高一不等式解法专题(教师版)

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初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习专题强化2 不等式恒成立、能成立问题(教师版)

强化专题2不等式恒成立、能成立问题【方法技巧】在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．一、“Δ”法解决恒成立问题(1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为(2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为二、数形结合法解决恒成立问题结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．三、分离参数法解决恒成立问题通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．四、主参换位法解决恒成立问题转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．五、利用图象解决能成立问题结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．六、转化为函数的最值解决能成立问题能成立问题可以转化为m>y min或m<y max的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．【题型目录】一、“Δ”法解决恒成立问题二、数形结合法解决恒成立问题三、分离参数法解决恒成立问题四、主参换位法解决恒成立问题五、利用图象解决能成立问题六、转化为函数的最值解决能成立问题【例题详解】一、“Δ”法解决恒成立问题1．不等式2(2)4(2)120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}|12a a -≤<B ．{}|12a a -<≤C ．{}|12a a -<<D ．{}|12a a -≤≤【答案】B【分析】分类讨论2a =和2a ≠两种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可.【详解】当2a =时，原不等式为120-<满足解集为R ；当2a ≠时，根据题意得20a -<，且216(2)4(2)(12)0a a ∆=---⨯-<，解得1a 2-<<．综上，a 的取值范围为{}|12a a -<≤．故选：B ．2．若关于x 的一元二次不等式23208x kx -+>对于一切实数x 都成立，则实数k 满足（）A ．{k k 3．（多选）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（）A ．2440b c -+≤B ．0b ≤C ．1c ≥D ．0b c +≥4．若“0R x ∃∈，20230mx +-≥”是假命题，则实数m 的取值范围是______．二、数形结合法解决恒成立问题1．（多选）若“0x ∀>，都有2210x x λ-+≥”是真命题，则实数λ可能的值是（）A ．1B ．C ．3D ．②若04λ>时0λ>，如图，由图像可知y 的最小值在对称轴处取得，则4x λ=时，22min184y λλ=-+=此时，022λ<≤，综上，22λ≤，故选：AB ．2．已知不等式220x bx c -++>的解集{}13x x -<<，若对任意10x -≤≤，不等式224x bx c t -+++≤恒成立．则t 的取值范围是__________．【答案】{}2-≤t t3．当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．三、分离参数法解决恒成立问题1．对任意的(,0)x ∈-∞，210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围（）A ．{}22x x -<C ．{}2x x >-D ．{}2x x ≤-2．已知命题p ：“[]1,4x ∀∈，226ax x ≤+”为真命题，则实数a 的最大值是___．3．写出使不等式()3R x xx++≥∈恒成立的一个实数a 的值__________．4．已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________.【答案】(,4]-∞-【分析】先求得存在量词命题的否定，然后利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得a 的取值范围.【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题，则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-.故答案为：(,4]-∞-5．函数()22f x ax ax =-，若命题“[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-”是假命题，则实数a 的取值范围为___________．四、主参换位法解决恒成立问题1．若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥- D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥2．若不等式21634x ax x a -≥--对任意2,4a ∈-成立，则x 的取值范围为（）A ．(][),83,-∞-⋃+∞B ．()[),01,-∞+∞C ．[]8,6-D ．(]0,3【答案】A【分析】由题得不等式2(4)3160x a x x ---+≤对任意[]2,4a ∈-成立，解不等式组22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩即得解.【详解】由题得不等式2(4)3160x a x x ---+≤对任意[]2,4a ∈-成立，所以22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩，即2252400x x x x ⎧--+≤⎨-+≤⎩，解之得3x ≥或8x ≤-.故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“a ”看作自变量，把“x ”看作参数，问题迎刃而解.3．不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪五、利用图象解决能成立问题1．命题“2R,210x mx mx ∀∈-+>”是假命题，则实数m 的取值范围为（）A ．01m ≤”是假命题，所以“2R,210x mx mx ∃∈-+≤”是真命题，当0m =时，10≤不成立，不符合题意，所以0m ≠，所以0m <或()2Δ44410m m m m m >⎧⎨=-=-≥⎩，所以0m <或m 1≥.故选：B2．若关于x 的不等式2420x x a ---≤有解，则实数a 的取值范围是（）A ．{}2a a ≥-B ．{}2a a ≤-C ．{}6a a ≥-D ．{}6a a ≤-【答案】C【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【详解】若关于x 的不等式2420x x a ---≤有解,则()16420a ∆=++≥，解得6a ≥-.故选：C.3．若命题:p x ∃∈R ，20x ax a ++≤是真命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】(][),04,-∞+∞U 【分析】依题意可得二次函数2y x ax a =++与x 轴有交点，转化为判别式的关系进行求解.【详解】已知命题:p x ∃∈R ，20x ax a ++≤是真命题，则二次函数图像2y x ax a =++与x 轴有交点，所以240a a ∆=-≥，解得4a ≥或0a ≤.所以实数a 的取值范围为(][),04,-∞+∞U .故答案为：(][),04,-∞+∞U .4．若命题“R x ∃∈，使22(32)(1)20a a x a x -++-+<”是真命题，则实数a 的取值范围为______．六、转化为函数的最值解决能成立问题1．已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞2．若关于x 的不等式26110x x a -+-≤在区间()2,5内有解，则实数a 的取值范围是（）A ．[)6,+∞B ．()6,+∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞【答案】C 【分析】由关于x 的不等式26110x x a -+-≤在区间(2,5)内有解，可得2611a x x ≥-+在区间(2,5)内有解，从而a 大于2611x x -+在区间(2,5)的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果．【详解】由关于x 的不等式26110x x a -+-≤在区间(2,5)内有解，得2611a x x ≥-+在区间(2,5)内有解，从而a 大于2611x x -+在区间(2,5)的最小值.令2()611f x x x =-+，()2,5x ∈，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为3x =，则()f x 在()2,3上单调递减，在()3,5是单调递增则，min ()(3)918112f x f ==-+=，得2a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞．故选：C ．3．若命题“22R,213x x x a a ∀∈--≥-”为假命题，则实数a 的取值范围___________．【答案】1a <或2a >【分析】转化为命题“0R x ∃∈，使得2200213x x a a --<-成立”为真命题，利用不等式有解,左边的最小值小于右边，可求出结果.【详解】因为命题“22R,213x x x a a ∀∈--≥-”为假命题，所以命题“0R x ∃∈，使得2200213x x a a --<-成立”为真命题，因为2200021(1)22x x x --=--≥-，当且仅当01x =时，等号成立，所以20021x x --的最小值为2-，所以232a a ->-，解得1a <或2a >.故答案为：1a <或2a >.4．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间[]1,4内有解，则a 的取值范围是_________.【答案】(),2-∞-【分析】将问题转化为242a x x <--在区间[]1,4内有解，从而求得()242f x x x =--的最大值即可得解.【详解】因为2420x x a --->在区间[]1,4内有解，所以242a x x <--在区间[]1,4内有解，令()242f x x x =--，则()f x 开口向上，对称轴为2x =，所以()f x 在[)1,2上单调递减，在(]2,4上单调递增，又()2114125f =-⨯-=-，()2444422f =-⨯-=-，故()max 2f x =-，所以2a <-，即(),2a ∈-∞-.故答案为：(),2-∞-.。

2025高考数学必刷题第4讲、基本不等式及其应用(教师版)

第4讲基本不等式及其应用知识梳理1、基本不等式如果00a b >>，，那么2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中，2a b+叫作a b ，a b ，的几何平均数．即正数a b ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，R +，则2a b+≥a b +≥），当且仅当a b =时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【解题方法总结】1、几个重要的不等式（1）()()()2000,0.a a R a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a b+≥“a b =”时取“”）．特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）．（3）其他变形：①()2222a b a b++≥（沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式）②222a b ab +≤（沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式）③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式）④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知,x y R +∈．（1）如果x y S +=（定值），则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭（当且仅当“x y =”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果xy P =（定值），则x y +≥=“x y =”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：0,0)n mx m n x +≥>>，当且仅当x =模型二：()(0,0)n nmx m x a ma ma m n x a x a+=-++≥+>>--，当且仅当x a -=模型三：210,0)x a c c ax bx c ax b x=≤>>++++，当且仅当x =时等号成立；模型四：22()1())(0,0,0)24mx n mx mx n mx n nx n mx m n x m m m m-+--=≤⋅=>><<（，当且仅当2nx m=时等号成立．必考题型全归纳题型一：基本不等式及其应用【解题方法总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．例1．（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（）．A ．)0,02a ba b +≥>>B ．)20,0aba b a b≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【答案】C【解析】由图知：1,2222a b a b a b OC AB OD OB BD b ++-===-=-=，在Rt OCD △中，CD =所以OC OD ≤，即)0,02a ba b +>>，故选：C例2．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（）A ．2x y+B ．2x y y x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D【解析】x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y+≥2y xx y+≥，2xy x y =+当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立．故选：D ．例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）①已知0ab ≠，求ab ba+的最小值；解答过程：2a b b a +≥=；②求函数2y 2y =≥；③设1x >，求21y x x =+-的最小值；解答过程：21y x x =+≥-当且仅当21x x =-即2x =时等号成立，把2x =代入4．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当0ab <，a bb a与均为负值，此时2a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当a bb a=，即0a b =<时等号成立，故①的用法有误，故①错误；对②：2y ≥，1=时取等号，2≥，则等号取不到，故②的用法有误；对③：1x >，10x ->，2211111y x x x x =+=-++≥--，当且仅当1x -=，即1x =+时取等号，故③的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：A .题型二：直接法求最值【解题方法总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．例4．（2024·河北·高三学业考试）若x ，y +∈R ，且23x y +=，则xy 的最大值为______．【答案】98【解析】由题知，x ，y +∈R ，且23x y +=因为2x y +≥所以3≥所以98xy ≥，即98xy ≤，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时，取等号，故答案为：98例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．【答案】9【解析】因为3a b ab +=-≥a b =时，等号成立），所以230-≥，所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：9例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数0,0,1a b a b >>+=，则22a b +的最小值为___________.【答案】【解析】∵0a >，0b >，1a b +=，∴22a b+≥==22a b =即12a b ==时取等号.故答案为：题型三：常规凑配法求最值【解题方法总结】1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．例7．（2024·全国·高三专题练习）若2x >-，则()12f x x x =++的最小值为___________.【答案】0【解析】由2x >-，得12002x x +>>+，，所以11()222022f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即=1x -时等号成立.故答案为：0例8．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，则4221x x ++的最小值为__________.【答案】3【解析】442211132121x x x x +=++-≥-=++，当且仅当212x +=，即12x =时，等号成立.故答案为：3.例9．（2024·全国·高三专题练习）若1x >，则2221x x x ++-的最小值为______【答案】4+/4+【解析】由1x >，则10x ->.因为()()22221415x x x x ++=-+-+，所以()22251411x x x x x ++=-++--44≥=+，当且仅当511x x -=-，即1x =+时等号成立，故2221x x x ++-的最小值为4.故答案为：4.例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x 的不等式20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则1241b cb ++-的最小值为_________．【答案】8【解析】因为不等式20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则22Δ404b bc c =-≤⇒≥，因为1b >，所以10b ->，∴2212421(1)4(1)4111b c b b b b b b b ++++-+-+≥=---4(1)4481b b =-++≥+=-．当且仅当411b b -=-，即3b =时，取到等号．故答案为：8题型四：消参法求最值【解题方法总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例11．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b +=+=++-=++884222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即,a b ==222取等号.故选：B.例12．（2024·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2【解析】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44xy y y x xy xy x -+=+=+≥=，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+≥.故答案为:2例13．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，满足2220x xy +-=，则2x y +的最小值是______．.【解析】由2220x xy +-=，得21222x x y x x -==-，(x ∈所以113222222x x x y x x x +=+-=+≥==当且仅当312x x =即3x =时等号成立，所以2x y +.题型五：双换元求最值【解题方法总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1、代换变量，统一变量再处理．2、注意验证取得条件．例14．（2024·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（）A．3B．C．1+D．2【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-+≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例15．（2024·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】由题意，0a >，0b >，0c >，2a b c ++=得：2a b c +=-，设2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，故44242421122a b c a b c c c c c m n+-+=+=+-=+-+--422()1312m n n m m n m n +=⨯+-=++-≥，当且仅当222m n =，即42m n c =-==时取得等号，故4a ba b c+++的最小值为2+故答案为：2+例16．（2024·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为________．【答案】35+．【解析】令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴1315{{43225λλμλμμ=+=⇒+==，∴111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b+++=+⋅+++=++++++++3355+≥=，当且仅当21{2(3)34343a b a b a b a b a b+=++⋅++时，等号成立，即11343a b a b +++题型六：“1”的代换求最值【解题方法总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2、注意验证取得条件．例17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()23，，则2a b +的最小值为______．【答案】7+7【解析】∵直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()23，，231a b∴+=．()232622777b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭b =，即2a =3b =时取等号．2a b ∴+的最小值为7+故答案为：7+例18．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知0,0,23a b a b >>+=，则4212b a b-+的最小值为__________.【答案】73【解析】0,0,23a b a b >>+= ，()4211111112471212122323233b a b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当322a b ==时取等号，则4212b a b -+的最小值为73.故答案为：73例19．（2024·湖南衡阳·高三校考期中）已知13x >，2y >，且37x y +=，则11312x y +--的最小值为______.【答案】1【解析】因为37x y +=，所以3124x y -+-=，即312144x y --+=，因为13x >，2y >，所以3120,044x y -->>，1111312()(31231244x y x y x y --+=++----13111144(31)4(2)422x y y x -=++++---=，当且仅当314(31)4(22)y x x y ----=，即1,4x y ==时取等号.所以11312x y +--的最小值为1.故答案为：1例20．（2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为4111a b b +=++，所以()()412111a b a b b a b b ⎛⎫⎡⎤+=++++- ⎪⎣⎦++⎝⎭()41411481b a ba b b ++=+-++≥+=++，当且仅当()411b a ba bb ++=++，即4,2a b ==时，取等号，所以2+a b 的最小值为8.故答案为：8.题型七：齐次化求最值【解题方法总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．例21．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c ，3a b +=，则331ac c b ab c +++的最小值为_______________．【答案】2/2-+【解析】由正实数a ，b ，3a b +=，可得2()33a b +=，所以22()333333(111a b a ac c a c c b ab c b ab c ab c ++++=⨯++=⨯++++22423423()313331a ab b a bc cab c b a c +++=⨯+=⨯+++++而44333a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =即24,33a b ==时取等号，故334233()2(1)213311ac c c c b ab c c c ++≥++=++-+++2≥，当且仅当32(1)1c c +=+时，即1c =时取等号，故答案为：2例22．（2024·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为______．【答案】6【解析】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号．故答案为：6.例23．（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，则222224xy xyx y x y +++的最大值是____________.【答案】3【解析】222222144xy xy x y x y x y x y y x y x+=+++++，设(0)x t t y=>，所以原式=322422223()2123(2)41441545t t t t t t t t t t t t t t t t+++=+==++++++++，令2(0),u t t u t=+>∴≥所以原式=2333311139u u u u =≤=++.(函数1y u u=+在)+∞上单调递增)故答案为：3题型八：利用基本不等式证明不等式【解题方法总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．例24．（2024·全国·高三专题练习）利用基本不等式证明：已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc+++≥【解析】,,a b c都是正数，0a b ∴+≥>（当且仅当a b =时取等号）；0b c +≥>（当且仅当b c =时取等号）；0c a +≥>（当且仅当c a =时取等号）；()()()8a b b c c a abc ∴+++≥=（当且仅当a b c ==时取等号），即()()()8a b b c c a abc +++≥.例25．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知x ，y ，z 为正数，证明：(1)若2xyz =，则2221112x y z x y z ++++≤；(2)若229x y z ++=，则2229x y z ++≥．【解析】（1）因为2xyz =，所以2222y z yz x +=≤，同理可得2222x z y +≤，2222x y z +≤，所以222222222222y z x z x y x y z +++++≤++，故2221112x y z x y z ++++≤，当且仅当x y z ==时等号成立．（2）()()()2222222222112122299x y z x y z x y z ++=++++≥++，因为229x y z ++=，所以2229x y z ++≥，当且仅当2x y z ==时等号成立．例26．（2024·四川广安·高三校考开学考试）已知函数()21f x x x m =+++，若()3f x ≤的解集为[],1n ．(1)求实数m ，n 的值；(2)已知,a b 均为正数，且满足12202m a b++=，求证：22168a b +≥．【解析】（1）因为()3f x ≤的解集为[],1n ，所以(1)3f ≤，即3|1|3m ++≤，所以|1|0m +≤，又|1|0m +≥，所以10m +=，即1m =-.所以()|21||1|f x x x =++-，当12x <-时，()21133f x x x x =---+=-≤,得1x ≥-，则112x -≤<-，当112x -≤≤时，()21123f x x x x =+-+=+≤，得112x -≤≤，当1x >时，()2113f x x x x =++-=3≤，得1x ≤，不成立，综上所述：()3f x ≤的解集为[1,1]-，因为()3f x ≤的解集为[],1n ．所以1n =-.（2）由（1）知，1m =-，所以1222a b+=(0,0)a b >>，所以1222a b =+≥=，当且仅当12a =，2b =时，等号成立，所以1≥ab ，所以22168a b ab +≥=8≥，当且仅当12a =，2b =时，等号成立.题型九：利用基本不等式解决实际问题【解题方法总结】1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2、注意定义域，验证取得条件．3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．例27．（2024·全国·高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.例28．（2024·贵州安顺·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本()f x （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21()200800002f x x x =-+．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？【解析】（1）该单位每月的月处理成本：2211()20080000(200)6000022f x x x x =-+=-+，因100600x ≤≤，函数()f x 在区间[100,200]上单调递减，在区间(200,600]上单调递增，从而得当200x =时，函数()f x 取得最小值，即min ()(200)60000f x f ==.所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.（2）由题意可知：21()20080000(100600)2f x x x x =-+≤≤，每吨二氧化碳的平均处理成本为：()800002002002002f x x xx =+-≥=当且仅当800002x x=，即400x =时，等号成立.所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．例29．（2024·湖北孝感·高一统考开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）.的变化用指数模型()0ektc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：ln20.693≈，ln3 1.099≈）(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米(0)a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？【解析】（1）由题意得，0.10()e 2000e kt t c t c --==，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L 时需要是时间为1t ，由10.11()2000e 1000t c t -=≥，得10.12e 1t -≥，故0.1ln 2t -≥-，ln 26.93h 0.1t ∴≤≈．∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h ．（2）由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504ay x x=⨯⨯+⨯⨯，即()768001200,08ay x x x=+<≤.由基本不等式有768001200a y x x =+≥768001200a x x =，即x =.故当8≤，即1a ≤，x =时总价最低；当8>，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；综上，当01a <≤时，x =1a >时，8x =时总价最低.题型十：与a b +、平方和、ab 有关问题的最值【解题方法总结】利用基本不等式变形求解例30．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）若实数a ，b 满足221a b ab +=+，则（）A ．1a b -≥-B ．a b -C ．13ab ≥-D ．13ab ≤【答案】BC【解析】221a b ab +=+ ,当0ab >时，222121a b ab ab ab ab +≥⇒+≥⇒≤，当且仅当1a b ==或1a b ==-时等号成立，得01ab <≤，当0ab <时，2212123a b ab ab ab ab +≥-⇒+≥-⇒≥-，当且仅当a b ==33a b =-=时等号成立，得103ab -≤<，当0ab =时，由221a b ab +=+可得0,1a b ==±或0,1b a ==±综合可得113ab -≤≤，故C 正确，D 错误；222221()11()b ab ab a b b a b b a a a +-=-⇒-=-⇒-=- ，当13ab ≥-时，22141()()33a b a b a b --≥-⇒-≤⇒≤-，故A 错误，B 正确；故选：BC.例31．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且11a b+=，则（）A ．1b a+的最小值为4B ．221a b +的最小值为14C ．ab 的最大值为14D ．12b a -1【答案】ACD【解析】11111124b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab =，即1,22a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则A 正确；222211112224a a b b ⎛⎫++ ⎪⎛⎫≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，即22112a b +≥，当且仅当1ab =，即1,22a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则B 错误；221111124b a b b b b b b --⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭，当112b =，即2b =时，max 14a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C正确；1111111222b b b a b b b --=-=+-≥-=，当且仅当12a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时取等号，则D 正确.故选：ACD例32．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，且30x y xy +-+=，则下列说法正确的是（）A ．312xy <≤B ．6x y +≥C ．2218x y +≥D ．11103x y <+≤【答案】BC【解析】对于A：由3xy x y -=+≥，得3xy -≥x y =时，等号成立230-≥3≥，即9xy ≥，故A 不正确；对于B ：由232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，得232x y x y +⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，当且仅当x y =时，等号成立即()()21240y x x y +-+-≥，解得6x y +≥，或2x y +≤-（舍去），故B 正确；对于C ：()()()()()2222222326x y x y xy x y x y x y x y +=+-=+-++=+-+-，令6t x y =+≥，()()22222261761718x y t t t +=--=----=≥，即2218x y +≥，故C 正确；对于D ，11331x y xy x y xy xy xy +-+===-，令9t xy =≥，113321193x y t +=--=≥，即1123x y +≥，故D 不正确，故选：BC ．例33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设0a >，0b >，1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．ab 的最大值为14B ．22a b +的最小值为12C ．41a b+的最小值为9D 【答案】ABC【解析】对于A ，因为0a >，0b >，1a b +=，则21()24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，因为222(22a b a b ++≤，故2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，即22a b +的最小值12，故B 正确；对于C ，41414()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b aa b =且1a b +=，即13b =，23a =时取等号，所以41a b+的最小值为9，故C 正确；对于D ，2111222+=++⨯=，≤12a b ==D 错误．故选：ABC.。

2022高一必修第一册第2章一元二次不等式教师版有答案

第2讲一元二次函数方程和不等式专题复习要点一不等关系与不等式不等关系与不等式是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用.【例1】(1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A.ab>acB.c(b－a)>0C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )<0答案 C解析因为c <a ，且ac <0，所以c <0，a >0. A 成立，因为c ac . B 成立，因为b <a ，b －a <0，所以c (b －a )>0. C 不一定成立，当b ＝0时，cb 2<ab 2不成立. D 成立，因为c <a ，所以a －c >0，所以ac (a －c )<0. (2)已知2<a <3，－20，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小.解因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)a －b ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab ，因为a >0，b >0，且a ≠b ，所以(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )>0，即a 2b ＋b 2a >a ＋b .要点二基本不等式的应用基本不等式：ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.【例2】设a >0，b >0，2a ＋b ＝1，则1a ＋2b 的最小值为________. 答案 8解析 ∵a >0，b >0，且2a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，b a ＝4a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12时等号成立.∴1a ＋2b 的最小值为8.【训练2】已知x >0，y >0，且x ＋3y ＝1，则x ＋yxy 的最小值是________. 答案 23＋4 解析x ＋y xy ＝1y ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1x (x ＋3y )＝4＋3y x ＋xy ≥4＋23，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3y x ＝x y ，x ＋3y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12，y ＝3－36时取“＝”号.要点三恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. (2)分离参数法：将参数分离转化为求解最值问题.(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.【例3】已知y ＝x 2＋mx －6，当1≤m ≤3时，y <0恒成立，那么实数x 的取值范围是________. 答案－3＜x ＜－3＋332解析 ∵1≤m ≤3，y <0， ∴当m ＝3时，x 2＋3x －6<0，由y ＝x 2＋3x －6<0，得－3－332<x <－3＋332；当m ＝1时，x 2＋x －6<0，由y ＝x 2＋x －6<0，得－3<x <2. ∴实数x 的取值范围为－3<x <－3＋332. 【训练3】求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，－1≤a ≤1恒成立的x 的取值范围.解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.设关于a 的一次函数为y ＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为y >0，当－1≤a ≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则y ＝0，不符合题意，应舍去. (2)若x ≠3，则由一次函数的图象，可得⎩⎨⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}.破解不等式“恒成立”“能成立”问题解决不等式恒成立、能成立问题，常常使用的方法为：判别式法、数形结合法、分离参数法，主参换位法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养. 类型一 “Δ”法解决恒成立问题【例1】 (1)已知不等式kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若不等式－x 2＋2x ＋3≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当k ＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意. 当k ≠0时，令y ＝kx 2＋2kx －(k ＋2)，由y <0恒成立， ∴其图象都在x 轴的下方，即开口向下，且与x 轴无交点. ∴⎩⎨⎧k <0，4k 2＋4k （k ＋2）<0，解得－1<k <0.综上，实数k 的取值范围是{k |－1<k ≤0}. (2)原不等式可化为x 2－2x ＋a 2－3a －3≥0 ， ∵该不等式对任意实数x 恒成立，∴Δ≤0，即4－4(a 2－3a －3)≤0，即a 2－3a －4≥0，解得a ≤－1或a ≥4，∴实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ≥4}. 类型二数形结合法解决恒成立问题【例2】已知函数f (x )＝x 2－mx ＋2m －4(m ∈R ). (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当x >2时，不等式f (x )≥－1恒成立，求m 的取值范围. 解 (1)∵m ＝1，∴f (x )＝x 2－x －2. ∴x 2－x －2≥0，即(x －2)(x ＋1)≥0，解得x ≤－1或x ≥2.故f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}.(2)f (x )≥－1，即x 2－mx ＋2m －3≥0在x >2恒成立，①若m2≤2，即m≤4，则如图.只需f(2)≥0，即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立，∴m≤4满足题意；②若2m>2，即m>4，则如图.则需Δ＝m2－4(2m－3)≤0，即(m－2)(m－6)≤0，∴2≤m≤6.综上所述，m的取值范围为(－∞，6].类型三分离参数法解决恒成立问题【例3】“∀x<0，x2＋ax＋2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为() A.a≤2 2 B.a≤－22C.a≥2 2D.a≥－22答案A解析由∀x<0，x2＋ax＋2≥0可得a≤－x－2 x，因为－x－2x＝(－x)＋⎝⎛⎭⎪⎫－2x≥2（－x）×⎝⎛⎭⎪⎫－2x＝22，当且仅当－x＝－2 x，即x＝－2时等号成立，所以a≤2 2.类型四主参换位法解决恒成立问题【例4】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围.解设关于m的函数y ＝mx 2－mx －6＋m ＝(x 2－x ＋1)m －6. 由题意知y <0对1≤m ≤3恒成立. ∵x 2－x ＋1>0，∴y 是关于m 的一次函数，且在1≤m ≤3上随x 的增大而增大， ∴y <0对1≤m ≤3恒成立等价于y 的最大值小于0，即(x 2－x ＋1)·3－6<0⇔x 2－x －1<0⇔1－52<x <1＋52.∴x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－52<x <1＋52.类型五转化为函数的最值解决能成立问题【例5】若存在x ∈R ，使得4x ＋mx 2－2x ＋3≥2成立，求实数m 的取值范围.解 ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0， ∴4x ＋m ≥2(x 2－2x ＋3)能成立， ∴m ≥2x 2－8x ＋6能成立，令y ＝2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴m ≥－2， ∴m 的取值范围为{m |m ≥－2}.尝试训练1.在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )，若任意x ∈R 使得(x －a )⊗(x ＋a )<1成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－12或a >32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－12<a <32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪－32<a <12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－32或a >12 答案 B解析由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a <1，即－x 2＋x ＋a 2－a －1<0在R 上恒成立，所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)＝(2a －3)(2a ＋1)<0，解得－12<a <32.2.已知不等式x 2－mx ＋4>0对任意的x >4恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.{m |m ≤5}B.{m |m <5}C.{m |m ≤4}D.{m |m <4}答案 A解析若不等式x 2－mx ＋4>0对于任意的x >4恒成立，则m <x ＋4x 对于任意的x >4恒成立， ∵当x >4时，x ＋4x ∈(5，＋∞)，∴m ≤5，即实数m 的取值范围是{m |m ≤5}.3.若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是( ) A.94<a <259 B.94<a ≤259 C.259<a <4916 D. 259<a ≤4916答案 B解析原不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，由题意，知⎩⎨⎧Δ＝（－4）2－4（－a ＋4）＝4a >0，－a ＋4>0，解得0<a <4，又原不等式的解集为12＋a <x <12－a，且14<12＋a<12，则1，2为原不等式的整数解，所以2<12－a ≤3，解得94<a ≤259.4.已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立，则a 的取值范围是( ) A.{a |a ≥1} B.{a |－1≤a <4} C.{a |a ≥－1} D.{a |－1≤a ≤6}答案 C解析不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立，等价于a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，对于1≤x ≤2，2≤y ≤3恒成立，令t ＝yx ，则1≤t ≤3，a ≥t －2t 2在1≤t ≤3时恒成立， y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，则当t ＝1时，y max ＝－1，a ≥－1，故a 的取值范围是{a |a ≥－1}.课后巩固测试(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( ) A.ac >bd B.a －c >b －d C.a ＋c >b ＋d D.a d >b c答案 C解析 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 2.不等式1x <12的解集是( ) A.{x |x <2} B.{x |x >2} C.{x |0<x <2} D.{x |x <0或x >2} 答案 D解析由1x <12，得1x －12＝2－x2x <0，即x (2－x )<0，解得x >2或x <0，故选D.3.已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－1<x <2}，则a ＋b 的值为( ) A.1B.－1C.0D.－2答案 C解析易知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a ＝－1＋2＝1，2a ＝－1×2⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴a ＋b ＝0.4.若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1b B.ba >1 C.a 20，b >0，且满足a 3＋b4＝1，则ab 的最大值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 B解析因为a >0，b >0，且满足a 3＋b4＝1，所以1≥2a 3·b 4，化为ab ≤3，当且仅当a ＝32，b ＝2时取等号，则ab 的最大值是3.6.设实数1<a <2，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( ) A.{x |3a <x <a 2＋2} B.{x |a 2＋2<x <3a } C.{x |3<x <4} D.{x |3<x <6}答案 B解析由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )·(x －a 2－2)<0，∵1<a <2，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为{x |a 2＋2<x <3a }.故选B.7.已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析 2a ＋1b ＝2（2a ＋b ）a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号.又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9，故选B.8.若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( )A.{x |x <－2或x >1}B.{x |1<x <2}C.{x |x <－1或x >2}D.{x |－1<x <2} 答案 C解析 ∵不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0，故ax ＋b x －2＝a （x ＋1）x －2>0，等价于(x ＋1)(x －2)>0. ∴x >2或x <－1.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)9.已知a >b >c ，下列不等关系不成立的是( )A.ac ＋b 2>ab ＋bcB.ab ＋bc >b 2＋acC.ac ＋bc >c 2＋abD.a 2＋bc >b 2＋ab 答案 ACD解析对于A ，若ac ＋b 2>ab ＋bc ，则ac －bc >ab －b 2，即c (a －b )>b (a －b )，不成立；对于C ，若ac ＋bc >c 2＋ab ，则ac －c 2>ab －bc ，即c (a －c )>b (a －c )，不成立；对于D ，若a 2＋bc >b 2＋ab ，则a 2－ab >b 2－bc ，即a (a －b )>b (b －c )，若a ＝4，b ＝3，c ＝1，不成立.故选ACD.10.设a >b >1，c <0，给出下列四个结论正确的有( )A.c a >c bB.ac <bcC.a (b －c )>b (a －c )D.a c >b c答案 ABC解析 A.∵a >b >1，c <0，∴c a －c b ＝c （b －a ）ab>0， ∴c a >c b ，故正确；B.∵－c >0，∴a ·(－c )>b ·(－c )，∴－ac >－bc ，∴ac <bc ，故正确；C.∵a >b >1，∴a (b －c )－b (a －c )＝ab －ac －ab ＋bc ＝－c (a －b )>0，∴a (b －c )>b (a －c )，故正确；D.a c －b c ＝a －b c ，又a －b >0，c <0，所以a －b c <0，即a c 0，b >0，与不等式－b <1x <a 不等价的是( )A.－1b <x <0或0<x <1aB.－1a <x <1bC.x <－1a 或x >1bD.x <－1b 或x >1a答案 ABC解析若x >0，则不等式－b <1x <a 等价为1x <a ，即x >1a ，若x <0，则不等式－b <1x <a 等价为－b <1x ，即x <－1b .12.对于a >0，b >0，下列不等式中正确的是( ) A.ab 2<1a ＋1bB.ab ≤a 2＋b 22C.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 答案 BCD解析当a >0，b >0时，因为21a ＋1b≤ab ，所以2ab ≤1a ＋1b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 不正确；显然B ，C ，D 均正确.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.不等式x 2－2x <0的解集为________.答案 {x |0<x <2}解析不等式x 2－2x <0可化为x (x －2)<0，解得：0<x <2，∴不等式的解集为{x |0<x <2}.14.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大.答案 5解析二次函数顶点为(6，11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4，7)得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25，年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时等号成立.15.一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为{x |x <－3或x >1}，则a b ＝________，一元一次不等式ax ＋b <0的解集为________(第一空2分，第二空3分). 答案 18 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32 解析由题意知，－3和1是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋1＝－a ，－3×1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，故a b ＝18. 不等式ax ＋b <0即为2x －3<0，所以x <32.16.若关于x 的不等式x 2－mx ＋m ＋2>0对－2≤x ≤4恒成立，则m 的取值范围是________.答案 {m |2－23<m <2＋23}解析设y ＝x 2－mx ＋m ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m 24＋m ＋2， ①当m 2≤－2，即m ≤－4时，当x ＝－2时，y 的最小值为4＋2m ＋m ＋2＝3m ＋6>0，m >－2，又m ≤－4，∴无解；②当－2<m 2<4，即－4<m <8时，当x ＝m 2时，y 的最小值为－m 24＋m ＋2>0，解得2－23<m <2＋23，又－4<m <8，∴2－23<m <2＋23； ③当m 2≥4，即m ≥8时，当x ＝4时，y 的最小值为16－4m ＋m ＋2＝18－3m >0，∴m <6，又m ≥8，∴无解.综上，m 的取值范围为{m |2－23<m <2＋23}.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)当x >3时，求2x 2x －3的最小值. 解 ∵x >3，∴x －3>0.∴2x 2x －3＝2（x －3）2＋12（x －3）＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥22（x －3）·18x －3＋12＝24. 当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立，∴2x 2x －3的最小值为24. 18.(本小题满分12分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}.(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解 (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式的解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.19.(本小题满分12分)某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？解设这辆汽车刹车前的车速为x km/h.根据题意，有118x ＋1180x 2≥40，移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.即(x －80)(x ＋90)≥0.故得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}.在这个实际问题中x >0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.20.(本小题满分12分)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立.证明因为a ，b ，c 均为正数，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3.③所以原不等式成立.当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立.故当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原不等式等号成立.21.(本小题满分12分)某建筑队在一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN 上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD 的学生公寓，要求顶点C 在地块的对角线MN 上，B ，D 分别在边AM ，AN 上，假设AB 长度为x 米.(1)要使矩形学生公寓ABCD 的面积不小于144平方米，AB 的长度应在什么范围？(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？解(1)依题意知△NDC∽△NAM，所以DCAM＝NDNA，即x30＝20－AD20，则AD＝20－23x.故矩形ABCD的面积为S＝20x－2 3x 2.根据条件0<x<30，要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，即S＝20x－23x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.故AB的长度应在12米～18米内.(2)S＝20x－23x2＝23x(30－x)≤23⎝⎛⎭⎪⎫30－x＋x22＝150，当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立.此时AD＝20－23x＝10.故AB＝15米，AD＝10米时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米.22.(本小题满分12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.(1)求证y1＝－a或y2＝－a；(2)求证函数的图象必与x轴有两个交点；(3)若y>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0)，解关于x的不等式cx2－bx＋a>0. (1)证明∵a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0，∴(a＋y1)(a＋y2)＝0，得y1＝－a或y2＝－a.(2)证明当a>0时，二次函数的图象开口向上，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a<0，∴图象与x轴有两个交点；当a<0时，二次函数的图象开口向下，图象上的点A或点B的纵坐标为－a，且－a>0，∴图象与x轴有两个交点.∴二次函数的图象必与x 轴有两个交点.(3)解 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x >m 或x <n }(n <m <0)， ∴a >0且ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为m ，n ，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－b a ，mn ＝c a ，∴m ＋n mn ＝－b c 且c >0，∴cx 2－bx ＋a >0即x 2－b c x ＋a c >0，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n mn x ＋1mn>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1n >0. ∵n <m <0，∴－1n <－1m ，∴不等式cx 2－bx ＋a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－1m 或x <－1n .。

期末高一复习专题02 一元二次函数、不等式(教师版)

专题02 一元二次函数、方程和不等式考点一：不等式性质及应用1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A B D ．A >B 答案 B解析 ∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2≥0， ∴A ≥B . 2．若110a b<<，则下列不等式成立的是( ) A ．a b ab -> B ．a b ab -<C ．b a ab ->D ．b a ab -<【解答】解：由110a b<<，对于A 、B ，因为110a b <<，则0a <，0b <，a b >，从而0ab >，0a b ->，即0a b ab ->，则可取1a bab-=，即a b ab -=，故A 、B 错误，对于C 、D ，因为110a b <<，则0a <，0b <，从而0ab >．又110b a->，即0a bab->，则0a b ->，所以0b a ab -<<，故D 正确，C 错误．故选：D ．3.对于任意实数a ，b ，c ，则下列四个命题：①若a b >，0c ≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >；④若a b >，则11a b<. 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】a b >时，若0c <，则ac bc <，①错误；若0c，则22ac bc =，②错误；若22ac bc >，则20c >，∴a b >，③正确；a b >，若0a b >>，仍然有11a b>，④错误．正确的只有1个．故选：C ．4.已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是( ) A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，又11x y -≤+≤，…∴①13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤…②∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．5.证明不等式22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭(,a b ∈R ). 【答案】证明见解析.【解析】证明：因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +≥++，所以()()2222a ba b +≥+两边同除以4，即得22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，取等号. 考点二：利用基本不等式求最值 6.函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】D因为13x >，所以3x －1>0，所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立，故函数413313y x x x ⎛⎫ ⎪⎝=>-⎭+的最小值为5．故选：D ．7.设0a >，0b >，41a b +=，则11a b+的最小值为( )A ．7B ．9C D 3【解答】解：0a >，0b >，41a b +=，111144()(4)()552549b a b a b a b a b a b a ∴+=++=++++=，当且仅当4b a a b =，即126a b ==时取等号，∴11a b +的最小值为9．故选：B ．8．已知a ，b R +∈，且23a b ab +=，则2a b +的最小值为( ) A ．3B ．4C ．6D ．9【解答】解：a ，b R +∈，且23a b ab +=，∴213a b+=，12152522(2)()()333333a b a b a b a b b a ∴+=++=+++⨯（当且仅当a b =时取“= “)，即2a b +的最小值为3．故选：A ．9．函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（）A ．3B ．2C ．1D ．-1【答案】D2233(1)(1)111x x x x y x x ++++++==++1[(1)]1(1)x x =--+++-+11≤-=-，当且仅当1111x x +==-+,即2x =-等号成立. 故选：D.10.已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（）A B C ．18D ．14【答案】C因为0x >，0y >，由基本不等式得：2x y +≥所以8xy ≥解得：18xy ≥，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，等号成立故选：C11.已知0x >，0y >且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是_________.【答案】(9,1)- 【详解】0,0x y >> ，且141x y+=，()144149y xx y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =,即36x y ==，时取等号.()min 9x y ∴+=，由28x y m m +>+ 恒成立，即()2min 89m m x y +<+=，解得：91m -<<，故答案为：(9,1)-12.已知正数a ，b 满足21a b +=，则( ) A ．ab 有最大值18 B ．12a b +有最小值8 C ．1b b a +有最小值4 D ．22a b +有最小值15【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，22112()248a b a b ab+⋅=⇒，当且仅当12a =，14b =时取等号，则A 正确；对于B ，121222(2)()5459b aa b a b a b a b +=++=+++=，当且仅当13a b ==时取等号，B 错误；对于C ，12224b a bb a b a+=+++=，当且仅当13a b ==时取等号，则C 正确；对于D ，222222211(12)5415()(0)552a b b b b b b b +=-+=-+=-+<<，故最小值为15，则D 正确；故选：ACD ．13.已知20a b >>，则4(2)a b a b +-的最小值为______________思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为()2b a b -，所以可将a 构造为()112222a ab b ⋅=⋅-+⎡⎤⎣⎦，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：4181(2)3(2)2(2)2a a b b b a b b a b ⎡⎤+=-++≥⋅=⎢⎥--⎣⎦ 思路二：观察到表达式中分式的分母()2b a b -，可想到作和可以消去b ，可得()()2222b a b b a b a +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，从而244(2)a a b a b a +≥+-，设()24f a a a =+，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：()24322a a f a a =++≥= 答案：314.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000v v 2＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．答案 (1)1 900 (2)100解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝1 900(辆/时)．当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时，等号成立．(2)当l ＝5时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000(辆/时)．当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时，等号成立．∴最大车流量为2 000(辆/时)． 2 000－1 900＝100(辆/时)．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加100(辆/时)．考点三：含参数与不含参数的不等式解法15.已知集合{}2230A x x x =-+≥，302x B x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬+⎩⎭Z，则A B =（） A ．{}23x x -<≤ B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}2,1,1,2,3--D ．R【答案】B解不等式2230x x -+≥ ，()2223120,x x x x R -+=-+>∈ ，解不等式302x x -≤+ 得23x -<≤，}{1,0,1,2,3B =- ，}{1,0,1,2,3A B ∴⋂=- ；故选：B.16.不等式()()()21350x x x ++->的解集为___________. 【答案】1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃【详解】不等式()()()()()()2135021350x x x x x x ++->⇔++-<，由数轴标根法画出图线，可得不等式的解集为1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.故答案为：1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.17.已知二次不等式220x bx c -++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，则关于x 的不等式220cx bx -->的解集为( )A ．{|23}x x <，所以二次方程220x bx c -++=的解是13和12，由根与系数的关系知，1132211322bc ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩，解得53b =，13c =-；所以不等式220cx bx -->化为2152033x x --->，即2560x x ++<，解得32x -<<-；所以所求不等式的解集为{|32}x x -<<-．故选：D ．18．25．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则下列说法错误的是（） A ．0a 的解集为{}6x x <C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【详解】由已知可得－2，3是方程20ax bx c ++=的两根，则由根与系数的关系可得23,23,b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩且0a <，解得,6b a c a =-=-，所以A 正确；对于B ，0ax c +>化简为60x -<，解得6x <，B 正确；对于C ，660a b c a a a a ++=--=->，C 正确；对于D ，20cx bx a -+<化简为：2610x x --<，解得1132x -<<，D 错误．故选：D.19.已知关于x 的不等式：()23130ax a x -++<．(1)当2a =-时，解此不等式； (2)当0a >时，解此不等式．【答案】(1)1{|2x x <-或}3x >(2)当13a =时，解集为∅；当103a <<时，解集为1{|3}x x a <<；当13a >时，解集为1{|3}x x a <<(1)当a ＝－2时，不等式－2x 2＋5x ＋3＜0整理得(2x ＋1)(x －3)＞0，解得x ＜－12或x ＞3，当a ＝－2时，原不等式解集为{x |x ＜－12或x ＞3}．(2)当a ＞0时，不等式ax 2－(3a ＋1)x ＋3＜0整理得：(x －3)(x －1a )＜0，当a ＝13时，1a ＝3，此时不等式无解；当0＜a ＜13时，1a ＞3，解得3＜x ＜1a ；当a ＞13时，1a ＜3，解得1a ＜x ＜3；综上：当a ＝13时，解集为∅；当0＜a ＜13时，解集为{x |3＜x ＜1a }；当a ＞13时，解集为{x |1a ＜x ＜3}.20．已知22()(3)3f x ax a x a =+--．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|1x x >或3}x <-，求实数a 的值；（2）若关于x 的不等式()0f x x a ++<的解集中恰有2个整数，求正整数a 的值．【解答】解：22()(3)3(3)()f x ax a x a ax x a =+--=-+，（1）若不等式()0f x <的解集为(-∞，3)(1-⋃，)+∞，则0a <，且1a -=，33a=-，解得1a =-；（2）不等式()0f x x a ++<，即22(2)20ax a x a +--<有两整数解，所以(2)()0ax x a -+<；又a 为正整数，所以2a x a-<<，由解集中必含0，两整数解为1-，0或0，1；当2a >时，整数解为2-，1-，0，不符合；所以1a =或2a =．考点四：恒成立、有解与根分布问题21．函数()()20.8log 23f x x ax =-+在()1,-+∞有意义，则a 的取值范围（）A ．(-B ．5,⎡-⎣C ．[]5,4--D ．(],4-∞-【答案】B 【详解】由题意可知2230x ax -+>对任意的1x >-恒成立，令223u x ax =-+，二次函数223u x ax =-+的图象开口向上，对称轴为直线4ax =. ①当14a≤-时，即当4a ≤-时，此时函数223u x ax =-+在()1,-+∞上单调递增，所以，230a ++≥，解得5a ≥-，此时54a -≤≤-；②当14a>-时，即当4a >-时，则有2240a ∆=-<，解得a -<4a -<<综上所述，实数a 的取值范围是5,⎡-⎣. 故选：B.22.已知函数y ＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，y ≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当a ∈[4,6]时，y ≥0恒成立，求x 的取值范围．解 (1)当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，解得－6≤a ≤2，故a 的取值范围为{a |－6≤a ≤2}．(2)将y ＝xa ＋x 2＋3看作关于a 的一次函数，当a ∈[4,6]时，y ≥0恒成立，只需在a ＝4和a ＝6时y ≥0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6，故x 的取值范围是{x |x ≤－3－6或x ≥－3＋6}． 23.已知a R ∈，“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是（） A ．10a -<< B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤【答案】B当0a =时，221=10ax ax +--<，对x R ∀∈恒成立；当0a ≠时，若2210ax ax +-<，对x R ∀∈恒成立，则必须有20(2)4(1)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩，解之得10a -<<，综上，a 的取值范围为10a -<≤.故“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是10a -<≤，故选：B24.若命题“R x ∃∈，使得不等式22(3)0mx m x m +-+<”成立，则实数m 的取值集合是（） A ．(3,1)-- B ．(,1)(3,)-∞+∞C ．(,0]-∞D ．(3,1)(1,3)--【答案】B命题“R x ∃∈，使得不等式22(3)0mx m x m +-+<”成立，当0m =时，不等式为30x -<，显然有解，成立；当0m <时，开口向下，必然R x ∃∈，使得不等式22(3)0mx m x m +-+<成立，；当0m >，0∆>即222(3)40m m -->，解得29m >或21m <，所以01m <<或3m >．综上可得1m <或3m >．故选：B ．25.已知关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立，则有（） A ．4m ≤- B ．3m ≥- C ．30m -≤< D ．40m -≤<【答案】A因为关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立，所以2min (4)m x x ≤-，令224(2)4y x x x =-=--，(]0,3x ∈，所以当2x =时，24y x x =-取得最小值4-，所以4m ≤- 故选：A26.若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．【答案】（52，＋∞）【详解】设2()24f x x ax =-+，由题意2Δ4160(1)1240(2)4440a f a f a ⎧=->⎪=-+<⎨⎪=-+<⎩，解得52a >，故答案为：5(,)2+∞．27.2022年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了x ()0x >万元，且每万元创造的利润变为原来的()10.25x +倍.现将养羊少投资的x 万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为()0.150.875a x -万元，其中0a >. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x 的取值范围；（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a 的最大值. 【答案】（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为6.5．【详解】解：（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯，整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤．（2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元，技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元，则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立，又010x <<，∴5101.58x a x≤++恒成立，又51058x x +≥，当且仅当4x =时等号成立，∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为6.5．答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为6.5．对点练习一、单选题1．不等式21560x x +->的解集为（）A ．{1x x 或1}6x <- B ．116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．{1x x 或3}x <- D ．{}32x x -<<【答案】B【分析】解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘1-，再利用十字相乘法，可得答案，【详解】法一：原不等式即为26510x x --<，即()()6110x x +-<，解得116x -<<，故原不等式的解集为116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．法二：当2x =时，不等式不成立，排除A ，C ；当1x =时，不等式不成立，排除D ．故选：B ．2．已知正数x y ，满足 4x y +=，则xy 的最大值（）A ． 2B ．4C ． 6D ．8【答案】B【分析】直接使用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正数x y ，满足 4x y +=，所以有424x y xy =+≥⇒≤，当且仅当2x y ==时取等号，故选：B3．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（）A ．{}21x x -<C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集. 【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有2<<1x -. 故选：A4．已知02x <<，则y =的最大值为（） A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可【详解】因为02x <<，所以可得240x ->，则()22422x x y +-==，当且仅当224xx =-，即x =y =的最大值为2．故选：A ．5．关于x 的不等式()210x a x a -++< 的解集中恰有1个整数，则实数a 的取值范围是（）A ．(][)1,02,3-B ．[)(]2,13,4--C ．[)(]2130,-⋃，D ．()()2134--⋃，，【答案】C【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.【详解】由()210x a x a -++<得()()10x x a --< ，若1a =，则不等式无解．若1a >，则不等式的解为1x a <<，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为2x =，则23a <≤．若1a <，则不等式的解为1<<a x ，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为0x =，则10a -≤<．综上，满足条件的a 的取值范围是[)(]2130,-⋃，故选：C ．6．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式20ax cx b ++>的解集为{|22x x <<C ．0a b c ++<D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【分析】根据解集形式确定选项A 错误；化不等式为2430,x x --<即可判断选项B 正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f >，判断选项C 错误；解不等式可判断选项D 错误.【详解】解：因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以a<0，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,22x x x --<∴<所以选项B 正确；设2()f x ax bx c =++，则(1)0f a b c =++>，所以选项C 错误；不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误.故选：B二、多选题7．(多选)给出下列命题，其中正确的命题是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >|b |⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．|a |>b ⇒a 2>b 2答案 BC解析 A 当c 2＝0时不成立；B 一定成立；C 当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立； D 当b <0时，不一定成立．如|2|>－3，但22<(－3)2.a b >，则222a b b >=，D 正确．故选：BD ．8．对任意两个实数,a b ，定义{},,min ,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若()22f x x =-，()2g x x =，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（）A ．函数()F x 是偶函数B ．方程()0F x =有三个解C ．函数()F x 在区间[1,1]-上单调递增D ．函数()F x 有4个单调区间【答案】ABD【分析】结合题意作出函数()()(){}min ,F x f x g x =的图象，进而数形结合求解即可.【详解】解：根据函数()22f x x =-与()2g x x =，，画出函数()()(){}min ,F x f x g x =的图象，如图．由图象可知，函数()()(){}min ,F x f x g x =关于y 轴对称，所以A 项正确；函数()F x 的图象与x 轴有三个交点，所以方程()0F x =有三个解，所以B 项正确；函数()F x 在(,1]-∞-上单调递增，在[1,0]-上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,)+∞上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD三、填空题9．函数()1311y x x x =+>-的最小值是_____【答案】3+【分析】利用基本不等式可求得原函数的最小值.【详解】因为1x >，则10x ->，所以()1313331y x x =-++≥=-，当且仅当()1311x x -=-，因为1x >，即当x =.所以函数()1311y x x x =+>-的最小值是3.故答案为：3+10．已知[]0,2a ∀∈时，不等式()231102ax a x a +++-<恒成立，则x 的取值范围为__________．【答案】()2,1--【分析】由题意构造函数关于a 的函数()f a 2312x x a x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，则可得(0)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，从而可求出x 的取值范围.【详解】由题意，因为当[]0,2a ∈，不等式()231102ax a x a +++-<恒成立，可转化为关于a 的函数()f a 2312x x a x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，则()0f a <对任意[]0,2a ∈恒成立，则满足2(0)10(2)22310f x f x x x =+<⎧⎨=+-++<⎩，解得2<<1x --，即x 的取值范围为()2,1--．故答案为：()2,1--四、解答题11．（1）已知一元二次不等式20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求不等式210qx px ++>的解集；（2）若不等式2(7)0x mx m -++>在实数集R 上恒成立，求m 的范围.【答案】（1）{|23}x x -<<；（2）22m -<+【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出,p q 的值，然后就可以解不等式了；（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式.【详解】（1）因为20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以112x =-与213x =是方程20x px q ++=的两个实数根，由根与系数的关系得11,3211,32p q ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩解得1,61.6p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不等式210qx px ++>，即2111066x x -++>，整理得260x x --<，解得23x -<<.即不等式210qx px ++>的解集为{|23}x x -<<. （2）由题意可得，∆<0，即241(7)0-⨯⨯+<m m ，整理得24280m m --<，解得22m -<+12．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+平方米.【分析】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示400(26)(4)(26)(4)S x y x x=++=++，利用均值不等式，即得最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为400平方米，得400y x =. 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以4009x x +，所以294000x x +-，解得2516x -. 又0x >，所以016x <.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S 平方米，由题意可得400300(26)(4)(26)(4)8248()(824S x y x x x x=++=++=+++（平方米）当且仅当x =.所以整个绿化面积的最小值为(824+平方米.。

高中数学—教师—一元二次不等式的解法

教学内容【知识精要】一、一元二次不等式及解法1、设不等式错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

）的解集为一切实数，则错误!未找到引用源。

设不等式错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

）的解集为一切实数，则错误!未找到引用源。

2、设不等式错误!未找到引用源。

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3、已知一元二次不等式的解集，确定原不等式中字母系数的大小设不等式错误!未找到引用源。

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）的解集为错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

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为对应方程错误!未找到引用源。

的两个根，可用韦达定理求出不等式中所含系数的值4、已知不等式的解集，构造一元二次不等式二、关于一元二次方程根的分布问题一元二次方程错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

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且错误!未找到引用源。

)两实根为错误!未找到引用源。

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函数错误!未找到引用源。

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轴交点为(错误!未找到引用源。

，0)，(错误!未找到引用源。

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1、不等式错误!未找到引用源。

的解集为_______R________2、若一元二次不等式错误!未找到引用源。

的解集为R，则错误!未找到引用源。

的取值范围___无解____3、已知一元二次方程错误!未找到引用源。

解集为，则不等式错误!未找到引用源。

的解集为______错误!未找到引用源。

______，不等式错误!未找到引用源。

的解集为_______R_______4、已知不等式错误!未找到引用源。

2022年暑假初升高数学第15讲：不等式的解集一元二次不等式的解法(教师版)

2022年暑假初升高数学第15讲：一元二次不等式的解法学习目标核心素养1.掌握不等式的解集及不等式组的解集．2．解绝对值不等式．(重点、难点)3．掌握一元二次不等式的解法．(重点)4．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)1.通过数学抽象理解绝对值不等式．2．通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.1．不等式的解集与不等式组的解集一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．2．绝对值不等式一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．思考1：你能总结出若a＞0，|x|＞a与|x|＜a的解集吗？提示：不等式|x|＜a |x|＞a解集{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}3.一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．数轴上线段AB的中点坐标公式为x＝a＋b 2.4.一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c 是常数，而且a≠0.5．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．6．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考3：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．7．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像思考4：若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则实数a 应满足什么条件？提示：结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则⎩⎨⎧a >0，1＋4a <0，解得a ∈∅，所以不存在a 使不等式ax 2＋x －1>0的解集为R .1．不等式组⎩⎨⎧2x ＋1＞0，3x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12≤x ≤23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ≤23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ＜23D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ≤23 D [因为2x ＋1＞0，∴x ＞－12，3x －2≤0，∴x ≤23，不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ≤23.] 2．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅ D ．RD [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为R .]3．不等式|x |－3＜0的解集为________．{x |－3＜x ＜3} [不等式变形为|x |＜3，解集为{x |－3＜x ＜3}．] 4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．∅ [原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图像可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.]求不等式组的解集【例1】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x －1≤0，x ＋3＞0的解集是( ) A ．x ＞－3 B ．－3≤x ＜2 C ．－3＜x ≤2 D ．x ≤2C [⎩⎪⎨⎪⎧12x －1≤0，①x ＋3＞0，②解不等式①得：x ≤2，解不等式②得：x ＞－3， ∴不等式组的解集为－3＜x ≤2，故选C.]一元一次不等式组解集的求解策略(1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；(2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．1．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5＞3x ＋2，x ＋43≤3x ＋34＋1，并在数轴上表示该不等式组的解集．[解] ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5＞3x ＋2，①x ＋43≤3x ＋34＋1，②由①得，x ＜3，由②得，x ≥－1，故此不等式组的解集为－1≤x ＜3，在数轴上表示为：解绝对值不等式【例2】不等式|5－4x |＞9的解集为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞72 [∵|5－4x |＞9，∴5－4x ＞9或5－4x ＜－9.∴4x ＜－4或4x ＞14， ∴x ＜－1或x ＞72.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞72.]1．(变设问)不等式|5－4x |≤9的解集为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤72 [∵|5－4x |≤9，∴－9≤4x －5≤9.∴－1≤x ≤72，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤72.] 2．(变设问)若不等式|kx －5|≤9的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤72，则实数k ＝________.4 [由|kx －5|≤9⇔－4≤kx ≤14.∵不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤72， ∴k ＝4.]1．|x |＜a 与|x |＞a 型不等式的解法不等式a ＞0a ＝0a ＜0|x |＜a {x |－a ＜x ＜a } ∅ ∅ |x |＞a {x |x ＞a 或x ＜－a } {x |x ∈R 且x ≠0}R2.|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .2．不等式2＜|2x ＋3|≤4的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72＜x ＜－52或－12＜x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72＜x ＜－52或－12＜x ＜12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72≤x ＜－52或－12＜x ≤12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72≤x ≤－52或－12＜x ≤12C [∵2＜|2x ＋3|≤4，∴2＜2x ＋3≤4，或－4≤2x ＋3＜－2，∴－12＜x ≤12，或－72≤x ＜－52，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－72≤x ＜－52或－12＜x ≤12，故选C.]一元二次不等式的解法【例3(1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3.(2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图像写出不等式的解集.3．解下列不等式．(1)2x 2－3x －2>0；(2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0；(4)－3x 2＋5x －2>0.[解] (1)∵Δ>0，方程2x 2－3x －2＝0的根是x 1＝－12，x 2＝2，∴不等式2x 2－3x －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2. (2)∵Δ＝0，方程x 2－4x ＋4＝0的根是x 1＝x 2＝2， ∴不等式x 2－4x ＋4>0的解集为{}x |x ≠2. (3)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0，由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R . (4)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1，∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <1.含参数的一元二次不等式的解法【例4】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[思路点拨] ①对于二次项的系数a 是否分a ＝0，a <0，a >0三类进行讨论？②当a ≠0时，是否还要比较两根的大小？[解] 当a ＝0时，原不等式可化为x >1. 当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0. 当a <0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，∵1a <1，∴x <1a 或x >1.当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.若1a <1，即a >1，则1a <x <1；若1a ＝1，即a ＝1，则x ∈∅；若1a >1，即0<a <1，则1<x <1a .综上所述，当a <0时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．4．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a . 综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a.三个“二次”的关系[1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图像说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？提示：y ＝x 2－2x －3的图像如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图像在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图像与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则x 1＋x 2，x 1x 2为何值？提示：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例5】已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[思路点拨][解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜13或x ＞12.1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．[解] 由根与系数的关系知b a ＝－5，c a ＝6且a <0.∴c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0，即x 2－b c x ＋a c <0，即x 2＋56x ＋16<0.解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <－13. 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －13≤x ≤2.求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[解] 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2知a ＜0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ＜0，则c ＞0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0，即2ax 2＋5ax －3a ＞0.又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0，所求不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1．不等式(组)的解集要写成集合形式，不等式组的解集是每个不等式解集的交集．2．解绝对值不等式的关键就是去掉绝对值，利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．3．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； ②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图；③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m <n 时，若(x －m )(x －n )＞0，则可得{x |x ＞n 或x ＜m }；若(x －m )(x －n )＜0，则可得{x |m ＜x ＜n }．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．4．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2.5．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x 轴的交点坐标.1．思考辨析(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)若|x |＞c 的解集为R ，则c ≤0.( )[提示] (1)错误．当m ＝0时，是一元一次不等式；当m ≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a >0，所以不等式ax 2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R .(3)错误．当a >0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，否则不成立．(4)显然c ＝0不成立，错误．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知数轴上A (3)，B (－5)，则线段AB 中点M 的坐标为________． M (－1) [3＋(－5)2＝－1，线段AB 中点M 的坐标为M (－1)．] 3．如果1x ＜2和|x |＞13同时成立，那么x 的取值范围是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12或x ＜－13 [由1x ＜2可得x ＜0，或x ＞12.①再由|x |＞13可得x ＞13，或x ＜－13.②把①②取交集可得x的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12或x ＜－13.] 4．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12；(2)x 2>2(x －1)．[解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}．(2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .。

高一秋-03-不等式的性质与基本不等式-教师版

知识点一、不等式的性质（1）对称性：a >b ⇔b <a . （2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . （3）可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .（4）可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . （5）加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . （6）乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .（7）乘方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)．（8）开方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)．（9）倒数法则：a >b ，ab >0⇒11a b<；a >b >0，0<c <d ⇒a b c d >.（10）重要不等式：若a >b >0，m >0，则b b ma a m+<+. 知识点二、比较大小的方法（1）作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b −后比较a b −与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．（2）作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小．题型一：用不等式（组）表示不等关系【例1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v 的最大值为120km/h ，同一车道上的车间距d 不得小于10m ，用不等式表示为（） A ．120km/h v ≤且10m d ≥B ．120km/h v ≤或10m d ≥第3讲不等式的性质与基本不等式知识梳理例题分析模块一：不等式的性质~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C ．120km/h v ≤且10m d >D ．120km/h v <或10m d >【难度】★ 【答案】A【解析】由速度v 的最大值为120km/h ，故120km/h v ≤，由车间距d 不得小于10m ，故10m d ≥，即有120km/h v ≤且10m d ≥.【例2】某学生月考数学成绩x 不低于100分，英语成绩y 和语文成绩z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（）A ．100200240x y z >⎧⎨<+<⎩B ．100200240x y z ≥⎧⎨≤+≤⎩C ．100200240x y z >⎧⎨≤+≤⎩D ．100200240x y z ≥⎧⎨<+<⎩【难度】★ 【答案】D题型二：利用不等式的性质判断命题真假【例1】已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（） A ．22ac bc >B ．22a b >C ．2211ab a b >D ．22b a a b<【难度】★ 【答案】C【例2】下列说法正确的是（）. A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>，0c d <<，则a b d c> C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+ D ．若0a b >>，0c <，则b c ba c a−>− 【难度】★ 【答案】D【例3】若R a b c ∈,,，则下列命题正确的是（） A ．若a b <，则11a b> B ．若0a b >>，则11b ba a+<+ C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b >【难度】★ 【答案】D【解析】选项A ，若0,0a b <>，则结论错误，故选项A 错误；选项B ，根据糖水不等式可知，10,1b ba b a a+>>>+，故选项B 错误；选项C ，当0c =时，220ac bc ==，故选项C 错误；选项D ，22,ac bc >可知20c >，a b ∴>，故选项D 正确.【例4】若0a b <<，则下面有六个结论：①22a b >，②33a b >，③11a b<，④1>ab ，⑤11a b a>−，⑥a b >−中，正确结论的序号是．【难度】★★ 【答案】①④⑥【解析】因为0a b <<，则0a b −>−>，所以()()22a b −>−，即22a b >，故①正确；由22a b >，不等式两边同时乘a 时，32a b a <，对于a b <，两边同乘2b ，可得23b a b <，故323a b a b <<，即33a b <，则②错误；因为0a b <<，所以0ab >，则10ab >，所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，则③错误；由11b a <，不等式边同时乘a ，得1a a b a>=，故④正确；由()()()11a a b ba b a a b a a b a −−−==−−−，因为0,0a b a −<<，所以()0a b a −>，又因为0b <，所以110a b a −<−，即11a b a<−，故⑤错误；由0a b <<可得，a b b >=−，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥.题型三：利用不等式的性质比较大小【例1】已知0a b >>−（填“＞”“＜”或“＝”）【难度】★ 【答案】<【解析】()(22a b b −−=，因为0a b >>，所以20abb b >，所以()20a b −−<，()2a b <−，0>，0a b −【例2】在下列空格上填适当的不等号：（1）若x y ≠，则()x x y − ()y x y −；（2）若0a b <<，0c >，则a b 1；a c bc．【难度】★【答案】 > > <【解析】（1）由于x y ≠，故()()()20y x y x x x y y −−=−−>，即()()y x x x y y −>−，（2）由于0a b <<，则1>ab，又0c >，a b c c <，【例3】若0,0a b c d >><<，试比较()2ca c −和()2cb d −的大小.【难度】★★ 【答案】()()22cca cb d >−−【详解】0c d <<，0c d ∴−>−>，又0a b >>，∴0a c b d −>−>，∴()()22a cb d −>−，∴()()2211a cb d <−−，又∵0c <，∴()()22cca cb d >−−.题型四：作差（作商）法比较大小【例1】设x 是实数，比较()()211x x x +−+与()()211x x x −++的值的大小.【难度】★【解析】23(1)(1)1x x x x −++=−，23(1)(1)1x x x x +−+=+，因为()331120x x +−−=>，所以3311x x +>−，即22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +−+>−++.【例2】已知1a ≥−，求证：321a a a +≥+. 【难度】★★【解析】()()()()()()()32221111121a a a a a a a a a a a +−+=+−+−+=+−+()()211a a =+−，因为1a ≥−，所以10a +≥，又()210a −≥，所以()()()()2321110a a a a a +−+=+−≥，所以321a a a +≥+.【例3】原有酒精溶液a （单位：g ），其中含有酒精b （单位：g ），其酒精浓度为ba.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x （单位：g ），新溶液的浓度变为b xa x++.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若0a b >>，0x >，则1b b x a a x+<<+. 试加以证明. 【难度】★★【解析】因为0a b >>，0x >，所以0a x b x +>+>，所以1b xa x+<+；又()()()()()ab bx ab ax x b a b b x a a x a a x a a x +−+−+−==+++，因为0a b >>，0x >，所以()0x b a −<，()0a a x +>，所以()()0x b a b b x a a x a a x −+−=<++，即b b xa a x +<+ 综上，1b b xa a x+<<+.【例4】设,a b R +∈，试比较a b a b 与b a a b 的大小. 【难度】★★【答案】当a b =时两者相等；当a b 时a b b a a b a b >.【详解】依题意，,a b R +∈，当a b =时，a b b a a b a b =；当ab 时，a ba b b a a b a a b b −⎛⎫= ⎪⎝⎭：当0a b >>时，1,0a a b b >−>，所以1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭；当0b a >>时，01,0b a b a <<−<，所以1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭.故当ab 时，1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即a b b a a b a b >.题型五：利用不等式的性质证明不等式【例1】已知a 、b 为任意给定的正数，求证：3322a b ab ba +≥+，并指出等号成立的条件．【难度】★★【解析】由题意可知：()()()()23322a b ab ba a b a b +−+=+−，因为0,0a b >>，则0a b +>，且()20a b −≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以()()()()233220a b ab ba a b a b +−+=+−≥，即3322a b ab ba +≥+，等号成立的条件为a b =.【例2】证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c>−−. 【难度】★★【解析】因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><，则0a c b c −>−>，则()()0a c b c −−>，则10()()a cbc >−−，则11()()0()()()()a c b c a c b c a c b c ⋅−>⋅−>−−−−，则110b c a c>>−−，又0c < 则c c a c b c>−−.命题得证.【例3】（1）已知0a b >>，0c d <<，求证：b aa cb d<−−；（2）已知0bc ad −≥，0bd >，求证：a b c db d++≤．【难度】★★【解析】证明：（1）因为0c d <<，所以0c d −>−>．又0a b >>．所以0a c b d −>−>，所以110a c b d<<−−．又因为0b a <<，所以b a ac bd <−−．（2）因为0bd >，要证a b c db d++≤，只需证明()()d a b b c d +≤+，展开得ad bd bc bd +≤+，即ad bc ≤，0bc ad −≥ 因为0bc ad −≥成立，所以a b c db d++≤成立．题型六：利用不等式的性质求取值范围【例1】若13a <<，24b −<<，则2a b −的取值集合是．【难度】★★ 【答案】()2,8−【详解】因为13a <<，24b −<<，所以226a <<，42b −<−<，故228a b −<−<.【例2】已知12,24a b a b ≤−≤≤+≤，则2a b −的取值可以为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【难度】★★ 【答案】ABC【解析】设()()()()2a b m a b n a b m n a n m b −=−++=++−，则21m n n m +=⎧⎨−=−⎩，解得31,22m n ==，()()31222a b a b a b ∴−=−++， ()()3313,12222a b a b ≤−≤≤+≤，()()5315222a b a b ∴≤−++≤，即52,52a b ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦，【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知2030,1518x y x y <+<<−<，要求23x y +的范围，不能分别求出,x y 的范围，再求23x y +的范围，应把已知的“x y + ”“x y − ”视为整体，即5123()()22x y x y x y +=+−−，所以需分别求出51(),()22x y x y +−−的范围，两范围相加可得23x y +的范围．【例3】若变量x ，y 满足条件329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，则2z x y =+的最小值为（） A ．7− B ．6− C ．5− D ．4−【难度】★★ 【答案】B【解析】设()()22z x y m x y n x y =+=++−，故21m n +=且2m n −=，所以,11m n ==−，故()()22z x y x y x y =+=+−−，由于329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，所以()()()39296x y x y +−≤+−−≤+−，623x y −≤+≤，故最小值为6−，此时4,5x y ==−，【例4】（多选题）已知13a −≤≤，12b ≤≤，则以下命题正确的是（） A ．16ab −≤≤ B ．05a b ≤+≤ C ．21a b −≤−≤ D ．()()114a b +−≤【难度】★★ 【答案】BD【解析】对于A ：[][][]1,3,1,22,6a b ab ∈−∈∴∈−,故A 错误.对于B ：[][][]1,3,1,20,5a b a b ∈−∈∴+∈,故B 正确. 对于C ：[][]1,23,2b a b ∈∴−∈−,故C 错误.对于D;[][]()()[]10,4,10,1,110,4a b a b +∈−∈∴+−∈,故D 正确.【例5】已知13a <<，24b <<，则ab的取值范围是．【难度】★★【答案】13,42⎛⎫⎪⎝⎭【详解】∵24b <<，∴11142b <<，又∵13a <<，∴1342a b <<，∴a b 的取值范围是13,42⎛⎫⎪⎝⎭.【例6】已知125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，则x 的取值范围是（） A ．22x −≤≤ B ．23x −≤≤C ．14x −≤≤D ．12x −≤≤【难度】★★ 【答案】C【详解】因为125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，所以1(1)2253x y x y −+−≤++−≤+，即228x −≤≤得14x −≤≤.知识点一、基本不等式（1）算术平均数与几何平均数对于正数a 、b ，我们把2a b+称为a 、b 的算术平均数，ab 称为a 、b 的几何平均数．（2）基本不等式如果a 、b 是正数，那么2a bab +≤ (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称为基本不等式．知识点二、重要不等式 1. 两个重要的不等式知识梳理模块二：基本不等式~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~若a ，b ∈R ，则（1）222ab ab +≥，即222a b ab +≤(当且仅当a ＝b 时，等号成立)；（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2. 常用结论（1）2b aa b+≥（a 、b 同号）；（2）2b aa b +≤−（a 、b 异号）；（3）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+.题型一、对基本不等式的理解【例1】不等式2244a a+≥中，等号成立的条件是（） A ．4a = B ．2a = C ．2a =− D ．2a =±【难度】★ 【答案】D【详解】由基本不等式可知22224424a a a a+≥⋅=，当且仅当224a a =，即2a =±时等号成立，【例2】某市场上第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元所()a b ≠，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为12,m m ，则下列结论正确的是（） A ．12m m = B ．12m m >C ．21m m >D ．12,m m 的大小无法确定【难度】★ 【答案】C【详解】解：根据题意可得120202220202ab abm aba b ab a b+==≤=++．当且仅当=a b 等号成立；例题分析266122a b a bm ++==≥，当且仅当=a b 等号成立，由题意可得a b ≠，所以12m m <>，则21m m >.【例3】（多选题）下列推导过程，正确的为（）A ．因为a ，b 为正实数，所以b a a b +2B ．因为x ∈R ，所以211x +>1C ．因为a ＜0，所以4a+a 4 D ．因为0x y R xy ∈<、，，所以2x yx y y y x y x x ⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−=−⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦【难度】★★ 【答案】AD【解析】对于A.因为a ，b 为正实数，所以0,0b a a b >>，所以b a a b + 2.故A 正确；对于B.当x =0，有211x +=1.故B 错误；对于C.当a =-1时，左边4a+a =-5，右边，所以4a +a 4不成立，故C 错误.对于D. 因为0x y R xy ∈<、，，0,0x yy x −>−>，所以2x yx y y yx y x x ⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−=−⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦.故D 正确.【例4】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（）．A ．)0,02a b a b +>> B ．)20,0aba b a b ≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【难度】★★ 【答案】C【详解】解：由图知：1,2222a b a b a b OC AB OD OB BD b ++−===−=−=，在Rt OCD △中，CD ==，所以OC OD ≤，即)0,02a b a b +>>，【例5】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)ab a b a b ≤>>+D ．0,0)2a b a b +>> 【难度】★★题型二、利用基本不等式比较大小【例1】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy 、中最大的一个是．【难度】★又因为01x <<，01y <<，所以()()()2222110x y x y x x y y x x y y +−+=−+−=−+−<，故22x y x y +<+，所以最大的一个是x y +【例2】设a ，b 2a b +，2ab a b +的大小关系是．【难度】★22a b aba b+≥≥+ 【解析】∵222a b ab +≥，∴()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，∴()2222a b a b ++≥，即22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，2a b+≥当且仅当a b =时等号成立∵2ab a b =+a b =时等号成立，又2a b+≥a b =时等号成立，22a b ab a b +≥≥≥+，当且仅当a b =时等号成立【例3】（多选题）设,a b 为正实数，4ab =，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（）A ．4a b +≥B ．228a b +≤C ．111a b+≥D ≤【难度】★★ 【答案】AC【详解】A 选项，由基本不等式得4a b +≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，1,4a b ==时，4ab =，但22178a b +=>，B 选项错误.C 选项，由基本不等式得111a b +≥，，当且仅当11,2a b a b ===时等号成立，C 选项正确.D 选项，1,4a b ==时，4ab =3=>D 选项错误.【例4】希罗平均数（Heronianmean ）是两个非负实数的一种平均，若a ，b 是两个非负实数，则它们的希罗平均数H =.记2a b A +=，G ，则,,A G H 从小到大的关系为 .（用“≤”连接）【难度】★★【例5】（多选题）若,R a b ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（）A ．222a b ab +≥B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 【难度】★★ 【答案】AD【解析】对于A ，,R a b ∀∈，不等式222a b ab +≥成立，A 正确；对于B ，由于,R a b ∈，且0ab >，当0,0a b <<时，0a b ，而0>，不等式不成对于C ，由于,R a b ∈，且0ab >，当0,0a b <<时，11a b +<0>，不等式不成对于D ，由,R a b ∈，且0ab >，得0,0b a a b >>，则2b a a b +≥=，当且仅当a b =时【例6】下列不等式恒成立的是（）A ．a b +≥−B ．a b +≤C ．222a b ab +≤；D ．222a b ab +≥−．【难度】★★ 【答案】D【详解】对于A ：取2a =−，1b ，则3a b +=−，−=−a b +<−故A 错误；对于B ：取2a =，1b =，则3a b +=，=a b +> 故B 错误；对于C ：取2a =，1b =，则225a b +=，24ab =，此时222a b ab +>. 故C 错误；对于D ：因为()22220a b a ab b +=++≥，所以222a b ab +≥−.题型三、利用基本不等式证明不等式【例1】已知实数,,a b c 均大于0，证明：()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++≥.【难度】★★【详解】()()()222222a b c b c a c a b +++++2226a bc b ac c ab abc ≥⋅+⋅+⋅=，当且仅当a b c ==时取等号，证毕.【例2】已知0m >，0n >，且1m n +=，求证：3311()1m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥．【难度】★★【难度】★★22x y时等号成立．【例4】（1）已知0a >，0b >，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a b c ++> 【难度】★★【详解】（1）()222222a b c a b c a b c b c a b c a b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2a b c ≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，所以222a b c a b c b c a++≥++.（2）()()()111222a b c a b b c a c ++=+++++≥当且仅当a b c ==时等号成立，因为a ，b ，c 为不全相等的正实数，所以a b c ++>【例5】已知a 、b 、c 、d R ∈，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：（1）()()()22222a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++．【难度】★★【例6】（1）设a ，b ，c ，d 为实数，求证：2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++；（2）已知,a b R ∈，求证：216536163aa b b +≤−++．【难度】★★★【解析】（1）因为22222()2()a b c d ab bc cd ad +++−+++ 2222()()()()0a b b c c d a d =−+−+−+−≥，当且仅当a b c d ===时，等号成立，所以22222()2()a b c d ab bc cd ad +++≥+++，所以2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++；（2）因为22116261266a a a a+++≥⋅=，当且仅当2166a a +=，即1a =−时取等号，所以1261113611266aa a a++=≤++，当且仅当2166a a+=，即1a =−时取等号，因为2251311()63321212b b b −+=−+≥，综上216536163a ab b +≤−++．【巩固1】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（） A ．54100x y + D ．54100x y +≤【难度】★ 【答案】B【巩固2】若a 、b 、c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（） A ．11a b C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c >【难度】★ 【答案】C师生总结巩固练习【巩固3】已知14x y −<−<，23x y <+<则3x y +的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】()3,10【巩固4】（多选题）已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（） A ．39x y <+，所以44a a +≥=C ．因为<0a ，所以44a a +≥D ．因为,R,0x y xy ∈<，所以2x yx y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−=−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当0x y =−≠时，等号成立【难度】★★ 【答案】ABD【详解】对于A ，,a b 为正实数，有0,0b a a b>>，且1b a a b ⋅=，又当且仅当a b =时，b aa b =成立，满足均值不等式的条件，A 正确；对于B ，44a a +≥=，当3a >时，40a >，且44a a ⋅=，显然不存在大于3的正数a使4a a =成立，所以44a a+>，B 正确；对于C ，因为0a <，则40a<，不符合均值不等式成立的条件，C 错误；对于D ，,R,0x y xy ∈<，则0,0x y y x −>−>，且()()1x yy x−⋅−=，又当且仅当0y x =−≠时，x yy x−=−成立，满足均值不等式的条件，D 正确.【巩固6】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy、中最大的一个是．【难度】★★ 【答案】x y +【解析】01x <<，01y <<，由基本不等式得222x y xy +≥；x y +≥又因为01x <<，01y <<，所以()()()2222110x y x y x x y y x x y y +−+=−+−=−+−<，故22x y x y +<+，所以最大的一个是x y +【巩固7】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（）． A．)0,02a ba b +≥>> B ．()22200a b ab a b +≥>>，C()20,011a b a b≥>>+ D()002a b a b +>>，【难度】★★ 【答案】B【解析】因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）【巩固8】若0,0a b >>，且a b ≠，则（）A ．2a b +>B ．2a b +<C 2a b+≤D 2a b+<【难度】★★ 【答案】BD【详解】0,0a b >>，且ab ，所以2222()()0244a b a b a b ++−−=>，即2a b +<A 错误，B 正确；所以a b +>2a b+<，故C 错误，D 正确.【巩固9】设0a b <<，则下列不等式成立的是（）A 2a ba b +<<−=<，所以,22a b a b a b ++><，即2a b a b +<<，因为0a b <<，0a =>a >，因此2a ba b +<，【巩固10】比较大小：（1）22a b +和2(1)a b −−；（2）22b a a b+和a b +，其中0,0a b <<．【难度】★★【答案】(1)()2221a b a b +−−≥(2)22b aa b a b+≤+【详解】（1）因为()()()222221110a b a b a b +−−−=−++≥，所以()2221a b a b +−−≥；（2）因为0,0a b <<，所以()()()223333+−+=+++−+=−ab a b b a ab a b b a b a a b a b ab ab ab()()()()2220b b a a a b b a b a abab−+−−+==≤，所以22b a a b a b+≤+.【巩固11】（1）已知,,0a b e f c >>>，求证：f ac e bc −<−；（2）已知0,0a b c d >><<，求证：b aa cb d <−−；（3）已知0,0bc ad bd −≥≥，求证：a b c db d++≤. 【难度】★★【解析】（1）因为,0a b c >>，可得ac bc >，所以ac bc −<−，又因为f e <，可得f ac e bc −<−. （2）因为0c d <<，所以0c d −>−>，又因为0a b >>，所以0a c b d −>−>，可得110b d a c>>−−，因为0a b >>，根据不等式的性质，可得a bb d ac >−−，即以b a ac b d<−−. （3）因为0bd >，要证a b c db d++≤，只需证明()()d a b b c d +≤+，展开得ad bd bc bd +≤+，即ad bc ≤，即0bc ad −≥，又因为0bc ad −≥，所以a b c db d++≤.【巩固12】已知a 、b 1【难度】★★【解析】因为a 、b 是正数，1=≥=当且仅当a b =时，等号成立，1≥+【巩固13】一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为2m a ，2m b ．（1）若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为2220m ，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；（2）若同时增加窗户面积和地板面积各2m n ，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由．【难度】★★【答案】(1)20；(2)变好了，详细见解析.【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为22m ,m a b ，则10%220ab a b ⎧≥⎪⎨⎪+=⎩，所以1010%ab a ≤=，所以22010a b a a +=≤+，所以20a ≥. 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a 和b 分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0,0a b n <<>，则()()()n b a a n a ab bn ab an b n b b b n b b n −++−−−==+++. 因为0,0b n >>，所以()0b b n +>. 又因为a b <，所以()0n b a −>. 因此0a n a b n b +−>+，即a n ab n b+>+. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.【巩固14】（1）已知x 、y 都是正数，求证：()()()2233338x y x y x y x y +++≥；（2）已知0a >，0b >，0c >，求证：bc ac aba b c a b c++≥++．【难度】★★当且仅当x y =时，等号成立．（2）∵0a >，0b >，0c >，∴2bc acc a b+≥，2bc ab b a c +≥，2ac ab a b c +≥， ∴()22bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，故bc ac aba b c a b c ++≥++，当且仅当bc ac ab a b c==，即a b c ==时等号成立．【巩固15】已知a ，b 都是正数.（1）若1a b +=，证明：4+≥b a a b ab ；（2）当a b ≠时，证明：+>+a a b b b a a b . 【难度】★★【详解】（1）证明：由于a ，b 都是正数，()11ab b a b a a b ab ab a b++==+()112224b ab aa b ab a b a b⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当14a b ==时等号成立.所以4+≥b a a b ab . （2）证明：()()()a a b b b a a b a a b b a b +−+=−−− ()()()()2a b a b a ba b =−−=−+.因为a b ，0,0a b >>，所以()20a b−>，0a b +>，所以+>+a a b b b a a b成立.【提升1】已知0a >，0b >，且2a b +=，证明：（1）222a b ab +≤；（2）33211a b b aa b +++≥++．【难度】★★★能力提升【解析】（1）()222a b ab ab a b ab +=+=，因为0a >，0b >，2a b =+≥01ab <≤，当且仅当1a b ==时等号成立，所以222a b ab +≤；（2）()()()()3333332222111111a ab b a a b b a b b a a b a b a b −+−++−+−+++=+=+++++++ ()()()()22112112221111a a ab b b a b a b a b a b +−++−+=+=+−−++++++ ()()()()222221122221111a b a b a b ab a b a b ++⎛⎫=+++−=+−+− ⎪++++⎝⎭ 88222213ab ab ab a b ab =−+=−+++++，由（1）有01ab <≤，有34ab +≤，1ab −≥−，有1134ab ≥+，22ab −≥−，有8122822234ab ab −+≥⨯−+=+，当且仅当1a b ==时等号成立，所以33211a b b aa b +++≥++．。

基本(均值)不等式与其他知识相结合的9种方式(教师版)

基本(均值)不等式与其他知识相结合的9种方式基本(均值)不等式是解决函数、立体几何、三角函数、数列、向量、解三角形等知识领域重要的方法之一.本资料整理高一知识融合试题，试题偏难，仅供强基计划学生选用.一、不等式与三角函数1.已知α+β+γ=π，β为锐角，tan α=3tan β，则1tan γ+1tan α的最小值为()A.12B.43C.32 D.34解析：∵α+β+γ=π，∴tan γ=-tan (α+β)=-tan α+tan β1-tan αtan β=-4tan β1-3tan 2β，∴1tan γ+1tan α=3tan 2β-14tan β+13tan β=9tan 2β+112tan β=34tan β+19tan β≥34×23=12，当且仅当tan β=19tan β即tan β=13时取等号，所以1tan γ+1tan α的最小值为12.故选：A .二、不等式与数列2.阅读：已知a 、b ∈(0,+∞)，a +b =1，求y =1a +2b的最小值.解法如下：y =1a +2b =(1a +2b )(a +b )=b a +2ab +3≥3+22，当且仅当b a =2a b ，即a =2-1,b =2-2时取到等号，则y =1a +2b的最小值为3+2 2.应用上述解法，求解下列问题：(1)已知a ,b ,c ∈(0,+∞)，a +b +c =1，求y =1a +1b+1c 的最小值；(2)已知x ∈(0,12)，求函数y =1x +81-2x的最小值；(3)已知正数a 1、a 2、a 3,⋯,a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1，求证：S =a 21a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 23a 3+a 4+⋯+a 2na n +a 1≥12.解析：(1)∵a +b +c =1，∴y =1a +1b +1c =(a +b +c )(1a +1b +1c )=3+(b a +a b +c a +a c +c b+bc )≥3+2b a ⋅a b +2c a ⋅a c +2c b ⋅b c =9，当且仅当a =b =c =13时取等号．即y =1a +1b+1c 的最小值为9．(2)y =22x +81-2x =(22x +81-2x )(2x +1-2x )=10+2⋅1-2x 2x +8⋅2x1-2x，而x ∈(0，12)，∴2⋅1-2x 2x +8⋅2x1-2x≥22(1-2x )2x ⋅8⋅2x 1-2x =8，当且仅当2(1-2x )2x =8⋅2x 1-2x ，即x =16∈(0，12)时取到等号，则y ≥18，∴函数y =1x +81-2x的最小值为18．(3)∵a 1+a 2+a 3+…+a n =1，∴2S =(a 12a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 32a 3+a 4+⋯+a n2a n +a 1)[(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+…+(a n +a 1)]=(a 21+a 22+⋯+a 2n )+[a 21a 1+a 2(a 2+a 3)+a 22a 2+a 3(a 1+a 2)+⋯+a 2n a n +a 1(a 1+a 2)+a 21a 1+a 2(a 3+a 4)+⋯]≥(a 21+a 22+⋯+a 2n )+(2a 1a 2+2a 2a 3+⋯+2a n a 1)=(a 1+a 2+⋯+a n )2=1．当且仅当a 1=a 2=⋯=a n =1n 时取到等号，则S ≥12．三、不等式与立体几何3.已知三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ,∠BAC =120°，AD =2，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A -BCD 的体积的最大值为()A.33B.233C.3D.23【解析】设球O 的半径为R ，AB =x ，AC =y ，由4πR 2=20π，得R 2=5．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得OG =12AD =1，则AG =R 2-1=2．在ΔABC 中，由正弦定理可得：BCsin120°=2AG =4，即BC =23，由余弦定理可得，BC 2=12=x 2+y 2-2xy ×(-12)=x 2+y 2+xy ≥3xy ，∴xy ≤4．则三棱锥A -BCD 的体积的最大值为13×12×4×sin120°×2=233．故选：B ．4.如图，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ,E 、F 是SC 上两个三等分点，记二面角E -AB -F 的平面角为α，则tan α()A.有最大值43B.有最大值34C.有最小值43D.有最小值34【解析】将三棱锥放入长方体中，设AB =a ，BC =b ，AS =c ，如图所示：过E 作EN ⊥平面ABC 与N ，NM ⊥AB 与M ，连接ME ，则∠EMN 为二面角E -AB -C 的平面角，设为α1，则NE =13c ，MN =23b ，故tan α1=c2b .同理可得：设二面角F -AB -S 的平面角为α2，tan α2=b 2c.tan α=tan π2-α1-α2 =1-tan α1tan α2tan α1+tan α2=34c 2b+b2c ≤34，当c 2b=b 2c ，即b =c 时等号成立.故选：B .5.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，AB =22，E ，F 分别是AD ，BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为()A.1B.2C.2D.22【解析】把正四面体补为正方体，如图，根据题意，KL //BC ，LM //GH ，KL BC =AL AB ，LM AD =BLAB ，所以KL =AL ，LM =BL ，故KL +LM =AL +BL =22，S 截面=KL ⋅LM ≤KL +LM 2 2=2，当且仅当KL =LM 时成立，故选：C .四、不等式证明6.设x ,y ,z >0，a =4x +1y ,b =4y +1z ,c =4z +1x，则a ,b ,c 三个数()A.都小于4B.至少有一个不大于4C.都大于4D.至少有一个不小于4【解析】假设三个数4x +1y <4且4y +1z <4且4z +1x<4，相加得：1x +4x +1y +4y +1z+4z <12，由基本不等式得：1x +4x ≥4；1y +4y ≥4；1z+4z ≥4；相加得：1x +4x +1y +4y +1z+4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数4x +1y 、4y +1z 、4z +1x 至少有一个不小于4．故选：D ．7.已知a ，b ，c ∈R ，a 2+b 2+c 2=1．1 证明：-12≤ab +bc +ca ≤1．2 证明：a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 ≤23．【解析】1 证明：由a +b +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1+2ab +2bc +2ca ≥0，得ab +bc +ca ≥-12．另一方面，a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca ，所以2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2bc +2ca ，即ab +bc +ca ≤1．所以-12≤ab +bc +ca ≤1．2 证明：a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 =a 21-a 2 +b 21-b 2 +c 21-c 2 =1-a 4+b 4+c 4 ，因为a 4+b 4+c 4=a 2+b 2+c 2 2-2a 2b 2-2b 2c 2-2c 2a 2≥1-a 4+b 4+b 4+c 4+c 4+a 4 ，即3a 4+b 4+c 4 ≥1，则a 4+b 4+c 4≥13，所以a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 ≤23．8.已知a ,b ,c 为正数，且满足a +b +c =1. 证明：(1)1a +1b+1c ≥9；(2)ac +bc +ab -abc ≤827.【解析】(1)a +b +c =1，故1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b+a +b +cc =3+b a +a b +c a +a c +c b+b c ≥3+2+2+2=9，当a =b =c =13时等号成立.(2)易知1-a >0,1-b >0,1-c >0.ac +bc +ab -abc =1-a +b +c +ac +bc +ab -abc =1-a 1-b 1-c≤1-a +1-b +1-c 3 3=827.当a =b =c =13时等号成立.9.设实数x ，y 满足2x +y =1．1 若2y -1 -2x <3，求x 的取值范围；2 若x >0，y >0，求证：1x +2y -2xy ≥152．【解析】1 由2x +y =1，得y =1-2x ，所以不等式2y -1 -2x <3，即为4x -1 -2x <3，所以有1-4x +2x <3x <0 或0≤x ≤141-4x -2x <3 或x >144x -1-2x <3解得-1<x <0或 0≤x ≤14 或14<x <2，所x 的取值范围为x ∈-1,2 ．2 ∵x >0，y >0，2x +y =1所以1x +2y =1x +2y 2x +y =4+y x +4xy≥4+4=8当且仅当y x =4x y ，即2x =y =12时取等号．又-2xy ≥-2x +y 2=-12，当且仅当2x =y =12时取等号，所以1x +2y -2xy ≥152，当且仅当2x =y =12时取等号．10.1在锐角ΔABC 中，证明：(1)tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ；(2)tan A ⋅tan B ⋅tan C ≥3 3.证明：(1)∵tan C =-tan (A +B )=tan A +tan Btan A tan B -1∴tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ,(2)解法1：∵y =tan x ,x ∈(0,π2)是凸函数，∴tan A tan B tan C ≥3 3.解法2：∵tan A tan B tan C ≤(tan A +tan B +tan C 3)3，∴tan A tan B tan C ≥33五、最值问题11.设x>0,y>0且x+y=4，则x2x+1+y2y+2的最小值是A.167B.73C.2310D.94【解析】∵x+y=4，∴(x+1)+(y+2)=7∴x2x+1+y2y+2=x+12-2x+1+1x+1+y+22-4y+2+4y+2=1+1x+1+4y+2=1+1x+1+4 y+2x+17+y+27=1+17+47+y+27(x+1)+4(x+1)7y+2≥127+2×27= 16712.已知实数a>0,b>1满足a+b=5，则2a+1b-1的最小值为()A.3+224 B.3+424 C.3+226 D.3+426【解析】因为a>0,b>1满足a+b=5，则2a+1b-1=(2a+1b-1)a+b-1×14=143+2b-1a+ab-1≥14(3+22)当且仅当2b-1a=ab-1时取等号，故选：A．13.设a>b>0，则ab+4b2+1b a-b的最小值是()A.2B.3C.4D.6【解析】因为a>b>0⇒a-b>0；所以ab+4b2+1b(a-b)=ab-b2+1b(a-b)+b2+4b2=b(a-b)+1b(a-b)+b2+4b2≥2b(a-b)×1b(a-b)+2b2×4b2=2+4=6．当且仅当b(a-b)=1b(a-b)，b2=4b2时取等号，∴ab+4b2+1b(a-b)的最小值为6．故选：D．六、不等式与函数14.已知f x =2x-2+x+1．(1)求不等式f x <6的解集；(2)设m,n,p为正实数，且m+n+p=f2 ，求证：mn+np+pm≤3.【解析】(1)不等式2x-2+x+1<6等价于不等式组x<-1-3x+3<6或-1≤x≤2-x+5<6或x>23x-3<6，所以不等式2x-2+x+1<6的解集为-1,3；(2)证明：因为m+n+p=3，所以m+n+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，因为m,n,p为正实数，所以由基本不等式m2+n2≥2mn(当且仅当m=n时等号成立)，同理m2+p2≥2mp,p2+n2≥2pn，所以m2+n2+p2≥mn+mp+np，所以m+n+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3mn+3mp+3np，所以mn+mp+np≤3.15.已知函数f x =2x -3 -x -m -1的定义域为R .(1)求实数m 的取值范围；(2)设实数t 为m 的最大值，若实数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2=t 2，求1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值.【解析】(1)∵函数f x =2x -3 -x -m -1的定义域为R .∴2x -3 -x -1≥m 对任意的x ∈R 恒成立，令g x =2x -3 -x -1，则g x =x -7,x ≥3 5-3x ,0<x <3 5-x ,x ≤0，结合g x 的图像易知g x 的最小值为-4，所以实数m 的取值范围-∞,-4 .(2)由(1)得t =-4，则a 2+b 2+c 2=16，所以a 2+1 +b 2+2 +c 2+3 =22，1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3=1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3a 2+1 +b 2+2 +c 2+3 22=3+b 2+2a 2+1+a 2+1b 2+2+c 2+3a 2+1+a 2+1c 3+3+c 2+3b 2+2+b 2+2c 2+322≥3+2b 2+2a 2+1×a 2+1b 2+2+2c 2+3a 2+1×a 2+1c 2+3+2c 2+3b 2+2×b 2+2c 2+322=922，当且仅当a 2+1=b 2+2=c 2+3=223，即a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，∴1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922.七、不等式与向量16.若非零向量m ,n 满足|m -e |-m ⋅e =|n -e |-n ⋅e =1(e 为单位向量)，且m ⊥n ，则|m -n|的最小值是()A.1B.2C.4D.8【解析】由非零向量m ,n 满足m ⊥n ，可设m =(a ,0)，n=(0,b )，其中a ,b 均不为0．因为e 为单位向量，可设e =(cos θ,sin θ)，因为|m -e |-m ⋅e=(a -cos θ)2+sin 2θ-a cos θ=1，所以a 2-2a cos θ+cos 2θ+sin 2θ=1+2a cos θ+a 2cos 2θ，即a sin 2θ=4cos θ①，同理，由|n -e |-n ⋅e=1可得b cos 2θ=4sin θ②，由①②，可得a 2+b 2=16cos 2θsin 4θ+16sin 2θcos 4θ=16cos 4θ+sin 2θcos 2θsin 4θ+ sin 4θ+sin 2θcos 2θcos 4θ=161tan 4θ+1tan 2θ+tan 4θ+tan 2θ ≥16×(2+2)=64当且仅当tan 2θ=1时，等号成立，所以当tan 2θ=1时，|m -n |min =8，故选：D ．17.已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD =2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF =λAB +56AD ，则AF 的最小值为___________．【解析】由题可知，平行四边形ABCD 的图象如下：设DF =kDE ，∴AF =AD +DF =AD +kDE =AD+k DC +CE ，∵DC =AB ，CE =12DA，则AF =AD +kAB +12kDA ，所以AF =kAB +AD -12kAD =kAB +1-12k AD ，又∵AF =λAB +56AD ，则有：k =λ1-12k =56，解得：k =λ=13，即AF =13AB +56AD ，∵平行四边形ABCD 的面积为93，即∵AB ⋅AD sin 2π3=93，∴AB ⋅AD =18，∴AF 2=13AB +56AD2=19AB 2+59AB ⋅AD +2536AD 2，即：∴AF 2=19AB 2+59AB ⋅AD cos ∠BAD +2536AD2，∴AF 2=19AB 2+59×18×-12 +2536AD 2=19AB2+2536AD 2-5，即：AF2=19AB2+2536AD 2-5，∵19AB 2+2536AD 2≥219AB 2×2536AD 2=2×518×18=10，即19AB 2+2536AD 2≥10，所以19AB 2+2536AD2-5≥5，∴AF 2≥5，∴AF ≥5，当且仅当：19AB 2=2536AD2时，取等号，∴AF 的最小值为 5.18.平面向量a ,b ,c 满足|a |≤1，|b |≤1，|2c -(a +b )|≤|a -b |，则|c |的最大值为_______．【解析】由绝对值不等式的性质可知，已知中|2c -(a +b )|≤|a -b |，可得|2c |-|a +b |≤|a -b |，即|2c |≤|a+b |+|a -b |，将a ，b 的起点移到同一点，以a ，b 为边构造平行四边形，则a +b ，a -b 为平行四边形的两条对角线，在平行四边形ABCD 中，|AC |2=|AB +AD |2=|AB |2+|AD |2+2|AB |⋅|AD|cos ∠BAD ，由余弦定理可知|BD |2=|AB |2+|AD |2-2|AB |⋅|AD |cos ∠BAD ，则|AC |2+|BD |2=2|AB |2+2|AD |2，显然|AC |+|BD |若取最大值，则|AB |，|AD |应为最大1，即|AC |2+|BD |2=4⇒|AC |+|BD | 2-2|AC ||BD |=4⇒|AC |+|BD | 22-2=|AC ||BD |由基本不等式可知|AC |+|BD | 22-2=|AC ||BD |≤|AC |+|BD |24⇒|AC |+|BD | 2≤8⇒|AC |+|BD |≤22当且仅当|AC |=|BD |时取等号，所以当|a |=1，|b |=1且|a +b |=|a -b |时，|a +b |+|a -b|取得最大值22，则|2c |≤|a +b |+|a -b |≤22，即|c |≤2，所以|c |的最大值为2．故答案为：2八、不等式与解三角形19.在锐角ΔABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，ΔABC 的面积为S ，若sin (A +C )=2Sb 2-c 2，则tan C +12tan (B -C )的最小值为()A.2B.2C.1D.22【解析】因为sin (A +C )=2S b 2-c 2，即sin B =2Sb 2-c 2，所以sin B =ac sin Bb 2-c 2，因为sin B ≠0，所以b 2=c 2+ac ，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，可得a -2c cos B =c ，再由正弦定理得sin A -2sin C cos B =sin C ，因为sin A -2sin C cos B =sin (B +C )-2sin C cos B =sin (B -C )，所以sin (B -C )=sin C ，所以B -C =C 或B -C +C =π，得B =2C 或B =π(舍去).因为ΔABC 是锐角三角形，所以0<C <π20<2C <π20<π-3C <π2，得π6<C <π4，即tan C ∈(33,1)，所以tan C +12tan (B -C )=tan C +12tan C ≥2，当且仅当tan C =22，取等号.故选:A20.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =6，点O 为其外接圆的圆心.已知BO ·AC=15，则当角C 取到最大值时△ABC 的面积为()A.35B.25C.30D.56【解析】设AC 中点为D ，则BO ⋅AC =BD +DO ⋅AC =BD ⋅AC =12BC +BA⋅BC -BA=12BC 2-12BA 2 ，∴12a 2-12c 2=15，即c =6，由c <a 知角C 为锐角，故cos C =a 2+b 2-c 22ab =30+b 212b =112b +30b≥112×2b ⋅30b =306，当且仅当b =30b，即b =30时cos C 最小，又y =cos x 在0,π2 递减，故C 最大.此时，恰有a 2=b 2+c 2，即△ABC 为直角三角形，S △ABC =12bc =35，故选A .21.在△ABC 中,已知AB ·AC =9,sin B =cos A sin C ,S △ABC =6,P 为线段AB 上的点,且CP =x CA CA +y CBCB ,则xy 的最大值为________.【解析】由sin B =cos A sin C 得b =c b 2+c 2-a 22bc⇒a 2+b 2=c 2⇒S ΔABC =12ab =6所以由AB ·AC =9得AC 2=9,∴b =3,a =4又P 为线段AB 上的点，且CP =x CA CA +y CBCB ,所以x b+y a =1,∴x3+y 4=1,∴1≥2x 3⋅y 4∴xy ≤3，当且仅当x =32,y =2时，等号成立即xy 的最大值为3.22.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且a cos B -b cos A =35c ，则tan A -B 的最大值为A.32B.34C.32D.3【解析】∵a cos B -b cos A =35c ∴由正弦定理，得sin A cos B -sin B cos A =35sin C ，∵C =π-(A +B )⇒sin C =sin (A +B )，，∴sin A cos B -sin B cos A =35(sin A cos B +cos A sin B )，整理，得sin A cos B =4sin B cos A ，同除以cos A cos B ，得tan A =4tan B ，由此可得tan (A -B )=tan A -tan B 1+tan A tan B =3tan B 1+4tan 2B=31tan B+4tan B ，∵A 、B 是三角形内角，且tan A 与tan B 同号，∴A 、B 都是锐角，即tan A >0，tan B >0，∵1tan B+4tan B ≥21tan B ⋅4tan B =4tan (A -B )=31tan B+4tan B ≤34，当且仅当1tan B =4tan B ，即tan B =12时，tan (A -B )的最大值为34．故选B ．23.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2=8，则△ABC 面积的最大值为()A.55B.255C.355D.53【解析】因为a 2+b 2+2c 2=8，所以a 2+b 2=8-2c 2，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =8-3c 22ab，即2ab cos C =8-3c 2①由正弦定理得S =12ab sin C ，即2ab sin C =4S ②由①，②平方相加得4ab 2=8-3c 2 2+4S 2≤a 2+b 2 2=8-2c 2 2，所以4S 2≤8-2c 2 2-8-3c 2 2=16-5c 2 c 2≤1516-5c 2+5c 222=645，即S 2≤45，所以S ≤255，当且仅当a 2=b 2且16-5c 2=5c 2即a 2=b 2=125,c 2=85时，取等号.故选：B24.已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ,N ，且AM =xAB ，AN =yAC，x ,y >0 ，则3x +y 的最小值是()A.83B.72C.52D.43+233【解析】因为M ,G ,N 三点共线，故AG =tAM +1-t AN ，因为AM =xAB ,AN =yAC ，所以AG =txAB+1-tyAC ，又G 为重心，故AG =13AB +13AC ，而AB ,AC 不共线，所以tx =13,1-t y =13，也即是1x +1y=3.3x +y =133x +y 1x +1y =134+y x +3x y，由基本不等式可以得到：y x +3x y ≥23，当且仅当x =3+39,y =33+13等号成立，故3x +y 的最小值为43+233，故选D .25.已知O 是△ABC 的外心，∠C =45°,OC =2mOA +nOB ,(m ,n ∈R ),则1m 2+4n2的最小值为____．【解析】OC =2mOA +nOB ∴OC 2=2mOA +nOB 2=4m 2OA 2+n 2OB 2+4mnOA ⋅OB∠C =45°∴∠AOB =90°∴OA ⋅OB=0故4m 2+n 2=11m 2+4n 2=1m 2+4n 2 4m 2+n 2=4+n 2m 2+16m 2n 2+4≥216+8=16当n 2m 2=16m 2n 2即n 2=12,m 2=18时等号成立，故答案为：1626.在锐角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若b 2+c 2=4bc sin A +π6，则tan A +tan B +tan C 的最小值是______．【解析】由余弦定理，得b 2+c 2=a 2+2bc cos A ，则由b 2+c 2=4bc sin A +π6 ，得a 2+2bc cos A =4bc sin A +π6=2bc (3sin A +cos A )，所以a 2=23bc sin A ，由正弦定理，得sin 2A =23sin B ⋅sin C ⋅sin A ，所以sin A =23sin B sin C ，所以sin (B +C )=23sin B sin C ，sin B cos C +cos B sin C =23sin B sin C ，tan B +tan C =23tan B tan C ．因为tan A =-tan (B +C )=tan B +tan Ctan B tan C -1，所以tan A +tan B +tan C =tan A ⋅tan B ⋅tan C ，则tan A +tan B +tan C =tan B +tan C tan B tan C -1⋅tan B ⋅tan C =23tan B tan Ctan B tan C -1⋅tan B ⋅tan C ．令tan B ⋅tan C -1=m ，而tan B ⋅tan C -1=tan B tan A +tan Ctan A,∴m >0则tan B ⋅tan C =m +1，tan A +tan B +tan C =23(m +1)2m =23m 2+2m +1 m =23m +1m+2 ≥23(2m ⋅1m +2)=83，当且仅当m =1时，等号成立，故tan A +tan B +tan C 的最小值为83．27.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且a cos C -c cos A =35b ，则tan (A -C )的最大值为______．【解析】因为a cos C -c cos A =35b ，由正弦定理得sin A cos C -sin C cos A =35sin B ，又B =π-(A +C )，所以sin A cos C -sin C cos A =35sin [π-(A +C )]，即sin A cos C -sin C cos A =35sin (A +C )，所以5sin A cos C -5sin C cos A =3sin A cos C +3cos A sin C ，所以2sin A cos C =8cos A sin C ，当cos C ≤0或cos A ≤0时，等式不成立，所以A ,C ∈(0,π2)，所以tan A =4tan C ，所以tan (A -C )=tan A -tan C 1+tan A tan C =3tan C 1+4tan 2C =31tan C+4tan C 又tan C >0，所以1tan C +4tan C ≥21tan C ⋅4tan C =4，当且仅当1tan C =4tan C ，即tan C =12时，等号成立，所以tan (A -C )=31tan C +4tan C ≤34，所以tan (A -C )的最大值为34．28.已知ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足a cos A+b +2c cos B =0,则sin2B ⋅tan 2C 的取值范围是__________.【解析】a cos A+b +2c cos B =0，即a cos B +b cos A +2c cos A =0，即sin A cos B +sin B cos A +2sin C cos A =0，sin C 1+2cos A =0，sin C ≠0，故1+2cos A =0，A =3π4，故B +C =π4.sin2B ⋅tan 2C =cos2C ⋅sin 2C cos 2C =2cos 2C -1 1-cos 2C cos 2C =3-2cos 2C +1cos 2C，C ∈0,π4 ，故t =cos 2C ∈12,1 ，故y =3-2t +1t，根据双勾函数性质知：函数在12,22上单调递增，在22,1 上单调递减.故y max =3-22，当t =1时，y =0，当t =12时，y =0，故sin2B ⋅tan 2C ∈0,3-22 .故答案为：0,3-22 .九、不等式与恒成立问题29.正数a,b满足1a+9b=1，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)【解析】∵a>0,b>0,1a+9b=1，∴a+b=(a+b)1a+9b=10+b a+9a b≥10+2b a⋅9a b=16当且仅当3a=b，即a=4,b=12时，“=”成立，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立，则-x2+4x+18-m≤16，即-x2+4x+2≤m对任意实数x恒成立，∵-x2+4x+2=-(x-2)2+6≤6∴m≥6实数m的取值范围是[6,+∞)30.数列a n中，a1=12，a n+1=na nn+1na n+1n∈N*，若不等式4n2+1n+-1nλa n≥0恒成立，则实数λ的取值范围为__________.【解析】由数列 a n满足a1=12,a n+1=na n(n+1)(na n+1)(n∈N x)，两边取倒数可得：1(n+1)a n+1-1nan=1，∴数列1nan是等差数列, 公差为1, 首项为2∴1nan =2+(n-1)=n+1，∴a n=1n(n+1)由4n2+1n+(-1)nλa n≥0恒成立,得(-1)n⋅1n(n+1)λ≥-4n2-1n=-4-nn2,当n为偶数时，λ≥-(n+1)(n+4)n=-(n+4n+5), 则λ≥-9，当n为奇数时，λ≤n+4n+5,则λ≤283，∴实数λ的取值范围为-9,283。

高中数学不等式知识点总结教师版

高中数学不等式知识点总结教师版一、基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中一种重要的关系，是一个数与另一个数之间的大小关系的表达方式。

2.不等式的性质：不等式具有传递性、对称性和加法性。

-传递性：若a>b,b>c，则a>c。

-对称性：若a>b，则b<a。

-加法性：若a>b，则a+c>b+c。

3.常见的不等式符号：>,<,≥,≤。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义：一元一次不等式是形如 ax + b > 0 或ax + b < 0 的不等式，其中 a, b 是实数，且a ≠ 0。

2.一元一次不等式的解法：分为以下几步：-将不等式转化为等式求解，得到等式的解集。

-判断等式解集与原不等式的关系，得到不等式解集。

3.一元一次不等式的图像：可利用数轴来表示一元一次不等式的解集。

三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义：一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0 或ax² + bx + c < 0 的不等式，其中 a, b, c 是实数，且a ≠ 0。

2.一元二次不等式的解法：-利用一元二次不等式的图像法，即通过绘制一元二次函数的图像来确定不等式的解集。

-利用一元二次不等式的求根法，即通过求解一元二次方程来确定不等式的解集。

3.一元二次不等式的图像：可利用平移、压缩、翻折等方法，通过一元二次函数的图像形状来确定其解集。

四、绝对值不等式1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是形如x-a，>b或，x-a，<b的不等式，其中a,b是实数，且b>0。

2.绝对值不等式的解法：-对于，x-a，>b形式的不等式，可拆分为两个一元一次不等式求解，并求得并集。

-对于，x-a，<b形式的不等式，可利用绝对值的定义，得到不等式的解集。

3.绝对值不等式的图像：可利用数轴来表示绝对值不等式的解集。

2.1一元二次函数、方程和不等式-(必修第一册) (教师版)

一元二次函数、方程和不等式1不等式关系与不等式①不等式的性质(1) 传递性：a>b ,b>c⇒ a>c；(2) 加法法则：a>b ⇒ a+c>b+c , a>b ,c>d ⇒ a+c>b+d；(3) 乘法法则：a>b ,c>0 ⇒ ac>bc ,a>b ,c<0⇒acb ,ab>0 ⇒1a <1b；(5) 乘方法则：a>b>0⇒a n>b n (n∈N∗且 n>1)；②比较a ,b大小(1) 作差法( a−b与0的比较)a−b>0→ a>b ; a−b=0→ a=b ; a−b<0→ a<b(2) 作商法(ab与1比较)a b >1 ,b>0→ a>b ;ab>1 ,b<0→ a<b2 一元二次不等式及其解法①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：(以下均以a>0为例)②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；③求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.3 一元二次不等式的应用(1) 分式不等式的解法解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.由于ab >0与ab>0均意味a,b同号，故ab>0与ab>0等价的；a b <0与ab<0均意味a,b异号，故ab<0与ab<0等价的；可得①f(x)g(x)>0⇒f(x)g(x)>0，f(x)g(x)≥0⇒f(x)g(x)≥0且g(x)≠0.比如x−1x−2>0⇒(x−1)(x−2)>0 ; x−1x−2≥0⇒(x−1)(x−2)≥0且x−2≠0.②f(x)g(x)<0⇒f(x)g(x)<0，f(x)g(x)≤0⇒f(x)g(x)≤0且g(x)≠0.比如x−1x−2<0⇒(x−1)(x−2)<0 ; x−1x−2≤0⇒(x−1)(x−2)≤0且x−2≠0.(2) 一元高次不等式的解法①一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(x−x1)(x−x2)…(x−x n)>0(或<0)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中x的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.Eg解(x+1)(x−2)(x−3)(x−4)≥0，如图所示，解集为{x|x≥4或2≤x≤3或x≤−1}.解(x +1)(x −2)2(x −3)(x −4)3≤0，如图所示，解集为{x|x ≤−1或x =2或3≤x ≤4}.【题型一】不等式性质的运用【典题1】实数a 、b 、c 满足a >b >c ，则下列不等式正确的是 ( ) A ．a +b >c B ．1a−c <1b−c C ．a|c|>b|c| D ．ab 2c 2+1<a 2bc 2+1【解析】∵a >b >c ，∴A ．a +b >c 错误，比如−4>−5>−6，得出−4+(−5)<−6； B ．a −c >b −c >0，∴1a−c <1b−c，∴该选项正确；C ．a|c|>b|c|错误，比如|c|=0时，a|c|=b|c|；D ．∵ab 2−a 2b =ab(b −a) , ∴ab(b −a)=0时，ab 2=a 2b ， ∴ab 2c 2+1=a 2bc 2+1，∴该选项错误．故选：B ．【点拨】涉及不等式的选择题，适当利用“取特殊值排除法”会做得更快些.【典题2】已知a >0，试比较a 2+1a 2−1与a+1a−1的值的大小．【解析】a 2+1a 2−1−a+1a−1=a 2+1−(a+1)2a 2−1=−2aa 2−1，(作差法)(i)当a >1时，−2a <0，a 2−1>0，则−2aa 2−1<0，即a 2+1a 2−1<a+1a−1；(确定差−2aa 2−1与0的大小) (ii)当0<a <1时，−2a <0 ,a 2−1<0，则−2aa 2−1>0，即a 2+1a 2−1>a+1a−1．综上可得a>1时，a 2+1a2−1<a+1a−1；0<a<1时，a2+1a2−1>a+1a−1．【点拨】比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较a a b b与(ab)a+b2；多项式形式常用做差法，比如比较xy与x+y−1.【典题3】已知c>1，a=√c+1−√c，b=√c−√c−1，则正确的结论是()A．ab C．a=b D．a与b的大小不确定【解析】方法一特殊值法取特殊值，令c=2，则a=√3−√2，b=√2−1，易知a<b, 排除B,C，还不能排除D，猜测选A.方法二做差法，分析法a−b=√c+1−√c－(√c−√c−1)=√c+1+√c−1−2√c要比较a ,b大小，只需要比较√c+1+√c−1与2√c的大小⟺比较(√c+1+√c−1)2与4c的大小(遇到二次根式可考虑平方去掉根号)⟺比较2c+2√c2−1与4c的大小⇔比较√c2−1与c的大小而显然√c2−1<c，故√c+1+√c−1<2√c，故a<b，故选A.方法三共轭根式法√c+1−√c=√c+1−√c)(√c+1+√c)√c+1+√c =√c+1+√c，√c−√c−1=√c−√c−1)(√c+√c−1)√c+√c−1=√c+√c−1，∵c>1，∴c+1>c－1>0⇒√c+1>√c−1⇒√c+1+√c>√c+√c−1>0，∴√c+1+√c <√c+√c−1，即a<b，故选A.【点拨】①比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法；②方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨；③ 方法三中注意到(√c −√c −1)(√c +√c −1)=1.若A =√x +√y ,B =√x −√y ，A,B 互为共轭根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点. AB =x −y ，A 2+B 2=2(x +y ) ，A 2−B 2=4√xy .巩固练习1 (★) 已知－1ab >ab2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2 D ．ab >ab 2>a【答案】D【解析】∵－10，b <0<1，b 2<1． ∴ab －ab 2=ab(1－b)>0，ab 2－a =a(b 2－1)>0． ∴ab >ab 2>a ．故选：D ．2 (★★) 设1b <1a <0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a >b B ．ab <a −b C ．b 3a3+a 3b 3>2 D ．1|b|<1|a|【答案】 C 【解析】设1b <1a <0，可得a 0，a －b <0，可得a b>a −b ，故B 错误；由a 1，则b 3a 3+a 3b3>2√b 3a 3⋅a 3b 3=2，故C 正确；由1b<1a<0，可得1|b|>1|a|，故D 错误．故选：C ．3(★★) 已知a ,b ∈R ，且P =a+b 2，Q =√a 2+b 22，则P 、Q 的关系是( ) A ．P ≥Q B ．P >QC ．P ≤QD ．P <Q【答案】 C【解析】因为a ，b ∈R ，且P =a+b 2，Q =√a 2+b22，所以P 2=a 2+b 2+2ab 4，Q 2=a 2+b 22，则P2－Q2=a2+b2+2ab4−a2+b22=2ab−a2−b24=−(a−b)24≤0，当且仅当a=b时取等成立，所以P2－Q2≤0，即P2≤Q2，所以P≤Q，故选：C．4(★★)若P=√a+3+√a+5，Q=√a+1+√a+7(a≥0)，则P，Q的大小关系是() A．P=Q B．P>Q C．P<Q D．由a的取值确定【答案】B【解析】∵a≥0，P2=2a+8+2√a2+8a+15，Q2=2a+8+2√a2+8a+7，∴a2+8a+15>a2+8a+7，∴2√a2+8a+15>2√a2+8a+7，∴P2>Q2，且P>0，Q>0，∴P>Q．故选B．5(★★★)设S=aa+b+c +bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b, a ,b ,c ,d∈R+，则下列判断中正确的是( )A．0<S<1 B．1<S<2C．2<S<3D．3<S<4【答案】 B【解析】∵S=aa+b+c +bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b>aa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=1S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b<aa+c+bb+d+cc+a+dd+b=2即1<S<2.【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系【典题1】如果关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−1<x<2，则关于x的不等式bx2−ax−c>0的解集为.【解析】关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−1<x<2，∴−1、2是方程ax2+bx+c=0的两实数根，且a<0，由韦达定理得{−1+2=−ba −1×2=ca，∴b =−a >0 ,c =−2a >0，∴不等式bx 2−ax −c >0化为−ax 2−ax +2a >0⇒x 2+x −2>0 ，即(x −1)(x +2)>0，解得x <−2或x >1；则该不等式的解集为(−∞ ,−2)∪(1 ,+∞)．【点拨】通过二次函数的图像理解，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系.【典题2】解关于x 的不等式：x−2x+3≥2 【解析】x−2x+3−2≥0⇒x−2−2(x+3)x+3≥0⇒−x−8x+3≥0⇒x+8x+3≤0；等价变形为：(x +8)(x +3)≤0且x +3≠0； (注意分母x +3≠0) 解得−8≤x <−3. 巩固练习1(★) 若不等式2kx 2+kx −38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为 ( ) A ．−3<k <0 B ．−3≤k <0 C ．−3≤k ≤0 D ．−3<k ≤0【答案】D 【解析】2kx 2+kx −38<0对一切实数x 都成立， ①k =0时，−38<0恒成立，②k ≠0时，{k <0△=k 2+3k <0，解可得−3<k <0综上可得，−3<k ≤0 故选：D ．2(★★) 若关于x 的不等式x 2−3ax +2>0的解集为(−∞ ,1)∪(m ,+∞)，则a +m 等于( ) A ．−1 B ．1C ．2D ．3【答案】 D【解析】由题意知，1和m 是方程x 2−3ax +2=0的两个根，则由根与系数的关系，得{1+m =3a 1×m =2，解得{a =1m =2，所以a +m =3．故选：D ．3(★★) 若不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞ ,−13)∪(12,+∞)，则不等式cx 2−2x +a ≤0的解集是( ) A ．[−12 ,13] B ．[−13 ,12]C ．[−2 ,3]D ．[−3 ,2]【答案】 C 【解析】不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞，−13)∪(12，+∞)，∴−13和12是方程ax 2+2x +c =0的两个实数根，由{−13+12=−2a−13×12=c a ，解得：a =−12，c =2，故不等式cx 2−2x +a ≤0即2x 2−2x −12≤0，即x 2−x −6≤0，解得：−2≤x ≤3，所以所求不等式的解集是：[−2，3]，故选：C ．4(★★) 【多选题】关于x 的一元二次不等式x 2−6x +a ≤0(a ∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】 ABC【解析】设f(x)=x 2−6x +a ，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示；若关于x 的一元二次不等式x 2−6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则 {f(2)≤0f(1)>0，即{4−12+a ≤01−6+a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，所以a =6，7，8．故选：ABC ．5(★★) 不等式3x+13−x >−1的解集是 .【答案】 (−2，3)6(★★) 已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}，α>0，则不等式cx2+bx+a>0的解集是.【答案】(1β ,1α)【解析】不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0)，则α，β是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，且a<0；∴α+β=−b a，α•β=c a；∴不等式cx2+bx+a>0化为cax2+bax+1<0，∴αβx2−(α+β)x+1<0；化为(αx−1)(βx−1)<0；又0<α<β，∴1α>1β>0；∴不等式cx2+bx+a<0的解集为：{x|1β<x<1α}，故选：A．7(★★)不等式axx−1<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a值是.【答案】a=12【解析】不等式axx−1<1等价于[(a−1)x+1](x−1)<0即(a−1)x2+(2−a)x−1<0，所以1×2=11−a ，解得a=12，检验成立.【题型三】求含参一元二次不等式角度1：按二次项的系数a的符号分类，即a>0 ,a=0 ,a<0;解不等式ax2+(a+2) x+1>0.【解析】(不确定不等式对应函数y=ax2+(a+2) x+1是否是二次函数，分a=0与a≠0讨论) (1)当a=0时，不等式为2x+1>0，解集为{x | x>−12} ；(2)当a≠0时，∵Δ=(a+2)2−4a=a2+4>0(二次函数y=ax2+(a+2) x+1与x轴必有两个交点)解得方程ax2+(a+2) x+1=0两根x1=−a−2−√a2+42a ,x2=−a−2+√a2+42a；(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a>0与a<0讨论)(i)当a>0时，解集为{x | x>−a−2+√a2+42a 或x<−a−2−√a2+42a}；(ii)当a<0时, 解集为{x | −a−2+√a2+42a <x<−a−2−√a2+42a}.(注意x1,x2的大小)综上，当a=0时，解集为{x | x>−12}；当a>0时，解集为{x | x>−a−2+√a2+42a 或x<−a−2−√a2+42a}；当a<0时, 解集为{x | −a−2+√a2+42a <x<−a−2−√a2+42a}.角度2：按判别式的符号分类解不等式x2+ax+4>0.【解析】∵Δ=a2−16(此时不确定二次函数y=x2+ax+4是否与x轴有两个交点，对判别式进行讨论)∴①当−4<a<4，即Δ<0时，解集为R；②当a=±4，即Δ=0时，解集为{x | x≠−a2}；③当a>4或a<−4，即Δ>0时，此时两根为x1=−a+√a2−162 ,x2=−a−√a2−162，显然x1>x2，∴不等式的解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.综上，当−4<a<4时，解集为R；当a=±4时，解集为{x | x≠−a2}；当a>4或a<−4时，解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.角度3：按方程的根大小分类解不等式：x2−(a+1a)x+1<0 (a≠ 0).【解析】原不等式可化为：(x−a)(x−1a)<0 ,令(x−a)(x−1a )=0，得x1=a ,x2=1a；(因式分解很关键，此时确定y=(x−a)(x−1a)与x轴有交点，x1 ,x2的大小影响不等式解集)∴(i)当x1=x2时，即a=1a⇒a=±1时，解集为ϕ；(ii)当x1<x2时，即a<1a ⇒a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当x1>x2时，即a>1a ⇒−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.综上，当a=±1时，解集为ϕ；(ii)当a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.【点拨】①当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.常见的形式有x2−(a+1)x+a=(x−1)(x−a) ,x2−(a+1a )x+1=(x−a)(x−1a)，ax2+(a+1)x+1=(ax+1)(x+1)等，若判别式Δ是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；②在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.巩固练习1 (★★)关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是()A．(−1 ,0]∪[2 ,3)B．[−2 ,−1)∪(3 ,4]C．[−1 ,0)∪( 2 ,3]D．(−2 ,−1)∪(3 ,4)【答案】 C【解析】由x2−(a+1)x+a<0，得(x−1)(x−a)<0，若a=1，则不等式无解．若a>1，则不等式的解为1<x<a，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=2，则2<a≤3．若a<1，则不等式的解为a<x<1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=0，则−1≤a<0．综上，满足条件的a的取值范围是[−1，0)∪(2，3]．故选：C．2 (★★)解关于x的不等式 x2+2x+a>0．【答案】a>1时，不等式的解集是R，a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}．【解析】方程x2+2x+a=0中△=4−4a=4(1−a)，①当1−a<0即a>1时，不等式的解集是R，②当1−a=0，即a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，③当1−a>0即a<1时，由x2+2x+a=0解得：x1=−1−√1−a，x2=−1+√1−a，∴a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}，综上，a>1时，不等式的解集是R，a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}．3 (★★)解关于x的不等式：2x2+ax+2>0(a∈R)．【答案】a>4或a<−4时，不等式的解集为{x|x<−a−√a2−164或x>−a+√a2−164}；a=±4时，不等式的解集为{x|x≠−a4}；−4<a<4时，不等式的解集为R．【解析】关于x的不等式：2x2+ax+2>0(a∈R)中，△=a2−4×2×2=a2−16，当a>4或a<−4时，△>0，对应的一元二次方程有两个实数根x=−a−√a2−164和x=−a+√a2−164，且−a−√a2−164<−a+√a2−164，∴不等式的解集为{x|x<−a−√a2−164或x>−a+√a2−164}；当a=±4时，△=0，对应的一元二次方程有两个相等的实数根x=−a 4，∴不等式的解集为{x|x≠−a4}；当−4<a<4时，△<0，∴不等式的解集为R；综上，a>4或a<−4时，不等式的解集为{x|x<−a−√a2−164或x>−a+√a2−164}；a=±4时，不等式的解集为{x|x≠−a4}；−4<a<4时，不等式的解集为R．4(★★★)若a∈R，解关于x的不等式ax2+(a+1)x+1>0．【答案】当a<0时，解集是(−1 ,−1a)；当a=0时，解集是(−1 ,+∞)；当0<a≤1时，解集是(−∞ ,−1a )∪(−1 ,+∞)；当a>1时，解集是(−∞ ,−1)∪(−1a,+∞)．【解析】当a=0时，x>−1．当a≠0时，a(x+1a)(x+1)>0．当a<0时，(x+1a)(x+1)<0，解得−1<x<−1a．当a>0时，(x+1a)(x+1)>0．当a=1时，x≠−1．当0<a<1时，x<−1a，或x>−1．当a>1时，x<−1，或x>−1 a．∴当a<0时，解集是(−1，−1a)；当a=0时，解集是(−1，+∞)；当0<a≤1时，解集是(−∞，−1a)∪(−1，+∞)；当a>1时，解集是(−∞，−1)∪(−1a，+∞)．5 (★★★) 关于x的不等式(ax−1)2<x2恰有2个整数解，求实数a的取值范围.答案】 (−32,−43]∪[43 ,32)【解析】不等式(ax−1)2<x2恰有2个整数解，即(ax−1)2−x2<0⇔((a+1)x−1)((a−1)x−1)<0恰有两个解，∴(a+1)(a−1)>0，即a>1，或a<−1．当a >1时，不等式解为1a+1<x <1a−1， ∵1a+1∈(0,12 )，恰有两个整数解，即：1，2， ∴2<1a−1≤3，2a −2<1≤3a −3，解得：43≤a <32；当a <−1时，不等式解为1a+1<x <1a−1，∵1a−1∈(−12，0)，恰有两个整数解即：−1，−2， ∴−3≤1a+1<−2，−2(a +1)<1≤−3(a +1)，解得：−32<a ≤−43，综上所述：43≤a <32，或−32<a ≤−43．。

常见不等式的解法(绝对值不等式解法)

常见不等式的解法(教师版)一、一元一次不等式解下列关于x的不等式1、2x+3>52、-2x+5<63、ax>14、不等式3(x+1)≥5x-9的正整数解是5、已知关于x的不等式(3a-2)x+2<3的解集是,则a= .二、一元二次不等式1、2、3、x2+x-2≤4 4、若0＜a＜1，则不等式(x-a)(x-)＜0的解是 .a＜x＜5、已知不等式的解集为，则的值为 .-146、不等式2x2-3|x|-35>0的解为 ..x<-5或x>57、方程则实数m的取值范围是.8、不等式的解集是，则m= __，n= __.-1;-69、函数或10、对于任意实数x，一元二次不等式(2m-1)x2+(m+1)x+(m-4)＞0恒成立，则实数m的取值范围是 .m＞511、函数则a的取值范围是【0,8】二、分式不等式的解法1）标准化：移项通分化为(或)；(或)的形式，2）转化为整式不等式（组） 1. 不等式的解集是 2. 不等式的解集是3. 不等式的解集是4. 不等式的解集是5. 不等式的解集是6. 不等式的解集是7. 不等式的解集是8. 不等式的解集是9. 不等式的解集是10. 不等式的解集是答案1. 2. (-2，3)3. 4.9.10.三、无理不等式的解法无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。

题型Ⅰ：例一解不等式解：移项：∴∴不等式的解集是：{}练习一：解不等式⑴⑵解：⑴移项：∴∴∴原不等式的解集为⑵∴∴原不等式的解集为{}例二解不等式解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：Ⅰ：或Ⅱ：解Ⅰ：解Ⅱ：即：或∴∴原不等式的解集为{}题型Ⅱ：练习二：解不等式解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：Ⅰ：或Ⅱ：解Ⅰ：解Ⅱ：即：或∴∴原不等式的解集为{}四、含绝对值的不等式的解法(一)、公式法：即利用与的解集求解。

衔接教程-第6讲、简单不等式的解法(教师版)

第3讲简单不等式的解法知识点1、一元一次不等式1、解法：ax b +0>0<0a >b x a >-b x a <-a -2、步骤：①利用不等式性质1，去分母移项整理；②利用不等式性质3，去系数（注意系数为负，不等号一定要变号）；③写结果。

3、注意：一次项系数是否为0的情况，即讨论0a =，此时解集无解或恒成立。

如：0ax b ax b+>⇒>-当0,0a b =>时：解集为任意实数；当0,0a b =<时：解集为无解。

1、解法：2(0)ax bx c a ++>24b ac∆=-0∆>0∆=0∆<图像20ax bx c ++=12,x x x x ==12x x x ==无解20ax bx c ++>2x x >或1x x <1x x ≠所有实数20ax bx c ++≥2x x ≥或1x x ≤所有实数所有实数20ax bx c ++<12x x x <<无解无解20ax bx c ++≤12x x x ≤≤12x x x ==无解2、步骤：（1）首正：整理成一般形式化二次项系数为正。

若为负，不等号一定变号；（2）求根：检验判别式，若0∆≥，计算一元二次方程的两根。

①首选因式分解法求出12,x x （其中12x x <）；②无法因式分解的用求根公式；③若0∆<，对二次三项式进行配方变形成2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++，再结合完全平方式为非负数的性质求解。

（3）根据不等号方向确定解集“0>”型的解为12x x x x <>或(“两根之外”)；“0<”型的解为12x x x <<(“两根之间”)；有等号，一律取等。

知识点3、分式不等式1、解分式不等式的基本思路：将分式不等式转化为整式不等式，利用符号法则进行求解。

2.2 基本不等式 -(必修第一册) (教师版)

基本不等式1 基本不等式若a>0 ,b>0，则a+b≥2√ab(当且仅当a=b时，等号成立).①a+b2叫做正数a ,b的算术平均数，√ab叫做正数a ,b的几何平均数.②基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0 ,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2 基本不等式及其变形21 a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时等号成立) (调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.①a+b≥2√ab，积定求和；②ab≤(a+b2)2，和定求积：③a2+b2≥(a+b)22(联系了a+b与平方和a2+b2)④ab≤a 2+b22(联系了ab与平方和a2+b2)3 对勾函数①概念形如y=x+ax (a>0)的函数.②图像③性质函数图像关于原点对称，在第一象限中，当0<x<√a时，函数递减，当x>√a时，函数递增.④与基本不等式的关系由图很明显得知当x>0时，x=√a时取到最小值y min=2√a，其与基本不等式x+ax ≥2√x∙ax=2√a (x=√a时取到最小值)是一致的.【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1 一正：a>0 ,b>0求函数y=x+1x(x<0)的最值.【误解】x+1x ≥2√x∙1x=2，故最小值是2.【误解分析】误解中套用基本不等式，a=x ,b=1x，当忽略了a>0,b>0的前提条件！【正解】∵x<0∴−x>0 ,−1x>0，∴−x+(−1x )≥2√−x∙(−1x)=2(当x=−1取到等号)∴x+1x =−(−x−1x)≤−2，故函数y=x+1x(x<0)的最大值为−2，没有最小值.情况2二定：ab定值求函数y=x+1x−1(x>1)的最值.【误解】y=x+1x−1≥2√x∙1x−1【误解分析】套用基本不等式a=x ,b=1x−1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为ab=x∙1x−1不是一定值.【正解】y=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2√(x−1)∙1x−1+1=3.(当x=2时取到等号)(通过凑项得到定值“(x−1)∙1x−1=1”)故函数y=x+1x−1(x>1)的最小值为2，没有最大值.情况3 三等：取到等号求函数y=2√x2+4的最值.【误解】y=2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4≥2√√x2+4√x2+4=2，即最小值为2.【误解分析】在误解中把a=√x2+4 ,b=√x2+4，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若a=b，则√x2+4=√x2+4⇒√x2+4=1⇒x2=−3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明√x2+4+√x2+4>2，那它有最小值么？【正解】y=2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为对勾函数y=t+1t 在[2 ,+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52.故y=2√x2+4的最小值为52，无最大值.【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1 直接法【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x ()A．都大于4B．至少有一个大于4 C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4【解析】假设三个数1x +4y<4且1y+4z<4且1z+4x<4，相加得：1x +4x+1y+4y+1z+4z<12，由基本不等式得：1x +4x≥4；1y+4y≥4；1z+4z≥4；(直接使用基本不等式)相加得：1x +4x+1y+4y+1z+4z≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x至少有一个不小于4．故选：C．【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立.【典题2】设x>0,y>0，下列不等式中等号能成立的有()①(x+1x )(y+1y)≥4；②(x+y)(1x+1y)≥4；③2√x2+5≥4；④x+y√xy≥4；A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵x>0，y>0，∴x+1x ≥2,y+1y≥2，当x=y=1时取到"="，所以①成立，(x+y)(1x +1y)=2+xy+yx≥4，当x=y时取到"="，显然②成立，2√x2+5=√x2+5√x2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5=4，显然不成立，x+y+√xy ≥2√xy√xy≥4，当x=y=1时成立，故正确的有三个，故选：C．【点拨】①直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当"a ,b".② 连等问题本题中④ x +y +√xy≥2√xy √xy≥4，当x =y =1时成立，这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到， x +y ≥2√xy 是当x =y 时取到等号，2√xy +√xy≥4是当xy =1时取到等号，即要同时满足方程组{x =yxy =1 (∗)才行，而方程组(∗)有解x =y =1，即x +y √xy≥4是成立的，当x =y =1取到等号.再看一例子：设x,y ∈R ∗,x +y =1，求(x +1x )(y +1y )的最小值. 误解1：∵x +1x ≥2 ,y +1y ≥2，∴(x +1x )(y +1y )≥4.误解2：∵(x +1x )(y +1y )=xy +1xy +x y +y x ≥2√xy ∙1xy +2√x y ∙yx =4.以上两种解法问题在哪里呢？【典题3】已知实数a ，b 满足ab >0，则a a+b −aa+2b 的最大值为 . 【解析】a a+b −aa+2b =a (a+2b−a−b )(a+b )(a+2b )=ab a 2+3ab+2b 2=1ab +2b a+3 (分子、分母均为二次项同除ab )∵ab >0 ∴a b +2b a≥2√2，当且仅当ab =2b a⇒a =√2b 时取等号，∴1ab +2ba+3≤2√2+3=3−2√2，故最大值为3−2√2．【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如x 与1x ，ab 与2b a，2√xy 与√xy之类的.方法2 凑项法【典题1】若x >1，则函数y =4x +1x−1的最小值为 .【解析】y =4x +1x−1=4(x −1)+1x−1+4≥2√4+4=8，当且仅当x =32时取等号． ∴函数y =4x +1x−1的最小值为8．【点拨】把4x 凑项成4(x −1)，目的是使得4(x −1)与1x−1的乘积为定值.【典题2】若x >1，则2x +9x+1+1x−1的最小值是．分析：2x 、9x+1、1x−1三项都不能乘积为定值，而与9x+1、1x−1乘积为定值的分别是x +1与 x −1，而它们的和刚好是2x ，故想到令2x =(x +1)+(x −1)，完成凑项. 【解析】2x +9x+1+1x−1=x +1+9x+1+x −1+1x−1≥2√(x +1)⋅9(x+1)+2√(x −1)⋅(1x−1)=8当且仅当x +1=3，x －1=1，即x =2时取等号， (用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号) 故2x +9x+1+1x−1的最小值是8.【典题3】设a >b >0，则ab +4b2+1b(a−b)的最小值是．【解析】∵a >b >0 ∴a −b >0； ∴ab +4b2+1b (a−b )=ab −b 2+1b(a−b)+b 2+4b2(这里巧妙地"−b 2+b 2"完成凑项)=[b (a −b )+1b (a−b )]+[b 2+4b2]≥2√b(a −b)×1b(a−b)+2√b 2×4b2=2+4=6．当且即当b(a −b)=1b(a−b)且b 2=4b2，即a =3√22,b =√2 时取等号， ∴ab +4b2+1b(a−b)的最小值为6．【点拨】凑项的目的是使得“ab 为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到4b 2、1b(a−b)的分母之和b 2+b (a −b )=ab ，刚好是所求式子的第三项ab .方法3 凑系数【典题1】若0<a <12，则a(1−2a)的最大值是．【解析】∵0<a <12，∴a >0且1−2a >0，则a (1−2a )=2a (1−2a )2≤12(2a+1−2a 2)2=18，当且仅当2a =1−2a ,即a =14时等号成立，即a(1−2a)的最大值为18. 【点拨】基本不等式的变形ab ≤(a+b 2)2，和定求积(若a +b 为定值，可求ab 的最值).本题中a +(1−2a )不是定值，故通过凑系数，使得2a +(1−2a )=1为定值从而求出最值. 本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”.【典题2】已知a ,b 为正数，4a 2+b 2=7，则a√1+b 2的最大值为．【解析】因为4a 2+b 2=7，则a√1+b 2=12(2a )√1+b 2≤12×(2a)2+(√1+b 2)22=12×4a 2+1+b 22=2，(这里用到了不等式ab ≤a 2+b 22，遇到二次根式可利用平方去掉根号)当且仅当4a2=1+b2时，取得最大值．【点拨】①不等式ab≤a 2+b22把ab，a2+b2两者联系在一起，知和a2+b2为定值，可求积ab的最值.②平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.21 a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时等号成立)方法4 巧“1”法【典题1】已知x>0，y>0，x+y=2，则√x+√y的最大值是．【解析】∵x+1≥2√x ,y+1≥2√y(当x=y=1时取到等号)(加“1” 巧妙的把x与√x，y与√y联系起来)相加得x+y+2≥2√x+2√y即2(√x+√y)≤4⇒√x+√y≤2，故最大值为2.【典题2】已知x>0，y>0，且2x +1y=2，则x+2y的最小值是．【解析】∵2x +1y=2∴12(2x+1y)=1x+2y=(x+2y)∙1=12(x+2y)(2x+1y)=12(2+xy+4yx+2)≥12(4+2√xy⋅4yx)=4，当且仅当xy =4yx时，即x=2,y=1时等号成立，故 x+2y的最小值为4.【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧"1"法最简洁了！【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a−2+1b的最小值为．【解析】若a+b=3，则(a−2)+b=1，(凑项再利用巧"1"法)则1a−2+1b=(1a−2+1b)×[(a－2)+b]=2+(ba−2+a−2b)，又由a>2 ,b>0，则ba−2+a−2b≥2√ba−2∙a−2b=2，当a=52,b=12时取到等号，则1a−2+1b=2+(ba−2+a−2b)≥4，即1a−2+1b的最小值为4.方法5 换元法【典题1】若x>1，则y=x−1x2+x−1的最大值为.【解析】令t =x −1，则x =t +1，t >0，原式=t(t+1)2+(t+1)−1=t t 2+3t+1=1t+1t +3≤√t⋅1t+3=15，当且仅当t =1即x =2时等号成立. 故y =x−1x 2+x−1的最大值为15.【点拨】本题是属于求函数y =a 1x 2+b 1x+c 1a 2x 2+b 2x+c 2的最值问题，它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.【典题1】若a,b ∈R ∗，a +b =1，则√a +12+√b +12的最大值 .【解析】设s =√a +12,t =√b +12，(遇到二次根式，用换元法达到去掉根号的目的)则a =s 2−12 ,b =t 2−12， ∵a +b =1 ∴s 2+t 2=2(这相当已知s 2+t 2=2求s +t 的最大值，想到算术均值≤平方和均值a+b 2≤√a 2+b 22)∴s+t 2≤√s 2+t 22=1⇒s +t ≤2即√a +12+√b +12≤2，故最大值为2. 【点拨】① 本题本来是“已知a +b =1求√a +12+√b +12的最大值 (1)”，通过换元法后变成“已知s 2+t 2=2求s +t 的最大值 (2)”.显然问题(2)比问题(1)看起来更舒服些，故换元法就能把问题的表示形式转化为令人“顺眼”些.你说√a+12+√b+122≤√(√a+12)2+(√b+12)22=√a+12+b+122=1⇒√a +12+√b +12≤2不更简洁？是的，它们的解法本质是一样的，换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路. ② 本题还有其他的解法，可多思考体会下数学思维的魅力！【典题2】设a 、b 是正实数，且a +2b =2，则a 2a+1+4b 22b+1的最小值是 .【解析】令a +1=s ，2b +1=t ，则a =s −1，2b =t −1；由题意得s ,t 为正实数，且s −1+t −1=2⇒s +t =4； ∴a 2a+1+4b 22b+1=(s−1)2s+(t−1)2t=s +t −4+1s +1t =1s +1t(以上纯是运算，没太大难度，作到这就相当于“已知s +t =4，求1s +1t 最小值”，较易想到巧“1”法)=14(1s+1t)(s +t)=14(2+ts+st)≥14(2+2√t s⋅st)=1．当且仅当s =t =2即a =1 ,b =12取到等号，即a 2a+1+4b 22b+1的最小值是1.【点拨】本题再次让你体验到换元法能把问题转化为更简单的形式，本题是分母“换元”，“宁愿分子复杂些，也想分母简单些”就这么朴素的想法！方法6 不等式法【典题1】已知a ,b ∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则a +b 的取值范围是 .分析：1+2ab=9a+b相当是“关于ab 与a +b 的方程”，而由基本不等式a +b ≥2√ab 又确定了“关于ab 与a +b 的不等关系”，那用“消元思想”不就得到a +b 的不等式么？！其范围就有了！【解析】∵a ,b ∈(0,+∞)，∴a +b ≥2√ab (∗)，由1+2ab=9a+b得ab =2(a+b)9−(a+b)代入不等式(∗)可得a +b ≥2√2(a+b )9−(a+b )，整理可得，(a +b )2－9(a +b)+8≤0，解得1≤a +b ≤8.【典题2】已知2a +b +2ab =3，a >0，b >0，则2a +b 的取值范围是 . 【解析】∵a >0，b >0，∴0<2ab ≤(2a+b)24(这要确定2ab 与2a +b 的关系，想法与上题相似，利用2ab 与2a +b 的等式关系与不等关系最终得到关于2a +b 的不等式) 而3−(2a +b)=2ab ∴0<3−(2a +b)≤(2a+b)24，解得2≤2a +b <3，∴2a +b 的取值范围是[2,3)．巩固练习1 (★★) 已知a +b +c =2，则ab +bc +ca 与2的比较．【答案】 ab +bc +ca <2 【解析】已知a +b +c =2，因为(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4，且a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ，所以3(ab +bc +ca)≤4，解得ab +bc +ca ≤43，所以ab +bc +ca 的值小于2．2 (★★) 已知x ，y ∈R +，若x +y +xy =8，则xy 的最大值为．【答案】 2【解析】∵正数x ，y 满足x +y +xy =8，∴8－xy =x +y ≥2√xy ，xy +2√xy −8≤0，解得0<√xy ≤2，故xy ≤4，当且仅当x =y =2时取等号． ∴xy 的最大值为43 (★★) 若x ，y ∈R +，且3x+1y =5，则3x +4y 的最小值是．【答案】5【解析】∵x ，y ∈R ∗，且3x+1y =5，∴3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(9+4+3x y+12y x)=135+35(x y +4y x)≥135+35⋅2√x y⋅4y x=5，当且仅当xy =4yx，3x +1y =5即x =1，y =12时等号成立， 4 (★★) 函数y =x 2+x−5x−2(x >2)的最小值为．【答案】 7【解析】令x －2=t ，t >0； y =f(x)=x 2+x−5x−2=(t+2)2+t+2−5t=t 2+5t+1t=t +1t +5≥7(当且仅当t =1，即x =3时，等号成立)，故函数f(x)=x 2+x−5x−2，x ∈(2，+∞)的最小值为7，5(★★) 已知实数a 、b ,ab >0，则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为．【答案】 16【解析】由于a 2+b 2≥2ab >0，所以ab a 2+b 2+a 2b 2+4≤ab 2ab+a 2b 2+4，故：ab 2ab+a 2b 2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab⋅4ab=16，(当且仅当a =b 时，等号成立)．6 (★★) [多选题]下列说法正确的是( ) A ．x +1x (x >0)的最小值是2 B 2√x 2+2的最小值是√2C 2√x 2+4的最小值是2 D ．2−3x −4x 的最大值是2−4√3【答案】 AB【解析】由基本不等式可知，x >0时，x +1x≥2，当且仅当x =1x即x =1时取等号，故A 正确； B ：2√x 2+2=√x 2+2≥√2，当x =0时取得等号，故B 正确； C ：2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ≥2，因为y =t +1t在[2，+∞)上单调递增，当t =2时，取得最小值52，故C 错误； D ：2−(3x +4x )在x <0时，没有最大值，故D 错误．故选：AB ．7 (★★★) [多选题]设a >0，b >0，且a +2b =4，则下列结论正确的是( ) A ．1a +1b 的最小值为√2 B ．2a +1b 的最小值为2C ．1a +2b 的最小值为94 D ．ba+1+ab+1>87恒成立【答案】 BC【解析】因为a >0，b >0，且a +2b =4，对于A ，1a+1b=14(1a+1b)(a +2b)=14(3+2b a+a b)≥14(3+2√2)，当且仅当a =4√2−4，b =4−2√2时取等号，故选项A 错误；对于B ，2a+1b=14(2a+1b)(a +2b)=14(4+4b a+a b)≥14(4+4)=2，当且仅当a =2，b =1时取等号，故选项B 正确；对于C ，1a +2b =14(1a +2b )(a +2b)=14(5+2b a+2ab)=14(5+4)=94，当且仅当a =43，b =43时取等号，故选项C 正确；对于D ，当a =43，b =43时，a +2b =4，但ba+1+ab+1=4343+1+4343+1=87，故选项D 错误．故选：BC ．8(★★★)若实数m ，n >0，满足2m +n =1，以下选项中正确的有( ) A ．mn 的最小值为18 B ．1m +1n 的最小值为4√2 C ．2m+1+9n+2的最小值为5 D ．4m 2+n 2的最小值为12【答案】 D【解析】∵实数m ，n >0，∴2m +n =1≥2√2mn ，整理得：mn ≤18，当且仅当{n =12m =14时取“=“，故选项A 错误；∵1m +1n =(2m +n)(1m +1n )=3+nm +2m n≥3+2√2，当且仅当{m =2−√22n =√2−1时取“=“，故选项B 错误；∵2m +n =1，∴2(m +1)+(n +2)=5， ∴2m+1+9n+2=15[2(m +1)+(n +2)](2m+1+9n+2) =15[13+2(n+2)m+1+18(m+1)n+2]≥15(13+2√36)=5，当且仅当{m =0n =1时取“=“，∴2m+1+9n+2>5，故选项C 错误； ∵2m +n =1，∴1=(2m +n )2=4m 2+n 2+4mn =4m 2+n 2+2√4m 2•√n 2≤2(4m 2+n 2)， ∴4m 2+n 2≥12，当且仅当{n =12m =14时取“=“，故选项D 正确，故选：D ．9 (★★★) 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b的最小值为．【答案】 11【解析】正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b =2a +2b +1a +4b =2+(1a +4b )(a +b)=7+b a +4a b≥7+4=11，当且仅当ba=4a b且a +b =1即b =23，a =13时取等号，10 (★★★) 若正数x 、y 满足x +4y −xy =0，则4x+y 的最大值为．【答案】 49【解析】∵正数x 、y 满足x +4y −xy =0， ∴y =x x−4>0，解得x >4，∴4x+y=4x+x x−4=4x+1+4x−4=4x−4+4x−4+5≤2√(x−4)⋅4x−4+5=49，当且仅当x －4=4x−4时等号成立， ∴4x+y的最大值为49．11 (★★★) 已知0<a <1，则11−a +4a 的最小值是．【答案】 9【解析】0<a <1，则11−a+4a=(11−a+4a)[(1－a)+a]=5+a1−a +4(1−a)a≥5+4=9，12 (★★★) 已知a ，b ∈R ，a +b =2，则1a 2+1+1b 2+1的最大值为．【答案】 √2+12【解析】a ，b ∈R ，a +b =2．则1a 2+1+1b 2+1=a 2+b 2+21+a 2+b 2+(ab)2=(a+b)2−2ab+21+(a+b)2−2ab+(ab)2=6−2ab5−2ab+(ab)2=4−2(ab−1)(ab−1)2+4，令t =ab －1=a(2－a)－1=－(a －1)2≤0，则4−2(ab−1)(ab−1)2+4=4−2tt 2+4，令4－2t =s(s ≥4)，即t =4−s 2，可得4−2tt 2+4=s 4+(4−s)24=4s+32s−8，由s +32s ≥2√s ⋅32s=8√2，当且仅当s =4√2，t =2－2√2时上式取得等号，可得4s+32s−8≤8√2−8=√2+12，则1a 2+1+1b 2+1的最大值为√2+12， 13 (★★★) 若正数a ，b 满足1a +1b =1，则aa−1+4bb−1的最小值为．【答案】 9【解析】∵正数a ，b 满足1a +1b =1，∴a >1，且b >1；1a+1b=1变形为a+b ab=1，∴ab =a +b ，∴ab −a −b =0，∴(a －1)(b －1)=1，∴a －1=1b−1；∴a －1>0，∴aa−1+4bb−1=5+1a−1+4b−1=5+1a−1+4(a −1)≥5+2√1a−1×4(a −1)=9，当且仅当1a−1=4(a －1)，即a =1±12时取“=”(由于a >1，故取a =32)， ∴a a−1+4bb−1的最小值为9；14 (★★★★) 已知实数a >0，b >－2，且满足2a +b =1，则2a 2+1a+b 2−2b+2的最小值是．【答案】 53【解析】∵实数a >0，b >－2，且满足2a +b =1， ∴b +2>0，2a +(b +2)=3，又∵2a 2+1a +b 2−2b+2=1a+2a +b −2+2b b+2=1a+1－2+2b+2=−1+1a+2b+2，∴2a 2+1a +b 2−2b +2=−1+13[2a +(b +2)](1a +2b +2)=－1+13(b+2a +4ab+2+4)≥－1+13(2√4+4)=53，当且仅当{a =34b =−12时取“=“，故答案为：53．15 (★★★★) 已知x >0，y >0，则2xyx 2+8y 2+xy x 2+2y 2的最大值是．【答案】 23【解析】2xy x 2+8y 2+xyx 2+2y 2=3x 3y+12xy 3x 4+10x 2y 2+16y 4 =3(x y +4yx)(x y )2+16(yx)2+10=3(x y +4yx )(x y +4yx)2+2=3(x y +4y x)+2x y +4y x，令t =x y +4yx，则t ≥2√xy ⋅4y x=4，当且仅当x =2y 时取等号，∵函数y =t +2t ，在[4，+∞)上单调递增，∴y =t +2t的最小值为：92，∴y =t +2t ≥92， ∴3(x y +4y x)+2x y +4y x=3t+2t≤23．∴2xyx 2+8y 2+xyx 2+2y 2的最大值为：23．故答案为：23．16 (★★★★) 设实数x,y 满足x 24−y 2=1，则3x 2−2xy 的最小值是 .【答案】 6+4√2【解析】方法1 3x 2−2xy =3x 2−2xyx 24−y 2=3−2y x 14−(y x)2令t =yx ，∵x 24−y 2=1 ∴x 24−t 2x 2=1⇒t 2=14−1x2<14⇒−12<t <12，则3x 2−2xy =3−2t14−t 2再令u =3−2t (2<u <4) 则3x 2−2xy =u14−(3−u 2)2=4u −u 2+6u−8=4−(u+8u)+6≥−4√2+6=6+4√2当且仅当u =2√2时取到等号，方法2 ∵x 24−y 2=1 ∴(x 2−y)(x2+y)=1令t =x2+y ，则x2−y =1t ， ∴x =t +1t ,y =12(t −1t )∴3x 2−2xy =3(t +1t )2−2(t +1t )(t −1t )=2t 2+4t 2+6≥4√2+6=6+4√2 当且仅当t 2=√2时取到等号.挑战学霸方程(x 2018+1)(1+x 2+x 4+⋯+x 2016)=2018x 2017的实数解的个数为．【答案】1【解析】由题意知x>0，设S=1+x2+x4+⋯+x2014+x2016①，则S=x2016+x2014+x2012+⋯+x2+1②，所以①+②得2S=(x2016+1)+(x2+x2014)+(x4+x2012)+⋯+(x2014+x2)+(x2016+1)≥2√x2016∙1+2√1∙x2016+2√x2∙x2014+⋯+2√x2016∙1=2018x1008(当且仅当x=1时等号成立)所以S≥1009x1008，又因为x2018+1≥2√x2018∙1(当且仅当x=1时等号成立)，所以(x2018+1)(1+x2+x4+⋯+x2014+x2016)≥2√x2018∙1×1009x1008=2018x2017当且仅当x=1时等号成立，因此实数解的个数为1.。

4.不等式性质及解不等式(教师版) WPS文字文档

不等关系性质及解不等式学习目标：① 不等式的性质② 解一元二次不等式、分式不等式绝对值不等式一、基础知识1.实数大小比较的基本事实：(1) a>b ⇔_______; (2) a=b ⇔_______ ; (3) a<b ⇔_______. 要确定任意两个实数a,b 的大小关系，只需确定它们的________与_____的大小关系即可。

2.不等式的基本性质：(1）对称性a>b ⇔b___a; （2）传递性：a>b,b>c ⇒a____c;（3）a>b, ⇒a+c____b+c; （4）a>b,c>0⇒ac___bc;（5）a>b,c<0⇒ac___bc; （6）a>b>0⇒n n b ___a (2n ,N n ≥∈);（7）a>b>0⇒n n b ___a (2n ,N n ≥∈)（8）a>b,c>d ⇒a+c____b+d;(9) a>b>0,c>d>0⇒ac____bd;(10)a>b,ab>0⇒a 1___b1.3.一元二次不等式的解法：（a>o 且0>∆时，简记为：小在中间，大在两边）设二次函数c bx ax )x (f 2++=（a>0），判别式4ac b 2-=∆，则△>0△=0△<0f(x)>0f(x)<0判别式函数y=f(x)的简图不等式的解集方程f(x)=0的解4．高次不等式和分式不等式的解法----穿根法穿根法的要领是：从右往左，从上到下，奇次根穿而过，偶次根穿而不过。

5.含有绝对值的不等式的解法：a x a )0a (a x <<-⇔><，图示：___________ax a x )0a (a x >-<⇔>>或. 图示：___________ 6.几种常见类型的不等式的解法---图解法：（1）|ax+b|≤c ;（2）|ax+b|≥c;注意：（1）x 系数必须化为1；（2）差的绝对值才可以看作是两点的距离简记为：小在中间，大在两边二、题型归类（一）不等式的基本性质a 、比较大小（作差、作商比较法）1、已知x y R ∈，，且x y >，比较33x y -与22xy x y -的大小。

含参不等式的解法(教师版)

For personal use only in study and research; not for commercial use当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当m>3时, 原不等式的解集为∅。

小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。

⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。

⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。

专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法(教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

【考点预测】1高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题05一元二次不等式与其他常见不等式解法、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上.（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或.②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且.③若0∆<，解集为R .(2)当0a <时，二次函数图象开口向下.①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅2、分式不等式（1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f xg x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，．3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[1(∞+---∞，，nm 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推．4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法题型二：含参数一元二次不等式的解法题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式题型四：其他不等式解法题型五：二次函数根的分布问题【典例例题】题型一：不含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（）A ．{2}x x <-∣B ．{1}x x >∣C ．{21}x x -<<∣D ．{2∣<-xx 或1}x >【答案】D 【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法求得正确答案即可.【详解】由(2)(1)0x x +->解得2x <-，或1x >，所以不等式(2)(1)0x x +->的解集为{2∣<-x x 或1}x >，故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（）A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-【答案】D 【解析】【分析】根据指数型函数的定点求解,m n ，代入后再求解一元二次不等式.【详解】当2x =时，()220255154f a a -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-.故选：D例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 解析式，可得()f x 的单调性，根据条件，可得x +2＜x 2+2x ，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.【详解】函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，可得x ≥0，()f x 递增；当x ＜0时，()f x 递增；且x =0时函数连续，所以()f x 在R 上递增，不等式()2f x +<()22f x x +，可化为x +2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）.故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（）A ．m C ．0m >D ．m >或m <【答案】B 【解析】【分析】根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论.【详解】当0m =时，该不等式为210x -+>，解集为12x <，不成立；当0m ≠时，由不等式的解集为R ，得()()2Δ2410m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得m >故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性定义可知()f x 为偶函数，并根据指数函数和二次函数单调性确定()f x 的单调性，从而将所求不等式转化为124x x +≥-，解不等式可求得结果.()f x 定义域为R ，()()()2233x x f x x x f x --=+-=+=，()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称；当0x ≥时，()23x f x x =+，又3x y =，2y x 在[)0,∞+上均为增函数，()f x ∴在[)0,∞+上为增函数，则()f x 在(],0-∞上为减函数；由()()124f x f x +≥-可得：124x x +≥-，即()()22124x x +≥-，解得：15x ≤≤，即不等式()()124f x f x +≥-的解集为[]1,5.故选：D.【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：原不等式可以转化为：()()120x ax --≥，当0a <时，可知2()(1)0x x a--≤，对应的方程的两根为1，2a，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：2[,1]a.故选：A.例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x a ⎫<⎭D ．1|x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】当1a <-时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集.【详解】因为1a <-，所以1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭等价于1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，又因为当1a <-时，1a a >，所以不等式1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为：{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭．故选：A ．【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y -=-，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m <<）的解集为（）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m >C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<【答案】A 【解析】【分析】先判断函数()f x 单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得()()20mx x m --<，解不等式即得解.【详解】任取12x x <，由已知得()120f x x ->，即()()120f x f x ->，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m ->-，即()22f mx x f ->()22m x m -，所以2222mx x m x m -<-，即()22220mx m x m -++<，即()()20mx x m --<，又因为0m <<所以2m m>，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.例9．（2022·全国·高三专题练习）在关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是A ．(3,5)-B ．(2,4)-C ．[3,5]-D ．[2,4]-【答案】D 【解析】【详解】因为关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<可化为(1)()0x x a --<，当1a >时，不等式的解集为1x a <<，当1a <时，不等式的解集为1<<a x ，要使得解集中至多包含2个整数，则4a ≤且2a ≥-，所以实数a 的取值范围是[2,4]a ∈-，故选D.点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】()(),22,∞∞--⋃+【解析】【分析】由题意0a ≠，求出方程2220ax x a --=的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.【详解】解：由题意0a ≠，令2220ax x a --=，解得两根为1211x x a a ==+120,0x x <>，当0a >时，解集{}{}12||A x x x x x x =<> ，因为120,1x x <>，所以A B ⋂≠∅的充要条件是22x <，即12a <，解得2a >；当0a <时，解集{}12|A x x x x =<<，因为120,2x x <<，所以A B ⋂≠∅的充要条件是21>x ，即11a>，解得2a <-；综上，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R.(1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)能；2k =-，B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A .（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.(1)当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k>+}；当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}．(2)由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围【答案】12ln2(,]43-【解析】【分析】将不等式转化为22ln 2(1)x xm x ->+，构造函数22ln ()=2(1)x x f x x -+，利用导数判断单调性，结合题意即可求解.【详解】关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<化为：22ln 2(1)x xm x ->+，令22ln ()=2(1)x xf x x -+，0x >，则3222222ln ()2(1)x x x x xf x x x +--+'=+．令32()2222ln u x x x x x x =+--+，2()342ln u x x x x '=++在(0,)+∞上单调递增，因此存在0(0,1)x ∈，使得20000()342ln 0u x x x x '=++=，20002ln 34x x x =--，3232232200000000000000000()2222ln 222(34)22222(1)(1)0u x x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+=+--+--=----=-++<，u （1）10=-<，u （2）104ln20=+>．因此存在1(1,2)x ∈，使得1()0u x =，因此函数()f x 在1(0,)x 内单调递减，在1(x ,) +单调递增．f （1）14=，f （2）2ln23-=．关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，∴实数m 的取值范围是12ln2(,]43-．【方法技巧与总结】1．数形结合处理．2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（）A ．2-B ．1C ．2D ．8【答案】C 【解析】【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数1a =，确定2b ≥，然后结合基本不等式得最小值．【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为m ，4m ，∴44m m a ⋅=，∴1a =，42m b m +=-，则424b m m=-+≥-，即2b ≥，44244b b a b b+=+≥，当且仅当4b =时取“=”，故选：C.例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（）AB．CD．【答案】D 【解析】【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出124x x a +=，2123x x a =，再用基本不等式求出最值【详解】22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则12x x ，是方程22430-+=x ax a 的两个根，故124x x a +=，2123x x a =，故1212143a x x a x x a++=+因为0a <，所以有基本不等式得：114433a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当143a a -=-即a =时，等号成立，所以1212a x x x x ++的最大值为故选：D（多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集判断出0a >，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD 选项的正确性.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确；且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误；不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确.故选：ABD .例16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式303x ax -<-的解集为___________.【答案】{}23x x <<【解析】【分析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭可得参数a 的值，则不等式303x ax -<-也具体化了，按分式不等式解之即可.【详解】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，故6a =，则不等式303x a x -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<，不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<，则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<，故答案为：{}23x x <<.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --<的解集是________.【答案】{|23}x x <<【解析】【分析】根据给定的解集求出a ，b 的值，再代入解不等式即可作答.【详解】依题意，12-，13-是方程210ax bx --=的两个根，且0a <，于是得11()()23111()(23b aa ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得：6,5ab =-=，因此，不等式20x bx a --<为：2560x x -+<，解得23x <<，所以不等式20x bx a --<的解集是{|23}x x <<.故答案为：{|23}x x <<【方法技巧与总结】1．一定要牢记二次函数的基本性质．2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．题型四：其他不等式解法例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______．【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由12x >可得120x->，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】由12x >可得120x ->，整理可得：120x x ->，则()210x x -<，解可得：102x <<.所以不等式是12x >的解集为:10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________.【答案】()1,0-【解析】【分析】根据分式不等式的解法进行求解.【详解】1111000101111x x x x x x x ->⇒->⇒>⇒<⇒-<<++++,故答案为：()1,0-.例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________.【答案】02xx <-【解析】【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论.【详解】一个解集为()0,2的分式不等式可以是02xx <-，故答案为：02xx <-.（答案不唯一）例21．（2022·上海·高三专题练习）关于x230≥的解集为_________.【答案】[4,5)【解析】【分析】通过2330x x -+>0≥恒成立，将不等式最终转化为405010x x x -≥⎧⎪->⎨⎪+≠⎩，解出即可.【详解】解：对于233x x -+，有23340∆=-⨯<，则2330x x -+>恒成立，0≥恒成立，2323(34)00150x x x x ⎧--≥⎪≥⇔+⎨⎪->⎩又2333(34)(4)(1)11x x x x x x ---+=++，23(34)0150x x x x ⎧--≥⎪∴+⎨⎪->⎩，2333(34)(4)(1)x x x x --=-+405010x x x -≥⎧⎪∴->⎨⎪+≠⎩解得不等式的解集为[4,5).故答案为：[4,5).【点睛】本题考查分式不等式的求解，发现部分因式恒大于零，以及分母不为零是解题的关键，是中档题.例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法:解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-.参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____.【答案】()()3,11,2 --.【解析】【分析】关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++可看成前者不等式中的x 用1x 代入可得不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集.【详解】若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++可看成前者不等式中的x 用1x代入可得，则1111,,132x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3,11,2x ∈--⋃.故解集为：()()3,11,2 --.【点睛】本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．2．根式不等式绝对值不等式平方处理．题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0, +C ．()1,+∞D ．(),0-∞【答案】C 【解析】【分析】由0a ≠，判别式0∆>及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围.【详解】因为关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，所以2044010a a a a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩，解得1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.故选：C例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解.【详解】已知函数321()13f x x ax x =+++，则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得5534a -≤≤-，所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】化简函数f （x ），根据f （x ）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，f ′（x ）≤0恒成立，由此解不等式求出a 的取值范围．【详解】由函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-，且f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A .【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（）A ．196B ．3C ．103D ．92【答案】AC 【解析】【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于m 的方程，再根据根的分布求a 的取值范围，最后判断得到答案即可.【详解】解：∵322()13f x x x ax =-+-，∴2()22f x x x a '=-+，可令切点的横坐标为m ，且0m >，可得切线斜率2223k m m a =-+=即22230m m a -+-=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨⋅>⎩，即2242(3)0302a a ⎧-⨯⨯->⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<，所以a 的取值可能为196，103.故选：AC.【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+.【解析】根据一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得答案.【详解】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证：(Ⅰ)0a >且21ba-<<-；(Ⅱ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）先由条件求得,a c 的符号，结合条件可得；（Ⅱ）根据(0),(1)()3bf f f a-的符号可得.【详解】（Ⅰ）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>.由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>.故21ba-<<-.（Ⅱ）函数2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为23(,)33b ac b a a --，在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333b a <-<.又因为(0)0,(1)0,f f >>而22(0,33b a c acf a a+--=-<又因为2()32f x ax bx c =++在(0,)3b a -上单调递减，在(,1)3ba-上单调递增，所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -与(,1)3ba-内分别各有一实根.【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（）A ．{}22x x -≤≤B ．{}42,3x x x -≤≤≠-C ．{}34x x ≤≤D ．{}34x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合,A B ，然后根据并集的定义即可求解.【详解】解：因为集合{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，()(){}2302032330x x x B x x x x x x ⎧⎫⎧-+≤⎧⎫-⎪⎪=≤==-<≤⎨⎬⎨⎨⎬++≠⎩⎭⎩⎪⎪⎩⎭，所以{}34A B x x ⋃=-<≤，故选：D.2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】2,20x x x a ∃∈-+<R ，列出不等式，求出1a <，从而判断出答案.【详解】2,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件.故选：B3．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合 234|0A x x x ，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可.【详解】解：由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅ ，所以，当{}2|B x a x a =<<=∅时，2a a ≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞ ，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞.故选：D4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(【答案】C 【解析】【分析】根据函数解析式判断函数关于点(1,0)成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求解即可.【详解】()()ππln ln 2cos ln 2ln cos(π)0)2()(22f x f x x x x x x x ----+----=+= ，()f x ∴图象关于点(1,0)成中心对称，又()()ln ln 2cos2f x x x x π=---的定义域为(0,2)，由πln ,ln(2),cos2y x y x y x ==--=-在(0,2)上单调递增知，()()ln ln 2cos2f x x x x π=---在(0,2)上递增，()()20f t f t +< ，()20(2)f f t t ∴+-<-，即()2(2)f t f t <-，22t t ∴<-，解得21t -<<，又20202t t <<⎧⎨<<⎩，解得0t <，所以01t <<.故选：C5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可.【详解】解：因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<，所以，实数a 的取值范围是31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．[1,3]-B ．75,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[1,-D．[1,【答案】A【分析】令1sin ,[,1]2t x t =∈，则||2t t k -≤.对k 进行讨论，即可求出答案.【详解】令1sin ,[,1]2t x t =∈，则||2t t k -≤.（1）当12k <时，则2()220t t k t kt -≤⇒--≤，令2()2g t t kt =--，max ()(1)101g t g k k ==--≤⇒≥-.故112k -≤<.（2）当1k >时，则2()220t k t t kt -≤⇒-+≥，令2()2g t t kt =-+①当12k<时，212k k <⇒<<，则22min ()()201242k k k g t g k ==-+≥⇒<≤②当12k≥时，2k ≥，则min ()(1)120323g x g k k k ==-+≥⇒≤⇒≤≤故13k <<（3）当112k ≤≤时，则||2t t k -≤在1[,1]2t ∈上恒成立，故112k ≤≤.综上所述：[1,3]k ∈-故选：A.7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b +=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞【答案】A【分析】首先判断0,0a b >>，再化简()214224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求解.【详解】解：设方程2320x x ab --=的两个异号的实根分别为1x ，2x ，则1203abx x =-<，0ab ∴>．又211a b+=，0a ∴>，0b >，则()21422448a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当4a =，2b =时取“=”），由不等式222a b m m +>+恒成立，得228m m +<，解得42m -<<．∴实数m 的取值范围是()4,2-．故选：A ．8．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为()A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)【答案】C 【解析】【分析】把不等式看作是关于a 的一元一次不等式，然后构造函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，由不等式在[1-，1]上恒成立，得到(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，求解关于a 的不等式组得x 得取值范围．【详解】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．9．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2sin sin 20x a x -+≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 可能是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】ABC 【解析】【分析】利用换元法令sin t x =，不等式可整理为220t at -+≥在(]0,1t ∈上恒成立，即2a t t ≤+，即min2a t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，求函数的最小值即可得解.【详解】设sin t x =，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(]0,1t ∴∈则不等式2sin sin 20x a x -+≥对任意0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，即转化为不等式220t at -+≥在(]0,1t ∈上恒成立，即转化为222t a t t t +≤=+在(]0,1t ∈上恒成立，由对勾函数知2y t t =+在(]0,1t ∈上单减，min 2131y =+=，3a ∴≤故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，利用换元法结合对勾函数的单调性求出函数的最值是解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于一般题.10．（2022·江苏·高三专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有（）A ．0a C ．20cx bx a ++>的解集为11x x n m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．20cx bx a ++>的解集为{1x x n <或}1x m>【答案】AC 【解析】由一元二次不等式的解法，再结合根与系数的关系逐个分析判断可得答案【详解】解：因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，所以0a <，,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，所以A 正确；所以b m n a c mn a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得()b m n a c mna =-+⎧⎨=⎩，因为0m >，m n <，所以0n >，又由于0a <，所以0c mna =<，所以B 错误；所以20cx bx a ++>可化为2()0mnax m n ax a -++>，即2()10mnx m n x -++<，即(1)(1)0mx nx --<，因为0n m >>，所以11n m<，所以不等式20cx bx a ++>的解集为11x x n m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，所以C 正确，D 错误，故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法的应用，解题的关键由一元二次不等式的解法可知0a <，且,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，再利用根与系数的关系得b m n a c mn a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再求得()b m n a c mna =-+⎧⎨=⎩，从而可求解不等式20cx bx a ++>，考查转化思想，属于中档题11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()222f x x mx m =--，则下列命题正确的有（）A ．当0m ≠时，()0f x <的解集为2mx x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．当1m =时，[)12,1,x x ∀∈+∞时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．121,,4x x m ⎛⎤∀∈-∞ ⎥⎝⎦且12x x ≠时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．当0m <时，若120x x <<，则()()2112>x f x x f x 【答案】BC 【解析】对于A ，分0m >和0m <时求解不等式；对于B ，根据函数的单调性可判断；对于C ，根据函数的单调性，任取两点，根据数形结合的方式可判断；对于D ，构造函数()()(0)f x g x x x=>，看作()y f x =在y 轴右侧图象上的点与原点所在直线的斜率,数形结合可判断单调性，即可得出结果.对于A ，由2220x mx m --<得()(2)0x m x m -+<，当0m >时，原不等式的解集为|2m x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0m <时，原不等式的解集为|2m x m x ⎧⎫<<-⎨⎩⎭，故A 错误；对于B ，1m =时，2219()212(48f x x x x =--=--在[)1+∞，上是增函数，则1212()()0f x f x x x ->-，即()[]1212()()0x x f x f x -->，故B 正确；对于C.()f x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦m 上单调递减，当121,4x x m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦,时，设11(,())A x f x 、()22,()B x f x ，则AB 的中点C 1212()(),22x x f x f x ++⎛⎫⎪⎝⎭，又设1212,22x x x D f x ⎛⎫⎛++⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数形结合可知，点D 位于点C 的下方，即1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故C正确；对于D ，设()()(0)f x g x x x=>，则()g x 表示()y f x =在y 轴右侧图象上的点与原点所在直线的斜率,数形结合可知，()g x 是增函数，当120x x <<时，12()()<g x g x ，则1212()()f x f x x x <，即2112()()x f x x f x <，故D 错误.故选：BC.关键点睛：本题考查二次函数性质的综合应用，对于CD 选项的判断，关键是根据函数的单调性，利用数形结合的方法进行判断.12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x ，y 的关系式(,)(1)f x y x y =-，则以下说法正确的是（）A ．(1,3)(3,1)0f f ==B ．对任意实数a ，都有1(,)4f a a ≤成立C ．若对任意实数x ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数a 的取值范围是[5,3]-D ．若对任意正实数a ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数x 的取值范围是(,0)-∞【答案】BC 【解析】【分析】(1,3)f 和(3,1)f 的值直接代入即可求得，1(,)4f a a ≤转化为求二次函数最大值的问题，若对任意实数x ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立转化为关于x 的二次函数与x 轴至多有一个交点的问题，若对任意正实数a ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立转化为关于a 的一次函数在0a >内恒大于等于零恒成立的问题.【详解】对于选项A ，()(1,3)1132f =⨯-=-，()(3,1)3110f =⨯-=，即(1,3)(3,1)f f ≠，则A 选项错误；对于选项B ，()22211111(,)144244f a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=--++=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则B 选项正确；对于选项C ，()()()2(,)114f x a x x a x x a x a a -=--=-++-≤-+恒成立，即()2140x a x -++≥恒成立，则()21160a ∆=+-≤，解得53a -≤≤,即实数a 的取值范围是[5,3]-，则C选项正确；对于选项D ，()2140x a x -++≥恒成立，令()24 0y ax x x a =-+-+>，当0x >时，该函数看成关于a 的一次函数，函数单调递减，不可能恒大于0，当0x =时，40y =≥成立，当0x <时，该函数看成关于a 的一次函数，函数单调递增，当0a =时，24y x x =-+211544x x =-++2115024x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，则实数x 的取值范围是(],0-∞，则D 选项错误；故选：BC .三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）不等式210ax x c a++>的解集为{|21}x x -<<，则函数y【答案】[0,1]【解析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出a ，c 的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间.【详解】由题知-2和1是210ax x c a++=的两根，由根与系数的关系知-2+1=21a -，−2×1＝c a，由不等式的解集为{|21}x x -<<，可知0a <，12a c ∴=-=，，则y ==因为函数y =[]0,2x ∈，令()22g x x x =-+则该函数的增区间为(],1-∞所以y =[]0,1故答案为：[]0,1.14．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(3)16x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数b 的取值范围是___________.【答案】()5,7【解析】【分析】首先解一元二次不等式，求出不等式的解集，再根据解集中整数的情况，得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为2(3)16x b -<，所以()()34340x b x b -+--<，解得4433b b x -+<<，所以原不等式的解集为44|33b b x x -+⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，又解集中的整数有且仅有1，2，3，所以40134343b b -⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩ 解得：57b <<，即()5,7b ∈，故答案为：()5,7．15．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2220x a x a -++->恰有1个正整数解，则a 的取值范【答案】()(],13,4-∞ 【解析】【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对a 进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出a 的取值范围【详解】不等式()2220x a x a -++->等价于()2220x a x a -++<.令()2220x a x a -++=，解得2x =或x a =.当2a >时，不等式()2220x a x a -++<的解集为()2,a ，要想恰有1个正整数解，则34a < ；当2a =时，不等式()2220x a x a -++<无解，所以2a =不符合题意；当2a <时，不等式()2220x a x a -++<的解集为(),2a ，则1a <.综上，a 的取值范围是()(],13,4-∞ .故答案为：()(],13,4-∞ 16．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c R ∈，对任意满足1x 的实数x ，都有21ax bx c ++ ，则a b c ++的最大可能值为__.【答案】3【解析】【分析】可先通过赋值0x =，判断1c ≤，再令1,0c b =-=，结合二次函数最值，可得所求最大值.【详解】任意满足1x 的实数x ，都有21ax bx c ++ ，若0x =，则1c ，可取1c =-，0b =，可得211ax - ，即22ax ≤恒成立，由于201x ，可得a 最大取2，可得3a b c ++ ，即有a b c ++的最大可能值为3.故答案为：3.四、解答题17．（2022·北京·高三学业考试）已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)．(1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集．【答案】(1)2()1f x x =+；。

一元一次不等式的解法(教师版)

一元一次不等式的解法（基础)知识讲解【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2。

能够熟练解一元一次不等式；3。

掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式．要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜"、“≤”、“≥”或“＞”连接,不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接,等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1。

解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法:与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式,解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母;（2)去括号；(3）移项；（4）化为ax b >(或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.要点诠释：(1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时,若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘以(或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变．要点三、不等式的解及解集1。

不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法(1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x —2≤6的解集为x ≤8．（2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点":若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言,x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？(1)3x+5＝0 （2)2x+3＞5 （3)384x < （4)1x≥2 (5）2x+y ≤8 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断,（1）是等式;(4)不等式的左边不是整式；（5)含有两个未知数．【答案与解析】解：（2）、(3）是一元一次不等式．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．类型二、解一元一次不等式2.解不等式：2)1x (3)1x (2-+<-，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【答案与解析】解:去括号，得:23x 32x 2-+<-移项、合并同类项，得:3x <-系数化1得:3x ->这个不等式的解集在数轴上表示如图：【总结升华】在不等式的两边同乘以（或除以）负数时，必须改变不等号的方向．举一反三：【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ）.【答案】C 。

专题2.1-2.3 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集(教师版)

专题2.1-2.3 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集1．理解不等式的意义，能用不等关系符号刻画现实世界中的数量关系；2. 掌握不等式的三条基本性质，并能简单应用；3.认识不等式解集的概念并会在数轴上表示解集。

知识点01 不等式与不等式的基本性质【知识点】1、不等式的概念：一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．2、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【知识拓展1】不等式的辨别例1．（2022·浙江·八年级练习）下列各式：①1﹣x：②4x+5>0；③x<3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】依据不等式的定义：用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【详解】解：根据不等式的定义可知，所有式子中是不等式的是②4x+5>0；③x<3，有2个．故选：B．【点睛】本题主要考查了不等式的定义，用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．【即学即练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市八年级期中）下列式子①15xx<+；②1>2；③3m-1≤4；④a+2≠a-2中，不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式”分析即可．【详解】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析可知，上述四个式子都是不等式．故选D．【点睛】本题考查了不等式的定义，理解不等式的定义是解题的关键．2．（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）下列选项正确的是（）A．a不是负数，表示为0a>B．a不大于3，表示为3a<C．x与4的差是负数，表示为40x-<D．x不等于34，表示为34x>【答案】C【分析】由题意先根据非负数、负数及各选项的语言表述列出不等式，再与选项中所表示的进行比较即可得出答案．【详解】解：A．a不是负数，可表示成0a…，故本选项不符合题意；B．a不大于3，可表示成3a…，故本选项不符合题意；C．x与4的差是负数，可表示成40x-<，故本选项符合题意；D．x不等于34，表示为34x≠，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查不等式的定义，解决本题的关键是理解负数是小于0的数，不大于用数学符号表示是“≤”．【知识拓展2】不等式应用例2．（2021·北京市八年级期中）2020年，一直活跃在全球公众视线中的新冠疫苗，成为人类对抗新冠疫情的“关键先生”．然而，研发只是迈出了第一步，疫苗运输的第一关考验，在于温度．作为生物制品，疫苗对温度极其敏感．一般来说，疫苗冷链按照温度的不同，有如下分类：类型深度冷链冻链冷藏链温度（t℃）t≤﹣70﹣70＜t≤﹣202≤t≤8常见疫苗埃博拉疫苗水痘、带状疱疹疫苗流感疫苗我国研制的新型冠状病毒灭活疫苗，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于以下哪种冷链运输（）A．深度冷链B．冻链C．冷藏链D．普通运输【答案】C【分析】直接根据不等式的定义，观察表中t的范围可得答案．【详解】解：根据图表中t的取值范围得：冷链运输和储存需要在2℃—8℃范围内，属于冷藏链运输．故选：C．【点睛】此题考查的是不等式的概念，掌握不等式的概念：用“>”或“<”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式是解决此题关键．【即学即练】1．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）根据数量关系“x的3倍小于4”，列不等式为______．【答案】34x<【分析】根据题意，表示出x的3倍，即可求解．【详解】解：“x的3倍小于4”，可表示为34x<x<故答案为：34【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．2.（2022·广东·八年级期末）在新冠肺炎疫情防控期间，体温T超过37.3C°的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3C °”用不等式表示为（）A ．37.3CT >°B ．37.3C T <°C ．37.3C T £°D ．37.3CT £-°【答案】A【分析】超过37.3C °即大于37.3C °，用不等式表示出来即可．【详解】解：A 、表示超过37.3C °，选项正确；B 、表示低于37.3C °，选项错误；C 、表示不高于37.3C °，选项错误；D 、表示不高于37.3C -°，选项错误．故选：A【点睛】本题考查不等式的概念，根据定义解题是关键．【知识拓展3】不等式的性质例3．（2022·湖南汉寿·八年级期末）下列不等式变形中不正确的是（）A ．由a b >，得11a b ->-B ．由12a b -<，得2a b >-C ．由1123a b >，得32a b >D ．由31a ->，得13a >-【答案】D【分析】根据不等式的性质，比较每一个选项变形是否符合不等式的性质，选出正确答案即可．【详解】A 、a b >，得11a b ->-，根据不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式仍然正确，可知A 正确，不符合题意；B 、由12a b -<，得2a b >-，根据不等两边同时乘一个负数，不等号方向改变，可知B 正确，不符合题意；C 、由1123a b >，得32a b >，根据不等两边同时乘一个正数，不等号方向不变，可知C 正确，不符合题意；D 、由31a ->，得13a <-，根据不等两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可知D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．【即学即练】1．（2022·浙江新昌·八年级期末）如果a b >，那么下列结论一定正确的是（）A ．33a b +<+B ．22a b <C ．34a b +>+D ．33a b ->-【答案】D【分析】根据不等式的基本性质求解即可．【详解】解：A 、如果a b >，则33a b +>+，错误，不符合题意；B 、如果a b >，则22a b >，错误，不符合题意；C 、如果a b >，则34a b +>+，不一定正确，不符合题意；D 、如果a b >，则33a b ->-，正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键．2．（2022·山东·八年级专项训练）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式．(1)15x -<；(2)413x -³；(3)1142x -+³；(4)410x -<-．【答案】(1)6x <(2)1³x (3)6x £-(4)52x >【分析】（1）根据不等式的性质1解答即可；（2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答；（3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答；（4）根据不等式的性质3解答即可；【解析】(1)解：15x -<，两边加上1得：1151x -+<+，解得：6x <；(2)解：413x -³，两边加上1得：41131x -+³+，即44x ³，两边除以4得：1³x ；(3)解：1142x -+³，两边减去1得：111412x -+-³-，即132x -³，两边除以12-得：6x £-；(4)解：410x -<-，两边除以4-得：52x >．【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．【知识拓展4】不等式性质的实际运用例4．（2022·山东·八年级期末）如图，A 、B 、M 、N 四人去公园玩跷跷板．设M 和N 两人的体重分别为m 、n ，则m 、n 的大小关系为（）A ．m ＜nB ．m ＞nC ．m ＝nD ．无法确定【答案】A【分析】设A ，B 两人的体重分别为a ，b ，根据题意列出等式和不等式，即可得出答案．【详解】解：设A ，B 两人的体重分别为a ，b ，根据题意得：a +m ＝n +b ，a ＞b ，∴m ＜n ，故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质，根据题意列出等式和不等式是解题的关键．【即学即练】1．（2022·湖南汉寿·八年级期末）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a 元，稍后又买了2只，平均每只羊b 元，后来他以每只2a b + 元的价格把羊全卖给了乙，结果甲发现赚了钱，赚钱的原因是（）A ．a b =B ．a b >C ．a b <D ．与a b 、大小无关【答案】C【分析】分别求出买5只羊的总费用和卖掉5只羊的总收入，再利用不等式的性质比较大小即可【详解】解：由题意，甲买羊共付出（32a b +）元，卖羊的共收入5()2a b +元，∵甲赚了钱，∴32a b +＜5()2a b +，解得：a b <，故选：C ．【点睛】本题考查列代数式、不等式的基本性质，理解题意，正确列出代数式和不等式是解答的关键．【知识拓展5】根据不等式性质求参数例5．（2022·浙江缙云·八年级期末）若x y <，且()()33->-a x a y ，则a 的取值范围是（）A ．3a C ．3a ³D ．3a £【答案】A【分析】根据不等式的性质求解即可．【详解】解：∵x y <，且()()33->-a x a y ，∴a -3<0，∴a <3，故选A ．【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．【即学即练】1．（2022·浙江西湖·八年级期末）已知x y >．(1)比较3x -与3y -的大小，并说明理由．(2)若33ax ay +>+，求a 的取值范围．【答案】(1)3−x ＜3−y (2)a ＞0【分析】（1）根据不等式的基本性质解答即可；（2）根据不等式的基本性质解答即可．【解析】(1)解：∵x＞y，∴−x＜−y，∴3−x＜3−y；(2)∵x＞y，3＋ax＞3＋ay，∴a＞0．【点睛】本题考查的是不等式的基本性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是掌握不等式的基本性质．知识点02 不等式的解集【知识点】1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：注意：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a 而言，x＜a或x≤a向左画．【知识拓展1】不等式的解例1．（2022·河北·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（）A．x＝3是不等式2x＞1的解B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解D．x＝3是不等式2x＞1的解集【答案】A【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；B 、当x ＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x ＝4也是不等式的解，故B 不符合题意；C 、当x ＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C 不符合题意；D 、当x ＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x ＞12，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】此题考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．【即学即练1】1．（2022·遂宁市八年级期中）下列各数中，是不等式x ＞3的解的是（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．5【答案】D【分析】根据不等式解的定义判断即可．【详解】5是不等式x ＞3的解．故选：D ．【点睛】此题考查了不等式的解集，弄清不等式解的定义是解本题的关键．2．（2022·北京顺义·八年级期中）x =3是下列不等式（）的一个解．A ．x +1<0B ．x +1<4C ．x +1<3D ．x +1<5【答案】D【分析】直接将x=3代入各个不等式，不等式成立的即为所选.【详解】解：A 、3+1=4>0，故A 不成立；B 、3+1=4，故B 不成立；C 、3+1=4>3，故C 不成立；D 、3+1=4<5，故D 成立；故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的的解（集），使不等式成立的的未知数的值，就是不等式的解，由所有不等式的解组成的集合就是不等式的解集.【知识拓展2】不等式的解集例2．（2022·山西忻州·八年级期末）下列说法错误的是（）A ．不等式32x ->的解集是5x >B ．不等式3x <的整数解有无数个C ．不等式33x +<的整数解是0D ．0x =是不等式23x <的一个解【答案】C【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．【详解】解：A 、不等式x −3＞2的解集是x ＞5，正确，不符合题意；B 、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x ＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；C 、不等式x ＋3＜3的解集为x ＜0，所以不等式x ＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；D 、由于不等式2x ＜3的解集为x ＜1.5，所以x ＝0是不等式2x ＜3的一个解，正确，不符合题意．选：C ．【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．【即学即练】1．（2022·广东·八年级课时练习）下列说法中，错误的是（）A ．不等式x ＜5的整数解有无数多个B ．不等式﹣2x ＜8的解集是x ＜﹣4C ．不等式x ＞﹣5的负整数解是有限个D ．﹣40是不等式2x ＜﹣8的一个解【答案】B【分析】先求解不等式，然后根据不等式解集的定义进行判断．【详解】A 、小于5的整数有无数个，正确；B 、不等式﹣2x ＜8的解集是x ＞﹣4，错误；C 、不等式x ＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，正确；D 、不等式2x ＜﹣8的解集是x ＜﹣4，因而﹣40是不等式2x ＜﹣8的一个解，正确．故选B ．【点睛】本题考查不等式的解集，求出不等式的解集是解题的关键．【知识拓展3】用数轴表示不等式的解集例1．（2022.山东八年级）将下列不等式的解集在数轴上表示出来．（1）1x >- （2）2x -≤ （3）0x ³ （4）1x <-【分析】（1）先将数轴画出来，然后找到-1这一点，然后大于向右画，在-1处为空心圆点；（2）先将数轴画出来，然后找到-2这一点，然后小于向左画，在-2处为实心圆点；（3）先将数轴画出来，然后找到0这一点，然后大于向右画，在0处为实心圆点；（4）先将数轴画出来，然后找到-1这一点，然后小于向左画，在-1处为空心圆点．解：如图所示.【点拨】本题主要考查用数轴表示不等式的解集，掌握数轴的知识及大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，没有等号画空心圆点是解题的关键．【即学即练】1.请用不等式表示如图的解集．【答案】（1）x ＜﹣1；（2）x ≥1；（3）x ≤﹣1；（4）x ＞3．【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，可得答案．解：（1）由数轴表示的不等式的解集，得1x <-；（2）由数轴表示的不等式的解集，得1³x ；（3）由数轴表示的不等式的解集，得1x £-；（4）由数轴表示的不等式的解集，得3x >．【知识拓展4】根据不等式的解集求参数例4．（2022·浙江龙湾·八年级期中）已知不等式（a ﹣1）x ＞a ﹣1的解集是x ＜1，则a 的取值范围为______．【答案】a ＜1【分析】根据不等式的性质3，可得答案．【详解】解：∵（a ﹣1）x ＞a ﹣1的解集是x ＜1，不等号方向发生了改变，∴a ﹣1＜0，∴a ＜1．故答案为：a ＜1．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向改变．【即学即练】1．（2022·浙江·温州八年级期中）若不等式（m ﹣3）x ＞m ﹣3，两边同除以（m ﹣3），得x ＜1，则m 的取值范围为_____．【答案】3m <【分析】根据不等式的性质可知30m -<，求解即可．【详解】解：∵不等式（m ﹣3）x ＞m ﹣3，两边同除以（m ﹣3），得x ＜1，∴30m -<，解得：3m <，故答案为：3m <．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式的符号要改变，是解本题的关键．2.对于x≥1的一切实数,不等式()1x-a 2≥a 都成立,试求a 的取值范围.【答案】13a £【分析】将x=1先带入不等式()1x-a 2≥a 中，解不等式即可得到答案.解：不等式可得x≥3a,由题意知3a≤1,即a≤13.【点拨】此题重点考查学生对不等式解法的理解，把握不等式的解法是解题的关键.题组A 基础过关练1．（2022·北京市昌平区八年级期中）在 ① 1x y +=；② x y >；③ 2x y +；④ 21x y -³；⑤ 0x < 中，属于不等式的有 ()A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【分析】用不等号连接而成的式子叫不等式，根据不等式的定义即可完成．【详解】①是等式；③是代数式；②④⑤是不等式；即属于不等式的有3个故选：C【点睛】本题考查了不等式的概念，理解不等式的概念是关键．2．（2022·江苏高邮·七年级期末）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（）A ．12元B ．13元C ．14元D ．无法确定【答案】C【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，甲、乙、丙的说法都是错误的，甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，所以这本书的价格是14元，故选：C ．【点睛】本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格．3．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）下列说法不正确的是（）A ．若a b <，则22ax bx ，则44a b -<-C ．若a b >，则11a b -<-D ．若a b >，则a x b x+>+【答案】A【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答案即可．【详解】解：A 、若a b <，则22ax bx <，0x =时不成立，此选项错误，符合题意；B 、若a b >，则44a b -<-，此选项正确，不符合题意；C 、若a b >，则11a b -<-，此选项正确，不符合题意；D 、若a b >，则a x b x +>+，此选项正确，不符合题意．故选：A ．【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键是熟记不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．性质3、不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．4．（2022·全国·八年级专题练习）对于不等式4x+7（x-2）＞8不是它的解的是（）A．5B．4C．3D．2【答案】D【分析】根据不等式的解的含义把每个选项的数值代入不等式的左边进行计算，满足左边大于右边的是不等式的解，不满足左边大于右边的就不是不等式的解，从而可得答案.【详解】解：当x＝5时，4x+7（x-2）＝41＞8，当x＝4时，4x+7（x-2）＝30＞8，当x＝3时，4x+7（x-2）＝19＞8，当x＝2时，4x+7（x-2）＝8．故知x＝2不是原不等式的解．故A，B，C不符合题意，D符合题意，故选D【点睛】本题考查的是不等式的解的含义，理解不等式的解的含义并进行判断是解本题的关键. 5．（2022·全国·八年级）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a+c＜b B．a﹣c＞b﹣c C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）【答案】A【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．故选：A【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，6．（2022·山东·聊城市八年级阶段练习）如果a＞b，c＜0，则ac3_____bc3（＞或＜或=）．【答案】＜【分析】根据不等式的基本性质（不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变）判断即可得到答案.【详解】解：∵c＜0，∴c3<0，∵a＞b，∴ac3＜bc3.（不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变）故答案为：＜.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质；(1)不等式的两边同时加上或者减去同一个数活等式不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.7．（2022·北京市八年级期中）以下是两位同学在复习不等式过程中的对话：小明说：不等式a＞2a永远都不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a，就会出现1＞2这样的错误结论！小丽说：如果a＞b，c＞d，那么一定会得出a﹣c＞b﹣d．你认为小明的说法（填“正确”、“不正确”）；小丽的说法（填“正确”、“不正确”），并选择其中一个人判断阐述你的理由（若认为正确，则进行证明；若认为不正确，则给出反例）【答案】不正确；不正确；理由见解析【分析】根据不等式的性质进行解答．【详解】解：小明和小丽的说法都不正确，理由如下：选择小明的说法：当a=0时，a=2a；当a＜0时，由1＜2得a＞2a．选择小丽的说法：当a=c，b=d时，a﹣c＞b﹣d不成立；故答案为：不正确；不正确．【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变．8．（2022·全国·八年级课前预习）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)x－7＞26(2)3x＜2x＋1【答案】(1)x＞33，见解析(2)x＜1，见解析【详解】（1）根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以：x－7＋7＞26＋7，x＞33．这个不等式的解集在数轴上的表示如图：（2）3x＜2x＋1；解:（2）根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以：3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1．这个不等式的解集在数轴上的表示如图：9．（2022·全国·八年级课时练习）若x y <，试比较下列各式的大小并说明理由．（1）31x -与31y -；（2）263x -+与263y -+．【答案】（1）3131x y -<-．理由见解析；（2）226633x y -+>-+．理由见解析.【分析】（1）先在x ＜y 的基础上，利用不等式性质2，同乘以3，不等号方向不变，再在此基础上，利用不等式性质1，同减去1，不等号方向不变，故3x-1＜3y-1；（2）先在x ＜y 的基础上，利用不等式形式3，同乘以-23-，不等号方向改变，再在此基础上，利用不等式性质1，同加上6，不等号方向不变，故226633x y -+>-+.【详解】解：（1）3131x y -<-．理由如下：x y <Q ，33x y \<（不等式的性质2），3131x y \-<-（不等式的性质1）．（2）226633x y -+>-+．理由如下：x y <Q ，2233x y \->-（不等式的性质3），226633x y -+>-+（不等式的性质1）．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．题组B 能力提升练1．（2022·全国·八年级专题练习）下列说法正确的是（）A ．x ＝﹣3是不等式x ＞﹣2的一个解B ．x ＝﹣1是不等式x ＞﹣2的一个解C ．不等式x ＞﹣2的解是x ＝﹣3D ．不等式x ＞﹣2的解是x ＝﹣1【答案】B【分析】根据不等式解集和解的概念求解可得．【详解】解：A 、∵32-<- ，∴x ＝﹣3不是不等式x ＞﹣2的一个解，此选项不符合题意；B ．∵12->- ，∴x ＝﹣1是不等式x ＞﹣2的一个解，此选项符合题意；C ．不等式x ＞﹣2的解有无数个，此选项不符合题意；D ．不等式x ＞﹣2的解有无数个，此选项不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查不等式的解集，不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示，不等式的每一个解都在它的解集的范围内．2．（2022·湖南·永州市八年级阶段练习）关于x 的不等式（m －1）x ＞m －1可变成形为x ＜1，则（）A ．m ＜－1B ．m ＞－1C ．m ＞1D ．m ＜1【答案】D【分析】根据不等式的基本性质3求解即可．【详解】解：∵关于x 的不等式（m -1）x >m -1的解集为x <1，∴m -1<0，则m <1，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．3．（2022·全国·八年级）已知8x ＋1＜－2x ，则下列各式中正确的是（）A ．10x ＋1＞0B ．10x ＋1＜0C ．8x －1＞2xD ．10x ＞－1【答案】B【分析】根据不等式的性质解答即可．【详解】解：由不等式性质得，在不等式8x ＋1＜－2x 的两边同加上2x ，不等号的方向不变，即10x ＋1＜0．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答的关键，注意符号的变化．4．（2022·江西·景德镇八年级期中）以下说法正确的是：_______.①由ab bc >，得a c >；②由22ab cb >，得a c >；③由b a b c -<-，得a c >；④由20212021a c >，得a c >；⑤n a -和()n a -互为相反数；⑥3x >是不等式21x +>的解【答案】②③④【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可．【详解】解：①由ab bc >，当0b ＜时，得a c ＜，故结论①错误；②由22ab cb >，得a c >，故结论②正确；③由b a b c -<-，得a c >；故结论③正确；④由20212021a c >，得a c >；故结论④正确；⑤n a -和()n a -互为相反数，当n 为奇数时，()n n a a -=-，故结论⑤错误；⑥1x >-是不等式21x +>的解，故结论⑥错误；故正确的结论为：②③④．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解本题的关键．5．（2022·广东·八年级期中）（1）若a ＜0，则a 2a ；（用“＞”“＜”“＝”填空）。

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高一不等式解法专题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

（2）解法一：原不等式等价于027313222>+-+-x x x x 21213102730132027301320)273)(132(222222><<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-⇔>+-+-⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋃⋃-∞。

解法二：原不等式等价于0)2)(13()1)(12(>----x x x x0)2()13)(1)(12(>-⋅---⇔x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋂⋃-∞典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-xx x x ．分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x 所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-0412,05622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-0412,05622x x x x⎩⎨⎧<-+<--⇔;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或⎩⎨⎧>-+>--;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x；⎩⎨⎧<<-<<⇔62,51x x 或⎩⎨⎧>-<><6,2,5,1x x x x 或或 ,51<<⇔x 或2-<x 或6>x ．∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．解法二：原不等式化为0)6)(2()5)(1(>-+--x x x x ．画数轴，找因式根，分区间，定符号．)6)(2()5)(1(-+--x x x x 符号∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322．分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ．由012>++x x 恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x ．解之，得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．分析：进行分类讨论求解．解：当0=m 时，因03<-一定成立，故原不等式的解集为R ．当0≠m 时，原不等式化为0)1)(3(<-+mx mx ；当0>m 时，解得m x m 13<<-；当0<m 时，解得mx m 31-<<．∴当0>m 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-m x m x 13；当0<m 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x mx31．说明：解不等式时，由于R m ∈，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当0=m 时，原不等式化为03<-，此时不等式的解集为R ，所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论．在解出03222=-+mx x m 的两根为m x 31-=，m x 12=后，认为mm 13<-，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当0>m 时，mm 13<-；当0<m 时，m m 13>-．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥．综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．解答：去掉绝对值号得3310432<--<-x x ， ∴原不等式等价于不等式组⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<----<-06104010433104310432222x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<+->-.321,2500)12)(3(20)52(2x x x x x x x 或 ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-325021x x x 或．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <（即1>a 或0<a ）时，不等式的解集为：{}2a x a x x ><或；(2)当2a a >（即10<<a ）时，不等式的解集为：{}a x a x x><或2；(3)当2a a =（即0=a 或1）时，不等式的解集为：{}a x R x x≠∈且．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根，∴a b -=β+α，ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c a c， ∴0022<++⇔>++cax c b x a bx cx ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab ∴02<++cax c b x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ，即0)1)(1(<β-α-x x ．又β<α<0，∴β>α11，∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ．(解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根，∴ac=β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac．对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得0)1()1(2=+⋅+⋅c x b x a ．令xt 1=，该方程即为02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ，∴α=11x ，β=21x ．∴α=11x ，β=12x ，∴方程02=++a bx cx 的两根为α1，β1．∵β<α<0，∴β>α11． ∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例12 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，，，求a 、b 的值．分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a 、b 式子．解：∵043)21(122>++=++x x x ，043)21(122>+-=+-x x x ，∴原不等式化为0)()2(2>-++--+b a x b a x b a ．依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=-+->-+34231202b a b a b a ba b a ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2325b a ．说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．典型例题十三例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{}21<<-x x ，不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>∆，022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ．解法一：设022=-+bx ax 的两根为1x ，2x ，由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+a x x a b x x 22121 由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-21221aab∴1=a ，1-=b ，此时满足0>a ，0)2(42>-⨯-=∆a b ．解法二：构造解集为{}21<<-x x 的一元二次不等式：0)2)(1(<-+x x ，即022<--x x ，此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式，故需满足：2211--=-=b a ∴1=a ，1-=b ．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十四例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．解：分以下情况讨论(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x (2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时，①式变为0)1)(1(>--x a x ，∴不等式的解为1>x 或a x 1<．②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ②∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为a x 11<<．当1=a 时，11=a，此时②的解为11<<x a．说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．。

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