线性代数.pdf

⎜⎛ 1 2 0 ⎟⎞ ∴ A = ⎜2 2 − 3⎟.
⎜⎝ 0 − 3 − 3⎟⎠
⎜⎛ 1 2 0 ⎟⎞
例 设 A = ⎜ 2 2 − 3⎟.，则原二次型为
⎜ ⎝
0
−3
− 3⎟⎠
f
( x1,
x2 ,
x3 )
=
x2 1
+
4 x1 x2
+
x2 2
−
6 x2 x3
+
x2 3
例
二次型
g( y1, y2 ,
都为二次型；
f ( x1, x2, x3 ) = x12 + 4x22 + 4x32
为二次型的标准形.
问题：二次型 f (x)如何通过可逆线性变换 x = Py 化为
标准型
g(
y)
=
b1
y2 1
+
b2
y2 2
+⋯
+
bn
y2 n
定理2.1 设 A 为 n 阶对称矩阵.二次型 f = xT Ax 能
用可逆线性变换 x = Py 化为标准型
则二次型可记作 f = xT Ax, 其中A为对称矩阵.
f = xT Ax
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵 A的二次型;
6.2.2 用配方法化二次型为标准型
例1 化二次型 f = x12 + 2 x22 + 5 x32 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
⎜⎝ x3 ⎟⎠
⎜ ⎝
2
3
−2 5 15
0
−2
45
⎟⎞⎜⎛
y1
⎞ ⎟
− 4 45 ⎟⎜ y2 ⎟,
5 45 ⎟⎠⎜⎝ y3 ⎟⎠
且有
f
= 9 y12
+
18
y
2 2
+ 18 y32 .
例3 求一个正交变换x = Qy,把二次型
f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 2 x1 x4 − 2 x2 x3
+
a22
x
2 2
+
2a23 x2
x3
+
⋯
+
2a2 n
x2 xn
⋯⋯
称为n元二次型.
+
ann
x
2 n
当aij是复数时 , f称为复二次型 ; 当aij是实数时 , f称为 实二次型 .
二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f
(x1 , x2 ,⋯, xn )
=
a11 x12
+
a
22
x
2 2
+⋯+
a
a1n
⎞⎛ ⎟⎜
x1
⎞ ⎟
a2n ⎟⎜ x2 ⎟
⋯ ⋯ ⎟⎜ ⋮ ⎟
⎜⎜ ⎝
an1
an2
⋯
ann
⎟⎟⎜⎜ ⎠⎝
xn
⎟⎟ ⎠
记
⎜⎛ a11
A
=
⎜ ⎜
a21 ⋯
Βιβλιοθήκη Baidu
a12
a22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
a1n ⎟⎞
a2n ⋯
⎟⎟,
⎜⎛ x1 ⎟⎞
x
=
⎜ ⎜
x2 ⋮
⎟⎟,
⎜⎜ ⎝
an1
an2
⋯
ann
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝
xn
⎟⎟ ⎠
定义2.1 只含有平方项的二次型 f = k1 y12 + k2 y22 + ⋯ + kn yn2
称为二次型的标准形。 例如
f ( x1, x2 , x3 ) = 2x12 + 4x22 + 5 x32 − 4x1 x3 f ( x1, x2 , x3 ) = x1 x2 + x1x3 + x2 x3
2 2
⎟⎟, ⎟⎟ ⎠
p4
=
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
− 1 2⎟ 12 ⎟ − 1 2⎟⎟⎠
⎜⎛ 1 2 ⎟⎞
⎛0⎞ ⎜⎟
⎛ 12 ⎞ ⎜⎟
p2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
1
0 0
2
⎟⎟, ⎟⎟ ⎠
p3
=
⎜ ⎜1 ⎜⎜⎝ 1
0
2 2
⎟⎟, ⎟⎟⎠
p4
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
− 1 2⎟ 12 ⎟ − 1 2⎟⎟⎠
于是正交变换为
=
(
x1,
x 2 ,⋯ ,
⎛ ⎜ x n )⎜⎜
a11 a 21
x1 + x1 +
a12 x2
a22 x2 ⋮
+ +
⋯ ⋯
+ +
a1n a2n
xn xn
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎜⎜ ⎝
a
n
1
x1
+
an2 x2
+
⋯
+
a nn
xn
⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜
a11
=
(
x1
,
x2
,⋯,
xn
)⎜⎜
a21 ⋯
a12 a22 ⋯
⋯ ⋯
+ a21 x2 x1 + a22 x22 + ⋯ + a2n x2 xn
⋯⋯
+
an1 x n
x1
+
an2 xn
x2
+
⋯
+
ann
x2 n
n
= ∑ aij xi x j .
i , j=1
2．用矩阵表示
f = a11 x12 + a12 x1 x2 + ⋯ + a1n x1 xn
+
a21 x2
x1
+
a
nn
x
2 n
+ 2a12 x1 x 2 + 2a13 x1 x3 + ⋯ + 2an−1,n xn−1 xn
取 a ji = aij , 则2 aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi ,于是
f = a11 x12 + a12 x1 x2 + ⋯ + a1n x1 xn
22
x
2 2
+
⋯
+
a2n x2 xn
⋯⋯
+
an1 x n
x1
+
an2 xn
x2
+
⋯
+
ann
x2 n
= x1(a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn )
+ x2(a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn )
+ ⋯ + xn (an1 x1 + an2 x 2 + ⋯ + a nn xn )
−1 1 λ −1
1 −1 −1 λ
1 −1 −1 λ
11 1 1
0 λ +1 2 = (λ −1)
0 = (λ −1)2 λ +1 2
0 2 λ +1 0
2 λ +1
0 − 2 − 2 λ −1
= (λ −1)2 (λ2 + 2λ − 3) = (λ + 3)(λ −1)3.
于是A的特征值为λ1 = −3,λ 2 = λ 3 = λ 4 = 1.
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
ξ
2
=
⎜ ⎜
1 0
⎟⎟,ξ
3
=
⎜ ⎜
10⎟⎟,ξ
2
=
⎜ ⎜
−11⎟⎟,
⎜⎜⎝ 0⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 1⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ − 1⎟⎟⎠
⎛1 2⎞ ⎜⎟
⎛0⎞ ⎜⎟
⎛ 12 ⎞ ⎜⎟
单位化即得
p2
=
⎜1 ⎜ ⎜⎜ ⎝
0 0
2
⎟⎟, ⎟⎟ ⎠
p3
=
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
1 1
0
g(
y)
=
b1
y2 1
+
b2
y2 2
+⋯
+
bn
y2 n
的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵 P 使
PT AP = B = diag(b1, b2 ,⋯, bn )
用正交变换化二次型为标准形
( ) n
定理 2.2 任给二次型 ∑ f = aij xi x j aij = a ji , 总有 i , j =1
注：1、合同关系满足自反性，对称性和传递性， 因此是一种等价关系。
2、合同矩阵具有相同的秩。从而在可逆线性变换 下，二次型的秩不变。
3、矩阵之间的合同与相似关系是两种不同的关系。
例
⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤ A = ⎢⎣0 1⎥⎦ , B = ⎢⎣0 4⎥⎦
⎡1 0⎤ C = ⎢⎣0 2⎥⎦
B = CT AC
⎪⎪ x2 = p21 y1 + p22 y2 + ⋯ + p2n yn
⎨ ⎪
⋯⋯
⎪⎩ xn = pn1 y1 + pn2 y2 + ⋯ + pnn yn
⎡ x1 ⎤
⎡ y1 ⎤
( ) 记
x
=
⎢ ⎢ ⎢
x2 ⋮
⎥ ⎥ ⎥
y
=
⎢ ⎢ ⎢
y2 ⋮
⎥ ⎥ ⎥
P = pij n×n
⎢ ⎣
x
n
⎥ ⎦
⎢ ⎣
yn
⎛ ⎜
x1
⎞ ⎟
⎛ 12 ⎜
12
0
1
2
⎞⎛ ⎟⎜
y1
⎞ ⎟
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
x2 x3 x4
⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
=
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
−1 2 −1 2 12
12 0 0
0 12 12
− 1 2⎟⎜ y2⎟
−1122⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝
y3 y4
⎟ ⎟⎟ ⎠
且有
f = −3 y12 + y22 + y23 + y24 .
第六章 二次型与对称矩阵
6.1 二次型及其矩阵 6.2 二次型的标准形 6.3 合同变换与二次型的规范形 6.4 实二次型分类 正定二次型
6.1.1 二次型及其矩阵
定义定1义.11 含有 n个变量 x1 , x2 ,⋯, xn的二次齐次函数
f ( x1 , x2 ,⋯, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + ⋯ + 2a1n x1 xn
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
⎜⎛ 17 − 2 − 2⎟⎞
A = ⎜ − 2 14 − 4⎟
⎜ ⎝
−
2
−4
14
⎟ ⎠
λ −17 2 2
λE − A = 2 λ −14 4 = (λ −18)2(9 − λ)
2 4 λ −14
从而得特征值 λ1 = 9, λ2 = λ3 = 18.
2．求特征向量
的逆变换.
二次型 f = xT Ax 经过可逆线性变换 x = Py 化为
f = (Py)T A(Py) = yT (PT AP)y
记 B = PT AP 则 f = yT By 是变量 y1, y2 ,⋯, yn 的一个
二次型
定义1.3 设A,B是两个n阶矩阵，如果存在n阶可逆 矩阵P，使得
PT AP = B 则称A与B是合同的（或相合），记作 A ~− B P称为合同因子或合同变换矩阵
⎜
⎟
得 η1 = ⎜ 2 3⎟, η2 = ⎜ 1 5 ⎟, η3 = ⎜ − 4 45 ⎟.
⎜⎝ 2 3⎟⎠
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
5
45
⎟ ⎠
所以
⎛1 3 ⎜
P = ⎜2 3
⎜ ⎝
2
3
−2 5 15
0
− 2 45 ⎞ ⎟
− 4 45 ⎟.
5
45
⎟ ⎠
于是所求正交变换为
⎛ ⎜
x1
⎞ ⎟
⎛1 3 ⎜
⎜ x2 ⎟ = ⎜ 2 3
正交变换 x = Qy ,使 f 化为标准形
f = λ1 y12 + λ2 y22 + ⋯ + λn yn2 ,
( ) 其中 λ1, λ2 ,⋯, λn是 f 的矩阵A = aij 的特征值.
例 将二次型
f = 17 x12 + 14 x22 + 14 x32 − 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3 通过正交变换 x = Py,化成标准形.
当λ1 = −3时,解方程组(−3E − A) x = 0,
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
得基础解系
ξ1
=
⎜ ⎜
− −
1 1
⎟ ⎟
,
⎜⎜ ⎝
1
⎟⎟ ⎠
单位化即得 p1
=
1 2
⎜ ⎜
− −
1 1
⎟⎟.
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时,解方程(E − A) x = 0,
可得正交的基础解系
A,B特征值不同，故合同但不相似。
特别地，两个相似的实对称矩阵是合同的。
因为A,B特征值相同，所以存在正交矩阵T使得
B = T −1AT = T T AT
总之
二次型 xT Ax 能用可逆线性变换 x = Py 化为 二次型
yT By 的充分必要条件是有可逆矩阵P，使
PT AP = B.
6.2 二次型的标准形
−
[α 2 [α 2
,ξ ,α
3 2
] ]α
2
,
α 1 = (1 2,1,1)T , α 2 = (−2,1,0)T , α 3 = (− 2 5,−4 5,1)T .
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
ηi
=
αi αi
,
(i = 1,2,3),
⎛1 3⎞ ⎜⎟
⎛− 2 5⎞
⎜
⎟
⎛ − 2 45 ⎞
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩. 记 R( f ) = R(A)
例 写出二次型
f
=
x12
+
2
x
2 2
− 3 x32 + 4 x1 x2
− 6x2x3
的矩阵.
解 a11 = 1, a22 = 2, a33 = −3, a12 = a21 = 2 , a13 = a31 = 0,
a23 = a32 = −3.
将λ1 = 9代入(λE − A)x = 0,得基础解系
ξ 1 = (1 2,1,1)T .
将λ2 = λ3 = 18代入(λE − A)x = 0,得基础解系
ξ 2 = (−2,1,0)T , ξ 3 = (−2,0,1)T .
3．将特征向量正交化 取 α1 = ξ1, α2 = ξ2, α3 = ξ3 得正交向量组
+ 2 x2 x4 + 2 x3 x4
化为标准形.
解
⎛ 0 1 1 − 1⎞
⎜
⎟
二次型的矩阵为
A
=
⎜ ⎜
1 1
0 −1 −1 0
1 1
⎟⎟,
⎜⎜ ⎝
−
1
1
1
0
⎟⎟ ⎠
它的特征多项式为
λ −1 −1 1
1111
−1 λ 1 −1
−1 λ 1 −1
λE − A =
. = (λ −1)
−1 1 λ −1
⎥ ⎦
则 x = Py
( ) 如果系数矩阵
P=
pij
可逆，则称上式为可逆线性
n×n
变换（或称满秩线性变换、非退化线性变换）。
( ) 如果系数矩阵
P=
pij
不可逆，则称上式为不可逆
n×n
线性变换（或称降秩线性变换、退化线性变换）。
( ) 当 P =
pij
可逆时，线性变换
n×n
y = P −1 x 称为 x = Py
y3 ) =
y2 1
+
3
y2 3
的矩阵为
⎡1 0 0⎤
B = ⎢⎢0 0 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 3⎥⎦
定义1.2：设 x1, x2,⋯, xn; y1, y2,⋯, yn 是两组变量，
系数在数域P中的下列关系式称为从变量 x1, x2 ,⋯, xn 到 y1, y2 ,⋯, yn 的一个线性变换。
⎧ x1 = p11 y1 + p12 y2 + ⋯ + p1n yn