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差分进化算法
设这一轮的选择-复制结果为：
s1’=11100（28）, s2’=11100（28）, s3’=11000（24）, s4’=10011（19）
然后，做交叉运算，让s1’与s4’，s2’与s3’ 分别交换后两位基因，得
s1’’=11111（31）, s2’’=11100（28）, s3’’=11000（24）, s4’’=10000（16）
这一轮仍然不会发生变异。于是，得第四代种群S4：
s1=11111（31）, s2=11100（28）, s3=11000（24）, s4=10000（16）
显然，在这一代种群中已经出现了适应度最高的染色体s1=11111。于是，遗传操作 终止，将染色体“11111”作为最终结果输出。 然后，将染色体“11111”解码为表现型，即得所求的最优解：31。将31代入函数 y=x2中，即得原问题的解，即函数y=x2的最大值为961。
开 始
根据实际问题进行编码
设置参数
问题
1、遗传操作象
遗传操作， 生成新种群
种群中所有个体 种群中部分个体
生成初始种群ຫໍສະໝຸດ 计算个体适应值2、遗传操作顺序
重叠 非重叠
是否满足进 化终止条件
否
3、新种群重组方式
是
算法结束， 输出最优个体
一般演化算法的过程
2.2标准DE流程图
开始 确定控制参数 t=0 随机产生初始种群POP(0) 对初始种群进行评价
这一轮仍然不会发生变异。于是，得第三代种群S3：
s1=11100（28）, s2=01001（9）, s3=11000（24）, s4=10011（19）
表1.3.3 第三代种群S4中各染色体的情况
染色体 s1=11100 s2=01001 s3=11000 s4=10011 适应度 784 81 576 361 选择概率 0.44 0.04 0.32 0.20 积累概率 0.44 0.48 0.80 1.00 估计被选中次数 2 0 1 1
差分进化算法求解实数优化问题
差分进化算法求解实数优化问题1. 引言实数优化问题是指在一定约束条件下，求解目标函数取得极值的一类问题。
差分进化算法（Differential Evolution, DE）是一种常用于解决实数优化问题的全局优化算法。
本文将对差分进化算法求解实数优化问题进行详细介绍和分析。
2. 差分进化算法基本原理差分进化算法是一种通过模拟自然进化过程进行优化的算法。
基本原理如下：1.初始化种群：随机生成初始的候选解种群。
2.计算适应度：根据目标函数计算每个个体的适应度。
3.迭代更新：重复进行以下操作直到满足结束条件：–选择：根据适应度选择父代个体。
–变异：通过变异操作生成新的个体。
–杂交：将变异个体与原始个体进行杂交操作，产生后代个体。
–选择：根据适应度选择生存个体。
4.终止条件：满足终止条件时，停止迭代，输出最优解。
3. 差分进化算法的关键操作3.1 变异操作差分进化算法的变异操作是通过对种群中的个体进行变异从而产生新个体。
具体的操作如下：对于每个个体x(i)，随机选择3个不同个体a(j)、b(k)、c(l)，其中i、j、k、l 均互不相同。
然后计算变异向量v(i)：v(i) = a(j) + F * (b(k) - c(l))其中F为缩放因子，用于控制变异的幅度。
3.2 杂交操作差分进化算法的杂交操作是通过将变异个体与原始个体进行杂交从而产生后代个体。
常用的杂交操作有交叉算术杂交和交叉二进制杂交。
•交叉算术杂交：将变异个体的部分基因与原始个体进行加权平均。
•交叉二进制杂交：将变异个体的部分基因与原始个体进行按位选择。
3.3 选择操作差分进化算法的选择操作是通过比较适应度选择父代和生存个体。
常用的选择策略有最小适应度选择、最大适应度选择和锦标赛选择。
•最小适应度选择：选择适应度最小的个体作为父代或生存个体。
•最大适应度选择：选择适应度最大的个体作为父代或生存个体。
•锦标赛选择：随机选择一组个体，比较它们的适应度，选取最好的个体作为父代或生存个体。
差分进化算法精品PPT课件
引言
开始
根据实际问题进行编码 设置参数
生成初始种群
计算个体适应值
是否满足进 化终止条件
是
算法结束， 输出最优个体
一般演化算法的过程
问题
遗传操作， 生成新种群
否
1、遗传操作象 ✓ 种群中所有个体 ✓ 种群中部分个体 2、遗传操作顺序 ✓ 重叠 ✓ 非重叠 3、新种群重组方式
DE的改进方法
为了提高DE的寻优能力、加快收敛速度、 克服启发式算法常见的早熟收敛现象，许多学 者对DE算法进行改进:
▪ 控制参数的改进。 ▪ 差分策略的改进。 ▪ 选择策略的改进。 ▪ 种群重构 ▪ 混合算法。
DE的改进方法---多种扩展模式
DE算法的多种变形形式常用符号DE /x/y/ z 以 示区分,其中:
开开开开开
基本原理
求解非线性函数f (x 1, x 2, ⋯, x n)的最小值问题, x i满足：
xi t xi,1 t , xi,2 t , , xi,n t
i 1, 2, , M ; t 1, 2, tmax.
令xi 是t 第t代的第i个染色体, 则
xiLj xij xiUj j 1, 2, n
行变异操作;
▪ ：一般在[ 0, 2 ]之间选择, 通常取0. 5;
▪ CR：一般在[ 0, 1 ]之间选择, 比较好的选择应在0. 3 左右,
CR 大些收敛速度会加快, 但易发生早熟现象。
差异演化算法的优缺点
和其它进化算法相比, 差异演化具有以下优点:
▪ 差异演化在求解非凸、多峰、非线性函数优化问题表 现极强的稳健性。
SaDE
（2）变异操作 变异操作是差分进化算法的关键步骤，是从 种群中随机选择3个个体： X , X , X , 且p1 p2 p3 i 则 hij ( g) x p1 F ( x p2 j x p3 j ) F为缩放因子
p1 p2 p3
变异操作过程如图所示
（3）交叉操作 交叉操作可以增加种群的多样性，操作如下：
, (k 1,2,...,K ; G LP)
计算每个策略的成功率pkG,该成功率将直接影 响下一代选择相应策略的概率。
成功记忆更新过程 当记忆代数达到LP时，每当有新的记忆产生， 变删除最Biblioteka 的一代记忆。关于LP设置的讨论
参数的设置： 缩放因子F，根据正态分布N（0.5,0.3）随机 生成。 交叉率CR，根据正态分布N（CRk，memory,0.1） 随机生成。LP代后每代都会记录每个策略成 功个体的交叉率CRk值。 其中，CRk,memory在代数小于LP时为0.5，LP 代以后根据上一代每个策略的成功个体CRk的 平均值作为CRk,memory。
反复执行2）到4），直到达到最大进化代数， 或达到所要求的收敛精度。
全局数值优化适应策略差分进化算 法（SaDE）
（1）适应的试验向量生成策略 解决不同的问题时，不同的试验向量生成策略效果 不同。例如： DE/rand-to-best/1/bin、DE/best/1/bin和 DE/best/2/bin对于单峰问题有较快的收敛速度 DE/rand/1/bin收敛速度慢，但有很好的探索能力 DE/current-to-rand/1对于多目标问题效果明显
差分进化算法的基本原理
• 差分进化算法是基于实数编码的进化算法， 最初的群体是随机均匀产生的，每个个体 为搜索空间中的一个实向量。令 X i ( g )是 X ( g) X ( g) X ( g) ，则 第g代的第i个个体，
差分进化算法
选择操作
ＤＥ的选择操作是一种基于贪婪的选择机制,若ui(t+1) 的适应度值好于xi(t)的适应度值,则保留到下一代种群 的个体是ui(t+1),否则保留的将是xi(t).对于最小优化 问题,则选择算子可由下式描述
其中f为目标函数.
ＤＥ的选择操作是在目标向量和其对应的试验向量两者 中保留最优,使得子代个体的适应度值总是好于父代个 体的适应度值,从而导致种群始终向最优解的位置进化 并逐步聚焦到最优解位置或满意解位置．
标准差分进化算法原理
算法的基本思想是:从一个随机初始化的种群开始搜索， 然后经过变异操作、交叉操作、选择操作产生下一时刻 的种群，该过程重复进行，直到满足停止条件[2]。
群体初始化 变异操作 交叉操作 选择操作
群体初始化
算法首先在问题的可行解空间随机产生第0代种群
NP为群体规模.
D 为优化问题的维数.
DE算法的搜索性能取决于算法全局探索和局部开发能力 的平衡,而这在很大程度上依赖于算法的控制参数的选 取,包括种群规模、缩放比例因子和交叉概率等.
差分优化算法优点
归纳起来, DE 算法具有如下优点: 1) 算法通用, 不依赖于问题信息; 2) 算法原理简单, 容易实现; 3) 群体搜索, 具有记忆个体最优解的能力; 4) 协同搜索, 具有利用个体局部信息和群体全局信息指 导算法进一步搜索的能力; 5) 易于与其他算法混合, 构造出具有更优性能的算法.
[10]Kannan S, Slochanal S M R, Padhy N P. Application and comparison of metaheuristic techniques to gen ration expansion planning problem [J]. IEEE Trans on Power Systems. [11]宋立明, 李军, 丰镇平. 跨音速透平扭叶片的气动优化设计研究[J] . 西安 交通大学学报, 2005, 39(11):1277-1281. [12]杨晓明, 邱清盈, 冯培恩, 等. 盘式制动器的全性能优化设计[J]. 中国机 械工程, 2005, 16(7) : 630-633. [13]Doyle S, Corcoran D, Connell J. Automated mirror design using an evolution strategy [J]. Optical Engineering, 1999, 38(2):323-333. [14]张吴明, 钟约先.基于改进差分进化算法的相机标定研究[J]. 光学技术, 2004, 30(6):720-723
基于差分进化算法的函数优化分析PPT课件
V ig 1 X r 1 g F X r 2 g X r 3 g
MATLAB优化算法案例分析与应用
图29- 1 指数交叉过程
MATLAB优化算法案例分析与应用
图29- 2 二项交叉过程
MATLAB优化算法案例分析与应用
通过上述对基本DE算法的介绍和分析，可以得到算法流程图如图29-3所示。
MATLAB优化算法案例分析与应用
•29.4 基于DE算法的函数优化与MATLAB实现
D
m inf(xi) [xi210cos(2 π xi)10] i1
图29- 4 Rastrigin函数图形
MATLAB优化算法案例分析与应用
F0 = 0.5;
% 是变异率
Gm = 100;
% 最大迭代次数
Np = 100;
由于进化算法自身的特点，是基于优胜劣汰的自然选择原理对种群中的个体进行 淘汰和保留，因此算法本身具有一定的自组织、自学习、自适应等特点，其寻优方 式很容易在多种领域中得到应用。
差分进化算法（DE算法）和其它生物智能算法（粒子群算法PSO、遗传算法GA 等）一样，也容易陷入局部最优，主要归结为生物进化算法均类比于暴力搜索算法 ，采用初始的种群进行有限的迭代寻优，进而找出相对有效的最优解作为用户满意 解。当然这个过程是有增益的，然而当寻优次数增大时，生物智能算法是全局收敛 的，因此保证生物个体的多样性以及增大生物进化代数都极大的影响着算法全局寻 优能力。
差分进化算法pdf
差分进化算法pdf差分进化算法是一种基于群体智能的优化算法，其主要目的是在给定的问题中快速找到最优解。
相对于传统的进化算法，差分进化算法的主要优势在于其对于高维度问题的表现力更加出色。
以下是差分进化算法的具体步骤：1. 初始化种群在差分进化算法中，我们需要首先初始化一个种群，将其放在搜索空间中，以便进行进化。
每个个体都是由一个特定的向量组成，表示搜索空间中的一个点。
我们可以通过随机抽样的方式来初始化种群中每一个个体的向量值。
2. 差分算子差分运算符是差分进化算法的核心组成部分。
其主要功能是根据种群中已有的个体，构造并生成新的解向量。
在差分算子中，我们选取两个可行解x和y，然后通过差分算子构建新的解向量z。
具体地，z的构造方式如下：z = x + F(y-x)其中F是参数范围在[0,2]之间的可调整的参数，其作用是控制差分算子对y-x的影响程度。
3. 交叉运算符在差分进化算法中，交叉运算符主要用来融合一个个体的特征向量与由差分算子生成的新的特征向量。
具体来说，交叉运算符可以通过在两个向量矩阵中分别随机选取一些位置，并将这些位置标记为“父向量”和“子向量”来实现。
然后，我们可以根据随机选取的位置进行特征向量的融合。
4. 选择算子选择算子主要用来筛选种群中的优质解向量，并将其作为下一次进化的种子。
在差分进化算法中，我们可以根据优化的目标函数来度量一个解向量的质量。
具体来说，我们需要对整个种群中的解向量进行评估，并选取其中表现最优秀的个体作为下一次进化的种子。
总之，差分进化算法是一种非常高效的搜索算法，在很多领域中已经得到了广泛的应用。
相信通过学习差分进化算法的操作步骤以及其内在的优化机制，我们可以更好地理解并应用这个优秀的算法。
差分进化算法-DE
uiG piG
r CR j Ir
uiG 1 piG 1
true false
uiG 2 piG 2
false true
… … … … …
G uij
G pij
…… ……
G uiN G piN
false false
G pij
true true ……
G uiN
viG
uiG 1
uiG 2
图 2.1 DE 交叉算子示意图
u G , if rand () CR j Ir G vij ijG pij , otherwise
(2.2)
G 其中 vij 为候选解 viG 的第 j 维元素；rand () 是 [0,1) 之间的均匀随机数，CR 是
； Ir 是 [1, N ] 之间的随机整数，对于同一个体 0, 1 之间的常数，称为“交叉概率” 的不同维度， Ir 保持唯一。 从公式(2.2)和图 1 可以看出，变异个体 uiG 中至少有一个元素被继承到新的 候选解中，因此，DE 可以较好地保持种群的多样性。
2.1 差分进化算法
差分进化算法（Differential Evolution，DE）和 GA，PSO，ACO 等进化算法 一样， 都是基于群体智能的随机并行优化算法，通过模仿生物群体内个体间的合 作与竞争产生的启发式群体智能来指导优化搜索。DE 特有的记忆能力使其可以 动态跟踪当前的搜索情况，以调整其搜索策略，实现自适应寻优，因此具有较强 的全局收敛性和鲁棒性， 且不需要借助问题的特定信息，适于求解一些利用常规 的数学规划方法所无法求解的复杂环境中的优化问题[69]。 DE 的种群由若干个体组成， 每个个体代表优化问题的一个潜在解。 DE 的优 化机制是根据不同个体之间的距离和方向信息来生成新的候选个体， 实现群体进 化。与其他进化算法类似，DE 采用变异、交叉、选择这三个典型进化算子对种 群进行更新，但不同于传统进化算子，DE 的进化算子有其独到之处。 （1）变异算子 假设种群规模为 NP ，解的维数为 N ，则种群 P
差分进化算法介绍
1．差分进化算法背景差分进化(Differential Evolution，DE)是启发式优化算法的一种，它是基于群体差异的启发式随机搜索算法，该算法是Raincr Stom和Kenneth Price为求解切比雪夫多项式而提出的。
差分进化算法具有原理简单、受控参数少、鲁棒性强等特点。
近年来，DE在约束优化计算、聚类优化计算、非线性优化控制、神经网络优化、滤波器设计、阵列天线方向图综合及其它方面得到了广泛的应用。
差分算法的研究一直相当活跃，基于优胜劣汰自然选择的思想和简单的差分操作使差分算法在一定程度上具有自组织、自适应、自学习等特征。
它的全局寻优能力和易于实施使其在诸多应用中取得成功。
2.差分进化算法简介差分进化算法采用实数编码方式，其算法原理同遗传算法相似刚，主要包括变异、交叉和选择三个基本进化步骤。
DE算法中的选择策略通常为锦标赛选择，而交叉操作方式与遗传算法也大体相同，但在变异操作方面使用了差分策略，即：利用种群中个体间的差分向量对个体进行扰动，实现个体的变异。
与进化策略(Es)采用Gauss或Cauchy分布作为扰动向量的概率密度函数不同，DE使用的差分策略可根据种群内个体的分布自动调节差分向量(扰动向量)的大小，自适应好；DE 的变异方式，有效地利用了群体分布特性，提高了算法的搜索能力，避免了遗传算法中变异方式的不足。
3.差分进化算法适用情况差分进化算法是一种随机的并行直接搜索算法，最初的设想是用于解决切比雪夫多项式问题，后来发现差分进化算法也是解决复杂优化问题的有效技术。
它可以对非线性不可微连续空间的函数进行最小化。
目前，差分进化算法的应用和研究主要集中于连续、单目标、无约束的确定性优化问题，但是，差分进化算法在多目标、有约束、离散和噪声等复杂环境下的优化也得到了一些进展。
4.基本DE算法差分进化算法把种群中两个成员之间的加权差向量加到第三个成员上以产生新的参数向量，这一操作称为“变异”。
差分进化算法综述概况
差分进化算法（DE）[1]是Storn 和Price 在1995 年提出的一种基于种群差异的进化算法，DE是一种随机的并行搜索算法。
差分进化计算和其他进化计算算法一样，都是基于群体智能理论的优化算法，利用群体内个体之间的合作与竞争产生的群体智能模式来指导优化搜索的进行。
与其他进化计算不同的是，差分进化计算保留了基于种群的全局搜索策略，采用实数编码、基于差分的简单变异操作和一对一的竞争生存策略，降低了进化操作的复杂性。
差分进化计算特有的进化操作使得其具有较强的全局收敛能力和鲁棒性，非常适合求解一些复杂环境中的优化问题。
最初试图使用向量差进行向量种群的混洗，以此来解决切比雪夫多项式适应性问题。
DE 通过种群内个体间的合作与竞争来实现对优化问题的求解，其本质上是一种基于实数编码的具有保优思想的进化算法。
该算法实现技术简单，在对各种测试问题的实验中表现优异，已经成为近年来进化算法研究中的热点之一。
差分进化算法基本原理基本的差分进化算法是基于候选方案种群的算法，在整个搜索空间内进行方案的搜索，通过使用简单的数学公式对种群中的现有方案进行组合实现的。
如果新的方案有所改进，则被接受，否则被丢弃，重复这一过程直到找到满意的方案。
设 f 是最小化适应度函数，适应度函数以实数向量的形式取一个候选方案作为参数，给出一个实数数值作为候选方案的输出适应值。
其目的是在搜索空间的所有方案p 中找到m 使得f(m) ≤f(p)。
最大化是找到一个m 使得f(m) ≥f(p)。
设X=(x1, x2,…, xn)∈ℝn是种群中一个个体，基本的差分进化算法如下所述：•在搜索空间中随机地初始化所有的个体。
•重复如下操作直到满足终止条件（最大迭代数或者找到满足适应值的个体）o对于种群中的每个个体：●随机地从种群中选择三个彼此不同的个体a，b 和c。
●选择一个随机索引R ∈{1, ..., n}，n 是被优化问题的维数。
●通过对每个i ∈{1, ..., n}进行如下的迭代计算可能的新个体Y = [y1, ..., yn] 生成一个随机数ri~U(0,1)；●如果(i=R)或者(ri<CR)，y i = ai + F(bi − ci)，否则yi = xi；●如果(f(yi) < f(xi))，则在种群中使用改进的新生成的yi替换原来的xi，否则不变。
差分进化算法DE和粒子群算法PSO
差分进化算法DE和粒⼦群算法PSO1.差分进化算法(DE)DE与GA的主要区别在变异步骤。
对于每个⽬标向量 X i，G (i=1，2，……，NP)，基本DE算法的变异向量如下产⽣其中，随机选择的序号r1，r2和r3互不相同，且r1，r2和r3与⽬标向量序号i也应不同，所以须满⾜NP≥4。
变异算⼦F∈[0，2]是⼀个实常数因数，控制偏差变量的放⼤作⽤。
实现如下。
由于此⽬标过于简单，即便去掉交叉步，也能得到不错的结果。
# coding: utf8import numpy as npN=20 # 编码长度MAX=10.0/(2**(N)) # [0,10), 区间内有两个最⼤值（17）的点NUM=500 # 种群数量def f(x): # 函数return 10*np.sin(5*x) + 7*np.cos(4*x)def new(num=NUM,len=N): # 随机⽣成return np.random.randint(1,2**len,num)def n2b(nums): # 数字编码return [bin(i)[2:].zfill(N) for i in nums]def b2n(bits): # 解码return [int(i,base=2) for i in bits]def fit(nums,s_rate=0.15,r_rate=0.05): # 适应度和选择n=len(nums)sn=int(n*s_rate)on=int(n*r_rate)np.random.shuffle(nums)outs=nums[:on]res=[f(i*MAX) for i in nums] # 适应度选择和随机选择，可能有重复temp=np.argsort(res)others=[nums[i] for i in temp[-sn:]]outs=np.concatenate((outs, others))return outs,nums[temp[-1]]*MAX,res[temp[-1]]def repo(fits,mode='DE'): # 扩增，此处5倍；增加了进化算法n=len(fits)pt=np.random.randint(0,n,4*n)pt=np.reshape(pt,(2*n,2))bits=n2b(fits)new_bits=bitsfor i in pt:b1,b2=exchange([bits[j] for j in i])new_bits.append(b1)new_bits.append(b2)if mode=='DE':return dmut(new_bits)return mut(new_bits)def exchange(bits,change_rate=0.4,mode='cross'): #交换，提供了随机交换和节点互换n=int(change_rate*N)if mode=='rand':rn=range(N)new_bits=[list(i) for i in bits]for i in rn[:n]:new_bits[0][i] = bits[1][i]new_bits[1][i] = bits[0][i]new_bits=[''.join(i) for i in new_bits]else:n = int(change_rate * N)new_bits = [list(i) for i in bits]new_bits[0][:n] = bits[1][:n]new_bits[1][:n] = bits[0][:n]new_bits = [''.join(i) for i in new_bits]return new_bitsdef mut(bits,mut_rate=0.03): # 变异length=len(bits)*Nn = int(mut_rate * length)if n<1: n=1rn = range(length)np.random.shuffle(rn)for i in rn[:n]:j=int(bits[i/N][i%N])bits[i/N]=swap(bits[i/N],i%N,str(1-j)) return bitsdef swap(str,i,char): # 字符串交换str2=list(str)str2[i]=charreturn''.join(str2)def dmut(bits,mut_rate=1.0,F=0.5): # 差分变异 length = len(bits)n = int(mut_rate * length)if n < 1: n = 1rn = np.random.randint(0,length,3*n)rn = np.reshape(rn,(n,3))nums=b2n(bits)for i in rn:nums[i[0]]+=int(F*(nums[i[1]]-nums[i[2]])) if nums[i[0]]<0:nums[i[0]]*=-1return n2b(nums)def train(iter=50): # 训练⼊⼝nums=new()outs,x,fx=fit(nums)for i in range(iter):new_bits = repo(outs)nums=b2n(new_bits)outs,x,fx=fit(nums)print i,x,fxif'__main__==main()':train()"""0 1.57093048096 16.99999674251 1.57070159912 16.99999837582 1.57070159912 16.99999837583 1.57086372375 16.99999917784 1.57078742981 16.99999998575 1.57078742981 16.99999998576 1.57079696655 16.99999999997 1.57079696655 16.99999999998 1.57079696655 16.99999999999 1.57079696655 16.999999999910 1.57079696655 16.999999999911 1.57079696655 16.999999999912 1.57079696655 16.999999999913 1.57079696655 16.999999999914 1.57079696655 16.999999999915 1.57079696655 16.999999999916 1.57079696655 16.999999999917 1.57079696655 16.999999999918 1.57079696655 16.999999999919 1.57079696655 16.999999999920 1.57079696655 16.999999999921 1.57079696655 16.999999999922 1.57079696655 16.999999999923 1.57079696655 16.999999999924 1.57079696655 16.999999999925 1.57079696655 16.999999999926 1.57079696655 16.999999999927 1.57079696655 16.999999999928 1.57079696655 16.999999999929 1.57079696655 16.999999999930 1.57079696655 16.999999999931 1.57079696655 16.999999999932 1.57079696655 16.999999999933 1.57079696655 16.999999999934 1.57079696655 16.999999999935 1.57079696655 16.999999999936 1.57079696655 16.999999999937 1.57079696655 16.999999999938 1.57079696655 16.999999999939 1.57079696655 16.999999999940 1.57079696655 16.999999999941 1.57079696655 16.999999999942 1.57079696655 16.999999999943 1.57079696655 16.999999999944 1.57079696655 16.999999999945 1.57079696655 16.999999999946 1.57079696655 16.999999999947 1.57079696655 16.999999999948 1.57079696655 16.999999999949 1.57079696655 16.9999999999"""2.粒⼦群算法描述⼀群鸟在随机的搜索⾷物。
差分进化算法
C 式中，CR 为交叉概率， R 0,1
rand ( 0 ,1 ) 是 [ 0 ,1 ]上服从均匀分布的随机
ij
数。
这种交叉策略可以确保 v ( g 1) 中至少有一个 分量由 h ( g ) 贡献。交叉过程如图2.2所示。
ij
图2.2 DE交叉操作
(4) 选择操作 由评价函数对向量 v 比较。
在演化算法家族中，相对发展较早的有 进化规划(Evolutionary Programming)、遗传 算法(Genetic Algorithm)等，它们都是基于这 种思想而发展起来的问题求解方法。这些算 法在赋予演化算法自组织、自适应、自学习 等特征的同时，不受搜索空间限制性条件(如 是否可微、是否连续等)的约束，也不需要其 他辅助信息(如梯度)，不仅能获得较高的效率， 而且具有易于操作和通用的特点。
L U
i 1, 2 , , NP ;
g 1, 2 , , T max
X i ( g )、 X i ( g ) 为个体的上、下界， T max 为最大进化代数。
NP 为种群规模，
差异演化算法的实施过程如下： (1)生成初始种群 在维空间随机产生个NP个体，实施措施如下：
x ij ( 0 ) x ij rand ( 0 ,1 )( x ij x ij )
近些年来，随着人们对生命本质的不断 了解，使人工智能的研究开始摆脱经典逻辑 计算的束缚，大胆探索新的非经典计算途径。 在这种背景下，社会性动物(如蚁群、蜂群、 鸟群等)的自组织行为引起了人们的广泛关注， 许多学者对这种行为进行数学建模并用计算 机对其仿真，这就产生了所谓的“群智 能”(Swarm Intelligence，SI)，或称为“群 集智能”。
差分进化算法(DE)进行最优化处理
%% Differential Evolution Algorithm(DE) 差分演化算法%% min f(x,y)=3*(1-x).^2.*exp(-x.^2-(y+1).^2)-10*(x/5-x.^3-y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)-exp(-(x+1).^2-y.^2)/3;%% Clear screenclear all;close all;clc;%% 初始化（Initialization）tic; %程序运行计时error=1e-3; %允许误差popsize=30; %种群数量maxgen=50; %最大迭代次数（最大进化代数）nvars=2; %决策变量个数F=0.5; %变异缩放因子CRmin=0.2;CRmax=0.8; %交叉概率因子最值（初始全局搜索能力强，进化后期局部搜索能力强）k=1; %初始化迭代次数x=-3+(3+3)*rand(popsize,nvars); %初始化x变量best_trace=[]; %存储寻优路径%% 目标函数（Objective function）%用虚拟函数定义适应度函数以便将子函数文件与主程序文件放在一起%目标函数为：z=3*(1-x).^2.*exp(-x.^2-(y+1).^2)-10*(x/5-x.^3-y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)-exp(-(x+1).^2-y.^2)/3%虚拟函数命令定义适应度函数如下fitness=@(x)3*(1-x(1))^2*exp(-x(1)^2-(x(2)+1)^2)-10*(x(1)/5-x(1)^3-x(2)^5).*exp(-x(1)^2-x(2)^2)-exp(-(x(1)+1)^2-x(2)^2)/3;%% 主程序（Main procedure）%% Step1 对初始种群进行评价（适应度函数值）f=zeros(1,popsize);for i=1:popsizef(i)=fitness(x(i,:));end[d1,d2]=min(f);best_fx=x(d2,:);best_fval=d1;best_trace=[best_trace best_fval];if abs(best_fval)<=errorreturn;end%% Step2 变异交叉选择过程(mutation,crossover,selection)u=zeros(1,2);while (abs(best_fval)>error) %这里的判断条件需要修改（否则迭代次数一直保持最高次）CR=CRmin+k*(CRmax-CRmin)/maxgen; %交叉概率因子% x1=x;for i=1:popsize %变异、交叉、选择操作(Mutation and Crossover)% temp=randperm(popsize,3); %生成3个无重复的整数-randperm% temp1=temp(1);temp2=temp(2);temp3=temp(3);temp1=ceil(popsize*rand);temp2=ceil(popsize*rand);temp3=ceil(popsize*rand);while(temp1==temp2)||(temp1==temp3)||(temp2==temp3)||(temp1==i)||(temp2 ==i)||(temp3==i)temp1=ceil(popsize*rand);temp2=ceil(popsize*rand);temp3=ceil(popsize*rand);endv=x(temp3,:)+F*(x(temp1,:)-x(temp2,:)); %Mutationif v(1)>3||v(1)<-3 %边界控制v(1)=-3+(3+3)*rand;endif v(2)>3||v(2)<-3v(2)=-3+(3+3)*rand;endfor j=1:nvars %Crossoverif (rand<=CR)||j==ceil(nvars*rand)u(1,j)=v(j);elseu(1,j)=x(i,j);endendif fitness(u)<f(i) %Selectionx(i,:)=u;f(i)=fitness(x(i,:));endend% x=x1;[d1,d2]=min(f); %判断是否为最优解if d1<best_fvalbest_fval=d1;best_fx=x(d2,:);endbest_trace=[best_trace best_fval];k=k+1;if k>=maxgenbreak;endendbest_fxbest_fvaltoc; %程序计时结束t1=linspace(-3,3,200);t2=t1;[T1,T2]=meshgrid(t1,t2);Z=3*(1-T1).^2.*exp(-T1.^2-(T2+1).^2)-10*(T1/5-T1.^3-T2.^5).*exp(-T1.^2-T2.^2)-exp(-(T1+1).^2-T2.^2)/3;subplot(2,1,1)mesh(T1,T2,Z)hold onplot3(best_fx(1),best_fx(2),best_fval,'rp','LineWidth',4)subplot(2,1,2)plot(1:k,best_trace,'--','linewidth',2)。
混合多种群自适应Memetic差分进化算法
混合多种群自适应Memetic差分进化算法基本差分进化算法（Differential Evolution，DE）是一种实用性强、简单高效的群智能优化算法，但DE算法同样可能存在着其他群智能优化算法共同存在的缺点，如早熟收敛、易陷入局部最优解等。
针对以上问题，文章提出一种Memetic算法，通过改进种群初始化方法和引入邻域搜索算子来增强种群的多样性，通过多种群间的信息交互，保证算法有效跳出局部极值点。
通过引入自适应算子，对交叉概率因子和缩放因子进行自适应调整，保证算法具有较高的收敛速度。
仿真实验结果表明，HMADE算法可解决标准差分进化算法后期收敛停滞的问题。
标签：差分进化算法；Memetic算法；自适应算子；邻域搜索；多种群1 概述随着信息技术的快速发展以及人们对生命本质的不断探索，越来越多的复杂优化问题得以解决。
但对于具有多极值、非线性等特点的组合优化问题及复杂函数而言，经典优化算法往往显得无能为力。
1995年，美国学者R.Storn和K.Price提出了一种基于群体差异的群智能算法——差分进化算法[1]。
DE算法模拟生物学中随机进化模型，通过种群初始化，交叉、变异、选择等使优势个体得以保留和遗传下去。
DE算法是一种具有全局搜索的群智能优化算法，编解码简单，易建模，具有较强的鲁棒性和全局搜索能力。
目前DE算法是计算智能领域的一个研究热点，毕晓君等[2]将具有稳定倾向性的云模型运用到改善DE算法易早熟和陷入局部极值的缺点。
云模型对DE算法受控参数的自适应调节，提高了约束多目标算法的收敛速度。
通过对外部种群不可行解和可行解建立不同的存储，有效提高了可行解的分布性。
新的变异策略的提出有效提高了算法的全局探索能力。
张雪霞等[3]将种群中个体动态随机的分成多个子群体，通过采用自适应机制对缩放因子F和交叉概率因子CR的调整，实现全局搜索和局部搜索的平衡。
实验表明改进算法具有较高的收敛速度和求解精度。
何大阔等[4]将DE算法较强的全局开发能力与多智能体的优点有机结合，并引入差分算子提高智能体的更新速度，从而保证了种群具有较高的种群多样性。
差分进化算法
和遗传算法一样，差分进化算法也是一种基于现代智能理论的优 化算法，通过群体内个体之间的相互合作与竞争产生的群体智能 来指导优化搜索的方向。该算法的基本思想是：从一个随机产生 的初始种群开始，通过把种群中任意两个个体的向量差与第三个 个体求和来产生新个体，然后将新个体与当代种群中相应的个体 相比较，如果新个体的适应度优于当前个体的适应度，则在下一 代中就用新个体取代旧个体，否则仍保存旧个体。通过不断地进 化，保留优良个体，淘汰劣质个体，引导搜索向最优解逼近。
基本原理
DE算法通过采用浮点矢量进行编码生成种群个体。在DE算法寻优 的过程中，首先，从父代个体间选择两个个体进行向量做差生成 差分矢量；其次，选择另外一个个体与差分矢量求和生成实验个 体；然后，对父代个体与相应的实验个体进行交叉操作，生成新 的子代个体；最后在父代个体和子代个体之间进行选择操作，将 符合要求的个体保存到下一代群体中去。Fra bibliotek控制参数
DE算法主要的控制参数包括：种群规模(NP)、缩放因子(F)和交叉 概率(CR)。 NP主要反映算法中种群信息量的大小，NP值越大种群信息包含的 越丰富，但是带来的后果就是计算量变大，不利于求解。反之， 使种群多样性受到限制，不利于算法求得全局最优解，甚至会导 致搜索停滞。 CR主要反映的是在交叉的过程中，子代与父代、中间变异体之间 交换信息量的大小程度。CR的值越大，信息量交换的程度越大。 反之，如果CR的值偏小，将会使种群的多样性快速减小，不利于 全局寻优。 相对于CR，F对算法性能的影响更大，F主要影响算法的全局寻优 能力。F越小，算法对局部的搜索能力更好，F越大算法越能跳出 局部极小点，但是收敛速度会变慢。此外，F还影响种群的多样性。
进化流程
其具体进化流程如下： (1)确定差分进化算法控制参数，确定适应度函数。差分进化算法 控制参数包括：种群大小NP、缩放因子F与杂交概率CR。 (2)随机产生初始种群。 (3)对初始种群进行评价，即计算初始种群中每个个体的适应度值。 (4)判断是否达到终止条件或进化代数达到最大。若是，则终止进 化，将得到最佳个体作为最优解输出；若否，继续。 (5)进行变异和交叉操作，得到中间种群。 (6)在原种群和中间种群中选择个体，得到新一代种群。 (7)进化代数g=g+1，转步骤(4).
差分进化算法-入门
差分进化算法-入门基本差分进化算法1基本差分进化算法的基本思想DE算法是一种基于实数编码的用于优化函数最小值的进化算法，是在求解有关切比雪夫多项式的问题时提出来的，是基于群体差异的进化计算方法。
它的整体结构类似于遗传算法，一样都存在变异、交叉和选择操作，但是它又不同于遗传算法。
与基本遗传算法的主要区别在于变异操作上，女口：1、传统的遗传算法采用二进制编码，而差分进化算法采用实数编码。
2、在遗传算法中通过两个父代个体的交叉产生两个子个体,而在差分进化算法中通过第两个或几个个体的差分矢量做扰动来产生新个体。
3、在传统的遗传算法中，子代个体以一定概率取代其父代个体，而在差分进化中新产生的个体只有当它比种群中的个体优良时才替换种群中的个体。
变异是DE算法的主要操作，它是基于群体的差异向量来修正各个体的值，其基本原理是通过把种群中两个个体的向量差加权后，按一定的规划与第三个个体求和来产生新个体，然后将新个体与当代种群中某个预先决定的个体相比较，如果新个体的目标值优于与之相比较的个体的目标值，则在下一代中就用新个体取代，否则，旧个体仍保存下来。
差分进化算法其基本思想是：首先由父代个体间的变异操作构成变异个体；接着按一定的概率，父代个体与变异个体之间进行交叉操作，生成一试验个体；然后在父代个体与试验个体之间根据适应度的大小进行贪婪选择操作，保留较优者，实现种群的进化。
2差分进化算法的基本操作设当前进化代数为t,群体规模为NP ,空间维数为D,当前种群为X(t) x；, x?, L , x\T , xn嘉L , X「D为种群中的第i个个体。
在进化过程中，对于每个个体XF 依次进行下面三种操作。
2. 1变异操作对于每个个体x r按下式产生变异个体vr (vri, vr2, L , Vi^)1 ,则Vi：j Xr\j F(Xr\j Xr\j ) j 1, 2, L , D (1其中Xr\(Xr\l, X 匕2,L , Xr\D ) ?丄,Xr\D ) 1和X 唇彳二；,L , Xr3D )是群i ；Xr\ j , X匕j和X匕j分别为个体ri, T2体中随机选择的三个个体，并且ri和□的第j维分量；F为变异因子，一般取值于[0,2] o这样就得到了变异个体vr2. 2交叉操作由变异个体vf 和父代个体x 厂得到试验个体ur (uri, ur2, L , Ui x D )1,则 vrj if rand[O 1] CR or j j_rand if rand[0 t _ …1] CR and j j_rand其中，rand [0, 1]是[0,1]间的随机数；CR 是范用在[0,1]间的常 数，称为交叉因子， CR 值越大，发生交叉的可能性就越大；j _ rand 是在】1,D ]随机选择的 一整数，它保证了对于试验个体iw 至少要从变异个体vr 中获得一个元 素。
差分进化
标准差分进化算法(DE/rand/1/bin)迭代 方式
• 1.初始化 输入进化参数：种群规模N，交叉概率Pc，交叉因子F∈（0,1），进化 代数G，自变量的上下界，随机初始种群： X (0) { X 1 (0),, X N (0)} • 2.评价
计算 f ( X i (t ))
• 3.繁殖重组 对种群中的每个个体 X i (t ) ，随机生成三个互不相同的随机整数
on） 复制（reproducti mutation ） 变异（ DE crossover） 交叉（ select ion ） 选择（
遗传操作
变异(Mutation)
交叉(Crossover)
算法的基本思想： 是从某一随机产生的初始群体开始，然后通过 随机变异，交叉和选择等算子对群体进行演化。 具体如下： 1.利用从种群中随机选取的两个个体的差向量作 为第三个个体的随机变化源，将差向量加权后 按照一定的规则与第三个个体求和而产生变异 个体向量（mutant），该操作称为变异； 2.然后，变异个体与某个预先决定的目标个体 (父代个体)进行参数混合，生成试验个体（trial vector），这一过程称之为交叉； 3.如果试验个体的适应度值优于目标个体的适应 度值，则在下一代中试验个体取代目标个体， 否则目标个体仍保存下来，该操作称为选择
r1 , r2 , r3 {1, 2,, N }
随机整数
jrand {1, 2, , n}
标准差分进化算法(DE/rand/1/bin)迭代 方式
( j) ( j) ( j) X ( t ) F ( X ( t ) X (t )),if rand [0,1] CRor j jrand ( r2 ) ( r3 ) ( r1 ) ( j) U i (t 1) ( j) X (t ),else i
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适 应 度 169 576 64 361
选 择 概 率 0.14 0.49 0.06 0.31
积 累 概 率 0.14 0.63 0.69 1.00
估 计 被 选 中 次 数 1 2 0 1
9
选择-复制 设从区间［0, 1］中产生4个随机数如下: r1=0.450126, r2=0.110347, r3=0.572496, r4=0.98503
10
交叉 设交叉率pc=100%，即S1中的全体染色体都参加交叉运算。设s1’与s2’配 对，s2’与s4’配对。分别交换后两位基因，得新染色体：
s1’’=11001（25）, s2’’=01100（12）, s3’’=11011（27）, s4’’=10000（16） 变异 设变异率pm=0.001。这样，群体S1中共有540.001=0.02位基因可以变异。 0.02位显然不足1位，所以本轮遗传操作不做变异。 现在，我们得到了第二代种群S2：
7
(3) 计算各代种群中的各染色体的适应度, 并进行遗传操作,直到适应度最高 的染色体(该问题中显然为“11111”=31)出现为止。
计算S1中各染色体的适应度、选择概率、积累概率等并列于表4.1中。
8
表1.3.1 第一代种群S1中各染色体的情况
染 色 体
s1=01101 s2=11000 s3=01000 s4=10011
s1=11001（25）, s2=01100（12）, s3=11011（27）, s4=10000（16）
11
表 1.3.2 第二代种群S2中各染色体的情况
染 色 体
s1=11001 s2=01100 s3=11011 s4=10000
适 应 度 625 144 729 256
选 择 概 率 0.36 0.08 0.41 0.15
积 累 概 率 0.36 0.44 0.85 1.00
估 计 被 选 中 次 数 1 0 2 1
12
假设这一轮选择-复制操作中，种群S2中的4个染色体都被选中（因为选择概 率毕竟只是一种几率，所以4个染色体恰好都被选中的情况是存在的），我们得到 群体：
s1’=11001（25）, s2’=01100（12）, s3’=11011（27）, s4’=10000（16）
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种群
适应度
编码
遗传操作
演化 算法 共有 的对 象元 素
选择优秀个 体，复制成 为新的群体
初始化种群；
评价种群适应
2
度
1
决定的参加 交叉的染色 体数，配对 进行交叉操 作，并用产 生的新染色 体代替原染 色体
3
进行变异操 作
得到新的子
4 种群5遗传算法1.3 遗传算法应用举例
例: 利用遗传算法求解区间［0,31］上的二次函数y=x2的最大值。 分析 可以看出,只要能在区间［0,31］中找到函数值最大的点a,则函数y=x2的 最大值也就可以求得。于是, 原问题转化为在区间［0, 31］中寻找能使y取最大值 的点a的问题。显然, 对于这个问题, 任一点x∈［0, 31］都是可能解, 而函数值f(x)= x2也就是衡量x能否为最佳解的一种测度。那么,用遗传算法的眼光来看, 区间［0, 31］就是一个(解)空间,x就是其中的个体对象, 函数值f(x)恰好就可以作为x的适应度 。这样, 只要能给出个体x的适当染色体编码, 该问题就可以用遗传算法来解决。
差分进化算法
1
1.2基本遗传 算法
2.1 DE的来源
1.1GA的基本
1.3 举例和应用
2.2DE的标准算
概念
法
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GA
遗传算法（Genetic Algorithm）它 是由美国的J.Holland教授1975年首 先提出的模拟达尔文生物进化论的 自然选择和遗传学机理的生物进化 过程的计算模型，是一种通过模拟 自然进化过程搜索最优解的方法。 这个过程将导致种群像自然进化一 样的后生代种群比前代更加适应于 环境，末代种群中的最优个体经过 解码（decoding），可以作为问题 近似最优解。
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解 (1) 定义适应度函数,编码染色体。由上面的分析,函数f(x)=x2就可作为空间U上 的适应度函数。显然y=x2是一个单调增函数,其取最大值的点x=31是个整数。另一 方面, 5位二进制数也刚好能表示区间［0, 31］中的全部整数。所以, 我们就仅取 ［0,31］中的整数来作为参加进化的个体,并且用5位二进制数作为个体x的基因型 编码, 即染色体。 (2) 设定种群规模 , 产生初始种群 。我们将种群规模设定为 4,取染色体 s1=01101(13),s2=11000(24),s3=01000(8), s4=10011(19)组成初始种群S1。
按赌轮选择法，染色体s1, s2, s3, s4的被选中次数依次为：1, 2, 0, 1。于是，经复制 得群体：
s1’=11000（24）, s2’=01101（13）, s3’=11000（24）, s4’=10011（19）
可以看出，在第一轮选择中适应度最高的染色体s2被选中两次，因而被复制两 次；而适应度最低的染色体s3一次也没有选中而遭淘汰。
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设这一轮的选择-复制结果为：
s1’=11100（28）, s2’=11100（28）, s3’=11000（24）, s4’=10011（19）
然后，做交叉运算，让s1’与s4’，s2’与s3’ 分别交换后两位基因，得
然后，做交叉运算，让s1’与s2’，s3’与s4’ 分别交换后三位基因，得
s1’’=11100（28）, s2’’=01001（9）, s3’’=11000（24）, s4’’=10011（19）
这一轮仍然不会发生变异。于是，得第三代种群S3：
s1=11100（28）, s2=01001（9）, s3=11000（24）, s4=10011（19）
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表1.3.3 第三代种群S4中各染色体的情况
染 色 体
s1=11100 s2=01001 s3=11000 s4=10011
适 应 度 784 81 576 361
选 择 概 率 0.44 0.04 0.32 0.20
积 累 概 率 0.44 0.48 0.80 1.00
估 计 被 选 中 次 数 2 0 1 1