基于非线性薛定谔方程的畸形波理论及其应用(张解放, 戴朝卿, 王悦悦)思维导图
两类非线性波动方程的精确解与怪波中期报告
两类非线性波动方程的精确解与怪波中期报告
本中期报告主要介绍两类非线性波动方程的精确解和怪波现象的研
究进展。
具体内容如下：
1. KdV方程和NLS方程的精确解
KdV方程和NLS方程都是重要的非线性波动方程，它们在物理学和
数学上都具有广泛的应用。
近年来，研究人员通过不同的方法，发现了
这两个方程的不同类型的精确解。
其中包括孤子、鬼波、无穷孤立子等。
我们在研究KdV方程的精确解时，主要关注的是孤子解。
通过借鉴Lax对点积算子的定义，将KdV方程的解表示为Lax对点积算子与一个特殊的向量的乘积形式，得到了其一维孤子解。
而对于NLS方程，研究人
员则从另一个角度出发，通过使用几何代数的方法，指出了其两维孤子
解和鬼波解。
2. 怪波现象的研究进展
在非线性波动方程中，怪波现象是极具挑战性的研究问题之一。
通
过对非线性波动方程中的如孤子解、无穷孤立子解等不同类型精确解的
研究，我们发现其中存在着怪波现象。
最近几年的研究表明，这些怪波
不仅仅是非线性波动方程中的“负面能量波”，而且它们还具有很多神
奇的性质，如变形、旋转、破碎等现象。
尽管近年来研究人员在怪波现象的研究中取得了不少进展，但仍有
很多问题需要解决，例如怎样才能预测和控制怪波的产生。
因此，我们
相信研究非线性波动方程和怪波现象的探索之路还有很长的路要走。
一些非线性发展方程的有界钟状代数孤立波解
一些非线性发展方程的有界钟状代数孤立波解
李向正
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2012(25)4
【摘要】本文以非线性发展方程的有界钟状代数孤波解为研究对象,以Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov(简称KPP)方程、组合KdV-mKdV方程和mKdV方程为例,利用平面动力系统知识,分析有界钟状代数孤立波解出现的条件,提出求解的方法,称之为代数孤波解解法(简称ASW解法),分别获得这三个方程的代数孤立波解.
【总页数】6页(P875-880)
【关键词】同宿轨;平面动力系统;代数孤立波解
【作者】李向正
【作者单位】河南科技大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.非线性发展方程的代数孤立波解 [J], 王淑香
2.mBBM方程的钟状代数孤立波解 [J], 李向正
3.辅助方程法解的推广及其非线性发展方程的精确孤立波解 [J], 乌敦其其格
4.非线性发展方程的代数孤立波解 [J], 王淑香
5.一些非线性发展方程孤立波解的分析 [J], 刘晓平;刘春平
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非线性物理
孤立子（Soliton）：孤立子（或孤立波）是一种非线性效应，它能够保持 其速度和形状长时间传播。孤立子理论在光纤通信，蛋白质和DNA作用机 理，以及弦论中都有重要应用。
模式形成（Pattern formation）
课程名称：非线性物理
教学参考书：
Nonlinear Physics
总学时：30
非线性物理概论，陆同兴 编著，中国科学技术大学出版社。 非线性物理学，席得勋 编著，南京大学出版社。 非线性物理理论及应用，周凌云等 编著，科学出版社。 非线性动力学与混沌基础，刘秉正 编著，东北师范大学出版社。 非线性物理学，卓崇培 主编，天津科学技术出版社。
绪论：何为非线性和非线性科学？
二十世纪初量子力学和相对论的创立，因为提出了突破人 们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领 域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。 牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。当深入到微 观尺度（<10-10m），应该取代为量子力学，当物体的速度 接近于光速（～10 8m/s），则相对论是正确的。
客观世界本来就是非线性的、复杂的。非线性物理就是一 门以非线性系统的普遍规律及客观世界的复杂性本身为研究 对象的学科，它在上一世纪八十和九十年代蓬勃发展，也将 成为新世纪物理学研究的最前沿。
目前非线性物理学中研究得最为广泛的领域主要有以下方面：
混沌理论（Chaos theory）：混沌是一种源自于（非线性的）决定性规律 的无序状态。混沌的最大特点是具有高度初值敏感性，无论多么微小的微 扰，在足够长的时间後都会使系统彻底的偏离原来的状态。大气就是典型 的混沌系统，因而长期天气预报是不可能的。
（2＋1）维非线性薛定谔方程的线畸形波及其传播特性
（2＋1）维非线性薛定谔方程的线畸形波及其传播特性楼吉辉;胡文成;赵辟;张解放【期刊名称】《商丘师范学院学报》【年(卷),期】2013(29)6【摘要】We propose a unified theory, that is similarity transformation, to construct exact optical rogue wave solutions of (2 +1) dimensional nonlinear Schrödinger equation.Moreover, we investigate propagation dynamics of the first -order and second -order optical rogue wave in the optical fiber amplifier .Finally, we introduce the concept of linear rouge wave which will give edification in theory and practical application .%采用一个通用的理论，即用相似变换的方法，研究构建了（2＋1）维非线性薛定谔方程的精确畸形波解，并进一步讨论了一阶、二阶光学畸形波的传输特性，我们提出的线畸形波概念在理论和应用方面都具有启迪价值。
【总页数】5页(P34-38)【作者】楼吉辉;胡文成;赵辟;张解放【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004;浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004;浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004;浙江传媒学院互联网与社会研究中心，浙江杭州 310018; 浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004【正文语种】中文【中图分类】O411.1【相关文献】1.(2+1)维五次非线性薛定谔方程的无穷序列新解 [J], 阿如娜;套格图桑2.具有分布系数的(2+1)维非线性薛定谔方程的精确自相似解 [J], 费金喜3.（2＋1）维非线性薛定谔方程的怪波解 [J], 程丽;张翼4.(2+1)维非线性薛定谔方程的Peregrine-like有理解 [J], 肖世校;贺为5.变系数(2+1)维非线性薛定谔方程中奇异结构孤子(英文) [J], 徐四六;陈顺芳;孙运周因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
薛定谔方程课件
2m
t
如势函数不是时间的函数，即 U U(r)
用分离变量法将波函数写为：
(r)
(r)f
(t)
代入薛定谔方程得：
1
2 2m
2
U(r)
i
f
1 (t)
f(t) t
16
1
2 2m
2
U(r)
i
f
1 (t)
f(t) t
方程左边只是空间坐标的函数，
右边只是时间的函数，
只有两边都等于一个常数等式才能成立。
i
Et
2
(r )
2
与时间无关
18
定义能量算符,动量算符和坐标算符
例：能量、动量和坐标算符对沿x方向传播
自由平面波波函数 的作用
19
利用对应关系得“算符关系等式” • 把“算符关系等式”作用在波函数上得 到 三维情况：
20
哈密顿量
粒子的总能量
若
称 为能量算符
用哈密顿量表示薛定谔方程
21
能量算符的本征值问题 本征值取分立值时的本征值问题 n —量子数 {E1，E2，….，En，….}—能量本征值谱
沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写， 其波函数为：
(
x,
t
)
e i 2
0
(t
x
)
h p
E h
(x,
t
)
0e
i
(
Et
px
)
3
考虑到自由粒子沿
r
方向传播的三维情况，
波函数可写为：
(r,
t)
0e
i
(
Et
pr
)
几类非线性薛定谔方程显式怪波解及其动力学行为.pptx
首先利用直接构造法获得了广义非线性薛定谔方程中心可控的 怪波解。通过改变参数,怪波解的中心位置可以移动。
其次研究系统参数对怪波的影响,结果发现非线性参数会影响怪 波的宽度,随着参数的增加怪波的宽度不断增加,这就意味着怪 波覆盖的范围增大。最后,当非线性参数取负值时,可以获得几 类奇异的怪波。
第四部分利用相似变换的方法得到了非线性变系数薛定谔方程 的怪波解,同时也分析了参数对怪波的宽度及中心的影响。进一 步,分析了参数对怪波高度的影响,随着一些参数的增加或减小, 怪波的高度也相应的减小或增大,所以可以通过调节参数法研究扰动的薛定谔方程中孤子和怪 波的传播规律。在扰动下,光滑孤子可以稳定的传播,而怪波不 能稳定传播,很容易发生坍塌和扩散。
进一步,发现怪波对参数的敏感性很强,改变参数可以使怪波传 播的发生巨大改变。因此可以通过调节参数减弱怪波的传播。
第六部分是总结与展望。
几类非线性薛定谔方程显式怪波解及 其动力学行为
本文利用不同方法构造出非线性薛定谔方程的怪波解,并利用数 值模拟的方法研究怪波在扰动下的传播规律。本论文的安排如 下:第一部分介绍了研究背景,意义及研究现状。
第二部分介绍了非线性薛定谔方程和怪波的相关预备知识。第 三部分研究了广义非线性薛定谔方程的怪波解。
求非线性薛定谔方程的行波解的一种新途径
数 变换 关 系 ， 据 Ｎ 根 ＫＧ 方 程 的 已 知 解 ， 获得 ＮＬ Ｓ方 程 系 统 丰 富 的 显 式 精 确 行 波 解 ， 包括 孤 波 解 ， 期 波 解 ， 周
雅 可 比 椭 圆 函数 解 ．
［ 关键词］ 变映射法 ； Ｓ方程 ；非线性 Ｋｌ ｎ ｏ ｒｏ Ｎ 形 ＮＬ ｅ —Ｇ ｄ ｎ（ ＫＧ） ｉ 方程 ； 行波解 ［ ｏ］Ｏ ３ ６ ／．ｓｎ １Ｏ —６ ７ ．０ ０ ０ ． ０ ｄｉｌ ． ９ ９ｊｉ ．Ｏ ８ ０ ２ ２ １ ． ３０ ３ ｓ ［ 中图分类号］ ７ ． ９ ０１ ５ ２ ［ 文献标识码］ Ａ ［ 文章 编号］０ ８ ６ ７ （０ ０ Ｏ一Ｏ ０ 一Ｏ １０－ ０２２１）３ ｏ７ ３
（）式 可 以行 波 约 化 为 非 线 性 常微 分 方 程 ２
０ 引 言
非 线性 现 象 的 研 究是 各 个 自然 科 学 领域 。 包 括 社 会 也
Ｆｎ “ Ｕ ， 。 ， ）＝ ０ （ 。 …
（） ４
其 中 ”表 示 ｄ ． ／ 为获 得 系 统 （ ）的行 波 解 。 如 下 ２ 作
变换 ：
“（ 一 “ （ ） ９ （ ９ （） ５
科 学领 域 所 十 分 关 心 的 问题 ． 理 、 学 、 物 、 讯 工 程 ， 物 化 生 通 甚 至社 会 的 经 济 问题 等都 存 在 着 大 量 的 、 要 的 非 线 性 问 重
题． 这些 问题 的研 究 最 终 可 用 非 线 性 偏 微 分 方 程 这 个 数 学
２１ ０ ０年 ６月
郧 阳 师 范 高等 专 科 学校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ａ ｇＴｅ ｃ ｅｓＣｏｌｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｙｕ ｙ ｎ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ ｅ第 ３ 第 Nhomakorabea期 Ｏ卷
非线性薛定谔方程
非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程是一种常用于研究物理系统中的量子力学模型。
它描述了一个粒子在一个势能场中的运动，并且可以用来研究多种物理现象，包括光学振荡器，原子内能级的调控，以及量子极化等。
非线性薛定谔方程可以用来描述多种物理系统，包括光学振荡器，原子内能级的调控，以及量子极化等。
非线性薛定谔方程通常用来描述物理系统中量子力学效应的演化，这些效应是由于粒子之间的相互作用而产生的。
由于它的非线性性质，非线性薛定谔方程往往难以直接解决，因此，研究人员常常使用数值方法来解决这个方程。
然而，尽管如此，非线性薛定谔方程仍然是一个非常重要的工具，用于研究物理系统中的量子力学效应。
非线性薛定谔方程的应用非常广泛，它可以用来描述多种物理系统。
例如，在光学领域，非线性薛定谔方程可以用来研究光学振荡器的特性。
在原子物理领域，它可以用来研究原子内能级的调控以及量子极化等。
此外，非线性薛定谔方程还可以用来研究超导体，半导体，以及生物分子等。
非线性薛定谔方程是一个非常强大的工具，它可以用来描述物理系统中量子力学效应的演化。
然而，由于它的非线性性质，非线性薛定谔方程往往难以直接解决，因此，研究人员常常使用数值方法来解决这个方程。
尽管如此，非线性薛定谔方程仍然是一个非常重要的工具，在许多不同的物理领域中都有广泛的应用。
非线性薛定谔方程的解决通常使用数值方法，因为直接解决这个方程往往是困难的。
常用的数值方法包括谱方法，时域有限差分法，时间步长自适应谱方法等。
这些方法都有各自的优缺点，在不同的应用场景中表现不同。
例如，谱方法通常比较精确，但是计算时间较长，而时域有限差分法则计算速度快，但是精度较低。
因此，在使用数值方法解决非线性薛定谔方程时，需要根据实际应用场景选择合适的方法。
北京工业大学无损检测与评价研究所 2020年度研究进展
Ca )非线性C h irp 的IF1科学成果概述(1)超声导波信号参数化表征方法的研究。
基于Chirplet 模型的参数化信号表征技术已经在超声导波的材料性能识别和结构完整性评估中引起了广泛地关注。
使 用高斯窗或线性调频函数建立的模型与实际情况不一致。
在实际情况中，常采用汉宁窗调制的正弦信号作为激励信 号，由于波的色散，接收到的信号具有非线性相位和不对 称包络等特性。
为了消除上述矛盾，提出了一沖非线性汉 宁窗线性调频模型，设计了一个非线性相位调制顶来调制 经典的汉宁窗和正弦函数。
用双曲正切函数建立相位调制 项，对非线性调制顶和NHWC (非线性汉亍窗线性调频） 模型的性质进行了数学分析，包括时间的可变性、奇偶性 和凹凸性。
这些性质用于指导信号表征中的参数设置。
N H W C 模型可以表征导波信号的各种特性，包括对称或不对称的汉亍包络以及相位非线性。
最后，采用自适应遗 传算法来验证N HW C 模型在试验测量的超声信号参数表 征中的有效性。
非线性C h irp 的IF (瞬时频率）曲线和 波形如图1所示。
北京工业大学无损检测与评价研究所成立于1998年， 隶属于学校工程与应用电子学院，重点招收机械工程、 仪器科学与技术等两个一级学科的硕士生和博士生，主要 研究方向为如何利用声、光、电的波动特性对机械结构、 功能材料等进行无损检测与结构健康监测。
研究所现有教授7名，副教授1名，讲师6名，博、 硕士研究生100余名，其中，北京市拔尖创新人才3人， 北京市创新团队1个，北京市科技新星3人，校“京华人 才’’ 2人。
@成立以来，研究所承担各类科研顶目70余项, 包括国家重点研发计划顶目、国家自然科学基金国家重大 科研仪器研制项目、国家自然科学基金重点项目、科技部 863计划顶目和国家科技支撑计划顶目等，科研经费累计 达6 000余万元。
研究所在无损检测和结构健康监测新技 术、新型传感器测试技术、高端检测设备及仪器幵发等方 面取得了丰硕的成果，针对企业需求，提供了多种定制化 的解决方案，其中•■防撞护栏钢立柱埋置深度无损检测技 术研究与设备研制”顶目获得浙江省科学技术奖二等奖。
广义五阶非线性薛定谔方程的怪波与呼吸子的复合波解
广义五阶非线性薛定谔方程的怪波与呼吸子的复合波解
董浩楠;扎其劳
【期刊名称】《内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)》
【年(卷),期】2024(53)1
【摘要】基于规范变换,为广义五阶非线性薛定谔方程建立达布变换。
应用达布变换的可迭代性质,获得该方程的N重达布变换。
把广义五阶非线性薛定谔方程Lax
对的两组特解代入二重和三重达布变换中,获得该方程的怪波与呼吸子的复合波解。
研究表明怪波和呼吸子可以在复合波解中独立存在。
【总页数】7页(P38-43)
【作者】董浩楠;扎其劳
【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院;内蒙古自治区应用数学中心
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.五阶可积非线性薛定谔方程的呼吸子解及其特性研究
2.广义五阶KdV方程的新
的周期波解与孤立波解3.四阶色散非线性薛定谔方程的明暗孤立波和怪波的形成
机制4.(1+1)维Mukherjee-Kundu方程的加速怪波解和呼吸子解5.七阶非线性薛定谔方程的调制不稳定性以及周期背景上的怪波解
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197-波函数-薛定谔方程-一维势阱-隧道效应-贺泽东省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
薛定谔（Erwin Schro..dinger， 1887~1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方程 为基础波动力学,并建立了量子力 学近似方法 .
量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 价理论 —— 矩阵力学和波动力学 .
相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动粒子波动方程 .
第3页
沿 X方向匀 速直线运动
自由粒子波函数为
i ( Et px)
Ψ (x,t) 0e
三维 沿 方向匀 自由粒子波函数为 速直线运动
i (Et pr )
Ψ ( r ,t ) Ψ0 e
第4页
3）波函数统计意义 (1926年玻恩)
| Ψ(r,t) |2—— t 时刻, 粒子在空间 r 处单位
均不变 ，自由粒子物质波是一列平面单色波 .
E
h
经典沿x方向传 输平面单色波
h
p
y(x,t)
i 2π
Ae
(
t
x
)
沿 X方向匀 速直线运动
自由粒子波函数为
i 2 π (vt x )
Ψ (x, t) 0e
i ( Et px)
i px Ψ (x, t) 0e
0
待定 常数
0e i Et
e
相当于x处波函数复振幅 反应波函数随时间改变
第5页
波函数三个标准条件：
连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续；
因任一体积元内出现概率只有一个，故波 函数一定是单值；
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一个符合标准条件
_一类非线性奇性薛定谔方程的精确解
2.1 动力系统.................................................................................................................. 4
一 ？
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非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解
非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。
薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。
随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。
1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。
非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：其中为常数。
因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。
1 分步傅里叶法计算演化过程对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。
上述方程中做2β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。
对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。
可以得到2kk k k kdAi A i a adzβγ=∆+F.其中222kiββ∆=Ω令()expk kA B i zβ=∆可以得到()2expkk k kdBi a a i zdzγβ=-∆F以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。
一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解
第１７卷㊀第１期２０１９年３月南京工程学院学报(自然科学版)ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ)Ｖｏｌ.１７ꎬＮｏ.１Ｍａｒ.ꎬ２０１９㊀㊀ｄｏｉ:１０.１３９６０/ｊ.ｉｓｓｎ.１６７２－２５５８.２０１９.０１.０１５投稿网址:ｈｔｔｐ://ｘｂ.ｎｊｉｔ.ｅｄｕ.ｃｎ一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解洪宝剑１ꎬ陈㊀威２ꎬ陈㊀阳２ꎬ刘昊霖２ꎬ廖凯鑫２ꎬ张书青２(１.南京工程学院数理部ꎬ江苏南京２１１１６７ꎻ㊀２.南京工程学院电力工程学院ꎬ江苏南京２１１１６７)摘㊀要:利用光孤子传输信息的光纤通信系统在远距离和大容量传输方面具有极大的优势.非线性薛定谔方程被认为是描述光孤子传播的最佳模型ꎬ但标准薛定谔方程(ＮＬＳ)是光纤无损耗特殊情况下得到的ꎬ故在描述光孤子的特性时ꎬ考虑高阶非线性和高阶色散ꎬ得出的结果往往比低阶的非线性方程更准确㊁有效.利用行波约化方法ꎬ研究一个带有高阶色散项的广义ＮＬＳ方程ꎬ结合(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法和辅助方程法ꎬ借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件ꎬ求得该方程的几组新解ꎬ包括扭结及反扭结波解㊁奇异波解及三角函数周期波解等.关键词:高阶非线性薛定谔方程ꎻ光纤通讯ꎻ行波约化ꎻ(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法ꎻ孤立波中图分类号:Ｏ１７５.２５收稿日期:２０１８－０９－２１ꎻ修回日期:２０１８－０９－２８基金项目:江苏省高等学校自然科学研究项目资助(１８ＫＪＢ１１００１３)ꎻ江苏省大学生实践创新训练计划指导项目(２０１８１１２７６０６０Ｘ)ꎻ南京工程学院科研基金资助项目(ＺＫ２０１５１３).作者简介:洪宝剑ꎬ博士ꎬ副教授ꎬ研究方向为非线性科学.Ｅ￣ｍａｉｌ:ｈｂｊ＠ｎｊｉｔ.ｅｄｕ.ｃｎ引文格式:洪宝剑ꎬ陈威ꎬ陈阳ꎬ等.一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解[Ｊ].南京工程学院学报(自然科学版)ꎬ２０１９ꎬ１７(１):８０－８４.１㊀研究现状非线性薛定谔方程是一类重要的非线性演化方程ꎬ并且被推广到变系数㊁复系数㊁高维㊁高阶㊁非局域和分数阶等包含各类物理效应的ＮＬＳ方程[１－３]ꎬ故研究薛定谔方程的解具有重要的物理意义.本文讨论光孤子领域的一个含有三阶色散㊁四阶色散㊁三次非线性和五次非线性项的高阶薛定谔方程[４－５]:㊀ｉｑｔ＋１２ｑｘｘ＋｜ｑ｜２ｑ＋ｉα(ｑｘｘｘ＋６ｑｘ｜ｑ｜２)＋㊀㊀γ(ｑｘｘｘｘ＋６ｑ２ｘｑ∗＋４ｑ｜ｑｘ｜２＋８ｑｘｘ｜ｑ｜２＋㊀㊀２ｑ∗ｘｘｑ２＋６ｑ｜ｑ｜４)＝０(１)式中:γ为任意常数ꎻｑ为缓变的电场包络.文献[４]通过广义的达布变换获得该方程的怪波解ꎻ文献[５]运用双线性和达布变换方法获得了该方程的孤子解和呼吸子解ꎬ并讨论了解的性质ꎬ当α＝０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为标准的ＮＬＳ方程ꎻ当αʂ０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为著名的Ｈｉｒｏｔａ方程[６－７]ꎻ当γʂ０ꎬα＝０ꎬ方程(１)退化为Ｌａｋｓｈｍａｎａｎ￣Ｐｏｒｓｅｚｉａｎ￣Ｄａｎｉｅｌ(ＬＰＤ)方程[８－９].因而研究方程(１)具有重要的意义.目前ꎬ求解孤子方程有试探函数法㊁ｊａｃｏｂｉ椭圆函数法㊁ｔａｎｈ￣ｃｏｔｈ展开法㊁分步傅里叶法㊁Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换法㊁达布变换法㊁形变映射法㊁对称约化法等[１０－１２].利用这些方法ꎬ国内外学者成功求解出不同类型的偏微分方程.这些解有数值解也有精确解ꎬ在不同领域不同的解具有不同的价值.本文通过近期被国内外学者广泛运用的(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法[１３]成功求解方程(１)ꎬ得到几组新的行波解ꎬ这些新解对于研究非线性数学物理方程具有重要的意义.２㊀(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法及方程求解２.１㊀高阶非线性薛定谔方程行波约化㊀㊀假设方程(１)的精确波解为:㊀ｑ(ｘꎬｔ)＝ｕ(ξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２)式中:Ｌ㊁ｍ㊁ｋ㊁ω为待定常数.将式(２)代入方程(１)ꎬ得到一个复的常微分第１７卷第１期洪宝剑ꎬ等:一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解方程ꎬ将其分为实部和虚部方程ꎬ得到:㊀(－ｋ２２－ω＋ｋ３α＋ｋ４γ)ｕ＋１－６ｋ２α－１２ｋ２γ()ｕ３＋㊀㊀６γｕ５＋１０Ｌ２γｕ(ｕᶄ)２＋(Ｌ２２－３ｋＬ２α－６ｋ２Ｌ２γ)ｕᵡ＋㊀㊀１０Ｌ２γｕ２ｕᵡ＋Ｌ４γｕ(４)＝０(３)㊀(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕᶄ＋(６Ｌα＋２４ｋＬγ)ｕ２ｕᶄ＋㊀㊀(Ｌ３α＋４ｋＬ３γ)ｕ(３)＝０(４)将式(４)积分得到:㊀(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ＋(２Ｌα＋８ｋＬγ)ｕ３＋㊀㊀(Ｌ３α＋４ｋＬ３γ)ｕᵡ＝Ａ(５)式中ꎬＡ为积分常数.当α＝０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为标准的薛定谔方程ꎬ但从文献[１４]中可以推断ꎬ在方程(１)系数条件下利用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法没有实数解ꎬ故当α㊁γ不同为０时ꎬ可将式(３)和式(５)合并ꎬ有:㊀(－ｋ２２－ω＋ｋ３α＋ｋ４γ)ｕ＋(１－６ｋ２α－１２ｋ２γ)ｕ３＋６γｕ５＋㊀㊀(Ｌ２２－３ｋＬ２α－６ｋ２Ｌ２γ)(Ａ－(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ－(２Ｌα＋８)ｕ３)Ｌ３α＋４ｋＬ３γ＋㊀㊀１０Ｌ２γｕ２(Ａ－(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ－(２Ｌα＋８)ｕ３)Ｌ３α＋４ｋＬ３γ＋１０Ｌ２γｕ(ｕᶄ)２＋Ｌ４γｕ(４)＝０(６)２.２㊀应用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法求解约化后的非线性常微分方程㊀㊀由(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法的思想[１５－１６]ꎬ假设式(６)的解为:㊀ｕ(ξ)＝ðｎｉ＝０ａｉＧᶄＧ(７)式中ꎬｎ为平衡常数.根据齐次平衡原则[１７]ꎬ通过平衡方程(６)最高导数阶数ｕ(４)和最高非线性项ｕ５得到ｎ＝１ꎬ从而可设方程(７)的一般形式为:㊀ｕ(ξ)＝ａ０＋ａ１ＧᶄＧ(８)式中ꎬａ０㊁ａ１为待定系数.并且Ｇ＝Ｇ(ξ)满足方程二阶线性常微分方程:㊀Ｇᵡ(ξ)＋λＧᶄ(ξ)＋μＧ(ξ)＝０(９)当λ２－４μ>０ꎬ可以得到方程(９)的双曲函数解:㊀Ｇ＝[Ａ１ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)]ｅ－λ２ξ(１０)㊀ＧᶄＧ＝λ２－４μ２Ａ１ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)Ａ１ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)æèççöø÷÷－λ２(１１)当λ２－４μ<０ꎬ可以得到方程(９)的三角函数周期解:㊀Ｇ＝[Ａ３ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ３ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)]ｅ－λ２ξ(１２)㊀ＧᶄＧ＝４μ－λ２２－Ａ３ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ４ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)Ａ３ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ４ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)æèççöø÷÷－λ２(１３)㊀㊀当λ２－４μ＝０ꎬ可以得到方程(９)的有理解:㊀Ｇ＝(Ａ１ξ＋Ａ２)ｅ－λ２ξ(１４)㊀ＧᶄＧ＝Ａ５Ａ５ξ＋Ａ６－λ２(１５)式中ꎬＡ１㊁Ａ２㊁ ㊁Ａ６为任意常数.将式(９)和式(８)代入方程(６)中得到关于ＧᶄＧ各次幂的多项式ꎬ将各项系数待定为０后ꎬ得到超定非线性代数方程组:㊀－３ａ３１ｋＬα２＋３ａ３１ｋ２Ｌα２＋５ａ３１ｋＬγ＋５ａ３１ｍγ＋７０ａ２０ａ３１Ｌαγ－２７ａ３１ｋ２Ｌαγ＋１２ａ３１ｋ３Ｌαγ＋２８０ａ２０ａ３１ｋＬγ２－㊀㊀２０ａ３１ｋ３Ｌγ２－１０ａ０ａ２１Ｌ３αγλ－４０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２λ－５ａ３１Ｌ３αγλ２－２５ａ１Ｌ５αγλ２－２０ａ３１ｋＬ３γ２λ２－㊀㊀１００ａ１ｋＬ５γ２λ２－１０ａ３１Ｌ３αγμ－２０ａ１Ｌ５αγμ－４０ａ３１ｋＬ３γ２μ－８０ａ１ｋＬ５γ２μ＝０㊀Ａ－ａ０ｋＬ－ａ０ｍ－６Ａｋα＋８ａ０ｋ２Ｌα＋６ａ０ｋｍα－２ａ０Ｌωα＋１２ａ３０ｋＬα２－１２ａ３０ｋ２Ｌα２－１６ａ０ｋ３Ｌα２＋２０Ａａ２０γ－㊀㊀１２Ａｋ２γ－２０ａ３０ｋＬγ＋１２ａ０ｋ３Ｌγ－２０ａ３０ｍγ＋１２ａ０ｋ２ｍγ－８ａ０ｋωＬγ－２８ａ５０Ｌαγ＋１０８ａ３０ｋ２Ｌαγ－４８ａ３０ｋ３Ｌαγ－㊀㊀５０ａ０ｋ４Ｌαγ－１１２ａ５０ｋＬγ２＋８０ａ３０ｋ３Ｌγ２－４０ａ０ｋ５Ｌγ２＋２ａ１Ｌ５αγλ３μ＋８ａ１ｋＬ５λ３γ２μ＋２０ａ０ａ２１αＬ３γμ２＋１８南京工程学院学报(自然科学版)２０１９年３月㊀㊀８０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２μ２＋１６ａ１Ｌ５αγλμ２＋６４ａ１ｋＬ５γ２λμ２＝０㊀１８ａ０ａ２１ｋＬα２－１８ａ０ａ２１ｋ２Ｌα２＋１０Ａａ２１γ－３０ａ０ａ２１ｋＬγ－３０ａ０ａ２１ｍγ－１４０ａ３０ａ２１Ｌαγ＋１６２ａ０ａ２１ｋ２Ｌαγ－㊀㊀７２ａ０ａ２１ｋ３Ｌαγ－５６０ａ３０ａ２１ｋＬγ２＋１２０ａ０ａ２１ｋ３Ｌγ２＋１０ａ０ａ２１Ｌ３αγλ２＋４０ａ１ａ２１ｋＬ３γ２λ２＋１５ａ１Ｌ５αλ３γ＋㊀㊀６０ａ１ｋＬ５γ２λ３＋２０ａ０ａ２１Ｌ３αγμ＋８０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２μ＋２０ａ３１Ｌ３αγλμ＋６０ａ１Ｌ５αγλμ＋８０ａ３１ｋＬ３γ２λμ＋㊀㊀２４０ａ１ｋγ２Ｌ５λμ＝０㊀－ａ１ｋＬ－ａ１ｍ＋８ａ１ｋ２Ｌα＋６ａ１ｋｍα－２ａ１Ｌωα＋３６ａ２０ａ１ｋＬα２－３６ａ２０ａ１ｋ２Ｌα２－１６ａ１ｋ３Ｌα２＋４０Ａａ０ａ１γ－㊀㊀６０ａ２０ａ１ｋＬγ＋１２ａ１ｋ３Ｌγ－６０ａ２０ａ１ｍγ＋１２ａ１ｋ２ｍγ－８ａ１ｋＬωγ－１４０ａ４０ａ１Ｌαγ＋３２４ａ２０ａ１Ｌｋ２αγ－㊀㊀１４４ａ２０ａ１ｋ３Ｌαγ－５０ａ１ｋ４Ｌαγ－５６０ａ４０ａ１ｋＬγ２＋２４０ａ２０ａ１ｋ３Ｌγ２－４０ａ１ｋ５Ｌγ２＋２ａ１Ｌ５αλ４γ＋８ａ１ｋＬ５γ２λ４＋㊀㊀４０ａ０ａ２１Ｌ３αγλμ＋１６０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２λμ＋４４ａ１Ｌ５αγλ２μ＋１７６ａ１ｋＬ５γ２λ２μ＋２０ａ３１Ｌ３αγμ２＋３２ａ１Ｌ５αγμ２＋㊀㊀８０ａ３１ｋＬ３γ２μ２＋１２８ａ１ｋＬ５γ２μ２＝０㊀７ａ０ａ４１γ－ａ０ａ２１Ｌ２γ－２ａ３１Ｌ２γλ－６ａ１Ｌ４γλ＝０㊀７ａ５１γ－５ａ３１Ｌ２γ－１２ａ１Ｌ４γ＝０(１６)２.３㊀利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件求解用数学Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件求得非线性代数方程组(１６)的解(已略去平凡解)ꎬ有:解组一㊀ａ０＝０ꎬａ１＝ʃ２３７Ｌꎬλ＝０ꎬｋ＝－α４γꎬ㊀ｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２ꎬＡ＝０(１７)解组二㊀ａ０＝０ꎬａ１＝ʃｉＬꎬλ＝０ꎬＡ＝０ꎬｋ＝－α４γꎬ㊀ｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２(１８)解组三㊀ａ１＝ʃ２３７Ｌꎬμ＝０ꎬλ＝ʃ３７ａ０Ｌꎬα＝０ꎬ㊀Ａ＝０ꎬｍ＝１９(－９ｋＬ－９１ａ２０ｋＬγ＋３６ｋ３Ｌγ)ꎬ㊀ω＝１７２(９１ａ２０－３６ｋ２＋８１２ａ４０γ－１０９２ａ２０ｋ２γ＋７２ｋ４γ)(１９)解组四㊀ａ１＝ʃｉＬꎬλ＝∓２ｉａ０Ｌꎬμ＝０ꎬα＝０ꎬＡ＝０ꎬ㊀ｍ＝－ｋＬ－８ａ２０ｋＬγ＋４ｋ３Ｌγꎬ㊀ω＝１２(２ａ２０－ｋ２＋１２ａ４０γ－２４ａ２０ｋ２γ＋２ｋ４γ)(２０)解组五㊀ａ０＝０ꎬλ＝０ꎬγ＝０ꎬＡ＝０ꎬｋ＝１ꎬ㊀ω＝－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２２Ｌα(２１)将不同的解组代入方程(８)ꎬ结合方程(７)的解ꎬ可以得到方程(１)的精确行波解.本文不考虑没有物理意义的虚数解.类型１㊀将解组一代入ꎬ有:１)当μ<０时ꎬ可得方程(１)的孤立波解㊀ｑ１(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌˑ㊀㊀Ａ１－μｓｉｎｈ(－μξ)＋Ａ２－μｃｏｓｈ(－μξ)Ａ１ｃｏｓｈ(－μξ)＋Ａ２ｓｉｎｈ(－μξ)ˑ㊀㊀㊀ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２２)式中:ｋ＝－α４γꎻｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２.２)当μ>０时ꎬ可得方程(１)的三角函数周期波解:㊀ｑ２(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌˑ㊀㊀－Ａ３μｓｉｎ(μξ)＋Ａ４μｃｏｓ(μξ)Ａ３ｃｏｓ(μξ)＋Ａ４ｓｉｎ(μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２３)式中:ｋ＝－α(４γ)ꎻｍ＝Ｌα(α２＋２γ)(８γ２)ꎻＡ１㊁Ａ２㊁Ａ３㊁Ａ４为任意常数ꎬ当取不同的数时ꎬ可以得到方程(１)的不同情形的行波解.当Ａ２＝０时ꎬｑ１(ｘꎬｔ)退化为方程(１)的(反)扭结波解:㊀ｑ１.１(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌ－μｔａｎｈ(－μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２４)２８第１７卷第１期洪宝剑ꎬ等:一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解当Ａ１＝０时ꎬｑ２(ｘꎬｔ)退化为方程(１)的奇异之波解:㊀ｑ１.２(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌ－μｃｏｔｈ(－μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２５)类型２㊀将解组三代入ꎬ便可得方程(１)的孤立波解:㊀ｑ３(ｘꎬｔ)＝ａ０ʃ２３７Ｌ－λＡ７ｅ－λξＡ８＋Ａ７ｅ－λξæèçöø÷ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２６)式中:Ａ７㊁Ａ８为任意常数ꎻλ＝ʃ３７ａ０Ｌꎻｍ＝１９(－９ｋＬ－９１ａ２０ｋＬγ＋３６ｋ３Ｌγ)ꎻω＝１７２(９１ａ２０－３６ｋ２＋８１２ａ４０γ－１０９２ａ２０ｋ２γ＋７２ｋ４γ).类型３㊀将解组五代入ꎬ有:１)当μ<０时ꎬ可得方程(１)的双曲函数解:㊀ｑ４(ｘꎬｔ)＝ａ１ˑ㊀㊀Ａ１－μｓｉｎｈ(－－μξ)＋Ａ２－μｃｏｓｈ(－μξ)Ａ１ｃｏｓｈ(－－μξ)＋Ａ２ｓｉｎｈ(－μξ)ˑ㊀㊀㊀ｅｉ(ｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２７)式中ꎬω＝(－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２)(２Ｌα).２)当μ>０时ꎬ可得方程(１)的三角函数周期波解:㊀ｑ５(ｘꎬｔ)＝ａ１－Ａ３μｓｉｎ(μξ)＋Ａ４μｃｏｓ(μξ)Ａ３ｃｏｓ(μξ)＋Ａ４ｓｉｎ(μξ)ｅｉ(ｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２８)式中ꎬω＝(－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２)(２Ｌα).ｑ１(ｘꎬｔ)~ｑ５(ｘꎬｔ)在文献中尚未出现ꎬ是方程(１)的新解.３㊀结语本文利用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法和辅助方程(９)研究了一类广义的高阶非线性薛定谔方程ꎬ得到了该方程的双曲函数解㊁三角函数周期解㊁奇异波解和孤子解ꎬ这些解对于解释某些非线性现象具有一定的帮助.参考文献:[１]㊀ＷＡＴＡＮＡＢＥＭ.Ｔｉｍｅ￣ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｎｏｎ￣ｌｉｎｅａｒＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｉｎｖｅｒｓｅｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓꎬ２０１８ꎬ４５９:９３２－９４４.[２]㊀ＢＥＺＥＲＲＡＦＤＭꎬＣＡＲＶＡＬＨＯＡＮꎬＤＬＯＴＫＯＴꎬｅｔａｌ.ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎꎻｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙａｎｄｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｗｉｔｈｃｌａｓｓｉｃａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏꎬ２０１８ꎬ４５７(１):３３６－３６０.[３]㊀ＪＵＳＴＩＮＭꎬＨＵＢＥＲＴＭＢꎬＢＥＴＣＨＥＷＥＧꎬｅｔａｌ.ＣｈｉｒｐｅｄｓｏｌｉｔｏｎｓｉｎｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＣｈａｏｓꎬＳｏｌｉｔｏｎｓ＆Ｆｒａｃｔａｌｓꎬ２０１８ꎬ１０７:４９－５４.[４]㊀柳伟ꎬ邱德勤ꎬ贺劲松.Ｌｏｃａｌｉｚｅｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｒｏｇｕｅｗａｖｅｆｏｒａｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１５ꎬ６３(５):５２５－５３４.[５]㊀田艳姣.一个高阶非线性薛定谔方程的精确解研究[Ｄ].北京:华北电力大学ꎬ２０１７.[６]㊀ＨＩＲＯＴＡＲ.ＥｘａｃｔＮ￣ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｌｏｎｇｗａｖｅｓｉｎｓｈａｌｌｏｗ￣ｗａｔｅｒａｎｄｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｌａｔｔｉｃｅｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬ１９７３ꎬ１４:８１０－８１３.[７]㊀ＡＮＫＩＥＷＩＣＺＡꎬＳＯＴＯ￣ＣＲＥＳＰＯＪＭꎬＡＫＨＭＥＤＩＥＶＮ.ＲｏｇｕｅｗａｖｅｓａｎｄｒａｔｉｏｎａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＨｉｒｏｔａｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗＥꎬ２０１０ꎬ８１:０４６６０２.[８]㊀ＰＯＲＳＥＺＩＡＮＫꎬＬＡＫＳＨＭＡＮＡＮＭ.ＯｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｏｆｔｈｅｒａｄｉａｌｌｙｓｙｍｍｅｔｒｉｃＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓｐｉｎｓｙｓｔｅｍ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ１９９１ꎬ３２:２９２３－２９２８.[９]㊀ＬＡＫＳＨＭＡＮＡＮＭꎬＰＯＲＳＥＺＩＡＮＫꎬＤＡＮＩＥＬＭ.ＥｆｆｅｃｔｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅｎｅｓｓｏｎｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｕｍｌｉｍｉｔｏｆｔｈｅＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇｓｐｉｎｃｈａｉｎ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃｓＬｅｔｔｅｒｓＡꎬ１９８８ꎬ１３３:４８３－４８８.[１０]㊀ＢＩＳＷＡＳＡꎬＥＫＩＣＩＭꎬＴＲＩＫＩＨꎬｅｔａｌ.Ｒｅｓｏｎａｎｔｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｗｉｔｈａｎｔｉ￣ｃｕｂｉｃｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙｂｙｅｘｔｅｎｄｅｄｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ[Ｊ].Ｏｐｔｉｋꎬ２０１８ꎬ１５６:７８４－７９０.[１１]㊀ＨＯＮＧＢＪꎬＬＵＤＣ.Ｍｏｄｉｆｉｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｔｉｍｅ￣ｓｐａｃｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＴｈｅＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＷｏｒｌｄＪｏｕｒｎａｌꎬ２０１４ꎬＡｒｔｉｃｌｅＩＤ:９６４６４３ꎬ６ｐａｇｅｓ.[１２]㊀洪宝剑ꎬ卢殿臣ꎬ田立新.变系数组合ｋｄｖ￣Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的Ａｕｔｏ￣Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换和类孤子解[Ｊ].江西师范大学学报(自然科学版)ꎬ２００６(１):４７－４９.[１３]㊀ＡＬ￣ＳＨＡＷＢＡＡＡꎬＧＥＰＲＥＥＬＫＡꎬＡＢＤＵＬＬＡＨＦＡꎬｅｔａｌ.ＡｂｕｎｄａｎｔｃｌｏｓｅｄｆｏｒｍｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｃｏｎｆｏｒｍａｂｌｅｔｉｍｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌＳａｗａｄａ￣Ｋｏｔｅｒａ￣Ｉｔｏｅｑｕａｔｉｏｎｕｓｉｎｇ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ３８南京工程学院学报(自然科学版)２０１９年３月[Ｊ].ＲｅｓｕｌｔｓｉｎＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１８ꎬ９:３３７－３４３.[１４]㊀员保云.非线性薛定谔方程精确解的研究[Ｄ].呼和浩特:内蒙古工业大学ꎬ２０１４.[１５]㊀ＷＡＮＧＭＬꎬＺＨＡＮＧＪＬꎬＬＩＸＺ.ＴｈｅＧᶄ/Ｇ￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ[Ｊ].ＰｈｙｓＬｅｔｔＡꎬ２００８ꎬ３７２(４):４１７－４２３.[１６]㊀ＮＡＨＥＲＨ.Ｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｏｆ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒＺＫＢＢＭｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＥｇｙｐｔｉａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙꎬ２０１５ꎬ２３(１):４２－４８.[１７]㊀王明亮ꎬ李志斌ꎬ周宇斌.齐次平衡原则及其应用[Ｊ].兰州大学学报(自然科学版)ꎬ１９９９ꎬ３５(３):８－１６.ＡｎａｌｙｔｉｃａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆａＣｌａｓｓｏｆＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＨｉｇｈ￣ｏｒｄｅｒＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒＥｑｕａｔｉｏｎＨＯＮＧＢａｏ￣ｊｉａｎ１ＣＨＥＮＷｅｉ２ＣＨＥＮＹａｎｇ２ＬＩＵＨａｏ￣ｌｉｎ２ＬＩＡＯＫａｉ￣ｘｉｎ２ＺＨＡＮＧＳｈｕ￣ｑｉｎｇ２１.ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎｄＰｈｙｓｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅ ＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ２.ＦａｃｕｌｔｙｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＡｂｓｔｒａｃｔ Ｏｐｔｉｃａｌｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓｂｙｕｓｉｎｇｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓｔｏｔｒａｎｓｍｉｔｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｈａｖｅｇｒｅａｔａｄｖａｎｔａｇｅｓｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｎｅｗｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｌｏｎｇ￣ｄｉｓｔａｎｃｅａｎｄｌａｒｇｅ￣ｃａｐａｃｉｔｙｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ.Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｓｔｕｄｉｅｓｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｃａｎｐｒｏｖｉｄｅｐｏｓｉｔｉｖｅｈｅｌｐｆｏｒｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｔｏｂｅｔｈｅｍｏｓｔｆａｖｏｒａｂｌｅｍｏｄｅｌｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓ.Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｅｓｔａｎｄａｒｄＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎＮＬＳ ｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｕｎｄｅｒｓｐｅｃｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｌｏｓｓｌｅｓｓｏｐｔｉｃａｌｆｉｂｅｒ.Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｗｈｅｎｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓ ｔｈｅｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎａｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｆｔｅｎｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｈａｎｔｈｅｌｏｗｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ.Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ ｗｅｕｓｅｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｔｏｓｔｕｄｙａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｈｉｇｈｅｒｏｒｄｅｒｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎｔｅｒｍｓ.ＣｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅＧᶄ/Ｇｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅａｕｘｉｌｉａｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ｓｅｖｅｒａｌｎｅｗｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｋｉｎｋａｎｄａｎｔｉ￣ｋｉｎｋｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｓｉｎｇｕｌａｒｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｐｅｒｉｏｄｉｃｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｓｏｆｔｗａｒｅ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｈｉｇｈ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｐｔｉｃａｌｆｉｂｅｒｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ Ｇᶄ/Ｇ￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ａｕｘｉｌｉａｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ４８。
几类非线性发展方程的孤立波与畸形波的研究.doc
几类非线性发展方程的孤立波与畸形波的研究在客观世界中,事物的发展往往会受到多个因素的影响,而不是由单一元素所形成的线性关系来决定。
在这些无序的、不规则的、处于非平衡态的系统中,多个变量之间共同作用,导致了这些非线性现象的产生。
从数学角度来看,这些非线性现象可以用非线性发展方程来描述。
借助非线性发展方程的数学研究方法,可以更加清晰地展现这些非线性模型的物理演化过程,有助于人们理解很多自然现象的发展规律和本质特征。
本文主要应用Hirota方法和Darboux变换方法,对非线性光纤光学、生物学、海洋动力学领域中的几个非线性发展方程进行了解析研究,讨论了这些方程的孤子解、畸形波解以及呼吸子解,继而分析了孤子、畸形波以及呼吸子的传播以及相互作用性质。
本文的主要内容安排如下:第二章研究光纤通信领域中的常系数二耦合三阶色散非线性薛定谔方程,即耦合Hirota方程。
耦合Hirota方程描述了超短脉冲在双折射或者双模光纤中传播的波动力学性质,且常用在描述海洋动力学中的模型。
我们分别考虑混合机制和散焦-散焦机制两种情况下的耦合Hirota方程。
利用Darboux变换,推导耦合Hirota方程两种不同的一阶局域波解和两种不同的二阶局域波解,考察移动呼吸子、Akhmediev呼吸子、Kuznetsov-Ma孤子、时间-空间周期呼吸子、多峰孤子和反暗孤子。
研究方程中的呼吸子-孤子转换现象、呼吸子与暗孤子之间的弹性相互作用,以及反暗孤子与暗孤子之间的非弹性相互作用。
第三章研究光纤通信领域中的常系数三耦合三阶色散非线性薛定谔方程,即三耦合Hirota方程。
三耦合Hirota方程不仅用于描述长途通信模型和超快信号路由系统中的光脉冲传播,而且可以描述在高阶连续极限下的α螺旋蛋白质的近邻之间的相互作用。
利用Darboux-dressing变换,得到了方程的畸形波解,考察三耦合Hirota 方程的四花瓣型畸形波,以及复合畸形波分裂为几个单独畸形波的现象,并给出这种现象的发生条件。
薛定谔方程课件.ppt
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t 的方程 i d f E d t
f 可以把它先解出来：
其解为
f
A
e
i
Et
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ，电子就会穿 过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零（称零点能）
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点） 。
n 2
En
在大量子数的极限情况下，量子体系行为将 趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x,t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数， 上面（★）式是 (x)满足的方程，
一种基于Volterra_频域核的非线性频谱智能表征方法
第51卷第10期2020年10月中南大学学报(自然科学版)Journal of Central South University (Science and Technology)V ol.51No.10Oct.2020一种基于Volterra 频域核的非线性频谱智能表征方法陈乐瑞，曹建福，胡河宇，王晓琪(西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室，陕西西安，710049)摘要：针对目前基于V olterra 核的非线性频谱计算存在的计算量大和准确率低的问题，提出一种基于BP 神经网络的非线性频谱智能表征方法。
首先，利用递推方法和批量最小二乘方法分别估算出系统的广义频率响应函数(GFRF)幅值和输出频率响应函数(OFRF)幅值；其次，结合非线性频谱特点，将均方根误差(E RMSE )作为BP 神经网络设计指标来确定隐含层神经元数量，利用BP 神经网络强大的拟合能力实现各阶频谱幅值的计算；最后，通过机器人驱动系统进行仿真验证。
研究结果表明：与常规自适应辨识方法相比，本文方法计算结果与真实结果最接近，且计算速度最高提升了73.30%，进一步证明该方法不但能够满足复杂系统对频谱计算实时性要求，而且可为基于非线性频谱的故障诊断提供精确数据。
关键词：BP 神经网络；V olterra 核；非线性频谱；智能表征中图分类号：TP391.9文献标志码：A开放科学(资源服务)标识码(OSID)文章编号：1672-7207（2020）10-2867-09An intelligent characterization method of nonlinear spectrumbased on Volterra frequency domain kernelCHEN Lerui,CAO Jianfu,HU Heyu,WANG Xiaoqi(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering,Xi'an Jiaotong University,Xi'an 710049,China)Abstract:Aiming at the problem of large amount of calculation and low accuracy of nonlinear spectrum based on V olterra kernel,an intelligent characterization method of nonlinear spectrum based on BP neural network was proposed.Firstly,the generalized frequency response function(GFRF)amplitude and output frequency response function(NOFRF)amplitude of the system were estimated by recursive method and batch least squares method respectively.Secondly,considering the characteristics of the non-linear spectrum,the root mean square error (E RMSE )was adopted as the index of BP neural network to design the number of hidden layer neurons.The spectrum calculation of each order was realized by its powerful fitting ability.Finally,the simulation results were validated by the robot driving system.The results show that compared with the traditional adaptive identification method,the results obtained by the proposed method are closer to the true values and the calculation speed is increased by 73.30%,which proves that the proposed method can not only meet the real-time requirement ofDOI:10.11817/j.issn.1672-7207.2020.10.018收稿日期：2020−02−21；修回日期：2020−04−21基金项目(Foundation item)：国家重点研发计划项目(2018YFB1306901)；陕西省重点产业链项目(2019ZDLGY01-01-02)(Project(2018YFB1306901)supported by the National Key Research and Development Program of China;Project(2019ZDLGY01-01-02)supported by Key Industrial Chain of Shaanxi Province)通信作者：陈乐瑞，博士研究生，从事非线性系统故障诊断研究；E-mail:*********************第51卷中南大学学报(自然科学版)spectrum calculation for complex systems,but also provide accurate data for fault diagnosis based on non-linear spectrum.Key words:BP neural network;V olterra kernel;non-linear spectrum;intelligent characterization类似于线性系统的传递函数，V olterra核将线性系统卷积扩展成一系列多维卷积形式，能够描述非线性系统的本质特性，具有物理意义明确、信息量丰富等优点，引起了国内外学者的广泛关注[1−4]。
非线性薛定谔方程
非线性薛定谔方程
非线性薛定谔方程（Nonlinear Schrödinger Equation，
简称NLSE）是描述一维量子力学中非线性光学现象的方程。
它可以用来描述具有波动性的物质或波动现象，比如光子
在非线性介质中传播、超导电子对的行为等。
一般情况下，非线性薛定谔方程可以写成如下形式：
i ∂ψ/∂t + (∇²/2m + V)ψ + g |ψ|²ψ = 0
其中，i是虚数单位，∂ψ/∂t表示波函数ψ对时间的导数，∇²是拉普拉斯算子，m是粒子的质量，V是势能函数，g
是非线性项。
该方程的第一项描述了波函数随时间的演化，第二项描述
了波函数的动能和势能，第三项描述了非线性效应。
非线性薛定谔方程的解通常是表示波的幅度和相位的波函数ψ。
在求解非线性薛定谔方程时，常会采用数值方法，如有限差分法、有限元法等。
畸形波的构造理论和控制方法研究
浙江省科学技术奖公示信息表（单位提名）
提名奖
成果名称
畸形波的构造理论和控制方法研究
提名等级
二等奖
提名书
相关内容
专著：
[1]张解放,戴朝卿,王悦悦,基于非线性薛定谔方程的畸形波理论及其应用，科学出版社，2016年3月。
论文：
[1]Qing Tian, Qin Yang, Chao-Qing Dai, Jie-FangZhang,Contro-llable optical rogue waves Recurrence, annihilation and sus-tainment,Optics Communicatons,2011,284(8):2222-2225.
提名该成果为浙江省自然科学奖二等奖。
[5] Zhang Jie-Fang,Hu Wen-Cheng,Controlling the propa- gation of optical rogue waves in nonlinear graded-index waveguide amplifiers, Chinese Optics Letters , 2013,11(3):031901(1-4).
[6]Zhang Jie-Fang,Jin Mei-Zhen,He Ji-Da,Lou Ji-Hui,Dai Chao-Qing,Dynamics of optical rogue waves in inhomo-geneous nonlinear waveguides,ChinesePhysicsB,2013, 22(5): 054208.
[2]胡文成,张解放,黄文华,卢志明,二维梯度折射率光波导中线光畸形波的传播控,光学学报,2015,35(7):0719001(1-11).
非线性聚焦生成畸形波规律之研究
非线性聚焦生成畸形波规律之研究张运秋;胡金鹏;张宁川【摘要】非线性聚焦是畸形波生成的一种可能机理.采用可以描述非线性聚焦现象的四阶修正非线性薛定谔方程,模拟了边带扰动条件下波列空间演化过程中畸形波的生成.不同初始边带扰动条件和不同波陡等情况下的数值试验结果表明,满足边带不稳定性条件时,初始边带扰动条件和波陡对畸形波的生成具有重要的影响,并给出了畸形波生成的规律.【期刊名称】《水道港口》【年(卷),期】2010(031)003【总页数】5页(P153-156,180)【关键词】畸形波;非线性聚焦;边带扰动;生成规律【作者】张运秋;胡金鹏;张宁川【作者单位】中科院广州能源研究所,中国科学院可再生能源与天然气水合物重点实验室,广州510640;华南理工大学,土木与交通学院,广州,510641;大连理工大学,海岸和近海工程国家重点试验室,大连,116023【正文语种】中文【中图分类】O353.2畸形波是极值波中的一种特例，因其对船舶、采油平台等海洋结构极具危害而倍受关注。
其波高具有以下特征：（1）波高大于2倍有效波高；（2）波高大于2倍相邻波高；（3）波峰大于0.65倍波高。
畸形波的发生具有不确定性和瞬时性，很难完全通过现场观测来获得畸形波在多种条件下的发生规律，因而有必要运用数值探索其发生规律。
大量研究结果表明，非线性聚焦是畸形波生成的一种可能机理，可通过边带不稳定性实现，该不稳定性可引起边带扰动在波列聚焦点处随时间成指数增长而生成一个大波［1］。
这方面的数值模拟可通过深水非线性薛定谔方程、DS系统、Zakharov方程、完全非线性方程实现。
Onorato等［2］采用三阶非线性薛定谔方程研究了以JONSWAP谱为特征的随机波状态下畸形波的生成，认为Phillip参数α和峰高因子γ值较大时，易产生畸形波；Janssen［3］用Zakharov方程模拟后，指出非线性聚焦可以克服线性色散引起的能量分散，当波足够陡时会出现畸形波，并且具有窄带谱和大波陡的波有利于畸形波的出现；Fochesat［4］等建立了三维波浪数值水槽，求解了完全非线性势流方程，指出入射角度和水深影响畸形波的运动和几何特性；张运秋等［5-6］通过四阶修正非线性薛定谔方程研究了边带扰动和JONSWAP谱描述的随机波条件下的畸形波生成，指出减小边带不稳定性范围内扰动频带宽度、增加谱参数α和峰高因子γ有利于畸形波的生成，而且随机初相位的选取对畸形波的生成有重要影响。