第4讲 数的整除性(二)

第4讲数的整除性（二）

（1）能被7 整除的数的数字特性

能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。

（2）能被11 整除的数的数字特性

能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。

能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。

（3）能被13 整除的数的数字特性

能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。

补充：

（4）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（5）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（6）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

（7）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

（8）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除

一个特殊的数——1001。因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。

例1 判断306371能否被7整除？能否被13整除？

练习：

1.下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？

88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。例2已知10□8971能被13整除，求□中的数。

练习：

1.六位数175□62是13的倍数。□中的数字是几？

2.已知七位数138679

A是7的倍数，求A。

3.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。

例3 abcabc能否被7、11和13整除？

练习：

1．六位数能否被7和13整除？

例4 说明abbaabbaabba 一定是3、7、13的倍数。

12位数aabbaabbaabb 能否被7和13整除

例5 如果41位数20555□20999能被7整除，那中间方格内的数字是几？

练习：

1. 20333□20888能被13整除，求中间□的数字是几？

下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。

判断一个数能否被27或37整除的方法：

对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。

例6 判断下列各数能否被27或37整除：

（1）2673135；（2）8990615496。

练习：

1.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？

1861026， 1884924， 2175683， 2560437，11159126，131313555，266117778。

由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。

判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：

为了叙述方便，将个位是9的数记为9

k（= 10k+9），其中k为自然数。

对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；否则，这个数就不能被k9整除。

例7（1）判断18937能否被29整除；

（2）判断296416与37289能否被59整除。

练习：

1.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？

55119， 55537， 62899， 71258，186637，872231，5381717。

专题练习

1、判断47382能否被3或9整除？

2、判断42559，7295871能否被11整除？

3、32335能否被7整除？

4、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？

5、四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A= ，B= ？

6、173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、11、6整除，先后填入的3个数分别是几？

7、九位数8765□4321能被21整除，□中应填几？

8、用1-7七个数字组成不重复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数差是多少？

9、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？

10、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少?

11、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数可能是多少？

12、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商可能是多少？

13、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？

参考答案

例1 解：因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。

练习：1.能被7整除的有250894，675696，805532；

2.能被13整除的有88205，167128，805532，75778885。

例2 解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。

上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。

练习：1.1。提示：175-62=113，只要□内填1，就有175-162=13。

2.

3.0。解：因为8765□4321能被21整除，所以能被7和3整除。

由能被7整除，推知下列各式也能被7整除：

8765□4-321=876504+□0-321=876183+□0，

876-（183+□0）=693+□0。

由（693+□0）能被7整除，可求出□=0或7。

再由能被3整除的数的特征，□内的数只能是0。

例3

练习：1.能

例4 2位数进行改写。根据十进制数的意义，有

因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能被3整除。

根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=） 100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

同理， 100009与（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

因为91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7和13整除。

练习：1.能。提示：仿例。

例5 分析与解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7