考研数学《线性代数》考点知识点总结

n
aki Akj
k 1
Dij
D, 0,
当i 当i
j, n
j;
或
k 1
aik
Ajk
Dij
D, 0,
当i 当i
j, j; 其中ij
1, 0,
当i j, 当i j.
1 1 1 1
范德蒙德 行列式：
x1 Dn x12
x2 x22
x3 x32
x n 1 1
x n 1 2
x n 1 3
xn xn2 ＝ (xi x j ) ．证明用数学归纳法．
A
0
A2
0
A11
，若
A
0 ，则 A1
As
0
A
1 2
0
A
1 s
性质： A A1 A2 As ，且 Ai 0 (i 1,2, , s) ，则 A 0 ．
行向量：
α1T
A mn
α
T 2
，
α
T m
αiT (ai1, ai2, , ain )
列向量：
A (a1, a2 , , an )
线性方程组有解，称它相容；无解，就称 它不相容．
（iii）有无限多解的充分必要条件是 R( A) R( A, b) n ．
线性方程组 Ax b 有解的充要条件是 R(A) R(A, b) ．
n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是 R(A) n ．
矩阵方程 AX B 有解的充要条件是 R(A) R(A, B) ．
定理 2： n 阶行列式可定义为 D (1)t a a p11 p2 2 apnn = (1)t a1p1 a2 p2 anpn ．
1．D=DT，DT 为 D 转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变)
2．互换行列式的两行(列)，行列式变号．
推论：两行(列)完全相同的行列式等于零．
记作： ri rj （ ci c j ） D D ．
An1
An2
Ann
Aij 为行列式 A 中对应元素的
代数余子式．
AA* A*A A E
方阵行列式的运算规律：
1． AT A ； 2． A n A ； 3． AB A B ， A A1 1．
逆矩阵： 若 AB BA E ，则 A 可逆，且称 B 为 A 的逆矩阵，记 B = A -1， A 的逆阵是唯一的．
定理 1： 若矩阵 A 可逆，则 A 0 ．
定理 2：
若 A 0 ，则矩阵 A 可逆，且 A1 1 A* ． A
奇异矩阵： 当 A 0 时， A 称为奇异矩阵． 矩阵 A 可逆的充要条件： A 0 ，即矩阵 A 是非奇异矩阵。
运算规律： 1． (A1)1 A ；2． (A)1 1 A1 ；3． (AB)1 B1A1 ；4． (AT )1 (A1)T ．
a1 j
aj
a2 j
amj
1α1T
Λ m A mn
2α
T 2
mα
T m
AΛn (1a1, 2a2 , , nan )
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
若 ATA 0， 则A0．
矩阵的初等变换： 初等行(列)变换：1． ri rj ( ci cj )；2． ri k ( ci k )（ k 0 ）；3． ri krj ( ci kcj )． 矩阵间等价： 行等价： A ~r B ；列等价： A ~c B ；等价： A ~ B ．（矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B）
·
·
·
Y
CA1
A C
c ~
E CA1
或Y
T
(CA1 )T
( AT )1 C T
r
( AT ,C T ) ~(E, ( AT )1C T )
矩阵的 秩：
定义： 矩阵秩的
性质：
定理 4：
定理 5： 定理 6： 定理 7： 定理 8： 定理 9：
标准型 F 中非零行的行数 r，记 R(A)．且 r+1 阶子 矩阵 A 的 取 A 中 k 行与 k 列交叉处的 k2 个元素且
矩阵转置： 若 Α (aij ) ，则 ΑT (a ji ) (A B)T AT BT ，(AB)T BTAT 若 A AT ， A 为对称阵
方阵的行列式： n 阶方阵 A 元素构成的行列式，记 A 或 det A ．
A11 A21
伴随矩阵：
A*
A12 A1n
A22 A2n
t 1
t 为奇数奇排列， t 为偶数偶排 列， t 0 标准排列。
n 阶行列 式：
a11 a12
D
det(aij )
a21
a22
a1n
a2n
= (1)t a1p1 a2 p2
anpn
t 为列标排列的逆序数．
an1 an2 ann
定理 1： 排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性 推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数
注：任何 n 阶行列式总能利用行运算 ri+krj 化为上(下)三角行列式．
对角行列式
上 D（下 DT）三角形行列式
1 2
0
0
1
12 n ，
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
a11 D a21 a22
0 a11a22 ann
0
n
n
0
an1 an2 ann
大学数学
a11 若对 D ak1 c11 ck1
设 AB C ，则 R(C) min{R(A), R(B)}．
矩阵方程 Amn X nl O 只有零解的充要条件是 R(A) n ．
第四章 向量组的线性相关性
注：列向量用黑体小写字母 a 、 b 、 α 、 β 等表示，行向量则用 aT 、 bT 、 αT 、 βT 等表示，若无指明均当列向量．
ni j1
x n 1
n
克拉默法 则：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
设方程组
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2 , ，若
D
an1x1 an2 x2 ann xn bn
a11 an1
a1n 0 ，则方程组有惟一解： ann
x1
D1 D
, x2
D2 D
大学数学
行阶梯型矩阵： 阶梯线下为零，一行一台阶，竖线后非零元。 行最简形矩阵：竖线后非零元为 1，同列其它元为 0．
标准型： 初等矩阵：
F
Er 0
0 0 mn
或
F
Er
矩阵 Amn 经初等变换总能化为标准型 F ．
等价类：所有等价矩阵组成的集合，标准型为其中形状最简单矩阵。
单位矩阵 E 经一次初等变换所得矩阵 E(f)（f 为变换规则）：
二元线性 方程组：
aa1211xx
a12 y a22 y
b1 b2
第一章 行列式
D a11 a21
a12 a22
， D1
b1 b2
a12 a22
， D2
a11 a21
b1 b2
x D1 ， y D2
D
D
排列的逆 序数：
n
t ti （ ti 为排列 p1 p2 pn 中大于 pi 且排于 pi 前的元素个数）
第二章 矩阵及其运算
n 阶单位矩阵(单位阵)：
对角矩阵(对角阵)：
纯量阵：
1 0 0
E
0 0
1 0
0 1
EA AE A ．
λ1 0 0
Λ
0 0
λ2 0
0 λn
另可记作 Λ diag(1,2, ,n ) ．
λ 0 0
E
0 0
λ 0
0 λ
(E)A A ， A(E) A ．
⑤max{R(A)，R(B)}≤R(A，B)≤R(A)+R(B)，特例，当 B=b 为列向量时，有 R(A)≤R(A，b)≤R(A)+1；
⑥R(A+B)≤R(A)+R(B)； ⑦R(AB)≤min{R(A)，R(B)}； ⑧若 Am×nBn×l=0，则 R(A)+R(B)≤n．
n 元线性方程组 Ax b （i）无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b) ； （ii）有惟一解的充分必要条件是 R( A) R( A, b) n ；
1．E(i, j) ：ri rj ( ci cj )；2．E (i(k )) ：ri k ( ci k （) k 0 ）；3．E(ij(k)) ：ri krj ( kci cj )．
定理 1： 定理 2：
重要性质：
矩阵 A 初等行变换，初等矩阵左乘 E(f)A；初等列变换，初等矩阵右乘 AE(f)．
2n
余子式： n 阶行列式中把 aij 所在的第 i 行和第 j 列去掉后，余下 n-1 阶行列式． 代数余子式： Aij (1)i j Mij
引理： n 阶行列式 D 中，若第 i 行所有元素除 aij 外都为零，则有 D aij Aij ．
定理 3： (代数余子 式性质)
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和． 推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零．
方阵 A 可逆的充要条件：存在有限个初等矩阵 E1(f)。E2(f)，…，El(f)，使 A=E1(f)E2(f)…El(f)．
推论 1：方阵 A 可逆 A ~r E ． 推论 2： A ~ B 存在可逆矩阵 P 与 Q，使 PAQ=B．
方阵 A 可逆，则(A，E)～r (E，·A-1)． (A，B)～r (E，A-1B)， Ax b ，x=A-1b (A，b)～r (E，x)
矩阵与矩 阵相乘：
若 Α (aij ) 是一个 m s 矩阵， B (bij ) 是一个 s n 矩阵，且 C AB ，则 C (cij ) 是一个 mn 矩阵，
大学数学
且 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj (i 1,2, , m ; j 1,2, , n) ．若 AB BA ，称 A 与 B 是可交换的．
( A) P( Λ)P 1 ．
( A) diag((1),(2 ), ,(n )) ．
加减相乘与矩阵相同。
பைடு நூலகம்
分块矩阵 的运算规 律：
A11 若A
A
s1
A1r ，
A sr
A1T1 则 AT
A
T s1
A1Tr
A
T sr
分块对角矩阵：（其中 A 以及 Ai 均为方阵）
A1
,
, xn
Dn D
，其中 D j
a11
a1, j1 b1 a1, j1
a1n
( j 1,2, , n) ．
an1 an, j1 bn an, j1 ann
定理 4： 若上线性方程组的系数行列式 D 0 ，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则 D 0 ．
定理 5： 若齐次线性方程组(bn=0)的系数行列式 D 0 ，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则 D 0 ．
式全等于零，r 阶非零子式称 A 的最高阶非零子式。 k 阶子式： 不改变对应位置组成的 k 阶行列式。
零矩阵的秩为 0；满秩矩阵（可逆矩阵），降秩矩阵（不可逆即奇异矩阵）。
①0≤R(Am×n)≤min{m，n}； ②R(AT)=R(A)； ③若 A ~ B ，则 R(A)=R(B)； ④若 P、Q 可逆，则 R(PAQ)=R(A)；
a1i a1n a2i a2n
an1 an2 (ani ani ) ann
an1 an2 ani ann an1 an2 ani ann
上式为列变换，行变换同样成立．
6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
记作： ci ci kcj ( ri ri krj )， D 不变．
则有 D=D1D2．
a1k akk c1k b11 ckk bk1
a11
D1 det(aij )
设
b1k
ak1 b11
D2 det(bij )
bkk
bn1
a1k
akk ， b1n
bnn
a
b
ab
若 2n 阶行列式 D2n
cd
，
有 D2n=(ad-bc)n．
c d
记作： ri rj （ ci c j ） D D 0 ．
3．行列式乘以 k 等于某行(列)所有元素都乘以 k． 推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面．
记作： kD ri k （ kD ci k ）．
记作： kD ri k （ kD ci k ）．
行列式的 性质：
矩阵 A 的 m 次多项式： (A) a0E a1A a1A2 amAm (A) f (A) f (A)(A) ，多项式可相乘或分解因式
1．若 A PΛP 1，则 Ak PΛk P1 ， 2． Λ diag(1, 2 , , n ) （对角阵），则 Λk diag(1k , k2, , kn ) ,
4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作： rj ri k （ cj ci k ） D 0 ．
a11 a12 5． D a21 a22
(a1i a1i ) a1n
a11 a12
(a2i a2i ) a2n D a21 a22
a1i a1n a11 a12 a2i a2n a21 a22