数学建模：实物交换

实物交换问题是个人之间与国家之间的各类贸易中经常遇到。通常交换结果取决于交换双方对所交换物品的偏爱程度。由于偏爱程度是一个模糊概念，艰难给出一个确切的定量关系，此时，可以采用图形法建模的方式来描述双方如何交换物品才能完成交换活动。

一．摘要

甲有面包一斤，乙有香肠若干。

二人共进午餐时希望相互交换一部分，达到双方满意的结果。

这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上。

显然, 交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度,而偏爱程度很难给出确切的定量关系, 我们用作图的方法对双方将如何交换实物建立一个模型。

二．模型准备

设交换前甲占有物品 X 的数量为a ，乙占有物品 Y 的数量为b，交换后甲占有物品 X 和Y 的数量分另为 x 和y . 于是乙占有X 、Y 的数量为a-x 和b-y. 这样在 xOy 平面直角坐标系上，长方形 0 ≤ x≤a，0≤y ≤b 内任一点的坐标 ( x , y ) 都代表了一种交换方案。

三．模型假设

1.交换不涉及其他因素，只与交换双方对所交换物品的偏爱程度有关。

2交换按等价交换进行。

四． 模型构成

用无差别曲线描述甲对物品 X 和 Y 的偏爱程度。

. 如果占有a 数量的 X 和b 数量的 Y (下图中的p 点)与占有c 的 X 和d 的 Y ( q 点)，对甲来说是同样满意的话称p 和q 对甲是无差别的。或者说p 与q 相比，甲愿意

以 Y 的减少c-d 换取 X 的增加b-a 所有与 具有同样满意程度的点组成一条甲的无差别曲线 MN ，而比这些点的满意程度更高的点如L （E,F ）则位于另一条无差别曲线 M1N1上。这样，甲有无数条无差别曲线，不妨将这族曲线记作

C1称满意度，随着C1的增加，曲线向右上方移动。按照常识，无差别曲线应是单调减的( x 增加时 y 减小)、下凸的和互不相交的(否则交点处有不同的满意度)。

同样，乙对物品 X 和 Y 也有一族无差别曲线，记作

1),(c y x f =2

),(c y x g =

不管无差别曲线f、g是否有解析表达式 , 每个人都可根据对两种物品的偏爱程度用曲线表示它们，为用图解法确定交换方案提供了依据。

为得到双方满意的交换方案，将双方的无差别曲线族画在一起。如下图

、

上图中甲的无差别曲线族f（x，y）=C1如前图，而乙的无差别曲线族g（x，y）=C2 ，原点在o，x、y轴均反向，于是当乙的满意度C2增加时无差别曲线向左下移动。这两族曲线的切点连成一条曲线AB , 图中用点线表示。可以断言：双方满意的交换方案应在曲线AB 上, AB 称交换路径。这是因为，假设交换在AB 以外的某一点p’进行，若通过p’的甲的无差别曲线与AB 的交点为 p，甲对p 和p’的满意度相同，而乙对p 的满意度高于p’，所以双方满意的交换不可能在p’进行。

有了双方的无差别曲线，交换方案的范围可从整个长方形缩小为一条曲线AB，但仍不能确定交换究竟应在曲线AB 上的哪一点进行。

显然, 越靠近 B 端甲的满意度越高而乙的满意度越低,靠近 A 端则反之。

要想把交换方案确定下来，需要双方协商或者依据双方同意的某种准则，如等价交换准则。

等价交换准则是指，两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等价交换。

不妨设交换前甲占有的H(物品 X )与乙占有的I(物品Y )具有相同的价值,H,I分别相应于下图中 x 轴、y 轴上的C、D 两点，那么在直线C D 上的点进行交换，都符合等价交换准则。

最后，在等价交换准则下，双方满意的交换方案必是C D 与AB 的交点p .

最后，对无差别曲线呈下凸形状作如下解释：当人们占有的 x 较小时(P1点附近)，他宁愿以较多的∆ y 交换较少的∆ x (下图), 而当占有的 x 较大时(P2点附近 )，就要用较多的∆ x 换取较少的∆ y ，满足这种特性的曲线是下凸的。

评注:提出无差别曲线的概念是用图形方法建立实物交换模型的基础，确定这种曲线需要收集大量的数据，还可以研究曲线的解析表达式。

作者的话：通过学习数学建模，可以活跃学习的大脑，可以活跃思维，有利于学习数学以及其他学科，还可以培养爱动脑的好习惯！