第一章 复变函数

1.复变函数可导的充要条件： 当f(z)满足(ⅰ).函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的 偏导数 存在且连续. ∂u ∂u ∂v ∂v , , , ∂x ∂y ∂x ∂y (ⅱ)满足C-R 条件
∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
(1)
(1)式为直角坐标形式. 极坐标形式：
∂v ∂v dv = dx + dy = e x sin ydx + e x cos ydy = d e x sin y ∂x ∂y
方法2全微分法
(
)
v = e x sin y + c, f (z ) = e z + ic.
dv = P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy , (1 )
(d)乘方 zn=ρne inφ , 需注意的问题是幅角具有多值性, 即复数z绕 原点转一圈又回该点,而幅角增加2π,同样转n圈时幅角增加2nπ,一 般我们把幅角在(-π,π)内的值称为幅角的主值,记argz . (e)开方
n
z =
n
ρe
i
ϕ 1 + 2 kπ
n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,关键是开几次根就有几个根.φ1为幅角主值.
v( x, y ) = ∫ P( x, y 0 )dx + ∫ Q( x, y )dy + c
x0 x x y0
dv = e sin ydx + e cos ydy v( x, y ) = ∫ e x cos ydy + c = e x cos y + c
o y
3.若函数f（z）为区域B上的解析函数,则其实部u
1.5 平面标量场
当物理量在空间有一个分布时,在空间每一点 都有一个物理量与之对应,这个物理量就是对 应一个场. • 当物理量是标量时其场为标量场,而当物理 量是矢量时其场为矢量场. • 作为解析函数的应用,我们讨论平面标量场, 对 静电场其电势的等值面（等势面）与电力线 垂直,我们可以用一个解析函数f(z)来描写平面 静电场,此解析函数称为复势.
与虚部v为区域B上的调和函数. 当f(z)在区域B上解析时.其实部u与虚部v的二 阶偏导数连续,且满足C-R条件. ∂u ∂v ∂u ∂v = , = − , (1) ∂x ∂y ∂y ∂x (1)对x求导可得 :
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 0.(2) 2 ∂x ∂y
同样 :
∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0.(3) 2 ∂x ∂y
取极坐标时同样可取两个特殊路径(径向与 法向) 也可得C-R条件: 同样可证充分性： 证:当f(z)的实部和虚部满足偏导数连续和 C-R条件时:
∂u ∂u ∆u = ∆x + ∆y + o(∆x, ∆y) ∂x ∂y ∂v ∂v ∆v = ∆x + ∆y + o(∆x, ∆y) ∂x ∂y
∂u ∂v ∆z + i ∆z ∆f ∆u + i∆v ∂x ∂x = ∂u + i ∂v lim∆z = lim ∆z = lim ∆z ∂x ∂x ∆z→0 ∆z→0 ∆z→0
可得出此极限与路径无关.
1.4 解析函数
若函数f（z）在z0点及其邻域上处处可导, 则称 f（z）在z0点解析.由此可见解析比可导要求要严 得多.当f(z)在区域B上每一点都解析时,称f(z)为区 域B上的解析函数. 解析函数是一类具有特殊性质的复变函数,在 物理学及其他学科中有着广泛且重要的用途. 解析函数的几个重要的性质： 1。若f(z)在区域B上解析时,其实部u(x,y)=C1(等值 线) 与虚部v(x,y)=C2,(C1,C2 为常数)为B上的正交 ∂u ∂v ∂u ∂v 曲线族. =− ∂x ∂x ∂y ∂y 由C-R条件两边相乘可得:
∂u ∂v ∂u ∂v + =0 ∂x ∂x ∂y ∂y
等价二 维 ∇ u ⋅ ∇ v = 0
这相当于u=常数与v=常数是互相正交的两曲线族. 2. 解析函数的实部与虚部不是相互独立的,它们通过C-R 相联,故可以由解析函数的实部u (或虚部v )来求出解析函 数f(z). 己知u(或v)求f(z)的方法主要有3种: (1)直接积分法,(2)凑全微分法, (3)路径积分法 . (1)由C-R条件 ∂ u ∂v = ∂x ∂y 直接积分. ∂u ∂v = − ∂y ∂x 己知u就能求出v与f(z) . (2)由全微分du=
z → z0
1.3 导数
1. 导数定义: 设 函数 f（z）是区域B上的单值函 数,若在B上的某点z,极限 lim ∆f ( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z ∆z ∆z →0 ∆z →0 存在,称此极限为f（z） df 或f ' ( z ) 在z点的导数.记为 dz 由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定 义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数 情况.例如: d n d z n −1 , z = nz e = ez, dz dz d d sin z = cos z , cos z = − sin z dz dz d dF d ω 复合函数 F (ω ) = dz d ω dz
由上式可看出加法满足交换律与结合律. 当定义了 –z 时,减法也自然有了. (b)乘法 :z1z2=(x1x2-y1y2)+i( x1y2+x2y1) (4) (c)除法:
z1 x x + y 1 y 2 + i (x 2 y 1 − x 1 y 2 ) = 1 2 2 2 z2 x2 + y2
对乘除法用指数形式运算方便. z1z2=ρ1ρ 2e i(φ1+φ2) , z1 / z2 = ρ1 / ρ 2e i(φ1-φ2)
外点: 当z0及其邻域均不属于点集E时,则称z0 为点集E的外点. • 境界点: 当z0及其邻域有部分属于点集E,又有 另外一部分不属于点集E时,则称z0为点集E的境 界点. 境界点的全体称为境界线. • 需要注意的是点集E一般并不一定构成区域,只 有当点集E内的点连续变时才构成区域. 在复变函数范围内一般来说区域满足下列两条 件: • (1)全由内点组成; (2)具有连通性.
第一章 复变函数
• 1.1复数定义与复数运算 • (一)复数的定义: z=x+iy (1) ,其中x,y为实数,i 为 虚数单位,i2=-1 • 上式为复数的代数式(也是其直角坐标式), • x和y 分别为复数的实部与虚部,记为Rez 和Imz . • 理解上复数可看成是复数平面上的一点或一个向 量. • 复数的极坐标与指数表示:z=ρ(cosφ+isinφ) (2), • z=ρe iφ (3)(其中ρ为复数的模, φ为幅角记为Argz) • (二)复数的运算 • 设两个复数z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , • z1 + z2的定义为: (a)z1 + z2 =(x1 + x2)+i(y1+y2)(3)
所以满足上述两条件的区域是开区域,不包括 境界线.由此我们知道区域是一类特殊的点集. 当 需要考虑境界线时(即闭区域问题) , 函数的定义 域大于该闭区域. 用复数表示区域: 例1: | z-a | <R 表示以a点 : 1: a 为圆心,半径为R的圆内的所有点. (三) 初等函数 (1)多项式 : a0+a1z+a2z2+a3z3＋……＋ anzn… (2)有理分式:
∂ u dx ∂ x + ∂ u dy ∂ y
当v己知时由C-R条件就能知道du,并能求出u, 进一步可得 f(z). (3）由全微分取路径积分当己知v(或u)求出u(或v)
下面我们通过一个例题来说明: 例1 己知解析函数f(z)的实部u(x,y)= 解:方法1直接积分法;
e x cos y
∂v ∂u x ∂v ∂u x 由C − R条条件 = = e cos y, (1) = − = e sin y, (2) ∂y ∂x ∂x ∂y
1 ∂v ∂u = ∂ρ ρ ∂ϕ ∂u ∂v = −ρ ∂ϕ ∂ρ
(2)
证:1.必要性： ∆f 因为可导条件是极限 lim 0 ∆ z 存在, ∆z→ 而△z趋于零可沿任意方向、任意路径. 我们取两条特殊路径即沿平行x轴与y轴,沿x轴 时△z=△ x, （此时△y=0)沿y轴时△z=i△y.
沿x 轴 沿y 轴
(2)与 (3)为二维Laplace ,满足此方程的函数为调和函数 . 方程
初等函数的重要性质： 初等函数在定义域内连续可导,由 此我们也可知道对初等函数其不可 导处一定是不在定义域内. 函数不可导的点称为函数的奇点. . 初等函数的奇点一定在定义域不存 在的点.例如对有理分式,其分母为零 处为奇点. 1 例2 f ( z ) = z − a 奇点在z=a.除了 z=a点外,f(z)在整个复平面上解析.
(f)复数共轭记为z*=x-iy=ρe –iφ .. zz*= ρ2 (三)无限远点: 对复变数z=x+iy, 当ρ→∞时就是z趋于无 穷运点.引入复数球,使复数球的s极与复数平面的原点 相切,这时对于复数平面上的任意一点A,它与复数球的 N极以直线相联与复数球面交于面上一点A′ ,这样就建 立了复数平面上的点与复数球面上点之间的一一对应 关系.当A不管以什么方式趋于无穷大时,其对应的A′都 趋于N极,因此可把平面上无限远看成一点.
(1)积分：v= e x sin y + c(x), (3) (2)积分得v= e x sin y + c1 ( y), (4)比较 (3)得 : c(x) = c1 ( y ) =常数 = c v(x, y ) = e x sin y + c, f (z ) = u + iv = e x (cos x + i sin y ) + ic = e z + ic
积分与路径无ห้องสมุดไป่ตู้时
,
常取的路径为取的路 ( x0 , y 0 )出发，沿平行x轴 到 ( x, y 0 ),再由 ( x, y 0 )沿平行y轴平行y ( x, y )
v( x, y ) − v( xo , y 0 ) = ∫ P( x, y 0 )dx + ∫ Q(x, y )dy
x0 x y y0 x y
lim
∆z → 0
lim
∆z → 0
∆f = ∆z ∆f = ∆z
lim
∆x → 0
lim
∆y → 0
∆ u + i∆ v ∂u ∂v = +i ∆x ∂x ∂x ∂u ∆ u + i∆ v ∂v −i = i∆ y ∂y ∂y
此两极限相等就得C-R条件, ∂ u
∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v = − ∂y ∂x
z s = e s ln z
(三) 函数的极限与连续:
• 从上面可知一般 复变函数总是和一对二元变 量(x,y)相连. f (z)=u(x,y)+iv(x,y),其极限与连续与二元函数 相同.
当 lim f (z )存在且等于f (z0 )时 , 称f (z )在z0连续
• 所以当f(z)在z0点连续时, 其实部u(x,y)与虚部 • V(x,y)在z0点(即x0,y0)也是连续的.即当f(z)在z0 点连续时其充要条件是 其实部u(x,y)与虚部 • V(x,y)在z0点(即x0,y0)也是连续的
a 0 + a1 z + a 2 z 2 + ......... + a n z n b0 + b1 z + b 2 z 2 + .......... + b m z m
(3) 根式: n z − a (4) 指数: ez = ex+iy = exeiy = ex (cosy + i sin y) 有了指数定义,那末三角函数 sinz和cosz , 与chz, shz都可以用指数来表示. 需要说明的是指数ez是周期函数,其周期 2лi,而sinz和cosz在复变函数中也不是 有界函数. (5)对数: Lnz=Ln|z|+iArgz 所有基本初等函数的有限次加减乘除得 π 出的函数仍为初等函数. − +2kπ (6) zs = eslnz , 例如求 ii = eilni = e 2
N A′. A. S
1.2 复变函数 (一)复变函数的定义 当在复数平面上的一个点集E,对于E的每一点, 按照 一定的规律,有一个或多个复数值ω与之相对 应, 则ω为z的函数——复变函数.z称为复变函数ω 的宗量, 定义域为E, 记为: ω=f (z), z∈E , E, : z E (二) 一些基本概念 邻域: 对于复数z0 ,以z0 为圆心,以任意小的正 实数ε为半径 的圆内所有点的集合称为z0的邻域. 内点: 当z0 及其邻域均属于点集E时,称z0为点集 E的内点.