42勒贝格积分的极限定理

可积的．
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（2）分析 要证明 lim E fndx E lim fndx E fdx 成立，
n
n
也即是要估计
E fndx
fdx
E

(
E
fn

f
)dx
．
困难在于（1）mE 有可能为 ；（2）在 E 上 fn (x) f (x) 的性质并不明确，因此逐步证明问题：
lim E fndx E lim fndx E fdx ．
n
n
控制收敛定理和有界收敛定理的关键在于找到可积的
控制函数 F (x) 或常数 K ．
(nx)s 例2 设 fn (x) 1 (nx)s1 (0 s 1) ， x [0,1]，则
证明
lim
n
E fn (x)dx
f (x)dx
E
E
fn (x) dx
E
f (x) dx
2 F(x)dx ． E
问题又一次转化为关于积分 F (x)dx ，是否有 E lim F (x)dx 0 0 E
成立？这就是 Lebesgue 积分的绝对连续性． 定理 1（Lebesgue 积分的绝对连续性） 设 E n 可测， f
§4．2 Lebesgue 积分的极限定理
教学目的 本节讨论关于积分号下取极限的性质，即取极限 和求积分交换顺序的定理．内容包括三个重要的定理以及一 些推论． 本节要点 积分的极限定理有三个重要定理，即控制收敛定 理，单调收敛（Levi）定理，Fatou 引理，它们分别适用于 不同的情况．学习本节的内容应注意分清各个定理的条件和 结论．

E F x dx Ek F xk dx 4 ． （4.2.4）
由于mEk ，故应用 Step1 的结论， 0，必能取到 N ,
当 n N 时,有

[ Ek
fn (x)
f
( x)]dx

． 2
（4.2.5）
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不妨设 mE ，函数序列{ fn (x)}一致收敛到 f (x) ， { fn (x)}，f (x) Lebesgue 可积，于是 0，N ，当 n N 时， 对一切 x E ，有
fn(x) f (x) ， 即
fn(x) f (x) ．
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E F xdx lim n
En F xn dx ．
因此，对 0，k 0，使

E F xdx Ek F xk dx 4 ，
故
EEk F x dx E F xdx Ek F xdx
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推论 2（Lebesgue 有界收敛定理） 若
（1） mE ；
（2） fn是可测集 E 上的可测函数列，存在常数 K ，使得 fn x K ， a.e 于 E ；
（3）如果 fn f ，或 fn f ，a.e 于 E ，
则 f 在 E 上 L-可积且
E
n EN
f (x)
dx lim
N
n
E
fn (x)dx ，
因此
证毕．
E
f (x)dx lim
n
E
fn (x)dx ．
Lvei 定理的重要性在于非负单增可测函数列，其极限运 算和积分运算的次序可以交换．而任何非负可测函数可由单
增的非负简单函数列来逼近，因此非负可测函数的积分性质
所以 fn处处收敛到零，由有界控制收敛定理，立得结论．
例 3（Riemann 可积性的刻划） 如果 f (x) 是区间[a,b]上的
有界函数，则 f (x) 在[a,b]上 Riemann 可积的充要条件是 f (x)
在[a,b]中的不连续点集是一个零测集．
证明略．
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二．Levi 定理和 Fatou 引理
n
n

记 E E fn (x) fn1(x) ，则 mE 0 ．在 E0 E \ E
n1
上， f (x) lim fn (x) 存在，可测，且有 n
fn (x) f (x) ， x E0
故 fn (x) f (x) ，a.e 于 E ．从而

E En
fn f
dx
2F (x)dx
En
2
3 EEn fn f dx
2

mE
3 3(mE 1)
(根据(4.2.2)) (根据(4.2.3))
.
综上可得,等式(4.2.1)在mE 的情形下成立.
Step2 设mE ，由于 F x 在 E 上 L-可积，则
可通过逼近方式从简单可测函数的积分性质来获得．
定理 4（Lebesgue 基本定理或 Lebesgue 逐项积分定理）
EN
f (x) dx N
lim
EN n
fn (x) N dx
lim n
EN

fn
(x) N
dx
（Lebesgue
控制收敛定理）
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故有
lim n
E
fn (x)
N
dx

lim
n
E fn (x)dx，
f (x)dx lim
注意到 fn x F x ， a.e 于 E ,且 f x F x， a.e 于 E ,则
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当 n N 时,有
E fn (x)dx
f (x)dx
E
E
fn (x) f (x) dx
EEn fn f dx En fn f dx
显然 f (x) 在 E 上可积，故 fn (x) 实际上是被一个可积函数
控制住了．现我们降低要求，假定{ fn (x)}不一致收敛，但可
由某个可积函数 F(x) 控制，此时极限和积分能否交换顺序
呢 ？ 我 们 仍 不 妨 设 mE ， fn (x) F (x) ， a.e 于 E ，
因此，对 0，当n N 时,有
E fn (x)dx
f (x)dx
E

[
E
fn (x)

f
( x )]dx

[
Ek
fn (x)

f
( x )]dx

[
E \ Ek
fn(x)
f
( x)]dx


2
E \ Ek
fn f dx

2F (x)dx
在 E 上可积，则对 0， 0，使当 A E ，且mA 时，
A f (x)dx ．
证明 由于 f 在 E 上 L-可积，则 f 在 E 上 L-可积．根据积分
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的定义，有
E f dx lim n
En f n dx ，
即 0 ，N0 0 ，使得

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E f dx
EN0
f
N0 dx
． 2
由于 EN0 f N0 dx E f N0 dx ，因此

E ( f f N0 )dx 2 ．

取
，由第四章第一节 Lebesgue 积分的绝对可积
在 Riemann 积分中，极限与积分交换次序问题需要加很 强的条件，如一致收敛．而在这一节里同学们将会看到新的 积分在处理积分和极限交换次序时，所要求的条件比 Riemann 积分要弱得多，这也正是 Lebesgue 积分最大的成功 之处，所以本节中的一些基本定理在一般分析数学中被经常 引用． 一． 控制收敛定理
2 EEk
2 ．
24
（根据（4.2.5）） （根据（4.2.4））
证毕．
推论 1 将定理 2 中的条件 fn f 改为 fn f ， a.e 于 E ，
结论依然成立．（注意：几乎处处收敛+ mE 依测度收
敛．所以，先将无限测度变为有限测度，对有限测度利用几
乎处处收敛必依测度收敛予以证明，即得结论．）
下面介绍两个与控制收敛定理同等重要而且也是常用
的收敛定理．
定理 2（Levi 定理） 设 fn是可测集 E n 上的一列非负 可测函数，且在 E 上有 fn (x) fn1(x) ，a.e 于 E ，则 fn 几乎
处处收敛于一非负可测函数 f (x) ，
证明
lim E fndx E lim fndx E fdx ．
E fn (x)dx
f (x)dx ，
E
再由数列极限的性质，得
lim
n
E fn (x)dx
f (x)dx ．
E
另一方面，对固定的 N ，

f
n
(
x) N

fn1(x) N
， a.e 于 E
，
且
因此
lim
n
fn
(
x) N

f
(x) N
， a.e 于 E ，
性, 0，使当mA 时，有

A F (x)dx 3 ．
(4.2.2)
对上述 ,根据 fn f ,则存在自然数 N ,当n N 时,有

mE[
fn (x)
f
(x)

3(mE
] 1)
.
(4.2.3)
记

En

E[
fn (x)
f
(x)

3(mE
], 1)
fn (x) f (x) ，a.e 于 E ，F (x) 在 E 上可积，现考察此时是否
有
lim
n
E fn (x)dx
lim
E n
fn (x)dx

f (x)dx
E
成立？
（4.2.1）
根据 Egroff 定理， 0 ，E E ，使{ fn (x)}在 E E 上一致收敛到 f (x) ，且 mE ．因此，在 E E 上显然有等 式（4．2．1）成立．所以问题转化为在 E 上是否有等式（4．2．1） 成立？由于 fn (x) F (x)， a.e 于 E ，于是
注 控制收敛定理中控制函数的可积性是必不可少的．
例 1 考虑 E [0,) 上，函数列
1, x [0, n];
f
n
(
x)

0,
x (n,).
n 1, 2,
显然控制{ fn}的函数 F ，必须 F 1， a.e 于 E ，它在[0,) 上 不是 Lebesgue 可积的．{ fn}的极限函数 f (x) 1，在[0,) 上 不是 Lebesgue 可积的．
测函数列，存在 E 上 L-可积函数 F x ，使得 fn x F x ，
a.e 于 E ．如果 fn f ，则 f 在 E 上 L-可积且
lim E fndx E lim fndx E fdx ．
n
n
证明
(1) 由于 fn f ，根据 Riesz 定理， fnk fn ，使得 fnk f ，a.e 于 E ，因此由 fn F x ，立即可知 f F x a.e 于 E ．根据 F x 的可积性立知 f 是可积的，从而 f 也是
2(N0 1)
性可得，对任意 A E ，当mA 时，有
f (x)dx A
A
f (x) dx
(f
A
f N0 )dx
A f N0 dx

E( f
f
N0
)dx

N0 2(N0 1)

2

2


．
证毕．
定理 2（Lebesgue 控制收敛定理） 设 fn是可测集 E 上的可
[0,1] fn (x)dx 0
首先证明 fn是有界可测函数列．事实上，当nx 1时，
(nx)s
1
fn (x)
1 (nx)s1
1
(nx)s1
1，
故 fn(x) 1．
1
1
对x [0,1]， fn (x)
1
0 ， fn (0) 0 ， 1 nx
(nx)s
（1） 先考虑有限测度集，把有限可测集一分为二，一部分
测度较大但被积函数较小，另一部分虽然被积函数较
大，但测度很小．
（2） 考虑无限测度集，把无限测度也一分为二，一部分
是有限测度集，利用（1）已有的结果；而另一部分
由于函数列被一个可积函数控制，利用可积函数的
性质，最后得到结论．
证明
Step1 假 设 mE , 对 任 意 0 , 根 据 积 分的 绝 对 连 续