上海交通大学流体力学第三章课件

压强
粘性应力
雷诺应力
C3.5.1 湍流与湍流切应力(5-3)
3. 圆管湍流切应力 圆管定常湍流满足斯托克斯公式
G τ τl τt 2 r
du uv
dy 上式中τl为粘性切应力，τt为雷诺应力。
圆管湍流分层结构：
(1)粘性底层区 (r ) : 脉动很弱, t ~ 0;粘性切应力占主导,
n
/
30
18.1
3600
/
30

6823.4
(W)
C3.4.1 用动量方程求解速度分布(2-1)
C3.4 圆管层流流动 C3.4.1 用动量方程求解速度分布
不可压牛顿流体在半径为R的圆管中沿x 方向作定常层流流动。
1. 切应力分布
沿轴取半径为r的圆柱形控制体, 净流出流量为零, 忽略体积力


x
u
u x

v
u y

w
u z




p x


2u

( u 'u

x
')

( u 'v ')
y

( u ' w')
z

上式称为不可压缩流体湍流时均值运动方程或雷诺方程。与层流
N-S方程相比多了三项 。湍流中的应力矩阵为
p
P


Leabharlann Baidu

F


p x
dx
r2

2
rdx

0
dp 2
dx r
p仅与x 有关, τ与x 无关. 只有均为常数才相等. 令比压降为 G p dp 常数 l dx
1 dp r G r
2 dx 2 上式称为斯托克斯公式，说明切应力沿径向线性分布。
C3.4.1 用动量方程求解速度分布(2-2)
3. 入口段长度 层流入口段 L=(60 ~ 138)d 湍流入口段 L=(20 ~ 40)d
(Re=1000~2300) (Re=104~106)
C3.3 平行平板间层流流动 工程背景：滑动轴承润滑油流动；滑块与导轨间隙流动：活塞 与缸壁间隙流动等。
C3.3.1 平板泊肃叶流动（4－1）
已知条件： (1) =常数； =常数
dp dx
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-4)
2. 切应力分布
du dp ( y b )
dy dx 2
切应力沿y方向为线性分布， 在壁面达最大值
w

b 2
dp dx
3. 流量
Q
b
udy
b
1
dp
y2 by dy
b3
dp
0
0 2 dx
12 dx
求: (1) 被测液体的粘度； (2)设ρ=1055 kg/m3，校核Re数。
解： (1)由泊肃叶公式


GR4

p d4

8Q
8Q l 16

2070 (0.5103)4
128 3.97 109 0.2

4 103
(Pa s)
(2)校核Re数
Re

Vd
1. 圆管流量
Q
R
u2rdr

G
R (R2 r2 )rdr
0
2 0
泊肃叶定律
Q dp R4 GR4
8 dx 8
泊肃叶定律适用条件:不可压缩、牛顿流体、圆管、定常、层流
2. 平均速度
V
Q
R 2

G
8
R2

1 2 umax
速度分布
u

2V
1
已知: 中轴的直径为d = 80 mm，b = 0.06 mm，l = 30 mm，n = 3600转/分
润滑油的粘度系数为μ= 0.12 Pa·s 求: 空载运转时作用在轴上的 (1) 轴矩Ts ；
(2) 轴功率。 解： (1)由于b << d 可将轴承间隙内的周向流 动简化为无限大平行平板间的流动。


0
可见 f 仅是z 的函数，取截面平均压强，其梯度可写成 ddpz。由(c)式
1 r
r
(
r
vz r
)

1
dp dz
(d)
(d)式左边仅是r 的函数，右边仅是z 的函数，只有均等于常数才能相等,
dp/dz保持常数。(d)式积分两次可得
vz

1 4
dp dz
r
2

C1lnr

C2
(e)
条件
流动类型
速度廓线
dp 0 零压强梯度 dx
纯剪切流
直线
dp 0 顺压梯度 dx
dp dx
0
逆压梯度
库埃特流 库埃特流
直线＋抛物线 直线－抛物线
2. 切应力分布
dp y ( U b dp )
dx
b 2 dx
沿y 方向线性分布
[例C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流(2-1)

0.12 36000.08 60 0.03103

6 104
(N/m2 )
(2) 转动轴所化的功率为
Ts
wA
d 2
w
dl
d 2

6 104

0.082
0.03 /
2
18.1 (N
- m)
作用在轴上的转矩为力Fx
Ws
Ts

Ts
2 n
60
Ts
0
0

( u t

u
u x

v
u y
)

f
x

p x


(
2u x2

2u y 2
)
0 00
0
00
( v
t

u
v x

v
v y
)


fy

p y

( 2v
x2

2v y2
)
简化得：
p x


d2u dy2
,
p 0 y
第二式表明压强与y无关（截面上均布），仅是x的函数。 第一式左边与y无关，右边与x无关，只能均为常数。
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-3)
可得
d2u dy2

1

dp dx
常数
积分得
u

1
2
dp dx
y2
C1y
C2
边界条件： 1．速度分布
y = 0，u = 0，C2= 0
y
=
b，u
=
0，C1


1
2
dp dx
b
u 1 dp ( y2 by)
2 dx
最大速度
um

b2
8
r2 R2

3. 沿程损失
p Gl 8 l
hf

g

g

V
gR 2
C3.4.2 泊肃叶定律(2-2)
4. 泊肃叶定律的意义
Q GR4
8
(1) 泊肃叶定律解析式由哈根巴赫和纽曼（1859）分别用N-S方 程推出。哈根（1839）和泊肃叶（1840）分别用实验测得
Q 与G、R4成正比关系;
,
C1
b

2
dx
u U y 1 dp ( y2 by)
b 2 dx
平板剪切流
泊肃叶流
上式表示流场为平板剪切流与泊肃叶流叠加的结果。
无量纲形式为
u U

y b

B 1
y b
y b
,
B b2 dp
2U dx
C3.3.2 平板库埃特流(2-2)
平板库埃特流流场取决于U 和 dp（或B)的大小和方向。设U> 0 dx
解： 设轴向坐标为z ，建立柱坐标系(r,θ, z )如
图所示。设vr = vθ= 0，由连续性方程可得
vz 0 z
解得vz = vz (r)；重力在z轴方向分量为零，N-S方程在柱坐标系中的分量式
为附录中C所列，化简后可得
r:
0


gsin

p r
(a)
θ:
0


gcos

1 r
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-3)
当r =0时，管轴上的速度为有限值，由物理上可判断C1=0；当r =R时，vz=0； 可得
C2

1 4
dp dz
R2
代入(e)式可得速度分布式为
vz

1 4
dp dz
(r
2

R2)
令 G =－dp / dx,
vz

G 4
(R2

r
2)
4. 平均速度
V

Q b

b2
12
dp dx

2 3
um
C3.3.2 平板库埃特流(2-1)
C3.3.2 平板库埃特流动
在平板泊肃叶流上再增加上板以U 运动条件，方程不变。
1. 速度分布
u

1
2
dp dx
y2
C1y
C2
y 0,u 0, C2 0
U b dp
yb,
u U
轴承固定, 而轴以线速度U=ωd /2运动, 带动润滑油作纯剪切流动, 即简 单库埃特流动。间隙内速度分布为
uU y b
[例C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流(2-2) (1) 作用在轴表面的粘性切应力为
w


du dy

U b

2 n d 1 60 2 b

nd 60b

l2

du dy


t
du dy
定义湍流粘度
t
l2
du dy
定义湍流运动粘度
vt

t
l2
du dy
C3.5.2 圆管湍流速度分布
C3.5.2 圆管湍流速度分布
1. 湍流对数律 根据量纲分析、普朗特混合长度理论和尼古拉兹的实验结
(2)定常流动： 0
t
(3)充分发展流动: u x

2u x2
0
,
u u( y )
(4) 忽略重力:
fx 0 fy 0
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-2)
连续性方程
u v 0 x y
u v 0 v 0 x y
N-S方程
00
0
(2) 理论与实验结果一致肯定了牛顿粘性假设、N-S方程斯托克 斯假设和壁面不滑移假设。(分别称为牛顿粘性定律、壁面不 滑移条件);
(3) 泊肃叶定律是管流理论的基础；
(4) 利用泊肃叶定律测量流体粘度
GR4
8Q
[例C3.4.2] 毛细管粘度计：泊肃叶流
已知: Ostwald毛细管粘度计如图，毛细管 直径为d = 0.5 mm，长l = 20 cm 。 Q = 3.97 mm3/s, Δp = 2070 Pa
(2)过渡区 l ~ t (3)湍流核心区：u 分布均匀,l ~ 0 ;雷诺应力占主导。
实验证实粘性底层和过渡区占的比例很小，常可忽略不计。 用湍流核心区的速度分布代表圆管流动。
C3.5.1 湍流与湍流切应力(5-4)
4. 计算雷诺应力的混合长度理论：
u v l du dy
2
t

uv
C3.2 管道入口段流动(2-1)
C3.1 引言(工程背景) C3.2 管道入口段流动 1. 入口段流动
x=0
壁面滞止
边界层增长 边界层充满管腔 充分发展段
0＜x＜L
x=L
x＞L
2. 入口段压强损失（参见例B4.4.1D）
Cp


L d

K
充分发展段压强损失
附加压强损失
均流加速 壁面切应力增大
C3.2 管道入口段流动(2-2)
u=T1
T
0
udt
u=u+u
基本方程 雷诺方程 包含雷诺应力
C3.5.1 湍流与湍流切应力(5-2)
2. 雷诺方程 利用不可压连续性方程，将N-S方程x 分量式改写为
取时均值

u

t

(u 2 x
)

(uv) y

(uw) z



p x


2u

u
0
0
0 p 0
0 0



yxx
p zx
xy y zy

xz yz





uu vu
z wu
uv vv wv
uw

vw ww
(f)
讨论： （1）速度分布式(f)与用动量方程求得的(C3.4.6a)式相同；
（2）若考虑更一般的情况，沿斜直管（水平夹角为α）的流动， 并仍取管轴为z 轴，重力在z 方向也有分量：ρg sinα=常数， 重力在z 方向的分量的作用与压强梯度的作用相似。
C3.4.2 泊肃叶定律(2-1)
C3.4.2 泊肃叶流动
在轴线上τ＝0 ，在壁面上最大值
w

G 2
R
2. 速度分布
由牛顿粘性定律和斯托克斯公式
du G r dr 2
u G r2 C
4
由边界条件r＝R时，u＝0 ，得 C G R2
4
速度分布式为
u G (R2 r2)
4
轴线最大速度为
um

G
4
R2
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-1) 已知: 粘度为μ的不可压缩流体在半径为R的水平直圆管中作定常流动。 求: 用柱坐标形式的N-S方程推导速度分布式。

4 Q d

41055 3.97 109
0.5103 4103

2.7

2300
C3.5.1 湍流与湍流切应力(5-1)
C3.5 圆管湍流流动 C3.5.1 湍流与湍流切应力
湍流
特性
输运特性
表达法
结构特性 体均法 时均法
随机性 掺混性 涡旋性 小尺度随机运动 大尺度涡旋场 拟序结构
p

(b)
z:
0


p z


[1r
r
(r
vz r
)]
(c)
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-2)
由(a)式积分得
p g rsin f ( ,z)
上式中f 为任意函数，将上式代入(b)式得
0


g
cos


gcos

1 r
f

,
f