北京二中2021高三开学考
2021届北京市第二中学高三高考模拟数学试题(解析版)
2021届北京市第二中学高三高考模拟数学试题一、单选题1．设集合{}{12},2,[0,2],xA x xB y y x =-<==∈则A B =（ ）A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,4【答案】C【分析】先求出集合A ，B ，再求其交集 【详解】解：因为|1|213x x -<⇒-<<， 所以(1,3)A =-，因为{}2,[0,2]xB y y x ==∈ 所以[1,4]B =.所以[1,3)A B =.故选：C.2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．()x f x x e =+ B ．1()f x x x=+C ．1()22xxh x =+D ．()w x =【答案】A【分析】利用函数奇偶性的定义，结合函数定义域，即可容易判断.【详解】A 定义域为R ，关于原点对称，但是()()x f x x e f x --=-+≠±，∴为非奇非偶函数，B 定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，又1()()f x x f x x-=--=-，∴为奇函数， C 定义域为x ∈R ，关于y 轴对称，又1()2()2xx f x f x ---=+=，∴为偶函数，D 定义域为x ∈R ，关于原点对称，又()()f x f x -==，∴为偶函数， 故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数定义域即可，属综合基础题.3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石C ．138石D ．1665石【答案】A【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果 【详解】解，由抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒估计夹谷频率为2812529=， 所以这批米内夹谷约为112061349⨯=石， 故选:A.4．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【详解】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12i z z ==，即充分性不成立，故选B.【解析】复数概念，充要关系5．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则tan()πθ-的值为（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【分析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案. 【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-， 故选:C.6．在2()nx x-的展开式中，若二项式系数的和为32，则x 的系数为（ ）A ．﹣40B ．﹣10C ．10D ．40【答案】D【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得x 的系数．【详解】根据2()nx x-的展开式中，二项式系数的和为2325n n =∴=， ．而522()()n x x x x-=- 的展开式中，通项公式为52152r rr r T C x -+=⋅-⋅（）， 令521r -=，求得2r ，可得展开式中x 的系数为325240C ⋅-=（）， 故选D ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅的值为（ ）A ．1B ．1-C ．5D ．7【答案】A【分析】以AB 所在直线为x 轴，以O 为原点，建立坐标系，结合已知条件求出()2,3AE =，()1,3BD =-，从而可求出数量积.【详解】解：以AB 所在直线为x 轴，以O 为原点，如图建立坐标系，则()()()2,0,1,3,3,3B D C ，则()2,3E ，所以()2,3AE =，()1,3BD =-，则231AE BD ⋅=-+=.故选:A【点睛】关键点睛:本题的关键是建立坐标系，写出两向量的坐标.8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）A ．32B ．23C ．47D ．221【答案】C【分析】由三视图还原几何体，求出各面的面积即可选出正确答案. 【详解】由题意可知,几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4， 并且高为侧棱垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥, 两个垂直底面的侧面面积相等为8,底面面积为234434⨯=,另一个侧面的面积为()2214423472⨯⨯+=,四个面中面积的最大值为47, 故选:C.【点睛】关键点睛:本题的关键是由三视图还原几何体.9．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根【答案】B【详解】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【解析】不等式性质10．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有 A ．(sin 2)sin f x x = B ．2(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+【答案】D 【详解】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.【解析】函数的概念二、填空题11．已知42a =，lg x a =，则x =__________． 10【详解】试题分析：由42a =得12a =，所以1lg 2x =，解得10x =，10. 【解析】指数方程；对数方程.12．已知α是任意角，且满足cos sin 6k παα⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则常数k 的一个取值为__________．【答案】3-（答案不唯一）【分析】利用诱导公式，求得k 的取值集合. 【详解】,α∀满足cos sin 6k παα⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，2,62k m m Z πππ∴⋅=-+∈，得312k m =-+，m Z ∈，当0m =时，3k =-.故答案为：3-（答案不唯一）13．在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名志愿者要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，其中甲､乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有___________种. 【答案】18.【分析】分成两步，先分甲乙，再将剩下的取2人分到社区，从而可计算出正确答案. 【详解】解：第一步先分甲乙，则有133C =，第二步从剩下的4人任取2人到另外两个社区，有246C =， 所以不同的分配方案共有431218C C ⋅=， 故答案为:18.14．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为________．【答案】y x = 【详解】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C的渐近线方程为y x = 【解析】双曲线渐近线15．已知函数f （x ）＝2x ，g （x ）＝x 2＋ax （其中a ∈R ）.对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n. 其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【详解】对于①，因为f '（x）＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '（x）＝g'（x），即2x ln2＝2x＋a记h（x）＝2x ln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f '（x）＝－g'（x），即2x ln2＝－2x－a令h（x）＝2x ln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x→＋∞时，h（x）→＋∞当x→－∞时，h（x）→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确【解析】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.三、解答题16．如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=2，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E为对角线BD的中点.现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2.（1）求证：直线PE⊥平面BCD；（2）求异面直线BD和PC所成角的余弦值；（3）已知空间存在一点Q到点P，B，C，D的距离相等，写出这个距离的值(不用说明理由).【答案】（1）证明见解析；（2）66；（3）2. 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理进行证明；（2）建立合适空间直角坐标系，根据直线的方向向量夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值；（3）取BC 的中点进行分析，然后可求解出点Q 到点P ，B ，C ，D 的距离相等时的距离.【详解】（1）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且平面PBD平面BCD BD =，又由图1可知PB PD =且E 为BD 中点，所以PE BD ⊥， 又PE ⊂平面PBD ，所以PE ⊥平面BCD ；（2）建立空间直角坐标系，以EB 方向为x 轴，以垂直BD 方向为y 轴，以EP 方向为z 轴，如下图所示：由图1可知ABD △为等腰直角三角形，所以45ADB DBC DCB ∠=∠=∠=︒， 所以DBC △为等腰直角三角形，因为2AD AB ==2PD PB ==222DB DC PB PD ==+=，所以()()()()1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,2,0B D P C --， 所以()()2,0,0,1,2,1BD PC =-=--， 所以26cos ,26BD PC BD PC BD PC⋅<>===⋅， 所以异面直线,BD PC 所成角的余弦值为66（32取BC 的中点F ，因为DBC △为等腰直角三角形，所以122BF DF CF BC ====， 又因为E 为BD 中点，所以1EB EF ==，所以222PF PE EF =+=，所以2FP FB FC FD ====，所以Q 点即为点F ，所以Q 到,,,P B C D 的距离相等时，此时距离为2.【点睛】思路点睛：异面直线所成角的余弦值的向量求法： （1）先分别求解出两条异面直线的一个方向向量； （2）计算出两个方向向量夹角的余弦值；（3）根据方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果. 17．已知()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()sin()||2f x A x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象可以由sin cos y x x =-的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为2π；④最大值为2. （1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）若曲线()y f x =的对称轴只有一条落在区间[0,]m 上，求m 的取值范围.【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）5,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件； （2）先根据（1）求解出()f x 的解析式，然后采用整体替换的方法求解出()f x 的对称轴方程，然后对k 进行赋值，确定出在区间[]0,m 上仅有一条对称轴时m 的取值范围. 【详解】（1）三个条件是：①③④，理由如下： 若满足②：因为sin cos 24y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2,1A ω==；若满足③：因为22T π=，所以2T ππω==，所以2ω=， 若满足④：2A =，由此可知：若满足②，则③④均不满足， 所以满足的三个条件是：①③④； （2）由③④知：()()2sin 2f x x ϕ=+， 由①知：16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为||2ϕπ<，2,36k k Z ππϕπ+=+∈或52,36k k Z ππϕπ+=+∈， 所以2,6k k Z πϕπ=-∈或2,2k k ϕπ=π+∈Z ，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 不妨令2,62x k k Z πππ-=+∈，所以,23k x k Z ππ=+∈，当1k =-时，6x π=-；当0k =时，3x π=；当1k =时，56x π=，所以若要()y f x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，只需5,36m ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭, 所以m 的取值范围是5,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>，若求函数()g x 图象的对称轴，则令2x k πωϕπ+=+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令x k ωϕπ+=，Z k ∈． 18．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【答案】(1)12,参考解析;(2)参考解析 【详解】试题分析：(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额..由获得60元的事件数1113C C 除以总的事件数24C 即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论. (2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.试题解析：(1)设顾客所获的奖励为X. ①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12. ②依题意,得X 的所有可能取值为20,60. 232411(60),(20)22C P X P X C =====.即X 的分布列为所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,则1X 的分布列为1X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=,1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,则2X 的分布列为2X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=, 2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2. 【解析】1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 的下顶点和上项点分别为12,B B ，且122B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）当k =2时，求△OMN 的面积；（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 恒在一条定直线上.【答案】(1) 2212x y +=;(2)9;(3)证明见解析. 【分析】(1)由122B B =可得1b =，结合离心率和222c a b =-可求出1,c a ==进而可得椭圆的方程.(2)写出l 的方程为22y x -=与椭圆进行联立，设()()1122,,,M x y N x y ，结合韦达定理可得1212162,93x x x x +=-=，即可求出MN ，由点到直线的距离公式可求出原点到l 的距离d ，从而可求出三角形的面积.(3) 设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆的方程整理后结合韦达定理可得12122286,2121k x x x x k k +=-=++，设(),T m n ，由1,,B T M 在同一条直线上， 得113n k m x +=+，同理211n k m x -=+，从而可得()1212311340x x n n k m m x x ++-+⋅=+=， 即可证明交点在定直线上.【详解】解：(1)因为122B B =，所以22b =，即1b =，因为离心率为2，则2c a =，设c =，则2,0a k k =>，又222c a b =-，即22241k k =-，解得2k =或2-（舍去），所以1,c a ==2212x y +=.(2) 设()()1122,,,M x y N x y ，由直线的点斜式方程可知，直线l 的方程为22y x -=，即22y x =+，与椭圆方程联立，222212y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得291660x x ++=， 则1212162,93x x x x +=-=，所以MN ==9，原点到l的距离d == 则OMN的面积1122S d MN ===(3)由题意知，直线l 的方程为2y kx -=，即2y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221860k x kx +++=，则12122286,2121k x x x x k k +=-=++，因为直线和椭圆有两个交点，所以()()22824210k k ∆=-+>，则232k >， 设(),T m n ，因为1,,B T M 在同一条直线上，则111111313y kx n k m x x x +++===+， 因为2,,B T N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+， 所以()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+，所以12n =， 则交点T 恒在一条直线12y =上.【点睛】关键点睛:本题第三问的关键是设交点(),T m n ，由三点共线结合斜率公式得111111313y kx n k m x x x +++===+和222221111y kx n k m x x x -+-===+，两式进行整理后可求出12n =，即可证明交点在定直线上. 20．已知函数21()ln (0)2f x x x a x a =-+>.（1）若1a =，求()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()1232ln 24f x f x --+>. 【答案】（1）32y x =-；（2）答案见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）分别计算出1x =时的导数值和函数值，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程；（2）先求解出()f x '，然后根据∆与0的大小关系对a 进行分类讨论，由此分别确定出()f x 的单调性；（3）根据已知条件结合韦达定理先分析得到1212,x x x x +的结果，然后将()()12f x f x +表示为关于a 的函数，构造新函数()1ln 2g a a a a =--并借助导数分析其单调性和最值，由此完成证明.【详解】（1）因为()211,ln 2a f x x x x ==-+，所以()()110f x x x x'=-+>， 所以()111111f '=-+=，()1111ln122f =-+=-，所以切线方程为：()1112y x ⎛⎫--=⋅- ⎪⎝⎭，即32y x =-； （2）()()210a x x ax x x xf x -+-+='>=，记14a ∆=-，当14a ≥时，140a ∆=-≤，()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当104a <<时，140a ∆=->，令()0f x '=，所以12x ±=且0>，x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，x ∈⎝⎭时()0f x '<，()f x 单调递减，⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭x 时，()0f x '>，()f x 单调递增， 综上可知：14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；104a <<时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增； （3）因为()()()221ln ,10,2a x x af x x x a x f x x x x x-+'=-+=-+=>由题意可知：20x x a -+=的两个根为12,x x 且140a ->，所以1212110,4x x x x a a ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以()()()()22121212121ln 2f x f x x x x x a x x +=+-++， 所以()()()()()21212121212112ln 121ln 22f x f x x x x x x x a x x a a a ⎡⎤+=+--++=--+⎣⎦，所以()()121ln 2f x f x a a a +=--+，令()11ln 0,24g a a a a a ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()ln g a a '=，10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g a '<，所以()g a 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以()()121ln11132ln 2444424f x f x g --⎛⎫+>=--=⎪⎝⎭， 所以()()1232ln 24f x f x --+>成立. 【点睛】思路点睛：导数中双极值点问题的一般求解思路： （1）先求出导函数()f x '；（2）根据()0f x '=求解出极值点12,x x 满足的关系式（若导函数为二次函数类型，可根据韦达定理进行计算）；（3）利用12,x x 的关系通过化简、计算将问题转化为单变量问题，通过构造新函数完成问题的求解.21．已知集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥，其中(1,2,,)i a i k ∈=Z ，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈．其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（Ⅰ）检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ．（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明(1)2k k n -≤． （Ⅲ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．【答案】（Ⅰ）集合{}0,1,2,3不具有性质P ，集合{}1,2,3-具有性质P ，相应集合(1,3)S =-，(3,1)-，集合(2,1)T =-，(2,3)（Ⅱ）见解析（Ⅲ）m n =【详解】解：集合{}0123，，，不具有性质P ． 集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)(23)T =-，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=， 即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，． 如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．。
北京市第二中学2024-2025学年高三上学期开学测试数学试题
北京市第二中学2024-2025学年高三上学期开学测试数学试题一、单选题1．已知全集R U =，集合{}2230M x x x =--≤和{}|21,1,2,N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个2．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ∥ C ．若,m m βα⊥∥，则αβ⊥D ．若,m n αα∥∥，则m n ∥3．设0.434log 0.4,log 3,3a b c ===，则（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<4．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f = A ．2-B ．1-C ．0D ．25．定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，如果()()lg 101xf x =+，(,)x ∈-∞+∞，那么（ ） A ．()g x x =，()()lg 10102x xh x -=++B ．()1()lg 1012xg x x ⎡⎤=++⎣⎦，()1()lg 1012x h x x ⎡⎤=+-⎣⎦ C ．()2x g x =，()()lg 1012xx h x =+- D ．()2x g x =-，()()lg 1012x xh x =++6．设x 为实数，则0x <“”是 “12x x+≤-”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个8．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流30A I =时，放电时间10h t =.则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（ ）（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） A ．43B ．53C ．83D ．29．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(),0x ∈-∞时，()()'0f x xf x +<成立（()'f x 是函数()f x 的导函数），若sin sin 66a f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()ln 2ln 2b f =，1212log 4c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>10．已知函数()()()2433,0,,(0log 11,0a x a x a x f x a x x ⎧+-+<⎪=>⎨++≥⎪⎩，且1)a ≠在(),-∞+∞上单调递减，且函数()()2g x f x x =+-恰好有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．123,334⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭B ．123,334⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭UC ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题11．已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是．12．若443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则0a =；13024a a a a a +=++.13．已知直线0x y m -+=与圆22:420C x y x y ++-=相交，能说明“直线0x y m -+=截圆22:420C x y x y ++-=所得弦长不小于是假命题的一个m 的值为．14．已知点1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为.15．已知函数()f x = ①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根； ③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设M x 1,y 1 为曲线()y f x =上一点，N x 2,y 2 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．在△ABC 中，b a ，cos A =. (1)求证：△ABC 为等腰三角形；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求b 的值. 条件①：π6B ∠=； 条件②：△ABC 的面积为152； 条件③：AB 边上的高为3.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）18．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，平面PAD ⊥平面,ABCD E F G 、、分别是PC PD BC 、、的中点． (1)求证：//AB 平面EFG ；(2)求平面EFG 与平面ABCD 夹角的大小；(3)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6？若存在，求出线段PM的长度；若不存在，说明理由．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()()4,0,2,3A P --．(1)求椭圆C 的方程以及离心率；(2)设直线:2l y kx =-与椭圆C 交于,M N 两点，过点N 作直线y =-6的垂线，垂足为Q ．判断直线MQ 是否过定点，并证明你的结论． 20．已知函数()()cos 1,x f x g x ax x x==-． (1)求函数()f x 在π2x =处的切线方程；(2)若函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，求实数a 的取值范围．21．已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =L L 是正整数1,2,3,,n L 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈L L ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b L 为排列12,,,n a a a L 的生成列；排列12,,,n a a a L 为排列12,,,n b b b L 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a L 和12,,,n a a a '''L 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a L ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a L 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a L 变换为各项满意指数均为非负数的排列．。
2023-2024学年北京二中高三下学期2月开学考数学试题及答案
2024北京二中高三（下）开学考数 学命题人：_______ 得分： _______一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．选出符合题目要求的一项）1. 设集合{}1,|3|04x A x x B x x −⎧⎫=>=≤⎨⎬−⎩⎭，则()R A B ⋂=（ ） A. (1,3) B. [1,3]C. (3,4)D. [3,4)2. 已知复数i,13ia a +∈+R 是纯虚数，则在复平面中，复数i z a =+的共轭复数z 对应的点坐标是（ ） A. ()3,1−− B. ()3,1−C. ()1,3−D. ()1,33. 若()323012312x a a x a x a x −=+++，则123a a a ++=（ ） A. 1B. 2C. 1−D. 2−4. 已知a ，0b >，且1a ≠，1b ≠，若log 1a b >，则（ ） A. ()()110a b −−< B. ()()10a a b −−>C. ()()10b a b −−>D. ()()10b b a −−>5. 在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A.10B.10 C. 10−D. 10−6. 设{}n a 是无穷数列，记1n n n b a a +=+，则“{}n a 是等比数列”是“{}n b 是等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑（wŭ）殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面ABCD 题矩形，5,//9BC EF AB AB =，四边形ABFE CDEF 、是两个全等的等腰梯形，EAD FBC 、△△是两个全等的等腰三角形．若135,6,2BC EF AE ===，则该几何体的体积为（ ）（图1） （图2）A. 90B.C.2D. 1358. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的右顶点为M ，以M 为圆心，双曲线C 的半焦距为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于A ，B 两点．若2π3AMB ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 29. 平面直角坐标系xOy 中，定点A 的坐标为()cos ,sin θθ，其中0πθ≤≤.若当点B 在圆22(2)1x y −+=上运动时，OA OB ⋅的最大值为0，则（ ） A. π,3θ=⋅OA OB 的最小值为2− B. π,3θ=⋅OA OB 的最小值为32−C. 2π,3θ=⋅OA OB 的最小值为2− D. 2π,3θ=⋅OA OB 的最小值为32−10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，下列正确的命题是（ ）①{}n a 可能为等差数列； ②{}n a 可能为等比数列；③(2)i a i ≥均能写成{}n a 的两项之差；④对任意N,1n n ∈≥，总存在N,1m m ∈≥，使得m a a S =． A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11. 抛物线214y x =的焦点坐标为_________，准线方程为__________． 12. 已知向量a 在向量b 上的投影向量(3,4)u =−，且||2b =，则a b ⋅=_____________.13. 已知直线y kx m =+(m 为常数)与圆224x y +=交于点,M N ，当k 变化时，若MN 的最小值为2，则m =_____________.14. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）．若()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且3π11ππ4124f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的值为_________．15. 已知函数()πππ,,22πcos ,π2e 4,πx a x xf x x x a x −+⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩给出下列四个结论：①若()f x 有最小值，则a 的取值范围是1,0π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦； ②当0a >时，若()f x t =无实根，则t 的取值范围是[][)π,441,a a a ++∞；③当12a ≤−时，不等式()()224f x f x +>+的解集为()2,2−； ④当1a ≥时，若存在12x x <，满足()()1210f x f x −<=<，则120x x +>. 其中，所有正确结论的序号为__________.三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骡或证明过程）16. 在△ABCππcos 66B B ⎛⎫⎛⎫+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求B 的值；（2）给出以下三个条件：①22230a b c c −++=；②a =1b =；③ABC S =△，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i ）求sin A 的值；（ii ）求∠ABC 的角平分线BD 的长．17. 某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作．每个工人独立维修A 元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A 的个数，具体数据如下表：从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数． （Ⅰ）求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若a ，b *N ∈，且b-a =6，求()P a X b ≤≤最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论） 18. 在三棱柱111ABCA B C 中，112,AB AC AA AA AB ===⊥，平面11B BCC ⊥平面ABC ，,,M N P分别为棱111,,A C BB BC 的中点，如图：（1）求证：//MP 平面11ABB A ； （2）若AB AC ⊥，①求1A P 与平面MPN 所成角的正弦值； ②求线段AP 在平面MPN 内的投影HP 的长.19. 已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点，且焦距为2，动弦MN 平行于x轴，且114F M F N +=． （1）求椭圆E 的方程；（2）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线:4l x =上的一动点（点P 不在x 轴上），连接AP 交椭圆于C 点，连接PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得ACDBCDS Sλ=成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 20.已知函数()2121e2x f x ax x −⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的方程； （2）若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围； （3）若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围．21. 已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=−=，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数. （1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项； （3）若0(1,2,3,)n a n >=，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．选出符合题目要求的一项）1. 【答案】B【分析】根据条件，得到{}R|3A x x =≤，{}|14B x x =≤<，再利用集合的运算，即可求出结果.【详解】因为{}|3A x x =>，所以{}R|3A x x =≤，又由104x x −≤−，得到14x ≤<，即{}|14B x x =≤<， 所以(){}R |13A B x x =≤≤，故选：B. 2. 【答案】A【分析】利用复数除法计算出()313ii 13i 10a a a ++−+=+，从而得到3a =−，求出答案. 【详解】()()()()()2i 13i 313ii 3i i 3i 13i 13i 13i 1010a a a a a a +−++−+−+−===++−， 则30a +=，解得3a =−，则3i z =−+，3i z =−− 故共轭复数z 对应的坐标为()3,1−−. 故选：A 3. 【答案】D【分析】对x 赋值，分别赋值0x =，=1x ，进而可得结果. 【详解】由()323012312x a a x a x a x −=+++，令0x =，则301a =，即01a =，令1x =，则()3012312a a a a −=+++， 即12311a a a −=+++ 所以1232a a a ++=−. 故选：D. 4. 【答案】D【分析】根据对数函数的单调性，结合1a >或01a <<分类讨论进行判断即可． 【详解】解：由log 1a b >，即log log a a b a >，， 当1a >时，则有1b a >>，此时10b −>，0b a −>，10a −>，0a b −<，则 ()()110a b −−>， ()()10a a b −−<，()()10b a b −−<，()()10b b a −−>，D 选项符合；当01a <<时，则有01b a <<<，此时10b −<，0b a −<，10a −<，0a b −>，则()()110a b −−>， ()()10a a b −−<，()()10b a b −−<，()()10b b a −−>， D 选项符合； 故选：D ． 5. 【答案】C【详解】试题分析：设,2,sin cos cosAD a AB CD a AC A ααββ=⇒===⇒====cos()10αβ=+=−,故选C.考点：解三角形. 6. 【答案】D【分析】根据充分、必要条件以及等差、等比数列的知识求得正确答案. 【详解】非充分性：{}{}:1,1,1,,:0,0,0,0,n n a b −−，此时{}n a 是等比数列，但{}n b 不是等比数列； 非必要性：{}{}:1,1,1,1,,:1,0,1,0,n n b a .此时{}n b 是等比数列，但{}n a 不是等比数列.所以“{}n a 是等比数列”是“{}n b 是等比数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D 7. 【答案】B【分析】将该五面体分割为四棱锥和三棱柱，结合棱柱和棱锥的体积公式求其体积． 【详解】过点E 作EG EF ⊥，EH EF ⊥，又EG EH E =，EG ，EH ⊂平面EGH ，所以EF ⊥平面EGH ，过点F 作FM EF ⊥，FN EF ⊥，又FMFN F =，FM ，FN ⊂平面FMN ，所以EF ⊥平面FMN ，因为//EF 底面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面ABCD AB =，所以//AB EF ，同理//CD EF ，所以AB EG ⊥，CD EH ⊥，AB FM ⊥，CD FN ⊥，AB ⊥平面EGH ，AB ⊥平面FMN ，GH平面EGH ，MN ⊂平面FMN ，所以AB GH ⊥，AB MN ⊥， 因为9,5,6AB BC EF ===，ADE 与BCF △是全等的等腰三角形，由对称性可得，96322AG DH BM CN −=====，所以5EG EH GH MN =====，连接点E 与GH 的中点P ，则EP =所以11522EGHSGH EP ==⨯=，又6=GM ，所以三棱柱EGH FMN −的体积为6EHGSEF ⋅=， 因为AB ⊥平面EGH ，EP ⊂平面EGH ，所以AB EP ⊥， 又EP GH ⊥，AB ，GH平面ABCD ，ABGH G =，所以EP ⊥平面ABCD ，又矩形AGHD 的面积为315522AG HG ⋅=⨯=，所以四棱锥E AGHD −的体积为1153224⨯⨯=，由对称性可得四棱锥F MBCN −的体积为4，所以五面体ABCDEF 2+=． 故选：B 8. 【答案】D【分析】做MC AB ⊥交AB 于C 点，C 点为弦AB 的中点，可得圆心M 到渐近线的距离等于半径的一半，即2ab cc =，再利用222+=a b c 可得答案.【详解】因为2π3AMB ∠=，如图，做MC AB ⊥交AB 于C 点，C 点为弦AB 的中点， 60,30∠=∠=AMC CAM ，所以圆心M 到渐近线的距离等于半径的一半，则2ab c c =，则4222)4(c a c a −=，即42440c c a a ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则双曲线C ． 故选：D .9. 【答案】C【分析】设()2cos ,sin αα+B ，02πα≤<，根据数量积的坐标运算结合两角和差公式可得()2cos cos θθα⋅=+−OA OB ，再结合余弦函数的有界性分析求解.【详解】设()2cos ,sin αα+B ，02πα≤<， 则()()cos ,sin ,2cos ,sin θθαα==+OA OB ，可得()()cos 2cos sin sin 2cos cos θαθαθθα⋅=++=+−OA OB ，对任意02πα≤<，可知当()cos 1θα−=时，OA OB ⋅的最大值为2cos 10θ+=， 可得1cos 2θ=−，且0πθ≤≤，所以2π3θ=，且当()cos 1θα−=−时，OA OB ⋅的最小值为2cos 1112θ−=−−=−. 故选：C. 10. 【答案】A【分析】对于①，取n a n =，可知①正确；对于②，当{}n a 的公比1q =，2n ≥时，1n m m S na na a ==≠；当1q ≠时，n m S a =，而111n m q q q −−+++=无有理数根，可知②错误；对于③，根据1(2)n n n a S S n −=−≥，可知③正确；对于④取数列n a n =，显然不存在m ，使得22m S a ==，故④不正确.【详解】对于①，取n a n =，则(1)2n n n S +=，显然存在(1)2n n m +=，使n m S a =，所以①正确，对于②，若数列{}n a 为等比数列，设公比为q ，显然1q =不满足要求， 考虑1q ≠的情况，依题意有，12122,n m n m S a S a ++==， 即121n m q q q q ++++=①，2221211(1)(1)m n n n q q q q q q q q ++++++=+++++=②，两式相除，得到2111m n m q q+−+=，若1q >，则取n 为奇数，那么10n q +>，所以212n m mq q+−≥，所以()21211111n n m m n n qq qq qq ++−++=−≥−=−，当n 足够大时，显然不成立；若1q <，则(211[)0,,m m q q q −⎤∈⎦+∞， 因为11q q<<， 所以当n 足够大时，可以使111,n q q q +⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故也不成立.从而知②错误， 对于选项③，取2n =，则12m a a a +=，所以12m a a a =−， 当2n ≥时，211m n n n m a S S a a −=−=−，故③正确，对于选项④，取数列n a n =， 显然不存在m ，使得22m S a ==，故④错误， 故选：A.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第②选项，根据条件得到12122,n m n m S a S a ++==，从而得到2111m n m q q +−+=，再对q 进行讨论，从而解决问题.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11. 【答案】 ①. ()0,1 ②. 1y =− 【分析】先将214y x =化简为24x y =，再利用抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知214y x =，化简得24x y =，所以焦点坐标为()0,1，准线方程为：1y =−. 故答案为：()0,1；1y =−. 12. 【答案】10±【分析】由题意设(34)b u ,λλλ==−，结合||2b =，求出λ，再根据投影向量的定义，列式计算，即可求得答案.【详解】由题意知向量a 在向量b 上的投影向量为(3,4)u =−，设(34)b u ,λλλ==−，由||2b =，得222(34)5)(4,λλλ+−=∴=±， 故a b b |b |u ||b ⋅⋅=，即22a ub uλ⋅⋅=， 故410a b λ⋅==±，故答案为：10± 13. 【答案】【分析】利用垂径定理表示出MN 即可.【详解】224x y +=可知圆心为()0,0，半径2r =. 圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式有：d =.由垂径定理可知：MN ==……① 由MN 的表达式可知，当0k =时，MN取得最小值，即min2MN =……②所以②代入①有：2m =⇒=. 故答案为： 14. 【答案】32【分析】由()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，得函数最小正周期πT ≥，从而可由3π11ππ4124f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得出其一条对称轴方程和一个对称中心，然后可求得周期，再由周期公式求ω的值．【详解】因为()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性， 则3ππ1442T −≤，所以πT ≥，又0ω>，2ππω≥，故0<2ω≤，由3π11π412f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知函数()f x 的一条对称轴为3π11π5π41226x +==， 又3ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 有对称中心π,02⎛⎫⎪⎝⎭，从而5ππ4π4623T ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，即2π4π3ω=，所以32ω=. 故答案为：32． 15. 【答案】②③④【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.【详解】当πx >时，()()πe 44,41xf a a a x −++∈=+，当ππ2x ≤≤时，()[]cos 1,0x f x ∈−=， 若0a >，则当π2x <时，()π()π2f a f x <=，则此时函数无最小值；若0a =，则当π2x <时，()0f x =，πx >时，()πe4(0,1)x f a x −+∈=+， 则函数有最小值为1−满足题意； 若a<0，则当π2x <时，()π()π2f a f x >=，πx >时，()()πe44,41x f a a a x −++∈=+， 要使函数有最小值，则π141a a ≥−⎧⎨≥−⎩，解得104a −≤<；综上，a 的取值范围是1,04⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，①错误； 当0a >时，函数()f x 在π,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭单调递增，π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，()π,+∞单调递减， 作图如下，因为()f x t =无实根，所以π4a t a ≤≤或41t a ≥+，②正确； 当12a ≤−时，因为411a +≤−，所以函数()f x 在π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递减， 又因为222,44,x x +≥+≥所以由()()224f x fx +>+可得，224x x +<+，即220x x −−<，解得02x ≤<，所以()2,2x ∈−，所以不等式()()224f x fx +>+的解集为()2,2−，③正确；函数()f x 在点π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为π()sin 12f x '=−=−，所以切线方程为π2y x =−+π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πcos 2x x ≥−+， 设()()()121,0f x f x m ==∈−，记直线y m =与函数π(),,2f x x ⎛⎫∈−∞ ⎪⎝⎭，π2y x =−+，π(),,π2f x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的交点的横坐标为102,,x x x ， 因为()2ππ,2f x a x x ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭经过点π(,0)2−， 所以由对称性可知，当1a ≥时，100x x +≥，又因为20x x >，所以120x x +>，④正确； 故答案为:②③④.【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骡或证明过程）16. 【答案】（1）2π3B =（2）正确条件为①③，（i ）sin A =（ii ）158BD =【分析】（1）利用和角正弦公式可得π2sin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，结合三角形内角和性质即可求B的值；（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求sin A；（ii）由角平分线性质求得π3ABD∠=，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出sin ADB∠，再根据正弦定理求BD的长．【小问1详解】πππcos2sin0663B B B⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而ππ4π333B<+<，所以ππ3B+=，故2π3B=；【小问2详解】若①②正确，则232(1)(2)0c c c c++=++=，得1c=−或2c=−，所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，若②③正确，则1sin2ABCS ab C==△15sin12C=>，即②为错误条件，综上，正确条件为①③，（i）由2222cosac B a c b=+−，则(3)0c a−=，即3a=，又1sin2ABCS ac B==5c=，所以2925150b−++=，可得7b=，则sin sina bA B==故sin A=；（ii）因为sin A=且π0,3A⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得13cos14A==，由BD平分ABC∠得π3ABD∠=，在ABD△中，()131sin sin2142147ADB ABD A∠=∠+=⨯+⨯=，在ABD △中，由sin sin BD AB A ADB =∠，得5158BD ==．17. 【答案】（Ⅰ）分布列见解析，()15E X =；(Ⅱ)34；(Ⅲ)至少增加2人. 【分析】（Ⅰ）求出X 的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X 的分布列，然后求解期望即可． （Ⅱ）当P （a ≤X ≤b ）取到最大值时，求出a ，b 的可能值，然后求解P （a ≤X ≤b ）的最大值即可． （Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人． 【详解】(Ⅰ)X 的取值为：9，12，15，18，24；()3920P X ==,()51220P X ==,()71520P X ==, ()21820P X ==,()32420P X ==，X 的分布列为：故X 的数学期望()912151824152020202020E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； (Ⅱ)当P (a ≤X ≤b )取到最大值时。
2024-2025学年北京市第二中学高三上学期开学测试数学试题(含答案)
2024-2025学年北京市第二中学高三上学期开学测试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U =R ，集合M ={x |x 2−2x−3≤0}和N ={x|x =2k−1,k =1,2,⋯}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个2.若m,n 是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A. 若m ⊂β,α⊥β，则m ⊥α B. 若α⊥γ,α⊥β，则β//γC. 若m ⊥β,m//α，则α⊥βD. 若m//α,n//α，则m//n3.设a =log 30.4,b =log 43,c =30.4，则( )A. a <c <bB. b <c <aC. a <b <cD. b <a <c4.已知函数f(x)的定义域为R.当x <0时，f(x)=x 3−1；当−1≤x ≤1时，f(−x)=−f(x)；当x >12时，f(x +12)=f(x−12).则f(6)=A. −2B. −1C. 0D. 25.定义在(−∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数ℎ(x )之和，如果f(x)=lg(10x +1)，x ∈(−∞,+∞)，那么( )A. g(x)=x ，ℎ(x)=lg(10x +10−x +2)B. g(x)=12[lg(10x +1)+x ]，ℎ(x)=12[lg(10x +1)−x ]C. g(x)=x2，ℎ(x)=lg(10x +1)−x2D. g(x)=−x2，ℎ(x)=lg(10x +1)+x26.设x 为实数，则“x <0”是“x +1x ≤−2”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个8.按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Aℎ)，放电时间t(单位：ℎ)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=I n⋅t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I=20A时，放电时间t=20ℎ；当放电电流I=30A时，放电时间t=10ℎ.则该蓄电池的Peukert常数n大约为()(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A. 43B. 53C. 83D. 29.已知定义在R上的函数y=f(x)满足：函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且当x∈(−∞,0)时，f(x)+xf′(x)<0成立(f′(x)是函数f(x)的导函数)，若a=(sinπ6)f(sinπ6)，b=(ln2)f(ln2)，c=2f(log1214)，则a，b，c的大小关系是( )A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b10.已知函数f(x)={x2+(4a−3)x+3a,x<0,log a(x+1)+1,x≥0,(a>0，且a≠1)在(−∞,+∞)上单调递减，且函数g(x)= |f(x)|+x−2恰好有两个零点，则a的取值范围是( )A. [13,23]∪{34}B. [13,23)∪{34}C. (0,23]D. [23,34]二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
2024北京北师大二附中高三上学期开学考政治试题及答案
2024北京北师大二附中高三（上）开学考政治一、选择题请把答案涂在答题卡上（每题2分，共60分）1.第78届联合国大会协商一致通过中国提出的设立文明对话国际日决议，决定将6月10日设立为文明对话国际日。
关于联合国，下列说法中正确的是（）①联合国关于实质性问题的决定，实行“大国一致”原则②联合国在任何情况下都不得干涉属于任何国家国内管辖的事项⑧联合国是实践多边主义的重要场所，发展与和平、人权是联合国工作的三大支柱④联合国大会是联合国的主要审议机构，其关于重要问题的决定必须由三分之二多数通过A.①②B.①③C.②④D.③④2.元首外交是指国家元首或政府首脑直接参与处理对外事务的外交方式。
主场外交是指一国以本国境内为外交舞台、利用主场优势开展的外交活动。
下列表述正确的是（）A.由选民直接选举的德国总理访华，为中德两国间合作开启了新格局B.法国国家元首兼政府首脑访华期间，两国企业签署了多项合作协议C.中国积极推动金砖扩员，使金砖国家逐渐成为南北对话的重要平台D.多国政要和国际组织代表齐聚博鳌，彰显博鳌亚洲论坛的国际影响力3.中间品是指生产过程中用于生产其他商品和服务的产品，包括生产过程中的原材料、零部件、半成品等。
它是连接全球产业上下游的重要纽带。
关于拓展中间品贸易的传导路径，下列理解正确的是（）①引导中间品生产企业“走出去”→充分利用国内外资源→增强国内外联动效应②加强数据驱动的市场分析→减少中间品贸易竞争→上下游产业协同发展③推进区域合作→促进贸易投资自由化便利化→加速中间品贸易周转④完善国际物流基础设施建设→优化库存管理→提升中间品质量A.①②B.①③C.②④D.③④4.“一带一路”源自中国，但机会和成果属于世界；根植历史，但审时度势面向未来。
十年来，共建“一带一路”从理念化为行动，从愿景变成现实，已成为深受欢迎的国际公共产品和国际合作新平台，为各国发展和世界经济增长提供了新动力。
这表明（）①秉持正确义利观，合作共赢已成为我国外交政策的基本立场②借助固有的联系，中国方案搭建了促进国际合作与交流的平台③中华优秀传统文化助推人类共同发展，助力构建人类命运共同獄④国家利益是国家合作基础，中国方案在经济全球化中发挥重要作用A.①③B.①④C.②③D.②④5.“国不以利为利，以义为利也”，在国际合作中，我们要注重利，更要注重义，要倡导合作发展理念，在国际关系中践行正确义利观。
2021年北京市第二中学高三语文上学期期中考试试卷及答案
2021年北京市第二中学高三语文上学期期中考试试卷及答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字'，完成各题。
材料一：科普界有一群“杂乱无章”的人，他们有的是院士，有的是科学家,有的是医生，有的是教师，有的是营养师……但别小看他们,他们可是科普界的“正规军”，他们面向社会公众开展科普创作,传播科学权成的科普知识，用通俗易懂的形式传播科学内容。
无论是以最健康的方式诠释“吃货有道”的大学教授范志红,还是年事已高的“嫦娥之父”欧阳自远,抑或是用才情为科学代言的物理学家李森，他们都激情创作、醉心科普。
这些人都是“典赞”科学传播人物奖项的获得者，他们相信,只要将科普的“种子”种在每个人的心间,总有一天,这些新鲜的科学知识会“开花结果”，作用于人们的生活中。
科普界还有一堆逸趣横生、耳熟能详的作品：从脍炙人口、圈粉无数的北斗导航风云史一一《徐颖：来自星星的灯塔》，到近几年热播的科学实验类电视节目《加油！向未来》;从科普讲座《引力波•带人类倾听星辰大海的声音》,到优秀影视作品《重现化学》，在“典赞”活动的“推波助澜”下这些优秀科普作品二次面世,引发了多次传播热潮,为大众了解重大科技进展提供了专业又通俗易懂的内容，再次让大众感受到科学的魅力。
（节选自《科普的花儿为什么越来越红？》，人民网2018年12月27日）材料二：与生活类、实用类期刊相比,由于科普期刊的文章较为艰深的专业内容和表达形式的限制，造成读者面的狭窄；与学术期刊相比，科普期刊没有丰厚的经费保障,需要在市场中打拼,建立一定的信誉度后才能生存和发展。
随着互联网和移动互联网的迅猛发展，读者的选择余地越来越大，各种媒体之间的竞争也日益激烈，传统媒体的读者流失严重，逐漸转向网络媒体和移动媒体。
在这种环境下，传统科普期刊的转型之路显得尤为迫切。
不同特点的期刊可以根据自己的服务内容和资源，提供具有鲜明特色的服务，以扩大影响，提高用户黏性。
北京二中2020—2021学年度高三年级下学期开学考试数学试卷
北京二中2020—2021学年度高三年级下学期开学考试试卷数学一、选择题 共10小题，每小题4分，共40分。
1． 函数()f x =（A ）[0,)+∞（B ）[1,)+∞（C ）(,0]-∞（D ）(,1]-∞2．设为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1-（B ）1（C ）i（D ）i - 3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（ ）（A ）AB AC - （B ）AB AC +（C ）1()2AB AC -（D ）1()2AB AC +4．在ABC ∆中，3,2,3ac B π===，则b = （A ）19（B ）7（C （D5．若二项式2)nx-的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )．（A ）6（B ）10（C ）12（D ）156．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )（A ）若m ∥α，n ∥α，则m ∥n （B ）若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n （C ）若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α（D ）若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知函数sin(),0,()cos(), 0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能．．成立的是 （A ）ππ,44a b ==- （B ）2ππ,36a b == （C ）ππ,36a b == （D ）5π2π,63a b ==9．已知点(5,0)A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的 垂直平分线上，则PA 的长度为（A ）2 （B） （C ） 3 （D ）4 10．某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．的是 （A ） 甲只能承担第四项工作 （B ） 乙不能承担第二项工作 （C ） 丙可以不承担第三项工作 （D ） 丁可以承担第三项工作二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年北京市第二中学高三上学期开学测试物理试卷含详解
北京二中2023—2024学年度高三年级第一学期开学测试物理一、单项选择题（每小题2分，共32分，在每小题给出的选项中，只有一个选项正确）1.下列物理量中，属于标量的是（）A.路程B.速度C.加速度D.力2.高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动．在启动阶段，列车的动能()A.与它所经历的时间成正比B.与它的位移成正比C.与它的速度成正比D.与它的动量成正比3.图示为公路自行车赛中运动员在水平路面上急转弯的情景，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与自行车看作一个整体，下列论述正确的是A.运动员转弯所需向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供B.运动员转弯所需向心力由地面对车轮的摩擦力提供C.发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心D.发生侧滑是因为运动员受到的合外力大于所需的向心力4.下列说法中，正确的是（）A.速度增大，加速度一定增大B.速度变化量越大，加速度一定越大C.速度大小不变，加速度一定为零D.速度变化越快，加速度一定越大5.如图所示，欲使在粗糙斜面上匀速下滑的木块A停下，可采用的方法是（）A.增大斜面的倾角B.在木块A 上再叠放一个重物C.对木块A 施加一个竖直向下的力D.对木块A 施加一个垂直于斜面的力6.发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响).速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网.其原因是()A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大7.如图所示，n 个质量为m 的相同木块并列放在水平面上，木块跟水平面间的动摩擦因数为μ，当对1木块施加一个水平向右的推力F 时，木块加速运动，木块5对木块4的压力大小为（）A.FB.4Fn C.4Fn - D.()4n Fn-8.如图所示为研究物块与木板之间摩擦力大小的实验装置．将一物块和木板叠放于水平桌面上，轻质弹簧测力计一端固定，另一端用细线与物块水平相连．现在用绳索与长木板连接，用手向右水平拉绳索，使长木板在桌面上滑动．弹簧测力计示数稳定后，下列说法正确的是（）A.物块与木板之间的摩擦力是静摩擦力B.木板必须在桌面上做匀速直线运动C.测力计示数一定等于物块受到的摩擦力D.测力计示数一定等于木板受到的摩擦力9.以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，一个物体所受空气阻力可忽略，另一物体所受空气阻力大小与物体速率成正比，下列用虚线和实线描述两物体运动的v t -图像可能正确的是（）A. B.C. D.10.一根细线上端固定，下端系着一个质量为m 的小球。
2021年高三下学期开学考试理综物理试题含答案
北京四中xx 届理综物理能力测试2021年高三下学期开学考试理综物理试题含答案可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Cl 35.5第一部分（选择题 共120分）本部分共20题，每小题6分，共120分。
在每小题列出的四个选项中，选 出最符合题目要求的一项。
13．下列说法正确的是:A ．液体中悬浮的微粒的无规则运动称为布朗运动B ．液体分子的无规则运动称为布朗运动C ．物体从外界吸收热量，其内能一定增加D ．物体对外界做功，其内能一定减少14．一束可见光a 由三种单色光m 、p 、n 组成。
光束a 通过三棱镜后情况如图所示，检测发现单色光p 能使某金属产生光电效应，下列叙述正确的是:A ．真空中单色光m 的波长大于n 的波长B ．单色光m 的频率大于n 的频率C ．单色光n 一定可以使该金属发生光电效应D ．在三棱镜中，单色光m 的光速大于n 的光速15．一列简谐横波沿x 轴传播，t ＝0时刻的波形如图甲所示，此时质点P 正沿y 轴负方向运动，其振动图象如图乙所示，则该波的传播方向和波速分别是:A ．沿x 轴正方向，30 m/sB ．沿x 轴负方向，30 m/sam p nC ．沿x 轴正方向，60 m/sD ．沿x 轴负方向，60 m/s16．我国的“神舟七号”飞船于2008年9月25日晚9时10分载着3名宇航员顺利升空，并成功“出舱”和安全返回地面。
当“神七”在绕地球做半径为r 的匀速圆周运动时，设飞船舱内质量为m 的航天员站在可称体重的台秤上。
用R 表示地球的半径，g 表示地球表面处的重力加速度，g ´表示飞船所在处的向心加速度，N 表示航天员对台秤的压力，不考虑地球自转，则下列关系式中正确的是：A ．g ´=0B ．N =mgC ．D ．17．如图所示，在水平光滑地面上有A 、B 两个木块，A 、B 之间用一轻弹簧连接。
A 靠在墙壁上，用力F 向左推B 使两木块之间弹簧压缩并处于静止状态。
2022-2023学年北京市第二中学高三下学期开学测试数学试卷含详解
北京二中2022～2023学年度第二学期高三年级开学测试试卷数学一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．选出符合题目要求的一项）1.设集合{}0,1,2,3A =，{}3log 1B x x =<，则R A B = ð（）．A.{}0,1,2,3 B.{}0,3 C.{}0 D.{}1,2 2.在复平面内，复数|3|1i z i=+的共轭复数z 对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第二象限D.第四象限3.如图，角,αβ均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于,A B ，则OA OB →→= （）A.()sin αβ-B.()sin αβ+C.()cos αβ-D.()cos αβ+4.已知αβ，表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且αβ⊥，则l β⊥是//l α的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ＋c ＝2，则b 的取值范围是（）A.[1，2）B.（0，2]C.[1D.[1，＋∞）6.函数()()()2e e-=-++xxf x axbx c 是偶函数的充分必要条件是（）．A.0b =B.0ac =C.0a =且0c = D.0a =，0c =且0b ≠7.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）．A.2213y x -= B.221279y x -=C.22193y x -= D.22139y x -=8.对圆221x y +=上任意一点(),P x y ，若34349x y a x y -+---的值都与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（）A.5a ≤-B.55a -≤≤C.5a ≤-或5a ≥ D.5a ≥9.如图所示，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，得出下列结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；②1A P 与平面1ACD 所成的角大小不变；③1DP BC ^；④11DB A P ⊥．其中正确的结论是（）．A.①④B.①②③C.①③④D.①②④10.若数列{}n a 满足：,R A B ∃∈，0AB ≠，使得对于*N n ∀∈，都有21n n n a Aa Ba ++=+，则称{}n a 具有“三项相关性”下列说法正确的有（）．①若数列{}n a 是等差数列，则{}n a 具有“三项相关性”②若数列{}n a 是等比数列，则{}n a 具有“三项相关性”③若数列{}n a 是周期数列，则{}n a 具有“三项相关性”④若数列{}n a 具有正项“三项相关性”，且正数A ，B 满足1A B +=，12a a B +=，数列{}n b 的通项公式为nn b B =，{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，nT ，则对*Nn ∀∈，n n S T <恒成立．A.①③④B.①②④C.①②③④D.①②二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.5321x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是______.12.等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____13.有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山四个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，甲、乙的选择相互独立．记事件A 为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件B 为“甲和乙选择的景点不同”，则()P B A =__________．14.在边长为12的正三角形ABC 中，E 为BC 的中点，F 在线段AC 上且12AF FC =．若AE 与BF 交于M ，则MA MB =⋅__________．15.对于函数()[]()()sinπ,0,212,2,2x x f x f x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，下列4个结论正确的是______.①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤；②()()2(2)Nf x kf x k k *=+∈，对一切[0,)x ∈+∞恒成立；③若关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根12,x x ，则123x x +=；④函数()ln(1)y f x x =--有5个零点三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知函数()sin cos 2f x A x x x =-的一个零点为π6．（1）求A 的值和函数()f x 的最小正周期；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若()n f x m ≤≤恒成立，求m n -的取值范围．17.学校组织A ，B ，C ，D ，E 五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为23，选择乙方案测试合格的概率为12，且每位同学测试的结果互不影响．（1）若A ，B ，C 三位同学选择甲方案，D ，E 两位同学选择乙方案，求5位同学全部测试合格的概率；（2）若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X ，求X 的分布列及其均值；（3）若测试合格的人数的均值不小于3，直接写出选择甲方案进行测试的同学的可能人数．18.如图在几何体11ABC ABO -中，ABC 是等边三角形，直线OC ⊥平面11A B O ，平面1AAOC ⊥平面1BB OC ，11////AA BB OC ，112AA BB OC ==．（1）证明：11OA OB ⊥；（2）在“①//OM 平面ABC ；②CM ⊥平面1BB OC ”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．点M 为线段1AA 上的一点，满足__________，直线OM 与平面11A B O 所成角的大小为30 ，求平面ABC 与平面1MB O 的夹角的余弦值．（请在答题纸上注明你选择的条件序号．．．．．．．．．．．．．．．．）19.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2:a l x c =与x 轴交于点A ，椭圆的右焦点为F ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆交于,P Q 两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若原点O 在以PQ 为直径的圆上，求直线PQ 的方程；（3）过点P 且垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点M ，证明：,,Q F M 三点共线，并直接写出AMQ △面积的最大值．20.已知函数()()sin e ln 1=+++xf x x a x ．（1）直接写出()f x 在0x =处的切线方程；（2）当2a =-时，求函数()f x 在(]1,0-上的最小值；（3）若()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合．21.定义圈数列X ：12,,,(3)n x x x n ≥ ；X 为一个非负整数数列，且规定n x 的下一项为1x ，记011,n n x x x x +==，这样k x 的相邻两项可以统一表示为11,,1,2,3,,k k x x k n -+=⋯（1x 的相邻两项为02,x x ，即2,n x x ；n x 的相邻两项为11,n n x x -+）.定义圈数列X 做了一次P 运算：选取一项2k x ≥，将圈数列X 变为圈数列()P X ：1211,,,1,2,1k k k x x x x x -++-+ ，即将k x 减2，相邻两项各加1，其余项不变.并记下标k 输出了一次.记X 进行过i 次P 运算后数列为i X ：1,2,,,,,i i n i x x x （规定0X X =）（1）若X ：4，0，0，直接写出一组可能的1234,,,X X X X ；（2）若进行q 次P 运算后(0)q >，有q X X =，此时下标k 输出的总次数为k a ，记011n n a a a a +==,直接写出一组非负实数,αβ，使得11k k k a a a αβ+-⋅+⋅=对任意1,2,3,,k n =⋯，都成立，并证明1k a ≥；（3）若X ：1n +，0，0，…，0，证明：存在M ，当正整数k M >时，k X 中至少有一半的项非零.北京二中2022～2023学年度第二学期高三年级开学测试试卷数学一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．选出符合题目要求的一项）1.设集合{}0,1,2,3A =，{}3log 1B x x =<，则R A B = ð（）．A.{}0,1,2,3 B.{}0,3 C.{}0 D.{}1,2【答案】B【分析】计算{}03B x x =<<，(][)R ,03,B =-∞⋃+∞ð，再计算交集得到答案.【详解】{}{}3log 103B x x x x =<=<<，(][)R ,03,B =-∞⋃+∞ð，{}R 0,3A B ⋂=ð.故选：B2.在复平面内，复数||1i z i=+的共轭复数z 对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第二象限D.第四象限【答案】A【分析】化简计算出1z i =-，写出其共轭复数，即可选出答案．【详解】|3|1211i i i iz ++==--=，所以1z i =+，故选A.【点睛】本题考查复数运算，共轭复数及其坐标表示．属于基础题．3.如图，角,αβ均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于,A B ，则OA OB →→= （）A.()sin αβ-B.()sin αβ+C.()cos αβ-D.()cos αβ+【答案】C【分析】由三角函数的定义，可求得点,A B 的坐标，再由向量的数量积的运算公式和两角差的余弦公式，即可求解．【详解】根据题意角,αβ均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于,A B ，则(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ，则cos cos sin sin cos()OA OB αβαβαβ⋅=+=-.故选：C4.已知αβ，表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且αβ⊥，则l β⊥是//l α的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】D【详解】由题意，αβ⊥，l β⊥则//l α或l α⊂，所以充分条件不成立，又当αβ⊥，//l α时，不能得到l β⊥，所以必要条件不成立，故选D ．5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ＋c ＝2，则b 的取值范围是（）A.[1，2）B.（0，2]C.[1D.[1，＋∞）【答案】A【分析】根据角的关系求得3B π=，再用余弦定理及基本不等式求解即可.【详解】在△ABC 中，由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C .由A ＋B ＋C ＝π，得3B ＝π，3B π=.由余弦定理，得222212()3432b ac ac a c ac ac =+-⨯=+-=-，又2333()4ac a c +=≤，当且仅当a ＝c ＝1时等号成立，即01ac <≤.∴1434ac ≤-<，即214b ≤<，解得12b ≤<.故选：A6.函数()()()2e e-=-++xxf x axbx c 是偶函数的充分必要条件是（）．A.0b =B.0ac =C.0a =且0c = D.0a =，0c =且0b ≠【答案】C【分析】利用偶函数的定义求得2()(22)0x x ax c --+=e e 恒成立，即可求出a ，c ，再验证0b =时情况即可判断作答.【详解】显然函数2)())((x x f x ax bx c -=-++e e 定义域为R ，因()f x 是偶函数，即R,()()x f x f x ∀∈-=，亦即22()(()())x x x x ax bx c ax bx c ---++=--+e e e e ，整理得2()(22)0x x ax c --+=e e ，而e e x x --不恒为0，因此，2220ax c +=，即0a =且0c =，当0b =时，()0f x =也是偶函数，D 不正确，所以一定正确的是C.故选：C7.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）．A.2213y x -= B.221279y x -=C.22193y x -= D.22139y x -=【答案】D【分析】不妨设渐近线方程为a y x b=，根据点到直线的距离得到3b =，2ce a ==，得到双曲线方程.【详解】不妨设渐近线方程为ay x b=，即0ax by -=，下焦点为()0,F c -，下焦点到渐近线的距离为223bc d b b a ===+，离心率2ce a==，222+=a b c ，解得3,23a c ==，故双曲线方程为22139y x -=.故选：D8.对圆221x y +=上任意一点(),P x y ，若34349x y a x y -+---的值都与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（）A.5a ≤-B.55a -≤≤C.5a ≤-或5a ≥D.5a ≥【答案】A【分析】将34349x y a x y -+---转化为344359x y a x y -+---⎛⎫⎪⎝⎭，然后根据几何意义进行解题即可.【详解】3434934395545x y a x y x y a x y -+---+--⎛⎫=⎪⎝-⎭-等价于圆221x y +=上任意一点(),P x y 到直线340x y a -+=和直线3490x y --=的距离的差的5倍，而距离之差与x ，y 无关，则直线340x y a -+=与圆相切或相离，且与直线3490x y --=位于圆的同侧，所以15a≥，即5a ≥或5a ≤-，由于直线340x y a -+=与直线3490x y --=位于圆221x y +=的同侧，所以5a ≤-故选：A.9.如图所示，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，得出下列结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；②1A P 与平面1ACD 所成的角大小不变；③1DP BC ^；④11DB A P ⊥．其中正确的结论是（）．A.①④B.①②③C.①③④D.①②④【答案】D【分析】P 到平面1AD C 的距离不变，1AD C 的面积不变，11A D PC P AD C V V --=，①正确；1//A P 平面1ACD ，②正确；当P 与1C 重合时，DP 与1BC 所成角为60︒，③错误；1B D ⊥平面11A BC ，必有11B D A P ⊥，④正确.，得到答案.【详解】对①：正方体中11BC AD ∥，1AD ⊂平面1AD C ，且1BC ⊄平面1AD C ，则有1BC 平面1AD C ，所以P 到平面1AD C 的距离不变，1AD C 的面积不变，11A D PC P AD C V V --=，因此三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对②：同理1//A B 平面1AD C ，1A B ⊂平面11A BC ，从而可得平面11//A BC 平面1AD C ，1A P ⊂平面11A BC ，所以1//A P 平面11,ACD A P 与平面1ACD 所成的角大小始终为0，正确；对③：当P 与1C 重合时，DP 与1BC 所成角为60︒，不垂直，错误；对④：由正方体中1111AC B D ⊥，由111A C BB ⊥，得11A C ⊥平面11BB D D ，可得111A C B D ⊥，同理11A B B D ⊥，从而可证1B D ⊥平面11A BC ，又1A P ⊂平面11A BC ，则必有11B D A P ⊥，正确.故选：D10.若数列{}n a 满足：,R A B ∃∈，0AB ≠，使得对于*N n ∀∈，都有21n n n a Aa Ba ++=+，则称{}n a 具有“三项相关性”下列说法正确的有（）．①若数列{}n a 是等差数列，则{}n a 具有“三项相关性”②若数列{}n a 是等比数列，则{}n a 具有“三项相关性”③若数列{}n a 是周期数列，则{}n a 具有“三项相关性”④若数列{}n a 具有正项“三项相关性”，且正数A ，B 满足1A B +=，12a a B +=，数列{}n b 的通项公式为nn b B =，{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，nT ，则对*Nn ∀∈，n n S T <恒成立．A.①③④B.①②④C.①②③④D.①②【答案】B【分析】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.【详解】①若{}n a 为等差数列，则有211n n n n a a a a +++-=-即212n n n a a a ++=-，①正确；②21n n a qa ++=，1n n a qa +=，（0q ≠）即()211n n n a q a qa ++=-+易知1q ≠，显然成立1q =时，21n n n a a a ++==，取12A B ==有211122n n n a a a ++=+，也成立，所以②正确；③周期数列：0，0，1，0，0，1，⋅⋅⋅1n =时，100A B =⨯+⨯，显然不成立，所以③错误；④()211n n n a B a Ba ++=-+即()211n n n n a a B a a ++++=+，12a a B+=∴121n n n n a a B BB -+++=⋅=，1B >易知()211n n n n na a B a a a ++++=+>即n nb a >，*N n ∈，故：n n S T <，④正确；综上：①②④正确.故选：B.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.5321x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是______.【答案】20-【分析】根据二项式的展开式的通项可得答案.【详解】由题意5321x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为)()5531532215521C C 12----+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭rrrr rrr r r T x x ，令1550r -=，则=3r ，所以5321x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为()335C 1220⋅-⨯=-.故答案为：20-.12.等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____【答案】200或330【分析】根据等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，列出关于首项1a 、公差d 的方程，解方程可得1a 与d 的值，再利用等差数列的求和公式可得结果.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，641042102,6106a a d d a a d d =+=+=+=+，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即()()()210106102d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =，当0d =时，20420200S a ==；当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=，于是2012019202071903302S a d ⨯=+=⨯+=，故答案为200或330.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.13.有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山四个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，甲、乙的选择相互独立．记事件A 为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件B 为“甲和乙选择的景点不同”，则()P B A =__________．【答案】67【分析】根据题意分别计算出()n A 和()n AB ，再利用条件概率公式计算即可.【详解】由题意知事件A ：“甲和乙至少一人选择庐山”包含()1123C C 17n A =⋅+=种情况，事件AB ：“甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山”包含()1123C C 6n AB =⋅=种情况，所以()()()67n AB P B A n A ==.故答案为:67.14.在边长为12的正三角形ABC 中，E 为BC 的中点，F 在线段AC 上且12AF FC =．若AE 与BF 交于M ，则MA MB =⋅__________．【答案】27-【分析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立空间直角坐标系，计算各点坐标，设()0,M m ，根据BM BF λ=得到m =.【详解】如图所示：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立空间直角坐标系，则(A ，()6,0B-，12AF FC =，(2,F ，设()0,M m ，BM BF λ= ，即()()6,8,43m λ=，6843m λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，33m =，()()0,336,3327MA MB =⋅-⋅-=-.故答案为：27-15.对于函数()[]()()sinπ,0,212,2,2x x f x f x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，下列4个结论正确的是______.①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤；②()()2(2)Nf x kf x k k *=+∈，对一切[0,)x ∈+∞恒成立；③若关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根12,x x ，则123x x +=；④函数()ln(1)y f x x =--有5个零点【答案】①③【分析】由函数图像判断①；取3k =判断②；由函数()f x 与函数y m =的图像结合对称性判断③；由函数()f x与函数ln(1)y x =-的图像判断④.【详解】对于①，函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，max min ()1,()1f x f x ==-，则任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()m n 1x mi 2a 2()()f f x x f x x f -≤=-，故①正确；对于②，当3k =时，则()6(6)f x f x =+，而由解析式知()8(6)f x f x =+，②错误；对于③，函数()f x 与函数y m =的图象如下图所示，若关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根12,x x ，则112m -<<-，由对称性可知123232x x =⨯+=，③正确；对于④，函数()f x 与函数ln(1)y x =-的图象如下图所示，由图可知，两函数的交点有3个，即函数()ln(1)y f x x =--有3个零点，④错误.故答案为：①③.三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知函数()sin cos 32f x A x x x =-的一个零点为π6．（1）求A 的值和函数()f x 的最小正周期；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若()n f x m ≤≤恒成立，求m n -的取值范围．【答案】（1）2,πA T ==（2）23m n -≥+【分析】（1）利用π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭即可求得2A =，然后对函数进行化简即可；（2）利用π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得()3,2f x ⎡⎤∈⎣⎦，然后根据()n f x m ≤≤可得2,3m n ≥≤即可求解【小问1详解】因为函数()sin cos 32f x A x x x =-的一个零点为π6，所以ππππsin cos 306663f A ⎛⎫⎪⎝⎭=-=，解得2A =，所以()π2sin cos 32sin 2322sin 23f x x x x x x x ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==【小问2详解】因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以πsin 232x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()2f x ⎡⎤∈⎣⎦，因为()n f x m ≤≤恒成立，所以2,m n ≥≤n -≥所以2m n -≥+17.学校组织A ，B ，C ，D ，E 五位同学参加某大学的测试活动，现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概率为23，选择乙方案测试合格的概率为12，且每位同学测试的结果互不影响．（1）若A ，B ，C 三位同学选择甲方案，D ，E 两位同学选择乙方案，求5位同学全部测试合格的概率；（2）若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X ，求X 的分布列及其均值；（3）若测试合格的人数的均值不小于3，直接写出选择甲方案进行测试的同学的可能人数．【答案】（1）227（2）分布列见解析，()103E X =（3）选择甲方案进行测试的同学个数为3，4或者5【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解；(2)由条件确定随机变量X 的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，并由期望公式求期望；(3)设选择甲方案测试的同学个数为n ，通过设通过甲方案测试合格的同学个数为ξ，通过乙方案测试合格的同学个数为η，利用二项分布期望公式和期望的性质求()E ξη+，由条件确定n 的取值.【小问1详解】因为A ，B ，C 三位同学选择甲方案，D ，E 两位同学选择乙方案，由已知A ，B ，C 测试合格的概率为23，D ，E 测试合格的概率为12，所以5位同学全部测试合格的概率为322123227P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】由已知随机变量X 的取值有0,1,2,3,4,5，()05052210C 133243P X 骣骣鼢珑==-=鼢珑鼢珑桫桫，()141522101C 133243P X 骣骣鼢珑==-=鼢珑鼢珑桫桫，()232522402C 133243P X 骣骣珑==-=珑珑桫桫，()323522803C 133243P X 骣骣珑==-=珑珑桫桫，()414522804C 133243P X 骣骣珑==-=珑珑桫桫，()505522321C 133243P X 骣骣鼢珑==-=鼢珑鼢珑桫桫，所以X 的分布列为：X 012345P12431024340243802438024332243∴1104080803210()0123452432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】设选择甲方案测试的同学个数为n ，0,1,2,3,4,5n =则选择乙方案测试的同学个数为5n -，并设通过甲方案测试合格的同学个数为ξ，通过乙方案测试合格的同学个数为η，当0n =时，此时所有同学均选择方案乙测试，则15,2B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以15()()5322E E ξηη+==⨯=<，不符合题意；当5n =时，此时所有同学均选择方案甲测试，则25,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以210()()5333E E ξηξ+==⨯=>，符合愿意；当1,2,3,4n =时，21,,5,32B n B n ξη⎛⎫⎛⎫~~- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2515()()()326n n E E E n ξηξη-++=+=+=，若使15()36n E ξη++=≥，则3n ≥，由于1,2,3,4n =，故3,4=n 时符合题意，综上，选择甲方案测试的同学个数为3，4或者5时，测试合格的同学个数的期望不小于3．18.如图在几何体11ABC ABO -中，ABC 是等边三角形，直线OC ⊥平面11A B O ，平面1AAOC ⊥平面1BB OC ，11////AA BB OC ，112AA BB OC ==．（1）证明：11OA OB ⊥；（2）在“①//OM 平面ABC ；②CM ⊥平面1BB OC ”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．点M 为线段1AA 上的一点，满足__________，直线OM 与平面11A B O 所成角的大小为30 ，求平面ABC 与平面1MB O 的夹角的余弦值．（请在答题纸上注明你选择的条件序号．．．．．．．．．．．．．．．．）【答案】（1）证明见解析（2）7【分析】（1）根据题意，利用线面垂直证明线线垂直；（2）选择①利用线面平行推出线线平行，选择②两条直线垂直于同一平面得线线平行，都能得出M 为1AA 中点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出面面角.【小问1详解】由题知：直线OC ⊥平面11A B O ，∵1OA Ì平面11A B O ，∴1OC OA ⊥平面1AAOC ⊥平面1BB OC ，平面1AAOC ⋂平面1BBOC OC =，1OA Ì平面1AAOC ，所以1OA ⊥平面1BB OC ，因为1OB ⊂平面1BB OC ，所以11OA OB ⊥.【小问2详解】若选择①:因为//OM 平面ABC ，OM ⊂平面1AAOC ，平面1AAOC ⋂平面ABC AC =所以//OM AC ，又//AM OC ,因此四边形ACOM 为平行四边形，即M 为1AA 中点若选择②:因为CM ⊥平面1BB OC ，OA ⊥平面1BB OC ，所以//CM OA ，又1//A M OC 所以四边形1COAM 为平行四边形，即M 为1AA 中点，（选择①和选择②都能证明M 为1AA 中点，以下的解析过程两种选择相同.）所以112AM OC AA ==，OM AC =，因为直线1AA ⊥平面11A B O ，所以直线OM 与平面11A B O 所成角为1MOA ∠，有130MOA ∠=，则111222OA OM AC A B ===，11111122MA OM A B OC OB ====，如图，以O 为坐标原点，分别以11,,OA OB OC ，所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设1OC =，则1(3,0,0)A ，1(0,1,0)B ，)3,0,2A，)3,0,1M，(0,1,2)B ，(0,0,1)C ，设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =且(3,1,0)AB =- ，(0,1,1)BC =-- 300n AB y x n BC z y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，则33y z ==-，，解得3,3)n =，平面1MB O 的一个法向量为(,,)m x y z '''=，()10,1,0OB = ，)3,0,1OM = ，1030m OB y m OM x z ⎧⋅==⎪⎨⋅='''+=⎪⎩，令1x '=，则03y x ''==，，(1,0,3)m =，设平面ABC 与平面1MB O 所成锐二面角为θ，47cos cos ,772n m n m n mθ⋅===⋅⨯.所以平面ABC 与平面1MB O 的夹角的余弦值为77.19.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为222:a l x c =与x 轴交于点A ，椭圆的右焦点为F ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆交于,P Q 两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若原点O 在以PQ 为直径的圆上，求直线PQ 的方程；（3）过点P 且垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点M ，证明：,,Q F M 三点共线，并直接写出AMQ △面积的最大值．【答案】（1）22162x y +=，63e =；（2）530x -=或530x -=（3）证明见详解，AMQ △面积的最大值为32【分析】（1）由题意建立关于,,a b c 的方程组，解出即可得椭圆的方程及离心率；（2）设直线PQ 的方程为(3)y k x =-，联立直线方程与椭圆方程，设()()1122,,,P x y Q x y ，根据Δ0>，得k 的取值范围，由韦达定理可得12x x +，12x x 及12y y 的值，由原点O 在以PQ 为直径的圆上，则0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，代入求出k 的值即得直线方程；（3）设(1)AP AQ λλ=>，则有()121233,x x y y λλ-=-=，设()10,M x y ，则01,y y =-120y y λ+=，只需利用韦达定理证明()()12220x x λ-+-=，即可证明Q ，F ，M 三点共线；根据题意化简得AMQ △面积313||||S k k =+，再利用基本不等式即要求得最大值.【小问1详解】由题意可得222222()b a c c c a b c⎧=⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎩，解得2246b c a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为22162x y +=，离心率为3c e a ===；【小问2详解】由（1）可得(3,0)A ，设直线PQ 的方程为(3)y k x =-，22(3)360y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，整理得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()2Δ12230k=->，得33k -<<，设()()1122,,,P x y Q x y 则21221813k x x k +=+①，212227613k x x k-=+②，由直线PQ 的方程得()()11223,3y k x y k x =-=-于是()()()22121212123339y y kx x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦③，由原点O 在以PQ 为直径的圆上，则0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=④，由①②③④得251k =，从而5k =±，所以直线PQ的方程为30x --=或30x +-=；【小问3详解】证明：设(1)AP AQ λλ=>，即有()()11223,3,x y x y λ-=-，即()121233,x x y y λλ-=-=，设()10,M x y ，即有221036x y +=，则()()()01111222,(2,0),2,2,,2,y y F FM x y x y FQ x y λ=-=--=--=-u u u u r u u u r，∴120y y λ+=，由于123,3x x λ-=-因为()()1222x x λ-+-()()11223223x x x x -=-+--()12122(2)(3)(3)23x x x x x --+--=-1212225()123x x x x x -++=-，又因为121225()12x x x x -++22222761825121313k k k k -=⨯-⨯+++22225412901236013k k k k--++==+，所以1212225()1203x x x x x -++=-，即有()()12220x x λ-+-=，故有FM FQ λ= ，∴,,Q F M 三点共线，∴AMQ △面积()2212111||22a S AF y y c y y c=⨯--=⨯-⨯+()()2111332k x k x =⨯⨯-+-()121|6|2k x x k =⨯+-216||33123123||||k k k k =⨯=≤=++，当且仅当13||||k k =，即3k =±时取等号，满足33k -<<，∴AMQ △面积的最大值2.【点睛】考点与方法点睛：解决直线与圆锥曲线的综合问题时，常考的内容：（1）曲线的标准方程，（2）求离心率，（3）求或证明直线恒过点，（4）求直线方程（5）证明等式或不等式，（6）证明点共线，（7）三角形或四边形面积（或面积的最值问题）方法：（1）利用待定系数法联立方程组解出相关量（2）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、曲线的条件；（3）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.已知函数()()sin e ln 1=+++xf x x a x ．（1）直接写出()f x 在0x =处的切线方程；（2）当2a =-时，求函数()f x 在(]1,0-上的最小值；（3）若()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合．【答案】（1）()210a x y +-+=（2）1（3）{}2-【分析】（1）求导得到()cos e 1xaf x x x '=+++，计算()20f a '=+，()01f =，得到切线方程.（2）求导得到()2cos e 1xf x x x '=+-+，确定()0f x '≤恒成立，得到单调区间，计算最值即可.（3）根据必要性得到()200f a ='+=，再代入数据计算函数在(]1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，计算最值得到答案.【小问1详解】()()sin e ln 1=+++x f x x a x ，()cos e 1x a f x x x '=+++，()20f a '=+，()01f =，故切线方程为()21y a x =++，即()210a x y +-+=【小问2详解】()()sin e 2ln 1x f x x x =+-+，()2cos e 1x f x x x '=+-+，当(]1,0x ∈-时，cos e 2x x +≤，221x ≥+，故()0f x '≤恒成立，()f x 单调递减.()()min 01f x f ==.【小问3详解】()()sin e ln 11x f x x a x =++≥+在()1,-+∞上恒成立，()cos e 1x a f x x x '=+++，必要性：()01f =，函数在0x =的左右均大于等于()0f ，故0x =是极值点，()200f a ='+=，2a =-；充分性：当2a =-时，()2cos e 1xf x x x '=+-+，根据（2），当(]1,0x ∈-时，()f x 单调递减.当()0,x ∈+∞时，设()2cos e 1xg x x x =+-+，则()()22e sin 1x g x x x '=+-+，()()2222e sin 11011x x x x +->+->++，故()2cos e 1x f x x x '=+-+单调递增，()()00f x f ''>=，故()f x 单调递增，综上所述：()f x 在(]1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()01f x f =≥，满足，故2a =-，实数a 的取值集合为{}2-.21.定义圈数列X ：12,,,(3)n x x x n ≥ ；X 为一个非负整数数列，且规定n x 的下一项为1x ，记011,n n x x x x +==，这样k x 的相邻两项可以统一表示为11,,1,2,3,,k k x x k n -+=⋯（1x 的相邻两项为02,x x ，即2,n x x ；n x 的相邻两项为11,n n x x -+）.定义圈数列X 做了一次P 运算：选取一项2k x ≥，将圈数列X 变为圈数列()P X ：1211,,,1,2,1k k k x x x x x -++-+ ，即将k x 减2，相邻两项各加1，其余项不变.并记下标k 输出了一次.记X 进行过i 次P 运算后数列为i X ：1,2,,,,,i i n i x x x （规定0X X =）（1）若X ：4，0，0，直接写出一组可能的1234,,,X X X X ；（2）若进行q 次P 运算后(0)q >，有q X X =，此时下标k 输出的总次数为k a ，记011n n a a a a +==,直接写出一组非负实数,αβ，使得11k k k a a a αβ+-⋅+⋅=对任意1,2,3,,k n =⋯，都成立，并证明1k a ≥；（3）若X ：1n +，0，0，…，0，证明：存在M ，当正整数k M >时，k X 中至少有一半的项非零.【答案】（1）1234:2,1,1;0,2,2;:1,3,0;2,1,1::X X X X （2）12αβ==，证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）根据P 运算的概念直接写出答案即可；（2）从第一问的过程中可以猜测12αβ==；然后利用极端原理或考虑整体或者局部的方程证明即可；（3）想法利用（2）的结论，同时注意感受“一半”有配对的含义，因此可多观察下标k 输出后附近的整体变化；然后利用数学归纳法证明即可.【小问1详解】1234:2,1,1;0,2,2;:1,3,0;2,1,1::X X X X 【小问2详解】12αβ==.考察11,,k k k a a a -+，由操作规则，下标k 输出了总值为2k a ，收入了11k k a a -++因此,112k q k k k k x x a a a -+=-++，由,,,1,2,3,,q k k q X X x x k n === ，∴112,1,2,3,k k k a a a k n -+=+= .120n a a a q +++=> .方法一：极端原理：设{}12max ,,,0m n a a a a => ，∴11,m m m m a a a a -+≤≤，且112m m m a a a -+=+，∴112m m m a a a -++≤，因此等号成立，有11m m m a a a +-==，即m a 的后一项1m a +也是最大值，重复n 次这个过程，则所有数都是最大值，即1230n q a a a a n=====> ，∴1,1,2,3,k a k n ≥=⋯.方法二：考虑整体或者局部：由112k k k a a a +-=+，得到11k k k k a a a a +--=-，遍历所有k 有111210n n n n n n a a a a a a a a +----=-=-==- ，从而有110n n a a a a +-=-，而110,n n a a a a +-=，从而有110n n a a a a -=-=，∴1112100n n n n n n a a a a a a a a +----=-=-==-= ，即120n q a a a n====> ，即∴1,1,2,3,k a k n ≥= .【小问3详解】X 各项和为1n +，每次运算都不会改变总和，由抽屉原理，至少有一项2k X ≥，因此可以进行无数次P 运算.01k x n +≤≤，因此i X 各项值最多有(2)n n +种可能.从而存在不同的正整数p q <，满足p q X X =，将数列p X 看作起点，p q X X =，相当于q p -次P 运算回到原始状态，由（2）的结论，每个下标都输出过.取M q =，当k q >时，任取i ，1i +两个相邻下标，考察项的和：存在t q ≤，第t 次P 运算在下标i 输出，则,,11,1,1,1,20,11,20i t i t i t i t i t i t x x x x x x -++-+=-≥=+≥=>.现证明：当h t ≥时，即第h 次P 运算，恒有,1,0i h i h x x ++>.当h t =时，已证；设1h t t =≥时成立，即11,1,0i t i t x x ++>，当11h t =+时1）若第h 次P 运算不在下标,1i i +输出，由规则,,11,1,1,i h i h i h i h x x x x -++-≥≥，∴1,1,,11,1,,11,0i h i h i h i h i t i t x x x x x x +-+-++≥+≥≥；（2）若第h 次P 运算在i 或1i +下标输出，则与第t 次运算同理可得,1,0i h i h x x ++>因此总有,1,0i h i h x x ++>，因此，当k q >后，每个下标都有输出，其任何相邻的两个1,i i x x +至少有一个是非零，从而k X 中至少一半的项非零.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
2021年北京市第二中学分校高三英语第一次联考试题及答案解析
2021年北京市第二中学分校高三英语第一次联考试题及答案解析第一部分阅读（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项AThe question of whether our government should promote science and technology or the liberal arts in higher education isn’t an either / or one, although the current emphasis on preparing young Americans for STEM (science, technology, engineering, maths)-related fields can make it seem that way.The latest congressional report acknowledges the critical importance of technical training, but also insists that the study of the humanities and social sciences must remain central elements of America’s educational system at all levels. Both areas are the key to producing citizens who can participate effectively in our democratic society, become innovative leaders, and benefit from the spiritual enrichment that the reflection on the great ideas of mankind over time provides.Parents and students who have invested heavily in higher education worry about graduates’ job prospects as technological advances and changes in domestic and global markets transform professions in ways that reduce wages and cut jobs. Under these circumstances, it’s natural to look for what may appear to be the most “practical” way out of the problem; “major in a subject designed to get you a job” seems the obvious answer to some, though this ignores the fact that many disciplines in the humanities characterized as “soft” often, in fact, lead to employment and success in the long run. Indeed, according to surveys, employers have expressed a preference for students who have received a broadly-based education that has taught them to write well, think critically, research creatively, and communicate easily.Moreover, students should be prepared not just for their first job, but for their 4th and 5th jobs, as there’s little reason to doubt that people entering the workforce today will be called upon to play many different roles over the course of their careers. The ones who will do the best in this new environment will be those whose educations have prepared them to be flexible. The ability to take advantage of every available tool and insight—picked up from science, arts, and technology—to solve the problems of the future, and seize the opportunities, will be helpful to them and the nation.1. What does the latest congressional report suggest?A. STEM-related subjects help students find jobs in the information society.B. The humanities and STEM subjects should be given equal importance.C. The liberal arts in higher education help enrich students’ spiritual life.D. Higher education should be adjusted to the practical needs of society.2. What is the main concern of students when they choose a major?A. Their interest in relevant subjects.B. The academic value of the courses.C. The quality of education to receive.D. Their chances of getting a good job.3. What does the author say about the so called “soft” subjects?A. They benefit students in their future life.B. They broaden students’ range of interests.C. They just improve students’ communication skills.D. They are essential to students’ healthy growth.BWhy doesHaitiso tend to have fatal earthquakes? Earthquakes have been causing huge damage inHaitisince at least the 18th century. The capital city has been destroyed twice in 19 years. The 21st century has beenno more kind.The Earth’s outer shell is made tip of tectonic plates (构造板块) that move.Haitisits near the crossing of two tectonic plaits that make up the Earth’s outer shell. Earthquakes can occur when those plates move against each other and create friction (摩擦力).Haitiis also overpopulated. Plus, many of its buildings are designed to resist hurricanes but not earthquakes. Those buildings can survive strong winds bat are easy to fail down when the ground shrikes. Poor building practices can also play arole.“I think it’s important to recognize that there’s no such thing as a natural disaster,” said Wendy Bohon, a geologist. “What you have is a natural disaster that comes with a weak architecture system. We do know that earthquakes like this can cause huge damage because ofthefault,” said Wendy. “And it’s quite a significant risk in places that don’t have the construction practices to resist the shaking.”Construction of more earthquake-resistant buildings remains a challenge inHaiti, which is the poorest nation in theWestern Hemisphere. “While there have been some success stories of Haitians building more earthquake-resistant structures, the country has lacked a centralized effort to do so,” said Mark Schuller, a professor of anthropology and nonprofit and NGO studies atNorthernIllinoisUniversity.Haiti’s government has become increasingly weak, while non-governmental organizations only focus on their own projects.“There is technical knowledge inHaiti, There are trained architects. There are cityplanners. That’s not the problem,” Schuller said. “The problem is a lack of funding for coordination (协调), and lack of political will fromdonors to organizations providing aid.”4. Which factor causing the huge damage is highlighted?A. Its overpopulation.B. Its weak government.C. Its geographical location.D. Its weak architecture system.5. What does the underlined part “the fault” in paragraph 4 refer to?A Lacking political will to provide aid.B. Lacking hurricane-resistant; buildings.C. Lacking earthquake-resistant buildings.D. Sitting on the crossing of two tectonic plates.6. What’s Schuller’s attitude towardsHaiti’s government?A Supportive. B. Critical.C. Indifferent.D. Interested.7. Which of the following can be a problem according tothe last paragraph?A. Fund and will.B. Skilled architects.C. Urban designers.D. Technology and money.CWhen my friend suggested going to the op shop (二手商店)，instantly I thought “I hope no one I know sees me”. It was the same when my cousin commented on my new furniture and Japanese, fine-bone-china bowls and asked where I got them. They were from the local op shop but instead I said “from the antique shop”.Many people in my Greek-Cypriot community would look down on me if I said I shopped at the op shop. They may pity me, consider me poor, a failure. Immigrants sacrificed their families and homes for a better life. Buying a house and having enough money to live comfortably, to educate your children and see them also live comfortably, are a big part of the immigrant dream, But has this dream made us materialistic at the cost of our own planet?Our love for purchasing the latest trendy clothes or furniture, then donating them when we are tired of them has become normal. I was once like this. But after watching the documentaryThe True CostI learned donated clothes that don’t get sold are sent to developing nations, many of them ending up in landfills (垃圾填埋地). In addition, your new dress requires electricity and materials to make. But if you buy a second-hand dress, that’s one less dress in a landfill and one less new dress to be made.A friend introduced me to op shopping only a few years ago. My firstitem was a dress she gifted me. It was lovely and I loved it. Nobody could tell it was second-hand. This opened me up to purchasing more second-handhigh quality branded clothes. Once I visited a friend and was impressed by how she decorated her apartment. “It’s all second-hand,” she said. I couldn’t believe it. The truth is a lot of things sold at the op shop are in new or almost new condition. That’s when I made the decision to only buy second-hand things.Selling second-hand things isn’t anything new butwhat the planet needs is more buyers. There is so much excess (过量) production in the world. So stop feeling ashamed, and let’s get shopping.8. What kind of feeling is expressed in Paragraph 1?A. Pride.B. Embarrassment.C. Delight.D. Sympathy.9. Whatare many people in the author’s community like?A. They are probably materialistic.B. They care about the environment.C. They think highly of op shopping.D. They look down upon immigrants.10. What was the author encouraged to do after visiting her friend’s apartment?A. Watch the documentaryThe True Cost.B. Donate more to local charities.C. Avoid shopping too much.D. Stop buying new things.11. What’s the purpose of the text?A. To entertain.B. To advertise.C. To persuade.D. To describe.DIt was the first day of spring here but it didn't feel like it. The COVID-19 epidemic (流行病) was sweeping the globe and everywhere there were feelings of fear and loneliness. “Social Distancing” had become the new norm. Here the schools had been closed, the restaurant dining rooms had been shut, and people had been told to work from home whenever they could. Even the sheltered workshop where my oldest son worked had been closed until further notice. People had made a run on the stores and large areas of the shelves were bare. On the news the numbers of the sick and dead continued to rise. It felt like there was a weight on the souls of everyone in the world.My family were staying at home as much as possible and as I looked out of my window I wondered how long this crisis would last. It was then, however, that I saw something that lifted that weight off of my soul, made me smile, and made my heart feel happy again. On the street below my house there was an old friend of mine fromhigh school who was a teacher there. With him was my younger son's former aide from the high school as well. They were delivering the school lunches door to door to the hungry children who were stuck at home. Watching them made me think of something everyone's childhood television neighbor, Mr. Roger's once said: "In the bad times, always look for the helpers."I have no doubt that this crisis will pass as all the crisis before. But it is our choice on whether it brings out the best in us or the worst in us. Let it bring out the best in you. Use it to strengthen your faith. Use it to free yourself from fear. Use it to grow kinder, more giving, and more loving. Become a helper to all those in need and you will be a happy person today and all the days to come.12. Why didn't the author like the first day of spring?A. He had to work at home instead of at office.B. There wasn't social distance between each other.C. There was an epidemic everywhere in the world.D. His own company had been closed for a long time.13. How did people feel in the face of the epidemic?A. Disappointed.B. TenseC. Confident.D. Cheerful.14. What made the author happy?A. Seeing someone delivering lunches from door to door.B. Talking with his old friend in the street.C. Watching a childhood television at home.D. Staying together with his family.15. What do Mr. Roger's words actually mean?A. It's not necessary for us to find helpers in bad times.B. In good times we needn't do much to help others.C. We should ask more people to help us in bad times.D. We are supposed to help each other in bad times.第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。
2021年北京市第二中学分校高三英语第一次联考试题及参考答案
2021年北京市第二中学分校高三英语第一次联考试题及参考答案第一部分阅读（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项AI started working with my hands at a young age. The youngest of five brothers, I took on the role as a “maintenance (维修) man” at an early age for our family’s small grocery store. Often my dad wouldn’t give me a clear idea of how something shouldbe done, so I just had to figure it out by researching or through trial and error.Fast forward to 2016 and those problem-solving skills would become the focus of Tippecanoe High School’s Homebuilding class. I knew I wanted to teach the students skills that went beyond just being able to hammer nails or cut pieces of two-by-fours. The problem was that we didn’t have the resources at the time to do much else. The idea of attracting some type of funding seemed very important. Designing, building and selling a tiny house on wheels seemed like the perfect project to accomplishthe task. I reached out to a number of local businesses and most of them responded with the greatest support for what x k w we were doing.This year we added a new element to the program. Through one of our partners, we were able to connect with the nonprofit Veteran’s Ananda Incorporated. Students in the Homebuilding class are leading the design and production of micro houses to be donated to this organization. The new partnership gives the students another focus to consider when designing and building the houses.There has been no shortage of students since our first year. Three years ago we had 41 students, the next 191, and this year it was limited to just over 160 students so we could have a safe and manageable classroom environment. The number of girls taking the class has risen steadily over the last few years as well. This class offers something for everyone and the skills are universal.1. How can we describe the young author?A. He opened a small grocery store.B. He did a lot of research in the lab.C. He enjoyed doing hands-on activities.D. He learnt about maintenance from his father.2. What do the underlined words “the task” in paragraph 2 refer to?A. Getting some financial support.B. Selling a tiny house on wheels.C. Reaching out to many local businesses.D. Offering the students some problem-solving skills.3. What can be inferred about the Homebuilding class from the last paragraph?A. Its size needs increasing.B. Itis popular with the students.C. It has caused some safety concerns.D. Its classroom environment is hard to manage.BThere will be more plastic than fish in the world’s oceans by 2050. That is what a new report from the World Economic Forum and Ellen MacArthur Foundation warns. If the current trend continues, the report said, oceans will contain one ton of plastic for every three tons of fish in 2025. By 2050, plastics will weigh more than fish. The problem is that each year at least 8 million tons of plastics end up in oceans around the world. This is the same as dumping the contents of one garbage truck into the ocean every minute.Not all plastic ends up in the ocean because someone throws a plastic bottle into the water. Plastic containers and other trash thrown onto streets and sidewalks often are swept into oceans. Unlike other types of trash in the ocean, the plastic never bio-degrades. There is a way to slow the amount of plastics going into the oceans — people can recycle more. Currently only about 14 percent of plastics are recycled. Research in Europe shows as much as 53 percent of plastic could be recycled using available technology. The report says that another solution is using less plastic for packaging products. But that is not likely to happen.“Given plastic packaging’s many benefits, both the possibility and desirability of an across-the-board dramatic reduction in the volume of plastic packaging used is clearly low, ”the report said. But the authors note reducing the use of plastics should be tried“where possible. ”For decades, scientists warned that plastics are killing fish. Research shows that fish are dying from choking after eating plastics. Another cause of death is that plastics cause“intestinal blockage and starvation, ”the environmental group said.4. Why is the garbage truck mentioned in Paragraph 1 ?A. To explain how plastics end up in the ocean.B. To warn people against the ocean pollution.C. To clarify the seriousness of the problem.D. To point out some details of the report.5. Why is plastic more dangerous than other types of trash?A. There is too much of it.B. It poisons the ocean water.C. It is from different sources.D. It is hard to break down.6. What is the author’s attitude to the suggested solutions?A. Pessimistic.B. Curious.C. Unconcerned.D. Terrified.7. What can we infer from the text?A. People are not aware of the problem.B. Recycling is limited by lack of technology.C. Plastic packaging has become part of our life.D. Fish in the ocean will be replaced by plastics.CWhere doyou usually put your toothbrush?Do you keep it in the bathroom? How’s your toothbrush looking these days? Even if you can’t see it with a naked eye, experts say it may be saturated(使饱和)with millions of toilet germs!Dr. Charles Oerba, a germ expert, is amicrobiology professor at the University of Arizona. He says there are approximately 3 million bacteria per square inch in most toilet bowls, and every time you flush it without closing the lid, those millions of bacteria droplets spray into the air as far as twenty feet away and dirty everything in their path. And a common victim is your poor toothbrush, usually, left out on the bathroom sink, right?So, what do we do? Dr. Gerba says it’s easy. Close the toilet lid before you flush—that’ll greatly cut downthe germs, which will otherwise float in the air. And wash your toothbrush every few days in mouthwash or peroxide to get rid of any germs hiding in it. You can even put it through the dishwasher to sanitize(消毒)it. And always store your toothbrush in a closed cabinet.Here’s one more tip from Dr. Gerba, who says our kitchen sink is probably dirtier than our toilet. “If an alien came from space and studied the bacterial counts, he probably would conclude he should wash his hands in your toilet and go to the bathroom in your sink.” He says that’s because the kitchen sink is a great place where E. coli(大肠杆菌)to live and grow since it’s wet and damp. Bacteria feed on the food that people put down the drain or—that’s left on dishes in the sink. To reset your sink’s bacteria count back to zero, you’d better regularly wash it with hot water and sanitize yoursink with special chemicals. In fact, you may want to do it every day or before preparing dinner.8. What is the purpose of the text?A. To show how to brush your teeth.B. To tell people the importance of health.C. To warn people of the invisible germs.D. To introduce a microbiology professor.9. What can we learn from Paragraph 2?A. Bathroom sinks are the dirtiest places.B. Bacteria are bad for people’s health.C. Why bacteria spread through the air.D. How bacteria spread in the bathroom.10. What does the underlined word“that”in Paragraph 4 refer to?A. The food.B. The toothbrush.C. The sink.D. The chemical.11. Why does Dr. Gerba mention the example of an alien?A. To tell us a fiction story of an alien studying bacteria.B. To show our kitchen sink may be dirtier than our toilet.C. To teach us how to reset sink’s bacteria count back to zero.D. To prove coli prefers to live in the kitchen and the drain.DI waschecking out at the supermarket counter on Wednesday night, ready to pay for my bananas, when all ofa sudden, fear came upon me. My wallet was gone. And I could only have left it one place: the G9 bus, from which I had gotten off minutes earlier and which was now speeding to some stops. The moment of realizing it was gone was followed by mental math. How much time and money would it cost to replace the credit cards, the driver's license, the expensive lipstick ($ 55!).Two hours after I was back at my house, I heard a knock on the door. My husband answered while I sat in the dining room on the phone with a credit card company. "Does Jennifer live here?" I heard someone say. In her hand was my wallet, without a penny missing. She left before I could offer my gratitude to her.After I posted the story, I heard from her boyfriend, who identified the good citizen as Erin Ball, a 26-year-old girl working for a trade organization.Once I figured out her, I called to thank her. She said she spotted my wallet and thought that it's more dangerous to go to a stranger's house than leaving the wallet with the driver, but she still decided to take the chance. "If I were in that situation, I would want someone to try to find me," she said. Ball doesn't find her actionsparticularly excellent. She added, "It's not hard to do small things for people."After Ball found my wallet, she decided to post a picture of my driver's license online before going to my house, trying to see if anyone knew me. No sooner had she left my doorstep than I got emails from two neighbors who recognized my face, both offering to help me find my missing property.Ball found my house on a bitterly cold night,for which I was extremely grateful. Looking back, I'm not surprised someone had wanted to help a stranger. A warm current of honesty and harmony is running through this town.12. What do we know about the author according to paragraph 1?A. She missed the G9 bus.B. She paid for her bananas.C. She replaced the credit cards.D. She found she had left her wallet on the bus.13. Who helped the author find Ball?A. The G9 driver.B. The girl's boyfriend.C. The author's neighbors.D. The author's husband.14. What did Ball do first after finding the wallet?A. Ball called the author.B. Ball went to the author's house.C. Ball gave the wallet to the bus driver.D. Ball posted a photo of the author's driving license.15. Which of the following best describes Erin Ball?A. Humorous and kind.B. Generous and demanding.C. Honest and warm-hearted.D. Caring and outgoing.第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。
2021年北京第二中学高三英语上学期期中考试试卷及答案解析
2021年北京第二中学高三英语上学期期中考试试卷及答案解析第一部分阅读（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项AIt's just before l pm and hungry guests are starting to emerge out onto the wooden floor at the back of the Victoria Falls Safari Lodge in Zimbabwe. A few have already settled in for lunch, drinking beer and enjoying their sandwiches and salads in the sunshine. It's a normal setting until you look up. Overhead, the sky is filled with several hundred vultures (秃鹭).They too have arrived for their midday snack. Every day the team at this hotel places last night's leftover meat out for the vultures to eat. They call it the "Vulture Restaurant" and it's a vital part of protecting these birds, who have become some of the most endangered species in Africa.In Zimbabwe, where illegal hunting of elephants and rhinos is a major issue, poisoning poses a significant threat to the birds. "In recent years hunters have realized they can use poison to kill animals. It's effective because it's silent and therefore doesn't attract much attention.when the vultures eat the bodies of the dead animals they die too," says Roger Parry, Wildlife Manager at the Victoria Falls Wildlife Trust.The Vulture Restaurant initiative is part feeding programme, part education programme. By attracting the birds to the Vulture Restaurant every day the team can ensure they're regularly getting a safe meal, and while the birds are there they can educate tourists from all over the world about these creatures.“Lunch” is served by Moses Garira. He has the unenviable task of wandering out into the middle of the clearing with a box full of meat, dropping the contents onto the ground and running for his life as the vultures fly downward suddenly for their food. No one, surely, would volunteer for this role, but Garira rather enjoys it. Back in the safety of the viewing seats, he tells the onlookers about the importance of vultures. "They're hugely important in terms of their role of cleaning up the bodies of dead animals," says Garira. "Notably, they're safely able to digest bacteria like anthrax. Without vultures, there'd be a lot more disease in the world."1. What's the biggest threat vultures facing in Zimbabwe?A. Overhunting.B. Unsafe food.C. Loss of habitat.D. A bird disease.2. What would others think of Garira's job?A. Scary.B. Relaxing.C. Well-paid.D. Time-consuming3. What do Garira's words mean?A. Birds are human's best friends.B. People know little about vultures.C. Vultures are environmentally favorable.D. Vultures are in urgentneed of protection.BWater keeps us alive. When it runs out, we have a problem.About one out of four people on the planet are facing a shortage of water. Seventeen countries around the world are dealing with high-water stress. This means they are using almost all the water they have access to. Many are dry countries. Some waste much of their water. Some may currently use too much of their groundwater that they should be saving. Several big cities face acute shortages. These include Sao Paulo, Brazil; Chennai, India; and Cape Town, South Africa. A year ago, Cape Town faced nay Zero-the day when all its dams would he dry.Climate change adds to the risk of water shortages. Rainfall is less steady. The water supply becomes less reliable. The days grow hotter. More water evaporates(蒸发)from lakes and rivers even as demand for water increases. By 2030, the number of cities in the high-stress category may have risen to 45 and include almost 470 million people.All over the world, farmers compete with city residents for water. Rich urban places, such as Los Angeles, use too much water for pools and golf courses. But the worst problem is the growth of cities. Bangalore, India, for example, had a few years with little rain. It built over its many lakes or filled them with city waste. The lakes are no longer the rain water storage tanks they once were. Bangalore now imports water. A lot of the imported water, however, gets lost on the way to Bangalore.To address this issue, what can be done? First, cities can plug leaks in their water distribution system. Wastewater can be recycled. Rain can be harvested and saved for hard times. Lakes and wetlands can be cleaned up and old wells can be restored. And farmers can switch from water-intensive crops like rice to less-thirsty crops like millet(小米).Experts are looking at ways to reduce the number of people on the planet. They are looking at ways to reduce the size of cities. They are looking for ways to encourage people, factories and farmers to use less water.4. What can we know from Paragraph 2?A. A quarter of the world's population is living with water shortages.B. Nearly all countries are facing acute water shortages now.C. Underground water should he used to meet the water demand.D. Measures have been taken to deal with the water shortage in India.5. What is the main idea of the third paragraph?A. Rainfall is not as steady as before.B. Climate change may lead to water shortages.C. The water supply relies more on rainfall.D. Hotter weather changes the water demand.6. What can farmers do to deal with water shortage?A. Plug leaks in the water distribution system.B. Clean up lakes and wetlands and restore wells.C. Reduce the number of people in the cities.D. Grow less-water consumption crops instead.7. What will be discussed if the passage continues?A. How to prevent from climate change.B. How to inspire people to save water.C. How to recycle wastewater in citiesD. How to make people get access to clean water.CIf our kids don’t fall, they don’t learn to get up. I still remember the day in high school that my mom forgot to pick me up from school. I’m the oldest of four children, and no doubt she’d had a long day with the other kids and it’d slipped her mind. After waiting at school for an hour, I walked the three miles home, and when I got to my house, I shut our front door with anger, stormed into the kitchen and screamed in my mom’s face that she’d forgotten me.Later that night, my dad told me I no longer had a ride to school the next day. I figured my mom would still take me, but when the morning came, she refused. It was midterm, and as a straight-A student ready to start college applications, being late wasn’t an option (选择). In my mind, missing these tests would have been the end of my academic career. I begged my mom. I told her she was ruining my future and everything I’d worked for. But sheheld her ground, and that day, I walked to school. And I missed my tests.My mom didn’t rescue me from failure. She let me suffer from it. She let me figure it out. She let me learn. Now, as a mom myself, I’ve realized that I want my kids to experience failure because failure is how we grow, learn and think outside of ourselves. It’s how we self-educate to learn what’s right and respectable, and what’s not. It’show we become responsible and enthusiastic. Falling down makes us better because we learn how to get up.8. What is one of the reasons that the author got angry that day?A. She was tired.B. She failed in a test.C. She was late for school.D. She had to walk home by herself.9. How does the author feel about her childhood experience?A. Terrible.B. Meaningful.C. Embarrassing.D. Colorful.10. The underlined phrase “held her ground” in Paragraph 2 probably means “________”.A. gave in to meB. said yes to meC. stayed in the placeD. kept to her idea11. What is the best title for the text?A. My Way of GrowingB. The Value of FailureC. My Love for MotherD. Failure in My LifeDElizabeth Bishop is considered one of the best American poets of the 20th century. She was born in Worcester, Massachusetts in 1911. Her dad died when she was just a baby and her mom never recovered from the loss. She went to live with her grandparents in Nova Scotia, Canada when she was five. Eventually Bishop attended Vassar College, where she began to write poetry.At Vassar she discovered Marianne Moore's poetry and met Ms Moore and began their life-long friendship. She later met poet Robert Lowell. She wrote tons and tons of letters to both of them, which is good for us because we would otherwise know very little of her personal life.Bishop published her first book of poetry in 1946 and wrote until her death in 1979. She would spend years working on a single poem. Her poems are not the result of hasty scribbling (匆忙乱写) on paper while eating breakfast. She would look through drafts of poems again and again and improve them until they were as close to perfect as she could get them.Reading Elizabeth Bishop is like being transported to the very place, the very moment she's writing about. She leads us to a microscope so we can see every smallest part of the scene. It seems that she's always asking us to notice more, and more until the poem is so clear in our minds that it's almost painful—like a light that's too bright.12. What do we know about Bishop's early life?A. She was mainly brought up by her grandparents.B. She spent her childhood mainly inWorcester.C. She was always encouraged by her parents.D. She started to write poems at five.13. Why are Bishop's letters to Moore and Lowell important?A. They have a deep influence on other poets.B. They offer much information about her life.C. They help us study Moore and Lowell's poetry.D. They prove she had friendships with famous poets.14. What can we say about Bishop's poetic creation?A. She liked to write in the morning.B. She could write poems at high speed.C. She tried her best to achieve perfection.D. She published hundreds of books of poetry.15. Which word can be used to best describe the style of Bishop’s poems?A. Enthusiastic.B. Romantic.C. Humorous.D. Exact.第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。
北京二中2021-2022学年度高三年级下学期开学考试试卷
- 高三年级数学开学考试卷2022年2月 第 1 页（共 6 页）-北京二中2021-2022学年度高三年级下学期开学考试试卷（2022年2月）一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合2{|0}4A x x x =<+，集合{|21,}B n n k k ==-∈Z ，则A B =A ．{1,1}-B ．{1,3}C ．{3,1,1,3}--D ．{3,1}-- 2.已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a = A.1 B.0 C.1- D.2-3.袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为 A ．14B ．23C ．13D ．124. 在52()x x-的展开式中，3x 的系数为A ．20-B ．20C ．10-D ．105.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则所有单音的频率之和为 A6.从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为A. 13B. 10C. 9D. 77．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的A.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度班级学号姓名密 封 线 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 高三年级数学开学考试卷2022年2月 第 2 页（共 6 页）-C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度8.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 9.已知函数()sin cos f x x x ，则下列结论正确的个数是①()f x 的最小正周期为2π ②()f x 的值域为[2,2]③()f x 在区间ππ[,]22上单调递增 ④函数()f x 的图象关于直线3π2x 对称 A ．1B.2C.3D.410.已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且函数g()|()|2x f x x =+-恰好有两个零点，则a 的取值范围是 A ．[13，23]{34} B ．[13，23）{34}C.（0，23] D ．[23，34] 二．填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11．已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的一个焦点为(2,0)F ，则a = ，双曲线C的渐近线方程是 .12. 在△ABC 中，ACB ∠=90°，2AC BC ==，D 为AB 的中点，P 是线段BC 上的动点，则AP DP ⋅的最小值是 .13. 已知直线0x y m -+=与圆C:22420x y x y ++-=相交，能说明“直线0x y m -+=截圆C:22420x y x y ++-=所得弦长不小于m 的值为 .14. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是 .- 高三年级数学开学考试卷2022年2月 第 3 页（共 6 页）-15．在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是 ;(Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为 .三.解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．(本小题满分13分)在C ∆AB 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知1=a ，b c C 2cos 2=+． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使C ∆AB 存在且唯一确定，求C ∆AB 的面积．条件①：C ∆AB1；条件②：b =； 条件③：4=B π.17．(本小题满分14分)2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).（I）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（II）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（III）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.密封线------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 高三年级数学开学考试卷2022年2月第 4 页（共 6 页）-- 高三年级数学开学考试卷2022年2月 第 5 页（共 6 页）-18．(本小题满分14分).如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ； （Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得 二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE EM的值；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分14分) 已知函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-=（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程； （Ⅱ）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，求a 的取值范围； （Ⅲ）若08a <<，证明：对任意),,0(,21+∞∈x x 当21x x ≠时，1212()()2f x f x x x ->--恒成立．班级学号 姓名密 封 线 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 高三年级数学开学考试卷2022年2月 第 6 页（共 6 页）-20．(本小题满分15分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>，1(,0)A a -，2(,0)A a ，(0,)B b ，△12A BA 的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M与直线2A B 交于点Q . 求证：△BPQ 为等腰三角形.21. (本小题满分15分) 已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩ 对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列； （Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．。
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北京二中2020-2021学年度第二学期高三年级开学测试一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面的材料，完成1－5题。
材料一2020年11月10日8时12分，“奋斗者”号在马里亚纳海沟创造了10909米的中国载人深潜新纪录，标志着我国在大深度载人深潜领域达到世界领先水平。
从“蛟龙”号、“深海勇士”号到“奋斗者”号，中国载人深潜团队二十年磨一剑，始终潜心研发深海装备，钻研深渊科学，历经无数惊涛骇浪，征服万米深度，坚定了中国人逐梦“深蓝”的底气。
“蛟龙”号载人潜水器是我国第一艘深海载人潜水器。
2002年刚开始研制时，国内载人深潜技术落后，因此采取了“自行设计、自主集成、关键设备委托国外制造”的研制路线。
历经十年的自主研发、集成创新，2012年6月24号9时07分，“蛟龙号”创造坐底7020米的最新纪录，达到了世界同类型载人潜水器的最大下潜深度。
不仅如此，“蛟龙”号还在多领域取得了进步。
在俄罗斯协助加工下，克服技术难关，建成“蛟龙号”钛合金载人舱。
和国外的科研人员协同攻关，解决了复杂水声信道条件下大深度、远距离、高速率水声通信技术难题，研制出了可传输图像、数据、文字和语音等信息的水声通信系统。
此外，还拥有了先进的悬停和自动驾驶功能，可以抵御海流的干扰，工作时稳稳地“定”在海底，在载人深潜技术领域有了长足进步。
“蛟龙”号对中国深海技术领域的全面带动作用极大，促进了国内深海领域材料、装备的应用发展。
到“蛟龙号”研制成功时，所有设备的备品备件几乎可以用国产化的替代。
（取材于杨频萍等的相关文章）1. 根据材料一，下列表述正确的一项是（3分）A. “奋斗者”号创造了世界大深度载人深潜领域的新纪录。
B. 中国载人深潜团队用了二十年的时间成功征服万米深度。
C. “蛟龙”号达到的7020米是同类型潜水器最大下潜深度。
D. “蛟龙”号在中国深潜材料、装备的工艺方面领先世界。
材料二与十年研制的“蛟龙”号不同，我国第二代4500米载人潜水器“深海勇士”号，从研制到海试交付只用了八年时间，且国产化程度更高，核心部件全部实现了国产化，整体国产化率超过了90%。
下潜深度是深海探索能力的一种象征。
但我国不仅需要下潜深度大的潜水器，还需要适应不同科考需求、到达各种不同海域深度的潜水器。
2017年8月16日开始，“深海勇士”号跟随作业母船“探索一号”在海上进行50米到4500米不同深度的下潜试验，最大下潜深度达4500米。
4500米基本覆盖了中国主要海域和国际海域资源可开发的深度。
深海研究热点，如海底热液硫化物、海底冷泉等，约在3000米深度，也都在“深海勇士”号的下潜范围内。
相比更深的深度，承受4500米水压也可以让潜水器的运行难度和运行成本大大降低，提高了科考的性．价比．．。
“深海勇士”的载人球舱，也是由钛合金材料制成。
如此优质的材料，由于加工焊接工艺难度极高，一度令很多国家望而却步。
之前“蛟龙”号载人舱的钛合金耐压球壳是在俄罗斯完成制造，现在我国也掌握了这项技术，“深海勇士”的载人球舱完全由我国自主设计完成。
同时，“深海勇士”号用锂电池取代了原先的银锌电池，从而使电池可用次数从50次增加到500次，使用寿命长达5年左右，有效降低了成本。
此外，在“蛟龙号”研制与应用的基础上，“深海勇士”号在水声通信方面，实现了深海数字通信自主化，可从海底实时传输图像，是中国深潜技术发展的又一个里程碑．．．。
（取材于董瑞丰等的相关文章）2．根据材料二，下列对“深海勇士”号的表述，不正确．．．的一项是（3分）A. 其研制时间比“蛟龙”号短。
B. 核心部件国产化率达到100%。
C. 可进行深海热点问题的研究。
D. 更换的锂电池可用次数达到550。
材料三第三代载人潜水器“奋斗者”号融合了“蛟龙”号及“深海勇士”号两台深潜装备的技术优势，拥有更加先进的控制系统、定位系统以及更具耐压的载人球舱和浮力材料，无论材料、技术等，都大大升级。
在万米海深的极端压力条件下，按照“奋斗者”号的目标尺寸和厚度要求，以往深潜器使用的材料都已不能达标，需要找到一种高强度、高韧性、可焊接的钛合金。
“国际上没有制造先例，也找不到国外厂家生产。
中科院金属研究所钛合金团队经过一系列调研论证、研究实验，攻克了载人舱材料、成型、焊接等一系列关键技术瓶颈，采用自主发明的Ti62A 钛合金新材料，为“奋斗者”号建造了世界上最大、搭载人数最多的潜水器载人舱球壳。
“奋斗者”号的核心部件国产化率超过96.5%，相较于前两代载人潜水器，“奋斗者”号的声学系统实现了完全国产化。
其中，水声通信是“奋斗者”号与母船“探索一号”之间沟通的唯一桥梁，实现了潜水器从万米海底至海面母船的文字、语音及图像的实时传输。
除了传递声音和影像，声学系统还能帮助“奋斗者”号在万米海底精确作业。
2020年11月16日，借助组合导航系统和声呐设备，“奋斗者”号潜航员仅用半小时便成功取回了此前布放在万米海底的3个水下取样器，成功实现“海底捞针”，并通过水声通信机将取样画面回传至母船。
与体现欧美全海深载人潜水器当前水平的“制约因素”号比，“奋斗者”号已经实现了技术上的赶超与“领跑”，进入到了载人深潜技术前沿的“无人区”，技术上的领先带来了能力上的本质差异，“制约因素”号更多地用于地标观光打卡，而“奋斗者”号是一艘名副其实的“作业型．．．”深潜器，带更多的乘客，更多的探测设备，活动时间更长，直接服务于科学与工程项目的现实需求。
当然，要实现“全海深．．．”科考目标，中国海洋科技工作者必须突破11000米深潜技术，进入太平洋马里亚纳海沟的最深处即“挑战者深渊”，才能在海域任何深度科考而畅行无阻。
（取材于孙自法等的相关文章）3. 根据材料二、材料三，对文中加点词语理解不正确．．．的一项是（3分）A. 性价比:“深海勇士”生产、运行成本大大降低。
B. 里程碑：“深海勇士”号水声通信技术取得突破。
C. 作业型:“奋斗者”号在深海探测之中的实用性。
D. 全海深:是指深海探测对海洋所有深度的全覆盖。
4. 根据材料一、材料二和材料三，下列理解与推断，不正确．．．的一项是（3分）A. “蛟龙”号项目突破多项技术难题，带动了中国深海技术的发展。
B. “深海勇士”号只下潜到了4500米，说明其性能不如“蛟龙号”。
C.“奋斗者”在控制系统、定位系统及浮力材料等方面有很大改进。
D. 进入“挑战者深渊”是中国海洋科技工作者面临的又一严峻挑战。
5．综合以上三则材料，“奋斗者”号在“钛合金载人舱”、“水声通信技术”领域，与“蛟龙”号、“深海勇士”号相比，取得了哪些进步？请加以概括。
（6分）二、本大题共7小题，共24分。
（一）阅读下面的文言文，完成6～11题。
（共18分）老子曰：“至治之．极，邻国相望，鸡狗之声相闻，民各甘其．食，美其服，安其俗，乐其业，至老死不相往来。
”必用此为务，輓近世涂民耳目，则几无行矣。
太史公曰：虞夏以．来，耳目欲极声色之好，口欲穷刍豢之味，身安逸乐，而心夸矜势能之荣。
使俗之渐．民久矣，虽户说以妙论，终不能化。
故善者因之，其次利道之，其次教诲之，其次整齐之，最下者与之争。
夫山西饶材、竹、玉石；山东多鱼、盐、漆；江南出梓、桂、金、珠玑；龙门、碣石北多马、牛、羊、筋角；铜、铁则千里往往山出棋置：此其大较也。
皆中国人民所喜好，谣俗被服饮食奉生送死之具也。
故待农而食之，虞【1】而出之，工而成之，商而通之。
此宁有政教发征期会哉？人各任其能，竭其力，以得所欲。
故物贱之征贵，贵之征贱，各劝．其业，乐其事，若水之．趋下，日夜无休时，不召而．自来，不求而民出之。
岂非道之所符，而自然之验邪？周书曰：“农不出则乏其食，工不出则乏其事，商不出则三宝绝，虞不出则财匮少。
”财匮少而山泽不辟矣。
此四者，民所衣食之原也。
原大则饶，原小则鲜．。
上则富国，下则富家。
贫富之道，莫之夺予，而巧者有余，拙者不足。
故太公望封于营丘，地潟卤【2】，人民寡，于是太公劝其女功，极技巧，通鱼盐，则人物归之，繦至而辐凑。
故齐冠带衣履天下，海岱之间敛袂而往朝焉。
其．后齐中衰，管子修之，设轻重九府，则桓公以．霸，九合诸侯，一匡天下。
是以齐富强至于威、宣也。
故曰：“仓廪实而知礼节，衣食足而知荣辱。
”礼生于有而废于无。
故君子富，好行其德；小人富，以适其力。
渊深而．鱼生之，山深而兽往之，人富而仁义附焉。
故曰：“天下熙熙，皆为利来；天下攘攘，皆为利往。
”夫千乘之王，万家之侯，百室之君，尚犹患．贫，而况匹夫编户之民乎！（取材于《史记•货殖列传》）注释：【1】虞：古代掌管山林水泽的官员。
此处指开发山泽资源的人。
【2】潟卤（xìlǔ）：含有过多盐碱成分而不适于耕种。
6．下列对句中加点词语的解释，不正确．．．的一项是（3分）A．使俗之渐．民久矣渐：逐渐B．各劝．其业劝：勤勉（从事）C．原小则鲜．鲜：少D．尚犹患．贫患：担心，忧虑7．下列各组句中加点词的意义和用法，相同的一项是（3分）A．至治之．极若水之．趋下B．民各甘其．食其．后齐中衰C．虞夏以．来则桓公以．霸D．不召而．自来渊深而．鱼生之8．下列对文中画线语句的理解，不正确．．．的一项是（3分）A．而心夸矜势能之荣但是心里以矜持骄傲为荣B．虽户说以妙论即使用（老子所讲的）妙论去挨家挨户地劝说C．铜、铁则千里往往山出棋置铜、铁则往往在方圆千里的山中就有出产，（产地）如棋子那样密布D．繦至而辐凑像绳子串钱似地络绎不绝而来，像辐条汇合于车毂一样聚集9．根据文意，下列理解和推断，不正确．．．的一项是（3分）A．老子描绘的“至治”社会中，人们自给自足，安居乐业，满足现状，互不往来。
B．各地物产丰富，各有特色，价格各异，其中的商机有助于人们实现财富的增长。
C．太公和管仲都重视经济发展与法治，使齐国一直保持兴盛富强，桓公称霸天下。
D．“人富而仁义附”强调财富的作用，或对人们正确价值观的形成产生不良影响。
10．将文中画波浪线的语句译为现代汉语。
（2分）贫富之道，莫之夺予11．关于国家经济发展，司马迁提出：“故善者因之，其次利道之，其次教诲之，其次整齐之，最下者与之争。
”请根据文意分别概括可以印证“因之”“利道之”的例子。
（4分）（二）根据要求，完成第12题。
（共6分）12．阅读下面《论语》中的文字，回答问题。
①子曰：“诵《诗》三百，授之以政，不达；使于四方，不能专对；虽多，亦奚以为？”（《论语·子路》）②陈亢问于伯鱼曰：“子亦有异闻乎？”对曰：“未也。
尝独立，鲤趋而过庭。
曰：‘学诗乎？’对曰：‘未也。
’‘不学诗，无以言。
’鲤退而学诗。
”（《论语·季氏》）③子曰：“小子何莫学夫诗？诗，可以兴，可以观，可以群，可以怨。
迩之事父，远之事君；多识于鸟兽草木之名。
”（《论语·阳货》）在孔子看来，学《诗》有哪些作用？请根据以上几则《论语》选文简要说明。