一阶常系数线性齐次微分方程组的求解

一阶常系数线性齐次微分方程组的求解

【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P 0(1, 0)处. 如果知道虫子在点P (x , y )处沿x 轴正向的速率为4x - 5y , 沿y 轴正向的速率为2x - 3y . 如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程?

图31 虫子爬行的轨迹 【模型假设】设t 时刻虫子所处位置的坐标为(x (t ), y (t )).

【模型构成】由已知条件和上述假设可知

d 45,d d 23,d x x y t y x y t

⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩而且(x (0), y (0)) = (1, 0). 现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程.

【模型求解】令A =4523-⎛⎫ ⎪-⎝⎭

, 则|λE -A | =4523λλ--+= (λ+1)(λ-2). 可见A 的特征值为λ1 = -1, λ2 = 2.

(-E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ1 = (1, 1)T ;

(2E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ2 = (5, 2)T .

令P = (ξ1, ξ2), 则P -1AP =1002-⎛⎫ ⎪⎝⎭

. 记X =x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, Y =u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭

, 并且作线性变换X = PY , 则Y = P -1X , d d t Y = P -1d d t X = P -1AX = P -1APY =1002-⎛⎫ ⎪⎝⎭

Y , 即

d d d d u t v t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1002-⎛⎫ ⎪⎝⎭u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭

, 故u = c 1e -t , v = c 2e 2t , 即Y =122t t c e c e -⎛⎫ ⎪⎝⎭

. 因而 12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭

= Y |t =0 = P -1X |t =0 =2/35/31/31/3-⎛⎫ ⎪-⎝⎭10⎛⎫ ⎪⎝⎭=2/31/3-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 于是

x

y

O 1 何去何从?

Y =22313t t e e -⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, X = PY =1512⎛⎫ ⎪⎝⎭22313t t e e -⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=222533223

3t t t t e e e e --⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭. 这就是说, 虫子爬行的轨迹的参数方程为2225,3322.33t t t t x e e y e e --⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩

如果在Matlab 命令窗口输入以下命令

>>ezplot('-2/3*exp(-t)+5/3*exp(2*t)','-2/3*exp(-t)+2/3*exp(2*t)',[0,1])

>> grid on;

>> axis([0, 12, 0, 5])

Matlab 执行后得

图32 Matlab 绘制的虫子爬行轨迹 【模型分析】从图32可以看出虫子爬行的轨迹接近一条直线.

Matlab 实验题

一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P 0(0, 1)处. 如果知道虫子在点P (x , y )处沿x 轴正向的速率为x + y , 沿y 轴正向的速率为2x - y . 求虫子爬行的轨迹的参数方程, 并绘制虫子爬行的轨迹.