形式化方法PPT课件

模态词之间的关系
□P↔ ¬◇¬P ◇P↔ ¬□¬P
模态逻辑语义
要区分真值的不同模式或程度 基本模态逻辑的模型（Kripke）：
三元组M=（W,R,L）
W：可能世界的非空集合； R包含于 W ×W：可能世界W上的二元关系， L：W→2p(P为原子公式集合)：标记函数，对可
能世界的真值指派。 例：R(w,w’):世界w’可从世界w到达
如果A是模态一阶逻辑公式，x是A中出现的 变量（个体变量），则∀x.A, ∃x.A是模态逻 辑公式;
当且仅当有限次地使用（1）（2）（3）所 组成的符号串是模态一阶逻辑公式.
与量词相关的性质
∀x□P↔□(∀x. P) ∃x◇P↔◇(∃x. P) ◇(∀xP) →□(∀xP) ∃x□P↔□(∃xP)
模态公式之间的等价（续）
命题逻辑中的任何等价也是模态逻辑中的等价。 取命题逻辑中的任何等价，将原子一致地代换成
任意的模态逻辑公式，结果还是模态逻辑中的等 价。 例：p→¬q, ¬(p∧q)
p: □p ∧(q→p) q: r→◇(q∨p) □p ∧(q→p)→¬(r→◇(q∨p)) ≡ ¬((□p ∧(q→p)) ∧(r→◇(q∨p)))
考察（2）
¬（□A∧□¬A） 不会既有必然A，又有必然¬A；
□(A∨¬A) 必然有A成立或者¬A成立；
¬◇（A∧¬A） 不可能A与 ¬A同时成立；
□（A∧B）↔ □A∧□B 必然A并且B等价于必然A并且必然B；
考察（3）
□A∨□B→□（A∨B） 如果必然A和必然B有一个为真，那么必然 有A真或者B真；
用图来表现Kripke结构
圆圈：可能世界
有向线段：可能 世界之间的关系
圆圈内：标记函 数标识（该可能 世界中成立的原 子公式）
p.q s0
q,r
r
s1
s2
标准模型
满足下面条件的三元组M=(W,R,L):对于p， q∈ P和s，t∈ W有：
L(p,s) = 1∨0 L(¬p,s) = ¬L(p,s) L(p∨q,s) = L(p,s)∨L(q,s) L(p∧q,s) = L(p,s) ∧L(q,s) L(□p,s) = (∀t)(sRt→L(p,t))=1 L(◇p,s) = (∃t)(sRt→L(p,t))=1
◇（A∨B）↔ ◇A∨◇B 可能A或者B当且仅当可能A或者可能B；
◇（A∧B）→ ◇A∧◇B 如果可能有A并且B，那么可能A并且B 。
模态一阶逻辑公式
原子谓词公式是模态逻辑公式；
如果A,B是模态一阶逻辑公式，那么 （□A），（◇A），（¬A），（A→B）， （A↔B），（A∧B），（A∨B）是模态逻 辑公式；
x2,x3,x4,x5,x6 ||-□p→p
p.q x2
p x3
模态公式之间的等价
基本模态逻辑的一个公式集Γ语义导出基 本模态逻辑公式ψ，如果对任何模型M= （W,R,L）中的任何世界x，只要对所有 Ф∈Γ均满足x||-Ф,就有x||-ψ 。在这 种情况下,Γ|=ψ成立。
Ф和ψ是语义等价，如果Ф|=ψ和ψ|=Ф 成立。记为Ф≡ψ
定义
如果该模型中每个世界都满足该公式，称 基本模态逻辑的模型M(W,R,L)满足一个公 式。写M|=Ф当且仅当对每个x∈W,x||-Ф
例
x1 ||- q
x1 ||- ◇q
x1 ||- □q
x5 ||- □px5 ||- □qqx5 ||- □p∨□q
x6541
x5 ||- □(p∨q)
第四章 时态逻辑
引入
命题逻辑和谓词逻辑表达的可能性
真和假
不能表达的可能性
必然为真 知道为真 将来为真 相信为真
例
奥巴马是美国总统 太阳系有九大行星 27的立方根是3
模态逻辑
本章内容
模态逻辑 时态逻辑
命题线性时态逻辑 一阶线性时态逻辑 计算树逻辑（CTL，CTL*）
模态逻辑公式
原子命题是模态逻辑公式； 如果A是模态逻辑公式。那么□A和◇A是
模态逻辑公式； 如果A,B是模态逻辑合适公式，那么（¬A），
（A→B），（A↔B），A∧B），（A∨B） 是模态逻辑公式； 当且仅当有限次地使用（1）（2）（3）所 组成的符号串是模态逻辑公式。
考察（1)
□A→A 必然A真则A真； A→◇A A真则可能A真； □A→◇A 必然A真则可能A真； □A→¬◇¬A 必然A真当且仅当不可能¬A； ◇A↔¬□¬A 可能A当且仅当并非必然 ¬A； ◇A∨◇¬A 可能A或者可能¬A；
模态逻辑相关概念
模态（Modal）
谓词逻辑的扩展形式。基于命题逻辑的扩展称为模 态命题逻辑，基于一阶谓词逻辑的扩展称为模态一 阶逻辑。特点是通过引入“可能”和“必然”两个 模态词，从而能够对可能世界中的命题进行描述和 演算。
模态词
必然（□）；可能（◇）
例如,对于命题P:火星上有生命，
□P：火星上必然有生命 ◇P：火星上可能有生命；
定义Ф的真值
设M=(W,R,L)是基本模态逻辑的一个模型。假设 x∈W且Ф是模态逻辑公式。通过对Ф结构归纳， 定义满足关系x||- Ф来定义在世界x中,Ф的真值：
x||-p当且仅当p∈L(x) x||-¬Ф当且仅当x |= Ф x||-Ф∧ψ当且仅当x |= Ф并且x|=ψ x||-Ф∨ψ当且仅当x |= Ф或x|=ψ x||-Ф→ψ当且仅当只要x |= Ф则x|=ψ x||- □ψ当且仅当对R(x,y)的每一y∈W,有y|=ψ x||- ◇ψ当且仅当存在y∈W,使得R(x,y)且y|=ψ
有效公式
基本模态公式Ф称为有效，如果它在任何模型的 任何世界中都为真
任何命题逻辑重言式是有效公式，它的任何代换 实例也是有效公式
¬□Ф ↔ ◇¬Ф
□(Ф∧ψ) ↔ □Ф∧□ψ)
◇(Ф∨ψ) ↔ ◇Ф∨◇ψ
有效公式
K公式：□(Ф→ψ) ∧ □Ф→□ψ 证明：x||- □(Ф→ψ) ∧ □Ф
当且仅当x||- □(Ф→ψ) 且x||- □Ф 当且仅当对所有满足R(x,y)的y，有y||Ф→ψ和y||- Ф蕴涵对所有满足R(x,y)的 y，有y||- ψ当且仅当 x||- □ψ.
模态逻辑的种类
必然
可能