平面向量减法运算及其几何意义

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【自主解答】 (1)因为A→O＋O→C＝A→C，O→C－O→A＝A→C，所以选 D． (2)①A→B＋O→A－O→B＝A→B＋(O→A－O→B)＝A→B＋B→A＝0； ②A→B＋(B→D＋C→A)＋D→C＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝A→D＋D→A＝0； ③O→B－O→A－O→C－C→O＝(O→B－O→A)－(O→C＋C→O)＝A→B.
【答案】 B
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4．已知 a，b 为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________. 【导学号：00680040】
①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则 a 与 b 方向相同； ②若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 方向相反； ③若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 有相等的模； ④若||a|－|b||＝|a－b|，则 a 与 b 方向相同． 【解析】 当 a，b 方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，当 a，b 方向相反时有||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|.因此①②④为真命题． 【答案】 ①②④
1．定义： a－b＝a＋(－b)， 即减去一个向量相当于加上这个向量的
_相__反__向__量____．
2．作法：在平面内任取一点
O，作O→A＝a，O→B＝b，则向量
→ a－b＝__B_A___，
如图 2－2－12 所示． 3．几何意义：a－b 可以表示为从向量__b__的终点
指向向量__a__的终点的向量．
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利用“三角形法则、平行四边形法则”把向量问题转化为平面几何的问题， 然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个 解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的．
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[再练一题] 3．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|. 【解】 如图，作O→A＝a，O→B＝b，再以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB， 则有O→C＝a＋b，B→A＝a－b，
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[再练一题] 2.如图 2－2－14，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形， 且A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用 a，b，c 表示向量B→D，B→C，B→E，C→D及C→E.
图 2－2－14
【导学号：00680039】
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【解】 ∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴C→D＝A→E＝c，B→C＝A→C－A→B＝b－a， B→E＝A→E－A→B＝c－a， C→E＝A→E－A→C＝c－b， ∴B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
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(3)因为A→B－C→B＋C→D＝A→B＋B→C＋C→D＝A→D，
又|A→D|＝2，
所以|A→B－C→B＋C→D|＝|A→D|＝2.
又因为A→C＝A→B＋A→D，且在菱形 ABCD 中，|A→B|＝2，
所以||A→B|－|A→D||<|A→C|＝|A→B＋A→D|<|A→B|＋|A→D|，
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图 2－2－12
在△ABC 中，D 是 BC 的中点，设A→B＝c，A→C＝b，B→D＝a，A→D＝d，则 d
－a＝________． 【解析】 d－a＝d＋(－a)＝A→D＋D→B＝A→B＝c.
【答案】 c
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
综上所述，得不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
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设 a 和 b 的长度均为 6，夹角为2π 3 ，则|a－b|等于________．
【精彩点拨】 画出平行四边形数形结合求解． 【自主解答】 作O→A＝a，O→B＝b，则|a－b|＝|B→A|， 在 Rt△BCO 中， ∠BOC＝π3 ，|B→O|＝6， ∴|B→C|＝3 3， ∴|a－b|＝|B→A|＝2|B→C|＝6 3. 【答案】 6 3
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[小组合作型] 向量减法及其几何意义
(1)A→C可以写成：①A→O＋O→C；②A→O－O→C；③O→A－O→C；④O→C－O→A.
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
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(2)化简：①A→B＋O→A－O→B＝________； ②A→B＋(B→D＋C→A)＋D→C＝________； ③O→B－O→A－O→C－C→O＝________. (3)已知菱形 ABCD 的边长为 2，则向量A→B－C→B＋C→D的模为________；|A→C |的范围是________．
【答案】 A
图 2－2－15
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3．若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．E→F＝O→F＋O→E
B．E→F＝O→F－O→E
C．E→F＝－O→F＋O→E
D．E→F＝－O→F－O→E
【解析】 因为 O，E，F 三点不共线，所以在△OEF 中，由向量减法的几 何意义，得E→F＝O→F－O→E，故选 B．
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【解析】 选项 A 中(A→B－D→C)－C→B＝A→B＋C→D＋B→C＝A→B＋B→C＋C→D＝A→D； 选项 B 中A→D－(C→D＋D→C)＝A→D－0＝A→D；选项 C 中－(C→B＋M→C)－(D→A＋B→M)＝ －C→B－M→C－D→A－B→M＝B→C＋C→M＋A→D＋M→B＝(M→B＋B→C＋C→M)＋A→D＝A→D.
阅读教材 P85 探究以下至倒数第九行以上内容，完成下列问题． 1．定义：如果两个向量长度__相__等__，而方向_相__反___，那么称这两个向量是 相反向量． 2．性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝_0__． (2)若 a，b 互为相反向量，则 a＝_－__b_，a＋b＝__0__． (3)零向量的相反向量仍是__零__向__量___．
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【精彩点拨】 (1)用三角形法则求向量和的关键是“首尾相连”，用平行 四边形法则求向量和的关键是“共起点”．
(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如 a－b，可以先作－ b，然后用加法 a＋(－b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把减向 量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．
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1．解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构 成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
2．通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中， 将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－ A→B”改为“B→A”．
【答案】 D
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利用已知向量表示其他向量 如图 2－2－13 所示，已知O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d，O→E＝
e，O→F＝f，试用 a，b，c，d，e，f 表示：
图 2－2－13 (1)A→D－A→B；(2)A→B＋C→F；(3)B→F－B→D.
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我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
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学业分层测评 点击图标进入…
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[探究共研型]
向量减法的三角不等式及其取等条件
探究 1 若|A→B|＝8，|A→C|＝5，则|B→C|的取值范围是什么？ 【提示】 由B→C＝B→A＋A→C及三角不等式，得|B→A|－|A→C|≤|B→A＋A→C|≤|B→A| ＋|A→C|，又因为|B→A|＝|A→B|＝8，所以 3≤|B→C|＝|B→A＋A→C|≤13，即|B→C|∈[3，13]．
即
→ 0<|AC|<4.
【答案】 (1)D (2)①0 ②0 ③A→B (3)2 (0，4)
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1．向量加法与减法的几何意义的联系： (1)如图所示，平行四边形 ABCD 中，若A→B＝a，A→D＝b，则A→C＝a＋b，D→B ＝a－b.
(2)类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
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(3)当 a，b 非零且共线时，①当向量 a 与 b 同向时，作法同上，如图(2)所 示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量 a，b 反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图 (3)所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.
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设 b 是 a 的相反向量，则下列说法错误的有________． ①a 与 b 的长度必相等；
②a∥b；
③a 与 b 一定不相等； ④a 是 b 的相反向量．
【解析】 因为 0 的相反向量是 0，故③不正确． 【答案】 ③
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教材整理 2 向量的减法
阅读教材 P85 倒数第九行至 P86 例 3 以上内容，完成下列问题．
阶
阶
段
段
一
三
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
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1．掌握向量减法的运算，理解其几何意义．(重点) 2．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．(难点) 3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)
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[基础·初探]
教材整理 1 相反向量
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5．化简(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． 【解】 法一：(A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D ＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A) ＝A→D＋D→A＝0.
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法二：(A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B) ＝C→B＋B→C＝0.
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探究 2 已知向量 a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小
关系？ 【提示】 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (1)当 a，b 有一个为零向量时，不等式显然成立． (2)当 a，b 不共线时，作O→A＝a，A→B＝b，则 a＋b＝O→B，如图(1)所示，根
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2．向量加减法化简的两种形式： (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
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[再练一题] 1．下列各式中不能化简为A→D的是( ) A．(A→B－D→C)－C→B B．A→D－(C→D＋D→C) C．－(C→B＋M→C)－(D→A＋B→M) D．－B→M－D→A＋M→B
即|a＋b|与|a－b|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|a＋b|＝|a－b|， 所以该四边形为矩形，从而|a－b|＝ 62＋82＝10.
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[构建·体系]
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1．在△ABC 中，若B→A＝a，B→C＝b，则C→A等于( )
A．a
B．a＋b
C．b－a
D．a－b
【解析】 C→A＝B→A－B→C＝a－b.故选 D． 【答案】 D
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2．如图 2－2－15，在四边形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，B→C＝c，则D→C
＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
【解析】 D→C＝D→A＋A→B＋B→C＝a－b＋c.
【精彩点拨】 运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向
量 a、b、c、d、e、f 的和与差来表示． 【自主解答】 (1)∵O→B＝b，O→D＝d，∴A→D－A→B＝B→D＝O→D－O→B＝d－b. (2)∵O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→F＝f， ∴A→B＋C→F＝(O→B－O→A)＋(O→F－O→C)＝b＋f－a－c. (3)∵O→D＝d，O→F＝f， ∴B→F－B→D＝D→F＝O→F－O→D＝f－d.