范钦珊 应力状态及强度理论

三
平
单向应力状态
向面应应力 Nhomakorabea力
状 特例 态
状 态
特例
纯剪应力状态
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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例题1
FP S平面
l/2
l/2
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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5
FQ
FP 2
例题1
应力状态中的主应力与最大剪应力
因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形 式。用主应力表达的形式最简单也是最本质的。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
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＝ x＋
x
2
y
＋ x－
2
y
cos2q－ xysin2q
将上式对q 求一次导数，并令其等于零，有
d x dq
＝－(
x－
y
)sin2 q
2
xy cos2q＝0
由此解出的角度
tan2q＝－ 2τxy x y
平面应力状态任意方向面上的应力
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平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力
利用三角倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平 面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：
x＝
x＋
2
y
＋
x－
2
y
cos2q－ xysin 2q
xy＝
x－
2
y
sin
2q
xy cos2q
应力状态的基本概念
根据微元的局部平衡
y' x
x'
x'y' x'
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x
x
拉中有剪
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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Mx Mx
根据微元的局部平衡
y'
yx
x'
xy
xy
x'y'
x'
yx
剪中有拉
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
the Stresses of a Given Point）
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
为什么要研究应力状态？
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
5
4
4
3
3
Mz
FPl 4
2
2
1
S平面
1
x1
1
2
x2
3
2 2
3 3
第7章 应力状态与强度理论及其 工程应用
平面应力状态任意方向面上的应力
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
平面应力状态任意方向面上的应力
方向角与应力分量的正负号约定 微元的局部平衡 平面应力状态中任意方向面上的
正应力与剪应力
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
平面应力状态任意方向面上的应力
方向角与应力分量的正负号约定
x 正应力
x
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拉为正
x
压为负
x
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
铸铁拉伸实验
低碳钢拉伸实验
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韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
低碳钢扭转实验
铸铁扭转实验
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为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
受扭之前，圆轴表面的圆
Mx Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长， 短轴方向缩短。这是为什么？
这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正 应力。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
也等于零，因而也是主平面，其上之正应力也是主应 力。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
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需要指出的是，对于 平面应力状态，平行于 xy坐标面的平面，其上 既没有正应力，也没有 剪应力作用，这种平面 也是主平面。这一主平 面上的主应力等于零。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
不仅要研究横截面上的应力，而 且也要研究斜截面上的应力。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的方法
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
横截面上的剪应力分布
横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明： 同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的 概念。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
应力的面的概念——过同一点 不同方向面上的应力各不相同
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
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主平面、主应力与主方向
x＝
x＋
2
y
＋
x－
2
y
cos2q－
xysin 2q
xy＝
x－
2
y
sin
2q
xy cos2q
＝
xy
x－
2
y
sin2q
xycos2q
=0
tan
2q
＝
p
－
2τ xy x
y
剪应力xy＝0的方向面，称为主平面（principal plane），其 方向角用qp表示。
应力状态的基本概念
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x'y' x'
x'y' x'
xy
yx
x
微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的 应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
不仅横截面上存在应力，斜截面 上也存在应力。
应力状态的基本概念
受力之前,表面的正方形
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FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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受力之前,表面斜置的正方形
FP
FP
受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉 后，正方形变成了菱形。
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应力状态的基本概念
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
什么是应力状态？ 为什么要研究应力状态 描述一点应力状态的方法
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
什么是应力状态？
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
应力的点的概念——同一截面上 不同点的应力各不相同
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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FQ FNx
Mz
横截面上的正应力分布
1 2 3
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生 失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以 说主应力是反映应力状态本质的特征量。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
x
y
2
4
2 xy
＝0
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
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＝ x y 1 22
x
y
2
4
2 xy
＝ x y 1 22
x
y
2
4
2 xy
＝0
以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用
表示，即
1 , 2 ,3
角度q 与qP 具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性
质，即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋转时，主应力为所有坐 标系中正应力的极值。
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
根据剪应力成对定理，当一对方向面为主平面时，
另一对与之垂直的方向面(q＝qP＋π/2)，其上之剪应力
第7章 应力状态与强度理论及其 工程应用
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应力状态中的主应力 与最大剪应力
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
主平面、主应力与主方向 平面应力状态的三个主应力 面内最大剪应力 过一点所有方向面中的最大剪应力
y
x
x
y
yx
xy
x
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单向应力状态
( One Dimensional State of Stresses )
纯剪应力状态
( Shearing State of Stresses )
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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平面应力状态任意方向面上的应力
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Fx 0
xdA x dAcosq cosq xy dAcosq sinq yx dAsinq cosq y dAsinq sinq 0
x
q
x'y'
x´
x'
xy dA
yx
y
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
σ σ
σ 0
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态中的主应力与最大剪应力
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平面应力状态的三个主应力
tan
2qp＝－
2 xy x
y
qp
q
p
+
2
x＝
x＋
2
y
＋ x－
2
y
cos2q－ xysin2q
＝ x y 1 22
x
y
2
4
2 xy
＝ x y 1 22
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范钦珊教育教学工作室
Qin-Shan FAN s Education & Teaching Studio
清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
材料力学
(7)
2021年4月8日
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材料力学 基础篇之七
上一章
第7章 应力状态分析
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应力状态的基本概念
描述一点应力状态的基本方法
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微元（Element）
dz
dy
dx
微元及其各面上一 点应力状态的描述
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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三向（空间）应力状态
( Three-Dimensional State of Stresses )
y' y
x'
q
x
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
平面应力状态任意方向面上的应力
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微元的局部平衡
平衡对象
——用q 斜截面截取的微
元局部
参加平衡的量
——应力乘以其作用的 面积
平衡方程
Fx 0
Fy 0
x
x´
q x'y' x'
xy dA
yx
y
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
x x
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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平面（二向）
应力状态
x
( Plane State of
Stresses )
y
yx xy
x
y
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
平面应力状态任意方向面上的应力
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x'y'
剪应力
使微元或其局部顺时针 方向转动为正；反之为负。
xy
yx
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
平面应力状态任意方向面上的应力
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方向角θ
由 x正向反时针转 到x'正向者为正；反之 为负。
第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
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应力
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
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第7章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态的基本概念
应力状态的概念——过同一点 不同方向面上应力的集合，称 为这一点的应力状态（State of
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第7章 应力状态与强度理论 及其工程应用
应力状态的基本概念 平面应力状态任意方向面上的应力 应力状态中的主应力与最大剪应力 应力圆及其应用
广义胡克定律 承受内压薄壁容器的应力状态 应变能与应变能密度 结论与讨论
第7章 应力状态与强度理论 及其工程应用