简单曲线的极坐标方程课件(选修4-4)

4
5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 5 4
2、求过极点，倾角为 的直线的极 4 5 坐标方程。 或 0
4
坐标方程。
( 0)
新知三 过极点的直线极坐标方程 ( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
新知一： 圆的极坐标方程
( １ ) 圆 心 在 极 点 ， 半 径 为 a ；
( ２ ) 圆 心 在 Ｃ ( a , 0 ) ， 半 径 为 a ；
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
例3：求过点A (a,/2)(a>0)，且平行于 极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，建立极坐标系， 设点 M ( , ) 为直线L上除点
与直角坐标系里的情况一样

①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ，)为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④化简 （此方程f(,)=0即为曲线的方程）
探 究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C (a, 0)(a 0) 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 ( , )满足的条件吗？

5、在极坐标系中，已知 一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是( C
＝12 sin( )，则过圆心与极轴垂直 的
)

A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
6、在极坐标系中，与圆 ＝4 sin 相切的一条 直线的方程是 ( B ) A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
A
o
A外的任意一点，连接OM
在 Rt MOA 中有
﹚
M x
IOMI sin∠AMO=IOAI 即 sin ＝a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
( 例 4 ： 设点A的极坐标为 a , 0) 直线 l 过点A且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
sin( ) 1 sin( 1 )
解：在直线l上任意取点M ( , ) A(2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
A


(2, ) 4
M


2

4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2

2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程

新知二：
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
如何转化成直角坐标的方程再求圆心坐标和半径。
2＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0
有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少 有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲 线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
求曲线的极坐标方程的步骤：
所以， 2a cos 就是 圆心在C (a,0)(a 0), 半径 为a的圆的极坐标方程。O
C(a,0)
A
M（，）
x
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M

O

r x
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。 解：原式可化为
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6

（（圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为＝2a cos( ) 此圆过极点O））
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 C
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 ＝ ( R) 2、过轴上某定点，且垂直于极轴 cos a
3、过A (a,/2)(a>0)，且平行于极轴 sin ＝a
4、过轴上某定点，且与极轴成一定的角度
sin( ) a sin
5、过轴外某定点，且与极轴成一定的角度
4 4、把极坐标方程＝ 化为直角坐标方程。 2－ cos
解：方程可化为 － cos 4 2 即2 ＝4＋x 两边平方得： 2＝( x 4) 2 4 4 x 4 y x 8 x 16
2 2 2
3x 8 x 4 y 16
2 2
引例 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 /4 ，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
＝a
( ３ ) 圆 心 在 ( a , / 2 ) ， 半 径 为 a ；
(４)圆心在Ｃ(0,０)，半径为r。极坐标系中的一般方程
＝2acos ＝2asin
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在 △OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ. 根据余弦定理,得 CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1), 即r2=ρ21+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1). 也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ21-r2)=0. 这就是圆在极坐标系中的一般方程.
a sin( ) sin( ) 即
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
例5：设点P的极坐标为( 1 ,1 ) ，直线 l 过点P且 与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 l 解：如图，设点 M ( , )为直线上除点P外 的任意一点，连接OM，则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1 设直线L与极轴交于点A。则在MOP 中 OMP , OPM ( 1 ) M 由正弦定理得 OM OP 1 P sin OPM sin OMP 1 即 ﹚1 ﹚ sin[ ( 1 )] sin( ) o x A sin( ) 1 sin( 1 ) 显然点P的坐标也是上式的解。
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
x ( y 2) 4
2 2
2、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin 2 化为直角坐标系为 2＝4 sin
即x y 4 y x ( y 2) 4
2 2
把极坐标方程 cos( )转化为直角坐标系下的方程 4
解：＝cos cos
2
ห้องสมุดไป่ตู้
4
sin sin
4
2 2 cos sin 即 2 2 2 2 2 2 x y x y0 2 2 2 2 2 2 1 (x ) (y ) 4 4 4
2 2 2 2

3、已知圆C1 : 2 cos ,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0, 试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x 1) 2 y 2 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ( y 3 ) 2 1，圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 2所以两圆相外切。
变式1: 在极坐标平面上, 求圆心A(8, ), 半径为5的圆的方程. 3

1、极坐标方程 cos( )所表示的曲线是（ D ） 4

A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆

2
2、曲线的极坐标方程＝4 sin 表示的圆的 圆心坐标和半径是什么？ 圆心坐标是(2,
), 半径是r=2
3、圆＝10 cos( )的圆心坐标是（ C ） 3 2 D、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 C、 , ) (5 3 3 3
5 ( R) 或 ( R) 4 4

4
4
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。