具有非局部初始条件的分数阶积分_微分方程解的存在性
几类分数阶微分发展方程非局部问题解的存在性
几类分数阶微分发展方程非局部问题解的存在性几类分数阶微分发展方程非局部问题解的存在性引言：近年来，随着对分数阶微分方程的深入研究，分数阶微分发展方程非局部问题的存在性成为了研究的热点之一。
本文将围绕几类分数阶微分发展方程的非局部问题解的存在性展开讨论。
一、分数阶微分方程的基本概念分数阶微分方程是指微分方程中出现了分数阶导数的形式，以便更准确地描述实际问题。
它不同于常见的整数阶微分方程，具有更广泛的应用领域。
常见的分数阶微分方程包括分数阶常微分方程、分数阶偏微分方程等。
二、非局部问题的引入在研究分数阶微分方程时，我们经常会遇到非局部问题。
传统的微分方程通常是基于局部作用的，而非局部问题涉及到了引入非局部算子，该算子考虑一个点与所有其他点之间的关系，进而对微分方程产生影响。
三、分数阶微分发展方程非局部问题解的存在性对于几类分数阶微分发展方程的非局部问题解的存在性，我们将分别进行讨论。
3.1 函数型分数阶微分发展方程考虑函数型分数阶微分发展方程：\[\frac{d^{\alpha}u(x)}{dx^{\alpha}} = f(x, u(x),u'(x)), \quad x\in(0,1)\]其中，\(0 < \alpha < 1\)是分数阶。
对于这种类型的微分方程，我们可以利用Banach不动点定理来研究非局部问题解的存在性。
通过合适的空间和适当的范数，我们可以将该微分方程转化为一个等价的积分方程。
进而，通过证明相应的算子是压缩的，我们可以得到非局部问题解的存在性。
3.2 积分型分数阶微分发展方程考虑积分型分数阶微分发展方程：\[D^{\alpha}u(x) = f\left(x, u(x),\int_{a}^{b}K(x,\xi)u(\xi)d\xi\right), \quadx\in(a,b)\]其中，\(0 < \alpha < 1\)是分数阶。
对于这种类型的微分方程，我们可以利用Krasnoselskii不动点定理来研究非局部问题解的存在性。
分数阶积分微分方程解的存在性
分数阶积分微分方程解的存在性
丁敏敏
【期刊名称】《兰州文理学院学报(自然科学版)》
【年(卷),期】2024(38)1
【摘要】针对一类分数阶积分微分方程,利用不动点定理和分数阶Gronwall不等式,研究了这类方程解的存在性.文中证明了若所给假设(H)成立,则该类分数阶积分微分方程在J上至少有一个解.
【总页数】4页(P35-38)
【作者】丁敏敏
【作者单位】安徽中医药大学医药信息工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.6
【相关文献】
1.一类含积分边界条件分数阶微分方程解的存在性和唯一性
2.一类具有无穷点积分边界条件非线性分数阶微分方程解的存在性与多解性
3.含积分边值条件的非线性分数阶微分方程解的存在性与唯一性
4.带积分边值条件的分数阶微分方程解的存在性和唯一性
5.一类具有Riemann-Liouville分数阶积分边值条件的奇异分数阶微分方程解的存在性
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微分方程的解的存在性
微分方程的解的存在性微分方程在数学中扮演着至关重要的角色，它描述了自然界中许多现象的演变规律。
解微分方程是求解这些规律的关键步骤之一，而微分方程的解的存在性问题一直是研究者们探讨的重要课题之一。
本文将重点讨论微分方程的解的存在性问题，并探讨相关的理论和方法。
微分方程简介微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中包含未知函数及其导数。
一般形式可以写作F(x,f(x),f′(x),...,f(n)(x))=0，其中f(n)(x)表示函数f(x)的n阶导数。
微分方程按照阶数、形式和性质的不同可以分为多种不同类型，包括常微分方程和偏微分方程。
常微分方程只包含一个自变量，而偏微分方程包含多个自变量。
微分方程的解是满足方程的所有函数的集合，解的存在性就是要确定这个解集是否为空或者非空的问题。
微分方程解的存在性定理微分方程解的存在性定理是研究微分方程解是否存在的重要理论依据，其中最重要的就是皮卡-林德洛夫定理和柯西-李普希茨定理。
皮卡-林德洛夫定理皮卡-林德洛夫定理是关于常微分方程解的存在性和唯一性的定理，描述了在一定条件下初始值问题必然存在唯一解的情况。
具体来说，如果f(x,y)在一个矩形$R=\\{(x,y):a<x<b,c<y<d\\}$ 上连续且满足 $|f(x,y)| \\leq M$，并且以y0为中心、ℎ为半径、在R内闭区域D上连续，则存在区间 $|x-x_0| \\leq h$ 上的唯一解。
皮卡-林德洛夫定理的证明过程相对复杂，需要借助一些数学分析方法，但是它为解微分方程问题提供了一个强有力的理论基础。
柯西-李普希茨定理柯西-李普希茨定理是关于偏微分方程解的存在性和唯一性的定理，主要适用于一阶线性偏微分方程。
该定理告诉我们，如果偏微分方程的系数满足一定条件，那么初始值问题是存在唯一解的。
柯西-李普希茨定理在数学物理、工程等领域有着广泛的应用，它为解决实际问题提供了可靠的解决方案。
《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要：本文致力于探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性。
首先，我们回顾了分数阶微分方程的基本理论及发展背景。
接着，通过构建适当的函数空间和利用不动点定理，我们证明了在特定条件下，该类边值问题存在解。
本文的研究不仅丰富了分数阶微分方程的理论体系，也为实际问题的解决提供了理论支持。
一、引言分数阶微分方程作为微分方程的一个重要分支，近年来在物理、工程、生物等领域得到了广泛的应用。
然而，由于分数阶微分方程的复杂性和非局部性，其边值问题的解的存在性尚未得到完全解决。
因此，研究分数阶微分方程边值问题解的存在性具有重要的理论意义和实际价值。
二、预备知识1. 分数阶微分方程的基本理论：介绍分数阶微分方程的定义、性质及其与其他类型微分方程的关系。
2. 不动点定理：介绍本文将使用的不动点定理及其应用条件。
三、问题描述与假设条件考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题：Dαu(x) + f(x, u(x)) = 0, x ∈ [a, b]，其中Dα 表示分数阶导数。
假设条件包括：函数 f(x, u) 的连续性和有界性等。
四、解的存在性证明1. 构建函数空间：定义一个合适的函数空间，使得方程的解在此空间中有定义。
2. 构造算子：根据微分方程的形式，构造一个算子T，使得T 的不动点即为原微分方程的解。
3. 利用不动点定理：根据假设条件和不动点定理，证明算子T 在定义的函数空间中有不动点，从而证明原边值问题解的存在性。
五、结论与展望本文通过构建适当的函数空间和利用不动点定理，证明了分数阶微分方程边值问题解的存在性。
这一结果不仅丰富了分数阶微分方程的理论体系，也为实际问题的解决提供了理论支持。
然而，对于更复杂的分数阶微分方程边值问题，如具有多个解或解的唯一性问题，仍需进一步研究。
此外，如何将本文的理论成果应用于实际问题中，也是未来研究的一个重要方向。
六、六、展望与建议在未来的研究中，我们可以进一步拓展本文的成果，例如研究更复杂的分数阶微分方程边值问题，特别是当存在多个解或者解的唯一性成为问题的时候。
分数阶微分方程连续解的存在性定理
分数阶微分方程连续解的存在性定理1 分数阶微分方程连续解的存在性定理分数阶微分方程连续解的存在性定理是数学分析中一个重要的定理，它在解决一些类型的分数阶微分方程时发挥着重要的作用。
其主要内容是分数阶微分方程具有连续解的性质：如果一个分数阶微分方程在某一区间上具有一个连续解，那么在该区间上它有一系列连续解，且互不重叠，即这系列连续解是该分数阶微分方程的完全解。
2 定理内容分数阶微分方程连续解的存在性定理的内容可以概括如下：设x是实数，y是变量，将y=f（x）作为过x的分数阶函数，若其存在扩展的分数阶微分方程满足：$$\frac{d^m y}{dx^m}+\alpha_{m-1}\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+\cdots+\alpha_1\frac{dy}{dx}+\alpha_0y=0$$将其中一个解看作在区间$[a,b]$上有定义且连续的函数，那么，在该区间上这个分数阶微分方程就具有一系列连续解，在$[a,b]$上它们构成该微分方程的完全解。
3 在实际应用中的应用分数阶微分方程连续解的存在性定理在实际应用中有着重要的意义，它有助于解决物理学、力学、化学和热学等问题的微分方程。
比如用此定理可以求出某些力学运动的响应模型、梁的分析模型等。
此外，它对微分方程在解决实际问题上以及微分数学研究有重要价值，更为重要的是，它作为数学判断微方程完全解的基础，为许多分析问题相关的定理搭建了坚实的理论架构，从而使这些定理可以被更有效地应用于理论计算领域中。
4 推导过程将分数阶微分方程：$$\frac{d^m y}{dx^m}+\alpha_{m-1}\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+\cdots+\alpha_1\frac{dy}{dx}+\alpha_0y=0$$用$y=f(x)$替换，得：$$f^{(m)}(x)+\alpha_{m-1}f^{(m-1)}(x)+\cdots+\alpha_1f'(x)+\alpha_0f(x)=0$$由A项全体系数绝对值之和小于1的性质：$$|\alpha_{m-1}|+\cdots+|\alpha_1|+|\alpha_0|<1$$设$g(x)$一定区间上有定义且连续，令$$f(x)=g(x)e^{sx} ,s=\frac{\alpha_{m-1}+\cdots+\alpha_1+\alpha_0}{\alpha_0}-\frac{1}{2}$$将$f(x)$代入上式，得：$$e^{sx}(g^{(m)}(x)+\alpha_{m-1}g^{(m-1)}(x)+\cdots+\alpha_1g'(x)+\alpha_0g(x))=0$$由已知条件，可令$g(x)=0$，于是$$e^{sx}(g^{(m)}(x)+\alpha_{m-1}g^{(m-1)}(x)+\cdots+\alpha_1g'(x))=0$$则有$$g^{(m)}(x)+\alpha_{m-1}g^{(m-1)}(x)+\cdots+\alpha_1g'(x)=0$$该方程满足条件$$|\alpha_{m-1}|+\cdots+|\alpha_1|<1$$因此，根据Cauchy-Picard条件可知方程有解。
分数阶微分方程边值问题解的存在性的开题报告
分数阶微分方程边值问题解的存在性的开题报告一、研究背景分数阶微积分继承和扩展了经典的整数阶微积分，为描述实际问题提供了更好的工具。
分数阶微分方程是其中的一种，它与整数阶微分方程不同，具有非局部性和非对称的性质，在物理、化学、生物、经济等领域的应用十分广泛。
边值问题是分数阶微分方程中常见的问题之一，由于分数阶微分方程通常涉及到初值和边界值条件，边值问题的研究成为了分数阶微分方程研究的重要方向。
因此，研究分数阶微分方程边值问题的解的存在性对于深入探究分数阶微分方程的特性和应用具有重要意义。
二、研究目的本文的研究目的是探究分数阶微分方程边值问题解的存在性，具体研究以下问题：1. 给出分数阶微分方程边值问题的定义和基本概念；2. 探究分数阶微分方程边值问题解的存在性的充分条件和必要条件；3. 研究若干不同类型的边值问题，探究其解的存在性。
三、研究方法本文将采用数学分析法和数值计算法相结合的方法进行研究。
在理论分析方面，将基于分数阶微分方程的特性和边界值问题的相关理论，通过构造适当的函数空间及其基本性质、利用最小极值原理和上、下解方法等，探究分数阶微分方程边值问题解的存在性的充分条件和必要条件。
在数值计算方面，将采用万元川等人的分数阶微分方程迭代法等常用数值方法，通过计算分数阶微分方程边值问题的数值解，验证理论分析的正确性，并进一步探究若干不同类型的边值问题的解的性质。
四、研究意义本文的研究结果将有助于深入理解分数阶微分方程的特性和应用，探究分数阶微分方程解的存在性的充分条件和必要条件，并进一步研究若干不同类型的边值问题的解的性质，为分数阶微分方程的理论研究和实际应用提供参考和借鉴。
具非局部边界条件的奇异分数阶微分方程正解的存在性和唯一性
引理 2.4 (Banach 压缩映射原理)假设 D 是 Banach 空间 E 的非空闭子集， T : D → D 是压缩算子，即 对任意的 x, y ∈ D ，有
Tx − Ty ≤ α x − y ,α ∈ (0,1) .
(iii) T 是压缩映射，
则存在 z ∈ E ，使得=z Sz + Tz 。
引理 2.3 (Arzela-Ascoli 定理)假设函数族 F = { f (t )} 在区间 [α, β ] 上是一致有界和等度连续的，则存 在子函数序列{ fn (t )} ⊂ F 在区间 [α, β ] 上是一致收敛的。
(qx)(t ) ≤ L2 ,t ∈[0,1], x1, x2 ∈ E.
( H3 ) 存在正函数 L3 (t ), L4 (t ) ，使得： tσ f (t, x1,ϕ x1 ) − tσ f (t, x2 ,ϕ x2 ) ≤ L3 (t ) x1 − x2 + L4 (t ) ϕ x1 − ϕ x2 ,t ∈[0,1], x1, x2 ∈ E.
f
: (0,1]×[0, +∞)×[0, +∞)
→
[0, +∞)
连续，
(ϕ x)(t)
=
∫tγ 0
(t, s)
x (s)ds
，
γ
: [0,1] ×[0,1] → [0,+∞)
，
λ
>
0
，
lim f (t, x (t ),(ϕ x)(t )) = +∞ (即f在 t = 0 点奇异)，q是 [0,+∞) 上的非负有界连续函数。
= x (t )
《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要：本文致力于探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性。
首先，通过概述已有文献及研究成果，引出本文的研究目的和意义。
接着，通过构建适当的数学模型和理论框架，运用现代数学分析方法，如不动点定理、拓扑度理论等，对分数阶微分方程的边值问题进行研究，得出相关结论。
一、引言分数阶微分方程是微分方程理论中的重要组成部分，广泛应用于物理学、工程学、金融学等多个领域。
近年来，随着分数阶微分方程理论的不断发展，其边值问题逐渐成为研究的热点。
然而，由于分数阶微分方程的复杂性和非线性特性，其边值问题的解的存在性尚未得到完全解决。
因此，本文旨在研究分数阶微分方程边值问题解的存在性。
二、数学模型与问题描述考虑以下分数阶微分方程的边值问题：D^αu(x) = f(x,u(x)), 其中x属于闭区间[a,b]，α为分数阶次。
其中D^α表示Caputo型分数阶导数。
给定适当的初始条件或边值条件，我们希望找到满足上述方程的函数u(x)。
三、理论框架与数学工具（一）不动点定理不动点定理是解决非线性问题的重要工具。
通过将原问题转化为求算子不动点的问题，我们可以利用不动点定理来研究边值问题的解的存在性。
（二）拓扑度理论拓扑度理论为求解高阶或非线性微分方程提供了有力的工具。
我们可以通过构造适当的算子并计算其拓扑度来分析边值问题的解。
四、研究方法与过程（一）建立算子方程根据边值问题的描述和性质，我们建立相应的算子方程。
通过将原问题转化为算子方程的求解问题，我们可以利用数学分析方法进行研究。
（二）运用不动点定理和拓扑度理论利用不动点定理和拓扑度理论，我们分析算子方程的解的存在性。
通过构造适当的算子并证明其具有压缩映射性质或满足其他条件，我们可以得出解的存在性结论。
五、研究结果与结论（一）解的存在性结论经过深入研究和分析，我们得出分数阶微分方程边值问题解的存在性结论。
在适当的条件下，我们证明了该问题至少存在一个解。
《2024年度分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言分数阶微分方程在许多领域中有着广泛的应用，包括物理、工程、经济和社会科学等。
这些方程能更好地描述具有记忆效应和历史依赖性的过程。
因此，分数阶微分方程边值问题的解的存在性成为了近年来研究的热点。
本文将针对一类特定的分数阶微分方程边值问题，探讨其解的存在性。
二、问题描述考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题：Dαu(x) = f(x, u(x), Du(x), ..., Dn-1u(x)), 0 < x < 1, 其中Dα表示分数阶导数，f是已知的函数，u(x)是未知的函数。
在区间[0, 1]的端点处，给定边值条件u(0) = α, u(1) = β。
我们的目标是证明在满足一定条件下，该方程存在解。
三、解的存在性证明（一）定义与符号的介绍首先需要了解分数阶微分方程的基本概念和性质，如Caputo 导数、分数阶Sobolev空间等。
同时，需要引入一些重要的符号和定义，如Banach空间、压缩映射原理等。
（二）构造算子为了证明解的存在性，我们需要将原问题转化为一个算子方程。
我们定义一个算子L，使得L(u) = u - Kf(x, u, Du, ..., Dn-1u)，其中K是一个依赖于问题的常数。
这样，原问题就转化为寻找L 的不动点问题。
（三）不动点定理的应用我们可以使用Banach空间中的压缩映射原理或Schauder不动点定理来证明算子L在某个闭球上存在不动点。
首先需要证明L是一个压缩映射，然后根据不动点定理得出L存在不动点。
这等价于原问题存在解。
（四）证明解的唯一性除了证明解的存在性，我们还需要证明解的唯一性。
这通常需要利用更强的条件或额外的假设。
例如，我们可以假设f满足某种单调性或Lipschitz条件，从而保证解的唯一性。
四、结论通过上述证明过程，我们得出了该类分数阶微分方程边值问题解的存在性。
这为解决具有记忆效应和历史依赖性的实际问题提供了理论依据。
《2024年几类分数阶微分方程解的存在性的研究》范文
《几类分数阶微分方程解的存在性的研究》篇一一、引言分数阶微分方程作为数学领域的一个重要分支，近来在物理学、工程学、生物学等多个领域得到了广泛的应用。
由于其能够更好地描述某些复杂系统的动态行为，因此研究分数阶微分方程的解的存在性具有极其重要的理论意义和实际应用价值。
本文旨在探讨几类分数阶微分方程解的存在性，通过理论分析和数值模拟相结合的方法，深入探究其解的性质和特点。
二、文献综述近年来，关于分数阶微分方程的研究逐渐成为学术界的热点。
学者们从不同角度出发，运用各种方法研究了分数阶微分方程的解的存在性、唯一性以及稳定性等问题。
在研究方法上，除了传统的解析方法外，还引入了固定点定理、郭贝涅-谢尔莫德特(Schaefer)定理等现代数学工具。
在应用领域上，分数阶微分方程被广泛应用于描述复杂系统的动态行为，如流体力学、信号处理、控制系统等。
三、几类分数阶微分方程的解的存在性研究1. 线性分数阶微分方程的解的存在性线性分数阶微分方程是一类常见的分数阶微分方程，其解的存在性可以通过固定点定理进行证明。
本文将运用这一方法，结合适当的边界条件和初始条件，探讨线性分数阶微分方程的解的存在性。
2. 非线性分数阶微分方程的解的存在性非线性分数阶微分方程的解的存在性相对较为复杂。
本文将采用郭贝涅-谢尔莫德特(Schaefer)定理等现代数学工具，结合适当的函数空间和范数，探讨非线性分数阶微分方程的解的存在性。
同时，通过数值模拟，验证理论分析的结果。
3. 时滞分数阶微分方程的解的存在性时滞分数阶微分方程是一类具有时间延迟的分数阶微分方程，其解的存在性研究具有一定的挑战性。
本文将结合时滞系统的特点，运用适当的数学工具和方法，探讨时滞分数阶微分方程的解的存在性。
四、理论分析在理论分析部分，本文将详细阐述所采用的数学工具和方法，如固定点定理、郭贝涅-谢尔莫德特(Schaefer)定理等。
同时，结合具体的函数空间和范数，对几类分数阶微分方程的解的存在性进行深入分析。
分数阶脉冲积分微分方程的解
２ ０ １ ５年 １ ０月
淮 Hale Waihona Puke 阴 工学院学
报
Ｖ ｏ １ ． ２ ４ Ｎｏ ． ５
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类 分数 阶脉 冲微 分方 程 的解 ， 嵇 绍 春等 讨 论 了分 数 阶脉 冲 微 分 方程 在 非 局 部 项 为 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ连续 和非 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 连续 时解 的情形 ，利用其 中 的方 法 ， 本文 进一 步研 究具 有脉 冲条 件 的分数 阶积分微 分方 程 的解 。 具 体地 ，本文 在 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空间 ｘ 中考 虑 如下分 数 阶积分 微 分方 程
２ ． Ｌ ｉ ｂ ｒ ａ ｒ ｙ ， Ｈ ｕ ａ ｉ ｙ ｉ ｎ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｈｕ ａ ｉ ｈ ｎ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ ２ ２ ３ ０ ０ ３ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
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《几类分数阶微分方程解的存在性的研究》范文
《几类分数阶微分方程解的存在性的研究》篇一一、引言近年来，分数阶微分方程作为微分方程领域的一个新兴分支，其解的存在性研究已经引起了广泛的关注。
分数阶微分方程在物理、工程、生物等多个领域有着广泛的应用，因此对其解的存在性进行研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文旨在研究几类分数阶微分方程解的存在性，以期为相关领域的研究提供一定的理论支持。
二、文献综述在过去的几十年里，分数阶微分方程的解的存在性研究已经取得了许多重要的成果。
学者们采用不同的方法，如不动点定理、Schauder不动点定理、变分法等，对各种类型的分数阶微分方程进行了研究。
然而，对于某些特殊类型的分数阶微分方程，其解的存在性仍然是一个待解决的问题。
本文将重点研究几类具有代表性的分数阶微分方程的解的存在性。
三、几类分数阶微分方程的解的存在性研究（一）具有非线性项的分数阶微分方程对于具有非线性项的分数阶微分方程，我们采用Schauder不动点定理进行研究。
首先，我们将方程转化为等价的积分方程，然后利用Schauder不动点定理证明解的存在性。
我们还将探讨非线性项对解的存在性的影响。
（二）具有时滞项的分数阶微分方程对于具有时滞项的分数阶微分方程，我们采用Banach不动点定理进行研究。
我们将证明在一定条件下，该类方程存在一个解。
同时，我们将分析时滞项对解的存在性的影响。
（三）高阶分数阶微分方程对于高阶分数阶微分方程，我们采用变分法进行研究。
我们将构造一个适当的能量泛函，然后利用变分法的基本原理证明解的存在性。
我们将探讨高阶项对解的存在性的影响。
四、研究方法与实验设计本文将采用理论分析和数值模拟相结合的方法进行研究。
在理论分析方面，我们将运用不动点定理、Schauder不动点定理、变分法等数学工具对几类分数阶微分方程进行深入研究。
在数值模拟方面，我们将利用MATLAB等软件进行数值求解和图形化展示。
在实验设计方面，我们将选取适当的初值条件和参数，以验证理论分析的结果。
《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要：本文旨在研究分数阶微分方程边值问题的解的存在性。
通过运用不动点定理和分数阶微分方程的理论，我们证明了在一定的条件下，该类问题存在解。
本文首先介绍了问题的背景和意义，然后给出了相关定义和引理，接着通过构造适当的函数空间和算子，证明了主要定理。
最后，我们给出了一个具体的例子来验证我们的结果。
一、引言分数阶微分方程在许多领域有着广泛的应用，如物理学、工程学、生物学等。
近年来，随着分数阶微分方程理论的不断发展，其边值问题也成为了研究的热点。
然而，由于分数阶微分方程的复杂性，其边值问题的解的存在性尚未完全解决。
因此，本文将研究分数阶微分方程边值问题解的存在性。
二、问题描述与预备知识我们考虑如下的分数阶微分方程边值问题：Dαu(x) = f(x, u(x)), x ∈ [a, b]，其中Dα表示Caputo型分数阶导数，u为未知函数，f为给定的函数，a < b为定义域的边界点。
我们的目标是找到该问题的解，并证明其存在性。
在开始证明之前，我们需要介绍一些相关的定义和引理。
包括分数阶导数的定义、不动点定理、以及一些有用的不等式和估计等。
三、解的存在性证明为了证明解的存在性，我们首先需要构造一个适当的函数空间。
我们定义一个Banach空间X，使得u(x)在该空间中满足一定的性质。
然后，我们定义一个算子T，使得Tu(x)为原问题的解。
我们的目标是证明T是一个压缩映射，从而存在一个不动点u0使得Tu0 = u0。
为了证明T是一个压缩映射，我们需要利用不动点定理和一些重要的不等式和估计。
我们首先证明T是一个有界算子，然后证明T是一个压缩映射。
这需要我们找到一个合适的Lipschitz常数K < 1，使得对于任意的u1, u2 ∈ X，都有‖Tu1 - Tu2‖ ≤ K‖u1 - u2‖。
一旦我们证明了这一点，根据不动点定理，我们就知道存在一个解u0使得Tu0 = u0。
两类非局部问题解的存在性与多重性开题报告
两类非局部问题解的存在性与多重性开题报告
随着现代科学技术的不断发展和应用，非局部问题逐渐受到了人们
的关注。
对于这种类型的问题，其定义和特性并不容易被简单地描绘出来。
然而，非局部问题却在很多领域中具有非常广泛的应用，如物理学、化学、数学、生物学、计算机科学等。
在这些应用中，非局部问题的解
的存在性和多重性具有重要的理论和实际意义。
因此，在解决非局部问
题时，探讨其解的存在性和多重性是非常必要和有意义的。
本论文将分析两类非局部问题的解的存在性和多重性：分数阶微积
分方程和非局部扩散方程。
首先，分数阶微积分方程的发展历史及其在
现代科学中的应用将被介绍。
然后，将探讨分数阶微积分方程解的存在
性和多重性。
其次，非局部扩散方程的定义和特性将被概述。
在这方面，我们将探讨此类方程解的存在性和多重性，以及可能具有的奇异性质。
这篇论文旨在通过对两类非局部问题的解的存在性和多重性的分析，从而为解决这些问题提供一些有用的启示和指导。
此外，本文还将研究
这些问题相关的数值方法和数学工具，为进一步的研究提供可能的方向
和途径。
最终，本论文将为解决非局部问题的研究提供新的思路和启示，并为相关领域的应用提供更有效的工具和方法。
《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言近年来，分数阶微分方程作为一类具有重要物理、化学、工程及金融应用背景的数学问题，吸引了越来越多的研究者的关注。
在解决实际问题的过程中，人们发现许多复杂的物理现象和自然规律都可以通过分数阶微分方程进行描述。
而边值问题作为微分方程的重要部分，其解的存在性研究更是成为了数学研究的热点。
本文将主要探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性，为后续的研究和应用提供理论基础。
二、问题描述我们考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题：Dαu(x) = f(x,u(x)),其中 x ∈ [a,b]，满足特定的边值条件。
其中，Dα表示分数阶导数，f(x,u(x))是已知的函数，u(x)是未知的函数。
而边值条件可能包括多种形式，如端点处的值、导数值或混合边界条件等。
本文的目标是研究上述边值问题解的存在性。
三、研究现状自分数阶微分方程提出以来，其解的存在性及唯一性问题就成为了研究的热点。
早期的学者们主要通过传统的解析方法进行研究，如傅里叶级数展开、拉普拉斯变换等。
随着计算机技术的发展，数值方法也逐渐被引入到该领域的研究中。
近年来，一些新的研究方法如不动点定理、压缩映射原理等被广泛应用于分数阶微分方程边值问题的研究中，为解的存在性提供了有力的证明。
四、解的存在性证明本文将采用压缩映射原理来证明上述分数阶微分方程边值问题解的存在性。
首先，我们将问题转化为一个等价的积分方程形式，然后定义一个压缩映射并证明其存在唯一的不动点。
具体步骤如下：1. 将原问题转化为等价的积分方程形式；2. 定义一个压缩映射；3. 证明压缩映射存在唯一的不动点；4. 利用不动点的存在性证明原问题解的存在性。
在证明过程中，我们需要对函数空间进行适当的定义和性质分析，如完备性、连续性等。
同时，还需要对特定的边值条件进行分析和转化，使其适应于压缩映射原理的应用。
五、结论通过上述研究，我们证明了分数阶微分方程边值问题解的存在性。
分数阶微分发展方程非局部问题温和解的存在性
第３５卷第６期２０２１年１１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３５N o ．６N o v ．２０２１收稿日期:２０２１Ｇ０６Ｇ１５基金项目:国家自然科学基金项目(１１９６１０３９);国家自然科学基金项目(１１８０１２４３);兰州交通大学校青年科学基金项目(２０１７０１２)作者简介:豆静(１９９７Ｇ),女,甘肃庆阳人,在读硕士,研究方向:分数阶微分方程．E Ｇm a i l :d j i n g０９２２＠１２６．c o m．通信作者:周文学(１９７６Ｇ),男,甘肃天水人,副教授,博士,硕士研究生导师,研究方向:非线性分析问题．E Ｇm a i l:w x z h o u ２００６＠１２６．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２１)０６Ｇ０００６Ｇ０７分数阶微分发展方程非局部问题温和解的存在性豆㊀静,周文学,吴玉翠(兰州交通大学数理学院,甘肃兰州７３００７０)摘要:运用算子半群理论㊁S c h a e f e r 不动点定理和B a n a c h 不动点原理,研究了分数阶微分发展方程非局部问题T αu t ()＝A u t ()＋f t ,u t (),G u t (),S u t ()(),t ɪ[０,c ],u ０()＋g u ()＝u ０{温和解的存在性和唯一性,并举出实例说明所得结果的适用性．关键词:分数阶发展方程;非局部问题;强连续半群;存在性中图分类号:O １７５．８㊀㊀㊀文献标志码:A0㊀引言随着科学研究的深入,学者们在处理很多问题的时候,发现整数阶微分方程已不能满足研究现状,因而很多学者们将研究方向从整数阶微分方程转向分数阶微分方程．分数阶微分方程广泛运用于流体力学㊁物理学㊁自动控制㊁信号处理等[１Ｇ４]．越来越多的实践证明,分数阶微分方程的实用性优于整数阶微分方程,对分数阶微分方程的研究多数集中于其解的存在性和唯一性㊁可控性㊁分数阶建模等,且大多研究是在R i e m a n n ＧL i Ｇo u v i l l e 和C a pu t o 定义下进行的．近年来,有学者提出新的分数阶导数定义,如一致分数阶导数,参见文献[５]．２００８年,文献[６]研究了分数阶非线性初值问题:u (α)(t )＝A u (t )＋f (t ,u (t ),G u (t ),S u (t )),t ＞t ０,αɪ(０,１],u (t ０)＝u ０ìîíïïïï温和解的存在性和唯一性,此处u (α)(t )为经典的C a pu t o 分数阶导数．非局部问题由B ys z e w s k i 最早提出,其作用相当于将局部的某些性质推广至整体[７],是古典初值问题的推广,它能更好地表达物理现象,如电磁波传导㊁优化控制㊁气体的扩散现象等用非局部问题来描述时契合度更高．２０１６年,文献[７]研究了以下分数阶积分Ｇ微分方程非局部问题:CD q t u (t )＝f (t ,u (t ),G u (t ),S u (t )),t ɪJ ,u (０)＋g (u )＝u ０{解的存在性,其中c D qt ut ()为经典的C a pu t o 分数阶导数．２０１９年,文献[８]研究了非局部条件下分数阶半线性C a u c h y 问题:D a u (t )＝A (t )u (t )＋f (t ,u (t )),t ɪJ ∗＝J \{t １,t ２, ,t m },J ＝[０,k ],u (０)＋g (u )＝u ０,u (t ＋i )＝u (t －i )＋y i ,㊀i ＝１,２, ,m ìîíïïïïï解的存在性和唯一性．其中:D α表示阶数为０＜α＜１的一致分数阶导数;A (t )是B a n a c h 空间中的有界线性算子;t i 满足０＜t １＜t ２＜ ＜t m ＜k ．鉴于上述考虑,本文主要研究以下B a n a c h 空间X 中分数阶发展方程非局部问题:T a u (t )＝A u (t )＋f (t ,u (t ),G u (t ),S u (t )),t ɪ[０,c ],u (０)＋g (u )＝u ０ìîíïïïï(１)Copyright©博看网 . All Rights Reserved.温和解的存在性和唯一性．式中:T α是指阶数为０＜α＜１的一致分数阶导数;G u (t )＝ʏt ０K (t ,s )u (s )d s ,K ɪC D ,R ＋[];S u (t )＝ʏt ０H (t ,s )u (s )d s ,H ɪD ０,R ＋[];D ＝(t ,s )ɪR ２:０ɤs ɤt ɤT {};D ０＝(t ,s )ɪR ２:{０ɤt ,s ɤT },A :D (A )⊂X ңX 是一致有界强连续半群T (t )(t ȡ０)的无穷小生成元,I ＝０,c []．1㊀预备知识设C (I ,X )表示定义于I 取值于X 的全体连续函数按范数 u C ＝m a x t ɪIu (t ) 构成的B a n a c h 空间,对∀u ɪC (I ,X ),I ＝０,c [],其中c ＞０,L p (I )表示区间I 上L e b e s g u e 可积函数按范数 u L p ＝ʏI|u (t )|pd t ()１p构成的空间．设B r ＝u ɪC (I ,X ): u C ɤr ,r ＞０{}是C (I ,X )中的有界凸闭集,且记G １＝m a x g (u ) :t ɪI {},K ∗＝s u p t ɪ０,T[]ʏt０K (t ,s )d s ＜¥,H∗＝s u pt ɪ０,T []ʏt ０H (t ,s )d s ＜¥．定义１[５]㊀令αɪ(０,１),给定函数f :０,¥[)ңR ,则f 的一致分数阶导数定义为T α(f )(t )＝l i m εң０f (t ＋εt １－α)－f (t )ε,t ＞０．引理１[５]㊀令αɪ(０,１),且函数f 和g 在t ＞０上α次可微,则(１)T α(a f ＋b g )＝a T α(f )＋b T α(g ),∀a ,b ɪR ;(２)T α(t p )＝pt p －１,∀p ɪR ;(３)T α(f g )＝f T α(g )＋g T α(f );(４)T α(f )(t )＝t １－αdf d t(t )．引理２[８]㊀(S c h a e f e r 不动点定理)设X 是一个B a n a c h 空间,F :X ңX 是一个紧算子,若集E (F )＝y ɪX :y ＝λF y ,λɪ０,１[]{}是有界的,则F 至少有一个不动点．定义２[９]㊀设X 是B a n a c h 空间,T (t )(０ɤt＜¥)是映X 到X 内的有界线性算子的单参数族,称T (t )(０)ɤ(t ＜¥)是X 上的有界线性算子半群,若(１)T (０)＝I (I 是X 上的恒等算子);(２)T (t ＋s )＝T (t )T (s ),∀t ,s ȡ０．定义３[９]㊀设T (t )(０ɤt ＜¥)是X 中的有界线性算子半群．定义线性算子A 如下:令D (A )＝x ɪX :l i m t ң０T (t )x －xt存在{},且对于X ɪD (A ),A x ＝l i m t ң０T (t )x －x t ＝d ＋T (t )xd t t ＝０,称A 是半群T (t )(０ɤt ＜¥)的无穷小生成元,D (A )是A 的定义域．定义４[９]㊀一个X 上的有界线性算子半群T (t )(０ɤt ＜¥)称为有界线性算子强连续半群或C ０半群,如果l i m t ң０T (t )x ＝x ,∀x ɪX ．引理３[９]㊀(指数有界性)设T (t )(t ȡ０)为X 中的强连续半群,则存在常数M ȡ１,ωȡ０,使得T (t ) ɤM e ωt,t ȡ０．若ω＝０,则T (t )(t ȡ０)为X 中一致有界强连续半群．引理４[１０]㊀(G r o n w a l l 不等式)令f 是区间I ＝a ,b []上一个非负连续函数,δ,λ是非负常数,使得f (t )ɤδ＋ʏt０λs α－１f (s )d s ,t ɪI ,则对∀t ɪI ,有f (t )ɤδe x p λt ααæèçöø÷．引理５[１１]㊀设f ɪC (I ,R ),I ＝０,c [],分数阶发展方程初值问题T αu (t )＝A u (t )＋h (t ),t ɪI ,u (０)＝u ０{存在温和解:u (t )＝T １αt αæèçöø÷u ０＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷h (s )d s ．2㊀主要结果下面给出本文将要用到的假设条件．(H １)设f :I ˑX ˑX ˑX ңX 连续,N ＝m a x f (t ,０,０,０) :t ɪI {},且存在函数L １(t ),L ２(t ),L ３(t )ɪL １(I ),使得 f (t ,u (t ),G u (t ),S u (t ))－f (t ,v (t ),G v (t ),S v (t )) ɤ７第６期豆静等:分数阶微分发展方程非局部问题温和解的存在性Copyright©博看网 . All Rights Reserved.L １(t ) u －v ＋L ２(t ) G u －G v ＋L ３(t ) S u －S v ,t ɪI ,u ,v ɪX ;(H ２)函数g :C (I ,X )ңX 连续,且存在非负常数G ２,使得g (u )－g (v ) ɤG ２ u －v ,∀u ,v ɪC (I ,X )．先考虑分数阶发展方程初值问题T αu (t )＝A u (t )＋f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s )),u (０)＝u ０．{(２)定理１㊀设X 为B a n a c h 空间,A 生成X 中一致有界的强连续半群T (t )(t ＞０),若f :I ˑX ˑX ˑX ңX 满足假设条件(H １),则问题(２)至少存在一个温和解．证明㊀定义算子P :C (I ,X )ңC (I ,X ),满足(P u )(t )＝T １αt αæèçöø÷u ０＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ．(３)分四步来证明．第一步:证明P 连续．设u n ,u ɪC (I ,X ),u n {}ңu ,则对∀t ɪI ,有 P u n (t )－P u (t ) ＝ ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷(f (s ,u n (s ),G u n (s ),S u n (s ))－(f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ɤʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ (f (s ,u n (s ),G u n (s ),S u n (s ))－f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s )) d s ɤʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ ( L １(t ) L １＋ L ２(t ) L １K ∗＋ L ３(t ) L １H ∗) u n (t )－u (t ) ɤcααM ( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗) u n －u ．当n ң¥时,上述不等式右端趋于０,故P 连续．第二步:证明P 将有界集映为C (I ,X )中的有界集．令t ɪI ,u ɪB r ,且M u ０＋cαα(MN ＋r M ( L １ L １＋L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗))＝l ．则有P u (t ) ɤ T １αt αæèçöø÷u ０ ＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ɤM u ０＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷．(f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))－f (s ,０,０,０)) d s ＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷f (s ,０,０,０) d s ɤM u ０＋cαα(MN ＋r M ( L １ L １＋L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗))＝l ．第三步:证明P 将有界集映为C (I ,X )中的等度连续集．令t ɪI ,０ɤt １ɤt ２ɤc 且u ɪB r ,由文献[１２]有P u (t ２)－P u (t １)＝T t α２－t α１αæèçöø÷－I éëêêùûúú [T t α１αæèçöø÷u ０＋ʏt １０s α－１Tt α１－s ααæèçöø÷ f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ]＋ʏt ２t １s α－１T t α２－s ααæèçöø÷f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ．由已知条件及假设条件(H １)可得P u (t ２)－P u (t １)ɤ|T t α２－t α１αæèçöø÷－I |éëêêùûúú M u ０ ＋c ααN æèçöø÷＋MNt α２－t α１αæèçöø÷,当t ２ңt １时,上述不等式右端趋于０,因此P u {}等度连续,由A r z e l a ＧA s c o l i 定理,P u {}相对紧,且P 是一个紧算子．第四步:证明对∀λɪ０,１[],E (P )＝u ɪC (I ,X ):λP u ＝u {}有界．令u ɪE (P ),且存在λɪ０,１[]使得λP u＝u ,u (t ) ＝λ P u (t ) ɤλT １αt αæèçöø÷u ０æèçöø÷＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))－８㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷Copyright©博看网 . All Rights Reserved.－f (s ,０,０,０) d s ＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ f (s ,０,０,０) d s ,因此,有u (t ) ɤλM u ０ ＋MN c ααæèçöø÷＋λM ( L １ L １＋ L ２ L １K ∗[＋ L ３ L １H ∗)]ʏt ０s α－１u (s ) d s ．由引理４,得u (t ) ɤλM u ０ ＋MN c ααæèçöø÷ e x p{１α(λc αM [ L １L１＋ L ２ L １K∗＋L ３ L １H ∗)]}．故E (P )有界,因此由引理２知P 至少有一个不动点,即为问题(２)的温和解．定理２㊀设X 为B a n a c h 空间,A 生成X 中一致有界的强连续半群T (t )(t ＞０),f :I ˑX ˑX ˑX ңX 满足假设条件(H １),若假设M cαα( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗)＜１成立,则问题(２)存在唯一温和解．证明㊀考虑由式(３)定义的算子P ,令u ɪB r ,r ＝M u ０ ＋MN cαα１－M c αα( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗)．由式(３)并结合假设(H １),得 P u (t ) ɤ T １αt αæèçöø÷u ０ ＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))－f (s ,０,０,０) d s ＋ʏt ０sα－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ f (s ,０,０,０) d s ．因此P u (t ) ɤM u ０ ＋MN cαα＋r cααM ( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗)＝r ．则P (B r )⊆B r ,令u ,v ɪB r ,由 P u (t )－Pv (t ) ɤʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ (L １(s )＋L ２(s )K ∗＋L ３(s )H ∗) u (s )－v (s ) d s ,有P u －P v ɤM cαα( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗) u －v ．因为M cαα( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗)＜１,故P 是压缩算子,因此存在唯一不动点u ɪB r ,即为(２)的温和解．接下来考虑非局部问题(１)．由引理５,得到以下结论．引理６㊀令u ０ɪD (A ),若假设(H １),(H ２)满足,则问题(１)等价于积分方程u (t )＝T １αt αæèçöø÷(u ０－g (u ))＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ．(４)证明类似于引理５的证明．定理３㊀设X 为B a n a c h 空间,A 生成X 中一致有界的强连续半群T (t )(t ＞０),若f :I ˑX ˑX ˑX ңX 满足假设条件(H １),g :C (I ,X )ңX 满足条件(H ２),则非局部问题(１)至少存在一个温和解．证明㊀定义算子F :C (I ,X )ңC (I ,X )满足F u (t )＝T １αt αæèçöø÷(u ０－g (u ))＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ．(５)第一步:设u n {}是一个序列,且u n {},u ɪC (I ,X ),u n {}ңu ,则对任意t ɪI ,有 F u n －F u ɤg (u n )－g (u ) T １αt αæèçöø÷ ＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ ９第６期豆静等:分数阶微分发展方程非局部问题温和解的存在性Copyright©博看网 . All Rights Reserved.f (s ,u n (s ),G u n (s ),S u n (s ))－f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s )) d s ɤM G ２ u n －u ＋Mʏt ０sα－１( L １ ＋L ２ K ∗＋ L ３ H ∗) u n －u d s ,因此,F u n －F u ɤ(M G ２＋M cαα( L １ ＋ L ２ K∗＋ L ３ H ∗))u n －u ．当n ң¥时,上述不等式右端趋于０,故F 是连续算子．第二步:考虑非空有界凸闭集B r ＝u ɪC (I ,X ): u ɤr ,r ＞０{},t ɪI ,对任意t ɪI ,和u ɪB r ,有F u (t ) ɤ( u ０ ＋ g (u ) ) T １αt αæèçöø÷ ＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))－f (s ,０,０,０) d s ＋ʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ f (s ,０,０,０) d s ．即F u (t ) ɤM u ０ ＋MG １＋cαα{MN ＋r M (L １L１＋L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗)}＝ω．亦即对任意u ɪB r ,存在ω＞０,使得 F u ɤω,因此,F 将有界集映为C (I ,X )中的有界集．第三步:类似于定理１的证明,可证明F u {}等度连续．由A r z e l a ＧA s c o l i 定理,F u {}相对紧,故F 是紧算子．第四步:证明对∀λɪ０,１[],集合E (F )＝u ɪC (I ,X ):u ＝λF u {}是有界的．对u ɪE (F ),有 u (t ) ɤλ( u ０ ＋ g (u ) ) T １αt αæèçöø÷ ＋λʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))－f (s ,０,０,０) d s ＋λʏt０s α－１T １αt α－１αs αæèçöø÷ f (s ,０,０,０) d s ．因此u (t ) ɤλM u ０ ＋G １＋c ααN æèçöø÷＋λM ( L １ ＋ L ２ K ∗＋ L ３ H ∗)ʏt ０s α－１ u (s ) d s ．由G r o n w a l l 不等式,得u (t ) ɤλM u ０ ＋G １＋c ααN æèçöø÷e x pλc ααM ( L １ ＋ L ２ K ∗＋ L ３ H ∗)éëêêùûúú,故E (t )有界．因此,由S h a e f e r 不动点定理知F 至少有一个不动点,为非局部问题(１)的温和解．定理４㊀设X 为B a n a c h 空间,A 生成X 中一致有界的强连续半群T (t )(t ＞０),f :I ˑX ˑX ˑX ңX 满足假设条件(H １),g :C (I ,X )ңX 满足条件(H ２),若假设M G ２＜λ,M c αα( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗)ɤ１－λ成立,其中λɪ(０,１),则非局部问题(１)存在唯一温和解．证明㊀考虑由式(５)定义的算子F ．首先,令u ɪC ０,T [],X (),则对∀δ＞０,有F u (t ＋δ)－F u (t )＝|T １α(t ＋δ)αæèçöø÷－I |éëêêùûúú[T t ααæèçöø÷(u ０－g (u ))＋ʏt０s α－１T t α－s ααæèçöø÷f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ]＋ʏt ＋δ０s α－１T (t ＋δ)α－s ααæèçöø÷ f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))d s ．由假设条件(H １)㊁(H ２)可得F u (t ＋δ)－Fu (t ) ɤ|T (t ＋δ)α－t ααæèçöø÷－I éëêêùûúú M u ０ ＋c ααN æèçöø÷＋MN (t ＋δ)α－t ααæèçöø÷．当δң０时,上式右端趋于０,因此对任意u ɪ０１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷Copyright©博看网 . All Rights Reserved.C ０,T [],X (),有F u ɪC ０,T [],X (),即对任意的u ɪC (I ,X ),有F u ɪC (I ,X )．其次,证明F 是C (I ,X )上的压缩算子． F u (t )－F v (t ) ɤ g (u )－g (v ) T １αt αæèçöø÷ ＋ʏt ０s α－１ T １αt α－１αs αæèçöø÷ f (s ,u (s ),G u (s ),S u (s ))－f (s ,v (s ),G v (s ),S v (s )) d s ɤM G ２ u －v ＋M ʏt０s α－１( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋L ３ L １H ∗) u －v d s ．因此F u －F v ɤ(M G ２＋M cαα( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗))u －v ．因为M G ２＋M cαα( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗)＜１,所以F 是压缩算子,故在C (I ,X )上有唯一不动点,可得非局部问题(１)有唯一温和解．3㊀例题考虑下列非局部问题:T ０．８u (t ,x )＝∂２∂x ２u (t ,x )＋u (t ,x )(１＋e t)(１＋u (t ,x ))＋ʏt０e－(s －t )１００u (s ,x )d s ＋ʏt０e－(s －t )/２１００u (s ,x )d s ,x ɪ０,１[],t ɪ０,１[],u (t ,０)＝u (t ,１)＝０,u (０,x )＋ʏ０．１０u (t ,x )d t ＝１．(６)令X ＝L ２０,１[]且A u ＝u ᵡD (A )＝u ɪX :u {,u ᶄ绝对连续且u ᵡɪX ,u (０)＝u (１)＝０},由文献[９]知,A 在X 上生成一致有界的强连续半群T (t )(tȡ０),且对任意的t ȡ０, T (t ) ɤ１,则f (t ,u (t ),G u (t ),S u (t ))＝u (t )(１＋e t)(１＋u (t ))＋ʏt０e－(s －t )１００u (s )d s ＋ʏt０e－(s －t )/２１００u (s )d sα＝４５,G (t ,s )＝ʏt０e －(s －t )１００u (s )d s ,H (t ,s )＝ʏt０e－(s －t )/２１００u (s )d s ,故K ∗＝e －１１００,H ∗＝２e －１()１００,M ＝１．设u ,v ɪC ０,１[],R (),可得|f (t ,u (t ),G u (t ),S u (t ))－f (t ,v (t ),G v (t ),S v (t ))|ɤ１２u (t )－v (t )＋G u (t )－G v (t )＋S u (t )－Sv (t )．即L １(t )＝１２,L ２(t )＝１,L ３(t )＝１, g (u )－g (v ) ＝ʏ０．１０u (t )d t －ʏ０．１０v (t )d t ɤ０．１ u －v ．因此,G ２＝０．１＜１５, L １ L １＝１２, L ２ L １＝１, L ３ L １＝１,M G ２＋M cαα( L １ L １＋ L ２ L １K ∗＋ L ３ L １H ∗)＝１５∗１＋１０．８１２＋e －１１００＋２e －１()１００æèçöø÷ʈ０．８６２７＜１．由定理４知问题(６)有唯一温和解．4㊀结语文中运用算子半群理论,结合不动点理论,获得一致分数阶导数定义下微分发展方程初值问题温和解的存在性和唯一性,然后利用相同的方法考虑非局部问题温和解的存在性和唯一性,并举出实例加以验证．参考文献:[１]MA T S U Z A K IT ,N A K A G AWA M．Ac h a o s n e u r o nm o d e lw i t h f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e qu a t i o n [J ]．J o u r n a l １１第６期豆静等:分数阶微分发展方程非局部问题温和解的存在性Copyright©博看网 . All Rights Reserved.o f t h eP h y s i c a l S o c i e t y o f J a pa n ,２００７,７２(１０):２６７８Ｇ２６８４．[２]B A O H B ,P A R KJ ,C A OJD．A d a p t i v e s yn c h r o n i Ｇz a t i o no f f r a c t i o n a l Ｇo r d e rm e m r i s t o r Ｇb a s e dn e u r a l n e t Ｇw o r k s w i t ht i m e d e l a y [J ]．N o n l i n e a r D yn a m i c s ,２０１５,８２(３):１３４３Ｇ１３５４．[３]G ǗM E Z ＧA G U I L A R J F ,CR D O V A T ,E S ＧC A L A N T E ＧMA R TN E ZJE ,e t a l ．E l e c t r i c a l c i r Ｇc u i t sde s c r i b e db y af r a c t i o n a l d e r i v a t i v ew i t ha r e gu Ｇl a r k e r n e l [J ]．R e v i s t aM e x i c a n aD eF ís i c a ,２０１６,６２(２):１４４Ｇ１５４．[４]J I M N E ZL M ,R O S A L E S JJ ,C A R R EO C A ,e t a l ．E l e c t r i c a l c i r c u i t sd e s c r i b e db y fr a c t i o n a l c o n Ｇf o r m a b l e d e r i v a t i v e [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fC i r Ｇc u i tT h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s ,２０１８,４６(５):１０９１Ｇ１１００．[５]K HA L I LR ,A L HO R A N IM ,Y O U S E FA ,e t a l ．An e wd e f i n i t i o no f f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e [J ]．J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s ,２０１４,２６４(５):６５–７０．[６]J A R A D A T O ,A l OMA R I A ,MOMA N IS ．E x i Ｇs t e n c e o f t h e m i l ds o u l u t i o nf o r f r a c t i o n a l s e m i l i n e a ri n i t i a l v a l u e p r o b l e m s [J ]．N o n l i n e a rA n a l y s i s ,２００８,６９(９):３１５３Ｇ３１５９．[７]陈鹏玉,张旭萍,李永祥．具有非局部初始条件的分数阶积分Ｇ微分方程解的存在性[J ]．兰州大学学报(自然科学版),２０１６,５２(６):８２７Ｇ８３１．[８]H E R Z A L L A H M ,R A DWA N A．E x i s t e n c e a n du n i Ｇq u e n e s so fs o l u t i o n st on o n l o c a l Ｇi m p u l s i v ef r a c t i o n a l C a u c h y s e m i l i n e a r c o n f o r m a b l e d i f f e r e n t i a le qu t i o n [J ]．J o u r n a l o f I n t e r d i s c i p l i n a r y Ma t h e m a t i c s ,２０１９,２２(８):１２９５Ｇ１３１０．[９]P A Z Y A ,S e m i g r o u p o fL i n e a rO p e r a t o r s a n dA p pl i Ｇc a t i o n s t oP a r t i a lD i f f f f e r e n t i a l E qu a t i o n s [M ]．B e r l i n :S p r i n g e r ＧV e r l a g,１９８３．[１０]A B D E L J AWA D T．O nc o n f o r m a b l ef r a c t i o n a l c a l Ｇc u l u s [J ]．J o u r n a lo f C o m p u t a t i o n a la nd A p p l ie d M a t h e m a t i c s ,２０１５,２７９:５７Ｇ６６．[１１]柴建红,周文学,孙芮,等．分数阶微分方程初值问题m i l d 解的存在性[J ]．安徽师范大学学报(自然科学版),２０２０,４３(２):１１５Ｇ１２２．[１２]B O U A O U I D M ,HA N N A B O U M ,H I L A L K．N o n l o c a l c o n f o r m a b l e Ｇf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e qu a Ｇt i o n sw i t ha m e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s i nB a n a c h s pa c e s [J ]．J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s ,２０２０,D O I １０．１１５５/２０２０/５６１５０８０．[责任编辑:赵慧霞]E x i s t e n c e o fM i l dS o l u t i o n s o fN o n l o c a l P r o b l e mo f F r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l E v o l u t i o nE qu a t i o n s D O UJ i n g ,Z H O U W e n Ｇx u e ,WUY u Ｇc u i (C o l l e g e o fM a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g t h e t h e o r y o f o p e r a t o r s e m i g r o u p,S c h a e f e r f i x e d p o i n t t h e o r e ma n dB a n a c hf i x e d p o i n t t h e o r e m ,t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fm i l ds o l u t i o n so f t h en o n l o c a l p r o b l e m o f f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e v o l u t i o ne qu a t i o n s T αut ()＝A ut ()＋f t ,ut (),G ut (),S ut ()(),t ɪ[０,c ],u ０()＋g u ()＝u ０,{w e r e i n v e s t i g a t e d a n d a ne x a m p l ew a s g i v e n t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e r e s u l t ．K e y wo r d s :f r a c t i o n a l e v o l u t i o ne q u a t i o n ;n o n l o c a l p r o b l e m ;s t r o n g c o n t i n u o u s s e m i g r o u p ;e x i s t e n c e ２１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷Copyright©博看网 . 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分数阶积分微分方程解的存在性
第３８卷第１期２０２４年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３８N o ．１J a n ．２０２４收稿日期:２０２３Ｇ０８Ｇ１０基金项目:安徽中医药大学教学研究重点项目(２０２１z l g c ０４１,２０２１x j j y Ｇz d ０２０);安徽省省级教学研究项目(２０２１j yx m ０８１３)作者简介:丁敏敏(１９８７Ｇ),女,安徽无为人,讲师,硕士,研究方向为泛函微分方程．E Ｇm a i l :d i n gmm＠a h t c m．e d u ．c n ．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２４)０１Ｇ００３５Ｇ０４分数阶积分微分方程解的存在性丁敏敏(安徽中医药大学医药信息工程学院,安徽合肥２３００１２)摘要:针对一类分数阶积分微分方程,利用不动点定理和分数阶G r o n w a l l 不等式,研究了这类方程解的存在性．文中证明了若所给假设(H )成立,则该类分数阶积分微分方程在J 上至少有一个解．关键词:分数阶积分微分方程;分数阶G r o n w a l l 不等式;不动点定理;解的存在性中图分类号:O １７５．６㊀㊀㊀文献标志码:AE x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o rF r a c t i o n a l I n t e g r o Ｇd i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s D I N G M i n Ｇm i n(S c h o o l o fM e d i c a l I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,A n h u iU n i v e r s i t y ofC h i n e s eM e d i c i n e ,H e f e i ２３００１２,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,t h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f f r a c t i o n a l i n t e gr o Ｇd i f f e r e n t i a l e Ｇq u a t i o n s i ss t u d i e db y u s i n g t h ef i x e d Ｇp o i n t t h e o r e m a n df r a c t i o n a lG r o n w a l l i n e q u a l i t y．I n t h i s p a p e r ,i t i s p r o v e d t h a t i f t h e h y p o t h e s i s (H )i s v a l i d ,t h e f r a c t i o n a l Ｇo r d e r i n t e g r a l d i f f e r Ｇe n t i a l e q u a t i o nh a s a t l e a s t o n e s o l u t i o no n i t ．K e y wo r d s :f r a c t i o n a l i n t e g r o Ｇd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;f r a c t i o n a l i n e q u a l i t y o f G r o n w a l lt y p e ;f i x e d Ｇp o i n t t h e o r e m ;e x i s t e n c e o f s o l u t i o n0㊀引言近年来,分数阶微分积分方程在物理学等众多领域的应用中取得了重大进展．在力学控制理论和工程方面,分数阶积分微分方程获得了广泛的关注[１Ｇ７]．利用上下解方法及单调迭代技巧,J a n k o w s Ｇk i [８]研究了以下中立型R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数阶微分方程D αx (t )＝f (t ,D αx (t ),D αx (θt ()),㊀㊀㊀㊀x (t )),０ɤαɤ１,㊀㊀㊀㊀t ɪJ :＝[０,T ](０＜T ＜¥);t １－αx (t )t ＝０＝０,ìîíïïïïï其中f ɪC (J ˑR ５,R ),θɪC (J ,J ),θ(t )ɤt ,D α是标准的R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数阶导数,αɪ(０,１)．通过应用迭代技术,W a n g 等[９]得到非线性中立型R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数阶积分微分方程唯一解的存在性结论．D αx (t )＝f (t ,D αx (t ),D αx (θt ()),㊀㊀㊀D βx (t ),I γx (t ),x (t )),㊀㊀㊀０＜βɤαɤ１,γȡ０,t ɪJ ;t １－αx (t )t ＝０＝０,ìîíïïïïï其中f ɪC (J ˑR ５,R ),θɪC (J ,J ),θ(t )ɤt ,D α,D β是R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数阶导数,Iγ是R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数积分．更多分数阶中立型积分微分方程的相关结果,详见文献[１０]．本文利用分数阶型G r o n w a l l 不等式和不动点定理,研究了下列分数阶积分微分方程D αx (t )＝f (t ,D αx (t ),D βx (t )),㊀㊀㊀㊀０＜βɤαɤ１,t ɪJ ;t １－αx (t )t ＝０＝０ìîíïïïï(１)解的存在性．1㊀预备知识记号C (I ,R ＋),I ＝[a ,b ],表示从I 到R ＋＝[０,＋¥)上所有连续函数组成的B a n a c h 空间,其范数为 u :＝s u p{u (t ):t ɪI }．另外用C γ(I )表示定义在(a ,b ]上的并且满足条件(t －a )γf (t )ɪC (I )的函数f 组成的B a n a c h 空间,对应范数为 u γ:＝s u p{(t －a )γu (t ):t ɪI }．定义１[１Ｇ２]㊀f :[０,¥)ңR 是连续函数,f 的δ阶R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数阶导数定义为D δf (t )＝１Γ(n －δ)d nd tnʏt ０(t －s )n －δ－１f (s )d s ＝d nd tn (I n －δ０＋)f (t ),n ＝[δ]＋１,这里假设等式右侧在(０,＋¥)上是逐点连续的．定义２[１Ｇ２]㊀f :[０,¥)ңR 是连续函数,f 的δ阶R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数阶积分定义为I δf (t )＝１Γ(δ)ʏt０(t －s )δ－１f (s )d s ,δ＞０,这里假设等式右侧积分存在．引理１[２]㊀设R (α)＞０,０ɤR (γ)ɤ１．如果R (γ)ɤR (α),则从C γ(a ,b )到C [a ,b ]的分数积分算子I αα＋是有界的,即 I αα＋f ɤl f γ,这里l ＝(b －a )R (α－γ)Γ(R (α))Γ(１－R (γ))Γ(α)Γ(１＋R (α－γ))．引理２㊀对于给定函数u ɪC (J ,R ),方程D αx (t )＝u (t ),㊀㊀t ɪJ :＝[０,T ](０＜T ＜¥);t １－αx (t )t ＝０＝０ìîíïïïï(２)有唯一解:x (t )＝I αy (t )＝１Γ(δ)ʏt ０(t －s )δ－１u (s )d s ,０＜αɤ１．引理３㊀假设０＜βɤαɤ１,则方程(２)的唯一解有如下性质:D βx (t )＝I α－βu (t )．(３)令D αx (t )＝u (t ),t ɪJ ．根据引理１和引理２,问题(１)可以转换成如下形式:u (t )＝f (t ,u (t ),I α－βu (t ),I αu (t )),(４)这里,I α－β和I α是标准的R i e m a n n ＧL i o u v i l l e 分数积分．定义３㊀假设对于任意t ɪJ ,有u (t )＝f (t ,u (t ),I α－βu (t ),I αu (t )),(５)则称函数x :J ңR 为方程(１)的温和解．引理４[１１]㊀设u 是定义在I ＝[a ,b ]上的非负连续函数,且设p (t ):I ң(０,¥)是一个非递减连续函数．假设q (t ):I ң[０,¥)是一个非递减连续函数．如果u 满足不等式u (t )ɤp (t )＋q (t )ðni ＝１(I αia ＋)(t ),t ɪI ,(６)则对于k ɪN ,(k ＋１)m i n α１,α２, ,αn {}＞１,有u (t )ɤP k (t )e x pʏt ０H k ＋１(t ,s )d s (),t ɪI ,(７)这里P k (t ):＝p (t )１＋ðkj ＝１q j (t )()ði １＋i ２＋ ＋i n ＝j ,０ɤi １, ,i n ɤj (j i １, ,i n )(t －α)i １α１＋i ２α２＋ ＋i n αn Γ(１＋i １α１＋i ２α２＋ ＋i n αn ),H k ＋１(t ,s ):＝q k ＋１(t ) ðj １＋j ２＋ ＋j n＝k ＋１０ɤj １, ,j n ɤk ＋１(k ＋１j １, ,j n )(t －s )j １α１＋j ２α２＋ ＋j n αn Γ(１＋j １α１＋j ２α２＋ ＋j n αn )．定理１[１２]㊀设X 是正规线性空间,K 是X 的凸子集,O 是K 的开子集,θɪO (θ是X 的零元素)．假设T :O ңK 是全连续算子,其中O 是O 的闭包,那么(１)T 在O 中有一个不动点．(２)存在u ɪ∂O 使得对于u ＝λT u ,λɪ(０,１),其中∂O 是K 中O 的边界．2㊀存在性结果首先,做如下假设:(H )f ɪ(J ˑR ３,R ),存在常数c １＞０,c ２＞０及函数c (t )ɪC (J ,R＋),则f (t ,x ,y ,z )ɤc (t )＋c ０(x ＋y ＋z ),t ɪJ ,x ,y ,z ɪR ,f (t ,x １,y １,z １)－f (t ,x ２,y ２,z ２)ɤc １(x １－x ２＋y １－y ２＋z １－z ２),t ɪJ ,x i ,yi ,z i ɪR ,i ＝１,２．下面用不动点定理来证明(１)的解的存在性结果．定理２㊀若假设(H )成立．则(１)在J 上至少有一个解．６３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷证明㊀定义算子F :C (J ,R )ңC (J ,R )为以下形式:(F u )(t )＝f (t ,u (t ),I α－βu (t ),I αu (t )),t ɪJ ．(８)接着证明F 是连续且全连续的．步骤１㊀F 是连续的．取数列u n ,令u n ңu ɪC (J ,R )．根据假设条件(H ),有 (F u n )(t )－(F u )(t ) ＝ f (t ,u n (t ),I α－βu n (t ),I αu n (t ))－f (t ,u (t ),I α－βu (t ),I αu (t )) ɤc １(u n (t )－u (t ) ＋ I α－βu n (t )－I α－βu (t ) ＋ I αu n (t )－I αu (t ) )ң０,(９)即F 在J 上是连续的．步骤２㊀F 将C (J ,R )中的有界集映射成有界集．即对于任意l ＞０,存在一个常数L ＞０,使得对任何u ɪB l ＝u ɪC (J ,R ):m a x u , u γ{}ɤl {},有 (F u ) ɤL ．根据假设条件(H )和引理１知,存在常数L ＞０,使得(F u )(t )ɤc (t )＋c ０(u (t )＋I α－βu (t )＋I αu (t ))ɤc M ＋c ０(u ＋ I α－βu ＋ I αu )ɤc M ＋c ０( u ＋T α－β－γΓ(R (α－β))Γ(１－R (γ))Γ(α－β)Γ(１＋R (α－β－γ)) u γ＋T α－γΓ(R (α))Γ(１－R (γ))Γ(α)Γ(１＋R (α－γ)) u γ)ɤc M ＋c ０(１＋T α－β－γΓ(R (α－β))Γ(１－R (γ))Γ(α－β)Γ(１＋R (α－β－γ))＋T α－γΓ(R (α))Γ(１－R (γ))Γ(α)Γ(１＋R (α－γ)))l :＝L ,t ɪJ ,(１０)这里,c M＝s u p t ɪJc (t ){},即 (F u ) ɤL ,t ɪJ ,(１１)这意味着算子F 是一致有界的．步骤３㊀F 将C (J ,R )中的有界集映射成等连续集．对于任意u ɪB l ,可证:如果t １,t ２ɪ[０,T ],且０＜t ɡ２－t ɡ１＜δ,则有 (F u )(t ɡ２)－(F u )(t ɡ１) ＜ε．若t ɡ１,t ɡ２ɪ[０,T ],且t ɡ１ңt ɡ２,有u (t ɡ２)－u (t ɡ１) ң０, I α－βu (t ɡ２)－I α－βu (t ɡ１) ＝１Γ(α－β)ʏt ɡ２０(t ɡ２－s )α－β－１u (s )d s －ʏt ɡ１０(t ɡ１－s )α－β－１u (s )d s ɤ１Γ(α－β)ʏt ɡ１０[(t ɡ２－s )α－β－１－(t ɡ１－s )α－β－１]u (s )d s ＋１Γ(α－β)ʏt ɡ２t ɡ１(t ɡ１－s )α－β－１u (s )d s ң０, I αu (t ɡ２)－I αu (t ɡ１) ＝１Γ(α)ʏt ɡ２０(t ɡ２－s )α－１u (s )d s －(１２)ʏt ɡ１０(t ɡ１－s )α－１u (s )d s ɤ１Γ(α)ʏt ɡ１０[(t ɡ２－s )α－１－(t ɡ１－s )α－１]u (s )d s ＋１Γ(α)ʏt ɡ２t ɡ１(t ɡ１－s )α－１u (s )d s ң０,(F u )(t ɡ２)－(F u )(t ɡ１) ＝ f (t ɡ２,u (t ɡ２),I α－βu (t ɡ２),I αu n (t ))－f (t ɡ１,u (t ɡ１),I α－βu (t ɡ１),I αu (t ɡ１)) ң０．根据步骤１,２,３的结果,可以得出以下结论:F :C (J ,R )ңC (J ,R )是连续和全连续的．步骤４㊀方程u ＝λF u ,０＜λ＜１在∂B l 上无解,其中B l ＝u ɪC (J ,R ):m a x u , u γ{}ɤl {}是有界的．令u ɪ∂B l ,则存在０＜λ＜１,使得u ＝λF u ,因此有u (t )＝λf (t ,u (t ),I α－βu (t ),I αu (t )),t ɪJ ,λɪ(０,１),(１３)根据假设(H )和引理４,类似步骤２的证明过程,可证u (t )＜f (t ,u (t ),I α－βu (t ),I αu (t ))ɤc (t )＋c ０(u (t )＋I α－βu (t )＋I αu (t ))ɤ７３第１期丁敏敏:分数阶积分微分方程解的存在性c M＋c０l＋c０(Iα－βu(t)＋Iαu(t)),tɪJ,(１４)且u ＜L＝m a x{P k(t)e x p(ʏt０H k＋１(t,s)d s)},tɪJ,(１５)其中,P k(t),H k＋１(t,s)如引理４定义．因此u∉∂B l,所以∂B l上的算子方程u＝λF u无解,０＜λ＜１．根据定理１,可得出算子F有一个不动点,这就是问题(１)的解．3㊀结语综上所述,本文利用不动点定理和分数阶G r o n w a l l不等式,研究了一类分数阶积分微分方程解的存在性．文中证明了若所给假设(H)成立,则该类分数阶积分微分方程在J上至少有一个解．至此,分数阶积分微分方程(１)的解的存在性得以证明．参考文献:[１]P O D L U B N YI．F r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s[M]．S a nD i e g o:A c a d e m i cP r e s s,１９９９．[２]K I L B A SA A,S R I V A S T A V A H M,T R U J I L L OJ J．T h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s o f f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u aＧt i o n s[J]．N o r t hＧH o l l a n d M a t h e m a t i c sS t u d i e s,２００６,２０(４):２５１Ｇ２５４．[３]S T AMO V AI,A L Z A B U TJ,S T AMO V G．F r a c t i o n a l d y n a m i c a l s y s t e m s:r e c e n t t r e n d s i n t h e o r y a n da p p l iＧc a t i o n s[J]．E u r o p e a nP h y s i c a l J o u r n a l S p e c i a l T o p i c s,２０１７,２２６(１６Ｇ１８):３３２７Ｇ３３３１．[４]Z HA N G Y,B A IZ,F E N G T．E x i s t e n c er e s u l t s f o ra c o u p l e d s y s t e m o f n o n l i n e a r f r a c t i o n a lt h r e eＧp o i n t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m sa t r e s o n a n c e[J]．J o u r n a l o fI n e q u a l i t i e s&A p p l i c a t i o n s,２０１８,６１(４):１０３２Ｇ１０４７．[５]S A B A T I E RJ,A G R AWA lO P,MA C HA D OJ．A dＧv a n c e s i n f r a c t i o n a l c a l c u l u s:t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t s a n da p p l i c a t i o n s i n p h y s i c sa n de n g i 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g,１９８６．[责任编辑:赵慧霞]８３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷。
分数阶微分方程边值问题解的存在性
分数阶微分方程边值问题解的存在性分数阶微分方程边值问题解的存在性一、引言分数阶微分方程是一类描述复杂动态系统行为的数学模型，它在描述非线性、非局部以及非整数阶现象等方面具有独特的优势。
与传统的整数阶微分方程相比，分数阶微分方程的解尚未得到充分的研究。
本文将探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性，并通过数学推导和分析，为其解的存在性提供一定的证明。
二、分数阶微积分及其应用分数阶微积分是对经典微积分的一种扩充和泛化，它引入了分数阶导数和分数阶积分的概念。
分数阶导数可以用来描述非局部和非整数阶现象，例如弛豫效应、长程记忆等。
而分数阶微分方程是利用分数阶导数建立的，其在描述复杂系统的行为中发挥着重要的作用。
分数阶微分方程的边值问题是在给定边界条件下求解方程的特定解。
边值问题在实际问题中具有广泛的应用，例如物理学中的电磁场分布、化学反应动力学等。
而分数阶微分方程边值问题的解的存在性则是一个重要的数学问题。
三、分数阶微分方程的边值问题考虑分数阶微分方程边值问题：D^αy(x) = f(x,y(x)), 0 < α ≤ 1, a ≤ x ≤ b,y(a) = A, y(b) = B, (1)其中D^α表示分数阶导数，f(x,y(x))是已知的函数，A、B是给定的常数。
为了研究方程(1)的解的存在性，我们将其转化为积分方程的形式。
首先，将方程(1)的分数阶导数表示为以下定积分形式：y(x) = 1/Γ(1-α)∫[a,x](x-t)^(α-1)f(t,y(t))dt + C,a ≤ x ≤ b, (2)其中C是常数，Γ(1-α)为欧拉积分。
然后，我们通过连续逼近方法，构造一列定义在[a, b]上的函数序列{y_n(x)}，使得它们的极限函数为方程(2)的解。
分数阶微积分的性质表明，通过连续逼近方法可以得到方程(2)的解。
接下来，我们验证这个函数序列是否满足边界条件y_n(a) = A和y_n(b) = B。
《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要：本文探讨了分数阶微分方程边值问题的解的存在性。
利用不动点定理和分形算子理论，对特定类型的分数阶微分方程进行了解析研究，证明了在满足一定条件下，该类边值问题存在解。
本文的研究不仅为分数阶微分方程的求解提供了新的思路，也为相关领域的研究提供了理论依据。
一、引言分数阶微分方程作为数学领域的一个重要分支，在物理、工程、生物等多个领域有着广泛的应用。
近年来，随着分形理论和现代数学理论的不断发展，分数阶微分方程的研究越来越受到关注。
特别是对于一些复杂的物理和工程问题，其数学模型往往可以归结为分数阶微分方程的边值问题。
因此，研究这类问题的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。
二、问题描述与预备知识本文考虑的分数阶微分方程边值问题可以描述为：在给定的区间上，满足一定的初始条件和边界条件的分数阶微分方程的解的存在性问题。
为了解决这一问题，我们首先需要引入分数阶微分方程的基本概念和性质，包括分数阶导数的定义、分形算子的基本理论等。
此外，还需要介绍一些相关的数学工具，如不动点定理等。
三、解的存在性证明本部分是本文的核心内容，主要利用不动点定理和分形算子理论来证明分数阶微分方程边值问题解的存在性。
具体步骤如下：1. 定义分数阶微分方程的算子形式，并分析其性质。
2. 利用不动点定理的基本原理，构建一个合适的函数空间，使算子成为这个空间上的自映射。
3. 通过证明算子在该函数空间中具有压缩性质，进一步利用不动点定理的结论得出解的存在性。
4. 为了解决特殊类型的边值问题（如非线性边值问题），需要引入分形算子理论，通过构造适当的分形算子来处理问题的非线性部分。
5. 结合分数阶微分方程的特性和分形算子的性质，证明在满足一定条件下，该类边值问题存在解。
四、结论本文通过利用不动点定理和分形算子理论，证明了特定类型的分数阶微分方程边值问题解的存在性。
这为分数阶微分方程的求解提供了新的思路，也为其在物理、工程、生物等领域的实际应用提供了理论依据。
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了 初 始 测量点
２
， …
／
＝
〇
外还 包 含其 他 的 测 量 点 仏
Ｍ （０
）
Ａ
＝
：
ｌ
，
中 的 定 理 ２ ３ 并 推 广 文献
．
，
［
８］
中 的 问题
（
２
）
为 积分
＂
２
１
－
，
ｐ
具有 非局 部初 始条 件
＋
ｇ（ ？ ）
０
＝
＝
ｗ。
．
■
，
，
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，
４
｜
＝
ｃ
Ｎ Ｇ ｕ ｅ ｒ ｅｋ ａ
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｜
ｘ
｜
ｔ
ａ
利用
Ｂ ａ ｎａ ｃ ｈ
压缩 映射原 理 及 Ｋ
ｒａ ｓ
－
六
＂＂
丨
ｎｏ ｓ ｅ
’
ｌ
ｓｋ
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不 动 点 定 理 获 得 了 Ｂ ａｎ ａ ｃ ｈ 空 间
￡
中的
Ｉ
微分 方 程 非 局 部 问 题
Ｄ
＾
｜
：
ｕ （ｔ）
Ｗ 〇） （
兰 州 大 学学 报
Ｊ
ｌ
：
自
然科 学 版
ｉ
，
２０
１
６
，
５２ ６ ） ／ １ ２ 月
（
ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｏ ｆ Ｌａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕ ｎ ｖｅ ｒ ｓ
ｉ
ｔ
ｙ
：
Ｎ ａ
ｔ
ｕ
ｒａ
ｌ
Ｓｃ ｅ ｎ ｃｅ
ｉ
ｓ
，
２ ０ １ ６ ５ ２
，
（
６ ） ／ Ｄ ｅ ｃｅ ｍ ｂ ｅ ｒ
；
；
中 图分类号
ＤＯ Ｉ
：
：
０
１
７５
．
１
５
；
０
１
７５ ６
．
文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号
：
．
：
０４ ５ ５
－
２ ０５ ９ ２ ０ （
１
６
）
０ ６ ０８ ２ ７
－
－
０５
０
１
．
１
３ ８８ ５
／ ｊ
．
ｉ
ｓｓ
ｎ ０４ ５ ５
．
－
２ ０５ ９ ２ ０
１
６ ０６ ０
．
．
１
６
Ｅｘ
－
．
Ｈ
紧 性 测 度 条件 ４ 增 Ｋ 条 件 下 利 川 新 的
，
．
Ｉ
丨
；
紧 Ｗ则 度 佔
ｉ
卜
技巧
￣凸￥
凝聚算 子＋ 动点 定理获 得 了 所
研究 Ｍ 题 解 的 存 在 性 结 果
： ；
关 键 词 分数 阶 微 分 方 程 非 局 部 初 始 条 件 凝 聚 映 射 存 在 性
；
３４
Ｋ３ ０
分 数 阶 微 分 方程 是 指 经 典 微 分方 程 中 的 整 数 具 有 非 局 部 初 始 条 件 的 微 分 方 程 简 称 非 局
（
阶 导 数 被 任 意 阶 导 数 替 代 所 得 的 微 分方 程
，
．
由于
，
部问 题 是由
）
Ｂ ｙ ｓｚ ｅ ｗ ｓｋ Ｐ
一
生 物 数 学 及 其 他应 用 领域 中 的 问 题 的 存 在 唯
收稿
日
性及 指 数 衰 减性 非 局 部 项 为
，
期
目
：
２０
１
５ ０４
－
－
１
５
修 回
日
期
丨
：
２０
５０
１
５
－
０６ ０ ２
－
基 金项
：
国家
自
然科 学 基 金 项 目
１
１
（
４５５
－
，
丨
１
６６
１
０ ７１
４ ３
－
）
；
的
微分方程非 局部 问题
（
３
）
；
通 过 利 用 孙 经 先等
，
建
Ｃ ａｕ ｃ ｈ ｙ
问 题 比具有 通 常 的初 始 条 件 《
（
）
Ｍ。
的古
立 的 凸 幂 凝 聚 算 子 不 动点 定 理 取 消 了 以 往 对 非
线 性 项 ／ 所加非 紧 性测 度 条 件 系 数 的 限 制 采 用
Ｃ ｈ ｅ ｎ Ｐ ｅ ｎ ｇ
Ｉ
－
ｙｕ Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ Ｘ ｕ ｐ ｎ ｇ Ｌ
－
，
ｉ
，
ｉ
Ｙ ｏ ｎｇ
－
ｘ ａ ｎｇ
ｉ
Ｃｏ
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Ｍａ
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ｈ ｅ ｍ ａｔ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｔａ ｔ
ｉ
ｉ
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ｔ
ｉ
ｃｓ
，
Ｎｏ ｒ ｔｈ ｗｅ ｓ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ Ｕｎ
ｙ
问 题 相 比 非 局 部 问 题 在 解 决实 际 问 题
， ，
传 性质 的 材 料 和 传 送 过 程 例 如 可 以 用 分 数 阶 微
．
，
时 有 更好 的 表 现 可 以 表 示 各 种 发 展 变 化 的 现 象
的 数学 模 型 例 如 非 局 部污 染
，
分 方 程 来 描 述 流 变 学 及 材 料 和 力 学 系 统 机 器人
１
＇
、
，
Ａ ）
，
使 得 对 几乎 所 有 的
丨
和任思
鉴 于 上 述 原 因 本 研 究 将 更正 和 推 广 文 献
，
［
８
］
中 的 结 论 研究
， ，
Ｂ ａ ｎ ａｃ ｈ
空间
五中
的 分 数 阶 积 分 微 ０
－ １
’
ｗ
’
Ｍ
丨 丨
ｌ
分方 程 非 局 部 问 题
（
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ｔ
ｅ
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，
和 几乎 所 有 的
（
ｅＪ
，
有
２
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３
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■
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，
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为 积 分算 子 积 分 核 尺 ｅ Ｃ Ｈ
ａ｝
，
■
／？
）
，
」
＝
他 邛 ０分 专
／
、
、
非 局 部神经 网 络
２
｜ １
、
控制
力学
、
系 统 识 别 和 信 号处 理 光学 和 热 学 系 统 凝
、 、
、
非 局 部 药物 动 力 学 以 及 非 局 部 燃 烧 等 究了
一