必修二 空间几何证明经典题型
高中必修二空间几何练习题及讲解
高中必修二空间几何练习题及讲解### 高中必修二空间几何练习题及讲解#### 练习题一：点、线、面的位置关系题目：在空间直角坐标系中，设点A(2, 3, 4)，点B(-1, -2, 1)，求证线段AB与平面x+y+z=6垂直。
解答：首先，我们需要找到线段AB的方向向量。
设向量\(\vec{AB} =\vec{b} - \vec{a}\)，其中\(\vec{a} = (2, 3, 4)\)，\(\vec{b} = (-1, -2, 1)\)。
计算得到\(\vec{AB} = (-3, -5, -3)\)。
接下来，我们观察平面x+y+z=6的法向量。
由平面方程可知，其法向量为\(\vec{n} = (1, 1, 1)\)。
要证明线段AB与平面垂直，需要证明\(\vec{AB} \cdot \vec{n} =0\)。
计算点积：\((-3) \times 1 + (-5) \times 1 + (-3) \times 1 = -3 - 5 - 3 = -11\)。
由于点积不为零，线段AB与平面x+y+z=6不垂直。
题目中的结论是错误的。
#### 练习题二：空间几何体的体积计算题目：已知一个正四面体的高为h，求其体积。
解答：正四面体的体积公式为\(V = \frac{1}{3}Bh\)，其中B是底面积。
正四面体的底面是一个正三角形，设正四面体的边长为a，则底面积B 可以通过公式\(B = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)计算。
由于正四面体的高h与边长a有如下关系：\(h =\frac{\sqrt{2}}{2}a\)。
将h代入体积公式，得到\(V = \frac{1}{3} \times\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}a =\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)。
#### 练习题三：空间直线与平面的交点题目：已知直线l: \(x = 2t + 1\), \(y = 1 - t\), \(z = 3 - 4t\)，平面π: \(2x - y + z - 5 = 0\)，求直线l与平面π的交点。
必修2立体几何证明题详解（五篇）
必修2立体几何证明题详解（五篇）第一篇：必修2 立体几何证明题详解迎接新的挑战!必修2 证明题一．解答题（共3小题）1．（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定。
分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB ∴PB∥平面AEC（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．又FO=AB=PA=EF∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．2．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．考点：三垂线定理。
专题：作图题；证明题。
分析：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，证明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．解答：证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，∵，又∵AB⊥PE，∴AB⊥平面PEO，∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．欢迎加入高一数学组联系电话:***迎接新的挑战!必修2 证明题在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．（I）求证：A1C⊥BD；（II）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；（III）求二面角B1﹣CD﹣B的正切值．考点：三垂线定理；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题。
必修二空间几何证明经典题型
必修二空间几何证明经典题型一.解答题(共25小题)1・如图,在四棱锥P - ABCD中,AB〃CD, AB丄AD, CD=2AB,平面PAD丄底面ABCD, PA±AD・E 和F分别是CD 和PC的中点，求证：(0) BE〃平面PAD； (0) PA丄BC； (0)平面BEF丄平面PCD.C【解答】解：(E) VPA丄AD,平面PAD丄平面ABCD,平面PADQ平面ABCD二AD, 山平面和平面垂直的性质定理可得PA丄平面ABCD.(回)VAB/7CD, AB丄AD, CD=2AB, E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE〃AD.乂ADu平面PAD, BE不在平面PAD内，故有BE〃平面PAD.(0)平行四边形ABED中，由AB丄AD可得，ABED为矩形，故有BE丄CD.山PA丄平面ABCD,可得PA丄AB,再由AB丄AD可得AB丄平面PAD,•'•CD丄平面PAD,故有CD丄PD.再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF〃PD,/.CD丄EF・而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD丄平面BEF.由于CDc平面PCD, •••平面BEF丄平面PCD.2.如图，在三棱锥V・ABC中，平面VAB丄平面ABC, AVAB为等边三角形，AC1BC且AC=BC=V^, O, M分别为AB, VA的中点.(0)求证：VB〃平面M 0C： (0)求证：平面M0C丄平面VAB；(0)求三棱锥A・M0C的体积•TVBQ 平面 MOC, OMu 平面 MOC, •'•VB 〃平面 MOC ；（0）证明：VAC=BC, O 为AB 的中点，・・・OC 丄AB,乂・••平面VAB 丄平面ABC,平面ABCA 平面VAB 二AB,且OCu 平面ABC,/•OC 丄平面VAB,TOCu 平面MOC, •••平面MOC 丄平面VAB ：（囹）解:在等腰直角三角形ACB 中,AC=BC=V2» .*.AB=2, OC=1,・•・等边三角形VAB 的边长为2, S A V AB =V3»TO, M 分别为AB, VA 的中点・・・・Sgo*呦B 年.乂TOC 丄平面VAB,・••三棱锥也。
必修二立体几何典型例题
必修二立体几何典型例题【知识要点】1．空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交．②无公共点：平行或异面．平行，记作：a∥b．异面中特殊位置关系：异面垂直．(2)空间直线与平面：①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交．直线在平面内，记作：a⊂α ．直线与平面相交，记作：a∩α ＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交．②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥α ．(3)空间两个平面：①有公共点：相交，记作：α ∩β ＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交．②无公共点：平行，记作：α ∥β ．2．空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．②性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：【例题分析】例1：在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面P AD．【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(2)例2在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．例3在三棱锥P－ABC中，平面P AB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面P AC⊥平面PBC．【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：例4 如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1是菱形，且垂直于底面ABC ，∠A 1AB ＝60°，E ，F 分别是AB 1，BC 的中点．(Ⅰ)求证：直线EF ∥平面A 1ACC 1；(Ⅱ)在线段AB 上确定一点G ，使平面EFG ⊥平面ABC ，并给出证明．例5 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点．(Ⅰ)求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1； (Ⅱ)求证：AB 1∥平面BEC 1．例6 在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形， 已知BD ＝2AD ＝8，542==DC AB ．(Ⅰ)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面P AD ； (Ⅱ)求四棱锥P －ABCD 的体积．练习1．如图，三棱锥P －ABC 的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M ，N 分别为P A ，BC 的中点．(Ⅰ)求MN 的长； (Ⅱ)求证：P A ⊥BC ．2．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(Ⅰ)直线EF ∥平面ACD ； (Ⅱ)平面EFC ⊥平面BCD ．3．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°， BC ∥AD ，AF BE AF BE AD BC 21,//,21==，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(Ⅰ)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (Ⅱ)C ，D ，F ，E 四点是否共面?为什么?(Ⅲ)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE ．。
必修二++空间几何证明经典题型
∴GF∥平面ABC（5分）
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN
（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴ （2分）
又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
10．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．
【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）
∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ= CD．…（2分）
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO为VA﹣BCDE的高， ，∴ ．
6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC= ．
（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．
【解答】证明：（1）∵BC∥B1C1，且B1C1⊂平面AB1C1，BC⊄平面AB1C1，
【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．
所以在△CPA中，EF∥PA，
又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD；
（2）平面PAD⊥平面ABCD
平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA
正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD
高中立体几何证明题
高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。
解析1. 连接AC。
- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。
2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。
- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。
- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。
- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。
题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。
解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。
- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。
2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。
- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。
- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。
二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。
解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。
- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。
- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。
- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。
- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。
- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。
必修二++空间几何证明经典题型(1)
必修二空间几何证明经典题型考试围：必修二空间几何；考试时间：100分钟；命题人：罗文波第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．解答题（共25小题）1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E 和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）BE∥平面PAD；（Ⅱ）PA⊥BC；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．2．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（Ⅰ）求证：VB∥平面M OC；（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB ；（Ⅲ）求三棱锥A﹣MOC的体积．3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面BEF⊥平面PAB．4．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D 不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．5．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC=．（1）求证：BC∥平面AB 1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．7．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD 的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．9．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，G为BC的中点，求证：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．10．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD 上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC=．求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．13．如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若分别是PQ，CQ的中点．求证：（1）CE∥平面PBD；（2）平面FBD⊥平面PBD．14．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD 的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C l中，M，N分别为CC1，A1B1的中点．CA⊥CB1，CA=CB1，BA=BC=BB1．（Ⅰ）求证：直线MN∥平面CAB1；（Ⅱ）求证：直线BA1⊥平面CAB1．18．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求证：MN∥平面ADE；（III）求点A到平面BCE的距离．19．在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．20．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD⊥平面ABCD，．（I）求证：EF∥平面ABCD；（II）求证：平面ACF⊥平面BDF．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C 1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．22．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD ⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．（1）求证：BF∥平面ADP（2）已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF．23．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF ∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED=．M 为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：ED⊥CD；（Ⅱ）求证：AD∥MN；（Ⅲ）若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．24．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC⊥平面ABCD，E为PD 的中点，PA=PC，AB=2BC=2，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PAC．必修二空间几何证明经典题型一．解答题（共25小题）1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E 和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）BE∥平面PAD；（Ⅱ）PA⊥BC；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF．而EF和BE是平面BEF的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．2．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（Ⅰ）求证：VB∥平面M OC；（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB；（Ⅲ）求三棱锥A﹣MOC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC ∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；（Ⅲ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB=，∵O，M分别为AB，VA的中点．∴．又∵OC⊥平面VAB，∴三棱锥．3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面BEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在△APC中，因为E、F分别是PA、AC的中点，所以EF∥PC，…（3分）又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF∥平面PBC．…（6分）（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE，…（9分）又PA⊥PC，EF∥PC，所以PA⊥EF ，…（12分）因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，所以PA⊥平面BEF，又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面BEF．…（14分）4．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC ⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D 不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．5．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取AC 中点G ，连接FG 、BG ， ∵F ，G 分别是AD ，AC 的中点 ∴FG ∥CD ，且FG=DC=1． ∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等 ∴EF ∥BG ． EF ⊄面ABC ，BG ⊂面ABC ∴EF ∥面ABC…（4分）（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC ，BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC ，DC ，∴BG ⊥面ADC ． …（6分） ∵EF ∥BG ∴EF ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …（8分） 解：（Ⅲ）方法一：连接EC ，该四棱锥分为两个三棱锥E ﹣ABC 和E ﹣ADC ．．…（12分）方法二：取BC 的中点为O ，连接AO ，则AO ⊥BC ，又CD ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥AO ，BC ∩CD=C ，∴AO ⊥平面BCDE ， ∴AO 为V A ﹣BCDE的高，，∴．6．如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，且∠ABC=．（1）求证：BC ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．【解答】证明：（1）∵BC ∥B 1C 1，且B 1C 1⊂平面AB 1C 1，BC ⊄平面AB 1C 1， ∴BC ∥平面AB 1C 1．（2）∵平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∴平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∵平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1B 1，A 1B 1⊥C 1B 1， ∴C 1B 1⊂平面AB 1C 1， ∴平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．7．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．【解答】解：（I）证法一：取BE 的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB 的中点N连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴（2分）又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）∵C﹣ABED是四棱锥，∴V C﹣ABED==（14分）8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）9．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD 相交于点O，EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，G为BC的中点，求证：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴O是AC中点，∵G为BC的中点，∴OG∥AB，∵OG⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．（2）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，O是AC中点，∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，∵EO∩BD=O，∴AC⊥平面BDE．10．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC 的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分）又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AQ．…（4分）又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．…（5分）（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC．【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．所以在△CPA中，EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD．因为CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC所以PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，所以面PAB⊥面PDC．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC=．求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．【解答】解：（1）ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，AB=BC=EC=．可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形，E为CC1的中点．连接AC与DB交于O，连接OE，可得：AC1∥OE，OE⊂平面BDE．∴AC1∥平面BDE．（2）连接OA1，根据三垂线定理，可得OA1⊥DB，OE⊥DB，OA1∩OE=O，∴平面A1OE⊥DB．可得A 1E⊥DB ．∵E为CC 1的中点．设AB=BC=EC=AA1=a∴，A1E=，A1B=∵A1B2=A1E2+BE2．∴A1E⊥EB．∵EB⊂平面BDE ．BD⊂平面BDE．EB∩BD=B，∴A 1E⊥平面BDE．13．如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若分别是PQ ，CQ的中点．求证：（1）CE∥平面PBD；（2）平面FBD⊥平面PBD．【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，连接PO，则∵O是AC的中点，E是PQ的中点，∴PE=OC，PE∥OC，∴四边形POCE是平行四边形，∴CE∥PO，∵CE⊄平面PBD，PO⊂平面PBD，∴CE∥平面PBD；（2）∵平面ACQP⊥平面ABCD，平面ACQP∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACQP，∵PO⊂平面ACQP，∴BD⊥PO，连接AQ，OF，则由三角形相似可AQ⊥PO，∵F是CQ中点，O是AC的中点，∴OF∥AQ，∴OF⊥PO，∵BD∩OF=O，∴PO⊥平面FBD，∵PO⊂平面PBD，∴平面FBD⊥平面PBD．14．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB1的中点，所以，F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（Ⅱ）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A=A，AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．…（2分）又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．…（4分）因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．…（6分）（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①…（8分）因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②…（10分）由①②得CD∥AB，…（12分）因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ．…（14分）16．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA=AD ．（Ⅰ）求证：AF ∥平面PEC ； （Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PCD ．【解答】证明：（Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△CDP 的中位线，FG ∥CD ，FG=CD ．∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，∴AE ∥CD ，AE=CD ． ∴FG=AE ，FG ∥AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE ； （Ⅱ）∵PA=AD ．∴AF ⊥PD PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又因为CD ⊥AB ，AP ∩AB=A ，∴CD ⊥面APD ∴CD ⊥AF ，且PD ∩CD=D ，∴AF ⊥面PDC 由（Ⅰ）得EG ∥AF ，∴EG ⊥面PDC又EG ⊂平面PCE ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C l 中，M ，N 分别为CC 1，A 1B 1的中点．CA ⊥CB 1，CA=CB 1，BA=BC=BB 1． （Ⅰ）求证：直线MN ∥平面CAB 1； （Ⅱ）求证：直线BA 1⊥平面CAB 1．【解答】证明：（Ⅰ）设A 1B 与AB 1交于点O ，连接CO ，ON ．因为四边形ABB 1A 1是平行四边形，所以是O 是AB 1的中点，又N 是A 1B 1的中点，所以．ON又因为M 是CC 1的中点，所以．所以四边形CMNO 是平行四边形，所以MN ∥CO ． 又因为MN ⊄平面CAB 1，CO ⊂CAB 1平面， 所以直线NM ∥平面CAB 1．…（6分）（Ⅱ）因为BA=BB 1，所以平行四边形ABB 1A 1是菱形，所以BA 1⊥AB 1． 因为CA=CB 1，O 是AB 1的中点，所以CO ⊥AB 1， 又CA ⊥CB 1，∴CO=AO ．又因为BA=BC ，所以△BOC ≌△BOA ，所以∠BOC=∠BOA ，故BO ⊥CO ，即BA 1⊥CO ． 又AB 1∩CO=O ，AB 1⊂平面CAB 1，CO ⊂平面CAB 1， 所以直线BA 1⊥平面CAB 1．…（12分）18．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求证：MN∥平面ADE；（III ）求点A到平面BCE的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，（1分）∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，（4分）∵AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD．（5分）（Ⅱ）取DE的中点F，连接AF，NF，∵N 是CE的中点．，∴NF CD，∵M是AB的中点，∴AM，∴NF AM，∴四边形AMNF是平行四边形，（7分）∴MN∥AF，（8分）∵MN⊄平面ADE，AF⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE．（10分）解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，由（I）知ME ⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=，则CE=，BN==，（12分）∴，=，∵V A﹣BCE=V E﹣ABC，（13分）即，解得d=，故点A到平面BCE 的距离为．（14分）19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是PB，BC的中点，∴PC∥EF，又PC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PC∥平面DEF．（2）取CD的中点M ，连结BM，则AB DM，又AD⊥AB，AB=AD，∴四边形ABMD是正方形，∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD=，∴BC=，∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．20．如图，菱形ABCD 与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD⊥平面ABCD，．（I ）求证：EF∥平面ABCD；（II）求证：平面ACF⊥平面BDF．【解答】证明：（Ⅰ）如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴．∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，，∴FD∥EH，FD=EH．∴四边形EHDF为平行四边形．∴EF∥HD．∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（7分）（Ⅱ）∵FD⊥面ABCD，∴FD⊥AC，又四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又FD∩BD=D，∴AC⊥面FBD，又AC⊂面ACF，从而面ACF⊥面BDF．…（12分）21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，∴DE∥BC，∵DE⊄平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，∴DE∥平面B1BCC1；（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AA1=A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．22．如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB=PD=DA=2PE ，CD=3PE ，F 是CE 的中点． （1）求证：BF ∥平面ADP（2）已知O 是BD 的中点，求证：BD ⊥平面AOF ．【解答】证明：（1）作FM ⊥CD ，垂足为M ，连接BM ，则DM=2PE=AB ，EM ∥PD ∵DM ∥AB ，∴DMBA 是平行四边形， ∴BM ∥AD ，∵BM ⊄平面ADP ，AD ⊂平面ADP ∴BM ∥平面ADP 同理EM ∥平面ADP ∵BM ∩EM=M ． ∴平面BFM ∥平面ADP ∵BF ⊂平面BFM ， ∴BF ∥平面ADP ；（2）由（1）可知FM=PE ，DM=BM=2PE ，∴FD=FB=PE ，∵O 是BD 的中点，∴FO ⊥BD ，∵AD=AB ，O 是BD 的中点，∴AO ⊥BD ，∵AO ∩FO=O ， ∴BD ⊥平面AOF ．23．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥CD ，CD ⊥EA ，CD=2EF=2，ED=．M为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ． （Ⅰ）求证：ED ⊥CD ； （Ⅱ）求证：AD ∥MN ；（Ⅲ）若AD ⊥ED ，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为矩形，所以VD ⊥AD ．[（1分）] 又因为CD ⊥EA ，[（2分）] 所以CD ⊥平面EAD ．[（3分）] 所以ED ⊥CD ．[（4分）]（Ⅱ）证明：因为ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，[（5分）] 所以AD ∥平面FBC ．[（7分）] 又因为平面ADMN ∩平面FBC=MN ， 所以AD ∥MN ．[（8分）]（Ⅲ）解：平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[（9分）] 连接DF ．因为AD ⊥ED ，AD ⊥CD ．ED ∩CD=D ， 所以AD ⊥平面CDEF ．[（10分）]所以AD⊥DM．因为AD∥MN，所以DM⊥MN．[（11分）]因为平面ADMN ∩平面FBC=MN，若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC．[（12分）]在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，CD=2EF=2，ED=，所以DF=DC=2．所以若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．所以=．[（14分）]24．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，∴BD∥EF，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平ABD面．（2）∵AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD，由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，∴EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，∴CD⊥平面AEF，又CD⊂平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD．25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC⊥平面ABCD，E为PD 的中点，PA=PC，AB=2BC=2，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接OE，∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD中点，又E为PD中点，∴OE∥PB，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE．（Ⅱ）∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC．在△ABC中，AB=2BC=2，∠ABC=60°，∴=，∴AC2=AB2+BC2，∴BC⊥AC．又PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．。
高中数学-必修二-立体几何常考证明题汇总
新课标立体几何常考证实题汇总1、四边形 ABCD 是空间四边形,E,F,G,H 分别是边AB, BC,CD, DA 的中点 (1) 求证：EFGK 平行四边形(2)假设BD=2掷,AC=2 EG=2求异面直线 AC BD 所成的角和EG BD 所成的角.1证实：在 ABD 中,: E, H 分别是 AB, AD 的中点,EH //BD ,EH - BD21同理,FG//BD,FG — BD EH //FG,EH FG .♦・四边形 EFGH 是平行四边形. 2(2) 90 °30°考点：证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角2、如图,空间四边形 ABCD 中,BC AC,AD BD , E 是AB 的中点. (2)由(1)有AB 平面CDE考点：线面垂直,面面垂直的判定求证：(1) AB 平面CDE;(2)平面CDE 平面ABC .证实：(1) B C AC CE AB AE BE同理,AD BD AE BEDE AB又「 CE DE E••• AB 平面 CDE又••• AB平面ABC,・•・平面CDE 平面ABCA3、如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E是AA1的中点,求证：AC//平面BDE.证实：连接AC交BD于O ,连接EO ,••• E为AA i的中点,.为AC的中点•• EO为三角形AAC的中位线EO//AC又EO在平面BDE内,AC在平面BDE外•• AC //平面BDE.考点：线面平行的判定4、ABC 中ACB 90o,SA 面ABC, AD SC,求证：AD 面SBC. 证实：: ACB90BC AC又SA 面ABC SA BCBC 面SACBC ADX SC AD,SC BC C AD 面SBC考点：线面垂直的判定5、正方体ABCD AB1C1D1, O是底ABCD对角线的交点求证：(1 ) C i O // 面AB1D1 ; (2) AC 面AB1D1 .证实：(1)连结AC1 ,设A1C1B1D1 01, 连结AO1••• ABCD AB1c l D1是正方体AACC1是平行四边形,AiCi//AC 且A1c l AC又O1,O 分别是AC〔,AC 的中点,,O i C i//AO 且01c l AO AOC i O i是平行四边形CiO// AO1, AO1面AB1D1 , C1O 面AB[D〔 . . C iO//面ABR(2) QCC1面A^CR CC1 B1D!又'A1.1 BiDi, B1D1面AC1C 即AC B i D1同理可证AC AD、又DC AD i D iAC 面ABR考点：线面平行的判定〔利用平行四边形〕,线面垂直的判定6、正方体ABCD A'B'C'D'中,求证：⑴ AC 平面B'D'DB；〔2〕BD1平面ACB’考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD—A i B i C i D i 中.〔1〕求证：平面A i BD//平面B i D i C;〔2〕假设E、F分别是AA i, CC i的中点,求证：平面EB i D i//平面FBD .证实：〔i〕由B i B// DD i,得四边形BB i D i D是平行四边形,, B i D i // BD ,又BD 平面B i D i C, B i D i 平面B i D i C,BD //平面B i D i C.同理A i D //平面B i D i C.而A i DABD=D,平面A i BD//平面B i CD.(2)由BD// B i D i,得BD//平面EB i D i.取BB i 中点G, AE//B i G.从而得B i E // AG,同理GF//AD. ,AG// DF. ,B i E// DF. DF //平面EB i D i, 平面EB i D i//平面FBD.考点：线面平行的判定〔利用平行四边形〕8、四面体ABCD中,AC BD,E, F分别为AD,BC的中点,.且EF ——AC, 2BDC 900,求证：BD 平面ACD i 证实：取CD的中点G ,连结EG,FG,; E,F分别为AD, BC的中点,,EG //-AC 2i i_ _ _2_21_22FG 〃一BD,又.AC BD,,FG —AC,...在EFG 中,EG FG -AC EF2 2 2EG FG, •. BD AC,又BDC 900,即BD CD , AC CD CBD 平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形9、如图P是ABC所在平面外一点, PA PB,CB 平面PAB, M.是PC的中点,N是AB上的点,AN 3NB(i)求证：MN AB; (2)当APB 90°, AB 2BC 4时,求MN 的长.证实：(i)取PA的中点Q ,连结MQ,NQ , •「M是PB的中点,M MQ // BC , ••• CB 平面PAB ,, MQ 平面PAB・♦.QN是MN在平面PAB内的射影,取AB的中点D,连结PD , . PA PB,..PD AB ,又AN 3NB, .. BN NDB NQN //PD,.二QN AB ,由三垂线定理得MN ABo 1(2) ••• APB 90°, PA PB, PD -AB 2 , QN 1 , 「MQ2MQ -BC 1, MN .2 2考点：三垂线定理考点：线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定12、ABCD 是矩形,PA 平面ABCD, AB 2, PA AD 为BC的中点.(1)求证：DE 平面PAE; (2)求直线DP与平面PAE所成的角.证实：在ADE 中,AD2 AE2 DE2, AE DEPA 平面ABCD, DE 平面ABCD, PA DE又PA AE A, DE 平面PAE(2) DPE为DP与平面PAE所成的角在Rt PAD, PD 4垃,在Rt DCE 中,DE 2%/2在Rt DEP 中,PD 2DE , DPE 30°考点：线面垂直的判定,构造直角三角形平面PAB./. MQ10、如图,在正方体ABCD AB i C i D i中,E、F G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面DEF //平面BDG .证实：••• E、F分别是AB、AD的中点, EF // BD又EF 平面BDG , BD 平面BDG EF //平面BDGD1G旦EB 四边形D1GBE为平行四边形, D1E // GB又D1E 平面BDG , GB 平面BDG D1E //平面BDGEF DE E 平面D1EF //平面BDG考点：线面平行的判定(利用三角形中位线)11、如图,在正方体ABCD AB1c〔D^(中,E是AA的中点.(1)求证：AC 〃平面BDE ;(2)求证：平面A AC 平面BDE .证实：(1)设AC BD O,••• E、O分别是AA、AC的中点, AC // EO又AC 平面BDE , EO 平面BDE , A1C //平面BDE(2) ••• AA1 平面ABCD , BD 平面ABCD , AA1 BD又BD AC , ACAA1A BD平面AAC , BD 平面BDE , 平面BDE 平面AAC13、如图,在四^B 隹P ABCD 中,底面ABCD 是 DAB 且平面PAD 垂直于底面 ABCD.(1)假设G 为AD 的中点,求证：BG 平面PAD ; (2)求证：AD PB;(3)求二面角A BC P 的大小.证实：(1) ABD 为等边三角形且 G 为AD 的中点, BG AD又平面PAD 平面ABCD , BG 平面PAD(2) PAD 是等边三角形且 G 为AD 的中点,AD PG且 AD BG, PGBG G , AD 平面 PBG ,PB 平面 PBG , AD PB(3)由 AD PB , AD // BC, BC PB又 BG AD , AD // BC , BG BCPBG 为二面角A BC P 的平面角在 Rt PBG 中,PG BG, PBG 450,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)14、如图1,在正方体 ABCD AB 1c l D 1中,M 为CC 1的中点,AC 交BD 于点O,求证：A 1O 平面MBD .证实：连结 MO , AM ,DB± A 1A , DB ±AC,A 1AAC A••• DB ,平面 A ACC 1 ,而 A 1O 平面 A 1ACC 1DB ± A 1O .................................................... c3 cc 3 c设正方体梭长为 a ,那么A 1O—a , MO —a .2 4 29 2222在 RtA A 1C 1M AM -a • . AO MO A 〔M , . . AO OM4•. OMnDB=O,A1OL 平面 MBD.考点：线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图 2,在三棱锥 A —BCD 3, BC= AG AD= BD作BE! CD E 为垂足,作 AHL BE 于H .求证：AHL 平面BCD 证实：取 AB的中点F,连结 CF DF.. AC BC , CF AB .. AD BD , DF AB .又 CF I DF F , AB 平面 CDF. CD 平面 CDF CD AB .又 CD BE , BE AB B,CD 平面 ABE CD AH . .AH CD , AH BE , CD BE E ,••• AH 平面 BCD考点：线面垂直的判定16、证实：在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中,A I C,平面 BC I D考点：线面垂直的判定600且边长为a 的菱形,侧面PAD 是等边三角形,证实：连结AC 「 BDXACAC 为A i C 在平面AC 上的射影考点：线面垂直的判定,三垂线定理17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC,且/ ASB=/ASC=60°平面ABC ,平面BSC.证实••• SB=SA=SC , / ASB= / ASC=60 ° . . AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO 、SO, 那么 AO ± BC , SO ± BC,工丁./AOS 为二面角的平面角, 设 SA=SB=SC=a ,又/ BSC=90° ,BC= V2 a, SO = 2 a,1 1AO 2=AC 2 —OC 2=a 2— 2a 2= 2 a 2, .•.SA 2=AO 2+OS 2, .•./ AOS=90 ° ,从而平面 ABC ± 平面BSC.考点：面面垂直的判定〔证二面角是直二面角〕BD AC同理可证A 1c BC 1AC 平面BC 1DDi Ci,/ BSC=90 ° ,求证:。
(完整版)必修二立体几何11道经典证明题
1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高.（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．B 1C BADC 1A 14. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.ABDPMFGE6. 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。
EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;7.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥。
高中数学-必修二-立体几何常考证明题汇总
新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形（2） 若BD=AC=2，EG=2。
求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1//,2EH BD EH BD = 同理，1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。
(2) 90° 30 °考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定AHGFEDCB AEDBC3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外∴1//A C 平面BDE 。
考点：线面平行的判定4、已知ABC ∆中90ACB ∠=o,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设11111A CB D O ⋂=，连结1AO∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111A CB D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂=∴1A C ⊥面11AB DAED 1CB 1DCBASDCBAD 1ODB AC 1B 1A 1CMP考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC = 12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=o，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N是ABA 1 AB 1C 1D 1D G EF上的点，3AN NB =（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=o，24AB BC ==时，求MN 的长。
高一数学必修2立体几何证明题汇总.
2、如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面BDE 。
A E D 1 CB 1 DC B A8、如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .15．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ；(2)求MN 的长．16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．生物练习1．由细胞膜的成分推知，构成细胞膜所必须的化学元素是（）A．C、H、O、N B．C、H、O、N、PC．C、H、O、S、P D．C、H、O、Mg、Fe2．在制备细胞膜的实验中常用新鲜成熟的哺乳动物的红细胞作材料是因为（）A．哺乳动物红细胞在水中容易胀破B．哺乳动物红细胞容易收集C．哺乳动物红细胞内没有核膜、线粒体膜等细胞器膜D．哺乳动物红细胞的细胞膜在分离时容易沉淀在下面3．任何系统都有边界，边界对系统的稳定至关重要。
细胞作为一个基本的生命系统，它的边界是（）A．细胞壁B．细胞膜C．细胞核D．细胞膜表面的蛋白质4．科学上鉴别死细胞和活细胞，常用“染色排除法”，例如，用台盼蓝染色，死的动物细胞会被染成蓝色，而活的动物细胞不着色，从而判断细胞是否死亡。
所利用的是细胞膜的哪种功能（）A．保护细胞内部结构的功能B．进行细胞间的信息交流C．控制物质进出功能D．免疫功能5．经研究发现，动物的唾液腺细胞内高尔基体含量较多。
高一年级必修二几何证明练习题——平行题
1.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证：AC//平面EFG . 2.已知空间四边形ABCD 中，E,F,分别为AB,BC 的中点. 求证：EF//平面ACD.3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G ,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点.求证：EF //平面BGH.4. 已知空间四边形ABCD 中，E,F,G ,H 分别为AB,BC,CD,DA 上的点，且AC//平面EFGH. 求证：AC //EF ，AC //GH.5. 已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 上的点，E,F,G,H 共面，且AC//EF.求证：AC//GH.6. 已知空间四边形ABCD 中，E,F,G ,H 分别为AB,BC,CD,DA 上的点，且EF//GH. 求证：AC//EF ，AC//GH.ABCDEF G HABCDE FABCDE FGHA BCD EFGHABCDEFG HA BCDEFGH7.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP8.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE9.如图， ,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点．G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE10.正方体1111ABCD A BC D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//EG 平面11BDD B11.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点 证明：直线MN ‖平面OCD ；12.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//AF 平面PCEPBCDAE F PBCDEPABCDEOOAM DCBNGED 1C 1B 1A 1ADCB。
高中数学必修二第八章立体几何初步典型例题(带答案)
高中数学必修二第八章立体几何初步典型例题单选题1、如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中B′C′=C′A′=2，A′B′，A′C′分别与x′轴，y′轴平行，则BC=（）A．2B．2√2C．4D．2√6答案：D分析：先确定△A′B′C′是等腰直角三角形，求出A′B′，再确定原图△ABC的形状，进而求出BC.由题意可知△A′B′C′是等腰直角三角形，A′B′=2√2，其原图形是Rt△ABC，AB=A′B′=2√2，AC=2A′C′=4，∠BAC=90°，则BC=√8+16=2√6，故选：D.2、如图直角△O′A′B′是一个平面图形的直观图，斜边O′B′=4，则原平面图形的面积是（）A．8√2B．4√2C．4D．√2答案：A解析：根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解.由题意可知△O′A′B′为等腰直角三角形，O′B′=4，则O′A′=2√2，所以原图形中，OB=4，OA=4√2，×4×4√2=8√2.故原平面图形的面积为12故选：A3、正方体中，点P，O，R，S是其所在棱的中点，则PQ与RS是异面直线的图形是（）A．B．C．D．答案：C分析：对于A，B，D，利用两平行线确定一个平面可以证明直线PQ与RS共面，对于C，利用异面直线的定义推理判断作答．对于A，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AC，A1C1，则AC//A1C1，如图，因为点P，Q，R，S是其所在棱的中点，则有PQ//AC，RS//A1C1，因此PQ//RS，则直线PQ与RS共面，A错误；对于B，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AC，QS，PR，如图，因为点P，Q，R，S是其所在棱的中点，有AP//CR且AP=CR，则四边形APRC为平行四边形，即有AC//PR，又QS//AC，因此QS//PR，直线PQ与RS共面，B错误；对于C，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，如图，因为点P，Q，R，S是其所在棱的中点，有RS//BB1，而BB1⊂平面ABB1A1，RS⊄平面ABB1A1，则RS//平面ABB1A1，PQ⊂平面ABB1A1，则直线PQ与RS无公共点，又直线PQ与直线BB1相交，于是得直线PQ与RS不平行，则直线PQ与RS是异面直线，C正确；对于D，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1B，D1C，PS，QR，如图，因为A1D1//BC且A1D1=BC，则四边形A1D1CB为平行四边形，有A1B//D1C，因为点P，Q，R，S是其所在棱的中点，有PS//A1B，QR//D1C，则PS//QR，直线PQ与RS共面，D错误.故选：C4、下面四个选项中一定能得出平面α/⁄平面β的是（）A．存在一条直线a，a//α，a//βB．存在一条直线a，a⊂α，a//βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α答案：D分析：对于A，B，C，举出符合条件的特例即可判断；对于D，过直线a作平面γ∩β=c，再证c//α即可. 如图，ABCD−A1B1C1D1是长方体，平面ABCD为平面α，平面ABB1A1为平面β，对于A，直线C1D1为直线a，显然a//α，a//β，而α与β相交，A不正确；对于B，直线CD为直线a，显然a⊂α，a//β，而α与β相交，B不正确；对于C，直线CD为直线a，直线A1B1为直线b，显然a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，而α与β相交，C不正确；对于D，因a，b是异面直线，且a⊂α，b⊂β，过直线a作平面γ∩β=c，如图，则c//a，并且直线c与b必相交，而c⊄α，于是得c//α，又b//α，即β内有两条相交直线都平行于平面α，⁄平面β.因此，平面α/故选：D5、某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A ．132B ．223C ．152D ．233答案：C分析：根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为V =23−(13×12×12×1+13×12×12×2)=152，故选：C.6、已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A ．√23πB ．2√23πC ．πD ．√2π 答案：B分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.设圆锥的底面圆半径为r ，故可得2πr =2π3×3，解得r =1，设圆锥的高为ℎ，则ℎ=√32−12=2√2，则圆锥的体积V =13×πr 2×ℎ=13×π×2√2=2√23π. 故选：B.7、已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48答案：D分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高ℎ′=√52−(62)2=4，所以正四棱锥的侧面积S =12×4×6×4=48故选：D8、已知三棱锥P −ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，PA =AB =AC =2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π答案：C分析：根据余弦定理、正弦定理，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可.根据题意设底面△ABC 的外心为G ，O 为球心，所以OG ⊥平面ABC ，因为PA ⊥平面ABC ，所以OG//PA ，设D 是PA 中点，因为OP =OA ，所以DO ⊥PA ，因为PA ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以AG ⊥PA ，因此OD//AG ，因此四边形ODAG 是平行四边形，故OG =AD =12PA =1， 由余弦定理，得BC =√AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos120°=√4+4−2×2×2×(−12)=2√3，由正弦定理，得2AG =√3√32⇒AG =2，所以该外接球的半径R 满足R 2=(OG )2+(AG )2=5⇒S =4πR 2=20π，故选：C ．小提示：关键点睛：运用正弦定理、余弦定理是解题的关键.多选题9、(多选)下列说法中正确的是（）A．若直线l与平面α不平行，则l与α相交B．直线l在平面外是指直线和平面平行C．如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线l与平面α相交D．如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交答案：CD分析：由线面直线的位置关系逐一判断即可求解.若直线l与平面α不平行，则l与α相交或l⊂α，所以A不正确．若l⊄α，则l//α或l与α相交，所以B不正确．由线面直线的位置关系可知，C、D正确.故选：CD10、如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，M为AA1的中点，过B1M作长方体的截面α交棱CC1于N，则（）A．截面α可能为六边形B ．存在点N ，使得BN ⊥截面αC ．若截面α为平行四边形，则1≤CN ≤2D ．当N 与C 重合时，截面面积为3√64答案：CD分析：利用点N 的位置不同得到的截面α的形状判断选项A ，C ，利用线面垂直的判定定理分析选项B ，利用平面几何知识求相应的量结合梯形的面积公式求得截面的面积，从而可判断选项D ．长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=2，M 为AA 1的中点，过B 1M 作长方体的截面α交棱CC 1于N ， 设N 0为CC 1的中点，根据点N 的位置的变化分析可得：当1≤CN ≤2时，截面α为平行四边形，当0<CN <1时，截面α为五边形，当CN =0时，即点N 与点C 重合时，截面α为梯形，故A 不正确，C 正确；设BN ⊥截面α，因为B 1M ⊂面α，所以BN ⊥B 1M ，所以N 只能与C 重合才能使BN ⊥B 1M ，因为BN 不垂直平面B 1CQM ，故此时不成立，故B 不正确；因为当点N 与点C 重合时，截面α为梯形，如下图所示：过M 作MH 垂直于B 1C 于H ，设梯形的高为ℎ，MH =x ，则由平面几何知识得：ℎ2=(√2)2−x 2=(√52)2−(√52−x)2，解得x =2√55,ℎ=√305，所以截面α的面积为：12×(√5+√52)×ℎ=12×3√52×√305=3√64，故D 正确；故选：CD ．小提示：关键点睛：本题考查长方体的截面的形状，关键在于分析动点在不同的位置时，截面的形状，运用线面平行的判定定理和平面几何知识求得截面的面积．11、在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是正方体的棱上一点，|PB|+|PC1|=λ，则（）A．λ=2时，满足条件的点P的个数为1B．λ=4时，满足条件的点P的个数为4C．λ=4√2时，满足条件的点P的个数为2D．若满足|PB|+|PC1|=λ的点P的个数为6，则λ的取值范围为(2√2,4)答案：BC分析：根据各棱上的点P到B,C1两点距离之和对选项进行逐一分析，由此确定正确选项.设E,F分别是C1D1,AB的中点，|BD1|=√22+(2√2)2=2√3，|BE|=|C1F|=√12+(2√2)2=3，|A1C1|=|A1B|=2√2.由于|BC1|=2√2，所以|PB|+|PC1|=λ≥2√2，所以A选项错误.λ=4，满足|PB|+|PC1|=4的点为B1,C,E,F共4个，所以B选项正确.λ=4√2，满足|PB|+|PC1|=4√2的点为A1,D共2个，所以C选项正确.当P在正方形ADD1A1（不包括A,D,D1,A1）上运动时，λ∈(2+2√3,4√2)，此时棱A1B1与棱CD上，也存在点使λ∈(2+2√3,4√2).所以当λ∈(2+2√3,4√2)时，满足|PB|+|PC1|=λ的点P的个数为6，所以D选项错误.故选：BC填空题12、已知A、B、C、D四点不共面，且AB//平面α，CD∥α，AC∩α=E，AD∩α=F，BD∩α=H，BC∩α=G，则四边形EFHG是______四边形．答案：平行分析：由题，平面ABD∩平面α=FH，结合AB//平面α可得AB//FH，同理可得四边形EFHG另外三边与AB，CD的位置关系，即可得到答案.由题，平面ABD∩平面α=FH，因为AB//平面α，所以AB//FH，又平面ABC∩平面α=EG，所以AB//EG，则FH//EG，同理GH//CD//EF，所以四边形EFHG是平行四边形，所以答案是：平行13、如图已知A是△BCD所在平面外一点，AD=BC，E､F分别是AB、CD的中点，若异面直线AD与BC所成角的大小为π3，则AD与EF所成角的大小为___________.答案：π3或π6分析：取AC的中点G，连接EG,GF，则∠EGF=π3或∠EGF=2π3，分别分析这两种情况下∠GFE的大小即为AD与EF所成角.解：如图所示：取AC的中点G，连接EG,GF，则EG//BC，GF//AD，所以∠EGF为异面直线AD与BC所成角或其补角.因为AD=BC，所以EG=GF，当∠EGF=π3时，△EGF为等边三角形，∠GFE=π3，即AD与EF所成角的大小为π3；当∠EGF=2π3时，EG=GF，△EGF为等腰三角形，∠GFE=π6，即AD与EF所成角的大小为π6.所以答案是：π3或π6.14、已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，棱长均为2，顶点A 1在底面ABC 上的射影恰为AB 的中点D ，E 为AC 的中点，则直线BE 与直线AB 1所成角的余弦值为________．答案：34分析：根据三棱柱性质与题中的中点条件，可将所求直线BE 与直线AB 1所成角的余弦值转化为求直线GB 1与直线AB 1所成角的余弦值，那么就要通过多次转化最终求得△AGB 1中三边长，然后直接在△AGB 1中运用余弦定理即可.如图，取A 1C 1中点G ，连接B 1G,AG,AE,DE,GE ,由三棱柱的性质易证得GE //BB 1,GE =BB 1,所以四边形GEBB 1为平行四边形，所以GB 1//BE ,所以下面即求直线GB 1与直线AB 1所成角的余弦值.由题意知，A 1D ⊥平面ABC ,因为AB,DE ⊂平面ABC ,所以A 1D ⊥AB,A 1D ⊥DE ，在Rt △AA 1D 中，AA 1=2,AD =12AB =1,∠A 1DA =90°,求得A 1D =√3,∠A 1AD =60°. 所以在菱形AA 1B 1B 中，AB 1=2ABcos30°=2√3.在Rt △A 1DE 中，∠A 1DE =90°,A 1D =√3,DE =12BC =1,求得A 1E =2. 所以在△A 1AE 中，根据余弦定理得cos∠A 1AE =AA 12+AE 2−A1E 22AE⋅AA 1=14,所以cos∠AA 1G =cos(π−∠A 1AE)=−14.在△A 1AG 中根据余弦定理得AG 2=AA 12+A 1G 2−2AA 1⋅A 1Gcos∠AA 1G,AG =√6.在△AGB 1中，AG =√6,AB 1=2√3,GB 1=√3,根据余弦定理得cos∠GB 1A =GB 12+AB12−AG 22GB 1⋅AB 1=34,所以直线GB 1与直线AB 1所成角的余弦值为34，即直线BE 与直线AB 1所成角的余弦值为34. 故答案为:34解答题15、在空间四边形ABCD中，AB=CD，点M､N分别为BD､AC的中点.(1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小；(2)若直线AB与CD所成角为θ，求直线AB与MN所成角的大小.答案：(1)60°(2)θ2或π−θ2分析：根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解.（1）如图，取AD的中点为P，连接PM､PN.因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以PM//AB，PN//CD，且PM=12AB，PN=12CD，所以，∠MPN为直线AB与CD所成的角（或补角），∠PMN为直线AB与MN所成的角（或补角）. 又AB=CD，所以PM=PN，即△PMN为等腰三角形.直线AB与MN所成角为60°，即∠PMN=60°，则∠MPN=180°−2×60°=60°.所以，直线AB与CD所成的角为60°.（2）（2）若直线AB与CD所成的角为θ，则∠MPN=θ或∠MPN=π−θ.若∠MPN=θ，则∠PMN=π−∠MPN2=π−θ2，即直线AB与MN所成角为π−θ2；若∠MPN=π−θ，则∠PMN=π−∠MPN2=θ2，即直线AB与MN所成角为θ2.综上所述，直线AB与MN所成的角为θ2或π−θ2.。
必修二立体几何经典证明题资料
学习资料1、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个3．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( )A ．a ⊂α，b ⊂αB ．a ⊂α，b ∥αC ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊂α，b ⊥α 4．下面四个命题：①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④ 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.学习资料2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．4. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.B 1C BADC 1A 1ADP MFGE图 5DGBFCAE图 4GEF ABCD5.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；6.如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中22BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.7.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCDHDF1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ，∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥。
高中数学必修二几何证明题练习
DCABP N M C1D1B1A1CDFE 1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB AC ==，点E 是PD 的中点. （1）求证：//PB 平面AEC ；（2）求证:AC PB ⊥ （3） 求异面直线,PB AD 所成角.2、已知，如图P 是平行四边形ABCD 外一点同M ，N 分别是PC ，AB 的中点。
求证：MN//平面PAD3、在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 与C 1D 1的中点。
求证：EF//平面BDD 1B 1.CMBA 1B 1C 1 ANA BCDS M N 1、如图，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是AD 、SB 上的中点，且SD=DC ，SD ⊥DC 求证：（1）MN//平面SDC ；（2）求异面直线MN 与CD 所成的角.2、已知四棱锥V —ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，E 、F 、G 分别是AD 、BC 、VB 的中点， 求证：平面EFG // 平面VDC 。
8. 如图：直三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 中，1==CB CA ，︒=∠90BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点 求证：平面A 1NC ∥平面BMC 11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝22，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．1如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .2．如图，棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱AB 和BC 的中点，M 为棱1B B 的中点. 求证：（1）EF ⊥平面11BB D D ；（2）平面1EFB ⊥平面11D C M .16．如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点． (1)求证：P A ∥面BDE ； (2)求证：平面P AC ⊥平面BDE ；BDC A 1B 1D 1C 1FM。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修二空间几何证明经典题型一．解答题（共25小题）1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E 和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）BE∥平面PAD；（Ⅰ）PA⊥BC；（Ⅰ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅰ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅰ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．2．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（Ⅰ）求证：VB∥平面M OC；（Ⅰ）求证：平面MOC⊥平面VAB；（Ⅰ）求三棱锥A﹣MOC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（Ⅰ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；（Ⅰ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，=，∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB∵O，M分别为AB，VA的中点．∴．又∵OC⊥平面VAB，∴三棱锥．3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面BEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在△APC中，因为E、F分别是PA、AC的中点，所以EF∥PC，…（3分）又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF∥平面PBC．…（6分）（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE，…（9分）又PA⊥PC，EF∥PC，所以PA⊥EF，…（12分）因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，所以PA⊥平面BEF，又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面BEF．…（14分）合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．5．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅰ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…（4分）（Ⅰ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，∴BG⊥面ADC．…（6分）∵EF∥BG∴EF⊥面ADC∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC．…（8分）解：（Ⅰ）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．．…（12分）方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，的高，，∴．∴AO为V A﹣BCDE6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC=．（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．【解答】证明：（1）∵BC∥B1C1，且B1C1⊂平面AB1C1，BC⊄平面AB1C1，∴BC∥平面AB1C1．（2）∵平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，∵平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1⊥C1B1，∴C1B1⊂平面AB1C1，∴平面A1ABB1⊥平面AB1C1．7．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅰ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅰ）求几何体ADEBC的体积V．【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴（2分）∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）（Ⅰ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅰ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）∵C﹣ABED是四棱锥，∴V C==（14分）﹣ABED8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）9．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，G为BC的中点，求证：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴O是AC中点，∵G为BC的中点，∴OG∥AB，∵OG⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．（2）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，O是AC中点，∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，∵EO∩BD=O，∴AC⊥平面BDE．10．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅰ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分）又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AQ．…（4分）又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．…（5分）（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC．为PC中点．所以在△CPA中，EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD．因为CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC所以PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，所以面PAB⊥面PDC．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC=．求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．【解答】解：（1）ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，AB=BC=EC=．可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形，E为CC1的中点．连接AC与DB交于O，连接OE，可得：AC1∥OE，OE⊂平面BDE．∴AC1∥平面BDE．（2）连接OA1，根据三垂线定理，可得OA1⊥DB，OE⊥DB，OA1∩OE=O，可得A1E⊥DB．∵E为CC1的中点．设AB=BC=EC=AA1=a∴，A1E=，A1B=∵A1B2=A1E2+BE2．∴A1E⊥EB．∵EB⊂平面BDE．BD⊂平面BDE．EB∩BD=B，∴A1E⊥平面BDE13．如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若分别是PQ，CQ的中点．求证：（1）CE∥平面PBD；（2）平面FBD⊥平面PBD．【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，连接PO，则∵O是AC的中点，E是PQ的中点，∴PE=OC，PE∥OC，∴四边形POCE是平行四边形，∴CE∥PO，∵CE⊄平面PBD，PO⊂平面PBD，∴CE∥平面PBD；（2）∵平面ACQP⊥平面ABCD，平面ACQP∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACQP，∵PO⊂平面ACQP，∴BD⊥PO，连接AQ，OF，则由三角形相似可AQ⊥PO，∵F是CQ中点，O是AC的中点，∴OF∥AQ，∴OF⊥PO，∵BD∩OF=O，∴PO⊥平面FBD，∴平面FBD⊥平面PBD．14．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；（Ⅰ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB1的中点，所以，F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（Ⅰ）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A=A，AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP．…（2分）又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．…（4分）因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP．…（6分）（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①…（8分）因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②…（10分）由①②得CD∥AB，…（12分）因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．…（14分）16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅰ）求证：平面PEC⊥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅰ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C l中，M，N分别为CC1，A1B1的中点．CA⊥CB1，CA=CB1，BA=BC=BB1．（Ⅰ）求证：直线MN∥平面CAB1；（Ⅰ）求证：直线BA1⊥平面CAB1．【解答】证明：（Ⅰ）设A1B与AB1交于点O，连接CO，ON．因为四边形ABB1A1是平行四边形，所以是O是AB1的中点，又N是A1B1的中点，所以．ON又因为M是CC1的中点，所以．所以四边形CMNO是平行四边形，所以MN∥CO．又因为MN⊄平面CAB1，CO⊂CAB1平面，所以直线NM∥平面CAB1．…（6分）（Ⅰ）因为BA=BB1，所以平行四边形ABB1A1是菱形，所以BA1⊥AB1．因为CA=CB1，O是AB1的中点，所以CO⊥AB1，又CA⊥CB1，∴CO=AO．又因为BA=BC，所以△BOC≌△BOA，所以∠BOC=∠BOA，故BO⊥CO，即BA1⊥CO．又AB1∩CO=O，AB1⊂平面CAB1，CO⊂平面CAB1，所以直线BA1⊥平面CAB1．…（12分）18．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求证：MN∥平面ADE；（III）求点A到平面BCE的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，（1分）∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，（4分）∵AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD．（5分）（Ⅰ）取DE的中点F，连接AF，NF，∵N是CE的中点．，∴NF CD，∵M是AB的中点，∴AM，∴NF AM，∴四边形AMNF是平行四边形，（7分）∴MN∥AF，（8分）∵MN⊄平面ADE，AF⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE．（10分）解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，由（I）知ME⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=，则CE=，BN==，（12分）∴，=，=V E﹣ABC，（13分）即，∵V A﹣BCE解得d=，故点A到平面BCE的距离为．（14分）19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是PB，BC的中点，∴PC∥EF，又PC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PC∥平面DEF．（2）取CD的中点M，连结BM，则AB DM，又AD⊥AB，AB=AD，∴四边形ABMD是正方形，∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD=，∴BC=，∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．20．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD⊥平面ABCD，．（I）求证：EF∥平面ABCD；（II）求证：平面ACF⊥平面BDF．【解答】证明：（Ⅰ）如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴．∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，，∴FD∥EH，FD=EH．∴四边形EHDF为平行四边形．∴EF∥HD．∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（7分）（Ⅰ）∵FD⊥面ABCD，∴FD⊥AC，又四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又FD∩BD=D，∴AC⊥面FBD，又AC⊂面ACF，从而面ACF⊥面BDF．…（12分）21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，∴DE∥BC，∵DE⊄平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，∴DE∥平面B1BCC1；（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AA1=A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ACC1．22．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．（1）求证：BF∥平面ADP（2）已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF．【解答】证明：（1）作FM⊥CD，垂足为M，连接BM，则DM=2PE=AB，EM∥PD∵DM∥AB，∴DMBA是平行四边形，∴BM∥AD，∵BM⊄平面ADP，AD⊂平面ADP∴BM∥平面ADP同理EM∥平面ADP∵BM∩EM=M．∴平面BFM∥平面ADP∵BF⊂平面BFM，∴BF∥平面ADP；（2）由（1）可知FM=PE，DM=BM=2PE，∴FD=FB=PE，∵O是BD的中点，∴FO⊥BD，∵AD=AB，O是BD的中点，∴AO⊥BD，∵AO∩FO=O，∴BD⊥平面AOF．23．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED=．M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：ED⊥CD；（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅰ）若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以VD⊥AD．[（1分）]又因为CD⊥EA，[（2分）]所以CD⊥平面EAD．[（3分）]所以ED⊥CD．[（4分）]（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[（5分）]所以AD∥平面FBC．[（7分）]又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．[（8分）]（Ⅰ）解：平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：[（9分）]连接DF．因为AD⊥ED，AD⊥CD．ED∩CD=D，所以AD⊥平面CDEF．[（10分）]所以AD⊥DM．因为AD∥MN，所以DM⊥MN．[（11分）]因为平面ADMN∩平面FBC=MN，若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC．[（12分）]在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，CD=2EF=2，ED=，所以DF=DC=2．所以若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．所以=．[（14分）]24．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，∴BD∥EF，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平ABD面．（2）∵AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD，由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，∴EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，∴CD⊥平面AEF，又CD⊂平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD．25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=PC，AB=2BC=2，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接OE，∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD中点，又E为PD中点，∴OE∥PB，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE．（Ⅰ）∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC．在△ABC中，AB=2BC=2，∠ABC=60°，∴=，∴AC2=AB2+BC2，∴BC⊥AC．又PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．。