考研高数难点-偏导数与全微分

在点(0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)处有
xy 2 2 f ( x, y) x y 0
x2 y2 0
.
x2 y2 0
x y , z [ f x (0,0) x f y (0,0) y] 2 2 ( x ) ( y )
x y ( x ) 2 ( y ) 2
因此, 函数在点(0,0)处不可微.
全 微 分
2. 可微分的充分条件
定理2 (微分充分条件) 如果函数z f ( x , y )的 z z 偏导数 、 在( x , y )连续, 则该函数在点( x , y ) x y 可微分. 证 假定偏导数在点P(x,y)连续, 就含有偏导数 在该点的某一邻域内必存在的意思. (今后常这样理解).
z [ f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y] 1x 2y


1 x 2 y 0 0, 1 2
故函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微.

注
z z , 两个偏导数 在点 ( x , y ) 连续 x y 仅是函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微的充分
如果考虑点 P ( x , y ) 沿直线 y x 趋近于 (0,0), 则

x x 1 , 2 2 ( x ) ( x ) 2
说明它不能随着 0 而趋于0, 当 0时,
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ] o( ),
全 微 分
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
两个偏导数都存在函数也不一定可微.
xy 2 2 x y 如， f ( x , y ) 0
x2 y2 0
.
x2 y2 0
在点(0,0)处有, f x (0,0) f y (0,0) 0 (由偏导数定义可求得)
可微
可导 连续 有极限
对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：
偏导连续
可微 连续 有极限
有偏导
全 微 分
设函数u xy z , 则du (
)
y z dx xzy z 1dy xy z ln ydz
设z f (3 x 2 y ), 则全微分 dz (
)
2 2 f (3 x y )(6 xydx 3 x dy )
全 微 分
对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：
① f (x, y)在点(x0 , y0)处连续,
② f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续, ③ f (x, y)在点(x0 , y0)处可微, ④f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在. PQ ” 若用“ 表示可由性质P推出性质Q,则有 (A) ② ③ ①. (B) ③ ② ①. (C) ③ ④ ①. (D) ③ ① ④.
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) [ f ( x x , y y ) f ( x , y y )]
用拉氏定理 [ f ( x , y y ) f ( x , y )],
全 微 分
f ( x x , y y ) f ( x , y y )
全 微 分
选择题
x y 2 设函数f ( x , y ) x y 2 0
2
( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0)
在(0,0)点( D ).
( A) 极限不存在,
( B ) 不连续,
D. f x (0,0), f y (0,0)存在.
(C ) 可微分,
全 微 分
同理 f ( x , y y ) f ( x , y )
f y ( x , y )y 2y , 当y 0时, 2 0,
z f x ( x , y )x 1x f y ( x , y )y 2y
f x ( x, y )x f y ( x , y )y 1x 2 y
f x ( x 1x , y y )x f x ( x , y )x 1x
由f x ( x , y )在点( x , y )连续.
(0 1 1)
令f x ( x 1x , y y ) f x ( x , y ) 1
其中 1 0 (x 0, y 0)
条件, 并非必要条件. 如 1 2 2 ( x y ) sin 2 2, 函数f ( x , y ) x y 0, 在原点(0,0)可微.
x2 y2 0 x2 y2 0
但是, 偏导数在原点(0,0)不连续.
全 微 分
选择题
考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质: