第5章 瞬态响应和稳态响应分析

5.2 一阶系统
图示为一阶系统：可表示 电路 也表示热系统等。 电路、 图示为一阶系统：可表示RC电路、也表示热系统等。
简化
系统的输入—输出关系为： 系统的输入 输出关系为： 输出关系为
C ( s) 1 = R ( s ) Ts + 1
下面分析该系统对单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位脉冲函数的响应。同时， 下面分析该系统对单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位脉冲函数的响应。同时， 分析过程中，假设初始条件为零。 分析过程中，假设初始条件为零。 注意：具有相同传递函数的所有控制系统，对同一输入信号的响应是相同的。 注意：具有相同传递函数的所有控制系统，对同一输入信号的响应是相同的。 对于任何给定的物理系统，响应的数学表达式具有特定的物理意义。 对于任何给定的物理系统，响应的数学表达式具有特定的物理意义。
信号趋近于0， 信号趋近于 ，即 e(∞) = T 充分大时， 当t充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号的误差等于 。显然，时间常数 越 充分大时 系统跟踪单位斜坡输入信号的误差等于T。显然，时间常数T越 小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差越小。 系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差越小。
5.2 一阶系统
1 T T2 C (s) = 2 − + s s Ts + 1
c(t ) = t − T + Te −t / T
= r (t ) − c(t )
= T (1 − e − t / T )
误差信号函数： 误差信号函数： e(t )
表明： 表明：当t= ∞ 时，
因而， e− t / T = 0，因而，误差
5.2 一阶系统
1、一阶系统的单位阶跃响应 、
单位阶跃响应的函数的拉氏变换为： 单位阶跃响应的函数的拉氏变换为：R ( s ) =
1 ，因此，有 1 1 因此， C ( s) = s Ts + 1 s 1 T 1 1 展成部分分式 C ( s ) = − = − s Ts + 1 s s + 1/ T
传递函数中包含两个极点，称为二阶系统。 传递函数中包含两个极点，称为二阶系统。 二阶系统
5.3 二阶系统
2、二阶系统的阶跃响应 、
由上述系统的闭环传递函数
C ( s) K K/J = 2 = 2 R( s ) Js + Bs + K s + ( B / J ) s + ( K / J )
可得
C ( s) K/J = 2 2 R( s) B B K B B K s + + − − s + − J 2J J 2J 2J 2J
2 ωn C ( s) = 2 2 R( s ) s + 2ζωn s + ωn
5.3 二阶系统
将标准闭环传递函数的特征方程进行因式分解， 将标准闭环传递函数的特征方程进行因式分解，得
ωn2 C (s) = R( s) s + ζωn + ωn ζ 2 − 1 s + ζωn − ωn ζ 2 − 1
基本概念 一阶系统 二阶系统 高阶系统 劳斯稳定判据 积分和微分控制作用对系统性能的影响 单位反馈控制系统中的稳态误差
5.1 基本概念
1、典型试验信号 、
阶跃函数、斜坡函数、加速度函数、脉冲函数、 阶跃函数、斜坡函数、加速度函数、脉冲函数、正弦函数等 简单的时间函数， 简单的时间函数，容易对控制系统进行数学和实验分析 随时间渐变的函数：斜坡函数；突然的扰动量：阶跃函数；冲击输入信号： 随时间渐变的函数：斜坡函数；突然的扰动量：阶跃函数；冲击输入信号： 脉冲函数 利用试验信号，能在同一基础上比较所有系统的性能 利用试验信号，
拉氏反变换
c(t ) = 1 − e− t / T
表明：输出的初始响应为零，稳态响应为 。 表明：输出的初始响应为零，稳态响应为1。 当t=T（一个响应周期）时 （一个响应周期）
c(t ) = 1 − e −t / T = 1 − e −1 = 0.632
即，响应达到了总变化的63.2%。时间常数越小，响应越快。响应速度用斜率 响应达到了总变化的 。时间常数越小，响应越快。 表示，斜率越大，响应越快。 表示，斜率越大，响应越快。
绝对稳定：系统是稳定的还不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动， 绝对稳定：系统是稳定的还不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或 没有输入信号作用，系统的输出保持在某一状态，则系统处于平衡状态。 没有输入信号作用，系统的输出保持在某一状态，则系统处于平衡状态。 如果线性定常系统受到初始条件作用后，其输出量最终能够返回到平衡状态， 如果线性定常系统受到初始条件作用后，其输出量最终能够返回到平衡状态， 系统是稳定的；而输出量无限地偏离其平衡位置，则系统是不稳定的； 系统是稳定的；而输出量无限地偏离其平衡位置，则系统是不稳定的；若输 是不稳定的 出量在平衡位置呈现持续不断的振荡过程，系统处于临界稳定状态。 出量在平衡位置呈现持续不断的振荡过程，系统处于临界稳定状态。 临界稳定状态 相对稳定和稳态误差：一般物理系统包含储能元件，当输入量作用于系统时， 相对稳定和稳态误差：一般物理系统包含储能元件，当输入量作用于系统时， 系统的输出量不能立刻跟踪输入量的变化， 系统的输出量不能立刻跟踪输入量的变化，而是在系统达到稳态前表现为瞬 态响应过程，通常表现为阻尼振荡过程。 态响应过程，通常表现为阻尼振荡过程。 在稳态时，如果系统的输出量与输入量不能完全吻合，则具有稳态误差。 在稳态时，如果系统的输出量与输入量不能完全吻合，则具有稳态误差。它表 示了系统的精确程度。 示了系统的精确程度。 分析控制系统时，需要研究系统的瞬态响应特性，还要研究其稳态特性。 分析控制系统时，需要研究系统的瞬态响应特性，还要研究其稳态特性。
5.3 二阶系统
1、建立一个二阶系统（伺服系统） 、建立一个二阶系统（伺服系统）
图示为一伺服系统： 图示为一伺服系统：由比例控制器和负载 伺服系统 元件（惯性和粘性摩擦元件）组成。 元件（惯性和粘性摩擦元件）组成。 假设要求控制输出位置c与输入位置 假设要求控制输出位置 与输入位置r 与输入位置 相协调，试建立系统的数学模型。 相协调，试建立系统的数学模型。 负载元件的方程
dc dt dc dt
t=0
1 −t /T = e T 1 −t /T = e T
t=0
1 = T =0
t=∞
t=∞
5.2 一阶系统
2、一阶系统的单位斜坡响应 、
单位斜坡响应的函数的拉氏变换为： 单位斜坡响应的函数的拉氏变换为： ( s ) = R 展成部分分式 拉氏反变换
1 ，因此，有 1 1 因此， C ( s ) = s2 Ts + 1 s 2
5.2 一阶系统
4、线性定常系统的重要性 、
系统输入函数 单位斜坡响应函数 单位阶跃响应函数 单位脉冲响应函数 系统输出响应
F (t ) = t 1(t ) = 1
c(t ) = t − T + Te −t / T
c(t ) = 1 − e− t / T
1 −t / T c(t ) = e T
δ (t )
闭环极点为共轭复数， 闭环极点为实数。 若 B 2 − 4 JK < 0 ，闭环极点为共轭复数，若 B 2 − 4 JK ≥ 0 ，闭环极点为实数。
K 引入参数： 引入参数： = ωn 2 J
B = 2ζωn = 2σ J
B B ζ = = Bc 2Βιβλιοθήκη BaiduJK
Bc = 2 JK
因此，将二阶系统写成标准形式： 因此，将二阶系统写成标准形式：
系统对输入信号的响应可通过把系统对原信号响应微分得到。 系统对输入信号的响应可通过把系统对原信号响应微分得到。 系统对原信号积分的响应等于系统对原信号响应的积分。 系统对原信号积分的响应等于系统对原信号响应的积分。 积分常数由零初始条件确定。 积分常数由零初始条件确定。 这是线性系统的一个特性，线性时变系统和非线性系统不具备此特性。 这是线性系统的一个特性，线性时变系统和非线性系统不具备此特性。
硕士研究生基础学位课
现代控制工程
主讲教师: 王新华 主讲教师
北京工业大学机电学院
第5章 瞬态响应和稳态响应分析
在分析和设计控制系统时需要对各控制系统的性能进行比较 规定一些特殊的试验信号， 规定一些特殊的试验信号，比较各种系统对这些输入的响应 典型试验信号的响应特性与实际信号的响应特性具有关联性
内容摘要
3、一阶系统的单位脉冲响应 、
单位脉冲响应的函数的拉氏变换为： 单位脉冲响应的函数的拉氏变换为：
R( s) = 1
因此，有 因此，
C ( s) =
其拉氏反变换
1 Ts + 1
1 −t / T c(t ) = e T
），响应速度很大 当t=0时，系统有一个峰值很高的输出响应（脉冲），响应速度很大；然后输 时 系统有一个峰值很高的输出响应（脉冲），响应速度很大； 出响应迅速减小，响应速度也呈快速下降趋势； 出响应迅速减小，响应速度也呈快速下降趋势；当t= ∞ 时，系统输出响应趋近于 稳态值0。 稳态值 。
2、瞬态响应和稳态响应 、
控制系统的响应由两部分组成： 控制系统的响应由两部分组成：瞬态响应和稳态响应 瞬态响应： 瞬态响应：从初始状态到最终状态的响应过程 稳态响应： 稳态响应：时间趋于无穷大时系统的输出状态
C (t ) = Ctr (t ) + Css (t )
5.1 基本概念
3、绝对稳定、相对稳定、稳态误差 、绝对稳定、相对稳定、
&& && Jc + Bc = T
零初始条件下， 零初始条件下，拉氏变换
Js 2C ( s ) + BsC ( s ) = T ( s )
负载元件的输入与输出传递函数为 整个闭环系统的传递函数为： 整个闭环系统的传递函数为：
C ( s) 1 = T ( s ) s ( Js + B )
C (s) K K/J = 2 = 2 R ( s ) Js + Bs + K s + ( B / J ) s + ( K / J )
ωn2 C (s) = 2 2 R ( s ) s + 2ζωn s + ωn
(
)(
)
闭环极点为共轭复数，且位于左半平面内，为欠阻尼系统， 若 0 < ζ < 1 ，闭环极点为共轭复数，且位于左半平面内，为欠阻尼系统，其瞬 态响应是振荡的。 态响应是振荡的。 系统为临界阻尼系统。 若 ζ = 1 ，系统为临界阻尼系统。 系统为过阻尼系统。 若 ζ > 1 ，系统为过阻尼系统。 瞬态响应为等幅振荡 等幅振荡。 若 ζ = 0 ，瞬态响应为等幅振荡。 求图示系统单位阶跃输入信号的响应： 求图示系统单位阶跃输入信号的响应： 分三种情况分析： 欠阻尼） 分三种情况分析： 0 < ζ < 1 （欠阻尼） 两种阻尼系统的瞬态响应都不振荡。 两种阻尼系统的瞬态响应都不振荡。
dc dt
=
t=0
1 −t /T e T
=
t=0
1 T
dc dt
=
t=∞
1 −t /T e T
=0
t=∞
5.2 一阶系统
在t=0时，斜率为 ，t=∞时，降为零。响应曲线的斜率单调下降。 时 斜率为1/T， 时 降为零。响应曲线的斜率单调下降。 可以看出，经过 ，指数响应曲线从0上升到 可以看出，经过1T，指数响应曲线从 上升到 稳态值的63.2%；经过2T，上升到 ；经过 ，上升到86.5%。当 稳态值的 。 t=3T，4T，5T，响应曲线分别上升到稳态时的 ， ， ， 95%， 98.2%， 99.3%。 95%， 98.2%， 99.3%。 因此， 因此，当t≥4T时，响应曲线将保持稳态值的 时 2%以内。 以内。 以内 虽然只有当t趋于无穷大时，响应才达到稳态。 虽然只有当 趋于无穷大时，响应才达到稳态。 趋于无穷大时 实际计算时，一般以响应曲线达到稳态值的 实际计算时，一般以响应曲线达到稳态值的2% 所需时间， 倍的时间常数T作为适当的响应 所需时间，或4倍的时间常数 作为适当的响应 倍的时间常数 时间估计值。 时间估计值。
ζ =1 ζ >1
（临界阻尼） 临界阻尼） （过阻尼） 过阻尼）
5.3 二阶系统
（1）欠阻尼情况（ 0 < ζ < 1 ） ）欠阻尼情况（
2 ωn C (s) = R( s) s + ζωn + ωn ζ 2 − 1 s + ζωn − ωn ζ 2 − 1
2 ωn C (s) = R( s ) ( s + ζωn + jωd )( s + ζωn − jωd )