具有非局部初始条件的分数阶积分_微分方程解的存在性

最 早 开 始研 究 的 其 作 用
，
．
分 数 阶 微 分算 子 是 拟 微 分 算 子 具 有非 局 部 性 因
此 分 数 阶 微 分 方 程 能 更 准 确 地 描 述具 有 记 忆 和 遗
相 当 于 将 局 部 的 某 些性 质 推 广 到 了 整 体 与 经 典
的
Ｃ ａｕ ｃ ｈ
－
ｌ
ｄ ｉ ｆｆｅ ｒｅ ｎ ｔ ａ
ｉ
－
ｌ
ｅ
ｑ ｕ ａ ｔ ｏｎ ｓ ｗ
ｉ
ｉ
ｔ
ｈ ｎ ｏ ｎ ｏｃ ａ ｌ ｉ ｎ ｉ ｔ ｉ ａ ｌ ｃ ｏ ｎ
ｌ
？
ｄ
ｒ
ｉ
ｔ
ｉ
ｏ ｎ ｓ ｗ ａ ｓ ｄ
ｌ
ｉ
ｓ
ｃｕ ｓ
ｓｅ
ｄ Ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｍ ｏ ｒｅ ｇ ｅｎ ｅｒａ
．
；
；
中 图分类号
ＤＯ Ｉ
：
：
０
１
７５
．
１
５
；

０
１
７５ ６
．
文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号
：
．
：
０４ ５ ５
－
２ ０５ ９ ２ ０ （
１
６
）
０ ６ ０８ ２ ７
－
－
０５
０
１
．
１
３ ８８ ５
／ ｊ
．
ｉ
ｓｓ
ｎ ０４ ５ ５
．
－
２ ０５ ９ ２ ０
１
６ ０６ ０
．
．
１
６
Ｅｘ
１
＇
、
，
Ａ ）
，
使 得 对 几乎 所 有 的
丨
和任思
鉴 于 上 述 原 因 本 研 究 将 更正 和 推 广 文 献
，
［
８
］
中 的 结 论 研究
， ，
Ｂ ａ ｎ ａｃ ｈ
空间
五中
的 分 数 阶 积 分 微 ０
－ １
’

ｗ
’
Ｍ
丨 丨
ｌ
分方 程 非 局 部 问 题
，
考虑 以 上 原 因 本 研 究 讨 论 Ｂ ａｎ
，
－
为 给 定 常 数 该 式 可 ａ ｃ ｈ 空 间 ￡ 中 的 分数 阶积 分 微 分 方程 非 局 部 问 题 生 现 道 管 中 气体 产 的 扩 象 除 散 描 透 用来 述 明 的 ３ 解 的 存 在 性 取 得 了 以 下进 展 改 正了 文献 ８
．
■
，
，
）
，
４
｜
＝
ｃ
Ｎ Ｇ ｕ ｅ ｒ ｅｋ ａ
＇
｜
ｘ
｜
ｔ
ａ
利用
Ｂ ａ ｎａ ｃ ｈ
压缩 映射原 理 及 Ｋ

ｒａ ｓ
－
六
＂＂
丨
ｎｏ ｓ ｅ
’
ｌ
ｓｋ
ｉｉ

不 动 点 定 理 获 得 了 Ｂ ａｎ ａ ｃ ｈ 空 间
￡

中的
Ｉ
微分 方 程 非 局 部 问 题
Ｄ
＾
｜
：
ｕ （ｔ）
Ｗ 〇） （
一
＋
ｇ（ Ｍ）
？
Ｑ 为 〇 ￡ 中 随界凸 瞧 ｆ ⑵ 本 研 究 的 主 要 结果 如 下
贝」
．
＾
，
司
对
＇
Ｖｒ ＞
０
令
＝
｛
Ｍ ｅ
Ｃ ｙ ￡）
：
（
，
｜
Ｍ
．
．
｜
ｃ
＾
ｒ｝
，
／
，
）
＝
ｔ
｛
，
ｕ ｛ ｔ）＼ ？？
：
＝


解 的 存 在性 和 唯
Ｃａ
■
性 其中 ％ 表 示 洲 ＜
， ， ？
定理
＾
１
假设 下 列 条 件成 立
：

？
＜
丨
）
阶
ｐ
ｕｔ ｏ
分 数阶 导数
ｇ
／
＝
０， ［
《］
，
《＞０
为常 数
［

Ｈ （
〇
非 线 性项
Ｍ ｅ Ｅ
Ｊ ，
是 Ｃａ
／
．
ｒ ａｔ ｈ ｅ
ｏ ｄｏ
ｒ
ｙ
连续 的 即 对 所 有 的
，
（
Ｍ
，
，
是 强可 测
￡
连续
（
，
为 非局 部 函 数
具 有 非 局部 初 始条 件 的 分 数 阶 积 分 微 分 方 程 解 的 存在 性
－
陈鹏玉
，
张旭萍
，
李永祥
，
Ｉ
丨
可 北 师范 大 学
数 学 与 统计 学 院
兰州
７３ ０ ０ ７０
摘
Ｉ
要
＇
、
：
ｉ
丨
论
Ｂ ａｎ ａ ｃ ｈ
？
个 叫￡屮
：
丨 丨
．
介
＇
： ｌ
ｌ
Ｗ 部 初 始 条 件 的 分 数 阶 枳 分 微 分 方程 解 的 存 在 性 在较 弱 的

Ｌ
ｌ ｉ
ｍ ｎｆ
ｉ
刎人
，
，
，
—
＝
Ｄ
ｐ
，

＜ ＋ ？
ｔ
．
：
ｕ （ ｔ）

＝
ｌ
ｆ｛

ｔ
，
ｕ ｛ｔ ＼
Ｔｕ ｛ｔ ＼ Ｓｕ ｛ ｔ ） ＼ ｔ ｅ Ｊ
，
｝
Ｍ （ ０）
＋ ｇ（ Ｍ ）

＝

Ｍ
０

为 Ｃａ
ｒａ ｔ ｈ ｅｏ ｄ

Ｕ
（
…
ｒ
／
＝
１
，
Ｈ
３
）
存在正常数 Ｌ
．
，
然 而 文献
，
８
］
解 的存
的 对 几 乎所 有 的
是 连续 的
在常 数
在性 定理２ 空间
ＣＸＪ ￡ ）
＊
３
）
的证 明 是 不完 备 的 因 为仅 利 用 给
（２ ）
出 的 条 件不 能 得 到 问 题
所 对 应 的 解 算 子 在 工 作 函 数 Ａ 〇 ／ 中 的 紧 性
ｌ ｉ
ｉ ｉ
ｉ
ｌ
ｉ
ｚｉ ｎ
ｇ ｐ
ａ ｎｅ
ｗ ｅ
ｓｔ ｉ
ｍ ａ ｔ ｏｎ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｑ ｕ ｅ ｆ ｏｒ ｔ ｈ ｅ ｍｅａ ｓ ｕ ｒｅ ｏ ｆ ｎ ｏｎ ｃ ｏ ｍ ａ ｃ ｔ ｐ
ｉ
ｉ

ｎｅ
ｓｓ

ａｎ ｄ ａ ｎ ｅ ｗ ｆ ｘｅｄ
ｏ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｗ ｐ
的
微分方程非 局部 问题
（
３
）
；
通 过 利 用 孙 经 先等
，
建
Ｃ ａｕ ｃ ｈ ｙ
问 题 比具有 通 常 的初 始 条 件 《
（
）
Ｍ。
的古
立 的 凸 幂 凝 聚 算 子 不 动点 定 理 取 消 了 以 往 对 非
线 性 项 ／ 所加非 紧 性测 度 条 件 系 数 的 限 制 采 用

（

２
，

３
），
使得对任意有
２
解 的 存 在性 其 中
．
，
—五 ／ Ｊｘ￡ ｘ ￡ｘ￡
：

ｏ ｒｙ
界 的 可 数 集
Ｃ Ｃ （Ｊ ￡ ）
，
函 数 Ａ
，
，

ｆ
＝
ｌ
，
３
，
．
Ｗｕ
１
｛
ｔ
＝

）

ｊｇ
Ｋ
（
ｔ
，

＾
（
＾ｄ
）
ｓ
，
４
，
＾ ０
（
，
＝

Ｈ

０ Ｊ
（ｔ，
ｓ） ｕ ｓ
ｌ
ｃ
ｏ ｎｄ
ｉ
ｔ
ｉ
ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｎ ｏ ｎ ｃ ｏ ｍ ｐ ａｃ ｔ ｍ ｅａ ｓ ｕ ｒｅ ａ ｎ ｄ ｇ ｒｏｗ ｔ ｈ

，
ｔｈ ｅ ｅｘ ｉ ｓ ｔｅ
ｎｃ ｅ
？
ｅｓ ｕ
ｔ
ｏｆ

ｓ
ｏ ｕ ｔ ｏ ｎ ｓ ｗ ｅ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｎｅ ｄ ｂ ｔ ｙ ｕ
（
ｄｓ

ｔ
ｅ
Ｊ Ｄ ＾ ｔ ） Ｄ
，

和 几乎 所 有 的
（
ｅＪ

，
有
２
（
ｔ
），
￡
）
３
（
ｆ
） ） ）
＾

■
＾Ｚ ａ
，
（
￡
＞
，
（
０）
－
为 积 分算 子 积 分 核 尺 ｅ Ｃ Ｈ
ａ｝
，

■
／？
）
，
」
＝
他 邛 ０分 专
／
ｌ
ｌ

ｉ
ｎ
ｉ
ｔｉ
ａｌ ｃｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉｏ ｎ
ｃ
ｏ ｎ ｄｅ ｎｓ ｉ ｎｇ ｍ ａ ｐｐ ｎ ｇ
ｉ
；

ｅｘ
ｉ
ｓｔ ｅ ｎ
ｃｅ
Ａ Ｍ Ｓ Ｓ ｕ ｂｊ ｅ ｃ ｔ Ｃ

ｌ
ａ ｓ ｓ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ （ ２ ０ ０ ０）

２６
Ａ３ ３
；
３
４ Ｇ ２０
ｔ
ｌ
ｉ
ｖ ｅ ｒｓ
ｉ
ｔ
ｙ
，

Ｌ ａ ｎｚ ｈ ｏｕ ７ ３ ０ ０ ７ ０ Ｃ ｈ ｎａ
，

ｉ
Ａ ｂ ｓ ｔｒ ａｃ ｔ Ｔ ｈ ｅ
：

ｅ ｘ ｉ ｓｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｆｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ

ｉ
ｎ ｔ ｅ ｇｒ ａ
；
典 Ｃ ａ ｕｃ ｈｙ 问 题能 更 好 地 描 述 物 理 现 象 无 论 是 从
．
理论还是 实 际 问题 的应 用 角 度 非局 部 问 题都 有
，
？
文献
１
３
［
］
中 建 立 的 新 的 非 紧 性 测度 的 估 计 技 巧 取
，
一
更大 的 优越 性 消 了 对 非 线 性 项 ／ 所加 的 致 连 续 的 假 设 条 件 近 年 来 抽 象 空 间 中 具 有 非 局 部 初 始 条 件 记 ｃ ｙ ￡ 为 定 义 于 Ｊ 取 值 于 ￡ 的 全 体 连 续 函 ， 关 泛 数 引 起 了 学 者 们 的 方 广 的分 阶微 分 程 注 数 按 最 大 值 范 数 构 成 的 Ｂ ａｎ ａ ｈ
ｗ
ｉ
ｉ
ｓ ｔｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｓ ｏ ｕ ｔ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｆ ｒａ ｃｔ ｏ ｎ ａ
ｌ ｉ ｉ
ｌ

ｉ
ｎ ｔ ｅ ｇ ｒａ
－
ｌ
ｄ
ｉ
ｆｆ
ｅ ｒ ｅｎ ｔ ａ
ｉ
ｌ
ｅ
ｔ ｑ ｕ ａ ｏ ｎｓ
ｉ
ｔ
ｈ ｎ ｏ ｎ ｏ ｃ ａ
ｌ
ｌ

ｉ
ｎ
ｉ
ｔｉ
ａ
ｌ
ｃ
ｏｎ ｄ
ｉ
ｔ
ｉ
ｏｎｓ
；

３４
Ｋ３ ０
分 数 阶 微 分 方程 是 指 经 典 微 分方 程 中 的 整 数 具 有 非 局 部 初 始 条 件 的 微 分 方 程 简 称 非 局
（
阶 导 数 被 任 意 阶 导 数 替 代 所 得 的 微 分方 程
，ຫໍສະໝຸດ Baidu
．
由于
，
部问 题 是由
）
Ｂ ｙ ｓｚ ｅ ｗ ｓｋ Ｐ
，
其中
０ ＜ Ｗ
…
＜ ／ ＜ ａ
，
，
ｃ＊
．
？
：
［
］
了 初 始 测量点
２
， …
／
＝
〇
外还 包 含其 他 的 测 量 点 仏
Ｍ （０
）
Ａ
＝
：
ｌ
，
中 的 定 理 ２ ３ 并 推 广 文献
．
，
［
８］
中 的 问题
（
２
）
为 积分
＂
２
１
－
，
ｐ
具有 非局 部初 始条 件
＋
ｇ（ ？ ）
０
＝
＝
ｗ。
甘 肃 省 自 然 科 学 基金 项
ｃ
目
（
１
６ ０６
ＲＪ Ｚ Ａ ０
１
５）
；
西北 师 范 大 学 青 年 教 师
科 研 能 力 提 升计 划 项
Ｂ ＮＷＮ Ｕ
（
，
Ｌ
ＫＱ Ｎ
－
１
）
作者 简 介
：
陈鹏玉
（
１
兆６
＿
）
，
男 甘 肃 秦 安人
，
副教 授
，
博±
，
ｅ
－
ｍａ
ｉ ｌ
：
ｈ
ｐ
ｅｎ
ｇｙ
ｕ
丨
一
生 物 数 学 及 其 他应 用 领域 中 的 问 题 的 存 在 唯
收稿
日
性及 指 数 衰 减性 非 局 部 项 为
，
期
目
：
２０
１
５ ０４
－
－
１
５
修 回
日
期
丨
：
２０
５０
１
５
－
０６ ０ ２
－
基 金项
：
国家
自
然科 学 基 金 项 目

１
１
（
４５５
－
，
丨
１
６６
１
０ ７１
４ ３
－
）
；
２３
＠
１
６ ３ ｃｏ ｍ
．
，
研究方 向 为 非 线 性泛 函 分 析 及 应 用
．
８ ２ ８
兰州 大学学报

：
自
然科学版
，
２０１ ６
，
５ ２ （ ６ ）
，
８Ｗ
＾
Ｕ
，
ｋ
ＵＫ
－
ｋ
）
⑴
＾
有界
￥连
．
１
２
１
，
这是很强 的假设 条件 在
＾
，
－
应 用 上 不 易 满 足
（ ）
ｉ
ｉ
ｉ
ｔ
ｈ ｒ ｅ ｓ
ｅ ｃ ｔ ｔ ｏ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ
ｏ ｗ ｅ ｒ ｃ ｏ ｎ ｄ ｅ ｎ ｓ ｎ ｇ ｏ ｐ ｅｒ ａｔ ｏｒ ｐ
ｉ
；
．
Ｋｅ ｙ

ｗｏ ｒｄ ｓ
：
ｆ ｒ ａ ｃｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｄ
ｆ
ｆ ｅ ｒｅｎ
ｔ
ｉ
ａ
ｌ

ｅ
ｑ ｕａ
：
ｔｉ
ｏｎ
；

ｎ ｏ ｎ ｏ ｃａ
兰 州 大 学学 报
Ｊ
ｌ
：
自
然科 学 版
ｉ
，
２０
１
６
，
５２ ６ ） ／ １ ２ 月
（

ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｏ ｆ Ｌａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕ ｎ ｖｅ ｒ ｓ
ｉ
ｔ
ｙ
：
Ｎ ａ
ｔ
ｕ
ｒａ
ｌ
Ｓｃ ｅ ｎ ｃｅ
ｉ
ｓ
，
２ ０ １ ６ ５ ２
，
（
６ ） ／ Ｄ ｅ ｃｅ ｍ ｂ ｅ ｒ
－
．
Ｈ
紧 性 测 度 条件 ４ 增 Ｋ 条 件 下 利 川 新 的
，
．
Ｉ
丨
；
紧 Ｗ则 度 佔
ｉ
卜
技巧
￣凸￥
凝聚算 子＋ 动点 定理获 得 了 所
研究 Ｍ 题 解 的 存 在 性 结 果
： ；
关 键 词 分数 阶 微 分 方 程 非 局 部 初 始 条 件 凝 聚 映 射 存 在 性
、
、
非 局 部神经 网 络
２
｜ １
、
控制
力学
、
系 统 识 别 和 信 号处 理 光学 和 热 学 系 统 凝
、 、
、
非 局 部 药物 动 力 学 以 及 非 局 部 燃 烧 等 究了
一
．

Ｄ ｅｎ ｇ
１
３
１
研
聚态 物 理
、
多孔结构和
自
相 似 的 动态 过 程
．
、
统计
类具 有 非 局 部 初 始 条 件 的 反应 扩散 方 程 解
Ｃ ｈ ｅ ｎ Ｐ ｅ ｎ ｇ
Ｉ
－
ｙｕ Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ Ｘ ｕ ｐ ｎ ｇ Ｌ
－
，
ｉ
，
ｉ
Ｙ ｏ ｎｇ
－
ｘ ａ ｎｇ
ｉ
Ｃｏ
ｌ
ｌ
ｅ
ｇｅ ｏ ｆ

Ｍａ
ｔ
ｈ ｅ ｍ ａｔ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｔａ ｔ
ｉ
ｉ
ｓ
ｔ
ｉ
ｃｓ
，

Ｎｏ ｒ ｔｈ ｗｅ ｓ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ Ｕｎ
ｙ
问 题 相 比 非 局 部 问 题 在 解 决实 际 问 题
， ，
传 性质 的 材 料 和 传 送 过 程 例 如 可 以 用 分 数 阶 微
．
，
时 有 更好 的 表 现 可 以 表 示 各 种 发 展 变 化 的 现 象
的 数学 模 型 例 如 非 局 部污 染
，
分 方 程 来 描 述 流 变 学 及 材 料 和 力 学 系 统 机 器人