深圳中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)

∴ ∠ BAD=2∠ DAC， ∵ ∠ COF=2∠ DAC， ∴ ∠ BAD=∠ COF； （3）过 O 作 OG⊥AB 于 G，设 CF=x，
∵ tan∠ CAF= 1 = CF ， 2 AF
∴ AF=2x， ∵ OC=OA，由（2）得：∠ COF=∠ OAG， ∵ ∠ OFC=∠ AGO=90°，
【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3． 【解析】 试题分析：（1）先判断出∠ OCF+∠ CFO=90°，再判断出∠ OCF=∠ ODF，即可得出结论； （2）先判断出∠ BDE=∠ A，进而得出△ EBD∽ △ EDA，得出 AE=2DE，DE=2BE，即可得出结 论；
（3）设 BE=x，则 DE=EF=2x，AB=3x，半径 OD= 3 x，进而得出 OE=1+2x，最后用勾股定理 2
∵ BA′与⊙O 相切，∴ OB⊥A′B．∴ ∠ OBA′=90°． ∵ ∠ OBH=30°，∴ ∠ ABA′=120°． ∴ ∠ A′BP=∠ ABP=60°．
∴ ∠ OBP=30°．∴ OG= 1 OB=1．∴ BG= 3 ． 2
∵ OG⊥BP，∴ BG=PG= 3 ．
∴ BP=2 3 ．∴ 折痕的长为 2 3
2．如图，已知△ ABC 内接于⊙O，BC 交直径 AD 于点 E，过点 C 作 AD 的垂线交 AB 的延长
线于点 G，垂足为 F．连接 OC．
（1）若∠ G=48°，求∠ ACB 的度数；
（2）若 AB=AE，求证：∠ BAD=∠ COF；
（3）在（2）的条件下，连接 OB，设△ AOB 的面积为 S1，△ ACF 的面积为 S2．若
5．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠ BAC，交⊙O 于点 D，DE⊥AC，交 AC 的延长线于点 E． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AE＝8，⊙O 的半径为 5，求 DE 的长．
当
O′在
PB
上时，连接
MO′，则可知
NO′=
1 2
MN，
∴ ∠ O′MN=0°
∴ ∠ MNO′=60°，
∴ α=30°，
故答案为：45°；30°．
（3）∵ 点 P，M 不重合，∴ α＞0，
由（2）可知当 α 增大到 30°时，点 O′在半圆上，
∴ 当 0°＜α＜30°时点 O′在半圆内，线段 NO′与半圆只有一个公共点 B； 当 α 增大到 45°时 NA′与半圆相切，即线段 NO′与半圆只有一个公共点 B． 当 α 继续增大时，点 P 逐渐靠近点 N，但是点 P，N 不重合， ∴ α＜90°， ∴ 当 45°≤α＜90°线段 BO′与半圆只有一个公共点 B． 综上所述 0°＜α＜30°或 45°≤α＜90°． 【点睛】 本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于 斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【答案】发现：（1）1，60°；（2）2 3 ；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；
30°；（3）0°＜α＜30°或 45°≤α＜90°． 【解析】 【分析】 发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点 O 到 AB 的距离；利用锐角三角函数的定 义及轴对称性就可求出∠ ABA′． （2）根据切线的性质得到∠ OBA′=90°，从而得到∠ ABA′=120°，就可求出∠ ABP，进而求出 ∠ OBP=30°．过点 O 作 OG⊥BP，垂足为 G，容易求出 OG、BG 的长，根据垂径定理就可求 出折痕的长． 拓展：（1）过 A'、O 作 A'H⊥MN 于点 H，OD⊥A'C 于点 D．用含 30°角的直角三角形的性
拓展：（1）相切． 分别过 A'、O 作 A'H⊥MN 于点 H，OD⊥A'C 于点 D．如图 3 所示， ∵ A'C∥ MN ∴ 四边形 A'HOD 是矩形 ∴ A'H=O ∵ α=15°∴ ∠ A'NH=30
∴ OD=A'H= 1 A'N= 1 MN=2 22
∴ A'C 与半圆 （2）当 NA′与半圆 O 相切时，则 ON⊥NA′， ∴ ∠ ONA′=2α=90°， ∴ α=45
∴ ∠ ACB=∠ G=48°；
（2）∵ AB=AE，
∴ ∠ ABE=∠ AEB，
∵ ∠ ABC=∠ G+∠ BCG，∠ AEB=∠ ACB+∠ DAC，
由（1）得：∠ G=∠ ACB，
∴ ∠ BCG=∠ DAC，
∴ CD PB ，
∵ AD 是⊙O 的直径，AD⊥PC，
∴ CD PD ，
∴ CD PB PD ，
∵ 点 E 是△ ABC 的内心，∴ ∠ BAD=∠ CAD，∴ BD CD ，∴ OD⊥BC．
又∵ ∠ BDM=∠ DAC，∠ DAC=∠ DBC，∴ ∠ BDM=∠ DBC，∴ BC∥ DM，∴ OD⊥DM． 又∵ OD 为⊙O 半径，∴ 直线 DM 是⊙O 的切线． （2）连接 BE．∵ E 为内心，∴ ∠ ABE=∠ CBE． ∵ ∠ BAD=∠ CAD，∠ DBC=∠ CAD，∴ ∠ BAD=∠ DBC，∴ ∠ BAE+∠ ABE=∠ CBE+∠ DBC，即 ∠ BED=∠ DBE，∴ BD=DE．
深圳中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题) 一、圆的综合
1．如图，⊙O 是△ ABC 的外接圆，点 E 为△ ABC 内切圆的圆心，连接 AE 的延长线交 BC 于 点 F，交⊙O 于点 D；连接 BD，过点 D 作直线 DM，使∠ BDM=∠ DAC． （1）求证：直线 DM 是⊙O 的切线； （2）若 DF=2，且 AF=4，求 BD 和 DE 的长．
tan∠
CAF=
1 2
，求
S1 S2
的值．
【答案】（1）48°（2）证明见解析（3） 3 4
【解析】 【分析】 （1）连接 CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质得：∠ ABE=∠ AEB，再证明∠ BCG=∠ DAC，可得
CD PB PD ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结
（3）设 BE=x，则 DE=EF=2x，AB=3x，半径 OD= 3 x．∵ OF=1，∴ OE=1+2x． 2
在 Rt△ ODE 中，由勾股定理可得：（ 3 x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴ x=﹣ 2 （舍）或 x=2，
2
9
∴ 圆 O 的半径为 3．
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角 函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ EBD∽ △ EDA 是解答本题的关键．
即可得出结论． 试题解析：（1）证明：连结 OD，如图．∵ EF=ED，∴ ∠ EFD=∠ EDF．∵ ∠ EFD=∠ CFO， ∴ ∠ CFO=∠ EDF．∵ OC⊥OF，∴ ∠ OCF+∠ CFO=90°．∵ OC=OD，∴ ∠ OCF=∠ ODF， ∴ ∠ ODC+∠ EDF=90°，即∠ ODE=90°，∴ OD⊥DE．∵ 点 D 在⊙O 上，∴ DE 是⊙O 的切线； （2）线段 AB、BE 之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下： ∵ AB 为⊙O 直径，∴ ∠ ADB=90°，∴ ∠ ADO=∠ BDE．∵ OA=OD，∴ ∠ ADO=∠ A，
∵ ⊙O 的半径为 2，AB=2 3 ， ∴ OH= OB2 HB2 = 22 ( 3)2 1
在△ BOH 中，OH=1，BO=2 ∴ ∠ ABO=30° ∵ 图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A′． ∴ ∠ OBA′=∠ ABO=30° ∴ ∠ ABA′=60° （2）过点 O 作 OG⊥BP，垂足为 G，如图 2 所示．
∴ △ COF≌ △ OAG，
∴ OG=CF=x，AG=OF，
设 OF=a，则 OA=OC=2x﹣a， Rt△ COF 中，CO2=CF2+OF2， ∴ （2x﹣a）2=x2+a2，
a= 3 x， 4
∴ OF=AG= 3 x， 4
∵ OA=OB，OG⊥AB，
∴ AB=2AG= 3 x， 2
∴
S1 S2
【答案】（1）证明见解析（2）2 3
【解析】 【分析】 （1）根据垂径定理的推论即可得到 OD⊥BC，再根据∠ BDM=∠ DBC，即可判定 BC∥ DM， 进而得到 OD⊥DM，据此可得直线 DM 是⊙O 的切线； （2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠ BED=∠ EBD，即可得出 DB=DE，再判 定△ DBF∽ △ DAB，即可得到 DB2=DF•DA，据此解答即可． 【详解】 （1）如图所示，连接 OD．
质可得 OD=A'H= 1 A'N= 1 MN=2 可判定 A′C 与半圆相切； 22
（2）当 NA′与半圆相切时，可知 ON⊥A′N，则可知 α=45°，当 O′在 PB 时，连接 MO′，则 可知 NO′= 1 MN，可求得∠ MNO′=60°，可求得 α=30°；
2
（3）根据点 A′的位置不同得到线段 NO′与半圆 O 只有一个公共点 N 时 α 的取值范围是 0° ＜α＜30°或 45°≤α＜90°． 【详解】 发现：（1）过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H，如图 1 所示,
α． （1）当 α＝15°时，过点 A′作 A′C∥ MN，如图 3，判断 A′C 与半圆 O 的位置关系，并说明理 由；
（2）如图 4，当 α＝ °时，NA′与半圆 O 相切，当 α＝ °时，点 O′落在 NP 上．
（3）当线段 NO′与半圆 O 只有一个公共点 N 时，直接写出 β 的取值范围．
1 AB·OG 2 1 CF·AF
3 x·x 2 x·2x
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3． 4
2
【点睛】 圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判 定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ ACB+∠ BCD=90°；
（2）根据外角的性质和圆的性质得： CD PB PD ；（3）利用三角函数设未知数，根
论； （3）过 O 作 OG⊥AB 于 G，证明△ COF≌ △ OAG，则 OG=CF=x，AG=OF，设 OF=a，则
OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则 a= 3 x，代入面积公式可得结 4
论． 【详解】 （1）连接 CD， ∵ AD 是⊙O 的直径， ∴ ∠ ACD=90°， ∴ ∠ ACB+∠ BCD=90°， ∵ AD⊥CG， ∴ ∠ AFG=∠ G+∠ BAD=90°， ∵ ∠ BAD=∠ BCD，
∴ ∠ BDE=∠ A，而∠ BED=∠ DEA，∴ △ EBD∽ △ EDA，∴ DE BE BD ．∵ Rt△ ABD AE DE AD
中，tanA= BD = 1 ，∴ DE BE = 1 ， AD 2 AE DE 2
∴ AE=2DE，DE=2BE，∴ AE=4BE，∴ AB=3BE；
据勾股定理列方程解决问题．
3．如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC⊥AB，弦 CD 与 OB 交于点 F，在 AB 的延长线上有点 E，且 EF=ED． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若 tanA= 1 ，探究线段 AB 和 BE 之间的数量关系，并证明； 2
（3）在（2）的条件下，若 OF=1，求圆 O 的半径．
又∵ ∠ BDF=∠ ADB（公共角），∴ △ DBF∽ △ DAB，∴ DF DB ，即 DB2=DF•DA． DB DA
∵ DF=2，AF=4，∴ DA=DF+AF=6，∴ DB2=DF•DA=12，∴ DB=DE=2 3 ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注 意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心 到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
4．图 1 和图 2 中，优弧 AB 纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝2 3 ，点 P 为优弧 AB 上一点
（点 P 不与 A，B 重合），将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A′．
发现： （1）点 O 到弦 AB 的距离是 ，当 BP 经过点 O 时，∠ ABA′＝ ； （2）当 BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长． 拓展：把上图中的优弧纸片沿直径 MN 剪裁，得到半圆形纸片，点 P（不与点 M， N 重 合）为半圆上一点，将圆形沿 NP 折叠，分别得到点 M，O 的对称点 A′， O′，设∠ MNP＝