二次函数综合
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（2）∠ADC=900，求二次函数解析式
解（1）由 x2 4x 5 0 得
x 5或x 1
由题意得： A（-5，0),B(1，0)
可设抛物线解析式为
y ax 5x 1
= ax2 4ax 5a ax 22 9a
∴顶点D(-2，-9a）
又当x=0时，y=-5a，∴C(0，-5a）
(0,3) Q
∴
3=n
∴
m=1
(-3,0)
0=-3m+n
n=3
(1,0)
∴y=x+3
∴当x=-1时，y=2 ∴Q(-1，2)
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ，问在对称 轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若 存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
X=-1
1, 10 , 1, 10
(0,3)
（-1,6）
1, 5 3
(-3,0)
(1,0)
解设E (m,-m²-2m+3 ) （m﹤0） 四边形BOCE面积为s
则 s 1 m m2 2m 3 3 1 3 m m2 2m 3
∵-
3
23 2
m2
9 2
m
9 2
2
3 m 2
2 2
∴存在点P
1 2
,5,
或
3 2
,5
使得△PBE面积等于15
已知二次函数 y ax2 bx c （a﹥0） 的图像
x 与x轴交于A
x1,0 ,B x2 ,0
(
﹤
1
x2
)
x , x 两点，与y轴交于点C, 1 2 是方程
x2 4x 5 0 的两根
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值
依题意画出图形，则OA=5，OC=1，AB=6，OC=5a
过D作DE⊥y轴于E，则DE=2，OE=9a，CE=OE-OC=4a
∴S△ACD=S梯形ABED-S△AOC-S△CDE
1 DE OA BE 1 OA OC 1 CE DE
2
2
2
=15a
又S△ABC= 1 AB OC 1 6 5a =15a
S△ABC为8. （1）求这个二次函数的解析式；（2）若抛 物线的顶点为D，直线CD交 x 轴于E. 则x 轴 上方的抛
物线上是否存在点P ，使 S△PBE=15 ？
yD
C
E
AO
Bx
解（1）∵ A1,0, B3,0
∴OA=1，OB=3，AB=OA+OB=4
∵S△ABC ∴OC=4
1 AB• OC 1 4OC 8
2
2
∴C(0，4)
∵抛物线 y ax2 bx c
abc 0
∴ 9a 3b c 0 解之得
c4
过点A,B,C
a4 3
b8 3
c4
y 4 x2 8 x 4 33
∵
b 1, 4ac b2 16
2a
4a 3
∴D点坐标是
设直线CD解析式y=kx+n，∴
4=n
k n 16
解之得
15 、如图①， 已知抛物线 y=ax²+bx+3
（a≠0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与 y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 △QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在， 请说明理由. (3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M, 问在对称轴上是否 存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出 所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、 CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐 标．
3 2
2
63 8
— ﹤0
2
∴当 m 3 , s有最大值 63
2
8
E (0,3)
又 m2 2m 3 9 3 3 15
4
4
∴ E( 3 ,15) 24
(-3,0)
F
(1,0)
例4 已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点
A（－1, 0）和B（3，0），与 y 轴交于点C ，C在 y 轴的正半轴上，
a2 1
∵a﹥0
6
a
6
6
y 6 x 5x 1 6 x2 2 6 5 6
6
6
36
k4 3
∴ y 4x4
3
n4
3
1, 16 3
Leabharlann Baidu
当y=0时，x=-3 ∴E(-3，0∴) ∴BE=OE+OB=3+3=6
设P点坐标为(h,k)由题可知
S△PBE=1∕2BE×K=15，∴K=5
∵点P在抛物线上
∴ 5 4 h2 8 h 4 33
h1
1 2
.
,
h2
3 2
∴点P坐标为 1 ,5, 或 3 ,5
2
2
： ∴S△ABC：S△ACD=1
1
(2)设对称轴交x轴于F，则AF=3,DF=9a
在Rt△ADF中，AD2=AF2+DF2=9+81a2 在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=25+25a2
在Rt△CDE中。CD2=DE2+CE2=4+16a2
∵∠ADC=900，∴AC2=AD2+CD2
25 25a2 9 81a2 4 16a2
解∵抛物线y=ax2+bx+c过点A,B
0=a+b+3 ∴
0=9a-3b+3
解之得
a=-1 b=-2
y x2 2x 3
解：存在∵当x=0时，y=3 ∴C（0，3）
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4
∴抛物线对称轴是x=-1
连接BC与直线x=-1的交点就是 所求的点Q
设直线BC的解析式为y=mx+n
解（1）由 x2 4x 5 0 得
x 5或x 1
由题意得： A（-5，0),B(1，0)
可设抛物线解析式为
y ax 5x 1
= ax2 4ax 5a ax 22 9a
∴顶点D(-2，-9a）
又当x=0时，y=-5a，∴C(0，-5a）
(0,3) Q
∴
3=n
∴
m=1
(-3,0)
0=-3m+n
n=3
(1,0)
∴y=x+3
∴当x=-1时，y=2 ∴Q(-1，2)
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ，问在对称 轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若 存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
X=-1
1, 10 , 1, 10
(0,3)
（-1,6）
1, 5 3
(-3,0)
(1,0)
解设E (m,-m²-2m+3 ) （m﹤0） 四边形BOCE面积为s
则 s 1 m m2 2m 3 3 1 3 m m2 2m 3
∵-
3
23 2
m2
9 2
m
9 2
2
3 m 2
2 2
∴存在点P
1 2
,5,
或
3 2
,5
使得△PBE面积等于15
已知二次函数 y ax2 bx c （a﹥0） 的图像
x 与x轴交于A
x1,0 ,B x2 ,0
(
﹤
1
x2
)
x , x 两点，与y轴交于点C, 1 2 是方程
x2 4x 5 0 的两根
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值
依题意画出图形，则OA=5，OC=1，AB=6，OC=5a
过D作DE⊥y轴于E，则DE=2，OE=9a，CE=OE-OC=4a
∴S△ACD=S梯形ABED-S△AOC-S△CDE
1 DE OA BE 1 OA OC 1 CE DE
2
2
2
=15a
又S△ABC= 1 AB OC 1 6 5a =15a
S△ABC为8. （1）求这个二次函数的解析式；（2）若抛 物线的顶点为D，直线CD交 x 轴于E. 则x 轴 上方的抛
物线上是否存在点P ，使 S△PBE=15 ？
yD
C
E
AO
Bx
解（1）∵ A1,0, B3,0
∴OA=1，OB=3，AB=OA+OB=4
∵S△ABC ∴OC=4
1 AB• OC 1 4OC 8
2
2
∴C(0，4)
∵抛物线 y ax2 bx c
abc 0
∴ 9a 3b c 0 解之得
c4
过点A,B,C
a4 3
b8 3
c4
y 4 x2 8 x 4 33
∵
b 1, 4ac b2 16
2a
4a 3
∴D点坐标是
设直线CD解析式y=kx+n，∴
4=n
k n 16
解之得
15 、如图①， 已知抛物线 y=ax²+bx+3
（a≠0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与 y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 △QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在， 请说明理由. (3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M, 问在对称轴上是否 存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出 所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、 CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐 标．
3 2
2
63 8
— ﹤0
2
∴当 m 3 , s有最大值 63
2
8
E (0,3)
又 m2 2m 3 9 3 3 15
4
4
∴ E( 3 ,15) 24
(-3,0)
F
(1,0)
例4 已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点
A（－1, 0）和B（3，0），与 y 轴交于点C ，C在 y 轴的正半轴上，
a2 1
∵a﹥0
6
a
6
6
y 6 x 5x 1 6 x2 2 6 5 6
6
6
36
k4 3
∴ y 4x4
3
n4
3
1, 16 3
Leabharlann Baidu
当y=0时，x=-3 ∴E(-3，0∴) ∴BE=OE+OB=3+3=6
设P点坐标为(h,k)由题可知
S△PBE=1∕2BE×K=15，∴K=5
∵点P在抛物线上
∴ 5 4 h2 8 h 4 33
h1
1 2
.
,
h2
3 2
∴点P坐标为 1 ,5, 或 3 ,5
2
2
： ∴S△ABC：S△ACD=1
1
(2)设对称轴交x轴于F，则AF=3,DF=9a
在Rt△ADF中，AD2=AF2+DF2=9+81a2 在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=25+25a2
在Rt△CDE中。CD2=DE2+CE2=4+16a2
∵∠ADC=900，∴AC2=AD2+CD2
25 25a2 9 81a2 4 16a2
解∵抛物线y=ax2+bx+c过点A,B
0=a+b+3 ∴
0=9a-3b+3
解之得
a=-1 b=-2
y x2 2x 3
解：存在∵当x=0时，y=3 ∴C（0，3）
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4
∴抛物线对称轴是x=-1
连接BC与直线x=-1的交点就是 所求的点Q
设直线BC的解析式为y=mx+n