(2)若4,BE AD ==求O 的半径长.23.(24年四川泸州中考)如图,ABC ∆是O 的内接三角形,AB 是O 的直径,过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D,点E 在O 上,AC CE =,CE 交AB 于点F .(1)求证:CAE D ∠=∠;(2)过点C 作CG AB ⊥于点G,若3OA =,BD =求FG 的长.24.(24年四川德阳中考)已知O 的半径为5,B C 、是O 上两定点,点A 是O 上一动点,且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D .(1)证明:点D 为BC 上一定点;(2)过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F .①判断DF 与O 的位置关系,并说明理由;①若ABC 为锐角三角形,求DF 的取值范围.25.(24年四川宜宾中考)如图,ABC 内接于O ,10AB AC ==,过点A 作AE BC ∥,交O 的直径BD 的延长线于点E,连接CD .(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若1tan 2ABE ∠=,求CD 和DE 的长.26.(24年内蒙古通辽中考)如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,点O 为AC 边上一点,以点O 为圆心,OC 为半径作圆与AB 相切于点D ,连接CD .(1)求证:2ABC ACD ∠=∠;(2)若8AC =,6BC =,求O 的半径.27.(24年四川达州中考)如图,BD 是O 的直径.四边形ABCD 内接于O .连接AC ,且AB AC =,以AD 为边作DAF ACD ∠=∠交BD 的延长线于点F .(1)求证:AF 是O 的切线;(2)过点A 作AE BD ⊥交BD 于点E .若3CD DE =,求cos ABC ∠的值.28.(24年四川遂宁中考)如图,AB 是O 的直径,AC 是一条弦,点D 是AC 的中点,DN AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,连结DB 交AC 于点G .(1)求证:AF DF =;(2)延长GD 至点M ,使DM DG =,连接AM .①求证:AM 是O 的切线;①若6DG =,5DF =,求O 的半径.29.(24年包头中考)如图,AB 是O 的直径,,BC BD 是O 的两条弦,点C 与点D 在AB 的两侧,E 是OB 上一点(OE BE >),连接,OC CE ,且2BOC BCE ∠=∠.(1)如图1,若1BE =,CE =求O 的半径;(2)如图2,若2BD OE =,求证:BD OC ∥.(请用两种证法解答)30.(24年四川自贡中考)在Rt ABC △中,90C ∠=︒,O 是ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F .(1)图1中三组相等的线段分别是CE CF =,AF =________,BD =________;若3AC =,4BC =,则O 半径长为________;(2)如图2,延长AC 到点M,使AM AB =,过点M 作MN AB ⊥于点N .求证:MN 是O 的切线.31.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===. 以点A 为圆心,以AD 为半径作DE 交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作EF 所交BC 于点F ,连接FD 交EF 于另一点G ,连接CG .(1)求证:CG 为EF 所在圆的切线(2)求图中阴影部分面积.(结果保留π)32.(24年青海中考) 如图,直线AB经过点C,且OA OB=.=,CA CB(1)求证:直线AB是O的切线;(2)若圆的半径为4,30∠=︒,求阴影部分的面积.B中考压轴题圆的切线证明与计算答案1.(24年湖北中考)【答案】(1)略 (2)弧CF 的长为3π2.(24年成都中考)【答案】(1)略(2)CF =;O 的直径为3.(24年浙江中考)【答案】(1)30o (2)证明略4.(24年辽宁中考)【答案】(1)见详解 (2)2π5.(24年安徽中考)【答案】(1)略 (2).6.(24年新疆中考)【答案】(1) 略 (2)CE =.7.(24年江西中考)【答案】(1)见解析 (2)2π8.(24年呼伦贝尔中考)【答案】(1)略 (2)43π 9.(24年扬州中考)【答案】(1)AD BD CD -=.(2)AD BD CD -=(3)当D 在BC 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=-.当D 在AB 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=+10.(24年赤峰中考)【答案】(1)略 (2)OM =11.(24年绥化中考)【答案】(1)证明略 (2)12.(24年河北中考)【答案】(1)π (2)点B 到OA 的距离为2;3 (3)①3d =2313.(24年滨州中考)【答案】教材呈现:见解析;基础应用:AB =;推广证明:见解析;拓展应用:6R =.14.(24年苏州中考)【答案】(1)4BC = (2)O 的半径为715.(24年乐山中考)【答案】(1)略 (2)3π-16.(24年武汉中考)【答案】(1)略 (2)4517.(24年甘肃武威中考)【答案】(1)略 (2)tan 3AEB ∠=18.(24年深圳中考)【答案】(1)略 (2)19.(24年盐城中考)【答案】(1)略 (2)25620.(24年广西中考)【答案】(1)略 (2)略 (3)1021.(24年四川广安中考)【答案】(1)略 (2)1422.(24年四川南充中考)【答案】(1)略 (2)23.(24年四川泸州中考)【答案】(1)证明略 (2)45 24.(24年四川德阳中考)【答案】(1)证明略(2)①DF 与O 相切,理由见解析;①DF 的取值范围为2DF <<25.(24年四川宜宾中考)【答案】(1)略 (2)CD =DE =. 26.(24年内蒙古通辽中考)【答案】(1)证明略 (2)327.(24年四川达州中考)【答案】(1)证明略 28.(24年四川遂宁中考)【答案】(1)证明略 (2)①证明略,①O 的半径为203. 29.(24年包头中考)【答案】(1)3 (2)略30.(24年四川自贡中考)【答案】(1)AD ;BE ;1 (2)略31.(24年山东枣庄中考)【答案】(1)略 3π32.(24年青海中考) 【答案】(1)详见解析 (2) 83S π=阴影。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明1.如图,△ABD是△O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是△O外一点,且△DBC=△A=60°,连接OE并延长与△O相交于点F,与BC相交于点C.(1)求证:BC是△O的切线;(2)若△O的半径为6cm,求弦BD的长.2.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)如果∠BAC=60°,AE=4√3,求AC长.3.如图,AC与△O相切,切点为C,点B在CO的延长线上,BD△AO,垂足为D,△ABD=△BO D.(1)求证:AB为△O的切线;(2)若BC=4,AC=3,求BD的长.4.如图,AB 是△O 的直径,点E 在△O 上,连接AE 和BE ,BC 平分△ABE 交△O 于点C ,过点C 作CD△BE ,交BE 的延长线于点D ,连接CE .(1)请判断直线CD 与△O 的位置关系,并说明理由;(2)若sin△ECD =35,CE =5,求△O 的半径. 5.如图,AB 为△O 的直径,C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点,△ABD =2△BAC ,连接CD ,过点C 作CE△DB ,垂足为E ,直径AB 与CE 的延长线相交于F 点.(1)求证:CF 是△O 的切线;(2)当BD = 185 ,sinF = 35时,求OF 的长. 6.如图,线段AB 经过圆心O ,交△O 于点A 、C ,点D 为△O 上一点,连结AD 、OD 、BD ,△A =△B =30°.(1)求证:BD 是△O 的切线.(2)若OA =5,求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积.7.如图,在Rt△ABC 中,△ACB =90°,CD 是斜边AB 上的中线,以CD 为直径的△O 分别交AC 、BC 于点M 、N ,过点N 作NE△AB ,垂足为E(1)若△O的半径为52,AC=6,求BN的长;(2)求证:NE与△O相切.8.如图,AB是△O的弦,OP△OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.(1)求证:BC是△O的切线;(2)若△O的半径为√5,OP=1,求BC的长.9.如图,AB是△O的直径,点C在AB的延长线上,AD平分△CAE交△O于点D,且AE△CD,垂足为点E.(1)求证:直线CE是△O的切线.(2)若BC=3,CD=3 √2,求弦AD的长.10.如图,AB为圆的直径,C是△O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD△MC,垂足为D,已知AC平分△MAD .(1)求证:MC是△O的切线:(2)若AB=BM=4,求tan△MAC的值11.如图,AB是△O的直径,点C在△O上,BD平分∠ABC交△O于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为E.(1)求证:DE与△O相切;(2)若AB=10,AD=6,求DE的长.12.如图,点O在△APB的平分线上,△O与PA相切于点C.(1)求证:直线PB与△O相切;(2)PO的延长线与△O交于点E.若△O的半径为3,PC=4.求弦CE的长.13.如图,已知A(﹣5,0)、B(﹣3,0),点C在y轴的正半轴上,△CBO=45°,CD△AB,△CDA=90°点,P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间ts.(1)求点C的坐标;(2)当△BCP=15°时,且△OPC中最长边是最短边的2倍,求t的值;(3)以点P为圆心,PC为半径的△P随点P的运动而变化,当△P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.14.已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一动点,连接AC,BC,在BA的延长线上取一点D,连接CD,使CD=CB.(1)如图1,若AC=AD,求证:CD是⊙O的切线;(2)如图2,延长DC交⊙O于点E,连接AE.①若⊙O的直径为√10,sinB=√10,求AD的长;10②若CD=2CE,求cosB的值.15.如图,AB、AC分别是△O的直径和弦,OD△AC于点D,过点A作△O的切线与OD的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F.(1)求证:PC是△O的切线;(2)若△ABC=60°,AB=10,求线段CF的长,16.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,D点在y轴上,C点坐标为(2,0),BC=6,△BCD=60°,点E是AB上一点,AE=3EB,△P过D,O,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三点.(1)求抛物线的解析式;(2)求证:ED是△P的切线;(3)若点M为此抛物线的顶点,平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.答案解析部分1.【答案】(1)证明:连接OB ,如图所示:∵E 是弦BD 的中点,∴BE =DE ,OE△BD , BF ⌢=12BD ⌢ , ∴△BOE =△A ,△OBE+△BOE =90°,∵△DBC =△A ,∴△BOE =△DBC ,∴△OBE+△DBC =90°,∴△OBC =90°,即BC△OB ,∴BC 是△O 的切线;(2)解:∵OB =6,△DBC =△A =60°,BC△OB , ∴OC =12,∵△OBC 的面积= 12 OC•BE = 12OB•BC , ∴BE = OB×BC OC =6×6√312=3√3 , ∴BD =2BE =6 √3 ,即弦BD 的长为6 √3 .2.【答案】(1)证明:连接 OD ,如图,∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D ,∴∠BAD=∠DAC,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ODA=∠DAC,∴OD//AE,∵DE⊥AE,∴DE⊥OD,OD为半径,∴DE是⊙O的切线(2)解:作OF⊥AC于F∵∠BAC=60°,∴∠DAE=30°,在RtΔADE中,DE=AE⋅tan30°=4四边形ODEF为矩形,∴OF=DE=4,在RtΔOAF中,∵∠OAF=60°∴AF=√3=4√33∴AC=2AF=8√3 33.【答案】(1)证明:作OH△AB,垂足为H∵AC与△O相切,切点为C,∴△ACO=90°∴△OAC+△AOC=90°又BD△AO∴△BDO=90°∴△BOD+△DBO=90°,△BAD+△ABD=90°又△BOD=△AOC,△ABD=△BOD∴△OAC=△BAD∴OH=OC又OC为△O半径∴AB为△O的切线(2)解:在Rt△BOH和Rt△BAC中AB=√BC2+AC2=5sin∠ABC=OHOB=ACAB=354−OB OB=35,解得OB=52,OC=32,OA=√OC2+AC2=32√5∵△AOC=△BOD,△C=△D=90°∴△AOC△△BOD∴OAOB=ACBD∴32√552=3BD,解得:BD=√5.4.【答案】(1)解:结论:CD是△O的切线.理由:连接OC.∵OC=OB,∴△OCB=△OBC,∵BC平分△ABD,∴△OBC=△CBE,∴△OCB=△CBE,∴OC//BD ,∵CD△BD ,∴CD△OC ,∵OC 是半径,∴CD 是△O 的切线;(2)解:设OA =OC =r ,设AE 交OC 于点J .∵AB 是直径,∴△AEB =90°,∵OC△DC ,CD△DB ,∴△D =△DCJ =△DEJ =90°,∴四边形CDEJ 是矩形,∴△CJE =90°,CD =EJ ,CJ =DE ,∴OC△AE ,∴AJ =EJ ,∵sin△ECD =DE CE =35,CE =5, ∴DE =3,CD =4,∴AJ =EJ =CD =4,CJ =DE =3,在Rt△AJO 中,r 2=(r ﹣3)2+42,∴r =256, ∴△O 的半径为256. 5.【答案】(1)解:连接OC .如图1所示:∵OA=OC,∴△1=△2.又∵△3=△1+△2,∴△3=2△1.又∵△4=2△1,∴△4=△3,∴OC△DB.∵CE△DB,∴OC△CF.又∵OC为△O的半径,∴CF为△O的切线;(2)解:连接AD.如图2所示:∵AB是直径,∴△D=90°,∴CF△AD,∴△BAD=△F,∴sin△BAD=sinF=BDAB=35,∴AB=53BD=6,∴OB=OC=3,∵OC△CF,∴△OCF=90°,∴sinF=OCOF=35,解得:OF=5.6.【答案】(1)证明:∵△ADO=△BAD=30°,∴△DOB=60°∵△ABD=30°,∴△ODB=90°∴OD△BD.∵点D为△O上一点,∴BD是△O的切线.(2)解:∵△DOB=60°,∴△AOD=120°.∵OA=5,∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为120·π·52360=253π.7.【答案】(1)解:∵ △O 的半径为52,则CD=5,AB=10,BC=√AB2−AC2=√100−36=8CD为直径,得DN△BC,D为AB的中点,则BD=CD,则△BDC为等腰三角形,由三线合一知,BN=NC=12BC=4。
专题27 切线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)

专题27切线模型【模型1】双切线模型已知如图27-1,点P 为⊙O 外一点,P A 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B ,根据切线的性质,可证明P AO ∆≌PBO ∆,︒=∠+∠180AOB APB ,PO 垂直平分AB 。
【模型2】割线定理如图27-2,已知在⊙O 中,弦AC 、BD 相交于点P ,点P 在⊙O 外⇒PB PD P A PC ∙=∙。
【证明】如图27-5,连接AD 、BC ,P P ∠=∠,BA ∠=∠∴PDA ∆∽PCB∆∴PCPD PB P A =∴PBPD P A PC ∙=∙【模型3】切割线定理如图27-3,已知在⊙O 中,弦AC 的延长线交⊙O 的切线PB 于P ⇒P A PC PB ∙=2。
【证明】如图27-4,连接AB 、BC ,PBC ∠为⊙O 的弦切角,∴APBC ∠=∠又 PP ∠=∠∴PCB ∆∽PBA∆∴P A PB PB PC =∴P APC PB ∙=2【例1】如图,点P 为⊙O 外一点,过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ,记切点为A 、B ,点C 为⊙O 上一点,连接AC 、BC .若∠ACB =62°,则∠APB 等于()A .68°B .64°C .58°D .56°【例2】已知:如图,PAB 、PCD 是⊙O 的割线,4PA cm =,6AB cm =,3CD cm =.则PD =______cm .【例3】如图,AB 是⊙O 的直径,射线BC 交⊙O 于点D ,E 是劣弧AD 上一点,且BE 平分FBA ∠,过点E 作EF BC ⊥于点F ,延长FE 和BA 的延长线交于点G .(1)证明:GF 是⊙O 的切线;(2)若2AG =,6GE =,求⊙O 的半径.一、单选题1.如图,AB 是⊙O 的直径,点M 在BA 的延长线上,MA =AO ,MD 与⊙O 相切于点D ,BC ⊥AB 交MD 的延长线于点C ,若⊙O 的半径为2,则BC 的长是()A .4B .23C .22D .32.如图,PA 、PB 分别切O 于点A 、B ,点C 为优弧AB 上一点,若ACB APB ∠=∠,则ACB ∠的度数为()A .67.5︒B .62︒C .60︒D .58︒3.如图,⊙O 的半径为72,BD 是⊙O 的切线,D 为切点,过圆上一点C 作BD 的垂线,垂足为B ,BC =3,点A 是优弧CD 的中点,则sin ∠A 的值是()A .37B 77C 217D 21二、填空题4.如图,PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点,点C 为⊙O 上一点,连接AC 、BC ,若∠P =50°,则∠ACB 的度数为____________5.如图,已知AB 是O 的直径,点P 在BA 的延长线上,PD 与O 相切于点D ,过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C .若O 的半径为3,5BC =,则PA 的长为______.6.如图,PA ,PB 是O 的切线,A ,B 为切点.若60APB ∠=︒,则AOP ∠的大小为______.7.如图,PA ,PB 是⊙O 的切线,A ,B 是切点.若∠P =45°,则∠AOB =_____°.8.如图,PA 、PB 分别切⊙O 于点A ,B ,点E 是⊙O 上一点,且50E ∠=︒,则P ∠的度数为______.9.如图,PA ,PB 分别切⊙O 于点A ,B ,Q 是优弧 AB 上一点,若∠P =40°,则∠Q 的度数是________.三、解答题10.如图,⊙O 与△ABC 的边BC 相切于点D ,与AB 、AC 的延长线分别相切于点E 、F ,连接OB ,OC .(1)若∠ABC=80°,∠ACB=40°,求∠BOC的度数.(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系,并说明理由.11.如图,已知P,PB分别与⊙O相切于点AB,∠APB=60°,C为⊙O上一点.(1)如图②求∠ACB的度数;(2)如图②AE为⊙O的直径,AB与BC相交于点D,若AB=AD,求∠BAC的度数.12.如图,CD是⊙O的切线,切点为D,点C在直径AB的延长线上.(1)求证:∠CAD=∠BDC;(2)若tan∠BDC=23,AC=3,求CD的长.13.如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点C.BD PD,垂足为D,连接BC.(1)求证:BC 平分∠PBD ;(2)若4cm PA =,42cm PC =,求⊙O 的半径.14.如图,AB 是⊙O 的直径,AM 是⊙O 的切线,AC 、CD 是⊙O 的弦,且CD AB ⊥,垂足为E ,连接BD 并延长,交AM 于点P .(1)求证:CAB APB ∠=∠;(2)若⊙O 的半径5,8r AC ==,求线段PD 的长.15.如图,AB 为⊙O 的直径,过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ,过点O 作//OE AD 交CD 于点E ,连接BE .(1)直线BE 与⊙O 相切吗?并说明理由;(2)若2CA =,4CD =,求DE 的长.16.如图,P 为⊙O 外一点,PA 、PB 为⊙O 的切线,切点分别为A 、B ,直线PO 交⊙O 于点D 、E ,交AB 于点C .(1)求证:∠ADE=∠PAE.(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE.(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.。
2023年九年数学中考专题训练——证明圆的切线

中考专题训练——证明圆的切线1.如图,AB是O的直径,AM和BN是它的两条切线,过O上一点E作直线DC,分别交AM、BN于点D、C,且DA=DE.(1)求证:直线CD是O的切线;(2)求证:2=⋅OA DE CE2.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,过点D作AC的垂线交AC于点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:DE与⊙O相切;(2)若CD=BF,AE=3,求DF的长.3.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与△O相切于点D,OB 与△O相交于点E.(1)求证:AC是△O的切线;(2)若BD3BE=1.求阴影部分的面积.4.如图,△O是Rt△ABC的外接圆,△ABC=90°,点P是圆外一点,PA切△O于点A,且PA=PB,(1)求证:PB是△O的切线;△ACB=60°,求△O的半径.(2)已知PA5.如图,AB为△O的直径,AC、DC为弦,△ACD=60°,P为AB延长线上的点,△APD=30°.(1)求证:DP是△O的切线;(2)若△O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.6.如图,AD是△O的弦,AB经过圆心O,交△O于点C.△DAB=△B=30°.(1)直线BD是否与△O相切?为什么?(2)连接CD,若CD=5,求AB的长.7.如图,△ABC内接与△O,AB是直径,△O的切线PC交BA的延长线于点P,OF△BC 交AC于AC点E,交PC于点F,连接AF(1)判断AF与△O的位置关系并说明理由;(2)若△O 的半径为4,AF=3,求AC 的长.8.如图,AD 是⊙O 的切线,切点为A ,AB 是⊙O 的弦,过点B 作BC △AD ,交⊙O 于点C ,连接AC ,过点C 作CD △AB ,交AD 于点D ,连接AO 并延长交BC 于点M ,交过点C 的直线于点P ,且∠BCP =△ACD .(1)判断直线PC 与⊙O 的位置关系,并说明理由.(2)若AB =6BC =10,求⊙O 的半径及PC 的长.9.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 平分⊙DAB 交⊙O 于点C ,过点C 的直线垂直于AD 交AB 的延长线于点P ,弦CE 交AB 于点F ,连接BE .(1)求证:PD 是⊙O 的切线;(2)若PC =PF ,试证明CE 平分⊙ACB .10.如图,等圆1O 和2O 相交于A ,B 两点,2O 经过1O 的圆心1O ,两圆的连心线交1O 于点M ,交AB 于点N ,连接BM ,已知23AB(1)求证:BM 是2O 的切线;(2)求AM 的长.11.如图,已知△PDC 是△O 的内接三角形,CP=CD ,若将△PCD 绕点P 顺时针旋转,当点C 刚落在△O 上的A 处时,停止旋转,此时点D 落在点B 处.(1)求证:PB 与△O 相切;(2)当△DPC=30°时,求△O 的半径长.12.如图,已知点E 在直角△ABC 的斜边AB 上,以AE 为直径的△O 与直角边BC 相交于点D ,AD 平分△BAC .(1)求证,BC 是△O 的切线.(2)若BE =2,BD =4,求△O 的半径.13.如图,AB 是O 的直径,AC 是弦,D 在AB 的延长线上,CA CD =,120ACD ∠=,10BD =.()1求证:CD 是O 的切线;()2求O 的半径.14.如图,O 的直径AB 的长为2,点C 在圆周上,30CAB ∠=,点D 是圆上一动点,//DE AB 交CA 的延长线于点E ,连接CD ,交AB 于点F .()1如图1,当45ACD ∠=时,求证:DE 是O 的切线;()2如图2,当点F 是CD 的中点时,求CDE 的面积.15.如图,AB为O的直径,点D为O上的一点,在BD的延长线上取点C,使⊥于点F.=,AC与O交于点E,DF ACDC BD求证:(1)DF是O的切线;(2)2=⋅.DB CF AB=,点O在AB上,O过点B,分别与BC、AB交于D、E,过D 16.如图,AB AC⊥于F.作DF AC()1求证:DF是O的切线;()2若AC与O相切于点G,O的半径为3,1CF=,求AC长.17.如图点A、B、D、E在O上,弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是O 的直径,D是BC的中点,过D作AC的垂线,垂足为F.()1求证:DF是圆O的切线;()2若:6:5AE AO=,2DF=,求圆O的直径.18.如图,AB为O的直径,BC、AD是O的切线,切点分别为B、A,过点O作⊥,EC交BC于点C,交AD于点E.EC OD()1求证:CE 是O 的切线;()2若1AE =,3AD =,求阴影部分的面积.(结果保留π)19.AC 为O 的直径,B 是O 外一点,AB 交O 于E 点,过E 点作O 的切线,交BC 于D 点,DE DC =,作EF AC ⊥于F 点,交AD 于M 点.()1求证:BC 是O 的切线;()2求证:EM FM =.20.如图,PA 与△O 相切于点A ,过点A 作AB△OP ,垂足为C ,交△O 于点B .连接PB ,AO ,并延长AO 交△O 于点D ,与PB 的延长线交于点E .(1)求证:PB 是△O 的切线;(2)若OC=3,AC=4,求sinE 的值.参考答案:1.(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)连接OD ,OE ,证明△OAD△△OED ,得△OAD=△OED=90°,进而得CD 是切线;(2)连接OC ,得AM△BN ,得,DEO OEC ∆∆,再证明2.OE DE CE =•,进而得出结论2.OA DE CE =•.【解析】解(1)如图,连接,OE OD 、 DA 是O 的切线,90OAD ︒∠=在AOD ∆和EOD ∆中, , ,,OA OE DA DE OD OD ===()AOD EOD SSS ∴∆∆≌90,OAD OED ︒∴∠=∠=,OE CD ∴⊥CD ∴是O 的切线.(2)连接,OC AM BN DC 、、是O 的切线,90OAD OBC DEO OEC ︒∴∠=∠=∠=∠=//,AM BN ∴180ADE BCE ︒∴∠+∠=又AM BN DC 、、是O 的切线,CE CB ∴=,OD 平分,ADE OC ∠平分, .BCE ∠()111809022ODE OCE ADE BCE ︒︒∴∠+∠=∠+∠=⨯= 又90ODE DOE ︒∠+∠=,OCE DOE ∴∠=∠又90DEO OEC ︒∠=∠=,,DEO OEC ∴∆∆OE DE CE OE∴= 2.OE DE CE ∴=•又,OA OE =2.OA DE CE ∴=•【点评】本题考查了圆的切线的性质与判定,相似三角形的判定与性质,全等三角形的性质与判定,关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形.2.(1)见解析;(2)DF=【分析】(1)连接OD,求出AC△OD,求出OD△DE,根据切线的判定得出即可;(2)求出△1=△2=△F=30°,求出AD=DF,解直角三角形求出AD,即可求出答案.【解析】(1)证明:连接OD,△AB是△O的直径,△△ADB=90°,△AD△BC,又△AB=AC,△△1=△2,△OA=OD,△△2=△ADO,△△1=△ADO,△OD△AC,△DE△AC,△△ODF=△AED=90°,△OD△ED,△OD 过O ,△DE 与△O 相切;(2)解:△AB =AC ,AD △BC ,△△1=△2,CD =BD ,△CD =BF ,△BF =BD ,△△3=△F ,△△4=△3+△F =2△3,△OB =OD ,△△ODB =△4=2△3,△△ODF =90°,△△3=△F =30°,△4=△ODB =60°,△△ADB =90°,△△2=△1=30°,△△2=△F ,△DF =AD ,△△1=30°,△AED =90°,△AD =2ED ,△AE 2+DE 2=AD 2,AE =3,△AD =3△DF =3【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的外角性质,圆周角定理,切线的判定定理,解直角三角形等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.3.(1)见解析;(236-π 【分析】(1)连接OD ,作OF△AC 于F ,如图,利用等腰三角形的性质得AO△BC ,AO 平分△BAC ,再根据切线的性质得OD△AB ,然后利用角平分线的性质得到OF=OD ,从而根据切线的判定定理得到结论;(2)设△O 的半径为r ,则OD=OE=r ,利用勾股定理得到222r (3)(r 1)+=+,解得r=1,则OD=1,OB=2,利用含30度的直角三角三边的关系得到△B=30°,△BOD=60°,则△AOD=30°,于是可计算出AD ===2S△AOD -S 扇形DOF 进行计算.【解析】解:(1)证明:连接OD ,作OF△AC 于F ,如图,△△ABC 为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,△AO△BC ,AO 平分△BAC ,△AB 与△O 相切于点D ,△OD△AB ,而OF△AC ,△OF =OD ,△AC 是△O 的切线;(2)在Rt△BOD 中,设△O 的半径为r ,则OD =OE =r ,△r 2+2=(r+1)2,解得r =1,△OD =1,OB =2,△△B =30°,△BOD =60°,△△AOD =30°,在Rt△AOD 中,AD == △阴影部分的面积=2S△AOD ﹣S 扇形DOF21601212360π⋅⋅=⨯⨯.6π= 【点评】本题考查了切线的判定与性质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了等腰三角形的性质.4.(1)详见解析;(2)△O 的半径为1.【分析】(1)连结OB ,由OA =OB ,得△OAB =△OBA ,再根据P A =PB ,得△P AB =△PBA ,从而得出△P AO =△PBO ,由P A 是△O 的切线可推得△PBO =90°,即OB △PB ,所以PB 是△O 的切线;(2)连结OP ,根据P A =PB ,则点P 在线段AB 的垂直平分线上,再由OA =OB ,则点O 在线段AB 的垂直平分线上,从而得出OP 垂直平分线段AB ,根据BC △AB ,得出PO △BC ,则△AOP =△ACB =60°.在Rt△APO 中,利用tan△AOP AP AO=,求出AP ,即可得出答案. 【解析】(1)连结OB .△OA =OB ,△△OAB =△OBA .△P A =PB ,△△P AB =△PBA ,△△OAB +△P AB =△OBA +△PBA ,即△P AO =△PBO .又△P A 是△O 的切线,△△P AO =90°,△△PBO =90°,△OB △PB .又△OB 是△O 半径,△PB 是△O 的切线;(2)连结OP .△P A =PB ,△点P 在线段AB 的垂直平分线上.△OA =OB ,△点O 在线段AB 的垂直平分线上,△OP 垂直平分线段AB .又△BC △AB ,△PO △BC ,△△AOP =△ACB =60°.在Rt△APO 中,△tan△AOP AP AO ==tan60°3AP 3=△AO =1,△△O 的半径为1.【点评】本题考查了切线的判定和性质、线段的垂直平分线以及解直角三角形的综合运用. 5.(1)证明见解析;(22933()22cm . 【分析】(1)连接OD ,求出△AOD ,求出△DOB ,求出△ODP ,根据切线判定推出即可.(2)求出OP 、DP 长,分别求出扇形DOB 和△ODP 面积,即可求出答案.【解析】解:(1)证明:连接OD ,△△ACD=60°,△由圆周角定理得:△AOD=2△ACD=120°.△△DOP=180°﹣120°=60°.△△APD=30°,△△ODP=180°﹣30°﹣60°=90°.△OD△DP.△OD为半径,△DP是△O切线.(2)△△ODP=90°,△P=30°,OD=3cm,△OP=6cm,由勾股定理得:.△图中阴影部分的面积221603933333()236022 ODP DOBS S S cm 扇形6.(1)相切,理由见解析;(2)AB=15.【分析】(1)连接OD,通过计算得到△ODB=90°,证明BD与△O相切.(2)△OCD是边长为5的等边三角形,得到圆的半径的长,然后求出AB的长【解析】解:(1)直线BD与△O相切.如图连接OD,CD,△△DAB=△B=30°,△△ADB=120°,△OA=OD,△△ODA=△OAD=30°,△△ODB=△ADB﹣△ODA=120°﹣30°=90°.所以直线BD与△O相切;(2)连接CD,△COD=△OAD+△ODA=30°+30°=60°,又OC=OD△△OCD是等边三角形,即:OC=OD=CD=5=OA,△△ODB=90°,△B=30°,△OB=10,△AB=AO+OB=5+10=15.7.(1)AF与△O的位置关系是相切,理由见解析;(2)AC=245.【解析】解:(1)连接OC,如图所示:△AB是△O直径,△△BCA=90°,△OF△BC,△△AEO=90°,△1=△2,△B=△3,△OF△AC,△OC=OA,△△B=△1,△△3=△2,在△OAF和△OCF中,{32OA OCOF OF=∠=∠=,△△OAF△△OCF (SAS ),△△OAF=△OCF ,△PC 是△O 的切线,△△OCF=90°,△△OAF=90°,△FA△OA ,△AF 是△O 的切线;(2)△△O 的半径为4,AF=3,△OAF=90°,△FA△OA ,OF△AC ,△AC=2AE ,△OAF 的面积=12AF•OA=12OF•AE , △3×4=5×AE ,解得:AE=125, △AC=2AE=245.8.(1)PC 与⊙O 相切;(2)r =PC =152. 【分析】(1)过C 点作直径CE ,连接EB ,由CE 为直径得△E+△BCE=90°,由AB△DC 得△ACD=△BAC ,而△BAC=△E ,△BCP=△ACD ,所以△E=△BCP ,于是△BCP+△BCE=90°,然后根据切线的判断得到结论;(2)根据切线的性质得到OA△AD ,而BC△AD ,则AM△BC ,根据垂径定理有BM=CM=12BC=5,根据等腰三角形性质有,在Rt△AMC 中根据勾股定理计算出AM 的长度,设⊙O 的半径为r ,则OC=r ,OM=AM -r ,在Rt△OCM 中,根据勾股定理计算出CE=2r ,利用中位线性质得BE 的长度,然后判断Rt△PCM△Rt△CEB ,根据相似比可计算出PC .【解析】解:(1)PC与⊙O相切,理由为:过C点作直径CE,连接EB,如图,△CE为直径,△△EBC=90°,即∠E+△BCE=90°,△AB△DC,△△ACD=△BAC,△△BAC=△E,△BCP=△ACD.△△E=△BCP,△△BCP+△BCE=90°,即∠PCE=90°,△CE△PC,△PC与⊙O相切;(2)△AD是⊙O的切线,切点为A,△OA△AD,△BC△AD,△AM△BC,△BM=CM=12BC=5,△AC=AB=6,在Rt△AMC中,AM22AC CM5设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM﹣r =5r,在Rt△OCM中,OM2+CM2=OC2,即5r)2+52=r2,解得:r=5△CE=2r=5OM=5r=5△BE=2OM=△△E=△MCP,△Rt△PCM△Rt△CEB,△PCCE=CMEB,△PC=152.故答案为(1)PC与⊙O相切;(2)r=PC=15 2.【点评】本题考查了切线的判定与性质:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线;圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质.9.(1)详见解析;(2)详见解析.【分析】(1)连接OC,如图,先证明△2=△3得到OC△AD,然后利用平行线的性质得到OC△CD,从而根据切线的判定定理得到PD是△O的切线;(2)先证明△1=△PCB,再根据等腰三角形的性质得△PCF=△PFC,然后利用△PCF=△PCB+△BCF,△PFC=△1+△ACF,从而可判断△BCF=△ACF.【解析】证明:(1)连接OC,如图,△AC平分△DAB,△△1=△2,△OA=OC,△△1=△3,△△2=△3,△OC△AD,△AD△CD,△OC △CD ,△PD 是△O 的切线;(2)△OC △PC ,△△PCB +△BCO =90°,△AB 为直径,△△ACB =90°,即△3+△BCO ,△△3=△PCB ,而△1=△3,△△1=△PCB ,△PC =PF ,△△PCF =△PFC ,而△PCF =△PCB +△BCF ,△PFC =△1+△ACF ,△△BCF =△ACF ,即CE 平分△ACB .【点评】本题考查了切线的判定与性质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了圆周角定理. 10.(1)详见解析;(2)43【分析】(1)连接O 2B ,由MO 2是△O 1的直径,得出△MBO 2=90°从而得出结论:BM 是△O 2的切线;(2)根据O 1B=O 2B=O 1O 2,则△O 1O 2B=60°,再由已知得出BN 与O 2B ,从而计算出弧AM 的长度.【解析】(1)连接2O B ,△2MO 是1O 的直径,△290MBO ∠=,△BM 是2O 的切线;(2)△1212O B O B O O ==,△1260O O B ∠=,△AB =△BN =△22O B =, △120241803AM BM ππ⨯===. 【点评】本题考查了切线的判定和性质、弧长的计算以及相交两圆的性质,是基础知识要熟练掌握.11.(1)详见解析;(2)2.【分析】(1)连接OA 、OP ,由旋转可得:△P AB △△PCD ,再由全等三角形的性质可知AP =PC =DC ,再根据△BP A =△DPC =△D 可得出△BPO =90°,进而可知PB 与△O 相切; (2)过点A 作AE △PB ,垂足为E ,根据△BP A =30°,PB△P AB 是等腰三角形,可得出BE =EPP A =2,PB 与△O 相切于点P 可知△APO =60°,故可知P A =2.【解析】(1)证明:连接OA 、OP ,OC ,由旋转可得:△PAB△△PCD ,△PA=PC=DC ,△AP=PC=DC ,△AOP=△POC=2△D ,△APO=△OAP=,又△△BPA=△DPC=△D ,△△BPO=△BPA+=90°△PB 与△O 相切;(2)解:过点A 作AE△PB ,垂足为E ,△△BPA=30°,PB=2,△PAB是等腰三角形;△BE=EP=,PA===2又△PB与△O相切于点P,△△APO=60°,△OP=PA=2.【点评】本题考查的是切线的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,图形旋转的性质及锐角三角函数的知识,能根据题意作出辅助线是解答此题的关键.12.(1)证明见解析;(2)3【分析】(1)先连接OD,再由OD△AC和AC△BC可知OD△BC从而得证;(2)利用切割线定理可先求出AB,进而求出圆的直径,半径则可求出.【解析】(1)证明:连接OD,△AD平分△BAC△△1=△2△OA=OD△△1=△3△△2=△3;△OD△AC,又△AC△BC,△OD△BC,△BC是△O的切线,(2)解:△BC与圆相切于点D.△BD2=BE•BA,△BE=2,BD=4,△BA=8,△AE=AB﹣BE=6,△△O的半径为3.【点评】本题考查切线的判定, 相似三角形的判定与性质.解题关键是熟练掌握、恰当选择切线的判定方法.13.(1)详见解析;(2)10.【分析】(1)连接OC ,根据等腰三角形的性质,三角形的内角和与外角的性质,证得△OCD=90°,即可证得CD 是△O 的切线;(2)根据直角三角形有一个角是30度,30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可证得OB=BD.【解析】()1证明:连接OC ,∵CA CD =,120ACD ∠=,∴30A D ∠=∠=,∴223060COD A ∠=∠=⨯=,∴180603090OCD ∠=--=,∴OC CD ⊥,∵OC 是O 的半径,∴CD 是O 的切线;()2由()1得:90OCD ∠=,在直角OCD 中,△30D ∠=,∴2OD OC =,∵OC OB =,∴2OD OB =,∴10OB BD ==,∴O 的半径是10.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和与外角的性质,直角三角形的性质,切线的判定定理,难度适中.在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.14.(1)见解析;(233. 【分析】(1)如图1中,连接OD ,欲证明ED 是切线,只要证明△EDO=90°即可.(2)如图2中,连接BC ,利用勾股定理.以及直角三角形30度性质求出CD 、DE 即可.【解析】()1证明:如图1中,连接OD .△45C ∠=,△290AOD C ∠=∠=,△//ED AB ,△180AOD EDO ∠+∠=,△90EDO ∠=,△ED OD ⊥,△ED 是O 切线.()2解:如图2中,连接BC ,△CF DF =,△AF CD ⊥,△AC AD =,△ACD ADC ∠=∠,△//AB ED ,△ED DC ⊥,△90EDC ∠=,在RT ACB 中,△90ACB ∠=,30CAB ∠=,2AB =,△1BC =,AC =△12CF AC ==2CD CF == 在RT ECD 中,△90EDC ∠=,CD 30E CAB ∠=∠=,△2EC CD ==,3ED =,△12ECD S ED CD =⋅⋅= 【点评】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用这些知识,属于基础题,中考常考题型.15.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)根据三角形中位线定理得到OD △AC ,根据平行线的性质得到DF △OD ,根据切线的判定定理证明即可;(2)证明△CDF △△CAD ,根据相似三角形的性质定理证明即可.【解析】证明(1)如图1,连接OD .△OA =OB ,BD =DC ,△OD △AC .△DF △AC ,△DF △OD ,△DF 是△O 的切线;(2)如图2,连接AD .△AB 为△O 的直径,△△ADB =△ADC =90°,△AD △BC .又△BD =DC ,△AB =AC .△DF △AC ,△△DFC =90°,△△DFC =△ADC =90°.又△△C=△C,△△CDF△△CAD,△CD ACCF CD,即:CD2=CF•AC.又△BD=CD,AB=AC,△DB2=CF•AB.【点评】本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理,灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键.16.(1)见解析;(2)8.【分析】(1)连接OD,由AB=AC,利用等边对等角得到一对角相等,再由OB=OD,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行得到OD与AC平行,根据DF垂直于AC,得到DF垂直于OD,即可确定出DF为圆O的切线;(2)连接OG,由AC为圆O的切线,利用切线的性质得到OG垂直于AC,利用三个角为直角且邻边相等的四边形为正方形得到ODFG为正方形,且边长为3,设AB=AC=x,表示出OA与AG,在直角三角形AOG中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为AC的长.【解析】解:(1)连接OD.△AB=AC,△△B=△C.△OB=OD,△△B=△ODB,△△ODB=△C,△OD△AC.△DF△AC,△OD△DF,则DF为圆O的切线;(2)连接OG.△AC与圆O相切,△OG△AC,△△OGF=△GFD=△ODF=90°,且OG=OD,△四边形ODFG 为边长为3的正方形,设AB=AC=x,则有AG=x﹣3﹣1=x﹣4,AO=x﹣3.在Rt△AOG中,利用勾股定理得:AO2=AG2+OG2,即(x﹣3)2=(x﹣4)2+32,解得:x=8,则AC=8.【点评】本题考查了切线的判定与性质,平行线的判定与性质,等腰三角形的性质,正方形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键.17.(1)证明见解析;(2)5.【分析】(1)连结AD 、OD ,如图,先证明OD 为△BAC 的中位线,根据三角形中位线性质得OD△AC ,由于DF△AC ,则OD△DF ,于是根据切线的判定定理得DF 是圆O 的切线; (2)作OH△AE 于H ,如图,易得四边形OHFD 为矩形,得到OH=DF=2,设AE=6x ,则AO=5x ,根据垂径定理得到AH=EH=12AE=3x ,在Rt △AOH 中利用勾股定理得到OH=4x ,则4x=2,解得x=12,然后计算10x 即可. 【解析】()1证明:连结AD 、OD ,如图,∵D 是BC 的中点,而OA OB =,∴OD 为BAC 的中位线,∴//OD AC ,∵DF AC ⊥,∴OD DF ⊥,∴DF 是圆O 的切线;()2解:作OH AE ⊥于H ,如图,则四边形OHFD 为矩形,∴2OH DF ==,∵:6:5AE AO =,∴设6AE x =,5AO x =,∵OH AE ⊥, ∴132AH EH AE x ===, 在Rt AOH 中,∵5OA x =,3AH x =, ∴224OH OA AH x -=,∴42x =,解得12x =, ∴2105AB OA x ===,即圆O 的直径为5.【点评】本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了勾股定理.18.(1)详见解析;(2)33π.【分析】(1)首先作OH△CD ,垂足为H ,由BC 、AD 是△O 的切线,易证得△BOC△△AOE (ASA ),继而可得OD 是CE 的垂直平分线,则可判定DC =DE ,即可得OD 平分△CDE ,则可得OH =OA ,证得CD 是△O 的切线;(2)首先证得△AOE△△ADO ,然后由相似三角形的对应边成比例,求得OA 的长,然后利用三角函数的性质,求得△DOA 的度数,继而求得答案.【解析】解:(1)作OH CD ⊥,垂足为H ,△BC 、AD 是O 的切线,△CBO OAE 90∠∠==,在BOC 和AOE 中,CBO OAE OB OA BOC AOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,△BOC AOE ≅,△OC OE =,又△EC OD ⊥,△DE DC =,△ODC ODE ∠∠=,△OH OA =,△CD 是O 的切线;()2△E AOE 90∠∠+=,DOA AOE 90∠∠+=,△E DOA ∠∠=,又△OAE ODA 90∠∠==,△AOE ADO ∽, △EA OA OA AD =, △2OA EA AD 133=⋅=⨯=,△OA 0>,△OA△OA tanE AE= △DOA E 60∠∠==,△DA DH =,OAD OHD 90∠∠==,△DOH DOA 60∠∠==,△120π211S 33π22360⨯⨯=⨯⨯=阴影部分.【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.19.(1)证明见解析;(2)证明见解析【分析】(1)连接CE ,根据等腰三角形的性质得到△1=△2,由弦切角定理得到△2=△BAC ,根据圆周角定理得到△AEC=90°,于是得到△BAC+△3=90°,等量代换得到△1+△3=90°,求得△ACB=90°,即可得到结论;(2)由BC△AC ,EF△AC 求得EF△BC ,于是得到△AEM△△ABD ,△ANF△△ACD ,根据相似三角形的性质得到EM AM BD AD =,MF AM CD AD =,等量代换得到EM FM BD CD=,根据比例的性质即可得到结论. 【解析】()1连接CE , △DE CD =,△12∠∠=,△DE 是O 的切线,△2BAC ∠∠=,△AC 为O 的直径,△AEC 90∠=,△BAC 390∠∠+=,△1390∠∠+=,△ACB 90∠=,△BC 是O 的切线;()2△1390∠∠+=,△BC AC ⊥,△EF AC ⊥,△EF//BC ,△AEM ABD ∽,ANF ACD ∽, △EM AM BD AD =,MF AM CD AD =, △EM FM BD CD=, △12∠∠=,△1B 2BED 90∠∠∠∠+=+=,△B BED ∠∠=,△DE BD =,△BD CD =,△EM FM =.【点评】本题考查了切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,正确的画出图形是解题的关键.20.(1)证明见解析;(2)725【解析】分析:(1)要证明是圆的切线,须证明过切点的半径垂直,所以连接OB ,证明OB△PE 即可.(2)要求sinE ,首先应找出△E 所在的直角三角形,然后利用直角三角函数求解即可.而sinE 既可放在直角三角形EAP 中,也可放在直角三角形EBO 中,所以利用相似三角形的性质求出EP 或EO 的长即可解决问题解析:(1)证明:连接OB△PO△AB ,△AC=BC ,△PA=PB,在△PAO 和△PBO 中PA PB AO BO PO PO =⎧⎪=⎨⎪=⎩, △△PAO 和△△PBO ,△△OBP=△OAP=90°,△PB 是△O 的切线.(2)连接BD ,则BD△PO ,且BD=2OC=6在Rt△ACO中,OC=3,AC=4△AO=5在Rt△ACO与Rt△PAO中,△APO=△APO,△PAO=△ACO=90°△△ACO∼△PAO△AO PO CO AO=△PO=253,PA=203△PB=PA=20 3在△EPO与△EBD中,BD△PO△△EPO△△EBD△BD EB PO EP=,解得EB=1207,PE=50021,△sinE=725 PAEP=.点评:本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质.能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中,是解答此题的关键.。
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--切线的证明(含解析)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--切线的证明1.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,O是BC边上的点,⊙O与AB相切,切点为D,AC与⊙O相交于点E,且AD=AE.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)如果F为DE弧上的一个动点(不与D、E重合),过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H,连接OG、OH,有两个结论:①四边形BCHG的周长不变,②∠GOH的度数不变.已知这两个结论只有一个符合题意,找出正确的结论并证明;(3)探究:在(2)的条件下,设BG=x,CH=y,试问y与x之间满足怎样的函数关系,写出你的探究过程并确定变量x的取值范围,并说明当x=y时F点的位置.2.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且CD平分⊙ACB,过点D作DE∥AB交CB延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AC=4,tan∠BAC=12,求DE的长.3.如图,以BC为直径的⊙O交⊙CFB的边CF于点A,BM平分⊙ABC交AC于点M,AD⊙BC于点D,AD交BM于点N,ME⊙BC于点E,AB2=AF·AC,cos⊙ABD=35,AD=12.(1)求证:⊙ABF⊙⊙ACB;(2)求证:FB是⊙O的切线;(3)证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.4.如图1,AB为⊙O直径,CB与⊙O相切于点B,D为⊙O上一点,连接AD、OC,若AD//OC.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)如图2,过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E,连接BD交OC于点F,若AB=3AE=12,求BF的长.5.如图,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,⊙CBO=45°,CD⊙AB.⊙CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动,运动时时间t秒.(1)求点C 的坐标;(2)当⊙BCP=15°时,求t 的值;(3)以点P 为圆心,PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化,当⊙P 与四边形ABCD 的边(或边所在的直线)相切时,求t 的值.6.如图,A 为⊙O 外一点,AO⊙BC ,直径BC =12,AO =10,BD 的长为π,点P 是BC 上一动点,⊙DPM =90°,点M 在⊙O 上,且⊙DPM 在DP 的下方.(1)当sinA =35时,求证:AM 是⊙O 的切线; (2)求AM 的最大长度.7.如图,在平面直角坐标系中,点A 、C 的坐标分别为(0,8)、(6,0),以AC 为直径作⊙O ,交坐标轴于点B ,点D 是⊙O 上一点,且 BD =AD ,过点D 作DE⊙BC ,垂足为E.(1)求证:CD 平分⊙ACE ;(2)判断直线ED 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(3)求线段CE 的长.8.如图,已知AB 是⊙O 的直径,AC 是弦(不是直径),OD ⊙AC 垂足为G 交⊙O 于D ,E 为⊙O 上一点(异于A 、B ),连接ED 交AC 于点F ,过点E 的直线交BA 、CA 的延长线分别于点P 、M ,且ME =MF .(1)求证:PE是⊙O的切线.(2)若DF=2,EF=8,求AD的长.(3)若PE=6 √2,sin⊙P=13,求AE的长.9.如图,已知等边⊙ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D 作DF⊙AC,垂足为F,过点F作FG⊙AB,垂足为G,连结GD.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)求FG的长;(3)求tan⊙FGD的值.10.如图,⊙O是⊙ABC的外接圆,圆心O在AB上,且⊙B=2⊙A,M是OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,EF=FC.(1)求证:CF是⊙O的切线(2)设⊙O的半径为2,且AC=CE,求AM的长11.如图,⊙ O是⊙ ABC的外接圆,AC为直径,弦BD=BA,BE⊥DC交DC的延长线于点E,求证:(1)∠ECB=∠BAD;(2)BE是⊙ O的切线.12.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,连接AD,过点D作DM⊥AC,垂足为M,AB、MD的延长线交于点N.(1)求证:MN是⊙O的切线;(2)若BC=6,cosC=35,求DN的长.13.已知,如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,BD⊙OF于点F,交⊙O于点D,AC与BD交于点G,点E为OC的延长线上一点,且⊙OEB=⊙ACD.(1)求证:BE是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为52,BG的长为154,求tan⊙CAB.14.如图,⊙ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF⊙BC交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由;(2)若⊙O的半径为6,AF=2√3,求AC的长;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.15.如图,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,连结OA、OB、OC,延长BO与AC交于点D,与⊙O交于点F,延长BA到点G,使得∠BGF=∠GBC,连接FG.备用图(1)求证:FG是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为4.①当OD=3,求AD的长度;②当△OCD是直角三角形时,求△ABC的面积.16.如图1,在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点P是线段AD上的一个动点,以点P为圆心,PD为半径作⊙P,连接CP.(1)当⊙P经过PC的中点时,PC的长为;(2)当CP平分∠ACD时,判断AC与⊙P的位置关系.说明理由,并求出PD的长;(3)如图2,当⊙P与AC交于E,F两点,且EF=9.6时,求点P到AC 的距离.答案解析部分1.【答案】(1)解:如图,连接OA,OD,OE,∵AB是⊙O的切线,点D为切点,∴⊙ADO=90°,∵AD=AE,OD=0E,AO=AO,∴⊙AOD⊙⊙AOE,∴⊙ADO=⊙AEO=90°,∴AC是⊙O的切线,点E为切点;(2)解:根据题意,四边形BCHG的周长为BC+CH+BG+HG,∵∠A=90°,AB=AC=4,∴⊙B=⊙C=45°,BC=4 √2,∵⊙ADO=⊙AEO=90°,OD=0E,∴⊙DOB=⊙EOC=45°,⊙BOD⊙⊙COE,∴OB=OC,BD=CE,∴⊙EOD=90°,⊙AOB=90°,⊙BAO=45°,∴BD=OD=DA=CE= 12AB=2,∵AB,AC,GH都是⊙O的切线,∴HF=HE,GD=GF,∴四边形BCHG的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD=BC+CE+BD+GH+HF+FG= BC+CE+BD+2GH=4+4 √2+2GH,∵GH是变量,∴四边形BCHG的周长不是定值,这个结论不符合题意;∵AB,AC,GH都是⊙O的切线,根据切线长定理,得GO平分⊙DOF,HO平分⊙EOF,∴⊙GOH=⊙GOF+⊙HOF= 12⊙DOF+12⊙EOF=12(⊙DOF+⊙EO)= 12⊙EOD,∵⊙EOD=90°,∴⊙GOH=45°,是个定值,故该结论符合题意(3)解:根据题意,GD=GF=x-2,HE=HF=y-2,∴GH=x+y-4,AG=4-x,AH=4-y,在直角三角形AGH中,AG2+AH2=GH2,∴(x−2)2+(y−2)2=(x+y−4)2,整理,得y= 8x,且2<x<4,当x=y时,∴AG=AH,∴AG:AB=AH:AC,∴GH⊙BC,∴OF⊙GH,∵BG=CH,⊙B=⊙C,BO=CO,∴⊙BOG⊙⊙COH,∴GO=HO,∴GF=FH,∴A,F,O三点一线,∴⊙DOF=⊙EOF,∴弧DF=弧EF,故点F是弧DE的中点.2.【答案】(1)解:连接OD,∵AB是⊙O的直径,∴⊙ACB=90°,∵CD平分⊙ACB,∴⊙ACD=45°,∴⊙AOD=2⊙ACD=90°,∵AB∥DE,∴⊙ODE=⊙AOD=90°,∵OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;(2)解:过点B作BG⊙DE于点G,∴⊙BGD=⊙BGE=90°,∵⊙AOD=90°,∴⊙DOB=90°,∵⊙ODE=90°,∴四边形ODGB是矩形,∵OD=OB,∴四边形ODGB是正方形,∴OB=OD=DG=BG,∵AC=4,∴tan∠BAC=1 2,∴BC=2,∴AB=√AC2+BC2=2√5,∴BG=DG=OB=√5,∵AB∥DE,∴⊙ABC=⊙E,∴⊙EBG=⊙BAC,∴tan∠EBG=tan∠BAC=1 2,∴EG=12BG=√5 2,∴DE=DG+EG=3√52.3.【答案】(1)证明:∵BC为⊙O的直径∴⊙BAC=90°∴⊙BAF=⊙BAC=90°又∵AB2=AF·AC∴ABAC=AF AB∴⊙ABF⊙⊙ACB(2)证明:∵⊙ABF⊙⊙ACB∴⊙ABF=⊙C又∵⊙ABC+⊙C=90°∴⊙FBC=⊙ABC+⊙ABF=90°∴BF是⊙O的切线(3)证明:∵ME⊙BC,MA⊙AB,BM平分⊙ABC ∴MA=ME∴⊙AMN=90°-⊙ABM=90°-⊙EBM=⊙EMN∴AB=BE∵NM=NM∴⊙AMN⊙⊙EMN∴AN=NE又∵AD⊙BC,ME⊙BC,∴ME⊙AD,∴⊙ANM=⊙EMN,∴⊙ANM=⊙AMN∴AN=AM∴AN=NE=EM=MA,∴四边形AMEN是菱形.∵cos⊙ABD= 35,⊙ADB=90°∴BDAB=3 5设BD=3x,则AB=5x,AD= √(5x)2−(3x)2=4x 又∵AD=12,∴x=3,∴BD=9,AB=15,∴BE=BA=15∴DE=BE-BD=6∵ND⊙ME,∴⊙BND⊙⊙BME∴NDME=BD BE设ME=y,则ND=12-y,12−y y=9 15,解得y= 15 2∴S= ME⋅DE=152×6=454.【答案】(1)证明:连接OD∵CB与⊙O相切于点B,∴OB⊥BC∵AD//OC,∴∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC∵OA=OD,∴∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC,∴△DOC≌△BOC(SAS),∴∠ODC=∠OBC=90°,∴OD⊥DC又OD为⊙O半径,∴CD为⊙O的切线(2)解:设CB=x∵AE⊥EB,∴AE为⊙O的切线,∴CD、CB为⊙O的切线,∴ED=AE= 4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO,∴BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M,则EM=12,CM=x−4,∴(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9,∴CB=9,∴OC=√62+92=3√13,∵AB是直径,且AD⊙OC∴⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又∵⊙COB=⊙BOF∴OB BF =OC BC∴BF =OB⋅BC OC =6×93√13=1813√13 5.【答案】(1)解:∵⊙BCO=⊙CBO=45°,∴OC=OB=3,又∵点C 在y 轴的正半轴上,∴点C 的坐标为(0,3)(2)解:分两种情况考虑:①当点P 在点B 右侧时,如图2,若⊙BCP=15°,得⊙PCO=30°,故PO=CO•tan30°= √3 ,此时t=4+ √3 ;②当点P 在点B 左侧时,如图3,由⊙BCP=15°,得⊙PCO=60°,故OP=COtan60°=3 √3 ,此时,t=4+3 √3 ,∴t 的值为4+ √3 或4+3 √3(3)解:由题意知,若⊙P 与四边形ABCD 的边相切时,有以下三种情况: ①当⊙P 与BC 相切于点C 时,有⊙BCP=90°,从而⊙OCP=45°,得到OP=3,此时t=1;②当⊙P与CD相切于点C时,有PC⊙CD,即点P与点O重合,此时t=4;③当⊙P与AD相切时,由题意,得⊙DAO=90°,∴点A为切点,如图4,PC2=PA2=(9-t)2,PO2=(t-4)2,于是(9-t)2=(t-4)2+32,即81-18t+t2=t2-8t+16+9,解得:t=5.6,∴t的值为1或4或5.6.6.【答案】(1)证明:如图①,过点O作OE⊙AM于点E,∵在Rt⊙AOE 中,当sinA =35,OA =10, ∴OE =6∵直径BC =12,∴OM =6=OE ,∴点E 与点M 重合,OM⊙AM ,∴AM 是⊙O 的切线.(2)解:如图②,当点P 与点B 重合时,AM 取得最大值.AM 的最大长度可以通过勾股定理求得.延长AO 交⊙O 于点F ,作MG⊙AF 于点G ,连接OD 、OM ,DM ,∵BD 的长为π,∴π=∠BOD⋅π⋅6180, ∴⊙BOD =30°,∵⊙DBM =90°,∴DM 是⊙O 的直径,即DM 过点O ,∴⊙COM =30°,∵AO⊙BC ,∴⊙MOG =60°,在Rt⊙GOM 中,⊙MOG =60°,OM =6,∴OG=3,GM=3√3,在Rt⊙GAM中,AM=√AG2+GM2=14,∴AM的最大长度:14.7.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是⊙O内接四边形,∴⊙BAD+⊙BCD=180°,又∵⊙BCD+⊙DCE=180°,∴⊙DCE=⊙BAD,∵=,∴⊙BAD=⊙ACD,∴⊙DCE=⊙ACD,∴CD平分⊙ACE.(2)解:直线ED与⊙O相切.连接OD.∵OC=OD,∴⊙ODC=⊙OCD,又∵⊙DCE=⊙ACD,∴⊙DCE=⊙ODC,∴OD⊙BE,∴⊙ODE=⊙DEC,又∵DE⊙BC,∴⊙DEC=90°,∴⊙ODE=90°∴OD⊙DE,∴ED与⊙O相切(3)解:延长DO交AB于点H.∵OD⊙BE,O是AC的中点,∴H是AB的中点,∴HO是⊙ABC的中位线,∴HO= 12BC=3,又∵AC为直径,∴⊙ADC=90°,又∵O是AC的中点∴OD= 12AC=12× √62+82=5,∴HD=3+5=8,∵⊙ABC=⊙DEC=⊙ODE=90°,∴四边形BEDH是矩形,∴BE=HD=8,∴CE=8﹣6=28.【答案】(1)证明:连接OE,∵OD⊙AC,∴⊙DGF=90°,∴⊙D+⊙DFG=⊙D+⊙AFE=90°,∴⊙DFG=⊙AFE,∵ME=MF,∴⊙MEF=⊙MFE,∵OE=OD,∴⊙D=⊙OED,∴⊙OED+⊙MEF=90°,∴OE⊙PE,∴PE是⊙O的切线(2)解:∵OD⊙AC,∴CD=AD,∴⊙FAD=⊙AED,∵⊙ADF=⊙EDA,∴⊙DFA ~⊙DAE , ∴AD DE =DF AD, ∴AD 2=DF•DE =2×10=20, ∴AD =2 √5(3)解:设OE =x , ∵sin⊙P = OE OP =13, ∴OP =3x ,∴x 2+(6 √2 )2=(3x )2,解得:x =3,过E 作EH 垂直AB 于H ,sin⊙P = EH PE =6√2=13 , ∴EH =2 √2 ,∵OH 2+EH 2=OE 2,∴OH =1,∴AH =2,∵AE 2=HE 2+AH 2,∴AE =2 √3 .9.【答案】(1)解:连结OD ,如图,∵⊙ABC 为等边三角形,∴⊙C =⊙A =⊙B =60°,而OD =OB ,∴⊙ODB 是等边三角形,⊙ODB =60°,∴⊙ODB =⊙C ,∴OD⊙AC ,∵DF⊙AC ,∴OD⊙DF ,∴DF 是⊙O 的切线;(2)解:∵OD⊙AC ,点O 为AB 的中点,∴OD 为⊙ABC 的中位线,∴BD =CD =6.在Rt⊙CDF中,⊙C=60°,∴⊙CDF=30°,∴CF=12CD=3,∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9,在Rt⊙AFG中,∵⊙A=60°,∴FG=AF×sinA=9× √32=9√32(3)解:过D作DH⊙AB于H.∵FG⊙AB,DH⊙AB,∴FG⊙DH,∴⊙FGD=⊙GDH.在Rt⊙BDH中,⊙B=60°,∴⊙BDH=30°,∴BH=12BD=3,DH=√3BH=3√3,在Rt⊙AFG中,∵⊙AFG=30°,∴AG=12AF=92,∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣92﹣3=92,∴tan⊙GDH=GHDH=923√3=√32,∴tan⊙FGD=tan⊙GDH=√32.10.【答案】(1)证明:连接OC,如图,∵⊙O是⊙ABC的外接圆,圆心O在AB上,∴AB是⊙O的直径,∴⊙ACB=90°,又∵⊙B=2⊙A,∴⊙B=60°,⊙A=30°,∵EM⊙AB ,∴⊙EMB=90°,在Rt⊙EMB 中,⊙B=60°,∴⊙E=30°,又∵EF=FC ,∴⊙ECF=⊙E=30°,又∵⊙ECA=90°,∴⊙FCA=60°,∵OA=OC ,∴⊙OCA=⊙A=30°,∴⊙FCO=⊙FCA+⊙ACO=90°,∴OC⊙CF ,∴FC 是⊙O 的切线(2)解:在Rt⊙ABC 中,∵⊙ACB=90°,⊙A=30°,AB=4, ∴BC=12AB=2,AC=√3BC=2√3, ∵AC=CE ,∴CE=2√3,∴BE=BC+CE=2+2√3,在Rt⊙BEM 中,⊙BME=90°,⊙E=30°∴BM=12BE=1+√3, ∴AM=AB ﹣BM=4﹣1﹣√3=3﹣√311.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴⊙ECB=⊙BAD .(2)证明:连结OB,OD,在⊙ABO和⊙DBO中,{AB=BD BO=BOOA=OD,∴⊙ABO⊙⊙DBO (SSS),∴⊙DBO=⊙ABO,∵⊙ABO=⊙OAB=⊙BDC,∴⊙DBO=⊙BDC,∴OB⊙ED,∵BE⊙ED,∴EB⊙BO,∴BE是⊙O的切线12.【答案】(1)证明:连接OD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°;又∵AB=AC,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD,∵AO=DO,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴OD//AC;∵DM⊥AC,∴∠AMD=90°,∴∠ODN=∠AMD=90°,∴OD⊥MN;又∵OD是⊙O半径,∴MN是⊙O的切线;(2)∵BC=6,BD=CD,∴BD=CD=3;在Rt△ADC中,cosC=CD AC,∵cosC=35,∴AC=5;又∵AB=AC,∴AB=5;在Rt△ADB中,根据勾股定理AD=√AB2−BD2=4,∵∠ODN=90°,∴∠NDB+∠BDO=90°;又∵∠ADB=90°,∴∠BDO+∠ODA=90°,∠OAD=∠ODA,∴∠NDB=∠OAD;又∵∠N=∠N,∴△BDN∽△DAN,∴BNDN=DNAN=BDDA=34,∴BN=34DN,DN=34AN,∴BN=34(34AN)=916AN,∵BN+AB=AN,∴916AN+5=AN,∴AN=80 7,∴DN=34AN=607.13.【答案】(1)证明:∵∠OEB=∠ACD,∠ACD=∠ABD,∴∠OEB=∠ABD,∵OF⊥BD,∴∠BFE=90°,∴∠OEB+∠EBF=90°,∴∠ABD+∠EBF=90°,即∠OBE=90°,∴BE⊥OB,∴BE是⊙O的切线;(2)解:∵OA=OB,∴∠CAO=∠ACO,∵∠CDB =∠CAO ,∴∠ACO =∠CDB ,∵∠CFD =∠GFC ,∴△CDF ∼△GCF ,∴GF CF =CG CD, ∵∠CDB =∠CAB , ∠DCA =∠DBA , ∴△DCG ∼△ABG ,∴CG CD =BG AB, ∴GF CF =BG AB, ∵r =52 , BG =154, ∴AB =2r =5 ,∴tan∠CAB =tan∠ACO =GF CF =BG AB =34. 14.【答案】(1)解:直线AF 与⊙O 相切. 理由如下:连接OC ,∵PC 为圆O 切线,∴CP⊙OC ,∴⊙OCP =90°,∵OF⊙BC ,∴⊙AOF =⊙B ,⊙COF =⊙OCB ,∵OC =OB ,∴⊙OCB =⊙B ,∴⊙AOF =⊙COF ,∵在⊙AOF 和⊙COF 中,{OA =OC ∠AOF =∠COF OF =OF,∴⊙AOF⊙⊙COF(SAS),∴⊙OAF=⊙OCF=90°,∴AF⊙OA,又∵OA为圆O的半径,∴AF为圆O的切线;(2)解:∵⊙AOF⊙⊙COF,∴⊙AOF=⊙COF,∵OA=OC,∴E为AC中点,即AE=CE=12AC,OE⊥AC,∵⊙OAF=90°,OA=6,AF=2√3,∴tan∠AOF=AFOA=2√36=√33,∴⊙AOF=30°,∴AE=12OA=3,∴AC=2AE=6;(3)解:∵AC=OA=6,OC=OA,∴⊙AOC是等边三角形,∴⊙AOC=60°,OC=6,∵⊙OCP=90°,∴CP=√3OC=6√3,∴S⊙OCP=12OC⋅CP=12×6×6√3=18√3,S扇形AOC=60⋅π×62360=6π,∴阴影部分的面积=S⊙OCP﹣S扇形AOC=18√3−6π. 15.【答案】(1)证明:连接AF,∵BF为⊙O的直径,∴∠BAF =90° , ∠FAG =90° , ∴∠BGF +∠AFG =90° ,∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB , ∵∠ACB =∠AFB , ∠BGF =∠ABC , ∴∠BGF =∠AFB ,∴∠AFB +∠AFG =90° ,即 ∠OFG =90° . 又∵OF 为半径,∴FG 是 ⊙O 的切线.(2)解:①连接CF ,则 ∠ACF =∠ABF ,∵AB=AC ,OB=OC ,OA=OA ,∴△ABO ≅△ACO ,∴∠ABO =∠BAO =∠CAO =∠ACO , ∴∠CAO =∠ACF ,∴AO ∥CF ,∴AD CD =OD DF. ∵半径是4, OD =3 ,∴DF =1 , BD =7 , ∴AD CD =3 ,即 CD =13AD , 又由相交弦定理可得: AD ⋅CD =BD ⋅DF , ∴AD ⋅CD =7 ,即 13AD 2=7 , ∴AD =√21 (舍负);②∵△ODC 为直角三角形, ∠ODC =90° 不可能等于 90° . ∴(i )当 ∠ODC =90° 时,则 AD =CD , 由于 ∠ACO =∠ACF ,∴OD =DF =2 , BD =6 , ∴AD ⋅CD =AD 2=6×2=12 ,∴AD=2√3,AC=4√3,∴S△ABC=12×4√3×6=12√3;(ii)当∠COD=90°时,∵OB=OC=4,∴△OBC是等腰直角三角形,∴BC=4√2,延长AO交BC于点M,∵AB=AC,∴弧AB=弧AC,∴AM⊥BC,∴MO=sin45∘⋅BO=2√2,∴AM=4+2√2,∴S△ABC=12×4√2×(4+2√2)=8√2+8.16.【答案】(1)6√3(2)⊙P与AC相切,理由如下:如图1,过点P作PH⊥AC于点H.∵CP平分∠ACD,∴PH=PD,∴⊙P与AC相切于点H.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90∘在Rt△ADC中,CD=9,AD=12,∴AC=15,∴sin∠DAC=3 5设⊙P半径为x,则PH=PD=x,AP=12−x.在 Rt △AHP 中, sin∠PAH =PH AP =x 12−x∴x 12−x =35 ∴x =4.5 ,即 PD 的长为 4.5 . (3)如图2,过点 P 作 PH ⊥AC 于 H ,连接 PF .由(2)可知:在 Rt △AHP 中, sin∠PAH =PH AP =35设 ⊙P 半径为 x ,则 PF =PD =x,AP =12−x .∴PH =35(12−x). 在 ⊙P 中, PH ⊥AC,EF =9.6∴HF =245在 Rt △PHF 中, [35(12−x)]2+(245)2=x 2 ∴x 1=6,x 2=−392 (舍).∴PD =6 ,∴PH =35(12−x)=185 ,即点 P 到 AC 的距离为 185 .。
人教版数学中考专题复习:圆的切线证明题专项训练

人教版数学中考专题复习:圆的切线证明题专项训练1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在AC上,以AE为直径的∠O经过点D.(1)求证:BC是∠O的切线;(2)若∠C=30°,且CD=2.如图,在Rt∠ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A.D的∠O分别交AB,AC于点E,F.(1)求证:BC是∠O的切线;(2)若BE=8,sin B≈513,求∠O的半径;(3)求证:AD2=AB•AF.3.如图,AB 是O 的直径,D 为O 上一点,点E 为BD 的中点,点C 在BA 的延长线上,且CDA B ∠=∠.(1)求证:CD 是O 的切线;(2)若2DE =,30BDE ∠=︒,求OC 的长.4.如图,∠O 的弦AB 、CD 交于点E ,点A 是CD 的中点,连接AC 、BC ,延长DC 到点P ,连接PB .(1)若PB =PE ,判断PB 与∠O 的位置关系,并说明理由.(2)若AC 2=2AE 2,求证:点E 是AB 的中点.5.如图,在Rt ABC 中,∠BAC =90°,以AD 为直径的∠O 与边BC 有公共点E ,且AB =BE .(1)求证:BC是∠O的切线;(2)若BE=3,BC=7,求∠O的半径.⊥于点C,交O于点E,CD与BA的延长线交于点6.如图,AB为O直径,D为O上一点,BC CDF,BD平分ABC∠.(1)求证:CD是O的切线;BC=,求BD的长.(2)若3AB=,27.如图,四边形ABCD内接于∠O,AB是∠O的直径,点P为CA的延长线上一点,∠CAD=45°.(1)若AB=8,求图中阴影部分的面积;(2)若BC=AD,AD=AP,求证:PD是∠O的切线.8.如图,在∠ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE∠AC,垂足为E,∠O经过A,B,D三点.(1)证明:AB是∠O的直径(2)试判断DE与∠O的位置关系,并说明理由;(3)若DE的长为3,∠BAC=60°,求∠O的半径.9.如图,在Rt∠ABC中,∠ACB=90°,E是BC的中点,以AC为直径的∠O与AB边交于点D,连接DE.(1)求证:DE是∠O的切线;(2)若CD=3cm,5cm2DE ,求∠O直径的长.10.如图,点D在∠O的直径AB的延长线上,点C在∠O上,且AC=CD,∠ACD=120°.(1)求证:CD是∠O的切线;(2)若∠O的半径为2,求图中阴影部分的面积.11.如图,在∠ABC中,AB=AC,以AB为直径的∠O与BC相交于点D,DE∠AC于E.(1)求证:DE是∠O的切线;(2)若∠O的半径为5,BC=16,求DE的长.12.如图,AB是∠O的直径,C、D是∠O上的点,BD平分∠ABC,DE∠BE,DE交BC的延长线于点E.(1)求证:DE是∠O的切线;(2)如果CE=1,AC=∠O的半径r.13.如图,AB是O的直径,点C、G为圆上的两点,当点C是弧BG的中点时,CD垂直直线AG,垂足为D ,直线DC 与AB 的延长线相交于点P ,弦CE 平分ACB ∠,交AB 于点F ,连接BE .(1)求证:DC 与O 相切;(2)求证:PC PF =;(3)若1tan 3E =,BE =PF 的长.14.如图,∠O 是四边形ABCD 的外接圆,AC 是∠O 的直径,BE ∠DC ,交DC 的延长线于点E ,CB 平分∠ACE .(1)求证:BE 是∠O 的切线.(2)若AC =4,CE =1,求tan∠BAD .15.如图,AB 为∠O 的直径,射线AD 交∠O 于点F ,C 为BF 的中点,过点C 作CE ∠AD ,连接AC .(1)求证:CE是∠O的切线;(2)若∠BAC=30°,AB=4,求阴影部分的面积.16.如图,∠O是△ABC的外接圆,且AB=AC,四边形ABCD是平行四边形,边CD与∠O交于点E,连接AE.(1)求证△ABC∠∠ADE;(2)求证:AD是∠O的切线..以AB为直径的O交BC于点D,过点D作DE∠AC于点17.已知:如图,在∠ABC中,AB ACE.(1)求证:DE与O相切;AB ,sin B,求线段AF的长.(2)延长DE交BA的延长线于点F,若618.如图,Rt∠ABC中,∠ABC=90°,点E为BC的中点,连接DE.(1)求证:DE是半圆∠O的切线;(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.19.如图,AB是∠O的直径,点E是劣弧AD上一点,∠PBD=∠BED,且DEBE平分∠ABD,BE与AD交于点F.(1)求证:BP是∠O的切线;(2)若tan∠DBE EF的长;(3)延长DE,BA交于点C,若CA=AO,求∠O的半径.20.如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB=4,以点O为圆心、2为半径画圆,过点A作∠O的切线,切点为P,连接OP.将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时,连接AH,BH.设旋转角为α(0°<α<360°).(1)当α=90°时,求证:BH是∠O的切线;(2)当BH与∠O相切时,求旋转角α和点H运动路径的长;(3)当△AHB面积最小时,请直接写出此时点H到AB的距离.参考答案:1.(1)连接OD,∠AD是∠BAC的平分线,∠∠DAB=∠DAO,∠OD=OA,∠∠DAO=∠ODA,则∠DAB=∠ODA,∠DO∠AB,而∠B=90°,∠∠ODB=90°,∠BC是∠O的切线;(2)连接DE、OD、DF、OF,设圆的半径为R,∠∠C=30°,CD=∠OD=CD•tan30°=3,∠∠DAB=∠DAE=30°,∠DE=DF,∠∠DOE=60°,∠∠DOF=60°,∠∠FOA=60°,∠∠OFD、△OF A是等边三角形,∠DF∠AC,∠S阴影=S扇形DFO=2603360π⨯⨯=32π.2.(1)证明: 如图,连接OD ,∠OA =OD ,∠∠ODA =∠OAD ,∠AD 平分∠BAC ,∠∠OAD =∠CAD ,∠∠ODA =∠CAD∠OD AC ∥,∠∠C =90°,∠ ∠ODB =∠C =90°,又∠OD 是∠O 的半径,∠BC 是∠O 的切线;(2)解:90BDO ∠=︒,∴在Rt∠BDO 中,5sin 813OD OD OD B BO BE OD OD ====++, 解得5OD =,故∠O 的半径为5;(3)证明:如图:连接EF ,∠AE 是直径,∠90AFE ACB ∠=︒=∠,∠EF BC ∥,∠AEF B ∠=∠,又∠AEF ADF ∠=∠,∠B ADF ∠=∠,又∠OAD CAD ∠=∠,∠∠DAB ∠∠F AD , ∠AD AF AB AD=, ∠2AD AB AF =⋅.3.(1)解:连接OD ,∠OD OB =,∠B ODB ∠=∠,又∠B CDA ∠=∠,∠ODB CDA ∠=∠,∠AB 是圆O 的直径,∠∠ADB =90°,∠90ODB ODA ∠+∠=︒,∠90CDA ODA ∠+∠=︒即90ODC ∠=︒, ∠CD 是O 的切线;(2)解:连接BE 、OE∠E 是BD 的中点,∠2BE DE ==,OE BD ⊥,260BOE BDE ∠=∠=︒, ∠OBE △是等边三角形,∠2OB BE ==,60BOE ∠=︒∠OB OD =,OE BD ⊥,∠60BOE DOE ∠=∠=︒,∠60DOC ∠=︒在Rt ODC ,60DOC ∠=︒,∠∠C =30°,∠24OC OD ==.4.(1)PB 与∠O 相切,理由是:连接OA 、OB ,OA 交CD 于F ,∠点A 是CD 的中点,∠OA ∠CD ,∠∠AFE =90°,∠∠OAE +∠AED =90°,∠OA=OB,PB=PE,∠∠OAE=∠OBA,∠PEB=∠PBE,∠∠AED=∠PEB,∠∠OBA+∠PBE=90°,即∠OBP=90°,∠OB∠PB,∠PB与∠O相切;(2)∠AC=AD,∠∠ACE=∠ABC,∠∠CAE=∠BAC,∠∠ACE∠∠ABC,∠ACAE=ABAC,∠AC2=AE•AB,∠AC2=2AE2,∠AE•AB=2AE2,∠AB=2AE,∠E为AB的中点.5.(1)证明:连接OB,OE,如图所示,在ABO和EBO△中,AB BE OA OE OB OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∠()SSS ABO EBO △△≌, ∠90BEO BAO ∠=∠=︒,即OE BC ⊥,∠BC 是O 的切线;(2)解:∠3BE =,7BC =,∠3AB BE ==,4CE =,∠AC == ∠OE BC ⊥,∠222OE EC OC +=,即()2224OE OE +=,解得:OE = ∠O6.(1)连接OD ,如图,∠BD 平分ABC ∠,∠ABD DBC ∠=∠,∠OB OD =,∠OBD ODB ∠=∠∠DBC ODB ∠=∠,∠∥OD BC ,∠ODF C ∠=∠∠BC CD ⊥,∠90C ∠=︒,∠90ODF C ∠=∠=︒,即OD DC ⊥,∠CD 是O 的切线(2)连接AD ,如图,∠AB 为O 直径,∠90ADB ∠=︒∠90C ∠=︒,∠90ADB C ∠=∠=︒∠ABD DBC ∠=∠,∠ABD DBC △△∽ ∠BC BD BD AB =,即23BD BD =, ∠BD =∠BD .7.(1)解:如图,连接OC ,OD ,∠∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∠∠COD=90°,∠AB=8,∠OC=12AB=4,∠S扇形COD=2904360π⨯⨯=4π,S△OCD=12×OC×OD=12×4×4=8,∠S阴影= S扇形COD- S△OCD =4π﹣8.(2)证明:∠BC=AD,∠BC AD=,∠∠BOC=∠AOD,∠∠COD=90°,∠∠AOD=45°,∠OA=OD,∠∠ODA=∠OAD,∠∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,∠∠ODA=67.5°,∠AD=AP,∠∠ADP=∠APD,∠∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,∠∠ADP=12∠CAD=22.5°,∠∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°,∠PD是∠O的切线.8.(1)解:如图所示,连接AD∠AB=AC,BD=DC,∠AD∠BC即∠ADB=90°,∠AB是∠O的直径.(2)解:DE与∠O相切,理由如下:如图所示,连接OD,∠OB=OA,BD=DC,∠OD是∠ABC的中位线,∥.∠OD AC∠DE∠AC,∠DE∠OD即∠ODE=90°,∠DE与∠O相切.(3)解:∠AB=AC,AD∠BC,∠BAC=60°,∠∠BAD=∠DAE=30°.∠DE∠AC,AD∠BD,∠AD=2DE=6,AB=2BD.在∠ABD 中,222BD AD AB +=, ∠()22262BD BD +=,解得BD =∠2AB BD ==,∠∠O 的半径为9.(1)连接OD∠AC 为圆O 的直径 ∠∠ADC =90°∠OD =OC∠∠ODC =∠OCD在Rt ∠BCD 中,∠E 为BC 中点 ∠12DE BC CE == ∠∠EDC =∠ECD∠∠ODC +∠EDC =∠OCD +ECD =90° 即∠ODE =90°∠OD ∠DE∠DE 是圆O 的切线(2)在Rt∠BCD中,∠E为BC中点∠BC=2DE=5∠CD=3∠BD=4∠AC为直径,∠∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°,又∠∠B=∠B∠∠ABC∠∠CBD,∠AC BC CD BD=∠5 34 AC=∠154=AC cm10.(1)证明:如图,连接OC,∠CD=AC,∠∠CAD=∠D,又∠∠ACD=120°,∠∠CAD=∠D=12(180°﹣∠ACD)=30°,∠OC=OA,∠∠A=∠2=30°,∠∠COD=60°,又∠∠D=30°,∠∠OCD=180°﹣∠COD﹣∠D=90°,∠OC∠CD∠OC是∠ O的半径∠CD是∠ O的切线;(2)解:∠∠A =30°,∠∠1=2∠A =60°. ∠260223603OBC S ππ⨯==扇形 ,在Rt ∠OCD 中,tan 60CD OC ==•︒=∠11222Rt OCD S OC CD =⨯=⨯⨯=△.∠图中阴影部分的面积为23π.11.(1)证明:如图:连接OD .∠AB =AC ,∠∠B =∠C ,又∠OD =OB ,∠∠ODB =∠OBD .∠∠ODB =∠ACB .∠OD AC ∥,∠DE ∠AC .∠OD ∠DE .∠OD 是圆的半径,∠DE 是∠O 的切线;(2)解:如图:连接AD ,∠AB为∠O的直径,∠∠ADB=90°,即AD∠BC,又∠AB=AC,BC=16,∠BD=CD=8,∠∠O的半径为5,∠AC=AB=10,∠6 AD=,∠S△ADC11••22AC DE CD AD ==,∠10DE=8×6,∠DE=4.8.12.(1)解:连接OD,如下图所示:∠OB=OD,∠∠OBD=∠ODB,∠BD平分∠ABC,∠∠OBD=∠DBE,∠∠ODB=∠DBE,∠OD∥BE,∠DE∠BE于点E,∠∠E=90°,∠∠ODE=180°-∠E=180°-90°=90°,∠OD∠DE;∠DE是∠O的切线.(2)解:设OD交AC于点M,如下图:∠AB为∠O的直径,∠∠ACB=∠ACE=90°,由(1)知,∠ODE=90°,∠∠ACE=∠E=∠ODE=90°,∠四边形DECM为矩形,∠EC=DM=1,∠MO∥CB,O为AC的中点,∠MO为∠ABC的中位线,且∠AMO=∠ACB=90°,AC∠AM=MC=12设圆的半径为r,则MO=DO-DM=r-1,在Rt∠AMO中,由勾股定理可知:AO²=AM²+MO²,代入数据:222=+-,r r(1)解出:4r=,故圆∠O的半径为4.13.(1)解:(1)CD AD ⊥,90D ∴∠=︒,∠∠DAC +∠DCA =90°,点c 是弧BG 的中点,∠CG BC =DAC BAC ∴∠=∠,OA OC =,OCA BAC ∴∠=∠,OCA DAC ∠=∠∴,//∴AD OC ,∠∠D =∠OCP =90°, OC 是圆O 的半径,DC ∴与O 相切,(2) AB 是O 的直径,90ACB ∴∠=︒,90PCB ACD ∴∠+∠=︒,由(1)得:90DAC DCA ∠+∠=︒,PCB DAC ∴∠=∠,DAC BAC ∠=∠,PCB BAC ∴∠=∠, CE 平分ACB ∠,ACF BCF ∴∠=∠,∠∠PFC =∠BAC +∠ACF ,∠PCF =∠PCB +∠BCF ,PFC PCF ∴∠=∠,PC PF ∴=;(3)连接AE ,CE 平分ACB ∠,∴AE BE =,AE BE ∴=, AB 是O 的直径,90AEB ∴∠=︒,AEB ∴∆为等腰直角三角形,∠AB ,∠OB =OC ∠1tan 3E = ∠1tan 3BC CAB AC ==∠, ∠∠PCB =∠BAC ,∠P =∠P ,∠△PCB ∠△P AC , ∠13BC PB AC PC ==, ∴设PB x =,3=PC x ,在Rt OCP ∆中,222OC PC OP +=,∠222(3))x x +=,∠x =x =0(舍去),∠PC∠PF 14.(1)证明:如图,连接OB,∠CB平分∠ACE.∠∠ACB=∠ECB,∠OB=OC,∠∠BCO=∠CBO,∠∠BCE=∠CBO,∠OB∠ED.∠BE∠ED,∠EB∠BO.∠BE是∠O的切线;(2)解:∠AC是∠O的直径,∠∠ABC=90°,∠BE∠ED,∠∠E=90°,∠∠E=∠ABC,∠∠BCE=∠ACB,∠∠BCE∠∠ACB,∠BC CE AC BC=,∠AC=4,CE=1,∠2BC==,∠BE,∠∠BCD+∠BAD=∠BCD+∠BCE=180°,∠∠BCE=∠BAD,∠tan tan BE BAD BCE CE∠=∠== 15.(1) 解:(1)连接BF ,OC ,∠AB 是∠O 的直径,∠∠AFB =90°,即BF ∠AD ,∠CE ∠AD ,∠BF ∠CE ,∠点C 为劣弧BF 的中点,∠OC ∠BF ,又BF ∠CE ,∠OC ∠CE ,∠OC 是∠O 的半径,∠CE 是∠O 的切线;(2)解:连接OF ,CF ,∠OA =OC ,∴∠OCA =∠BAC =30°,∠∠BOC =60°,∠点C 为劣弧BF 的中点,∠FC BC =,∠∠FOC =∠BOC =60°,∠OF =OC ,∴△FOC为等边三角形,∠∠OCF=∠COB=60°,∠CF∠AB,∠S△ACF=S△OCF,∠阴影部分的面积等于S扇形COF,∠AB=4,∠FO=OC=OB=2,∠S扇形FOC=260223603ππ⋅⨯=,即阴影部分的面积为23π.16.(1)解:∠四边形ABCD是平行四边形,∠∠B=∠D.∠四边形ABCE为∠O的内接四边形,∠∠B+∠AEC=180°.∠∠AED+∠AEC=180°.∠∠B=∠AED.∠AB=AC,∠AB=∠ACB∠∠ACB=∠AED.∠∠ABC∠∠ADE.(2)解:如图,连接AO并延长,交BC于点M,连接OB、OC.∠AB=AC,OB=OC,∠AM垂直平分BC.∠∠AMC=90°.∠四边形ABCD是平行四边形,∠AD∠BC.∠∠DAO=90°.∠点A在∠O上,∠AD是∠O的切线.17.(1)证明:连接OD,∠AB=AC,∠=∠,∠B C=,又∠OB OD∠1∠=∠,B∠C1∠=∠,∥,∠OD AC∠DE∠AC于E,∠DE∠OD,∠OD是O的半径,∠DE与O相切;(2)解:如图:连接AD,∠AB为O的直径,∠∠ADB=90°,∠AB =6,sin B∠sin AD AB B =⋅ ∠123290∠+∠=∠+∠=︒, ∠13∠=∠,∠3B ∠=∠,在∠AED 中,∠AED =90°,∠sin 3AE AD ∠==∠65AE AD ===. 又∠OD AE ∥, ∠∠FAE ∠∠FOD , ∠FA AE FO OD=, ∠6AB =,∠3OD AO ==, ∠235FA FA =+, ∠2AF =.18.(1)连接OD ,BD ,如图,AB 是直径,90ADB ∴∠=︒, 90BDC ∴∠=︒,E 是BC 的中点,12DE BE EC BC ∴=== EBD EDB ∠∠∴=,OB OD =OBD ODB ∠∠∴=OBD EBD ODB EDB ∠∠∠∠∴+=+即90ODE ABC ∠=∠=︒OD DE ∴⊥ OD 是半径,∴DE 是半圆∠O 的切线.(2)2DE =24BC ED ∴==30BAC ∠=︒28AC BC ∴==AB ∴==12BD AB ∴==6AD ∴=.19.(1) 证明:∠AB 是∠O 的直径,∠∠ADB =90︒,∠∠DAB +∠ABD =90︒,∠∠BED =∠DAB ,∠PBD =∠BED ,∠∠DAB =∠PBD ,∠∠PBD +∠ABD =90︒,∠∠ABP =90︒,∠AB ∠PB ,∠BP 是∠O 的切线;(2)解:连接AE ,∠AB 是直径∠∠AEB =90︒,∠BE 平分∠ABD ,∠∠ABE =∠DBE ,∠AE DE =,∠AE =DE∠∠ABE =∠DBE =∠DAE ,∠tan tan tan EF DBE ABE DAE EA ∠∠∠====,∠EF (3)解:连接OE ,∠OE =OB ,∠∠ABE =∠OEB ,∠∠ABE =∠DBE ,∠∠DBE =∠OEB ,∠//OE BD ∠CE OC DE OB=, ∠CA =AO ,设CA =AO =BO =R , ∠22CE R DE R==,2=, ∠CE∠DC = CE +DE∠∠ADC =∠ABE ,∠C =∠C ,∠CAD CEB △∽△, ∠CD AC CB CE=,= ∠R,∠∠O20.(1)证明:∠α=90°,∠AOB =90°,∠∠AOP =∠BOH ,在∠AOP 和∠BOH 中,OA OB AOP BOH OP OH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOP ∠∠BOH (SAS ),∠∠OP A=∠OHB,∠AP是∠O的切线,∠∠OP A=90°,∠OHB=90°,即OH∠BH于点H,∠BH是∠O的切线;(2)如图,过点B作∠O的切线BC,BD,切点分别为C,D,连接OC,OD,则有OC∠BC,OD∠BD,∠OC=2,OB=4,∠cos2142OCBOCOB===∠∠∠BOC=60°,同理∠BOD=60°,当点H与点C重合时,由(1)知:α=90°,∠∠OHB=90°.∠圆弧PH的长为902180ππ⨯=;当点H与点D重合时,α=∠POC+∠BOC+∠BOD=90°+2×60°=210°,∠圆弧PH的长为21027 1803ππ⨯=,∠当BH与∠O相切时,旋转角α=90°或210°,点H运动路径的长为π或73π;(3)设h表示点H到直线AB的距离,作ON∠AB于点N,H在圆O上,在Rt∠ONB中,∠OBN=45°,OB=4,∠ON=4cos45°=∠h的最小值为=ON﹣r=2∠当∠AHB面积最小时,点H到AB的距离为2。
圆的切线证明 中考数学专项训练(含答案解析)

圆的切线证明(1)求证:CD 为O 切线;(2)若1CD =,5AC =,求PB (1)求证:CD 是O 的切线;(2)若16ABCD S =正方形,求CE3.如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,AD 平分BAC ∠交BC 于点D ,O 为AB 上一点,经过点A ,D 的O 分别交AB ,AC 于点E ,F 连接OF 交AD 于点G .(1)求证:BC 是O 的切线;(2)若60OFA ∠=︒,半径为4,在圆O 上取点P ,使15PDE ∠=︒,求点P 到直线DE 的距离.4.如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的弦,AB CD ⊥,垂足是点H ,过点C 作直线分别与AB ,AD 的延长线交于点E ,F ,且2ECD BAD ∠=∠.(1)求证:CF 是O 的切线;(2)如果20AB =,12CD =,求AE 的长.5.如图,O 是ABC 的外接圆,O 点在BC 边上,BAC ∠的平分线交O 于点D ,连接BD 、CD ,过点D 作BC 的平行线,与AB 的延长线相交于点P .(1)求证:PD 是O 的切线;(2)若3AB =,4AC =,求线段BD 的长.6.如图,已知以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O ,与斜边AC 交于点D ,E 为BC 边上的中点,连接DE .(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若AD ,AB 的长是方程210240x x -+=的两个根,求直角边BC 的长.(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30C ∠=︒,23CD =,求图中阴影部分的面积.(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若2AB =,30C ∠=︒,求9.如图,AB 为O 的直径,C ,D 为O 上的两点,BAC DAC ∠=∠,过点C 作直线EF AD ⊥,交AD 的延长线于点E ,连接BC .(1)求证:EF 是O 的切线;(2)若30CAO ∠=︒,2BC =,求CE 的长.10.如图,AB 是O 的直径,点C 是O 上一点(与点A ,B 不重合),过点C 作直线PQ ,使得ACQ ABC ∠=∠.(1)求证:直线PQ 是O 的切线.(2)过点A 作AD PQ ⊥于点D ,交O 于点E ,若O 的半径为2,30DAC ∠=︒,求图中阴影部分的面积.11.如图,等腰ABC 的顶点A ,C 在O 上, BC 边经过圆心0且与O 交于D 点,30B ∠=︒.(1)求证:AB 是O 的切线;(2)若6AB =,求阴影部分的面积12.如图,AB 是ABC 外接圆O 的直径,PA 是O 的切线,BD OP ∥,点D 在O 上.(1)求证:PD 是O 的切线.(2)若ABC 的边6cm AC =,8cm BC =,I 是ABC 的内心,求IO 的长度.13.如图,AB 是O 的直径,AC 是弦,点D 是O 上一点,OD AB ⊥,连接CD 交AB 于点E ,F 是AB 延长线上的一点,且CF EF =.(1)求证:CF 是O 的切线;(2)若8CF =,4BF =,求弧BD 的长度.14.如图所示,在Rt ABC △中,点O 在斜边AB 上,以O 为圆心,OB 为半径作圆O ,分别与BC 、AB 相交于点D 、E ,连接AD ,已知CAD B ∠=∠.(1)求证:AD 是O 的切线;(2)若23AD CD ==时,求阴影部分的面积.(1)求证:PA是O(2)若tan CAD∠=(3)延长CD,AB交于点(1)求证:DE BG=;(2)求证:BF是O的切线;(3)若23DEEG=时,AE(1)当60A ∠=︒,2AD =时,求(2)求证:DF 是O 的切线.(1)求证:DF 是O (2)若 BE DE =,tan(1)求证:直线AB 为O 的切线;(2)若4tan 3A =,O 的半径为2,求AB (1)求证:BF 是O 的切线;(2)若6EF =,cos ABC ∠①求BF 的长;②求O 的半径.参考答案:∵CD AE ⊥,∴90ADC ∠=︒,∵OC OA =,∴OCA OAC ∠=∠,∵的平分线AC 交O 于∵AB 为O 直径,∴90ACB ∠=︒,∴90ADC ACB ∠=∠=︒,∵DAC OAC ∠=∠,∴,【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.3.(1)见解析(2)232-或423-【分析】(1)连接OD ,可得(2)①过点P 作PN DE ⊥交交于H ,可求60EOD ∠=︒,即可求解;②连接OD ,OP 60EOD ∠=︒,30POE ∠=︒,可证求解.【详解】(1)解:如图,连接∴OA OD =,∴ODA OAD ∠=∠,AD 是BAC ∠的平分线,, ∠=︒PDE15=,PE PE ∴∠=︒POE30,OA OF∠=︒60OFA=,∴∠=︒,OAF60∠的平分线, AD是BAC同理可求60EOD ∠=︒,30POE ∠=︒,1302DOL EOD ∴∠=∠=︒,30DOP EOD POE ∠=∠-∠=︒,DOP DOL ∴∠=∠,AB 是O 的直径,90ACB ∴∠=︒,AO OB =,AB CD ⊥ ,AB ∴平分弦CD ,AB 平分 CD,CH HD ∴=, CBDB =,90CHA CHE ∠=︒=∠,BAD BAC DCB ∴∠=∠=∠,∵AB 是O 的直径,∴90ADB ∠=︒,∴BDC 为直角三角形,∵E 为BC 边上的中点,∴ED EB =,∴12∠=∠,∵OB OD =,3=4∠∠∵AB AC =,∴A ABC CB =∠∠,设OB OD r ==,∴ABC ODB ∠=∠,∵AB AC =,23CD =,C ∠=∴23BD CD ==,30B C ∠=∠=∴1803030120BOD ∠=︒-︒-︒=︒OF BD ⊥==OB OD AB AC,∴∠=∠,B CB ODB∠=∠∴∠=∠.ODB C∴∥.OD AC,=OA OC∴∠=∠,OAC OCAQ,∠=∠DAC BAC∴∠=∠,DAC OCA∥,∴AD OC,EF AD⊥∴⊥,而OC为半径,EF OC的切线;∴是OEF的直径,(2)解:AB为O(1)根据题意连接OC ,可知90ACB ∠=︒,可知AOC 是等腰三角形,OAC OCA ∠=∠,继而可证90OCD ∠=︒;(2)连接OE ,过点E 作EF AB ⊥,根据题意可知60EAO ∠=︒即可得知AEO △为等边三角形,再求出扇形AOE 面积减去AEO △的面积即为阴影面积.【详解】(1)解:连接OC ,,∵OA OC =,AB 是O 的直径,∴90ACB ∠=︒,∴90CAB CBA ∠+∠=︒,∴AOC 是等腰三角形,∴OAC OCA ∠=∠,∵ACQ ABC ∠=∠,∴90ACQ OCA ∠+∠=︒,∴OC PQ ⊥,∴直线PQ 是O 的切线;(2)解:连接OE ,过点E 作EF AB ⊥,,∵AD PQ ⊥,ACQ ABC ∠=∠,∴30DAC CAB ∠=∠=︒,∴60EAO ∠=︒,∵AB 为O 的直径,∴90ADB ∠=︒,∵BD OP ∥,∴OP AD ⊥,OP 是AD 的垂直平分线,∴PD PA =,则IU IV IQ ==,∵AB 为O 的直径,∴90ACB ∠=︒,∵6cm AC =,8cm BC =,∴226810AB =+=,5OB OA ==(2)3π.【分析】本题考查了切线的判定,求弧长;(1)如图,连接OC ,OD .证明90OCF ∠=︒即可;(2)设O 的半径为r ,在Rt COF △中,勾股定理可得6r =,再根据弧长公式可解决问题.【详解】(1)证明:连接OCCF EF= CEF ECF∴∠=∠OD AB⊥ 90DOE ∴∠=︒,90ODE OED ∴∠+∠=︒,OD OC = ,ODE OCD ∴∠=∠,CEF OED ∠=∠ ,OED ECF ∴∠=∠,90OCD ECF ∴∠+∠=︒,即90OCF ∠=︒,OC CF ∴⊥,CF ∴是O 的切线.(2)设O 的半径为r ,∵4BF =,∴4OF r =+,在Rt OCF 中,90,∠=︒ACB∴∠+∠CAD ADC=,OB OD∴∠=∠,B ODB则sin 30OH OD =⋅ODB S S S ∴=-阴影扇形∴CAD BAD ∠=∠,∴5CD BD ==,∵AB 为直径,点∴90ADB ∠=︒,∵2DOB DAB ∠=∠=∠又∵DFO CFA ∠=∠,∴DOF CAF ∽,又∵OB BF OA ==,∴23DF FO FC FA ==,∴90EHB BGF ∠=∠=︒,∵点C 为劣弧BD 中点,∴ CDBC =,∴DAC BAC DBC ∠=∠=∠∵AD 是O 的直径,∴90AED ∠=︒,∵60A ∠=︒,2AD =∴30ADE ∠=︒,则12AE =∴2222DE AD AE =-=∵AD 是直径,∴90AED ∠=︒,∴1809090DEB ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 为菱形,∴DBE DBF ∠=∠,AD ∥∵BE BF =,DB DB =,∴()SAS DBE DBF ≌,∴90DFB DEB ∠=∠=︒,∵AD BC ∥,∴90ADF DFB ∠=∠=︒,∴AD DF ⊥,∵AD 为直径,∴DF 是O 的切线.【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,切线的判定,解题的关键是作出辅助线,熟练掌握切线的判定方法.18.(1)见解析(2)52AB 是O 的直径,90ADB ∴∠=︒,90BDC ∴∠=︒,90BDF CDF ∠∠∴+=︒,OB OD = ,OBD ODB ∴∠=∠,CDF ABD ∠∠= ,ODB CDF ∠∠∴=,90ODB BDF ∴∠+∠=︒,90ODF ∴∠=︒,DF OD ∴⊥,OD 是O 的半径,DF ∴是O 的切线;(2)如图,连接AE ,∵ BEDE =,BAE CAE ∴∠=∠,AB 是O 的直径,90AEB ∴∠=︒,90AEC ∴∠=︒,AEB AEC ∴∠=∠,∵OC OD =,∴OCD ODC ∠=∠.设OCD ODC α∠=∠=,∴22A BCD α∠=∠=.∵90ACB ∠=︒,。
(完整版)中考数学-圆的切线证明综合试题

专题-------圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系,就出现了新的一类习题,就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内,证明圆的切线常用的方法有:一、若直线l 过⊙O 上某一点A ,证明l 是⊙O 的切线,只需连OA ,证明OA⊥l 就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.例1 如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ,交AC 于E ,B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证:EF 与⊙O 相切.证明:连结OE ,AD. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC, ∴∠3=∠4. ∴BD=DE,∠1=∠2. 又∵OB=OE,OF=OF , ∴△BOF≌△EOF(SAS ). ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切, ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900.∴EF 与⊙O 相切.说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图,AD 是∠BAC 的平分线,P 为BC 延长线上一点,且PA=PD.求证:PA 与⊙O 相切.证明一:作直径AE ,连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠DAB=∠DAC.⌒⌒∵PA=PD, ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB, ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E, ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径, ∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二:延长AD 交⊙O 于E ,连结OA ,OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线,∴BE=CE,∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE, ∴∠E=∠1. ∵PA=PD, ∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切说明:此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.例3 如图,AB=AC ,AB 是⊙O 的直径,⊙O 交BC 于D ,DM⊥AC 于M求证:DM 与⊙O 相切.证明一:连结OD. ∵AB=AC, ∴∠B=∠C.⌒⌒∵OB=OD,∴∠1=∠B.∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC,∴DM⊥OD.∴DM 与⊙O 相切证明二:连结OD ,AD.∵AB 是⊙O 的直径,∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC,∴∠2+∠4=900∵OA=OD,∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM 是⊙O 的切线说明:证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的,解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图,已知:AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,且∠CAB=300,BD=OB ,D 在AB 的延长线上.求证:DC 是⊙O 的切线证明:连结OC 、BC.∵OA=OC,∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB,∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC.∵OB=BD, ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线.说明:此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的,此题解法颇多,但这种方法较好.例5 如图,AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB,且OA 2=OD·OP.求证:PC 是⊙O 的切线.证明:连结OC∵OA 2=OD·OP ,OA=OC , ∴OC 2=OD·OP ,.OCOPOD OC 又∵∠1=∠1, ∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB, ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明:此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图,ABCD 是正方形,G 是BC 延长线上一点,AG 交BD 于E ,交CD 于F.求证:CE 与△CFG 的外接圆相切.分析:此题图上没有画出△CFG 的外接圆,但△CFG 是直角三角形,圆心在斜边FG 的中点,为此我们取FG 的中点O ,连结OC ,证明CE⊥OC 即可得解.证明:取FG 中点O ,连结OC.∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD,△CFG 是Rt△∵O 是FG 的中点, ∴O 是Rt△CFG 的外心. ∵OC=OG, ∴∠3=∠G,∵AD∥BC,∴∠G=∠4.∵AD=CD,DE=DE,∠ADE=∠CDE=450,∴△ADE≌△CDE(SAS)∴∠4=∠1,∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:“作垂直;证半径”例7 如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.求证:AC与⊙D相切.证明一:连结DE,作DF⊥AC,F是垂足.∵AB是⊙D的切线,∴DE⊥AB.∵D F⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵BD=CD,∴△BDE≌△CDF(AAS)∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二:连结DE,AD,作DF⊥AC,F是垂足.∵AB与⊙D相切,∴DE⊥AB.∵AB=AC,BD=CD,∴∠1=∠2.∴DE=DF.∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明:证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的,证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的,这类习题多数与角平分线有关.例8 已知:如图,AC ,BD 与⊙O 切于A 、B ,且AC∥BD,若∠COD=900.求证:CD 是⊙O 的切线.证明一:连结OA ,OB ,作OE⊥CD,E 为垂足.∵AC,BD 与⊙O 相切, ∴AC⊥OA,BD⊥OB. ∵AC∥BD,∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900,∴∠2+∠3=900,∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴.ODOCOB AC = ∵OA=OB, ∴.ODOCOA AC = 又∵∠CAO=∠COD=900, ∴△AOC∽△ODC,∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC,OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线.证明二:连结OA ,OB ,作OE⊥CD 于E ,延长DO 交CA 延长线于F.∵AC,BD 与⊙O 相切,O∵AC∥BD,∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB,∴△AOF≌△BOD(AAS )∴OF=OD.∵∠COD=900,∴CF=CD,∠1=∠2.又∵OA⊥AC,OE⊥CD,∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三:连结AO 并延长,作OE⊥CD 于E ,取CD 中点F ,连结OF.∵AC 与⊙O 相切,∴AC⊥AO.∵A C∥BD,∴AO⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ,∴AO 的延长线必经过点B.∴AB 是⊙O 的直径.∵AC∥BD,OA=OB ,CF=DF ,∴OF∥AC,∴∠1=∠COF.∵∠COD=900,CF=DF ,∴.CF CD OF ==21∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC,OE⊥CD,∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明:证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2,这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难,需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是武汉市2007----2010中考题汇编:(2007中考)22.(本题8分)如图,等腰三角形ABC 中,AC =BC =10,AB =12。
圆的切线证明(中考)

D C A B A BCD OC A P ODCE OA DB 第二十四章 圆 练习1. 如图所示,OA 是圆O 的半径,弦CD ⊥OA 于点P ,已知OC=5,OP=3,则弦CD=__________。
2. 如图所示,在圆O 中,AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB ,OE ⊥AC ,垂足分别为D 、E ,若AC=2cm ,则圆O 的半径为____________cm 。
3. 如图所示,AB 是圆O 的直径,弦CD ⊥AB ,E 为垂足,若AB=9,BE=1,则CD=__________。
4、如图所示,在△ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8,以AC 为直径作圆与斜边交于点P ,则BP 的长为________________。
5. 如图所示,四边形ABCD 内接于圆O ,∠BCD=120°,则∠BOD=____________度。
6. 如图所示,圆O 的直径为10,弦AB 的长为6,M 是弦AB 上的一动点,则线段的OM 的长的取值范围是( ) A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3<OM <5 D. 4<OM <57. 如图所示,A 、B 、C 三点在圆O 上,∠AOC=100°,则∠ABC 等于( )A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°8、如图,PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ,⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ,切点C 在上,若PA 长为3,则△PEF 的周长是__________9. 如图所示,已知AB 为圆O 的直径,AC 为弦,OD ∥BC 交AC 于D ,OD=cm 2,则BC=_________,∠ADO=_______.10. 如图所示,Rt △ABC 的两直角边BC=3cm ,AC=4cm ,斜边AB 上的高为CD ,若以C 为圆心,分别以r 1=2cm ,r 2=2.4cm ,r 3=3cm ,为半径作圆,试判断点D 与这三个圆的位置关系。
中考圆的切线证明题(学生版)

中考圆的切线证明题(学⽣版)CEABOP圆的切线证明(四)1 如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ,交AC 于E ,B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证:EF 与⊙O 相切.(2011中考)2.如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,过A 作OP 的垂线AB ,垂⾜为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ,与PA 的延长线交于点E,(1)求证:PB 为⊙O 的切线;(2)若tan ∠ABE=21,求sin ∠E.》3 如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上⼀点,且PA=PD.求证:PA与⊙O相切.【4如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M 求证:DM与⊙O相切.D ,5 如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D 在AB的延长线上.求证:DC是⊙O的切线|6 如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.(求证:PC是⊙O的切线.】7 如图,ABCD是正⽅形,G是BC延长线上⼀点,AG交BD于E,交CD于F.求证:CE与△CFG的外接圆相切.8. (2006北京中考)已知:如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的!延长线上,,∠CAD=30°.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若OD⊥AB,BC=5,求AD的长.9.(2007北京中考)已知:如图,A 是O 上⼀点,半径OC 的延长线与过点A的直线交于B 点,OC BC =,12AC OB =. "(1)求证:AB 是O 的切线;(2)若45ACD ∠=°,2OC =,求弦CD 的长.<9.(2008北京中考)已知:如图,在Rt ABC △中,90C ∠=,点O 在AB 上,以O 为圆⼼,OA 长为半径的圆与AC AB ,分别交于点D E ,,且CBD A ∠=∠.(1)判断直线BD 与O 的位置关系,并证明你的结论;(2)若:8:5AD AO =,2BC =,求BD 的长.10.(2009北京中考)已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,AE 是⾓平分线,BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. *(1)求证:AE 与⊙O 相切;(2)当BC=4,cosC=13时,求⊙O 的半径.OABC)11.(2010北京中考)已知:如图,在△ABC中,D是AB边上⼀点,圆O过D、B、C三点,DOC=2ACD=90。
中考数学总复习《圆的切线的证明》专项提升练习题-附答案

中考数学总复习《圆的切线的证明》专项提升练习题-附答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1.如图,O为菱形 ABCD对角线上一点,⊙O与BC相切于点M.求证:CD与⊙O相切.2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD+BC=AB,以AB为直径作⊙O,求证:CD是⊙O的切线.3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O经过点E,且交BC 于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若BF=6,⊙O的半径为5,求CE的长.4.如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,DE=3,连接DB,过点E作EM∥BD,交BA 的延长线于点M.(1)求⊙O的半径;(2)求证:EM是⊙O的切线;(3)若弦DF与直径AB相交于点P,当∠APD=45º时,求图中阴影部分的面积.5.如图,在Rt△ABC中∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,点O是AB边上的点,以BD为弦的⊙O 交AB于点E.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若∠A=30°,OB=1求阴影部分的面积.6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,连接DE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若CD=3cm,DE=2.5cm,求⊙O直径的长.7.如图,AB是⊙O的直径,点C、E在⊙O上,AC平分∠BAE,CM⊥AE于点D.求证:CM是⊙O的切线.8.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,D是圆外一点,连接DA,∠DAC=∠ABC连接DC交⊙O于点E.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若AD=4,E是CD的中点,求CE的长度.9.如图所示,AB是⊙O的直径,AD是弦,∠DAB=20°,延长AB到点C,使得∠ACD=50°,求证:CD是⊙O的切线.10.如图,在⊙O中,直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接AC,将△ACE沿AC翻折得到△ACF,直线FC与直线AB相交于点G.(1)直线FC与⊙O有何位置关系?并说明理由;(2)若OB=BG=2,求CD的长.二、综合题11.如图,AB是⊙O的弦,过AB的中点E作EC⊥OA,垂足为C,过点B作直线BD交CE的延长线于点D,使得DB=DE.(1)求证:BD是⊙O的切线;(2)若AB=12,DB=5,求△AOB的面积.⌢的中点,EF∥12.如图,AB是⊙O的直径,AB=6,OC⊥AB,OC=5,BC与⊙O交于点D,点E是BDBC,交OC的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)CG∥OD,交AB于点G,求CG的长.13.如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,OBBE = 23,求BE的长.14.如图,△BEF内接于⊙O,BE=BF,BO的延长线交EF于点D.C是⊙O外一点,连接OC,BC,OC⊥BE 于点A.已知OA=2,AB=4,AC=8.(1)求证:BC是⊙O的切线.(2)求EF的长.15.如图,△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC交BC边于点E,交⊙O于点D,过点A作AF⊥BC于点F,设⊙O的直径为d,AF=h.(1)过点D作直线MN∥BC,求证:MN是⊙O的切线;(2)若AB=4,AC=3,求dh的值.16.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且AC平分∠BAD,点E为AB的延长线上一点,且∠ECB=∠CAD.(1)填空:∠ACB= ,理由是(2)求证:CE与⊙O相切(3)若AB=6,CE=4,求AD的长17.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB,求证:(1)直线DC是⊙O的切线;(2)AC2=2AD•AO.18.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作⊙D,AB=5,EB=3.(1)求证:AC是⊙D的切线;(2)求线段AC的长.19.如图,已知ΔABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,BD⊥AB,交AC的延长线于点D.(1)若E是BD的中点,连结CE,试判断CE与⊙O的位置关系.(2)若AC=3CD,求∠A的大小.20.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,连接AC,AE,∠ACB=∠BAE=45°(1)求证:AE是⊙O的切线;(2)若 AB=AD,AC=2 √2,tan∠ADC=3,求CD的长.21.如图,AB是⊙O的直径,BM切⊙O于点B,点P是⊙O上的一个动点(点P不与A,B两点重合),连接AP,过点O作OQ∥AP交BM于点Q,过点P作PE⊥AB于点C,交QO的延长线于点E,连接PQ,OP,AE.(1)判断直线PQ与⊙O的关系;(2)若直径AB的长为4.当四边形AEOP为菱形时,求PE的长.答案1.证明:连接OM,过点O作ON⊥CD于垂足为N∵⊙O与BC相切于点M∴OM⊥BC,OM为半径∴∠OMC=∠ONC=90°∵AC是菱形ABCD的对角线∴∠ACB=∠ACD∵OC=OC∴△OMC≌△ONC(AAS)∴ON=OM=半径,∠ONC=90°∴CD与⊙O相切.2.证明:过点O作OE⊥CD于点E∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°∴AD⊥CD,BC⊥CD∴AD∥OE∥BC∵OA=OB∴OE是梯形ABCD的中位线(AD+BC)∴OE= 12∵AD+BC=AB∴OE= 1AB2∵以AB为直径作⊙O.∴直线CD是⊙O的切线.3.解:(1)连接OE.∵OE=OB∴∠OBE=∠OEB∵BE平分∠ABC∴∠OBE=∠EBC∴∠EBC=∠OEB∴OE∥BC∴∠OEA=∠C∵∠ACB=90°∴∠OEA=90°∴AC是⊙O的切线;(2)连接OE、OF,过点O作OH⊥BF交BF于H由题意可知四边形OECH为矩形∴OH=CE∵BF=6∴BH=3在Rt△BHO中,OB=5∴OH=4∴CE=4.4.(1)连结OE,如图:∵DE垂直平分半径OA∴OC=∴∠OEC=30°∴(2)由(1)知:∠AOE=60°∴∴∠BDE=60°∵BD∥ME∴∠MED=∠BDE=60°∴∠MEO=90°∴EM是⊙O的切线。
2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图,在△ABC中,AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点P.(1)求证:直线PE是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为6,∠P=30°,求CE的长.【答案】(1)连接OD,根据AB=AC,OB=OD,得∠ACB=∠ODB,从而OD//AC,由DE⊥AC,即可得PE⊥OD,故PE是⊙O的切线;(2)连接AD,连接OD,由DE⊥AC,∠P=30°,得∠PAE=60°,又AB=AC,可得△ABC 是等边三角形,即可得BC=AB=12,∠C=60°,而AB是⊙O的直径,得∠ADB=90°,可得BD=CD=12BC=6,在Rt△CDE中,即得CE的长是3.本题考查圆的综合应用,涉及圆的切线,等腰三角形性质及应用,含特殊角的直角三角形三边关系等,解题的关键是判定△ABC是等边三角形.2.(2022·辽宁省盘锦市)如图,△ABC内接于⊙O,∠ABC=45°,连接AO并延长交⊙O于点D,连接BD,过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E.(1)求证:CE与⊙O相切;(2)若AD=4,∠D=60°,求线段AB,BC的长.【答案】(1)连接OC,根据圆周角定理得∠AOC=90°,再根据AD//EC,可得∠OCE=90°,从而证明结论;(2)过点A作AF⊥EC交EC于F,由AD是圆O的直径,得∠ABD=90°,又AD=4,60°,即得AB=3BD=23,根据∠ABC=45°,知△ABF是等腰直角三角形,AF=BF=2AB= 6,又△AOC是等腰直角三角形,OA=OC=2,得AC=22,故CF=AC2−AF2=2,从而BC=BF+CF=6+2.本题主要考查了圆周角定理,切线的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质等知识,作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键.3.(2021·山东临沂市·中考真题)如图,已知在⊙O中,==,OC与AD相交于点AB BC CDE.求证:(1)AD∥BC(2)四边形BCDE为菱形.【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)连接BD ,根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ,根据平行线的判定可得结论;(2)证明△DEF ≌△BCF ,得到DE=BC ,证明四边形BCDE 为平行四边形,再根据 BCCD =得到BC=CD ,从而证明菱形.【详解】解:(1)连接BD ,∵ AB BCCD ==,∴∠ADB=∠CBD ,∴AD ∥BC ;(2)连接CD ,∵AD ∥BC ,∴∠EDF=∠CBF ,∵ BCCD =,∴BC=CD ,∴BF=DF ,又∠DFE=∠BFC ,∴△DEF ≌△BCF (ASA ),∴DE=BC ,∴四边形BCDE 是平行四边形,又BC=CD ,∴四边形BCDE 是菱形.【点睛】本题考查了垂径定理,圆周角定理,弧、弦、圆心角的关系,全等三角形的判定和性质,菱形的判定,解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF .4.(2021·四川南充市·中考真题)如图,A ,B 是O 上两点,且AB OA =,连接OB 并延长到点C ,使BC OB =,连接AC .(1)求证:AC 是O 的切线.(2)点D ,E 分别是AC ,OA 的中点,DE 所在直线交O 于点F ,G ,4OA =,求GF 的长.【答案】(1)见解析;(2)【分析】(1)先证得△AOB 为等边三角形,从而得出∠OAB=60°,利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°,由此可得∠OAC=90°即可得出结论;(2)过O 作OM ⊥DF 于M ,DN ⊥OC 于N ,利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ,再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长.【详解】(1)证明:∵AB=OA ,OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°,∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线;(2)∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点,∴OE//BC ,DC=过O 作OM ⊥DF 于M ,DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中,∠C=30°,∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ,∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定,熟练掌握相关的知识是解题的关键.5.(2021·安徽中考真题)如图,圆O 中两条互相垂直的弦AB ,CD 交于点E .(1)M 是CD 的中点,OM =3,CD =12,求圆O 的半径长;(2)点F 在CD 上,且CE =EF ,求证:AF BD ⊥.【答案】(1)35;(2)见解析.【分析】(1)根据M 是CD 的中点,OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥,OM 平分CD ,则有6MC =,利用勾股定理可求得半径的长;(2)连接AC ,延长AF 交BD 于G ,根据CE EF =,AE FC ⊥,可得AF AC =,12∠=∠,利用圆周角定理可得2D ∠=∠,可得1D ∠=∠,利用直角三角形的两锐角互余,可证得90AGB ∠=︒,即有AF BD ⊥.【详解】(1)解:连接OC ,∵M 是CD 的中点,OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥,OM 平分CD ,90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=.在Rt OMC △中.OC ===∴圆O 的半径为(2)证明:连接AC ,延长AF 交BD 于G .CE EF = ,AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理,圆周角定理,直角三角形的两锐角互余,勾股定理等知识点,熟练应用相关知识点是解题的关键.∠是 AD所对的圆周角,6.(2021·浙江中考真题)如图,已知AB是⊙O的直径,ACD∠=︒.30ACD∠的度数;(1)求DABAB=,求DF的(2)过点D作DE AB⊥,垂足为E,DE的延长线交⊙O于点F.若4长.【答案】(1)60︒;(2)23【分析】(1)连结BD ,根据圆周角性质,得B ACD ∠=∠;根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算,即可得到答案;(2)根据含30°角的直角三角形性质,得12AD AB =;根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算,即可得到答案.【详解】(1)连结BD ,30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径,90ADB ∴∠=︒,9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒(2)90ADB ∠=︒ ,30B ∠=︒,4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ,DE AB ⊥,且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=.【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识;解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质,从而完成求解.7.(2021·湖南中考真题)如图,ABC 是O 的内接三角形,AC 是O 的直径,点D 是 BC的中点,//DE BC 交AC 的延长线于点E .(1)求证:直线DE 与O 相切;(2)若O 的直径是10,45A ∠=︒,求CE 的长.【答案】(1)见解析;(2)5CE =.【分析】(1)连接OD ,由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ,由DE//BC 得OD ⊥DE ,由OD 是半径可得DE 是切线;(2)证明△ODE 是等腰直角三角形,可求出OE 的长,从而可求得结论.【详解】解:(1)连接OD 交BC 于点F ,如图,∵点D 是 BC的中点,∴OD ⊥BC ,∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切;(2)∵AC 是O 的直径,且AB=10,∴∠ABC=90°,152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得,OE =∴5CE OE OC =-=.【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用,熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键.8.(2021·湖南张家界市·中考真题)如图,在Rt AOB 中,90∠=︒ABO ,30OAB ∠=︒,以点O 为圆心,OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ,过点C 作OA 的平行线,交O 于点D ,连接AD .(1)求证:AD 为O 的切线;(2)若2OB =,求弧CD 的长.【答案】(1)见解析;(2)23π【分析】(1)连接OB ,先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°,再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒,再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可;(2)先求出∠COD ,然后再运用弧长公式计算即可.【详解】(1)证明:连接OD∵30OAB ∠=︒,90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线;(2)∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点,掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键.9.(2020•齐齐哈尔)如图,AB 为⊙O 的直径,C 、D 为⊙O 上的两个点,AC=CD =DB ,连接AD ,过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E .(1)求证:DE 是⊙O 的切线.(2)若直径AB =6,求AD 的长.【分析】(1)连接OD ,根据已知条件得到∠BOD =13×180°=60°,根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠DAB=30°,得到∠EDA=60°,求得OD⊥DE,于是得到结论;(2)连接BD,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,解直角三角形即可得到结论.【解析】(1)证明:连接OD,=CD =DB ,∵AC∴∠BOD=13×180°=60°,=DB ,∵CD∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAB=30°,∵DE⊥AC,∴∠E=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°,∴∠EDA=60°,∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线;(2)解:连接BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠DAB=30°,AB=6,∴BD=12AB=3,∴AD=62−32=33.10.(2020•深圳)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.(1)求证:AE=AB;(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.【分析】(1)证明:连接AC、OC,如图,根据切线的性质得到OC⊥CD,则可判断OC∥AD,所以∠OCB=∠E,然后证明∠B=∠E,从而得到结论;(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°,则利用勾股定理可计算出AC=8,再根据等腰三角形的性质得到CE=BC=6,然后利用面积法求出CD的长.【解析】(1)证明:连接AC、OC,如图,∵CD为切线,∴OC⊥CD,∴CD⊥AD,∴OC∥AD,∴∠OCB=∠E,∵OB=OC,∴∠OCB=∠B,∴∠B=∠E,∴AE=AB;(2)解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴AC=102−62=8,∵AB=AE=10,AC⊥BE,∴CE=BC=6,∵12CD•AE=12AC•CE,∴CD=6×810=245.11.(2020•陕西)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交⊙O于点D,连接BD.过点C作⊙O的切线,与BA的延长线相交于点E.(1)求证:AD∥EC;(2)若AB=12,求线段EC的长.【分析】(1)连接OC,由切线的性质可得∠OCE=90°,由圆周角定理可得∠AOC=90°,可得结论;(2)过点A作AF⊥EC交EC于F,由锐角三角函数可求AD=83,可证四边形OAFC是正方形,可得CF=AF=43,由锐角三角函数可求EF=12,即可求解.【解析】证明:(1)连接OC,∵CE与⊙O相切于点C,∴∠OCE=90°,∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°,∵∠AOC+∠OCE=180°,∴∴AD∥EC(2)如图,过点A作AF⊥EC交EC于F,∵∠BAC=75°,∠ABC=45°,∴∠ACB=60°,∴∠D=∠ACB=60°,∴sin∠ADB=AB AD==83,∴AD=∴OA=OC=43,∵AF⊥EC,∠OCE=90°,∠AOC=90°,∴四边形OAFC是矩形,又∵OA=OC,∴四边形OAFC是正方形,∴CF=AF=43,∵∠BAD=90°﹣∠D=30°,∴∠EAF=180°﹣90°﹣30°=60°,∵tan∠EAF=EF AF=3,∴EF=3AF=12,∴CE=CF+EF=12+43.类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O与AC交于点E,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.(1)求证:∠D=∠EBC;(2)若CD=2BC,AE=3,求⊙O的半径.【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°,从而可得∠D+∠ABD=90°,根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°,从而可得∠ACB+∠EBC=90°,然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC,从而利用等角的余角相等即可解答;(2)根据已知可得BD=3BC,然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC,从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC,然后根据AB=AC,进行计算即可解答.本题考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,切线的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握切线的性质,以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.13.(2022·北部湾)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E,延长BA交⊙O于点F.(1)求证:DE是⊙O的切线(2)若AE DE=23,AF=10,求⊙O的半径.【答案】(1)证明:连接OD;∵OD=OC,∴∠C=∠ODC,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠ODC,∴OD∥AB,∴∠ODE=∠DEB;∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴∠ODE=90°,即DE⊥OD,∴DE是⊙O的切线(2)解:连接CF,由(1)知OD⊥DE,∵DE⊥AB,∴OD∥AB,∵OA=OC,∴BD=CD,即OD是△ABC的中位线,∵AC是⊙O的直径,∴∠CFA=90°,∵DE⊥AB,∴∠BED=90°,∴∠CFA=∠BED=90°,∴DE∥CF,∴BE=EF,即DE是△FBC的中位线,∴CF=2DE,∵AE DE=23,∴设AE=2x,DE=3k,CF=6k,∵AF=10,∴BE=EF=AE+AF=2k+10,∴AC=BA=EF+AE=4k+10,在Rt△ACF中,由勾股定理,得AC2=AF2+CF2,即(4k+10)2=102+(6k)2,解得:k=4,∴AC=4k+10=4×4+10=26,∴OA=13,即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理;切线的判定;三角形的中位线定理【解析】【分析】(1)连接OD ,根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ,∠B=∠C ,则∠B=∠ODC ,推出OD ∥AB ,由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°,即DE ⊥OD ,据此证明;(2)连接CF ,由(1)知OD ⊥DE ,则OD ∥AB ,易得OD 是△ABC 的中位线,根据圆周角定理可得∠CFA=90°,根据垂直的概念可得∠BED=90°,则DE ∥CF ,推出DE 是△FBC的中位线,得CF=2DE ,设AE=2x ,DE=3k ,CF=6k ,则BE=EF=2k+10,AC=BA=4k+10,根据勾股定理可得k 的值,然后求出AC 、OA ,据此可得半径.14.(2021·江苏无锡市·中考真题)如图,四边形ABCD 内接于O ,AC 是O 的直径,AC 与BD 交于点E ,PB 切O 于点B .(1)求证:PBA OBC ∠=∠;(2)若20PBA Ð=°,40ACD ∠=︒,求证:OAB CDE V V ∽.【答案】(1)见详解;(2)见详解【分析】(1)由圆周角定理的推论,可知∠ABC=90°,由切线的性质可知∠OBP=90°,进而即可得到结论;(2)先推出20OCB OBC ∠=∠=︒,从而得∠AOB=40°,继而得∠OAB=70°,再推出∠CDE=70°,进而即可得到结论.【详解】证明:(1)∵AC 是O 的直径,∴∠ABC=90°,∵PB 切O 于点B ,∴∠OBP=90°,∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒,∴PBA OBC ∠=∠;(2)∵20PBA Ð=°,PBA OBC ∠=∠,∴20OBC ∠=︒,∵OB=OC ,∴20OCB OBC ∠=∠=︒,∴∠AOB=20°+20°=40°,∵OB=OA ,∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°,∴∠ADB=12∠AOB=20°,∵AC 是O 的直径,∴∠ADC=90°,∴∠CDE=90°-20°=70°,∴∠CDE=∠OAB ,∵40ACD ∠=︒,∴40ACD AOB ∠=∠=︒,∴OAB CDE V V ∽.【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理,掌握圆周角定理的推论,相似三角形的判定定理,切线的性质定理,是解题的关键.15.(2020•衢州)如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 为⊙O 的直径,AB =10,AC =6,连结OC ,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.(1)求证:∠CAD=∠CBA.(2)求OE的长.【分析】(1)利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可.(2)证明△AEC∽△BCA,推出CE AC=AC AB,求出EC即可解决问题.【解析】(1)证明:∵AE=DE,OC是半径,=CD ,∴AC∴∠CAD=∠CBA.(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵AE=DE,∴OC⊥AD,∴∠AEC=90°,∴∠AEC=∠ACB,∴△AEC∽△BCA,∴CE AC=AC AB,∴CE6=610,∴CE=3.6,∵OC=12AB=5,∴OE=OC﹣EC=5﹣3.6=1.4.16.(2020•铜仁市)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,连接AC,CE⊥AB于点E,D 是直径AB延长线上一点,且∠BCE=∠BCD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AD=8,BE CE=12,求CD的长.【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,根据余角的性质得到∠A=∠ECB,求得∠A=∠BCD,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO,等量代换得到∠ACO=∠BCD,求得∠DCO=90°,于是得到结论;(2)设BC=k,AC=2k,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解析】(1)证明:连接OC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,∴∠ECB+∠ABC=∠ABC+∠CAB=90°,∴∠A=∠ECB,∵∠BCE=∠BCD,∴∠A=∠BCD,∵OC=OA,∴∠A=∠ACO,∴∠ACO=∠BCD,∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠BCD=90°,∴∠DCO=90°,∴CD是⊙O的切线;(2)解:∵∠A=∠BCE,∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12,设BC=k,AC=2k,∵∠D=∠D,∠A=∠BCD,∴△ACD∽△CBD,∴BC AC=CD AD=12,∵AD=8,∴CD=4.17.(2020•衡阳)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,⊙O交AB于点E,交AC于点F.(1)判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.【分析】(1)连接OD,根据平行线判定推出OD∥AC,推出OD⊥BC,根据切线的判定推出即可;(2)连接DE,根据圆周角定理得到∠ADE=90°,根据相似三角形的性质得到AC=325,根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论.【解析】(1)BC与⊙O相切,理由:连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,∵OD为半径,∴BC是⊙O切线;(2)连接DE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°,∵∠C=90°,∴∠ADE=∠C,∵∠EAD=∠DAC,∴△ADE∽△ACD,∴AE AD=AD AC,108=8AC,∴AC=325,∴CD=AD2−AC2==245,∵OD⊥BC,AC⊥BC,∴△OBD∽△ABC,∴OD AC=BD BC,∴5325=BD BD+245,∴BD=1207.18.(2020•遵义)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠CAB的平分线AD交BC 于点D,过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)过点D作DF⊥AB于点F,连接BD.若OF=1,BF=2,求BD的长度.【分析】(1)连接OD,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO=∠DAE,从而OD∥AE,由DE∥BC得∠E=90°,由两直线平行,同旁内角互补得出∠ODE=90°,由切线的判定定理得出答案;(2)先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°,再由OF=1,BF=2得出OB的值,进而得出AF和BA的值,然后证明△DBF∽△ABD,由相似三角形的性质得比例式,从而求得BD2的值,求算术平方根即可得出BD的值.【解析】(1)连接OD,如图:∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∵AD平分∠CAB,∴∠DAE=∠OAD,∴∠ADO=∠DAE,∴OD∥AE,∵DE∥BC,∴∠E=90°,∴∠ODE=180°﹣∠E=90°,∴DE是⊙O的切线;(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵OF=1,BF=2,∴OB=3,∴AF=4,BA=6.∵DF⊥AB,∴∠DFB=90°,∴∠ADB=∠DFB,又∵∠DBF=∠ABD,∴△DBF∽△ABD,∴BD BA=BF BD,∴BD2=BF•BA=2×6=12.∴BD=23.19.(2019•陕西)如图,⊙O的半径OA=6,过点A作⊙O的切线AP,且AP=8,连接PO 并延长,与⊙O交于点B、D,过点B作BC∥OA,并与⊙O交于点C,连接AC、CD.(1)求证:DC∥AP;(2)求AC的长.【分析】(1)根据切线的性质得到∠OAP=90°,根据圆周角定理得到∠BCD=90°,根据平行线的性质和判定定理即可得到结论;(2)根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.【解析】(1)证明:∵AP是⊙O的切线,∴∠OAP=90°,∵BD是⊙O的直径,∴∠BCD=90°,∵OA∥CB,∴∠AOP=∠DBC,∴∠BDC=∠APO,∴DC∥AP;(2)解:∵AO∥BC,OD=OB,∴延长AO交DC于点E,则AE⊥DC,OE=12BC,CE=12CD,在Rt△AOP中,OP=62+82=10,由(1)知,△AOP∽△CBD,∴DB OP=BC OA=DC AP,即1210=BC6=DC8,∴BC=365,DC=485,∴OE=185,CE=245,在Rt△AEC中,AC=AE2+CE2==20(2021·云南中考真题)如图,AB 是O 的直径,点C 是O 上异于A 、B 的点,连接AC 、BC ,点D 在BA 的延长线上,且DCA ABC ∠=∠,点E 在DC 的延长线上,且BE DC ⊥.(1)求证:DC 是O 的切线:(2)若2,33OA BE OD ==,求DA 的长.【答案】(1)见解析;(2)910【分析】(1)连接OC ,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,根据等量代换得到∠DCO=90°,即可证明DC 是圆O 的切线;(2)根据已知得到OA=2DA ,证明△DCO ∽△DEB ,得到DO CO DB EB =,可得DA=310EB ,即可求出DA 的长.【详解】解:(1)如图,连接OC ,由题意可知:∠ACB 是直径AB 所对的圆周角,∴∠ACB=90°,∵OC ,OB 是圆O 的半径,∴OC=OB ,∴∠OCB=∠ABC ,又∵∠DCA=∠ABC ,∴∠DCA=∠OCB ,∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°,∴OC ⊥DC ,又∵OC 是圆O 的半径,∴DC 是圆O 的切线;(2)∵23OA OD =,∴23OA OA DA =+,化简得OA=2DA ,由(1)知,∠DCO=90°,∵BE ⊥DC ,即∠DEB=90°,∴∠DCO=∠DEB ,∴OC ∥BE ,∴△DCO ∽△DEB ,∴DO CO DB EB =,即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++,∴DA=310EB ,∵BE=3,∴DA=310EB=3931010⨯=,经检验:DA=910是分式方程的解,∴DA=910.【点睛】本题考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质,切线的判定,正确的作出辅助线,证明切线,得到相似三角形是解题的关键.21.(2021·江苏扬州市·中考真题)如图,四边形ABCD 中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,CB CD =,连接BD ,以点B 为圆心,BA 长为半径作B ,交BD 于点E .(1)试判断CD 与B 的位置关系,并说明理由;(2)若AB =,60BCD ∠=︒,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)相切,理由见解析;(2)π-【分析】(1)过点B 作BF ⊥CD ,证明△ABD ≌△FBD ,得到BF=BA ,即可证明CD 与圆B 相切;(2)先证明△BCD 是等边三角形,根据三线合一得到∠ABD=30°,求出AD ,再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积.【详解】解:(1)过点B 作BF ⊥CD ,∵AD ∥BC ,∴∠ADB=∠CBD ,∵CB=CD ,∴∠CBD=∠CDB ,∴∠ADB=∠CDB ,又BD=BD ,∠BAD=∠BFD=90°,∴△ABD ≌△FBD (AAS ),∴BF=BA ,则点F 在圆B 上,∴CD 与圆B 相切;(2)∵∠BCD=60°,CB=CD ,∴△BCD 是等边三角形,∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ,∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°,∴∠ABF=60°,∵AB=BF=,∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2,∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-.【点睛】本题考查了切线的判定,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,扇形面积,三角函数的定义,题目的综合性较强,难度不小,解题的关键是正确做出辅助线.22.(2020•上海)如图,△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,BO的延长线交边AC 于点D.(1)求证:∠BAC=2∠ABD;(2)当△BCD是等腰三角形时,求∠BCD的大小;(3)当AD=2,CD=3时,求边BC的长.【分析】(1)连接OA.利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可.(2)分三种情形:①若BD=CB,则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD.②若CD=CB,则∠CBD=∠CDB=3∠ABD.③若DB=DC,则D与A重合,这种情形不存在.分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可.(3)如图3中,作AE∥BC交BD的延长线于E.则AE BC=AD DC=23,推出AO OH=AE BH=43,设OB=OA=4a,OH=3a,根据BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2,构建方程求出a即可解决问题.【解析】(1)证明:连接OA.A∵AB=AC,=AC ,∴AB∴OA⊥BC,∴∠BAO=∠CAO,∵OA=OB,∴∠ABD=∠BAO,∴∠BAC=2∠BAD.(2)解:如图2中,延长AO交BC于H.①若BD=CB,则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠DBC=2∠ABD,∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°,∴8∠ABD=180°,∴∠C=3∠ABD=67.5°.②若CD=CB,则∠CBD=∠CDB=3∠ABD,∴∠C =4∠ABD ,∵∠DBC+∠C+∠CDB =180°,∴10∠ABD =180°,∴∠BCD =4∠ABD =72°.③若DB =DC ,则D 与A 重合,这种情形不存在.综上所述,∠C 的值为67.5°或72°.(3)如图3中,作AE ∥BC 交BD 的延长线于E .则AE BC =AD DC =23,∴AO OH =AE BH =43,设OB =OA =4a ,OH =3a ,∵BH 2=AB 2﹣AH 2=OB 2﹣OH 2,∴25﹣49a 2=16a 2﹣9a 2,∴a 2=2556,∴BH =∴BC =2BH =23.(2021·云南中考真题)如图,AB 是O 的直径,点C 是O 上异于A 、B 的点,连接AC 、BC ,点D 在BA 的延长线上,且DCA ABC ∠=∠,点E 在DC 的延长线上,且BE DC ⊥.(1)求证:DC是O的切线:(2)若2,33OA BEOD==,求DA的长.【答案】(1)见解析;(2)9 10【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,根据等量代换得到∠DCO=90°,即可证明DC是圆O的切线;(2)根据已知得到OA=2DA,证明△DCO∽△DEB,得到DO CODB EB=,可得DA=310EB,即可求出DA的长.【详解】解:(1)如图,连接OC,由题意可知:∠ACB是直径AB所对的圆周角,∴∠ACB=90°,∵OC,OB是圆O的半径,∴OC=OB,∴∠OCB=∠ABC,又∵∠DCA=∠ABC,∴∠DCA=∠OCB,∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°,∴OC⊥DC,又∵OC 是圆O 的半径,∴DC 是圆O 的切线;(2)∵23OA OD =,∴23OA OA DA =+,化简得OA=2DA ,由(1)知,∠DCO=90°,∵BE ⊥DC ,即∠DEB=90°,∴∠DCO=∠DEB ,∴OC ∥BE ,∴△DCO ∽△DEB ,∴DO CO DB EB =,即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++,∴DA=310EB ,∵BE=3,∴DA=310EB=3931010⨯=,经检验:DA=910是分式方程的解,∴DA=910.【点睛】本题考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质,切线的判定,正确的作出辅助线,证明切线,得到相似三角形是解题的关键.类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图,△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过OA上的点P作PD⊥AC,交CB的延长线于点D,交AB于点E,点F为DE的中点,连接BF.(1)求证:BF与⊙O相切;(2)若AP=OP,cosA=45,AP=4,求BF的长.【答案】(1)连接OB,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°,从而可得∠ABD=90°,进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD,然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE,从而可得∠FBE=∠AEP,最后根据垂直定义可得∠EPA=90°,从而可得∠A+∠AEP=90°,再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA,从而可得∠OBA+∠FBE= 90°,进而可得∠OBF=90°,即可解答;(2)在Rt△AEP中,利用锐角三角函数的定义求出AE的长,从而利用勾股定理求出PE的长,然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C,从而可证△APE∽△DPC,进而利用相似三角形的性质可求出DP的长,最后求出DE的长,即可解答.本题考查了解直角三角形,切线的判定与性质,圆周角定理,三角形的外接圆与外心,直线与圆的位置关系,熟练掌握解直角三角形,以及切线的判定与性质是解题的关键.25.(2022·四川省广安市)如图,AB为⊙O的直径,D、E是⊙O上的两点,延长AB至点C,连接CD ,∠BDC =∠BAD .(1)求证:CD 是⊙O 的切线.(2)若tan∠BED =23,AC =9,求⊙O 的半径.【答案】(1)连接OD ,由圆周角定理得出∠ADB =90°,证出OD ⊥CD ,由切线的判定可得出结论;(2)证明△BDC∽△DAC ,由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23,由比例线段求出CD 和BC 的长,可求出AB 的长,则可得出答案.本题考查了切线的判定,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义,圆周角定理,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.26.(2021·山东菏泽市·中考真题)如图,在O 中,AB 是直径,弦CD AB ⊥,垂足为H ,E 为 BC上一点,F 为弦DC 延长线上一点,连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ,连接AE 交CD 于点P ,若FE FP =.(1)求证:FE 是O 的切线;(2)若O 的半径为8,3sin 5F =,求BG 的长.【答案】(1)见解析;(2)=2BG 【分析】(1)连接OE ,证明OE ⊥EF 即可;(2)由3sin 5F =证得4sin 5G =,运用正弦的概念可得结论.【详解】解:(1)证明:连接OE ,如图,∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA .∵EF=PF ,∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ,∴∠APH=∠EPF ,∴∠AEF=∠APH .∵CD ⊥AB ,∴∠AHC=90°.∴∠OAE+∠APH=90°.∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF .∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线,(2)∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =,则5FG x=由勾股定理得,4FH x=由(1)得,OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =,即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得,2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定,勾股定理和解直角三角形等知识,熟练掌握切线的判定是解答此题的关键.27.(2022·黔东南)(1)请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O (尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);的中点,过点B的(2)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE是⊙O的直径,点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证:BD⊥AD;②若AC=6,tan∠ABC=34,求⊙O的半径.【答案】(1)解:如下图所示(2)解:①如下图所示,连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角,∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示,连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理;三角形的外接圆与外心;切线的性质;解直角三角形;作图-线段垂直平分线【解析】【解答】(1)∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点,半径为交点到任意顶点的距离,∴做AB、AC的垂直平分线交于点O,以OB为半径,以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆;【分析】(1)利用尺规作图分别作出AC,AB的垂直平分线,两垂直平分线交于点O,然后以点O为圆心,OB的长为半径画圆即可.(2)①连接OC,OB,利用切线的性质可证得OB⊥BD,利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE,由点B是弧CE的中点,可推出∠CAE=∠BOE,利用平行线的判定定理可证得AD∥OB,由此可证得结论;②连接CE,利用同弧所对的圆周角相等,可证得∠ABC=∠AEC,利用直径所对的圆周角是直角,可推出∠ACE=90°;再利用解直角三角形求出CE的长,利用勾股定理求出AE的长.28.(2022·鄂州)如图,△ABC内接于⊙O,P是⊙O的直径AB延长线上一点,∠PCB=∠OAC,过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.(1)试判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若PC=4,tanA=12,求△OCD的面积.【答案】(1)解:PC与⊙O相切,理由如下:∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠OCB+∠OCA=90°,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵∠PCB=∠OAC,∴∠PCB=∠OCA,∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°,即∠PCO=90°,∴PC与⊙O相切(2)解:∵∠ACB=90°,tanA=12,∴BC AC=12,∵∠PCB=∠OAC,∠P=∠P,∴△PBC∽△PCA,∴PC PA=PB PC=BC CA=12,∴PA=8,PB=2,∴AB=6,∴OC=OB=3,∴OP=5,∵BC∥OD,∴△PBC∽△POD,∴PB OP=PC PD,即25=4PD,∴PD=10,∴CD=6,∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质;圆周角定理;切线的判定;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义【解析】【分析】(1)由圆周角定理得∠ACB=90°,根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC,结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA,结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°,据此证明;(2)根据三角函数的概念可得BC AC=12,易证△PBC∽△PCA,根据相似三角形的性质可得PA、PB,然后求出AB、OP,证明△PBC∽△POD,根据相似三角形的性质可得PD,由PD-PC=CD可得CD,然后根据三角形的面积公式进行计算.29.(2022·毕节)如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与AC相切于点E,连接DE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证:BF=BD;(2)若CF=1,tan∠EDB=2,求⊙O直径.【答案】(1)证明:连接OE,如下图所示:∵AC为圆O的切线,∴∠AEO=90°,∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴OE∥BC,∴∠F=∠DEO,又∵OD=OE,∴∠ODE=∠DEO,∴∠F=∠ODE,∴BD=BF.(2)解:连接BE,如下图所示:由(1)中证明过程可知:∠EDB=∠F,。
中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________⊥于点D,E是AC上一点,以BE为直径的O交1.如图,在ABC中,AB=AC,AD BC∠=︒.BC于点F,连接DE,DO,且90DOB(1)求证:AC是O的切线;(2)若1DF=,DC=3,求BE的长.、2.如图,在O中,BC为非直径弦,点D是BC的中点,CD是ABC的角平分线.∠=∠;(1)求证:ACD ABC(2)求证:AC是O的切线;(3)若1BD=,3BC=时,求弦BD与BD围城的弓形面积.是O的切线;=,且AC BD已知等腰ABC,AB=AC为直径作O交BC于点延长线于点F.是O的切线;CD=2,求O的半径.与O相离,,交O于点A是O上一点,连于点C,且PB(1)求证:PB是O的切线;(2)若25AC=,OP=5,求O的半径.6.如图,点O是ABC的边AC上一点,以点O为圆心,OA为半径作O,与BC相切于点E,连接OB,OE,O交OB于点D,连接AD并延长交CB的延长线于点F,且AOD EOD.∠=∠(1)求证:AB是O的切线;BC=,AC=8,求O的半径.(2)若107.如图,AB 是O 的直径,AC 是O 的弦.(1)尺规作图:过点C 作O 的切线,交AB 的延长线于点D (保留作图痕迹,不写作法);(2)若2BD OB ==,求AC 的长.8.如图,ABCD 的顶点,,A B C 在O 上,AC 为对角线,DC 的延长线交O 于点E ,连接,,OC OE AE .(1)求证:AE BC =;(2)若AD 是O 的切线6,40OC D =∠=︒,求CE 的长.9.如图,Rt ABC △中90C ∠=︒,点E 为AB 上一点,以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上,且AD 平分BAC ∠.(1)证明:BC 是O 的切线;(2)若42BD BE ==,,求AB 的长.10.如图,已知O 的弦AB 等于半径,连接OA 、OB ,并延长OB 到点C ,使得BC OB =,连接AC ,过点A 作AE OB ⊥于点E ,延长AE 交O 于点D .(1)求证:AC 是O 的切线;(2)若6BC =,求AD 的长.11.如图,线段AB 经过O 的圆心.O 交O 于A ,C 两点,AD 为O 的弦,连接BD ,30A ABD ∠=∠=︒连接DO 并延长交O 于点E ,连接BE 交O 于点F .(1)求证:BD 是O 的切线;(2)若1BC =,求BF 的长.12.如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,CD BD ABC CBD ⊥∠=∠.(1)求证:CD 为O 的切线.(2)当1,4BD AB ==时,求CD 的长.13.如图 已知AB 是O 的直径 BC AB ⊥于B E 是OA 上的一点ED BC ∥交O 于D OC AD ∥ 连接AC 交ED 于F .(1)求证:CD 是O 的切线;(2)若8AB = 1AE = 求ED EF 的长.14.如图 AB 是O 的直径 AC BC ,是弦 点D 在AB 的延长线上 且DCB DAC ∠=∠ O 的切线AE 与DC 的延长线交于点E .(1)求证:CD 是O 的切线;(2)若O 的半径为2 30D ∠=︒ 求AE 的长.15.如图 已知AB 是O 的直径 点P 在BA 的延长线上 弦BC 平分PBD ∠且BD PD ⊥于点D .(1)求证:PD 是O 的切线.(2)若8cm 6cm AB BD , 求弧AC 的长.为O的直径在O上连接的延长线交于E.是O的切线;∠tan BDF为O的直径的平分线交O于点E BC的延长线于点(1)求证:DE 为O 切线;(2)若10AB = 6BC = 求DE 的长.18.如图 O 是ABC 的外接圆 点D 在BC 延长线上 且满足CAD B ∠=∠.(1)求证:AD 是O 的切线;(2)若AC 是BAD ∠的平分线 3sin 5B =4BC = 求O 的半径.参考答案:1.【分析】此题重点考查圆周角定理 切线的判定定理 勾股定理 三角形的中位线定理 等腰三角形的“三线合一” 线段的垂直平分线的性质等知识 正确地作出辅助线是解题的关键.是O的切线;+=314是O的直径90︒则22BE=+4(22)⊥AD BC是O的半径是O的切线.)连接EFDC=DF33+=+BD DF∠OE DOBDE=.3是O的直径90︒.中EF=中BE=(3)23312π- 【分析】此题考查了解直角三角形 切线的判定以及扇形的面积.注意掌握辅助线的作法 .(1)点D 是BC 的中点 可以得到BD CD = 即可得到DBC DCB ∠∠= 再根据角平分线的定义得到ACD BCD ∠∠= 进而得到结论;(2)连接OC OD OB 则可得到OD BC ⊥ 然后根据等边对等角可以得到90OCD ACD ∠∠+=︒ 即可得到结论(3)先求出60ODB ∠=︒ 继而利用OBD OBD S S S=-阴影部分扇形求得答案.【详解】(1)解:如图 ∵点D 是BC 的中点∵BD CD =∵DBC DCB ∠∠=又∵CD 是ABC 的角平分线∵ACD BCD ∠∠=∵ACD ABC ∠∠=;(2)证明:如图 连接OC OD OB∵点D 是BC 的中点∵OD BC ⊥∵90ODC BCD ∠∠+=︒∵OD OC =∵ODC OCD ∠∠=又∵ACD BCD ∠∠=∵90OCD ACD ∠∠+=︒即OC AC ⊥∵OC 是O 的半径∵AC 是O 的切线;Rt BDE 中 ODB ∠=60ODB =︒OB OD =∵OBD 是等边三角形BOD ∠=OBD S S==阴影部分.(1)见解析(2)23进而得出BFG 是等边三角形 是O 的切线;)解:如图所示∵OD AC ⊥∵AD CD =∵BD AC =∵BD AC =∵AD BC =∵AD CD BC ==;∵AB 为半圆O 的直径∵90CAB CBA ∠+∠=︒∵30DAC CAB ABD ∠=∠=∠=︒∵60GBF G ∠=∠=︒ 12GB AG =∵BFG 是等边三角形 223AB AG BG BG =-=∵3233BF BG AB ===. 【点睛】本题考查了切线的判定 弧与弦的关系 直径所对的圆周角是直角 勾股定理 等边三角形的性质与判定 垂径定理 熟练掌握以上知识是解题的关键.4.(1)证明(2)233【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用 掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键.(1)连接OD 证明ODB C ∠=∠ 推出AC OD ∥ 即可证明结论成立;(2)连接AD 在Rt CED 中 求得利用三角形函数的定义求得30C ∠=︒ 60AOD ∠=︒ 在Rt ADB 中 利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可.【详解】(1)证明:连接OD又OB OD=B ODB∴∠=∠ODB∴∠=∠AC OD∥DF AC⊥OD DF∴⊥DF∴是O的切线;(2)连接AD设O半径为Rt CED中3,CE CD=22ED CD∴=-又cosCE CCD ∠=30C∴∠=︒30B∴∠=︒60AOD=∠AB是O的直径.90ADB∴∠=︒12AD AB r ∴== ∵AB AC =∵2CD BD ==又222AD BD AB +=2222(2)r r ∴+=233r ∴=(负值已舍). 5.(1)证明见解析(2)3【分析】本题考查的是勾股定理的应用 等腰三角形的性质 切线的判定 熟练的证明圆的切线是解本题的关键;(1)连接OB 证明PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠ 再证明90PBC OBA ∠+∠=︒即可;(2)设O 的半径为r 表示()()22222255PC AC AP r =-=-- 222225PB OP OB r =-=- 再利用PB PC =建立方程求解即可.【详解】(1)解:连接OB∵PB PC = OA OB =∵PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠∵OP l ⊥ OAB PAC ∠=∠∵90BCP CAP BCP OAB ∠+∠=︒=∠+∠∵90PBC OBA ∠+∠=︒∵90OBP ∠=︒∵OB PB ⊥是O 的切线;)设O 的半径为l 2AC =2AC AP =-PB BP 2OP OB =-∵O 的半径为【点睛】.(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查切线的判定和性质证AOB EOB ≌ 得出的半径为r 则OE OA =根据AOB EOB ≌得求得4CE = 在Rt OCE 中运用勾股定理列式求出r 的值即可. )证明:在AOB 和EOB 中∵()SAS AOB EOB ≌OAF OEF ∠=∠BC 与O 相切OE BC ⊥90OAB OEB ∠=∠=︒AF是O 的半径是O 的切线;(2)解:在Rt CAB △中 90108CAB BC AC ∠=︒==,,∵22221086AB BC AC =-=-=设圆O 的半径为r 则,OE OA r ==∵8OC r =-∵,AOB EOB ≌∵6BE AB ==∵10,BC =∵1064,CE BC BE =-=-=在Rt OCE 中 222OE CE OC +=∵()22248r r +=-解得3r =.∵O 的半径为3.7.(1)作图见解析(2)4π3【分析】本题考查了作图 复杂作图 切线的性质 等边三角形的判定与性质 弧长的计算 熟练掌握切线的性质 弧长公式是解答本题的关键.(1)根据题意 连接OC 作OC CD ⊥ 交AB 的延长线于点D 由此得到答案. (2)根据题意 得到OBC △是等边三角形 求出120AOC ∠=︒ 再利用弧长公式 得到答案.【详解】(1)解:如图所示 CD 即为所求.(2)如图所示 连接BCBD)证明:在ABCD中AE AD ∴=∵AE BC =.(2)解:连接OA 过点O 作OF CE ⊥于点F 如图所示:AD 是O 的切线OA AD ∴⊥OA BC ∴⊥AB AC ∴=40AEC B D ︒∠=∠=∠=40ACB B ∴∠=∠=︒在ABCD 中 AD BC ∥40DAC ACB ∴∠=∠=︒又180100DAE D AEC ∠=︒-∠-∠=︒60CAE DAE CAD ∴∠=∠-∠=︒2120COE CAE ∴∠=∠=︒OC OE =30OCE ∴∠=︒OF CE ⊥22cos3063CE CF OC ∴==⋅︒=.【点睛】本题主要考查了切线的性质 解直角三角形 圆周角定理 平行四边形的性质垂径定理 等腰三角形的判定 解题的关键是作出辅助线 熟练掌握相关的判定和性质.9.(1)证明详见解析;(2)8.【分析】本题考查了切线的判定 勾股定理等知识 熟练掌握切线的判定定理 勾股定理是解题的关键.(1)连接OD 根据平行线判定推出OD AC ∥ 推出OD BC ⊥ 根据切线的判定推出即可;(2)根据勾股定理求出3OD OA OE === 再根据线段的和差求解即可.【详解】(1)证明:连接OD∵OA OD =∵OAD ODA ∠=∠∵AD 平分BAC ∠∵BAD CAD ∠=∠∵ODA CAD ∠=∠∵OD AC ∥∵180C ODC ∠+∠=︒∵90C ∠=︒∵90ODC ∠=︒∵OD BC ⊥∵OD 为半径∵BC 是O 的切线;(2)解:设OD OE r ==在Rt ODB △中 42BD BE ==,∵2OB r =+由勾股定理 得:()22242r r +=+ 解得:3r =∵3OD OA OE ===∵628AB =+=.10.(1)证明见解析;(2)63.【分析】(1)先证明OAB 是等边三角形 再由性质得出60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒ 再由BC AB =和角度和差即可求解;(2)先根据等边三角形性质求出132OE OA == 再根据勾股定理求得33AE = 最后由垂径定理即可求解;此题考查了等边三角形的判定与性质 勾股定理和垂径定理 解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用.【详解】(1)证明:∵AB OA OB ==∵OAB 是等边三角形∵60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒∵BC OB =∵BC AB =∵1302BAC BCA OBA ∠=∠=∠=︒ ∵90OAC OAB BAC ∠=∠+∠=︒又∵OA 为O 的半径∵AC 是O 的切线;(2)解:∵6BC =∵6AB OA OB ===∵AD OB ⊥于点E∵30OAE ∠=︒∵132OE OA == ∵2233AE OA OE =-=∵AE OB ⊥∵263AD AE ==.11.(1)见解析∠=)证明:BAD60︒6090︒-︒=OD是O的半径∴直线BD是O的切线;==(2)解:设OD OC△中sin30在Rt BDO解得:1r==+OB OCDE是O的直径∴∠=︒DFE90∠=∠即DFB BDE∠=∠DBF DBE∴△∵BDEBFD△BF BD∴=BD BE337BF ∴= 解得:377BF =. 【点睛】本题考查了切线的判定和性质 相似三角形的性质和判定 圆周角定理 勾股定理等知识点 作出辅助线构造出相似三角形是解题关键.12.(1)见详解(2)3【分析】(1)连接OC 由∠=∠OCB ABC ABC CBD ∠=∠ 得OCB CBD ∠=∠ 则OC BD ∥ 所以18090OCD D ∠=︒-∠=︒ 即可证明CD 为O 的切线;(2)由AB 为的直径 得90ACB ∠=︒ 则ACB D ∠=∠ 而ABC CBD ∠=∠ 所以C ABC BD ∽△△ 则AB CB CB BD = 可求得CB BD AB =⋅ 由勾股定理得22CD CB BD =-.【详解】(1)证明:连接OC 则OC OB =OCB ABC ∴∠=∠ABC CBD ∠=∠OCB CBD ∴∠=∠OC BD ∴∥CD BD ⊥90D ∴∠=︒18090OCD D ∴∠=︒-∠=︒OC 是O 的半径 且CD OC ⊥CD ∴为O 的切线.(2)解:AB 为的直径ABC∠=ABC CBD ∴∽∴AB CBCB BD=1,4BD AB==1 CB BD AB∴=⋅=22CD CB BD∴=-=CD∴的长是【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质AD OC∥ADO∴∠OA OD=ADO DAO ∴∠=∠DOC BOC ∴∠=∠OD OB OC OC ==,ODC OBC ∴≌△△∴OBC ODC ∠=∠BC AB ⊥∴90OBC ODC ∠=∠=︒OD 为经过圆心的半径∴CD 是O 的切线;(2)如图所示:作DM BC ⊥交BC 于点M8AB = 1AE =1432OA OB OD AB OE OA AE ∴=====-=, 227DE BM OD OE ==-=令=7CM x CB CD x ==+, 7BE DM ==∴在222Rt DMC CM DM CD +=△,222(7)7x x ∴+=+解得:37x =47BC ∴=DE BC ∥ADE ABC ∴△△∽是O的切线.2)在Rt△是O的切线得出Rt EAD中【详解】(1)证明:连接.是O的直径+∠OCA OCBDCB OCB+∠OCD=︒.90是半径经过O的半径外端∵CD 是O 的切线.(2)解:在Rt OCD △中∵90OCD ∠=︒ 30D ∠=︒ 2OC =∵4OD =.∵6AD AO OD =+=.∵AE 是O 的切线 切点为A∵OA AE ⊥.在Rt EAD 中∵90EAD ∠=︒ 30D ∠=︒ 6AD =∵3tan 306233AE AD =⋅︒=⨯=. 15.(1)见解析(2)4π3【分析】本题考查圆与三角形的综合问题 掌握与圆有关的性质 正确作出辅助线是关键.(1)连接OC 根据条件证明OC BD ∥ 即可证明;(2)根据PCO PDB ∽可得PA 利用余弦值可求出COP ∠ 通过弧长公式求解即可.【详解】(1)证明:连接OC 如图∵OC OB =∵OCB OBC ∠=∠∵弦BC 平分PBD ∠∵DBC OBC ∠=∠∵OCB DBC ∠=∠.∵OC BD ∥∵BD PD ⊥∵OC PD ⊥.为O 的半径是O 的切线;)解:连接OC∵PCO PDB ∽OC PO BD PB= 8cm AB = BD =14cm 2OC AB ==4468PA PA +=+ Rt OCP 中cos COP ∠=60COP =︒AC 的长=(1)证明见解析; 是O 的切线;证明FBD FDA ∽ 得到1tan tan 4BD A BDF AD ∠=∠== 进而得到164DF = 即可求解; 本题考查了切线的判定 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 余角性质 根据题意 正确作出辅助线是解题的关键.【详解】(1)证明:连结OD∵CO AB ⊥∵90E C ∠+∠=︒∵FE FD = OD OC =∵E FDE ∠=∠ ∠=∠C ODC∵90FDE ODC ∠+∠=︒∵90ODF ∠=︒∵OD DF ⊥∵FD 是O 的切线;(2)解:连结AD ,OD BD 如图∵AB 为O 的直径∵90ADB ∠=︒∵90∠+∠=︒A ABD∵OB OD =∵OBD ODB ∠=∠∵90A ODB ∠+∠=︒∵FBD FDA ∽DF BD AF AD= 在Rt △ABD 中 tan ∠164DF = 3DF =的平分线交O 于点E∵ED OE ⊥∵DE 为O 切线.(2)过点O 作OM BC ⊥于点M 10AB = 6BC =则132MC MB BC ===,152OB OE AB === 四边形OEDM 时矩形∵DE OM =根据勾股定理 得224DE OM OB BM ==-=.18.(1)见解析(2)103【分析】(1)连接OA OC 与AB 相交于点E 如图 由OA OC = 可得OAC OCA ∠=∠ 根据圆周角定理可得12B AOC ∠=∠ 由已知CAD B ∠=∠ 可得2AOC CAD ∠=∠ 根据三角形内角和定理可得180OCA CAO AOC ∠+∠+∠=︒ 等量代换可得90CAO CAD ∠+∠=︒ 即可得出答案;(2)根据角平分线的定义可得BAC DAC ∠=∠ 由已知可得BAC B =∠∠ 根据垂径定理可得 OC AB ⊥ BE AE = 在Rt BEC △中 根据正弦定理可得3sin 45CE CE B BC === 即可算出CE 的长度 根据勾股定理可算出22BE BC CE =-的长度 设O 的半径为r 则125OE OC CE r =-=- 在Rt AOE △中 222OA OE AE =+ 代入计算即可得出答案. 【详解】(1)证明:连接OA OC 与AB 相交于点E 如图OA OC =OAC ∴∠AC AC =∴12B ∠=CAD ∠=AOC ∴∠=OCA ∠+2CAO ∴∠+CAO ∴∠+OAD ∴∠OA 是O 的半径AD ∴是O 的切线;(2)解:AC 是∠BAC DAC ∴∠=∠CAD B ∠=∠BAC B ∴∠=∠OC AB ∴⊥ BE =在Rt BEC △中4BC =sin CE B BC ∴=125CE ∴=BE BC ∴=设O 的半径为r ,则125OE OC CE r =-=-在Rt AOE △中222OA OE AE =+ 222121655r r ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得:103r =. 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定,垂径定理,勾股定理及解直角三角形, 熟练掌握切线的性质与判定,垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键.。
2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明【含答案】

2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明1.如图,直线AD 经过⊙O 上的点A ,△ABC 为⊙O 的内接三角形,并且∠CAD =∠B.(1)判断直线AD 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)若∠CAD =30°,⊙O 的半径为1,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)2.已知:如图, 是 上一点,半径 的延长线与过点 的直线交于 点,A ⊙O OC AB OC =BC ,. AC =12OB(1)求证: 是 的切线;AB ⊙O (2)若 , ,求弦 的长.∠ACD =45°OC =2CD 3.如图,内接于圆O ,AB 为直径,与点D ,E 为圆外一点,,与BC 交于△ABC CD ⊥AB EO ⊥AB 点G ,与圆O 交于点F ,连接EC ,且.EG =EC(1)求证:EC 是圆O 的切线;(2)当时,连接CF ,∠ABC =22.5°①求证:;AC =CF ②若,求线段FG 的长.AD =14.如图,点A是⊙O直径BD延长线上的一点,C在⊙O上,AC=BC,AD=CD(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为4,求△ABC的面积.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的⊙O交AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE(1)求证:直线DE是⊙O的切线103(2)若BE=,AC=6,OA=2,求图中阴影部分的面积6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)过点E作EH⊥AB,垂足为H,求证:CD=HF;10(3)若CD=1,EF= ,求AF长.7.如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点M,弦MN∥BC交AB于点E,且3ME=1,AM=2,AE=.(1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)求⊙O 的半径.8.如图,AB 是⊙O 的直径,点P 在⊙O 上,且PA =PB ,点M 是⊙O 外一点,MB 与⊙O 相切于点B ,连接OM ,过点A 作交⊙O 于点C ,连接BC 交OM 于点D .AC ∥OM(1)求证:MC 是⊙O (2)若,,连接PC ,求PC 的长.OB =152BC =129.如图,四边形ABCD 是平行四边形,以AB 为直径的圆O 经过点D ,E 是⊙O 上一点,且∠AED=45°.(1)判断CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O 半径为6cm ,AE=10cm ,求∠ADE 的正弦值.10.如图,以Rt △ABC 的直角边AB 为直径的半圆O ,与斜边AC 交于D ,E 是BC 边上的中点,连结DE .(1)DE 与半圆O 相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;(2)若AD 、AB 的长是方程x 2﹣10x+24=0的两个根,求直角边BC 的长.11.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ,DE ⊥BC 于点E .(1)试判断DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)过点D 作DF ⊥AB 于点F ,若BE=3 ,DF=3,求图中阴影部分的面积.312.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,O 为AB 上一点,经过点A ,D 的⊙O 分别交AB ,AC 于点E ,F ,连接DF .(1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)连接DE ,求证:△BDE △BAD∼(3)若BE =,sinB =,求AD 的长.523513.如图,已知 内接干 , 是 的直径, 的平分线交 于点 ,ΔABC ⊙O AB ⊙O ∠CAB BC D 交 于点 ,连接 ,作 ,交 的延长线于点 .⊙O E EB ∠BEF =∠CAE AB F(1)求证: 是 的切线;EF ⊙O (2)若 , ,求 的半径和 的长.BF =10EF =20⊙O AD 14.如图,在中,,以AC 为直径的分别交AB 、BC 于点M 、N ,点P 在AB 的△ABC AC =AB ⊙O 延长线上,.2∠BCP =∠BAC(1)求证:CP 是的切线;⊙O (2)若, ,求点B 到线段AC 的距离.BC =6tan∠BCP =1215.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,P 为AB 延长线上一点,∠BCP =∠BAC ,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ,交AB 于点E ,(1)求证:PC 是⊙O 的切线;(2)求证:△PEC 是等腰三角形;(3)若AC +BC =2时,求CD 的长.16.如图,BD 为⊙O 的直径,AB=AC ,AD 交BC 于点E ,AE=1,ED=2.(1)求证:∠ABC=∠D;(2)求AB的长;(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.答案解析部分1.【答案】(1)解:直线AD与⊙O的位置关系是相切,理由是:作直径AE,连接CE,∵AE为直径,∴∠ACE=90°,∴∠E+∠EAC=90°,∵∠B=∠DAC,∠B=∠E,∴∠E=∠DAC,∴∠EAC+∠DAC=90°,即OA⊥AD,∵OA过O,∴直线AD与⊙O(2)解:连接OC,过O作OF⊥AC于F,则∠OFA=90,∵∠CAD=30°,∠DAO=90°,∴∠OAC=60°,∵OC=OA=1,∴△OAC是等边三角形,∴AC=OA=1,∠AOC=60°,∵OA =OC ,OF ⊥AC ,∴AF =FC = ,12由勾股定理得:OF =,12−(12)2=3∴阴影部分的面积为: 60π×12360−12×1×32=π6−34【知识点】等边三角形的判定与性质;圆周角定理;切线的判定;扇形面积的计算【解析】【分析】(1)作直径AE ,连接CE ,求出∠OAD =90°,根据切线的判定得出即可;(2)求出△OAC 是等边三角形,再分别求出△OAC 和扇形OCA 的面积,即可得出答案.2.【答案】(1)证明:如图,连接OA ;∴OC=BC=AC=OA. ∴△ACO 是等边三角形.∵OC =BC,AC =12OB,∵AC=BC , ∴∠CAB=∠B , 又∠OCA 为△ACB 的外角,∴∠O =∠OCA =60∘,∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B , ∴ 又 ∴AB 是∠B =30∘,∠OAC =60∘,∴∠OAB =90∘, 的切线⊙O (2)解:作AE ⊥CD 于点E , ∴∵∴在Rt △∠O =60∘,∠D =30∘.∠ACD =45∘,AC =OC =2,ACE 中, ∵∴∴∴CE =AE =2;∠D =30∘,AD =22,DE =3AE =6,CD =DE +CE =6+ 2.【知识点】圆周角定理;切线的判定【解析】【分析】(1) 如图,连接OA ,根据题意得出OC =BC =AC =OA . 根据三边相等的三角形是等边三角形得出 △ACO 是等边三角形 ,根据等边三角形的性质得出∠O=∠OCA=60°,根据等边对等角得出 ∠CAB =∠B , 根据三角形外角的定理得出 ∠OCA =∠CAB +∠B =2∠B ,故∠B=30°,根据角的和差得出∠OAB=90°,故 AB 是 的切线 ;⊙O (2) 作AE ⊥CD 于点E ,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠D=30°,然后根据等腰直角三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系得出CE,DE 的长,进而根据线段的和差即可算出答案。
中考数学考点《圆的切线的证明》专项练习题-附答案

中考数学考点《圆的切线的证明》专项练习题-附答案学校:班级:姓名:考号:1.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.求证:AC与⊙D相切.2.已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB与CD交于E,CE=DE,过B作BF∥CD,交AC的延长线于点F,求证:BF是⊙O的切线.3.如图,点C在以AB为直径的⊙O上,弧AC=1弧BC,经过点C与⊙O相切的直线CE交BA的延长线2于点D,连接BC,过点D作DF∥BC.求证:DF是⊙O的切线.4.如图,Rt△ABC中∠C=90°,点O是AB边上一点,以OA为半径作⊙O,与边AC交于点D,连接BD,若∠DBC=∠A,求证:BD是⊙O的切线.5.如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,DE⊥BC,垂足为E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若DG⊥AB,垂足为点F,交⊙O于点G,∠A=35°,⊙O半径为5,求劣弧DG的长.(结果保留π)6.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,点G在弧BD上,连接AG,交CD于点K,过点G的直线交CD延长线于点E,交AB延长线于点F,且EG=EK.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为13,CH=12,AC∥EF,求OH和FG的长.7.如图,已知△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,∠B=∠CAD=30°.(1)AD是⊙O的切线吗?为什么?(2)若OD⊥AB,BC=5,求⊙O的半径.8.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°,过点A、D作⊙O,使圆心O 在AB上,⊙O与AB交于点E.(1)求证:直线BD与⊙O相切;(2)若AD:AE=4:5,BC=6,求⊙O的直径.9.如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.(1)求证:AE是⊙O的切线;(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的长.10.如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.(1)求证:DE是⊙O的切线(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长11.如图,△ABC内接于⊙O,点D在半径OB的延长线上,∠BCD=∠A=30°.(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径长为1,求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积.(结果保留π和根号)12.如图,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为√5,OP=1,求BC的长.13.如图,点B、C、D都在半径为4的⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)求弦BD的长.14.如图,⊙O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:直线CD是⊙O的切线.15.如图,△ABC的边AB为⊙O的直径,BC与⊙O交于点D,D为BC的中点,过点D作DE⊥AC于E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AB=13,BC=10,求CE的长.16.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F.(1)求证:EF与⊙O相切;(2)若AB=6,AD=4 √2,求EF的长.17.如图,AB是⊙O直径,D为⊙O上一点,AT平分∠BAD交⊙O于点T,过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.(1)求证:CT为⊙O的切线;(2)连接BT,若⊙O半径为1,AT= √3,求BT的长.18.如图,点A是⊙O直径BD延长线上的一点,C在⊙O上,AC=BC,AD=CD(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,求△ABC的面积.19.如图,已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,OD∥BC,交⊙O于点D,交AC于点E,连接BD,BD 交AC于点F,延长AC到点P,连接PB.(1)若PF=PB,求证:PB是⊙O的切线;(2)如果AB=10,BC=6,求CE的长度.答案解析1.证明:过点D作DF⊥AC于F,如图所示:∵AB为⊙D的切线∴∠B=90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC,DF⊥AC∴BD=DF∴AC与⊙D相切.2.【解答】证明:∵AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB与CD交于E,CE=DE ∴AB⊥CD∵BF∥CD∴BF⊥AB∴BF是⊙O的切线.3.解:连接OC,过点O作OG⊥DF,垂足为G弧BC∵弧AC =12∴∠AOC=13∠AOB=60°∴∠ABC=12∠AOC=30°∵CE切⊙O于点C∴OC⊥CE,即∠DCO=90°∴在ΔDOC中∵DF//CB∴∠ABC=∠GDO=30°∴∠CDO=∠GDO,即DO平分∠CDG∵OC⊥CE,OG⊥DF ∴OC=OG(角平分线性质)∴OG是⊙O的半径∴DF是⊙O的切线(垂径定理).4.证明:如图,连接OD.∵OA=OD∴∠A=∠ADO.∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB=90°又∵∠CBD=∠A∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=180°﹣(∠ADO+∠CDB)=90°.∴直线BD与⊙O相切.5.(1)证明:如图1,连接BD、OD∵AB是⊙O直径∴BD ⊥AC∵AB=BC∴AD=DC∵AO=OB∴OD 是△ABC 的中位线∴DO ∥BC∵DE ⊥BC∴DE ⊥OD∵OD 为半径∴DE 是⊙O 切线;(2)解:如图2所示,连接OG ,OD∵DG ⊥AB ,OB 过圆心O∴弧BG=弧BD∵∠A=35°∴∠BOD=2∠A=70°∴∠BOG=∠BOD=70°∴∠GOD=140°∴劣弧DG 的长是140π×5180=359π.6.解:(1)证明:连接OG∵弦CD ⊥AB 于点H∴∠HKA+∠KAH=90°∵EG=EK∴∠EGK=∠EKG∵∠HKA=∠GKE∴∠HAK+∠KGE=90°∵AO=GO∴∠OAG=∠OGA∴∠OGA+∠KGE=90°∴GO⊥EF∴EF是⊙O的切线;(2)解:连接CO,在Rt△OHC中∵CO=13,CH=12∴HO=5∴AH=8∵AC∥EF∴∠CAH=∠F∴tan∠CAH=tan∠F=128=32在Rt△OGF中,∵GO=13∴FG=13tan∠E =263.7.解:(1)AD是⊙O的切线,理由如下:连接OA∵∠B=30°∴∠O=60°∵OA=OC∴∠OAC=60°∵∠CAD=30°∴∠OAD=90°又∴点A在⊙O 上∴AD是⊙O的切线;(2)∵∠OAC=∠O=60°∴∠OCA=60°∴△AOC是等边三角形∵OD⊥AB∴OD垂直平分AB∴AC=BC=5∴OA=5即⊙O的半径为5.8.(1)证明:连接OD,在△AOD中,OA=OD∴∠A=∠ODA又∵∠A+∠CDB=90°∴∠ODA+∠CDB=90°∴∠BDO=180°-90°=90°,即OD⊥BD ∴BD与⊙O相切.(2)解:连接DE,∵AE是⊙O的直径∴∠ADE=90°∴DE∥BC.又∵D是AC的中点,∴AE=BE.∴△AED∽△ABC.∴AC∶AB=AD∶AE.∵AC∶AB=4∶5令AC=4x,AB=5x,则BC=3x.∵BC=6,∴AB=10∴AE=5,∴⊙O的直径为5.9.(1)连接OA∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA.∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD∴∠OAD=∠EDA∴OA∥CE.∵AE⊥DE∴∠AED=90°.∴∠OAE=∠DEA=90°.∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线;(2)∵BD是直径∴∠BCD=∠BAD=90°.∵∠DBC=30°,∠BDC=60°∴∠BDE=120°.∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA=60°.∴∠ABD=∠EAD=30°.∵在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°∴AD=2DE.∵在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°∴BD=2AD=4DE.∵DE的长是1cm∴BD的长是4cm.10.(1)证明:如图(1)连接OD.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.又∵OA="OD" ,∴∠1=∠3.∴∠2="∠3."∴OD∥AE.∵DE⊥AE∴DE⊥OD.而D在⊙O上∴DE是⊙O的切线.(2)过D作DG⊥AB 于G.∵DE⊥AE ,∠1=∠2.∴DG="DE=3" ,半径OD=5.在Rt△ODG中,根据勾股定理: OG===4 ∴AG=AO+OG=5+4=9.∵FB是⊙O的切线, AB是直径∴FB⊥AB.而DG⊥AB∴DG∥FB. △ADG∽△AFB∴∴.∴BF=.11.(1)解:直线CD与⊙O相切∵在⊙O中,∠COB=2∠CAB=2×30°=60°又∵OB=OC∴△OBC是正三角形∴∠OCB=60°又∵∠BCD=30°∴∠OCD=60°+30°=90°∴OC ⊥CD又∵OC 是半径∴直线CD 与⊙O 相切.(2)解:由(1)得△OCD 是Rt △,∠COB=60° ∵OC=1∴CD= √3∴S △COD = 12 OC •CD= √32又∵S 扇形OCB = π6∴S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OCB = √32−π6=3√3−π6 .12.(1)证明:连接OB ,如图∵OP ⊥OA∴∠AOP=90°∴∠A+∠APO=90°∵CP=CB∴∠CBP=∠CPB而∠CPB=∠APO∴∠APO=∠CBP∵OA=OB∴∠A=∠OBA∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90° ∴OB ⊥BC∴BC 是⊙O 的切线;(2)解:设BC=x ,则PC=x在Rt △OBC 中,OB= √5 ,OC=CP+OP=x+1 ∵OB 2+BC 2=OC 2∴( √5 )2+x 2=(x+1)2解得x=2即BC 的长为2.13.(1)证明:连接OC,OC交BD于E∵∠CDB=30°∴∠COB=2∠CDB=60°∵∠CDB=∠OBD∴CD∥AB又∵AC∥BD∴四边形ABDC为平行四边形∴∠A=∠D=30°∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°,即OC⊥AC 又∵OC是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线(2)解:由(1)知,OC⊥AC.∵AC∥BD∴OC⊥BD∴BE=DE∵在直角△BEO中,∠OBD=30°,OB=4∴BE=OBcos30°=2 √3∴BD=2BE=4 √314.(1)解:∵AB是⊙O直径,C在⊙O上∴∠ACB=90°又∵BC=3,AB=5∴由勾股定理得AC=4(2)解:证明:连接OC∵AC是∠DAB的角平分线∴∠DAC=∠BAC又∵AD⊥DC∴∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB∴∠DCA=∠CBA又∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠OAC+∠OBC=90°∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°∴DC是⊙O的切线.15.(1)证明:连接OD∵D为BC的中点,O为AB的中点∴OD∥AC;∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE是圆O的切线(2)解:连接 AD∵AB是直径∴AD⊥BC;∵D为BC的中点∴AD 是BC 的垂直平分线∴AC=AB=13;∵∠C=∠C ,∠DEC=∠ADC=90°∴△CDE ∽△CAD∴EC CD = DC AD ,而AC=AB=13,CD= 12 BC=5 ∴CE= 2513 .16.(1)证明:连接OD∵AD 平分∠CAB∴∠OAD=∠EAD .∵OD=OA∴∠ODA=∠OAD .∴∠ODA=∠EAD .∴OD ∥AE .∵∠ODF=∠AEF=90°且D 在⊙O 上 ∴EF 与⊙O 相切.(2)证明:连接BD ,作DG ⊥AB 于G∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°∵AB=6,AD=4 √2∴BD= √AB 2−AD 2 =2∵OD=OB=3设OG=x ,则BG=3﹣x∵OD 2﹣OG 2=BD 2﹣BG 2,即32﹣x 2=22﹣(3﹣x )2 解得x= 73∴OG= 73∴DG= √OD2−OG2 = 43√2∵AD平分∠CAB,AE⊥DE,DG⊥AB∴DE=DG= 43√2∴AE= √AD2−DE2 = 163∵OD∥AE∴△ODF∽△AEF∴DFEF =ODAE,即EF−EDEF=ODAE∴EF−43√2EF=3163∴EF= 6421√2.17.(1)证明:连接OT,如图1所示:∵OA=OT∴∠OAT=∠OTA又∵AT平分∠BAD∴∠DAT=∠OAT∴∠DAT=∠OTA∴OT∥AC又∵CT⊥AC∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线(2)解:连接BT,如图2所示:∵AB是⊙O直径∴AB=2,∠ATB=90°∴BT= √AB2−AT2 = √22+(√3)2 =1.18.(1)解:连接OC .∵AC=BC ,AD=CD ,OB=OC∴∠A=∠B=∠1=∠2.∵∠ACO=∠DCO+∠2∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD又∵BD 是直径∴∠BCD=90°∴∠ACO=90°又C 在⊙O 上∴AC 是⊙O 的切线(2)解:由题意可得△DCO 是等腰三角形 ∵∠CDO=∠A+∠2,∠DOC=∠B+∠1∴∠CDO=∠DOC ,即△DCO 是等边三角形. ∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°,CD=AD=2 在直角△BCD 中BC= √BD 2−CD 2 = √42−22 =2 √3 . 又AC=BC∴AC=2 √3 .作CE ⊥AB 于点E .在直角△BEC 中,∠B=30°∴CE= 12 BC= √3∴S △ABC = 12 AB •CE= 12 ×6× √3 =3 √3 .19.(1)证明:∵PF=PB∴∠PFB=∠PBF又∵∠DFE=∠PFB∴∠DFE=∠PBF∵AB 是圆的直径∴∠ACB=90°,即AC ⊥BC . 又∵OD ∥BC∴OD ⊥AC .∴在直角△DEF 中,∠D+∠DFE=90° 又∵OD=OB∴∠D=∠DBO∴∠DBO+∠PBE=90°,即PB ⊥AB ∴PB 是⊙O 的切线;(2)解:∵OD ∥BC ,OA=OB ∴OE= 12 BC= 12 ×6=3.∵OD ⊥AB∴EC=AE .∵在直角△OAE 中,OA= 12 AB= 12 ×10=5∴AE= √OA 2−OE 2 = √52−32 =4. ∴EC=4。
2023年九年级中考数学 二轮复习拔高训练--圆的切线的证明

2023年中考数学二轮复习拔高训练--圆的切线的证明一、综合题1.如图,已知⊙O的直径AB=12cm,AC是⊙O的弦,过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P,连接BC.(1)求证:∠PCA=∠B(2)已知∠P=40°,点Q在优弧ABC上,从点A开始逆时针运动到点C停止(点Q与点C不重合),当△ABQ与△ABC的面积相等时,求动点Q所经过的弧长。
2.已知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴.一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在B的左侧),且A点坐标为(−4,4).平行于x轴的直线l过(0,−1)点.(1)求一次函数与二次函数的解析式;(2)判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系,并给出证明;(3)把二次函数的图象向右平移2 个单位,再向下平移t 个单位(t>0),二次函数的图象与x 轴交于M,N 两点,一次函数图象交y 轴于 F 点.当t 为何值时,过F,M,N 三点的圆的面积最小?最小面积是多少?3.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接AC,OD交于点E。
(1)证明:AE=CE;(2)若AC=2BC,证明:DA是⊙O的切线;(3)在(2)条件下,连接BD交⊙O于点F,连接EF,若⊙O的直径为√5,求EF的长。
4.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)试说明DF是⊙O的切线;(2)若AC=3AE,求BECE的值.5.如图,AB为半圆O的直径,点C为半圆上不与A,B重合的一动点,AC⌢=CD⌢,连接AC,CD,AD,BC,延长BC交AD于F,交半圆O的切线AE于E.(1)求证:△AEF是等腰三角形;(2)填空:①若AE=√5,BE=5,则BF的长为;②当∠E的度数为时,四边形OACD为菱形.6.如图AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为E,AE交⊙O 于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC,PC=2PB.(1)探究线段PB,AB之间的数量关系,并说明理由;(2)若AD=3,求AB长.7.定义:圆心在三角形的一边上,与另一边相切,且经过三角形一个顶点(非切点)的圆,称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”.(1)如图1,△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则AC边上的伴随圆的半径为.(2)如图2,已知等腰△ABC,AB=AC=5,BC=6,画草图并直接写出它的所有伴随圆的半径.(3)如图3,△ABC中,∠ACB=90°,点P在边AB上,AP=2BP,D为AC中点,且∠CPD=90°.①求证:△CPD的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆;②求cos∠PDC的值.8.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l1分别交x轴和y轴于点A(-3,0),B(0,3).(1)如图1,已知⊙P经过点O,且与直线l1相切于点B,求⊙P的直径长;(2)如图2,已知直线l2: y=3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D,点Q是直线l2上的一个动点,以Q为圆心,2√2为半径画圆.①当点Q与点C重合时,求证: 直线l1与⊙Q相切;②设⊙Q与直线l1相交于M,N两点, 连结QM,QN. 问:是否存在这样的点Q,使得△QMN是等腰直角三角形,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,以AB边为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连结PC交AB于点E,且∠ACP=60°,PA=PD.(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若点C是弧AB的中点,已知AB=4,求CE·CP的值.10.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k−1)x−k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A 在点B的左侧.(1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标;(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;(3)如图2,抛物线y=x2+(k−1)x−k(k>0)与x 轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).当以OC为直径的⊙E与直线AB相切于点Q时,请求出此时k的值.11.如图,第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作⊙C的切线l交x轴于点B,P为直线l上一动点,已知直线PA的解析式为:y=kx+3.(1)设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式.(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明;(3)是否存在使△AMN的面积等于3225的k值?若存在,请求出符合的k值;若不存在,请说明理由.12.我们知道,平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,如果两条数轴不垂直,而是相交成任意的角ω(0°<ω<180°且ω≠90°),那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系。
往年中考关于圆的证明汇总(有答案)

23 图
24 图
24、如图,⊙M 与 x 轴相切于点 C,与 y 轴的一个交点为 A。
(1)求证:AC 平分∠OAM;(2)如果⊙M 的半径等于 4,∠ACO=300,求 AM 所在直线的解析式.
25、如图,在直角三角形 ABC 中,∠ABC=90°.
1、如图,在⊙O 中,AB,CD 是直径,BE 是切线,B 为切点,连接 AD,BC,BD.
(1)求证:△ABD≌△CDB;
(2)若∠DBE=37°,求∠ADC 的度数.
1图
2图
2、如图,△ABC 中,∠ACB=90°,D 是边 AB 上的一点,E 是 BC 上的一点,以 EC 为直径的⊙O 经过点 D,OA⊥CD 于点
连接 AF. (1)证明:∠F=∠CAD;(2)试判断直线 AF 与⊙O 的位置关系,并给出证明.
11 图
12 图
12、如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 是⊙O 上一点(不与 A,B 重合) ,连接 AC,BC,过点 O 作 OD∥AC 交 BC 于点 D,
在 OD 的延长线上取一点 E,连接 EB,使∠OEB=∠ABC.
那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和
两等圆⊙A,⊙B外切, 为.
35 图
36 图
36、如图所示,AB 是⊙O 的直径,AE 是弦,C 是劣弧 AE 的中点,过 C 作 CD⊥AB 于点 D,CD 交 AE 于点 F,过 C 作 CG
∥AE 交 BA 的延长线于点 G.
(1)求证:CG 是⊙O 的切线. (2)求证:AF=CF. (3)若∠EAB=30°,CF=2,求 GA 的长.
33 图
2023九年级数学下册中考专题训练——圆的切线的证明【含答案】

2023九年级数学下册中考专题训练——圆的切线的证明A AM⊙O B⊙O BD⊥AM D BD1. 如图,点是直线与的交点,点在上,垂足为,与⊙O C OC∠AOB∠B=60∘交于点,平分,.AM⊙O(1) 求证:是的切线;DC=2π(2) 若,求图中阴影部分的面积(结果保留和根号).AB⊙O AC BD⊙O OE∥AC BC E B 2. 如图,已知是的直径,,是的弦,交于,过点⊙O OE D DC BA F作的切线交的延长线于点,连接并延长交的延长线于点.DC⊙O(1) 求证:是的切线;∠ABC=30∘AB=8CF(2) 若,,求线段的长.△ABC∠B=∠C=30∘O BC O OB3. 如图,中,,点是边上一点,以点为圆心、为半径的圆A BC D经过点,与交于点.AC⊙O(1) 试说明与相切;AC=23(2) 若,求图中阴影部分的面积.ABC⊙O B C D⊙O E BC OE 4. 如图,割线与相交于,两点,为上一点,为弧的中点,BC F DE AC G∠ADG=∠AGD交于,交于,.AD⊙D(1) 求证明:是的切线;∠A=60∘⊙O4ED(2) 若,的半径为,求的长.5. 如图,, 分别是半 的直径和弦, 于点 ,过点 作半 的切线 AB AC ⊙O OD ⊥AC D A ⊙O , 与 的延长线交于点 .连接 并延长与 的延长线交于点 .AP AP OD P PC AB F(1) 求证: 是半 的切线;PC ⊙O (2) 若 ,,求线段 的长.∠CAB =30∘AB =10BF 6. 如图, 是 的直径, 是 上一点, 是 的中点, 为 延长线上一点,AB ⊙O C ⊙O D AC E OD 且 , 与 交于点 ,与 交于点 .∠CAE =2∠C AC BD H OE F(1) 求证: 是 的切线.AE ⊙O (2) 若 ,,求直径 的长.DH =9tanC =34AB 7. 如图, 是 的直径, 是 的弦,, 与 的延长线交于点 ,点 AB ⊙O AC ⊙O OD ⊥AB OD AC D 在 上,且 .E OD CE =DE(1) 求证:直线 是 的切线.CE ⊙O (2) 若 ,,.OA =23AC =3CD =8. 如图, 是的直径,弦 于点 ,点 在直径 的延长线上,AB ⊙O CD ⊥AB E G DF .∠D =∠G =30∘(1) 求证: 是 的切线.CG ⊙OCD=6GF(2) 若,求的长.AB⊙O AC D BC D EF AC9. 如图,是的直径,是弦,是的中点,过点作垂直于直线,垂E AB F足为,交的延长线于点.EF⊙O(1) 求证:是的切线.B OF⊙O3(2) 若点是的中点,的半径为,求阴影部分面积.PB⊙O B PO⊙O E F B PO BA 10. 如图,切于点,直线交于点,,过点作的垂线,垂D⊙O A AO⊙O C BC AF足为点,交于点,延长交于点,连接,.PA⊙O(1) 求证:直线为的切线;BC=6AD:FD=1:2⊙O(2) 若,,求的半径的长.AC⊙O B⊙O∠ACB=30∘CB D11. 如图,为的直径,为上一点,,延长至点,使得CB=BD D DE⊥AC E CA BE,过点作,垂足在的延长线上,连接.BE⊙O(1) 求证:是的切线;BE=3(2) 当时,求图中阴影部分的面积.AB⊙O AP⊙O A BP⊙O C12. 已知是的直径,是的切线,是切点,与交于点.∠P=35∘∠ABP(1) 如图①,若,求的度数;D AP CD⊙O(2) 如图②,若为的中点,求证:直线是的切线.Rt△ABC∠C=90∘D AB AD⊙O BC13. 如图,在中,,点在上,以为直径的与相交于点E AE∠BAC,且平分.BC⊙O(1) 求证:是的切线;∠EAB=30∘OD=3(2) 若,,求图中阴影部分的面积.⊙O PA PC PH∠APB⊙O H H 14. 如图,在中,是直径,是弦,平分且与交于点,过作HB⊥PC PC B交的延长线于点.HB⊙O(1) 求证:是的切线;HB=6BC=4⊙O(2) 若,,求的直径.AB⊙O BD⊙O BD C AB=AC AC15. 已知:是的直径,是的弦,延长到点,使,连接,过D DE⊥AC E点作,垂足为.DC=BD(1) 求证:;DE⊙O(2) 求证:为的切线.AB⊙O C⊙O D AB∠BCD=∠A16. 如图,是的直径,是上一点,在的延长线上,且.CD⊙O(1) 求证:是的切线;⊙O3CD=4BD(2) 若的半径为,,求的长.△ABC AC⊙O△ABC∠ABC⊙O17. 如图,以的边为直径的恰为的外接圆,的平分线交D D DE∥AC BC E于点,过点作交的延长线于点.DE⊙O(1) 求证:是的切线.AB=45BC=25DE(2) 若,,求的长.AB O AD∠DBC=∠A18. 如图,是半圆的直径,为弦,.BC O(1) 求证:是半圆的切线;OC∥AD OC BD E BD=6CE=4AD(2) 若,交于,,,求的长.△ABC AO⊥BC O⊙O AC D BE⊥AB 19. 如图,是等边三角形,,垂足为点,与相切于点,交AC E⊙O G F的延长线于点,与相交于,两点.AB⊙O(1) 求证:与相切;ABC8BF(2) 若等边三角形的边长是,求线段的长.AC⊙O BC⊙O P⊙O PB AB 20. 如图,是的直径,是的弦,点是外一点,连接,,∠PBA=∠C.PB⊙O(1) 求证:是的切线;OP OP∥BC OP=8⊙O22BC(2) 连接,若,且,的半径为,求的长.答案1. 【答案】(1) ,,∵∠B=60∘OB=OC是等边三角形,∴△BOC,∴∠1=∠2=60∘平分,∵OC∠AOB,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OA∥BD,∴∠BDM=90∘,∴∠OAM=90∘是的切线.∴AM⊙O(2) ,,∵∠3=60∘OA=OC是等边三角形,∴△AOC,∴∠OAC=60∘,∵∠OAM=90∘,∴∠CAD=30∘,∵CD=2,∴AC=2CD=4,∴AD=23∴S阴影=S梯形OADC−S扇形OAC =12(4+2)×23−60⋅π×16360=63−8π3.2. 【答案】(1) 连接,OC,∵OE∥AC,∴∠1=∠ACB是的直径,∵AB⊙O,∴∠1=∠ACB=90∘,由垂径定理得垂直平分,∴OD⊥BC OD BC,∴DB=DC,∴∠DBE=∠DCE又,∵OC=OB,∴∠OBE=∠OCE即,∠DBO=∠OCD为的切线,是半径,∵DB⊙O OB,∴∠DBO=90∘,∴∠OCD =∠DBO =90∘即 ,OC ⊥DC 是 的半径,∵OC ⊙O 是 的切线.∴DC ⊙O (2) 在 中,,Rt △ABC ∠ABC =30∘ ,又 ,∴∠3=60∘OA =OC 是等边三角形,∴△AOC∴∠COF =60∘在 中,,Rt △COF tan∠COF =CF OC .∴CF =433. 【答案】(1) 连接 .OA ,∵OA =OB .∴∠OAB =∠B ,∵∠B =30∘ .∴∠OAB =30∘ 中:,△ABC ∠B =∠C =30∘ .∴∠BAC =180∘−∠B−∠C =120∘ .∴∠OAC =∠BAC−∠OAB =120∘−30∘=90∘ ,∴OA ⊥AC 是 的切线,即 与 相切.∴AC ⊙O AC ⊙O (2) 连接 .AD ,∵∠C =30∘∠OAC =90∘ .∴OC =2OA 设 的长度为 ,则 .OA x OC =2x 在 中,,.△OAC ∠OAC =90∘AC =23根据勾股定理可得:,x 2+(23)2=(2x )2解得:,(不合题意,舍去).x 1=2x 2=−2 ,∴S △OAC =12×2×23=23,S 扇形OAD =60360×π×22=23π .∴S 阴影=23−23π答:图中阴影部分的面积为 .23−23π4. 【答案】(1) 连接 .OD 为 的中点,∵E BC ,∴OE ⊥BC ,∵OD =OE ,∴∠ODE =∠OED ,∴∠AGD +∠OED =∠EGF +∠OED =90∘ ,∵∠AGD =∠ADG ,即 ,∴∠ADG +∠ODE =90∘OD ⊥AD 是 的切线.∴AD ⊙O (2) 作 于 .OH ⊥ED H ,∴DE =2DH ,∵∠ADG =∠AGD ,∴AG =AD ,∵∠A =60∘ ,∴∠ADG =60∘,∴∠ODE =30∘ ,∵OD =4 ,∴DH =32OD =23 .∴DE =2DH =435. 【答案】(1) 连接 ,OC , 经过圆心 ,∵OD ⊥AC OD O ,∴AD =CD ,∴PA =PC 在 和 中,△OAP △OCP {OA =OC,PA =PC,OP =OP,,∴△OAP ≌△OCP (SSS ) ,∴∠OCP =∠OAP 是 的切线,∵PA ⊙O .∴∠OAP =90∘,即 ,∴∠OCP =90∘OC ⊥PC 是 的切线.∴PC ⊙O (2) 是直径,∵AB ,∴∠ACB =90∘,∵∠CAB =30∘,∴∠COF =60∘ 是 的切线,,∵PC ⊙O AB =10 ,,∴OC ⊥PF OC =OB =12AB =5 ,∴OF =OC cos∠COF =10 .∴BF =OF−OB =56. 【答案】(1) 是 的中点,∵D AC ,∴OE ⊥AC ,∴∠AFE =90∘ ,∴∠E +∠EAF =90∘ ,,∵∠AOE =2∠C ∠CAE =2∠C ,∴CAE =∠AOE ,∴∠E +∠AOE =90∘ ,∴∠EAO =90∘ 是 的切线.∴AE ⊙O (2) ,∵∠C =∠B ,∵OD =OB ,∴∠B =∠ODB ,∴ODB =∠C ,∴tanC =tan∠ODB =HF DF =34 设 ,,∴HF =3x DF =4x ,∴DH =5x =9,∴x =95 ,,∴DE =365HF =275 ,,∵∠C =∠FDH ∠DFH =∠CFD ,∴△DFH ∼△CFD ,∴DF CF =FH DF,∴CF =365×365275=485 ,∴AF =CF =485设 ,OA =OD =x,∴OF =x−365 ,∵AF 2+OF 2=OA 2 ,∴(485)2+(x−365)2=x 2解得:,x =10 ,∴OA =10 直径 为 .∴AB 207. 【答案】(1) 连接 ,OC ,∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =90∘ ,∴∠D +∠A =90∘ ,∵OA =OC ,∴∠A =∠ACO ,∵CE =DE ,∴∠ECD =∠D ,∵∠ACO +∠DCE =90∘ ,∴∠OCE =90∘ ,∴OC ⊥CE 直线 是 的切线.∴CE ⊙O (2)5【解析】(2) 连接 ,BC 是 的直径,∵AB ⊙O ,∴∠ACB =90∘ ,∴∠AOD =∠ACB ,∵∠A =∠A ,∴△ABC ∽△ADO,∴AO AC =AD AB ,∴233=AD43 ,∴AD =8 .∴CD =AD−AC =58. 【答案】(1) 连接 .OC ,,∵OC =OD ∠D =30∘ .∴∠OCD =∠D =30∘ ,∵∠G =30∘ .∴∠DCG =180∘−∠D−∠G =120∘ .∴∠GCO =∠DCG−∠OCD =90∘ .∴OC ⊥CG 又 是 的半径.∵OC ⊙O 是 的切线.∴CG ⊙O (2) 是 的直径,,∵AB ⊙O CD ⊥AB .∴CE =12CD =3 在 中,,,∵Rt △OCE ∠CEO =90∘∠OCE =30∘ ,.∴EO =12CO CO 2=EO 2+CE 2设 ,则 .EO =x CO =2x .∴(2x )2=x 2+32解得 (舍负值).x =±3 .∴CO =23 .∴FO =23在 中,△OCG ,,∵∠OCG =90∘∠G =30∘ .∴GO =2CO =43 .∴GF =GO−FO =239. 【答案】(1) 连接 ,连接 ,OD AD 点 是 的中点,∵D BC ,∴∠1=∠2 ,∵OA =OD ,∴∠2=∠3即 ,∠1=∠2=∠3 ,∴∠1=∠3 ,∴AE ∥OD ,∵AE ⊥EF ,∴OD ⊥EF 即 是 的切线.EF ⊙O(2) 点是 的中点, 半径为 ,∵B OF ⊙O 3 ,∴BF =OB =3由()可知 ,1OD ⊥EF 在 中,Rt △ODF ,∵sinF =OD OF =36=12 ,,∴∠F =30∘∠DOF =60∘故S 阴影=S △ODF −S 扇ODB=12OD ⋅DF−60∘360∘π×32=3×332−32π=32(33−π).故阴影面积为:.32(33−π)10. 【答案】(1) 如图,连接 .OB 是 的切线,∵PB ⊙O .∴∠PBO =90∘ , 于 ,∵OA =OB BA ⊥PO D ,.∴AD =BD ∠POA =∠POB 又 ,∵PO =PO .∴△PAO ≌△PBO .∴∠PAO =∠PBO =90∘ 直线 为 的切线.∴PA ⊙O (2) ,,,∵OA =OC AD =BD BC =6 .∴OD =12BC =3设 .AD =x ,∵AD:FD =1:2 ,.∴FD =2x OA =OF =2x−3在 中,由勾股定理,得 .Rt △AOD (2x−3)2=x 2+32解之得,,(不合题意,舍去).x 1=4x 2=0 ,.∴AD =4OA =2x−3=5即 的半径的长 .⊙O 511. 【答案】(1) 如图所示,连接 ,BO ,∵∠ACB =30∘ ,∴∠OBC =∠OCB =30∘,,∵DE ⊥AC CB =BD 中,,∴Rt △DCE BE =12CD =BC ,∴∠BEC =∠BCE =30∘ 中,,∴△BCE ∠EBC =180∘−∠BEC−∠BCE =120∘ ,∴∠EBO =∠EBC−∠OBC =120∘−30∘=90∘ 是 的切线.∴BE ⊙O (2) 当 时,,BE =3BC =3 为 的直径,∵AC ⊙O ,∴∠ABC =90∘又 ,∵∠ACB =30∘ ,∴AB =tan 30∘×BC =3 ,,∴AC =2AB =23AO =3 ∴S 阴影部分=S 半圆−S Rt △ABC =12π×AO 2−12AB ×BC=12π×3−12×3×3=32π−32 3.12. 【答案】(1) 是 的直径, 是 的切线,∵AB ⊙O AP ⊙O ,∴AB ⊥AP ;∴∠BAP =90∘又 ,∵∠P =35∘ ∴∠ABP =90∘−35∘=55∘(2) 如图,连接 ,,.OC OD AC 是 的直径,∵AB ⊙O (直径所对的圆周角是直角),∴∠ACB =90∘ ;∴∠ACP =90∘又 为 的中点,∵D AP (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半);∴AD =CD 在 和 中,△OAD △OCD {OA =OC,OD =OD,AD =CD, ,△OAD ≌△OCD (SSS ) (全等三角形的对应角相等);∴∠OAD =∠OCD 又 是 的切线, 是切点,∵AP ⊙O A ,∴AB ⊥AP ,∴∠OAD =90∘ ,即直线 是 的切线.∴∠OCD =90∘CD ⊙O13. 【答案】(1) 平分 ,∵AE ∠BAC ,∴∠CAE =∠EAD ,∵OA =OE ,∴∠EAD =∠OEA ,∴∠OEA =∠CAE ,∴OE ∥AC ,∴∠OEB =∠C =90∘ ,∴OE ⊥BC 是 的切线.∴BC ⊙O (2) ,∵∠EAB =30∘ ,∴∠EOD =60∘ ,∴∠OEB =90∘ ,∴∠B =30∘ ,∴OB =2OE =2OD =6 ,∴BE =OB 2−OE 2=33,,∴S △OEB =932S 扇形=3π2 .∴S 阴影=932−3π214. 【答案】(1) 如图,连接 .OH 平分 ,∵PH ∠APB .∴∠HPA =∠HPB ,∵OP =OH .∴∠OHP =∠HPA .∴∠HPB =∠OHP .∴OH ∥BP ,∵BP ⊥BH .∴OH ⊥BH 是 的切线.∴HB ⊙O (2) 如图,过点 作 ,垂足为 .O OE ⊥PC E ,,,∵OE ⊥PC OH ⊥BH BP ⊥BH 四边形 是矩形.∴EOHB ,.∴OE =BH =6OH =BE .∴CE =OH−4 ,∵OE ⊥PC.∴PE =EC =OH−4=OP−4在 中,,.Rt △POE OP 2=PE 2+OE 2 .∴OP 2=(OP−4)2+36 .∴OP =132 .∴AP =2OP =13 的直径是 .∴⊙O 1315. 【答案】(1) 连接 ,AD 是 的直径,∵AB ⊙O ,∴∠ADB =90∘又 ,∵AB =AC .∴DC =BD (2) 连接半径 ,OD ,,∵OA =OB CD =BD ,∴OD ∥AC ,∴∠ODE =∠CED 又 ,∵DE ⊥AC ,∴∠CED =90∘ ,即 ,∴∠ODE =90∘OD ⊥DE 是 的切线.∴DE ⊙O 16. 【答案】(1) 连接 .OC 是 的直径, 是 上一点,∵AB ⊙O C ⊙O ,即 .∴∠ACB =90∘∠ACO +∠OCB =90∘ ,,∵OA =OC ∠BCD =∠A ,∴∠ACO =∠A =∠BCD ,即 ,∴∠BCD +∠OCB =90∘∠OCD =90∘ 是 的切线.∴CD ⊙O (2) 在 中,,,,Rt △OCD ∠OCD =90∘OC =3CD =4 ,∴OD =OC 2+CD 2=5 .∴BD =OD−OB =5−3=217. 【答案】(1) 连接 ,OD 是 的直径,∵AC ⊙O,∴∠ABC =90∘ 平分 ,∵BD ∠ABC ,∴∠ABD =45∘ ,∴∠ODE =90∘ ,∵DE ∥AC ,∴∠ODE =∠AOD =90∘ 是 的切线.∴DE ⊙O (2) 在 中,,,Rt △ABC AB =45BC =25 ,∴AC =AB 2+BC 2=10 ,∴OD =5过点 作 ,垂足为 ,C CG ⊥DE G 则四边形 为正方形,ODGC ,∴DG =CG =OD =5 ,∵DE ∥AC ,∴∠CEG =∠ACB ,∴tan∠CEG =tan∠ACB ,即 ,∴CG GE =AB BC 5GE =4525解得:,GE =52 .∴DE =DG +GE =15218. 【答案】(1) 是半圆 的直径,∵AB O ,∴BD ⊥AD ,∴∠DBA +∠A =90∘ ,∵∠DBC =∠A ,即 ,∴∠DBA +∠DBC =90∘AB ⊥BC 是半圆 的切线.∴BC O (2) ,∵OC ∥AD ,∴∠BEC =∠D =90∘ ,,∵BD ⊥AD BD =6 ,∴BE =DE =3 ,∵∠DBC =∠A ,∴△BCE ∽△BAD ,即 ,∴CE BD =BE AD 46=3AD .∴AD =4.519. 【答案】(1) 过点 作 ,垂足是 .O OM ⊥AB M 与 相切于点 ,∵⊙O AC D ,∴OD ⊥AC ,∠ADO =∠AMO =90∘ 是等边三角形,,∵△ABC AO ⊥BC 是 的角平分线,∴OA ∠MAD ,,∵OD ⊥AC OM ⊥AB .∴OM =OD 与 相切.∴AB ⊙O (2) 过点 作 ,垂足是 ,连接 .O ON ⊥BE N OF ,,∵AB =AC AO ⊥BC ∴ 是 的中点,O BC ,∴OB =12BC =12×8=4 在直角 中,,,△ABC ∠ABE =90∘∠MBO =60∘ ,∴∠OBN =30∘ ,,,∵ON ⊥BE ∠OBN =30∘OB =4 ,,∴ON =12OB =2BN =42−22=23 ,∵AB ⊥BE ∴四边形 是矩形,OMBN .∴BN =OM =23 .∵OF =OM =23由勾股定理得 .NF =(23)2−22=22 .∴BF =BN +NF =23+2220. 【答案】(1) 连接 ,如图所示:OB 是 的直径,∵AC ⊙O ,∴∠ABC =90∘ ,∴∠C +∠BAC =90∘ ,∵OA =OB ,∴∠BAC =∠OBA ,∵∠PBA =∠C ,即 ,∴∠PBA +∠OBA =90∘PB ⊥OB 是 的切线.∴PB ⊙O (2) 的半径为 ,∵⊙O 22,,∴OB =22AC =42 ,∵OP ∥BC ,∴∠CBO =∠BOP ,∵OC =OB ,∴∠C =∠CBO ,∴∠C =∠BOP 又 ,∵∠ABC =∠PBO =90∘ ,∴△ABC ∽△PBO ,即 ,∴BC OB =AC OP BC 22=428 .∴BC =2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
C
E
A
B
O
P
圆的切线证明(四)
1 如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ,交AC 于E ,B 为切点的切线交OD 延长线于F.
求证:EF 与⊙O 相切.
(2011中考)2.如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,过A 作OP 的垂线AB ,垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ,与PA 的延长线交于点E,(1)求证:PB 为⊙O 的切线;(2)若tan ∠ABE=2
1
,求sin ∠E.
》
3 如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.
求证:PA与⊙O相切.
【
4如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M 求证:DM与⊙O相切.
D ,
5 如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D 在AB的延长线上.
求证:DC是⊙O的切线
|
6 如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.
(
求证:PC是⊙O的切线.
】
7 如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F.
求证:CE与△CFG的外接圆相切.
8. (2006北京中考)已知:如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的
!
延长线上,,∠CAD=30°.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若OD⊥AB,BC=5,求AD的长.
9.(2007北京中考)已知:如图,A 是O 上一点,半径OC 的延长线与过点A
的直线交于B 点,OC BC =,1
2
AC OB =
. "
(1)求证:AB 是O 的切线;
(2)若45ACD ∠=°,2OC =,求弦CD 的长.
<
9.(2008北京中考)已知:如图,在Rt ABC △中,90C ∠=,点O 在AB 上,以O 为圆心,OA 长为半径的圆与AC AB ,分别交于点D E ,,且CBD A ∠=∠. (1)判断直线BD 与O 的位置关系,并证明你的结论;
(2)若:8:5AD AO =,2BC =,求BD 的长.
10.(2009北京中考)已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,AE 是角平分线,BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. *
(1)求证:AE 与⊙O 相切; (2)当BC=4,cosC=1
3
时,求⊙O 的半径.
O
A
B
C
D
A
)
11.(2010北京中考)已知:如图,在△ABC中,D是AB边上一点,圆O过D、
B、C三点,DOC=2ACD=90。
(1) 求证:直线AC是圆O的切线;
(2) 如果ACB=75,圆O的半径为2,求BD的长。
,
12 如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.
求证:AC与⊙D相切.
!
13 已知:如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=900.
求证:CD是⊙O的切线.
*
14、(2011•北京)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
{
(2007中考)15.(本题8分)如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12。
以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB 的延长线于点E。
(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)求CF:CE的值。
—
(2008中考)16.(本题8分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.⑴求证:
DE是⊙O的切线;⑵若
3
5
AC
AB
,求
AF
DF
的值。
$
(第22题图)
B A
(2009中考)17.(本题满分8分)
如图,Rt ABC △中,90ABC ∠=°,以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ,E 是边BC 的中点,连接DE .
(1)求证:直线DE 是O ⊙的切线;
(2)连接OC 交DE 于点F ,若OF CF =,求tan ACO ∠的值. @
]
、
(2010中考)18.如图,点O 在∠APB 的平分线上,⊙O 与PA 相切于点C . (1) 求证:直线PB 与⊙O 相切;
(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E .若⊙O 的半径为3,PC=4.求弦CE 的长.
C
E
B
A
O
F
D
>
19.(2009桂林百色)如图,△ABC 内接于半圆,AB 是直径,过A 作直线MN ,若
∠MAC=∠ABC .
(1)求证:MN 是半圆的切线;
(2)设D 是弧AC 的中点,连结BD 交AC 于G ,过D 作DE ⊥AB 于E ,交AC 于F . 求证:FD =FG .
(3)若△DFG 的面积为,且DG=3,GC=4,试求△BCG 的面积.
}
20.(2009年本溪)22.如图所示,AB 是O ⊙直径,OD ⊥弦BC 于点F ,且交O ⊙于点E ,若AEC ODB ∠=∠.
(1)判断直线BD 和O ⊙的位置关系,并给出证明; (2)当108AB BC ==,时,求BD 的长.
!
21.(2009年包头)如图,已知AB 是O ⊙的直径,点C 在O ⊙上,过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ,AC PC =,2COB PCB ∠=∠.
(1)求证:PC 是O ⊙的切线;
(2)求证:12
BC AB =; (3)点M 是AB 的中点,CM 交AB 于点N ,若4AB =,求MN MC 的值.
`
22.如图, AB 是⊙O 的直径,∠BAC =30°,M 是OA 上一点,过M 作AB 的垂线交AC 于点N ,交BC 的延长线于点E ,直线CF 交EN 于点F ,且∠ECF =∠E .
(1)证明CF是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为1,且AC=CE,求MO的长.
23.(2008年南充市) 如图,已知的直径垂直于弦于点,过点作
交的延长线于点,连接并延长交于点,且
.
(1)试问:是的切线吗说明理由;
(2)请证明:是的中点;
(3)若,求的长.
24.(本题8分)如图,已知CD是△ABC中AB边上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F,点G是AD的中点.求证:GE是⊙O的切线.
25.(2008年龙岩市)(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙O交x轴于A、B两点,直线FA⊥x轴于点A,点D在FA上,且DO平行⊙O的弦MB,连DM并延长交x轴于点C.
(1)判断直线DC与⊙O的位置关系,并给出证明;
(2)设点D的坐标为(-2,4),试求MC的长及直线DC的解析式.
26.(13分)如图,AC为⊙O直径,B为AC延长线上的一点,BD交
⊙O于点D,∠BAD=∠B=30°
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)请问:BC与BA有什么数量关系写出这个关系式,并说明理由。