第四章基本定理-41存在唯一性定理

（4.1.4）推出
yk2 x yk1 x
x
x0 f
x, yk1 x f
x, yk x dx ,
再利用Lipschitz条件和归纳法假设，有
yk2 x yk1 x
x x0
L
yk1 x
yk
x
dx
k 1
k2
M x L x x0
dx M L x x0
在 x, y平面上经过每一点有且只有一个解。
关于比卡定理x, y 在矩形区域
D : x x0 a, y y0 b 上关于 y 满足
Lipschitz条件，则 f x, y在D 上关于 y
是连续的。有时也称为是Lipschitz连续的。 附注4.1.2 对于给定的在 D 上有定义的函数
的收敛性。下面证明级数（4.1.5）在I上是一致
收敛的。为此我们用归纳法证明不等式
yn1 x
yn
x
M L
L x x0
n1
,
n 1!
n 0,1, 2,L （4.1.6）
在I上成立。
事实上，当 n 0 时，由上面的讨论知（4.1.6）
成立。假设当 n k 时，（4.1.6）成立，先由
x f x, y dx
x0
x
x0 L yk y dx
x L MLk x x0 k1 dx
x0
k 1!
MLk1
x x0
k2
k 2!
由归纳假设，命题成立。
例题 判断下列方程在什么样的区域上保证初 值的解存在且唯一。
1 y=x2 +y2;
2
-1
y=x 3 ;
3 y= y y 0.
x
y2
x
y0
f
x0
x, y1 x dx,
xI
在I上是连续可微的，并且满足不等式
y2 x y0
x
f
x0
x, y1 x dx
x
f
x0
x, y1 x
dx M x x0 ,
从而在区间I上有 y2 x y0 Mh b 。如此类
推，用数学归纳法可以证明，由（4.1.4）给
3
1 3
x3
1 63
x7
1 18
x4
1 9
x
x 1
1 x3 1 x7 1 x4 1 x 11 3 61 18 9 42
2
x
0
x
4 22
2 1!
1 4
3
1 24
1
即误差为
24
定理4.1.1的结论可以推广到n阶方程的情形: 定理4.1.3 设（1）函数
f (x, p1, p2,L , pn )在n 1维空间(x, p1, p2,L , pn )
x
y1
x
y0
f
x0
x, y0 x dx,
xI
在I上是连续可微的，并且满足不等式
y1 x y0
x
f
x0
x, y0 x dx
x
f
x0
x, y0 x
dx M x x0 .
这就是说在区间I上有 y1 x y0 Mh b。
又因为 f x, y1 x在I上连续，所以又有
（3）f x,y =
y,
f
y
x,y
=
1 2
1, y
在除x轴外
的全平面上连续，因此解的存在唯一区域是除
去x轴以外的全面。
例4.1.3 求解初值问题
dy
dx
x2
y2
y 1 0
D : x 1 1, y 1
这是一个Riccati方程，不能用初等积分的方法求
解，但由毕卡定理知，f x, y 在所给区间D上
在第三章中，我们介绍了微分方程的初等积分 法，求解了几类特殊的微分方程，并指出大量的 微分方程不能用初等积分法求解．例如形式很简
单的微分方程 y x2 y2
就没有用初等函数表达的通解．同时，人们最 关注的往往是实际问题在特定初值条件下的解． 此时，必须换另外一种方式来进行研究．第一、 研究初值问题的解在一定条件下的存在性和唯一 性．第二、在得到肯定回答的前提下，求微分方 程的近似解．这是因为如果解不存在，根本没有 必要求解，更没有必要求近似解了；
有
y' x f x, yx, xI ; yx0 y0.
由此积分得到
yx
y0
x
x0
f
x,
y x dx,
xI
即 y y x x I 是积分方程（4.1.3）的解。
反之，设 y y x x I 是（4.1.3）的解，则只
要逆转上面的推导，就可以知道 y y x x I
分曲线如图4.1.1所示。但实验曲线却如图
4.1.2所示。即我们得到两个解
y1
x
x3
和
y2
x
x3 0
x 0 x 0
它们在 x 0 时相同，但在 x 0 时完全不同。
这说明初值问题（4.1.1）的解不是唯一的。
定理4.1.1 （毕卡定理）设有一阶微分方程的
初值问题
dy f x, y ,
y x和y x. 令J x0 d, x0 d 为它们 的共同存在区间，其中d为某一个正数 d h
则由式（4.1.4）推出
x
x
x
x0
f
x,
x
f
x,
xdx,
xI .
利用Lipschitz条件，有
x
x
L
x
x0
x
x
dx
.
（4.1.7）
注意在区间J上， x x 是连续有界的。
因此可以取它的一个上界K, 则由（4.1.7）可见
MLn x x0
n 1!
n1
.
证明 应用Lipschitz条件和数学归纳法证明。
因为
yx
y0
x
x0
f
x,
y x dx,
xI
x
yn
x
y0
f
x0
x, yn1 x dx,
xI
当 n 1 时，
y1 y
x x0
f
x, y0 dx
x f x, y dx
x0
x x0
有
x x LK x x0 .
将此式代入到（4.1.7）的右端，推出
x x K L x x0 2 .
2
以此类推，应用归纳法可以得到
x x K L x x0 n , x J .
n!
令 n 取极限，则上面不等式的右端趋于
零。因此，有
x x, xJ .
这就是说积分方程（4.1.3）的解是唯一的。 定理4.1.1的证明到此结束。
连续，Lipschitz条件可以写成
f 2y 2 L M max f x, y 4
y
a b 1 则
h
min
a,
b M
所以 h 1
4
所以解的存在区间为
0 x 0
x 1 1 4
1 x
x
x 2 dx
1
1 3
x3
x 1
1 3
x3
1 3
2 x
x x2
1
1 3
x3
1
2
dx
出的毕卡序列 y yn x 在I上连续，并且
满足不等式
yn x y0 M x x0 , n 0,1, 2,L .
3 现在证明毕卡序列 y yn x 一致收敛于积分
方程（4.1.3）的解。注意，序列 y yn x
的收敛性等价于级数
yn1 x yn x
n1
（4.1.5）
解 由定理4.1.1，解存在唯一性区域 f x,y
连续区域
f
y
x,y
的连续区域。
（1）
f
x,y =x2 +y2,
f
y
x,y
=2
y它, 们都在全平
面上连续，因此解的存在唯一区域是全平面。
（2）f
x,y
-1
=x 3
,
f
y
x,y
=0,
在除y轴外的全平
面上连续，因此解的存在唯一区域是除去y轴
以外的全面。
下面的例子说明解不存在或不唯一的情况 确实存在。
例4.1.1 微分方程
y2 y2 1 0
的解显然不存在。
例4.1.2 历史上曾经有个实际问题可以归结 为如下的微分方程的初值问题
xy 3 y 0,
y(1)
1.
（4.1.1）
解 由分离变量法求得问题的通解是 y Cx3，
由初始条件得C=1，于是特解为 y(x) x3，积
上有并且只有一个解，其中常数满足
h
min
a,
b M
,
而M = max f x, y . x , yD
证明 为了突出思路，证明过程分为四步。
1 初值问题（4.1.2）等价于积分方程（未知
函数出现在积分号内的方程称为积分方程）
x
y y0
f
x0
x, y dx
（4.1.3）
事实上，设y y x x I 是（4.1.2）的解，则
的偏导数 fy x, y 连续，则 f x, y 在 D
上关于 y 满足Lipschitz条件。
附注4.1.3 一阶线性微分方程
dy dx
=p
x
y+q
x
解的存在唯一性定理：
若 px、qx 在区间[a,b]上连续，则对
任意初值 x0,y0 , x0 a,b, y0 -,
线性方程满足条件 y x0 =y0 的解在区间
[a,b]上存在且唯一。
毕卡序列实际上也给出了求解初值问题（4.1.2） 近似解的方法。并且关于解的精度，我们有
定理4.1.2 设一阶微分方程的初值问题
dy f x, y,
dx
y x0 y0
满足存在唯一性定理的条件，则其第 n 次近似解
yn x 与真解 y x 的误差为
yn
x
yx
f x, y ，根据定义去验证它是否关于 y
满足Lipschitz条件，往往是困难的。下面我们 给出两个在实际应用中容易判断的充分条件。
充分条件1 如果函数 f x, y 在 D 上关于 y
的偏导数 fy x, y 存在且有界，则 f x, y 在
D 上关于 y 满足Lipschitz条件； 充分条件2 如果函数 f x, y 在 D 上关于 y
f x, y0 f x, y dx
x
x0 L y y0 dx,
x
L
x0
f x, y dx
x x0
LM
x
x0
dx
1 2
LM
x
x0
2
,
命题成立；设 n k 时命题成立，即
yk
y
MLk x x0 k1 k 1!
,
则当 n k 1 时，有
yk1 y
x x0
f
x, yk dx
*** 解的存在、唯一性定理
从第二章可以看到，微分方程源于生产生活实 际，研究微分方程的目的在于分析和了解它所 反映的客观规律，帮助人们解释已有的各种现 象，并能在一定程度上预测未来，指导实 践．因此讨论反映某一运动规律的微分方程， 最理想的方法是能找出通解的表达式，再根据 定解条件，确定出其中的任意常数，获得所需 要的特解，并通过特解的表达式了解它对某些 参数的依赖情况，从而适当地选取这些参数， 使得对应的解所描述的“运动”具有所需要的 性能．
毕卡序列 y yn x 是一致收敛的。其极限函数
x
lim
n
yn
x
,
xI
在区间I上是连续的。利用 f x, y 的连续性和
毕卡序列的一致收敛性，在（4.1.4）中令
n 取极限，就得到
x
y0
x
x0
f
x, xdx,
xI
这说明 y x 在I上是积分方程（4.1.3）的
一个解。
4 最后证明唯一性 设积分方程（4.1.3）有两个解分别为
如果解存在但不唯一，由于我们不知道 应该近似地求哪个解，问题本身还是不明确 的．因此，解的存在唯一性定理是求近似解的 理论基础．此外，定理的证明过程还提供了求 近似解的具体途径，这也体现了存在唯一性定 理的实用价值．第三、由于实际观测的初始数 据与真实现象的初始状态值之间往往存在误差， 因此我们自然要问，以它为初值的解与真实解 之间的误差是否在允许的范围之内？也就是说， 当初值变动很小时，解的变动是否也很小？我 们称之为解对初值的连续依赖性问题．
,
x0 k 1!
L k 2!
即当 n k 1 时（4.1.6）也成立，故结论成立。
因为 x x0 h, 所以级数（4.1.5）从第二项 开始，每一项的绝对值都小于正项级数
h2 Mh ML
L
MLn1 hn
L
2!
n!
的对应项。而上面这个正项级数显然是收敛的。 所以由Weierstrass判别法，级数（4.1.5）在区 间I上不仅是收敛的，而且是一致收敛的。因此，
dx
y x0 y0 , （4.1.2）
其中 f x, y在矩形域
D : x x0 a, y y0 b
上连续；对变量满足Lipschitz条件, 即对任何D
中的点
x,
y
和
x,
y
均成立不等式
f
x,
y
f
x,
y
L
y
y
其中常数L 0
则初值问题（4.1.2）在区间 I x0 h, x0 h
有了毕卡定理，对于一般微分方程
dy f x, y,
（4.1.8）
dx
只要能判断函数 f x, y 在某个区域D内连续并
且对y有连续的偏导数（或满足Lipschitz条件），
就可以断言在区域D内经过每一点有并且只有一 个解。
例如前面提到的Riccati方程
dy x2 y2 dx
虽然不能用初等积分法求解，但由毕卡定理知道它
是（4.1.2）的解。
因此只需证明积分方程（4.1.3）在区间I上 有且只有一个解。
2 用逐次迭代法构造毕卡序列
x
yn1
x
y0
f
x0
x, yn x dx,
x I （4.1.4）
n 0,1,2,L , 其中y0 x y0.
当 n 0时，由于f x, y0 x 在I上连续，所以