偏度和峰度概念的认识误区

测量结果可表示为：
７０．２４
ｘ＝ ∫ ｘ·ｆ（ｘ）·ｄｘ
（１６）
６９．８４
将 已 知 数 据 代 入 式 （１６）得 ：
ｘ＝６９．９８８７ｍｍ
测量结果的标准不确定度可表示为：
# ｕ＝
７０．２４
∫
（ｘ－
ｘ" ）２·ｆ（ｘ）·ｄｘ
６９．８４
（１７）
将 已 知 数 据 代 入 式 （１７）得 ：
ｕ＝０．１４６８ｍｍ
０．１５７９
０．１５６２
０．１７２４
本文方法 ０．１４６８
５ 结论
本文提出了一种基于最大熵方法的测量不确定度贝叶 斯 评 估 模 型 。该 模 型 将 最 大 熵 和 贝 叶 斯 两 种 方 法 的 优 点 有 机
结合， 其中采用最大熵方法确定样本信息的概率密度函数含 有较少的主观假设， 贝叶斯评估充分利用了先验信息， 评估 方法合理。采用本文方法所计算的测量不确定度可靠性高， 精度优于其它方法。
布在众数两边的对称偏斜性， 国内有许多统计教科书就是这
样写的。实际上， 分布在众数两边的对称偏斜性对偏度值的
影响是比较有限的， 对偏度值影响较大的倒是分布在其中一
４．２ 测量不确定度的计算
由上所述， 求得被测量后验信息的概率密度函数以后，
即 可 利 用 式 （１６）和 （１７）求 出 测 量 结 果 的 估 计 值 及 其 不 确 定 度 。
方图。从直观上看，
图 ２ 的分布较图 １
在众数两边似乎更
图１
为偏斜， 但根据式
（ ２） 的计算结果， 图
１ 和图 ２ 分布的偏
度 分 别 为 ２．４５７２ 和
０．７０５３， 即 图 １ 分 布
的偏度明显大于图
２ 分布的偏度， 其原
图２
因就在于图 １ 的分
布较图 ２ 在右方向的尾部有更明显的拉长趋势 （ 相对于左
（ 责任编辑／浩 天）
统计与决策 ２００８ 年第 １２ 期（ 总第 ２６４ 期） １４５
知识丛林
个方向上的尾部有拉长趋势的程度。因此，
正 （ 负） 偏度往往更多反映的是分布在右
（ 左） 方向的尾部比在左（ 右） 方向的尾部有
拉长的趋势。
设 ｘ１， …，ｘｎ 是来自总体 ｘ 的一个样本 ， 则总体 ｘ 的偏度可估计为
尾， 图 １ 分布的右尾较图 ２ 离均值更远） 。本例说明了将偏度
描述为反映分布在众 数两边的对称偏斜性 的一个量是欠妥当 的。
２ 峰度概念的
认识误区
图３
峰度是另一个反映随机变量分布形状的量， 随机变量 ｘ
的峰度定义为
ｇ２＝
Ｅ［ｘ－ Ｅ（ｘ）］４ ［Ｖａｒ（ｘ）］２
－３
（ ３）
它度量了分布尾部的厚度。同偏度一样， 峰度也是一个
设 ｘ１，…，ｘｎ 是 一 组 样 本 数 据 或 一 组 有 限 总 体 数 据 ， 则 其
峰度的计算公式为
ｎ
! ｇ$ ２＝
（ｎ－
ｎ（ｎ＋１） １）（ｎ－ ２）（ｎ－
３）ｓ４
ｉ
＝
１
（ｘｉ－
ｘ）４－
３
（ｎ－ １）２ （ｎ－ ２）（ｎ－
３）
（ ４）
其中 ｘ 和 ｓ 的含义同前。
在统计学（ 包括概率论与数理统计） 教科书中经常看到
表 ３ 中给出了通过不同评估方法得到的结果， 从数据对
比看出： 采用本文方法所估计的测量不确定度精度优于其它
百度文库
三 种 方 法 。本 文 得 到 的 结 果 同 样 还 可 以 作 为 以 后 计 算 测 量 结
果的先验信息。
表３ 评估方法 计算结果
不同评估方法的结果比较（ ｍｍ）
Ａ 类评估方法 最大熵方法 贝叶斯方法
参考文献： ［１］王中宇， 张海滨， 刘智敏． 测量不确定度最大残差系数的一种新算
法［Ｊ］． 计量学报， ２００６， ２７（３）． ［２］国家质量技术监督局． 测量不确定 度 评 定 与 表 示 指 南［Ｍ］． 北 京 ：
中国计量出版社 ２０００． ［３］吴乃龙， 袁素云． 最大熵方法． 长沙： 湖南科学技术出版社， １９９１． ［４］薄晓静， 陈晓怀． 基于贝叶斯理论的测量不确定度 Ａ 类评定［Ｊ］． 工
（ １）
它度量了分布的偏斜程度及偏向， 是一个无量纲的数
值 。 若 ｇ１＞０， 则 称 ｘ 的 分 布 是 正 偏 （ 或 右 偏 ） 的 ； 若 ｇ１＜０，则 称 ｘ 的分布是负偏（ 或左偏） 的。｜ｇ１｜越大， 说明分布偏斜得越厉 害 。偏 度 常 常 习 惯 地 被 不 太 确 切 地 认 为 是 反 映 了 随 机 变 量 分
ｎ
ｎ
! # ! 其中
ｘ＝ １ ｎ
ｉ
ｘｉ 是样本均值，
＝１
ｓ＝
１ ｎ－ １
ｉ＝
（ｘｉ－ ｘ"）２
１
是样
本标准差。若 ｎ 个数据 ｘ１，…，ｘｎ 组成一个有限总体， 则该总体
的偏度也按式（ ２） 计算。本文后面的计算结果及图形都是使
用 ＳＡＳ９ 的 ＩＮＳＩＧＨＴ 菜单子系统得到的。
表１
ｘ：
３６．９ ３６．８ ４３．２ ２２．４ １５．７ ３２．９ ２５．４ １５．２ ３３．７ ２６．２
布。但由式（ ４） 计算得到的峰度值却为ｇ$ ２＝－ ０．１９９６， 小于正态 分布的峰度值 ０。
参考文献： ［１］王学民编著．应用概率统计［Ｍ］．上 海 ： 上 海 财 经 大 学 出 版 社 ， ２００５，
（ １０） ．
（ 责任编辑／李友平）
１４６ 统计与决策 ２００８ 年第 １２ 期（ 总第 ２６４ 期）
３３ ３５ ２７ １３ １６ ５３ ６１ １１ ３３ ７０
４６ ４５ ５３ ２０ ３５ ３３ １０
６
２４ ８０
７５ ７７ ７０ ４４ ６０ １２ ７２ ５３ ７７ ５４
４９ １１ １１ ２０ １８ ２１ ２１ ３５ ２８ ８４
例１ 图１和
图 ２ 是容量均为
１００ 的 两 组 数 据 （ 数
据见 表 １） 的 频 数 直
ｙ：
３５ ７２ ４９ ４８
９
２１ ４４ １８ ２６ ３０
７
１４
６
３６ ２３ ３７ ７２ ４０ １６ ５０
３５ １９ ２４ ３５ １７ ５４ ５０ ４０ １３ ４８
３０
８
１０ １０９ ４１ １７ ６６ ５６ ４７ ５３
５８ ３６ １０ ２８ １３ ３０ ６３ ７９ １７ ７６
５５ １０１ ４２ ２５ ２７ １７ ２９ ６５ １９ １５
没有量纲的数值。峰度 ｇ２ 的取值范围是［ － ２，∞］ 。正态分布的 峰度为零。人们以正态分布为标准， 若 ｇ２＞０， 则说明随机变量 Ｘ 分 布 的 尾 部 比 正 态 分 布 的 尾 部 粗 ， 并 且 ｇ２ 值 越 大 ， 倾 向 认 为 尾 部 越 粗 ； 若 ｇ２＜０， 则 说 明 Ｘ 分 布 的 尾 部 比 正 态 分 布 的 尾 部细， 且｜ｇ２｜值越大， 倾向认为尾 部 越 细 。 峰 度 ｇ２ 可 用 来 比 较 已标准化了的各随机变量分布的尾部厚度。
［Ｊ］． 北京航空航天大学学报，２００６， ３２（１１）． ［８］ＰＫ． Ｌｉ ａｎｄ Ｂ． Ｌｉｕ． Ｔｈｅ ｅｎｔｒｏｐｙ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｉｎ Ｐｒｏｃｅｅｄ－
ｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｏｕｒｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｉｎ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ Ｓｃｉｅｎｃｅ ，Ｋｕｎｍｉｎｇ， Ｃｈｉｎａ， ２００５． ［９］Ｅｕｌａｌｉａ Ｓｚｍｉｄｔ， Ｊａｎｕｓｚ Ｋａｃｐｒｚｙｋ． Ｅｎｔｒｏｐｙ ｆｏｒ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００１， １１８（３）．
３４．３ ４３．５ ３２
７ ３６．９ ３２．３ ２５．４ ２７．４ １９．３ ２１．３
３２．１ ４５．２ １５．２ ３４．４ ３９．５ ３２．７ ９．７ ４０．６ ３２．４ ３３．２
３７．５ ４７．９ ２２．７ １３．５ ２９．７ ３２．４ ３５．９ ３８．６ ２６．６ ４２．７ ３．７ ３６．１ ３３．２ ４７．３ ３３．３ ３８．７ ３８．８ ３２．１ ４１．８ ２７ ３８．４ ３５．１ ２４．８ ２２．１ ３７ ３７．８ ４０．４ ２６．４ ３８．８ ４２．８ ４５．３ ３３ ４３．９ ３５．２ ２４ ７．９ １７．１ ２２．５ ３９ ６０ ２９．６ ４０．６ １７．９ ３４．８ ３４．６ ３０．７ ４５ ２４．７ １６．７ ７０ ３４．２ ３７．２ ２８．２ １４．２ ５１．５ ３３ ４３．７ １１．２ ５４．９ ９０ ４１．３ ２４．９ ４５．４ ９．３ ３２．４ ３６．１ ３９．５ ４０．８ ３５．１ １３０
人们经常用偏度、峰度来描述随机变量或一组数据的分 布形状， 但在教学和实践中对这两个概念的认识上常常存在 着较大的误区， 错误认识也常出现在统计学（ 包括概率论与 数理统计） 方面的教科书中。
１ 偏度概念的认识误区
随机变量 ｘ 的偏度定义为
基金项目： 上海市重点学科建设资助项目（ Ｂ８０３）
ｇ１＝
Ｅ［ｘ－ Ｅ（ｘ）］３ ［Ｖａｒ（ｘ）］３／２
业计量， ２００４， １４（４）． ［５］ＪＬ． Ｆａｎ ａｎｄ Ｍａ ＹＬ． Ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｆｕｚｚｙ ｅｎｔｒｏｐｙ ｆｏｒｍｕｌａｓ． Ｆｕｚｚｙ
Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００２， １２８（１）． ［６］王中宇， 夏新涛， 朱坚民． 测量不确定度的非统计理论［Ｍ］． 北京：
国防工业出版社， ２０００． ［７］ 孟晓风， 季宏， 王国华， 钟波． 计算故障先验概率的最大熵方法
将 峰 度 描 述 为 反 映 分 布 在 众 数 附 近 “峰 ”的 尖 峭 程 度 的 一 个
量。事实上， 这种说法是错误的， 我们可以通过下面的例 ２ 看
清这一点。
例 ２ 图 ３ 是将 １５０ 个数据（ 数据见表 ２） 经标准化后画
出的密度直方图， 并拟合上了标准正态密度曲线。从图中可
以 看 出 ， 分 布 在 众 数 附 近 “峰 ”的 尖 峭 程 度 要 远 高 于 正 态 分
知识丛林
偏度和峰度概念的认识误区
王学民
（ 上海财经大学 统计系， 上海 ２００４３９）
摘 要： 偏度和峰度的概念常常引起误解， 甚至这种误解也常出现在概率统计的教科书中。文章 对这两个概念的理解做了准确的阐述， 并列举了两个例子来分别说明两个概念的认识误区。
关键词： 偏度； 峰度； 认识误区 中图分类号： Ｏ２１２．２ 文献标识码： Ａ 文章编号： １００２－ ６４８７（ ２００８） １２－ ０１４５－ ０２
ｎ
! ｇ$ １＝
（ｎ－
ｎ １）（ｎ－
２）ｓ３
ｉ
＝
（ｘｉ－ ｘ）３
１
（ ２）
表２ ３．５ ４．１ ５９．９ ９７．２ ３．２ ５２．２ ９１．７ １７．３ ４５．４ １９．６ ５０ ４７．９ ４６．９ ４６．８ ４６．６ ２７ ２２．５ ６９．９ ３９．３ ６．９ １６．９ ８６．６ ２１．４ ３３．４ ７０．２ ５０ ５０ ４９．５ ４５．５ ４８．２ ４１．６ １３．８ ６４．２ ６２．４ ２．５ １６．１ ９１．１ １９．１ ８６．４ ８８．４ ５０ ５０ ４６．９ ４８．５ ４７．１ ９８．６ ４６．２ ４６．６ ８．１ ５８．８ ７８．３ １４．１ １６．５ ３０．９ ４６．３ ５０ ５０ ５０ ４７．８ ５０．１ １３．８ ０．３ ９６．３ ３５．４ ４６．５ ７．６ ５９．８ ７２．７ ６７．６ ２７．１ ５０ ５０ ５０ ４７．７ ５０ ４８．１ ３１ ９１．１ ２２．８ ７８．３ ７９．７ ８９ ９５．８ ８８．３ ３４．１ ５０ ４８．５ ４６．６ ５０ ４６．６ ５９．３ ９６．６ ３４．９ ２８．４ ８０．９ ２０ ４０ ３７．９ ７７ ３２．６ ５０ ４９．２ ４８．１ ５０ ４６．９ ８２．１ ４１．３ ７４．１ １６．１ ６７．３ ３９．５ ４８．５ １１ ５３．１ １２．１ ５０ ５０ ４７．１ ５０．２ ４６．８ ７０．３ ４７．１ ３５．４ ７２．６ ２３．９ ４３．１ ５２．４ ９４．２ ２７．９ ５７．８ ４７ ４７．１ ５０ ５１．３ ４７ ８１．８ ５４．１ ３７ ６８．８ ４０．７ １３．２ ８４．４ ４０．５ ７７ ５２．３ ４６．５ ４６．２ ４８．１ ４８．１ ５０