第六节 利用初等变换求矩阵的秩
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矩阵的初等变换与矩阵的秩
对于 AT， 显有 R( AT ) R( A).
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
矩阵的秩及初等变换
1 2
3
4 1 2
( B1 )
2 3 4
3 21 31
3
4
( B2 )
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x 4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调 i , j 两行, 记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj） .
显然，非零行的行数为2，
R A 2.
此方法简单！
四、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理 1 若 A ~ B, 则 R A R B .
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R( B ).
4 2 B 1 2 9
2 r2 r31 1 1 1 2 1 r3 22 r1 0 B1 0 3 5 1 r4 32 r1 3 0 9 6 3
1 2 4 1 1 2 2 2 1 5 2 3 7 3 9 4
2
变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.
2.2.4矩阵的初等变换与秩
3 2 2 1 0 0 3 1 2 5 例3. 求矩阵 B 的秩. 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
解: B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
3 2 0, 4
R( B ) 3.
B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
对第三种初等变换注意
ri krj
把第 j 行所有元素的 k 倍，加到第 i 行对应的元素上去 注意: 此时第 j 行元素没变, 第 i 行元素发生变化 第 i 行的所有元素减去第 j 行对应元素的 k 倍 同样，此时第 j 行元素没变, 第 i 行元素发生变化
ri kr j
1 2 1 r2 2r3 2 1 3 1 1 1 1 2 1 r1 2r2 2 1 3 1 1 1
1 例2. 求矩阵 A 2 4 1 2 解: 在 A 中， 2 3
3 3 5 的秩. 7 1 2
0.
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
几个简单结论 (1) A = 0，则 R(A) = 0 (2)若 A 为 mn 矩阵 则 0 R(A) min{m n} (3)R(AT ) R(A) (4)对于 n 阶矩阵A 当|A| 0时 R(A) n 当|A| 0 时 R(A) n 当R(A) = min{m n}，矩阵称为满秩矩阵 可逆矩阵(非奇异矩阵) 一定是满秩矩阵 (5)初等变换不改变矩阵的秩。
行阶梯矩阵，非零行个数就是矩阵的秩
行阶梯形矩阵.
特点： （1）可划出一条阶梯线； （2）每个阶梯只有一行，阶梯数即是非零行的 行数 (3)每个阶梯的第一个元素为非零元，阶梯下面 的元素全为零．
线性代数：矩阵秩的求法
可写成矩阵形式 Ax b,
若b 0, 称Ax 0为齐次的；
若b 0, 称Ax b为非齐次的.
满足方程组Ax b的向量x, 称为它的解向量, 也 称 为 解.
4/44
(A
b)
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1 b2 bm
称为增广矩阵.
若增广矩阵为阶梯阵，则称它所对应的方程组 为 阶 梯 形 方 程 组.
x3 x3
0 0 x4 0
1001
系数行列式 1 1 0 0 0(按第一行展开) 0110
0011
故有非零解,即x1, x2 , x3 , x4不全为零.
所以1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1线性相关.
注：1
,
2
,,
成单，线性无关；
n
成双，线性相关。
28/44
3.1.3 关于线性相关性的几个结论
24/44
解2 设 x11 x2 2 x33 0
用行列式来解 11 1
A 1 3 1 0 1 5 3
方程组有非零解, 所以1， 2，3线性相关.
25/44
可以证明：
n个n维向量i (ai1, ai2 ,, ain ), i 1,2,, n,
a11 a21 an1
线性相关 a12
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
15/44
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
由此得通解：
x4 x5 a4
矩阵的秩和初等变换.
2.4矩 阵 的 秩
本节先建立矩阵的秩的概念,讨论矩阵的初等变换，
并提出求秩的有效方法．
再利用矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解
的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程
组的方法．
内容丰富，难度较大.
1矩阵的秩
2矩阵的初等变换
3用初等变换求矩阵的秩
4线性方程组与矩阵的初等变换
一.矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵 A中任取k行与 k 列(k m, k n) , 位于这些行列交叉处k2 个元素不改变它们在A中 所处的位置次序而得的k 阶行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式.
下面的定理对此作出肯定回答.
定理 1：初等变换不改变矩阵的
秩
(即若 A B , 则 R( A) R(B) .)
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例2
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413求矩阵 A的秩 .
1 0 0
1 0 0
1 1 0
0 03
B1
可见用初等行变换可把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
由前例可知，对于一般的矩阵当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的. 对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数。
因此可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵.
可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
但两个等价矩阵的秩是否相等？
定义 3 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
()对调两行(对调 i , j两行记作 ri rj ) ; ( )以数 k o 乘某一行中所有元素(第 i 行乘 k ,记
本节先建立矩阵的秩的概念,讨论矩阵的初等变换，
并提出求秩的有效方法．
再利用矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解
的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程
组的方法．
内容丰富，难度较大.
1矩阵的秩
2矩阵的初等变换
3用初等变换求矩阵的秩
4线性方程组与矩阵的初等变换
一.矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵 A中任取k行与 k 列(k m, k n) , 位于这些行列交叉处k2 个元素不改变它们在A中 所处的位置次序而得的k 阶行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式.
下面的定理对此作出肯定回答.
定理 1：初等变换不改变矩阵的
秩
(即若 A B , 则 R( A) R(B) .)
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例2
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413求矩阵 A的秩 .
1 0 0
1 0 0
1 1 0
0 03
B1
可见用初等行变换可把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
由前例可知，对于一般的矩阵当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的. 对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数。
因此可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵.
可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
但两个等价矩阵的秩是否相等？
定义 3 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
()对调两行(对调 i , j两行记作 ri rj ) ; ( )以数 k o 乘某一行中所有元素(第 i 行乘 k ,记
6 利用初等变换求矩阵的秩
xyaij b23 (2)初换矩阵AB
11
返回
D≠0
0 1 1 2 2 0 3 1 2 2 c3 c5 C 1 3 0 0 0 0 0 C4 0. 0 0 0
R( A) 3.
①. A B C . ②. R(A) = R(B) = R(C) .
12
返回
二、求矩阵的秩的初等变换法
A
经有限次行变换
B (阶梯形), 则B 中
非零行的个数 r , 就是 A 的秩, 即 R(A) = r .
{阶梯形: 每一行第一个非零元素所在列的 下方全为零.} 例如:已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 , 问是否线性
相关,并求它的最大无关组(前例).
7
1 i B, j m
返回
其中 i i k j .
B可由A线性表示. i i k j ,
A可由B线性表示.
A与B等价.
行向量组等价, 则行秩相等.
1 2 1 0 3 2 6 0 9 0 0 0
10
2 2 1 3 2 6 2 0
返回
r3 3r2
2 1 2 1 0 0 3 2 2 1 0 3 1 0 0 0 0 0 6 2
2 1 2 1 0 r4 2r3 0 3 2 2 1 =B 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0
{ 从而行秩 = 列秩 = R(A) = R(B) }.
证毕.
1 0 B 0 (阶梯阵) 0
2 3 4 5 6 7 8 9 . 0 4 3 2 0 0 0 0
而 B4 0,
11
返回
D≠0
0 1 1 2 2 0 3 1 2 2 c3 c5 C 1 3 0 0 0 0 0 C4 0. 0 0 0
R( A) 3.
①. A B C . ②. R(A) = R(B) = R(C) .
12
返回
二、求矩阵的秩的初等变换法
A
经有限次行变换
B (阶梯形), 则B 中
非零行的个数 r , 就是 A 的秩, 即 R(A) = r .
{阶梯形: 每一行第一个非零元素所在列的 下方全为零.} 例如:已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 , 问是否线性
相关,并求它的最大无关组(前例).
7
1 i B, j m
返回
其中 i i k j .
B可由A线性表示. i i k j ,
A可由B线性表示.
A与B等价.
行向量组等价, 则行秩相等.
1 2 1 0 3 2 6 0 9 0 0 0
10
2 2 1 3 2 6 2 0
返回
r3 3r2
2 1 2 1 0 0 3 2 2 1 0 3 1 0 0 0 0 0 6 2
2 1 2 1 0 r4 2r3 0 3 2 2 1 =B 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0
{ 从而行秩 = 列秩 = R(A) = R(B) }.
证毕.
1 0 B 0 (阶梯阵) 0
2 3 4 5 6 7 8 9 . 0 4 3 2 0 0 0 0
而 B4 0,
初等变换与矩阵的秩
ka ka k a a
i1
in
i1
in
a a
n1
nn
a a
n1
nn
推论：某一行的所有元 素的公因子可以 提到行列式符号的外面 。
性质4：若行列式中有两行元 素对应成比 例，则行列式为零。
性质5：若行列式某一行的元素是两数 之和，则行列式可拆成两个行列式的 和。
即：
（3）传递性：若A B，且B C，A C.
1 1 2 1
r3 r2
0
0 r4 r2
3 5 5 B 0 7 9
0
0
0
3
在行阶梯形的基础上,如果再对矩阵进行初等行变换,则可 将矩阵化为行最简形,即矩阵的非零元素行的第一个非零元素 为1,并且其所在的列其他元素为零.如上例中
一般地,对n阶方阵 A,有:
代数余子式
a11 a12 a1n A a21 a22 a2n
an1 an2 ann
余子式M ij
代数余子式Aij (1)i j Mij
例如3阶行列式
14 M
23 3 6
1 4 8 5 2 9 361
14
A23
3
6
一般地，余子式为
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11(a22a33 a23a32) a12(a23a31 a21a33)
a13(a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
矩阵秩的计算问题经过初等变换后
m n 矩阵 A的秩 r( A) 是 A中非零子式的 最高阶数.
注意：
(1) 对于 AT，显然有 r( AT ) r( A).
(2) r( Amn ) min( m, n). (3) 若A有一个k阶子式不为零，则 r( A) k.
(4) 若A的所有k 1阶子式均为零，则r( A) k.
1 6 4 1 4 r34(1) 0 4 3 1 1
0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
(1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知
r( A) 3.
(2) 再求 A的一个最高阶子式 .
取第一,二,三行及一,二,四列得
1 6 1 4 1 0对应矩阵A 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r13 ( 2) r14 ( 3)
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
rA 2.
另解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0 1 5
得
1 0
3 2 2 1 3 2 2 2 1 3 ~ 0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为2，
rA 2.
问题：
此方法简单！
这种方法到底对不对？若对，有没有理论根据？
二、矩阵秩的计算
定义3 称满足以下两个条件的 m n 矩阵为 行阶梯形矩阵：
(1) 每行的非零元（如果有的话）前的零元 个数比其上一行这种零元个数多；
注意：
(1) 对于 AT，显然有 r( AT ) r( A).
(2) r( Amn ) min( m, n). (3) 若A有一个k阶子式不为零，则 r( A) k.
(4) 若A的所有k 1阶子式均为零，则r( A) k.
1 6 4 1 4 r34(1) 0 4 3 1 1
0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
(1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知
r( A) 3.
(2) 再求 A的一个最高阶子式 .
取第一,二,三行及一,二,四列得
1 6 1 4 1 0对应矩阵A 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r13 ( 2) r14 ( 3)
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
rA 2.
另解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0 1 5
得
1 0
3 2 2 1 3 2 2 2 1 3 ~ 0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为2，
rA 2.
问题：
此方法简单！
这种方法到底对不对？若对，有没有理论根据？
二、矩阵秩的计算
定义3 称满足以下两个条件的 m n 矩阵为 行阶梯形矩阵：
(1) 每行的非零元（如果有的话）前的零元 个数比其上一行这种零元个数多；
4.矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂ppt教学教材
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备注
• 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如：
矩阵加法
＋
数乘矩阵、矩阵乘法
×
矩阵的转置
T（上标）
方阵的行列式
|∙|
• 不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：
初等行变换 初等列变换
9
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三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵 （1）阶梯形矩阵 定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵 ①零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方
r24
———
1 5 -1 -1 4 -8 4 12 3 8 -1 1 1 -9 3 7
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一.矩阵的初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行； (2)以数k0乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。
第j行的k倍加到第i行记为ri+krj。例如
初等矩阵有下列三种： I(i, j)、I(i(k))、 I (i, j(k)) 。 例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1000
1000
I
0
1
0
0
r2+kr4
———
0
1
0
k I(2,4 (k))
0010
0010
0001
0001
1000
1000
I
0
1
0
0
c4+kc2
———
0
1
0
k I(2, 4(k) )
1.2矩阵的初等变换与矩阵的秩
1 0 1 0 4
例如，B 5
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
1 0
0 c5 4c1 3c2 3c3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
2 1 4
1 0 2
r2 2r1 r3 2r1
1 0 0
2 5 0
1 2 , 0
易看出A的行阶梯形有两个非零行，则rA 2.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
F Er O O O mn
等价关系的性质：
（1） 反身性 AA；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价．
用矩阵的初等行变换，化简下述矩阵：
2 1 1 1 2
B
Байду номын сангаас
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
rj
r; i
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
2
3 1
1 2 0
1 2 4
用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩课件
B的所有 4阶子式全为 . 零
2 1 3
而 0 3 2 0, R (B )3.
00 4
26
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例6
设 A123
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413, 求矩阵A的
秩，并求 A的一个最高阶非零．子式
初等行变换
即 ( A |E ) ： ( E |B ) ， A 1 ＝ B .
12
1 2 3 例题 1：已A 知2 2 1，用初等行A变 1。换求
3 4 3
1 2 3 1
解：
(A
E3 ) 2
2
1
0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 r3 3r1
1 0
2 2
31 5 2
17
例2:
1 1 1 2 2 2 1 3 3 1 0 1
1 1 一个2阶 2 1 子式
1 2 3
1 2 1 3 0 1
一个3阶 子式
18
1 1 1 2 2 2 1 3 3 1 0 1
1 1 一个2阶 2 1 子式
1 1 2 2 1 3 3 0 1
一个3阶 子式
可逆矩阵的秩 ，等 故于 称阶 可数 逆矩 为满秩.奇 矩异阵 矩阵为降秩矩阵.
32
小结
1. 用初等行变换求逆矩阵 ：
( A |E ) ( E |B ) ， 则 A 1 ＝ B .
2. 用初等行变换求矩阵的 秩： 对矩阵施行初等行变换，使之成为行阶梯形
矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的 秩.
求矩阵的秩有下列基本方法(1)用初等变换.即用矩阵的初等行(.
(2) XA B
~
A 初等列变换
B
E BA1
X
BA1
或者
初等行变换
~ ( AT BT)
( E (AT )1BT )
X T (AT )1BT X BA1
例 3.设
A
103
0 1 1
104 , 且AX
A
2 X , 求矩阵X .
解：AX A 2X (A - 2E)X A
X
(A - 2E)1 A
1 1 1 1 1 0 1 0
A～
1
1 3
2 1 2
1 1 3
2 11
~
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
从而得方程组的通解为
x1 1
x
x2 x3 x4
k
0 1 0
(k为任意常数)
当a 2 时,把系数矩阵A化为行最简矩阵为
A～
1
1
1 3
1 2 1 2
1 1 2 3
1 2
1 a 3
2 a1
~
0 0 0
1 2 5
0 a 1
0
1 a23
1 1 1 1
~
0
0 0
1 0 0
0 a 1
0
1
a
0
2
当a 1 or a 2 时，R( A) 4，此时方程组
有非零解，可仿照解法一求出它的通解。
四、解矩阵方程的初等变换法
(1) AX B
初等行变换
~ (A B)
(E A1B) X A1B
1 1 1 1 1 1 1 1
解一：A
1 1
第六节 利用初等变换求矩阵的秩
返回
其中 β i = α i + kα j .
∴ B 可由 A 线性表示 . Q α i = β i − kα j ,
∴ A 可由 B 线性表示 .
∴ A 与 B 等价 .
∴ 行向量组等价 则行秩相等 行向量组等价, 则行秩相等.
{ 从而行秩 = 列秩 = R(A) = R(B) }.
证毕. 证毕
对于任何矩阵Am×n ,总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
12
返回
初等变换求矩阵秩的方法： 初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
例如: 例如
返回
1 −2 2 3
−2 −1 0 2 4 2 6 −6 . −1 0 2 3 3 3 3 4 4×5 ×
解: A
r2 + 2r1 r3 − 2r1
r4 − 3r1
1 − 2 − 1 0 0 0 2 0 3 0 9 6 1 − 2 − 1 r2 ↔ r3 0 3 2 r3 ↔ r4 0 9 6 0 0 0
1 3 − 2 2 1 3 − 2 2 ∴ 0 2 − 1 3 ~ 0 2 − 1 3 , − 2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为 ， 显然，非零行的行数为2，
∴ R ( A ) = 2.
14
此方法简单！ 此方法简单！
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返回
L L L L L L L
a1 n L a in L a jn L a mn m × n
其中 β i = α i + kα j .
∴ B 可由 A 线性表示 . Q α i = β i − kα j ,
∴ A 可由 B 线性表示 .
∴ A 与 B 等价 .
∴ 行向量组等价 则行秩相等 行向量组等价, 则行秩相等.
{ 从而行秩 = 列秩 = R(A) = R(B) }.
证毕. 证毕
对于任何矩阵Am×n ,总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
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返回
初等变换求矩阵秩的方法： 初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
例如: 例如
返回
1 −2 2 3
−2 −1 0 2 4 2 6 −6 . −1 0 2 3 3 3 3 4 4×5 ×
解: A
r2 + 2r1 r3 − 2r1
r4 − 3r1
1 − 2 − 1 0 0 0 2 0 3 0 9 6 1 − 2 − 1 r2 ↔ r3 0 3 2 r3 ↔ r4 0 9 6 0 0 0
1 3 − 2 2 1 3 − 2 2 ∴ 0 2 − 1 3 ~ 0 2 − 1 3 , − 2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为 ， 显然，非零行的行数为2，
∴ R ( A ) = 2.
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此方法简单！ 此方法简单！
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返回
L L L L L L L
a1 n L a in L a jn L a mn m × n
初等变换求秩的技巧
初等变换求秩的技巧初等变换求秩这事儿啊，就像整理杂乱的房间一样。
秩呢，就好比是房间里不同类型物品的种类数。
咱们怎么知道有多少种物品呢？这就需要对那些代表物品的矩阵进行初等变换啦。
你看啊，矩阵就像是一个装满各种东西的大箱子，里面的元素就是那些杂七杂八的物品。
初等变换就像是我们整理这个箱子的手段。
比如说，交换两行或者两列，这就像是把箱子里两个放错位置的东西换个地方，不影响箱子里东西的种类吧？就像你把书架上放错层的两本书换个位置，书的种类可不会变。
那倍乘呢？某一行或者列乘以一个非零常数，这就像是把同一类东西的数量按照一定比例改变了，可东西的种类还是不变啊。
就好比你有一堆同样的笔，你把这堆笔的数量翻倍或者减半，笔还是那一种笔，不会变成别的东西。
还有那倍加，把一行或者列的若干倍加到另一行或者列上，这就像是把一些相关的东西放在一起考虑，但是种类数也不会改变。
就像你把写字台上的文具按照使用习惯重新摆放组合，文具的种类并没有多或者少。
咱们在做初等变换的时候，就一个劲儿地变啊变，目的是啥呢？就是把矩阵变得简单明了，像把房间收拾得整整齐齐一样。
最后变成一个阶梯形矩阵。
这个阶梯形矩阵就很神奇啦，它的非零行的行数就是矩阵的秩。
这就好像你把房间整理好了，一眼就能看出有几种不同类型的东西。
咱来举个例子吧。
就像一个矩阵是这样的，里面的数字就像是房间里不同的小物件。
咱们开始初等变换，先交换两行，就像把两个东西的位置先调整好。
然后再进行倍乘或者倍加的操作，慢慢地，这个矩阵就开始变得像阶梯一样。
这个过程可能有点像玩拼图，一块一块地把它拼成我们想要的形状。
在做这些变换的时候啊，可不能马虎。
每一步都要清楚自己在做什么，就像你整理房间，不能乱塞东西一样。
要是不小心弄错了一步，那可能就像把房间里本来整理好的东西又弄乱了，得重新来。
而且啊，这个初等变换求秩的方法特别实用。
在很多数学问题里都能用得上。
比如说在解线性方程组的时候，秩就像是一个关键的线索，能告诉我们这个方程组有没有解，有多少解。
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1，
为向量组的一个最大无
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关组，
且3
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~
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1 0
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0 0
E3
0
0 0
0 0 0 0 0 此阵叫做A的标准形.
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返回
(1)若矩阵Amn的秩为r(r>0),则
Amn~ I
Er
0
0 0 mn
I 称为A的标准形,其中Er为r阶单位阵
3 2 5 4 0 1 2 0 0 1 3
0 0 0 0
5 0 0 0
2 0 0 0
3 4 0 0
3 0 0 0
0 7 0 0
0 0 0
4 2 0
3 0 0
0 4 0
5 3 5
A 经有限次行变换 B (行阶梯形)
初等变换求矩阵秩的方法: 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形
矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩 阵的秩.
(2)若A~B,则R(A)=R(B),从而A与B有相同的
标准形.
a11
(3)设方阵
A
a1n ,若A为可逆阵
an1 ann (即|A|≠0),则R(A)=n,从而A的标准形为n阶
单位阵,即A~E.
定理五
（1）任何一个矩阵都可经初等行变换化为 阶梯型矩阵及行最简形。
（2）矩阵的初等行变换不改变列向量组的 线性相关性及线性表示式。
2 3 0 0
1 2 0 0
0 2 3 0
2
1
1
0
1 0
~
0 0
2 1
0 01 2 30 Nhomakorabea0
0 2 3
1
0
2
1
3 1
3
0
1
~
0
0 1
1
3 2
0 0
16
9 1
此阵叫做A的行最简形.
即非零行的第一个非零元
0 0
0 0
3 0 0
1 0
9 1
3 0
为1，且这些非零元所在的 列的其他元素都为0.
0 3
0 2
6 2
2 1
~
0 0
3 9
2 2 1 6 3 2
0 9 6 3 2 0 0 0 6 2
1 2 1 0 2
~
0 0
3 0
2 2 1 0 3 1
0 0 0 6 2
1 2 1 0 2
~
0 0
3 0
2 2 1 0 3 1
0 0
0
0
0
R(A)=3
1 0 0 0
经过(1),(2),(3)变换后得到新矩阵的行向量
组分别为: 1,,j,,i,,n
1,,ki,,j,,n 1,,i+kj,,j,,n
显然,这三个向量组中的每一个向量组与原 始的向量组等价 ∵等价的向量组有相同的秩 R(A)=行秩=R(B)
类似可证(2); 综合(1)、(2)即得(3)
证明: 1
定理四 设
a11
a12
a1n
A
ai1
ai2
ain
a
j1
aj2
a
jn
am1 am 2 amn mn
(1)若A经行变换B,则R(A)=R(B);
(2)若A经列变换B,则R(A)=R(B);
(3)若A~B,则R(A)=R(B).
[证]设A的行向量组为1,2,,n
§3.6 利用初等变换求矩阵的秩
1.矩阵的初等变换 2.求矩阵的秩的初等变换法
一、矩阵的初等变换
定义13 对矩阵Amn施行下列变换: (1)rirj (2)kri (k0) (3)ri+krj
这三种变换称为矩阵A的初等行变换.
相应的有初等列变换: (1)cicj (2)kci
(3)ci+kcj
初等行变换、初等列变换统称为初等变换.
例如,阶梯阵 1 2 3 4 5 A 0 D60 7 8 9 0 0 4 3 2 0 0 0 0 0
而|A4|=0 R(A)=3
例1 求矩阵的秩
1 2 1 0 2
A 2 4 2 6 6 2 1 0 2 3
3
3
3
3
4
解: 1 2 1 0 2 1 2 1 0 2
A~
0 0
1
其中 i i k j .
B可由A线性表示.
A
i
ri
krj
i
B,
j
j
i i k j ,
A可由B线性表示
m
m A与B等价.
行向量组等价, 则行秩相等.
{ 从而行秩 = 列秩 = R(A) = R(B) }.
8
返回
二、求矩阵的秩的初等变换法
行阶梯形矩阵及其特点: (i)可画出一条阶梯线,每个台阶只有一行 (ii)阶梯的首元非零,阶梯下全为零
ri k
逆变换 ri rj;
逆变换
ri
(1 k
)
或
ri
k;
ri krj 逆变换 ri (k)rj 或 ri krj .
4
返回
定义14 如果矩阵A经有限次初等变换变成 矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价,记作A~B.
等价性质: (i)反身性: A~A; (ii)对称性: 若A~B,则B~A; (iii)传递性: 若A~B,B~C,则A~C.
例: a b
A
r
s
x y
r1r2
r a
s b
x y
r2k
r ka
s kb
x y
c
t
z
r3+r1
r ka
t
x r
c z
c1c2
s kb
t kc
y s
z
s kb
y s
r ka
x r
t
kc
z t
t
kc
z t
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且 变换类型相同．
ri rj
16
返回
例1 求向量组 1 （2,4,2） 2 （1,1,0) 3 (2,3,1) 4 (3,5,2)
的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示
解：A (1T ,2T ,3T ,4T )
2 1 2 3 2 1 2 3
A 4 1 3 5 ~ 0 -1 -1 -1
2 0 1 2 0 -1 -1 -1