必修二 空间几何证明经典题型

必修二空间几何证明经典题型

一．解答题（共25小题）

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E 和F分别是CD和PC的中点，求证：

（Ⅰ）BE∥平面PAD；（Ⅰ）PA⊥BC；（Ⅰ）平面BEF⊥平面PCD．

【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．

（Ⅰ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，

故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．

又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．

（Ⅰ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD．

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．

再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF．

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．

由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．

2．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．

（Ⅰ）求证：VB∥平面M OC；（Ⅰ）求证：平面MOC⊥平面VAB；

（Ⅰ）求三棱锥A﹣MOC的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，

∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；

（Ⅰ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，

又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；

（Ⅰ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，

=，

∴等边三角形VAB的边长为2，S

△VAB

∵O，M分别为AB，VA的中点．∴．

又∵OC⊥平面VAB，∴三棱锥．

3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面BEF⊥平面PAB．

【解答】证明：（1）在△APC中，因为E、F分别是PA、AC的中点，

所以EF∥PC，…（3分）

又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF∥平面PBC．…（6分）

（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE，…（9分）

又PA⊥PC，EF∥PC，所以PA⊥EF，…（12分）

因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，

所以PA⊥平面BEF，又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面BEF．…（14分）

合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，

所以AB∥EF，

又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；

（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，

因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，

又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，

又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，

故AD⊥AC．

5．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅰ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．

【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，

∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC=1．

∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．

EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…（4分）

（Ⅰ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC

∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，

∴BG⊥面ADC．…（6分）

∵EF∥BG∴EF⊥面ADC

∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC．…（8分）

解：（Ⅰ）

方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．

．…（12分）

方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，

∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，

的高，，∴．∴AO为V A

﹣BCDE

6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC=．（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．

【解答】证明：（1）∵BC∥B1C1，且B1C1⊂平面AB1C1，BC⊄平面AB1C1，

∴BC∥平面AB1C1．

（2）∵平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

∴平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，

∵平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1⊥C1B1，

∴C1B1⊂平面AB1C1，

∴平面A1ABB1⊥平面AB1C1．

7．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；

（Ⅰ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅰ）求几何体ADEBC的体积V．

【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）

又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，

∴平面HGF∥平面ABC

∴GF∥平面ABC（5分）

证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN

（如图）

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴（2分）