多重比较
多重比较
狭义的多重比较
狭义的多重比较，特指对多组的总体参数或多 组的分布比较后各组间的两两比较(post hoc comparison)。
方差分析后多组均数的比较 多个率比较后的两两比较 多组等级分布比较后的两两比较等
广义的多重比较
一般指多变量的情形，即对同一问题通过对多 个变量的逐一检验来回答，如多元回归中各自 变量的假设检验，简称多重检验(multiple testing)
Example
Suppose we have m = 3 t-tests. Assume target = 0.05. Unadjusted P-values are P1 = 0.001 P2 = 0.013 P3 = 0.074 For the jth test, calculate /(m-j+1), For test j = 1, /(m-j+1) = 0.05/(3 -1 + 1) = 0.05 / 3 = 0.0167 For test j=1, the observed P1 = 0.001 is less than 0.0167, so we reject the null hypothesis.
m
Control m with multiple test procedure
Outcomes of m tests
设同时对m个假设进行检验，其中m0个是正确的，R 表示检验结果为阳性的假设个数 。 H0 True False Total Not Rejected Rejected Total m0 m-m0 m
Holm step-down
Order the P values for the m hypotheses being tested from smallest to largest.
2783多重比较生物统计学
23 4.546366
总计
242.7741
26
8
9
The End
10
12
1 0.5
1.5
7
15.8 2.257143 6.339524
3
7
10.2 1.457143 0.902857
5
6
2.1
0.35 0.019
方差分析 差异源
组间 组内
SS 138.2076 104.5664
df
MS
F
P-value F crit
3 46.06922 10.13319 0.000191 4.764877
▪ 若 Tij T ，接受H0；否则，拒绝H0 。
4
5
3、谢夫检验法
▪ 与方差分析F检验相容的多重比较法 检验效能提高
▪ 适用于各水平下试验次数不全相同 q检验的补充
▪ 检验假设 H0：μA＝μB ；H1：μA≠μB
▪ 检验统计量 Tij S MSE (1/ ni 1/ nj )
多重比较S表
xi x j Tij
6
7
剂量
1 1.5
6.2 6.4
3
5
方差分析：单因素方差分析
2 0.2
6
5.4
1.2
0.2
SUMM
平均
方差
1 0.8 3.2 0.5
1
7
44.4 6.342857 10.16952
6 1.1 0.5 0.4
6.4 0.3 1.1 0.3
8-3
8-方差分析
多重比较
1、概述
单因素方差分析 推断结果为拒绝H0，接收H1 ▪ 各总体均数不同/不全相同
多重比较
• 计算的公式：
LSD t dfe sxi x j
s xi x j
2MS e n
安康学院
7
例1：方差分析表(肥料盆栽试验)
变异来源 处理间 t 处理内 e 总变异T SS 301.2 101.0 402.2 df 4 15 19 MS 75.30 6.73 F F0.05 F0.01 4.89
4
4.05 dfe = 16
5.19
41.88
53.66
标准误 = 10.34
安康学院
30
例2： q 法多重比较表
处理 A1饲料 A4饲料 平均数 311.8 279.8 – A3饲料 64.4** 32.4 – A2饲料 49.0* 17.0 – A4饲料 32.0*
A2饲料
A3饲料
262.8
247.4
q法：检验标准较严，特殊试验使用。
• LSR法：有SSR法、q法两种标准可供选择
安康学院
32
书面作业
• 教材：142页，第11题 • 完成 3 种多重比较 • 要求：写在作业本上，未完，还要继续分析。
安康学院
课间休息
2013年5月6日
安康学院
15.4
LSR0.05 = 31.02，37.74，41.88， LSR0.01 = 42.70，49.43，53.66，
（ LSD0.05 = 31.00） （ LSD0.01 = 42.70）
安康学院
31
3 种多重比较方法的对比
• LSD法：利用 t 检验原理 • 简单，误差大
• •
•
检验标准较松，初级试验使用 SSR法：检验标准适中，常规试验使用
多重比较常用的方法是
多重比较常用的方法是
以下是多重比较常用的方法：
1. 实验方法：通过设计并进行实验，比较不同组或条件下的结果。
这种方法可以控制变量并确定因果关系。
2. 统计方法：使用统计学分析工具，比较不同组或条件下的数据。
常用的统计方法包括t 检验、方差分析（ANOVA）等。
3. 调查方法：通过问卷调查或面对面访谈等方式收集数据，并比较不同组或条件下的回答。
这种方法可以了解人们的意见、想法和态度。
4. 文献综述：通过查阅已有的文献，比较不同研究的结果和观点。
这种方法可以提供对某个领域内不同研究成果的概览。
5. 模拟方法：使用数学模型或计算机模拟，比较不同条件下的模拟结果。
这种方法可以研究现实中难以操作的情况，或者根据模型预测未来可能的变化。
6. 反事实推理：通过假设不同情况下的结果，比较不同假设下的效果。
这种方法可以推测在不同条件下可能发生的事情。
7. 对照实验：将研究对象分为实验组和对照组，比较两组的差异。
这种方法可
以消除个体差异对研究结果的影响。
8. 直接观察：通过观察不同条件或环境下的现象，比较其差异。
这种方法适用于研究自然界中的现象，如动物行为、天气变化等。
这些方法在不同领域和研究目的下都有广泛应用，可以根据具体情况选择合适的方法进行多重比较。
lsd多重比较法的定义
lsd多重比较法的定义
LSD多重比较法（LSD-Mean Multiple Comparison Test）是一种用于统计学中多个组间比较的方法。
它被广泛应用于实验设计和数据分析中，用于确定不同组之间是否存在显著差异。
LSD多重比较法的基本思想是将每个组的均值与其他组的均值进行两两比较，然后根据比较结果进行显著性判断。
具体步骤如下：
1. 计算每个组的均值。
2. 对于每个组，计算其均值与其他组均值之间的差异。
3. 根据差异的大小和标准误差，计算每个差异的显著性水平。
4. 对于每个组，将其与其他组的显著性水平进行比较，确定是否存在显著差异。
5. 如果存在显著差异，可以使用其他方法（如置信区间）来进一步描述差异的大小。
LSD多重比较法的优点是简单易用，计算方便。
然而，它也有一定的局限性，比如不适用于大样本量或不符合正态分布的数据。
此外，由于进行多次比较，可能增加了第一类错误（拒绝了真实零假设）的风险，因此需要谨慎解释结果。
多重比较方法及其在实证分析中的应用
多重比较方法及其在实证分析中的应用第一章绪论随着科技的发展，大数据时代的到来，数据分析越来越成为人们重视并热衷的领域。
本文旨在介绍多重比较方法及其在实证分析中的应用，通过对比多重比较和单个比较的优劣，阐述多重比较方法的必要性和实用性。
第二章多重比较方法的基本概念2.1 多重比较方法的概念在统计学中，多重比较方法是指用于比较三个或多个（但少于总体中的所有个体）总体在一个或多个方面上的方法。
多重比较方法可以更全面地了解总体之间的差异，防止在进行多重检验时产生的多重错误。
2.2 多重比较方法的分类多重比较方法可以分为两类：一级比较和二级比较。
一级比较方法适用于确定多个总体是否存在差异，例如T检验、单因素方差分析和多因素方差分析等方法。
二级比较方法适用于确定哪些总体之间存在差异，例如考虑Bonferroni校正、Tukey方法、Scheffé方法和Dunnett方法等方法。
第三章多重比较方法的应用3.1 多重比较在医学研究中的应用例如在药物研究中，多个药物需要比较其效果是否有显着差异，采用多重比较方法可以避免假阳性的结果，同时减少研究时间和成本。
3.2 多重比较在经济学研究中的应用例如在城市房价研究中，需要对各个地区的房价进行比较，采用多重比较方法可以防止在多个区域中错判高价位，同时减少样本选择的问题。
3.3 多重比较在生态学研究中的应用例如在生态系统复杂度的研究中，多个因素需要进行比较，采用多重比较方法可以降低产生假阳性的概率，更好地理解生态系统中各元素之间的关系。
第四章多重比较方法的优劣比较在进行多重比较时，我们需要比较其与单个比较的优劣之处。
多重比较方法可以全面地了解总体之间的差异，避免在进行多重检验时产生的多重错误。
同时多重比较方法能够减少样本的假阳性结果，提高数据的可靠性和真实性。
但是多重比较方法也需要注意慎重选择，同时避免由于样本的选择和样本误差等问题引起的假阳性。
第五章结论通过对多重比较方法的介绍与应用，可以看出多重比较方法在实证分析中有着极大的作用，能够更好地了解总体之间的差异，避免在进行多重检验时产生的多重错误，同时减少研究时间和成本。
多重比较
四、多重比较F值显著或极显著，否定了无效假设H O，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。
因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiplecomparisons )。
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。
（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference ) 此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x-与其比较。
若..j i x x -＞LSD a 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由(6-17)式计算。
..)(j i e x x df a a S t LSD -=(6-17)式中：)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由(6-18)式算得。
n MS S e x xj i /2..=- (6-18)其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t和)(01.0e df t ，代入(6-17)式得：....)(01.001.0)(05.005.0j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD--==(6-19)利用LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；(2)计算最小显著差数05.0LSD和LSD；.001(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与05.0LSD比较，作LSD、01.0出统计推断。
多重比较的基本步骤
多重比较（Multiple Comparisons）是统计学中的一种方法，用于在进行方差分析（ANOVA）或其他假设检验后，对多个均值之间的差异进行细致的比较，以确定哪些组之间的差异是显著的。
以下是多重比较的基本步骤：1.进行初步分析：o首先进行一个总体的统计分析，如单因素或双因素方差分析（One-way ANOVA或Two-way ANOVA），以确定是否存在至少两个组别之间均值的显著差异。
2.选择多重比较方法：o根据研究目的和样本大小，选择合适的多重比较方法。
常见的多重比较方法包括：▪LSD（Least Significant Difference）法▪Tukey’s HSD（Honestly Significant Difference）法▪Bonferroni校正▪Dunnett’s test（主要用于与对照组比较）▪Sidak校正▪Šidák校正▪Benjamini-Hochberg校正（用于控制假阳性率）3.计算比较：o应用选定的方法，对所有可能的组间比较进行计算，得出每一对比较的p值和置信区间。
4.调整显著性水平：o为了控制I型错误（假阳性）的发生概率，通常会对原始的显著性水平（如α=0.05）进行调整。
例如，如果进行了k个比较，可能需要将每个比较的显著性水平设定为α/k（如使用Bonferroni校正）。
5.解释结果：o根据调整后的显著性水平，解释每对比较的结果，指出哪些组之间的差异在统计上是显著的。
6.报告结果：o报告每一对比较的统计量、p值和结论，必要时可以绘制图表直观展示显著差异。
7.评估假设检验结果：o评估所有比较结果的整体一致性，以及是否符合研究的假设和目标。
请注意，多重比较可能导致假阳性率增加，因此选择合适的校正方法很重要。
同时，分析结果不仅要基于统计显著性，还要结合实际研究背景和意义进行解读。
常用的多重比较方法
常用的多重比较方法
在数据分析和统计学中，常用的多重比较方法包括以下几种：
1. 方差分析中的多重比较方法：用于比较多个组或处理之间的均值差异，包括Tukey's HSD（Tukey's Honestly Significant Difference）、Bonferroni校正和Scheffé法等。
2. 多重t检验：用于比较两个或多个样本均值是否有显著差异，通常用于独立样本或配对样本之间的比较。
3. 多重相关分析：用于比较多个变量之间的相关性，包括Pearson相关系数、Spearman等级相关系数等。
4. 多重回归分析：用于比较多个自变量对因变量的影响程度，可以进行变量选择和模型比较。
5. 多重比例比较：用于比较不同组别之间的比例差异，包括卡方检验和Fisher 精确检验等。
以上仅列举了常见的一些多重比较方法，具体选择何种方法应根据研究问题、数据类型和假设情况等综合考虑。
此外，需要注意的是，在进行多重比较时，需要
进行多重校正，以控制因进行多个比较而增加的类型I错误的风险。
多重比较的名词解释
多重比较的名词解释在统计学和研究方法学中，多重比较是一个重要的概念。
它指的是在进行多个假设检验或对比时，采取特殊的方法来控制统计显著性水平的误差率。
在本文中，我们将对多重比较进行详细的解释，并探讨其在实际研究和数据分析中的应用。
一、什么是多重比较？多重比较是一种用于在进行多个假设检验时控制类型I错误率（即拒绝真实假设）的方法。
当我们对多个组别、多个变量或多个时间点进行比较时，直接使用传统的单个假设检验方法可能会导致显著性水平的显著提高，从而产生错误的结论。
以医学研究为例，假设我们希望比较三个不同的药物在治疗某种疾病方面的效果。
如果仅使用传统的单个假设检验方法，我们将进行三次独立的假设检验，每次比较两个药物的疗效。
在这种情况下，如果我们使用常见的显著性水平（例如0.05），那么在纯随机情况下，我们大约有15%的概率至少会错误地得出一对药物之间存在显著差异的结论。
为了解决这个问题，我们需要采取多重比较方法来控制错误的发生率。
下面将介绍几种常见的多重比较方法。
二、Bonferroni校正Bonferroni校正是最常用的多重比较方法之一。
它的基本思想是将显著性水平（α）除以比较的次数（m），然后将结果作为每个比较的显著性水平。
假设我们要进行m次比较并使用α=0.05，那么每个比较的显著性水平将为α/m。
然而，Bonferroni校正方法可能会过于保守，导致漏掉真实的差异。
因此，在实际应用中，我们常常会选择其他方法。
三、Tukey HSD检验Tukey HSD（Honestly Significant Difference）检验是一种常见且有效的多重比较方法。
它的优势在于能够在所有可能的配对之间比较均值的差异，并确定哪些配对是显著不同的。
在使用Tukey HSD检验时，我们首先进行一次方差分析（ANOVA），以获取组间方差的估计。
然后，根据估计的方差值和样本量，计算出每对均值之间的显著差异。
如果某对均值的差异大于其他所有差异的临界值，则我们可以得出这一对是显著不同的结论。
统计学中的多重比较与调整
统计学中的多重比较与调整统计学中的多重比较和调整是一个重要的主题，它涉及到在多组数据之间进行比较时如何控制错误发现率。
在实际研究或实验中，我们常常需要同时比较多组数据，这样就增加了出现假阳性（即错误地拒绝零假设）的可能性。
为了解决这个问题，多重比较与调整方法应运而生。
一、多重比较方法多重比较方法是在比较多组数据时控制错误的方法。
常见的多重比较方法包括共同控制类型I错误发现率（Family-wise Error Rate, FWER）和控制逐比较错误发现率（False Discovery Rate, FDR）两种。
1. 共同控制FWER的方法共同控制FWER的方法的目标是尽量降低整体的错误发现率，其中最著名的方法是Bonferroni校正。
Bonferroni校正是最简单和最保守的调整方法之一，它将显著性水平除以比较数量来控制FWER。
虽然它控制了整体错误率，但对于大样本量或多组比较的情况下，可能导致过于保守的结果。
2. 控制FDR的方法控制FDR的方法主要用于大量比较的情况下，例如基因表达研究中的差异基因分析。
常见的FDR调整方法包括Benjamini-Hochberg方法和Benjamini-Yekutieli方法。
这些方法通过控制被错误发现的零假设的百分比来控制FDR。
二、调整方法的应用在实际应用中，根据研究设计和研究目的的不同，选择合适的调整方法非常重要。
下面以一个基因表达研究为例来说明不同调整方法的应用。
假设我们进行了一个基因表达研究，同时比较了10000个基因在两组样本中的表达差异。
我们的目标是找出显著差异的基因。
首先，我们进行t检验来比较每个基因在两组样本中的表达差异，并计算出每个基因对应的p值。
然后，我们可以选择控制FWER的Bonferroni校正方法来进行多重比较的调整。
假设我们设置显著性水平为0.05，由于有10000个基因进行比较，因此我们将显著性水平除以10000来得到每个基因的显著性水平，即0.05/10000=0.000005。
统计学中的多重比较方法
统计学中的多重比较方法统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，广泛应用于各个领域。
在数据分析过程中，我们经常需要进行多重比较，以确定不同组之间的差异或者找出显著性结果。
本文将介绍统计学中常用的多重比较方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、背景介绍多重比较是指在进行多个假设检验时，需要对每个比较的显著性水平进行调整，以控制整体错误率。
在实际应用中，如果不对多重比较进行调整，可能会导致过高的错误率，从而得出错误的结论。
因此，多重比较方法在统计学中具有重要的意义。
二、Bonferroni校正法Bonferroni校正法是最常见的多重比较方法之一。
该方法的基本思想是将显著性水平α除以比较的总数，得到每个比较的校正显著性水平。
例如，如果我们进行了10个比较，显著性水平设定为0.05，则每个比较的校正显著性水平为0.05/10=0.005。
通过这种方式，我们可以有效地控制整体错误率。
然而，Bonferroni校正法也存在一些限制。
首先，它假设所有比较之间是独立的，这在实际应用中并不总是成立。
其次，该方法可能会导致过于保守的结果，降低了检验的功效。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适当的多重比较方法。
三、Tukey HSD方法Tukey HSD（Honestly Significant Difference）方法是一种常用的多重比较方法，适用于方差分析（ANOVA）中的多个组之间的比较。
该方法通过计算平均差异的标准误差，得出每个比较的显著性水平。
与Bonferroni校正法相比，Tukey HSD方法具有更好的功效，同时也能控制整体错误率。
然而，该方法要求各组之间的方差齐性，并且对样本量的要求较高。
如果数据不满足这些假设，我们可以考虑使用其他的多重比较方法。
四、False Discovery Rate控制方法False Discovery Rate（FDR）控制方法是一种相对较新的多重比较方法，用于控制预期的错误发现率。
学费多重比较方法的适用条件
学费多重比较方法的适用条件
多重比较方法在学费分析中是一种常用的统计方法，适用于多个学费之间的比较。
以下是多重比较方法的适用条件：
1. 适用于多种学费的比较：多重比较方法适用于多个学费之间的比较，如多个专业的学费、不同年级的学费等。
2. 数据分布符合正态分布：多重比较方法要求数据分布符合正态分布，即数据应该呈现钟形曲线，且分布对称。
如果数据不符合正态分布，可能会导致结果出现偏差。
3. 数据量足够大：多重比较方法需要足够的数据量才能得出可靠的结论。
通常需要每个比较组有足够的样本数量，以确保结果的稳定性。
4. 假设检验合理：在使用多重比较方法之前，需要进行合理的假设检验，确定各组之间的比较是有效的。
如果假设检验不合理，可能会导致结果出现偏差。
5. 控制其他变量：在进行多重比较时，需要控制其他变量的影响，以避免对结果产生干扰。
例如，在比较不同专业的学费时，需要考虑专业设置、课程设置等因素的影响。
总之，多重比较方法在学费分析中适用于多种学费的比较，要求数据分布符合正态分布、数据量足够大、假设检验合理、控制其他变量的影响等条件。
在使用多重比较方法时，需要遵循这些适用条件，以确保结果的可靠性和准确性。
多重比较问题的统计解决方案
多重比较问题的统计解决方案在统计学中，多重比较问题是指在进行多组假设检验时，由于进行多次比较而增加了犯第一类错误（即错误地拒绝真实假设）的概率。
为了有效控制这种错误率，需要采取相应的统计解决方案。
本文将介绍多重比较问题的统计解决方案，包括Bonferroni校正、Tukey方法、False Discovery Rate（FDR）控制等方法。
Bonferroni校正是最常用的多重比较校正方法之一。
该方法通过将显著性水平（α）除以比较的总数来调整每个比较的显著性水平，从而控制整体的错误率。
例如，如果进行了10次比较，希望保持整体的显著性水平为0.05，则每个比较的显著性水平应为0.05/10=0.005。
Bonferroni校正的优点是简单易行，但缺点是可能会导致过于保守的结果。
Tukey方法是一种针对多重比较问题的统计方法，主要用于方差分析中的事后多重比较。
该方法通过计算各组均值之间的差异来确定哪些组之间存在显著差异。
Tukey方法的优点是能够同时比较所有组的均值，较为全面地了解各组之间的差异情况。
False Discovery Rate（FDR）控制是一种用于控制多重比较问题的方法，旨在控制被错误拒绝的假设中的错误发现率。
与传统的方法不同，FDR控制允许在一定程度上容忍错误的发现，以换取更多的真实发现。
这种方法在大规模假设检验中得到广泛应用，能够更好地平衡发现率和错误率之间的关系。
除了上述方法外，还有一些其他的多重比较校正方法，如Holm校正、Benjamini-Hochberg校正等，它们在不同的情境下具有各自的优势和适用性。
研究人员在选择多重比较校正方法时，需要根据具体的研究设计、数据特点和研究目的来进行选择，以获得准确可靠的统计结果。
总的来说，多重比较问题在统计学研究中是一个重要且常见的问题，合理有效地解决多重比较问题对于保证研究结论的可靠性至关重要。
研究人员应当根据具体情况选择合适的多重比较校正方法，并在研究设计阶段就考虑如何控制多重比较带来的错误率，以确保研究结果的科学性和可靠性。
多重比较与多重假设检验
多重比较与多重假设检验在统计学中，多重比较和多重假设检验是一种常见的数据处理和分析方法。
当我们进行多个统计比较或提出多个假设时，需要考虑到错误率的控制和结果的可靠性。
本文将介绍多重比较和多重假设检验的概念、方法以及在实际应用中的注意事项。
一、多重比较的概念与方法多重比较是指在进行多个样本或处理的均值比较时，需要控制由于多次比较而引起的偶然差异带来的错误率增加问题。
在进行多重比较时，我们通常会使用一些修正方法，如Bonferroni校正和Tukey HSD 检验。
Bonferroni校正是一种简单而常用的多重比较修正方法。
它的基本原理是将整体显著性水平（α）除以比较次数，从而得到校正后的显著性水平。
例如，若我们进行了5次比较，显著性水平设置为0.05，那么经过Bonferroni校正后的显著性水平则为0.05/5=0.01。
通过比较修正后的显著性水平与每个比较的P值进行对比，我们可以得到哪些比较是显著的。
Tukey HSD检验是一种常用的多重比较方法，适用于方差分析中的事后比较。
它通过计算不同组之间的最小显著差异（HSD值）来进行多重比较。
如果两个组之间的差异大于HSD值，则认为它们之间存在显著差异。
二、多重假设检验的概念与方法多重假设检验是指当我们进行多个统计假设检验时，需要控制类型I错误率的增加。
类型I错误是指拒绝原假设（H0）而实际上H0是正确的情况。
在多重假设检验中，我们常用的控制方法有Bonferroni校正和FDR控制。
Bonferroni校正在多重假设检验中的应用与多重比较类似。
我们将显著性水平（α）除以假设检验次数，从而得到校正后的显著性水平。
假设我们进行了10个假设检验，显著性水平设置为0.05，那么经过Bonferroni校正后的显著性水平则为0.05/10=0.005。
通过比较修正后的显著性水平与每个假设检验的P值进行对比，我们可以得到哪些假设是显著的。
FDR控制是一种相对较新的多重假设检验方法，它更加注重发现真实的显著性结果。
多重比较
上节对一组试验数据通过平方和与自由度分解，将所估计的处理均方与误差均方作比较，由F测验推论处理间有显著差异。
但我们并不清楚那些处理间存在差异，故需要进一步做处理平均数间的比较。
一个试验中k个处理平均数间可能有k(k-1)/2个比较，因而这种比较是复式比较亦称为多重比较（multiple comparisons)。
多重比较有多种方法，本节将介绍常用的三种：最小显著差数法（LSD法）、复极差法（q法）和Duncan氏新复极差法（SSR法）。
【最小显著差数法（LSD法）、复极差法（q法）和Duncan氏新复极差法（SSR法）本质上都属于t检验法。
因此，使用这三种方法必须满足方差齐性。
因为使用T检验是有条件的，其中之一就是要符合方差齐次性，这点需要F检验来验证。
方差齐次性检验（Homogeneity-of-variance）结果，从显著性慨率：各组方差无差异），c说明各组的方差在看，p>0.05，接受零假设（零假设Ha=0.05水平上没有显著性差异，即方差具有齐次性。
这个结论在选择多重比较方法时作为一个条件（方差齐次时有齐次时的多重比较法，非齐次时有非齐次时的多重比较法）。
比较计算所得F值与某显著水平（如0.05）下F值，可得处理间差异是否显著。
若处理间差异显著，则需进一步比较哪些处理间差异是显著的。
也就是只有在方差分析中F检验存在差异显著性时，才有比较（多重比较）的统计意义。
进行方差分析时需要满足独立样本、方差齐性、正态分布等条件，如果方差不具备齐性（F检验），可首先进行数据转换，如通过对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等方法变换后再进行方差齐性检验,若还不行只能进行非参数检验。
】7.2.1 最小显著差数法最小显著差数法（least significant difference，简称LSD法），LSD 法实质上是t测验。
其程序是：在处理间的F测验为显著的前提下，计算出显著水平为α的最小显著差数；任何两个平均数的差数如其绝对值≥，即为在α水平上显著；反之则为不显著。
大学《生物统计学》课件：第五章 多重比较
差数＞ LSD0.05
差异显著*
差数＞ LSD0.01
差异极显著**
差数≤ LSD0.05
差异不显著
14
例
梯形比较法
不同品种间4个月增重量差异显著表
平均数
品种
xi
大白 沈花 沈白 沈黑
30.9 27.9 25.8 24.1
xi -24.1
6.8 * *
3.8
1.7
差异显著性
xi -25.8
5.1 * 2.1
(2)用两个处理平均数的差值绝对值
x1 与- xL2SDα比较：
5
(一)最小显著差数法（LSD法）
1.检验的方法
(1)先计算出达到差异显著的最小差数，记为LSDα
由t= x1 - x2 得
S x1 - x2
x1 - x2 ＝t ·S x1 - x2
LSD0.05 =t0.05 · S x1 - x2
least significant ranges LSR法
3
LSD法的实质是两个平均数相比较的t检验 法。
LSR法克服了LSD法的局限性，采用不同平均 数间用不同的显著差数标准进行比较，它可用于平 均数间的所有相互比较。
4
(一)最小显著差数法（LSD法）
1.检验的方法
(1)先计算出达到差异显著的最小差 数，记为LSDα
于处理组间的比较。
17
(二)最小显著极差法（LSR法）
是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行 比较，可用于平均数间的所有相互比较。
8
例 不同品种猪4个月增重量的方差分析表
变异来源 品种间 品种内 总变异
SS
df
s2
F
F0.05
多重比较
多重比较四、多重比较F 值显著或极显著，否定了无效假设H O ，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。
因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiple comparisons )。
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。
（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference ) 此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x -与其比较。
若..j i x x -＞LSD a 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由(6-17)式计算。
..)(j i e x x df a a S t LSD -=(6-17)式中：)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由(6-18)式算得。
nMS S e x x j i /2..=-(6-18)其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t 和)(01.0e df t ，代入(6-17)式得：....)(01.001.0)(05.005.0j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD --==(6-19)利用LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行： (1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；(2)计算最小显著差数05.0LSD 和01.0LSD ； (3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与05.0LSD 、01.0LSD 比较，作出统计推断。
统计学中的多重比较方法
统计学中的多重比较方法统计学的研究领域中，多重比较方法是一种强大的工具，用于在研究中探索多个群体或处理之间的差异。
多重比较方法的主要目标是避免在进行统计推断时产生错误的结论。
本文将介绍统计学中常见的多重比较方法，包括Bonferroni校正、Dunnett校正和Tukey-Kramer校正。
1. Bonferroni校正Bonferroni校正是一种广泛使用的多重比较方法，其原理是将显著性水平按照进行比较的数量进行调整。
假设我们进行了m个比较，原始的显著性水平为α，则在Bonferroni校正下，每个比较的显著性水平将调整为α/m。
这样可以保护整体显著性水平，降低错误发现的概率。
但是，Bonferroni校正可能导致统计功效降低，因此需要权衡研究设计和显著性水平的设置。
2. Dunnett校正Dunnett校正是一种特定的多重比较方法，适用于对一个处理组进行多个处理间比较的情况。
与Bonferroni校正不同，Dunnett校正通过将每个比较与一个参照组进行比较，降低了错误发现的概率。
具体而言，Dunnett校正通过在比较中引入一个额外的自由度，来调整每个比较的显著性水平。
这种方法在医学研究和实验设计中经常被使用。
3. Tukey-Kramer校正Tukey-Kramer校正是一种用于多个群体间比较的方法，可以有效控制类型I错误的产生。
在Tukey-Kramer校正下，每个比较的显著性水平将根据一种修正的公式进行调整。
与Bonferroni校正类似，Tukey-Kramer校正能够提供更具吸引力的结果，但也可能降低统计功效。
这种方法主要应用于方差分析（ANOVA）和多元分析（MANOVA）等统计方法。
总结统计学中的多重比较方法是研究设计和结果分析中重要的一环。
通过对多个群体或处理进行比较，可以提供更全面的信息和洞察，并减少错误的结论。
本文介绍了三种常见的多重比较方法，包括Bonferroni校正、Dunnett校正和Tukey-Kramer校正。
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例 不同品种猪4个月增重量的方差分析表
变异来源 品种间 品种内 总变异
SS
df
s2
F
F0.05
F0.01
103.94 3 34.647 3.802 * 3.49 5.95
109.36 12 9.113
213.30 15
√ √ S x1 - x2 =
2se2 = n
2×9.113 ＝2.1346 4
于处理组间的比较。
(二)最小显著极差法（LSR法）
是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行 比较，可用于平均数间的所有相互比较。
新复极差法
q 检验
（New multiple rang method） SSR法
（q-test）
新复极差法（SSR）
SSR法又称Duncan法。无效假设H0 为：
(1)按相比较的样本μ容A 量–μ计B 算= 平0 均数标准误:
M = 相隔数 + 2
大白与沈黑：M＝4，极差＝6.8＞ 5大.0白0与沈白：M＝3，极差＝5.1＞ 4大.8白8与沈花：M＝2，极差＝3.0＜ 4.65
猪品种间4个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
平均数
30.9 27.9 25.8 24.1
差异显著性
α＝0.05
α＝0.01
√ √ S x =
se2 n
=
9.113 ＝1.5094(kg) 4
查附表9，当dfe ＝12，M＝2时， SSR0.05 ＝3.08，SSR0.01＝4.32
LSR0.05 ＝1.5094×3.08＝4.65 LSR0.01 ＝1.5094 ×4.32＝6.52
当M＝3，M＝4时，按同理计算，将结果列于下表：
xi -27.9
3.0
LSD0.05 =4.6513
LSD0.Байду номын сангаас1 =6.5233
结果表明：大白和沈黑增重量差异达到了极显著标准，大
白与沈白之间的差异达到了显著标准，其他品种间差异不显著。
(一)最小显著差数法（LSD法）
LSD法应用的说 明
1. 进行LSD检验时，这一对平均数的比较是检验之前 已经指定的，且经F检验证实平均数间的差异已达到 显著之后，才可以进行LSD检验。
a
A
ab
A
b
A
b
A
结论：猪的4个品种中只有大白与沈黑，大白与沈白 4个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。
q-检验法
也称Newman-keuls检验，方法与新复极差法 相似，其区别仅在于计算最小显著极差LSRα时不是 查SSRα，而是查qα值（附表5-医）
LSRα ＝ qα · S x1
还对上例作q检验：S x1 ＝1.5094,查q值表，dfe＝12,M=2时 q0.05 ＝ 3. 08， q0.01＝4.32。同理可查M＝3，M=4时的 qα值，算出最小显著极差LSR。
查t值表，当误差自由度dfe =12时， t0.05 ＝2.179， t0.01 ＝3.056
LSD0.05 =t0.05 · S x1 - x2 =2.179 ×2.1346=4.6513(kg)
LSD0.01 =t0.01 · S x1 - x2 =3.056 ×2.1346=6.5233(kg)
2. LSD 法实质上是t 检验，但LSD 法是利用F 检验中 的误差自由度dfe 查t 临界值，利用误差方差se2 计算
平均数差异标准误，从一定程度上缓解了t检验过程中 的三个弊病，但是LSD法仍然存在提高犯α错误的概 率，所以进行LSD检验必须限制其应用范围。
3. LSD 法适用于各处理组与对照组的比较，不适用
LSD0.01 =t0.01 · S x1 - x2
平均数差数标准误的计算公式：
√ √ S x1 - x2 =
s12 n1
+
s22 n2
=
se2(
1 n1
+
1n2)
√ 当n1 = n2时： S x1 - x2 =
2se2 n
处理内方差
(一)最小显著差数法（LSD法）
1.检验的方法
(2)再用两个处理平均数的差值绝对值 x1 -与xL2SDα比较：
不同品种4个月增重量试验LSR值（q检验） q-检验
M
q0.05 q0.01 LSR0.05 LSR0.01
2
3.08 4.32 4.65 6.52
3
3.77 5.04 5.69 7.61
4
4.20 5.50 6.34 8.30
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
平均数
30.9 27.9 25.8 24.1
当M≥3时，三种检验的显著尺度便不相同。
因此，在实际计算中：
对于精度要求高的试验——q检验法 一般试验——SSR检验法 试验中各个处理均数皆与对照相比的试验——LSD 检验法
2 3.08 4.32 4.65 6.52
LSD0.01 =6.5233
3 3.22 4.50 4.88 6.79
3 3.77 5.04 5.69 7.61
4 3.31 4.62 5.00 6.97
4 4.20 5.50 6.34 8.30
当样本数k=2时，LSD法、LSR法和q检验法的显著性尺度是相同 的。
不同品种4个月增重量试验LSR值（新复极差法）
M
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
2
3.08 4.32 4.65 6.52
3
3.22 4.50 4.88 6.79
4
3.31 4.62 5.00 6.97
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
平均数
30.9 27.9 25.8 24.1
品种
大白 沈白 沈黑 沈花
31.9 24.8 22.2 27.0
24.0
25.7 23.0 30.8
31.8
26.8 26.7 29.0
35.9
25.9 24.3 24.6
Ti 123.6 103.2 96.2
xi 30.9
25.8
24.1
k=4，n=4，nk=16
111.4 27.9
T=434.4
LSD0.01 =6.5233
(一)最小显著差数法（LSD法）
标记字母法
在各平均数间，凡有一个相同标记字母的即 为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显 著。
差异极显著标记方法相同，但用大写字母标 记。
(一)最小显著差数法（LSD法）
梯形比较法
又叫三角形法，是将各处理的平均数差数按梯形列于 表中，并将这些差数和LSDα值比较：
五 多重比较
五、多重比较
概念
多重比较（multiple comparisons）
要明确不同处理平均数两两间差异的显著性， 每个处理的平均数都要与其他的处理进行比较， 这种差异显著性的检验就叫多重比较。
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比 较。
常用方法
最小显著 差数法
最小显著 极差法
least significant difference LSD法
(一)最小显著差数法（LSD法）
2.结果表示方法
标记字母 法
梯形法
(一)最小显著差数法（LSD法）
标记字母法
首先将全部平均数从大到小依次排列。然后在最大的平均数 上标字母a，将该平均数与以下各平均数相比，凡相差不显著 的（＜ LSDα）都标上字母a，直至某个与之相差显著的则标字 母b。再以该标有b的平均数为标准，与各个比它大的平均数比 较，凡差数差异不显著的在字母a的右边加标字母b。然后再以 标b的最大平均数为标准与以下未曾标有字母的平均数比较， 凡差数差异不显著的继续标以字母b，直至差异显著的平均数 标字母c，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最小 的平均数有了标记字母，并与上面的平均数比较后为止。
例
结果表明： 大白和沈黑增重 量差异达到了极 显著标准，大白 与沈白之间的差 异达到了显著标 准，其他品种间 差异不显著。
标记字母法
不同品种间4个月增重量差异显著表
平均数
品种
xi
大白 沈花 沈白 沈黑
30.9 27.9 25.8 24.1
差异显著性
α＝0.05
α＝0.01
a
A
ab
AB
b
AB
b
B
LSD0.05 =4.6513
当n1 ＝n2＝n时
√ S x = se2 n
(2)根据误差方差se2所具有自由度dfe和比较所含平均数个数M，
查SSR值（附表9），然后算出最小显著极差值（LSR值）。
LSRα ＝ SSRα · S x1
(3)将各平均数按大小顺序排列，用各个M值的LSRα值，检验 各平均数间极差的显著性。
例
例： n=4，se2 =9.113， dfe＝12
大白与沈黑：M＝4，极差＝6.8＞ 6.34 大白与沈白：M＝3，极差＝5.1＜ 5.69
大白与沈花：M＝2，极差＝3.0＜ 4.65
(二)最小显著极差法（LSR法）
不同品种间4个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）
品种
平均数
差异显著性
α＝0.05
α＝0.01
大白
30.9
a
A
沈花
27.9
ab
A
沈白
(2)用两个处理平均数的差值绝对值
x1 与- xL2SDα比较：
(一)最小显著差数法（LSD法）
1.检验的方法
(1)先计算出达到差异显著的最小差数，记为LSDα
由t= x1 - x2 得
S x1 - x2