三角函数线

Hale Waihona Puke Baidu
利用单位圆中的三角函数线证明sinx＜x＜tanx(0 ＜x＜ ),由此判断方程sinx=x方程解的个数为( ) A.1 B.0 C.2 D.3
思路分析:证明sinx＜x＜tanx(0＜x＜ )可将它们转化为单位圆中的 三角函数线比较,方程解的个数问题可转化为图象交点个数问题. 解析:如右图,OP为角x的终边,图中MP、AP 、AT分别表示sinx、x、 tanx,由S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT, 即 ½ .OA· MP＜ ½ .OA· 弧AP＜ ½ .OA· AT. ∴MP＜弧AP ＜AT,即sinx＜x＜tanx. 由所证不等式知: 当x＞0,则x＞sinx; 当x=0,则x=sinx; 当x＜0,则x＜sinx, ∴方程sinx=x只有一解.故选A. 答案:A
4.4.2 单位圆与三角函数线
三角函数线的基本定义
设角α 的终边与单位圆交与P 点,与过点A(1,0)的单位圆切 线交于T点(当终边与切线AT 不相交时,取终边反向延长线 与切线AT的交点),过P作PM垂 直x轴于M,则有向线段 MP,OM,AT,分别叫做角α 的正 弦线,余弦线,正切线, 正弦线,正切线的正向与y轴 的正向相同,向上为正,向下 为负,余弦线的正向与x轴的 正向相同,当角α 的终边与y 轴重合时,角α 的正切线无意 义
三角函数线的作用
1.比较两个三角函数值的大小 2.讨论三角函数的单调性 3.讨论三角函数方程的解 4.讨论三角函数不等式的解
例题：在单位圆中,利用三角函数线求出满 足sin a小于1/2的角a的取值范围
sin a=1/2时，a=30或 150 所以sin a小于1/2时， 特解为0<a<30,或 150<a<360 通解为 k*360<a<30+k*360,或 k*360+150<a<k*360+3 60