数值分析5LU分解法
数值计算方法LU分解法实验
数值计算方法LU分解法实验LU分解法是一种常见的数值计算方法，用于解线性方程组或求解矩阵的逆。
该方法的核心思想是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
在本篇文章中，我们将进行关于LU分解法的实验，并探讨其性能和应用。
首先，我们需要明确LU分解法的数学原理。
假设我们有一个n阶方阵A，LU分解法的目标是找到两个矩阵L和U，使得A=LU。
其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
然后，我们可以将原始的线性方程组Ax=b转化为两个新的方程组Ly=b和Ux=y。
通过求解这两个方程组，我们可以得到原始方程组的解。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明LU分解法的步骤和计算过程。
假设我们有以下方程组：2x+y+z=8-3x-y+2z=-11-2x+y+2z=-3首先，我们将系数矩阵A进行LU分解。
在这个例子中，我们可以得到下三角矩阵L和上三角矩阵U：L=100-1.510-1-11U=21101.52.5001然后，我们将方程组转化为Ly=b和Ux=y的形式。
解这两个方程组，可以得到y和x的值。
最终，我们可以得到方程组的解为x=2，y=3，z=-1通过以上的实例，我们可以看到LU分解法的步骤较为繁琐，但是它的结果是准确的。
那么，接下来我们将进行一系列实验，来评估LU分解法的性能和应用。
首先，我们将进行LU分解法的准确性测试。
我们将随机生成一组方程组，并使用LU分解法求解出它们的解。
然后，我们将使用该解验证原方程组，并计算出其误差。
我们重复这个过程多次，并计算平均误差。
通过这次实验，我们可以判断LU分解法的准确性。
其次，我们将评估LU分解法的计算效率。
我们将随机生成不同规模的方程组，并使用LU分解法求解它们。
然后，我们记录下求解所需的时间，并绘制出问题规模和求解时间的关系图。
通过这个实验，我们可以了解LU分解法在不同规模问题上的计算效率，从而评估其可行性和应用范围。
此外，我们还可以将LU分解法与其他数值计算方法进行比较。
数值分析_lec4_解线性方程组_LU分解法_1013
第二章(二)：LU分解法
2.2.1 LU分解法
矩阵A的LU分解：
A LU
1
若L为单位下三角矩阵：
1 l21 L ln1
1 lnn 1
Doolittle分解
* ** * P2 P 1Qk }(Qk A) U k 1 Qk A Lk -1U k 1
2.2.2* 选主元的LU分解法
一般的，我们有Pn-1Qn 1 Pk 1Qk 1 P2Q2 PQ 1 1 A U , 这里Qk (k 1, 2, , n 1)
为初等置换阵或单位阵，于是有：
2.2.1 LU分解法
（L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵） Doolittle分解算法：
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n 1 a2 n l21 1 ann ln1 ln 2
a1 j u1 j ( j 1, 2， , n)
u11 l21 ln1
u12 a22 an 2
u1n 1 a2 n l21 1 ann ln1 ln 2
, n)
u11 u12 u22 1
u1n u2 n unn
* P2 P 1 A QkU k 1 U k 1
2.2.2* 选主元的LU分解法
在执行第k 步之前, 交换第k行与第ik 行, 上式两侧左乘以初等置换矩阵Qk Qk Pk 1
1 1 L* k -1 P 1 P 2 * P2 P 1 A QkU k 1 U k 1
lu分解迭代求精法
lu分解迭代求精法
LU分解是一种常用的矩阵分解方法，用于求解线性方程组或矩阵的逆。
LU分解迭代求精法是指在已经进行了LU分解的基础上，通过迭代逐步求取精确解的方法。
下面以迭代求解线性方程组为例来说明LU分解迭代求精法的步骤：
1. 对系数矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
2. 将线性方程组Ax=b转化为LUx=b。
3. 设定初始解向量x^(0)的初始值。
4. 迭代计算x^(k+1) = U^(-1)(b - Lx^(k))，其中k为迭代次数。
5. 判断精度是否满足要求，如果满足则停止迭代，否则返回第4步。
迭代求解的精度取决于迭代次数和初始解向量的选择，一般可以使用收敛准则来判断是否满足要求。
常用的收敛准则包括残差准则和误差准则。
需要注意的是，LU分解迭代求精法虽然可以提高解的精度，但在某些情况下可能会导致迭代过程发散或慢速收敛。
因此，在实际应用中需要根据具体问题选择合适的迭代方法和初始解向量，并进行收敛性分析以保证求解结果的可靠性和精度。
LU分解法
(5)xn = yn ,对 i=n-1,…1
求 xi : xi =(yi -
Байду номын сангаас
n
(6)输出 xi (i=1,2,…n),结束 五、实验程序 （1）建立 LU_1.m 文件
（2）建立 backsub.m 文件
（3）建立 upsub.m 文件
(4)算法的实现： 输入 A=[-5 2 -1;1 0 3;3 1 6]得到 A；输入 B=[3 1 6;1 0 3;-5 2 -1] 得到 B； 在输入[L U]=LU_1(A),得到 L 和 U 的值。再输入[X]=backsub(A,B)， 按回车得到 X 的值；载输入[Y]=upsub(A,B),按回车得到 Y 的值。
六、实验结果
七、实验结果分析：高斯消去法简单易行，计算量小且结果精确。可以算出多个 值。
实验总结：三角分法算出了 X 和 Y 值，高斯消去法算出了 RA，RB，n ,X 的值。 其中它们都可以解出 X 的值，且 X 的值完全相同。
实验报告一
一、实验名称：ＬＵ三角分法解线性方程组; 二、实验目的：熟练掌握ＬＵ三角分法的基本原理及其应用; 三、实验原理 设无行交换变换的高斯消去可求解一般线性方程组 AX=B， 则矩阵 A 可分解为 一个下三角形矩阵 L 和一个上三角形矩阵 U 的乘积：A=LU（L 的对角线元素 为 1，U 的对角线元素非零）。得到Ｌ和Ｕ后，可通过如下步骤得到Ｘ： （１） 利用前向替换法对方程组ＬＹ＝Ｂ求解Ｙ。（２）利用回代法对方程组ＵＸ ＝Ｙ，求解Ｘ。 四、实验步骤 (1)输入 A,B; (2)对 j=1,2,…n 求 u1j : u1j = a1j ,对 i=1,2,…n 求 li1 : li1 = ai1 /u11; (3)对 r=1,2,…n 做如下步骤： ①urj = arj -
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
数值分析高斯顺序消去法、列主元消去法LU分解法
数值分析实验报告（1）学院：信息学院班级：计算机0903班姓名：***学号：********课题一A.问题提出给定下列几个不同类型的线性方程组，请用适当的方法求解线性方程组1、设线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------1368243810041202913726422123417911101610352431205362177586832337616244911315120130123122400105635680000121324⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2119381346323125 x *= ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 )T2、设对称正定阵系数阵线方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------------19243360021411035204111443343104221812334161206538114140231212200420424⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡87654321x x x x x x x x = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4515229232060 x * = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 )T3、三对角形线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------4100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----5541412621357 x *= ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 )TB.（1）对上述三个方程组分别用Gauss 顺序消去法与Gauss 列主元消去法；平方根 与改进平方根法；追赶法求解（选择其一） （2）编写算法通用程序（3）在应用Gauss 消去时，尽可能利用相应程序输出系数矩阵的三角分解式C.(1)通过该课题的程序编制，掌握模块化结构程序设计方法 (2)掌握求解各类线性方程组的直接方法，了解各种方法的特点 (3)体会高斯消去法选主元的必要性 实验步骤：（高斯消去法，列主元，LU ）1顺序高斯消去法2.LU 分解法3.列主元高斯消去法（如下图）（1）高斯消去法运行结果如下（2）对方程的系数矩阵进行LU分解并求出方程组的解（3）列主元高斯消去法实验体会总结：利用gauss消去法解线性方程组的时候，如果没有经过选主元，可能会出现数值不稳定的现象，使得方程组的解偏离精确解。
线性方程组数值解法LU分解法
i1
1 ) y 1 b 1 ; y i b i l ij y j )( i 2 ,..., n )； j1
n
2 ) x n y n / a nm ; x i ( y i u ij x j ) / u ii ( i n 1 ,..., 2 ,1 )； ji1
a(1) i1
a(1) 11
则 (1)行(-li1) (i)行 i 2，3，...,n，其矩阵形式为
1 l2 1 .l.3.1 ln1
1
aa((121111))
01
...
......
...
0 0 ...... 1a(n11)
L1
a(1) ... ... a(1) a(1)
12
a(1) 22
3.2.2 Doolittle分解
此 分 解 在 于 如 何 算 出 L,U 的 各 元 素 ， 以 n 3为 例
a11 a12 a13 1
a
21
a22
a
2
3
l
2
1
1
u11 u12 u13
u 22
u
2
3
Байду номын сангаас
a31 a32 a33 l31 l32 1
u 33
k 1时 ： a1 j u1 j u1 j a1 j ( j 1, 2, 3)
Doolittle分解
计算 l k 1 k ,..., l nk 由于 i k ，于是由
u1k
a ik
[ li1 ...,
l
ik
1
,1
,
0
...
0
]
u kk 0
数值分析PPT52LU分解
Step 1: u1j = a1j; lj1 = aj1 / u11; ( j = 1, …, n ) Step 2: compute a and b for i = 2, …, n1;
Step 3:
n1
unn ann lnk ukn
k 1
§2 Matrix Factorization – Cholesky
min( i , j )
ai j
li k uk j
k 1
§2 Matrix Factorization – Doolittle
固定 i :
i 1
对 j = i, i+1, …, n 有 aij lik ukj uij
lii = 1
k 1
i 1
uij aij lik ukj
a
k 1
...
a(1) 1n
b1(1)
A b (2) (2)
1
Step n 1:
Ln1Ln2 ... L1
A
b
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
...
a(1) 1n
...
a(2) 2n
... ...
b(1) 1
b(2) 2
...
1
其中
Lk =
a(n) nn
b(n) n
1
mk1,k ...
证明：由§1中定理可知，LU 分解存在。事实上,
A
L11
L21
...
L1 k 1
Ak
L(k) Ak
其中 Ak形如
a1(11)
a(1) 1n
Ak
a(k) kk
a(k) kn
a(k) nk
数值分析5LU分解法
数值分析5LU分解法LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于解线性方程组。
本文将详细介绍LU分解法的原理、算法步骤、优缺点以及应用领域，以期能够全面地掌握这一方法。
一、LU分解法原理LU分解法是将一个方程组的系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积的形式，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，通过分解可以简化方程组的求解过程。
LU分解法的基本思想是将原始方程组Ax=b分解为Ly=b和Ux=y两个方程组，其中L和U是通过A分解得到的矩阵。
二、算法步骤1.首先，将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U。
L是下三角矩阵，主对角线元素均为1，而U是上三角矩阵。
2.然后，将原始方程组Ax=b转化为Ly=b，求解y的值。
3.最后，将解y代入Ux=y，求解x的值，即可得到方程组的解。
三、算法优缺点1.优点：LU分解法将原始方程组的系数矩阵分解为两个形式简单的矩阵，简化了方程组的求解过程。
对于重复使用系数矩阵A的情况，只需要进行一次LU分解，然后根据新的b值求解新方程组，提高了计算效率。
2.缺点：LU分解法需要进行矩阵分解计算，计算量较大，因此对于规模较大的方程组计算效率较低。
此外，当系数矩阵A存在奇异性或病态时，LU分解法可能会失败。
四、应用领域LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，特别是在求解线性方程组方面。
例如，在工程领域中，常需要通过数值方法求解复杂的结构力学问题，此时可以使用LU分解法求解由有限元方法离散得到的大规模线性方程组。
另外，LU分解法还可以用于解非线性方程组、求逆矩阵、计算矩阵的行列式等。
总结：LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于求解线性方程组。
通过将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积形式，可以简化方程组的求解过程。
LU分解法的优点是提高了方程组的求解效率，适用于重复使用系数矩阵A的情况。
然而，LU分解法也存在一定的缺点，如计算量较大、对奇异性和病态问题的处理较为困难。
LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，可以用于求解工程问题中的大规模线性方程组，解非线性方程组，求逆矩阵等。
lu分解和牛顿法-概述说明以及解释
lu分解和牛顿法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数值计算中，lu分解和牛顿法是两种常用的数值计算方法，它们在求解线性方程组和优化问题中具有重要的应用价值。
lu分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，可以加快线性方程组的求解速度；而牛顿法是一种迭代求解非线性方程组和优化问题的方法，通过不断迭代逼近函数的零点或极值点。
本文将详细介绍lu分解和牛顿法的原理、算法流程以及应用实例，帮助读者更好地理解和应用这两种数值计算方法。
1.2 文章结构文章结构部分内容如下：文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构，以帮助读者更好地理解和阅读文章。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
- 引言部分：- 概述：介绍了lu分解和牛顿法的基本概念和背景。
- 文章结构：说明了整篇文章的组织结构和各部分的内容。
- 目的：阐明了本文旨在探讨lu分解和牛顿法的原理、应用和未来研究方向。
- 正文部分：- lu分解：详细介绍了lu分解的定义、原理和算法步骤。
- 牛顿法：深入探讨了牛顿法的基本原理、收敛性和优化过程。
- 应用实例：通过具体案例分析，展示了lu分解和牛顿法在实际问题中的应用和效果。
- 结论部分：- 总结lu分解和牛顿法：总结了lu分解和牛顿法的重要性和作用，强调它们在科学计算和优化领域的重要性。
- 优缺点分析：对lu分解和牛顿法的优点和局限性进行了评估和分析。
- 展望未来研究方向：展望了lu分解和牛顿法在未来的发展方向和研究趋势。
通过以上结构，读者可以系统地了解本文所涉及的主要内容和观点，帮助他们更好地理解和理解lu分解和牛顿法的原理和应用。
1.3 目的本文的目的在于探讨和比较lu分解和牛顿法这两种数值计算方法在实际问题中的应用以及优缺点。
通过深入分析lu分解和牛顿法的原理和特点，我们将探讨它们在不同领域中的具体应用实例，并从中总结出它们在实际问题中的优劣势。
同时，本文也将展望未来研究方向，指出lu分解和牛顿法在数值计算领域的潜在发展方向，为相关研究者提供参考和启示。
探索LU分解技巧
探索LU分解技巧LU分解技巧是一种常用的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为两个易于计算的三角矩阵，从而简化计算过程。
本文将从LU分解的定义、计算过程，以及其在实际问题中的应用等方面进行探索和讨论。
为了更好地理解和应用LU分解技巧，我们将首先介绍LU分解的基本概念。
一、LU分解的基本概念LU分解是将一个矩阵A分解为一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积的过程，即A=LU。
其中下三角矩阵L的对角线元素为1，上三角矩阵U的对角线元素为A的对应位置的元素。
通过将矩阵A进行LU分解，我们可以将原来复杂的线性方程组的求解问题转化为两个简单的三角方程组的求解问题。
二、LU分解的计算过程LU分解的计算过程可以通过高斯消元法来实现。
具体步骤如下：1. 初始化：将A矩阵的第一行作为U的第一行，将A矩阵的第一列除以U的第一行首元素作为L的第一列。
2. 迭代计算：对于矩阵A的第i行和第i列，通过减去第i-1行和第i-1列的乘积，来逐步消除A矩阵的下三角和上三角元素，得到LU分解。
3. 重复迭代：通过迭代计算的方法，不断消除A矩阵的下三角和上三角元素，直到得到完整的LU分解。
三、LU分解的应用LU分解在实际问题中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是求解线性方程组。
通过LU分解，我们可以先对矩阵A进行分解，然后根据已知的向量b，很容易地求解出线性方程组Ax=b。
这在科学计算、工程问题等领域都有着很大的价值。
此外，LU分解还可以用于计算矩阵的行列式和逆矩阵。
对于一个可逆矩阵A，其行列式可以通过LU分解后的下三角矩阵L和上三角矩阵U的对角线元素的乘积得到。
同时，通过LU分解后的L和U两个矩阵，我们也可以很方便地求解出A的逆矩阵。
四、总结本文对LU分解技巧进行了探索和讨论。
通过LU分解，我们可以将复杂的线性方程组求解问题转化为两个简单的三角方程组的求解问题，大大简化了计算过程。
同时，LU分解还有着广泛的应用，包括求解线性方程组、计算矩阵的行列式和逆矩阵等。
数值分析5LU分解法.docx
§ 3 LU 分解法――GaUSS 消去法的变形知识预备：1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积 2 矩阵的乘法3 上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆一、GauSS 消去法的矩阵解释GaUSS 消去法实质上是将矩阵 A 分解为两个三角矩阵相乘。
我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。
A (I)左乘矩阵L 1A ⑴=A ⑺其中第二轮消元：对应于L 2A ⑵=A (3)般地L k A (K ^A (K I)k =1,2, ,n -1其中L 1,即第一轮消元：相当于对-1I -l 21NI )A (2)J1) …a 12 J 1Ta1n IΛ(2)… a 22 a ⑵a2na (I) I 一ai1+¥ ・∙. B -…，li1 一 ⑴a11a(2) •…an2a ⑵a从而二、矩阵的三角分解1、若将A 分解成L?J,即A=L7U,其中L 为单位下三角矩阵，U 为非奇 异上三角矩阵，则称之为对 A 的Doolittle 分解。
当A 的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而 A 存在唯一的Doolittle 分解。
证明：若有两种分解，A=L I Lll ， A=L 2U 2，则必有L 1=L 2，U 1=U>0 因为L I Ul = L 2U2,而且L 1，L 2都是单位下三角矩阵， U,U 2都是可逆上三 角矩阵，所以有4-4L 21L^U 2U 1整个消元过程为 ^ l k 1k1lika (k)4⅛,^k 1,k2,akk,nU 11U mL nl L n ^- L 2L 1A =A (n)记 U - U 22U 2n U nnA=(L n 」L nj L 2L 1) UL n I l U =LU其中L 是单位下三角矩阵，即一1l 21l31l32 1J 【注】消元过程等价于A 分解成回代过程是解上三角方程组的过程。
解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法
解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法数值试验报告分析一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法二、实验目的及要求：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。
三、算法描述：本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。
其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A可逆时，列主元Gau(高斯）消去法一定能进行到底。
优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gau消去法相同的计算量。
列主元Gau(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gau(高斯）消去法。
注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
矩阵的三角分解法是A=LU,L是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle分解:L是单位下三角阵，U是上三角阵；Crout分解:L是下三角阵，U是单位上三角阵。
矩阵三角分解的条件是矩阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零。
三角分解的实现是通过(1)Doolittle分解的实现；(2)Doolittle分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。
（3）用Doolittle分解求解方程组:A某=bLU某=bLY=bA=LUU某=Y；四、实验内容：解下列两个线性方程组3.016.031.99某114.161.23某21（1）1.270.9874.819.34某1371032.099999（2）51211某1862某25.90000151某3502某410a、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出A某=b中矩阵A及向量b,A=LU分解的L及U，detA及解向量某.b、将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量某及detA，并与（1）中结果比较。
LU分解
~ T ~T T T ~T T ~ ( LDU ) = U D L = U DL = LDU
~ 由分解的唯一性有， T = L 即，于是可得下面的结论。 U
定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 则 A可以唯一分解为A= LDLT ，这里
k =1 k =1
得公式 u1j=a1j li1=ai1 / u11
j=1,2,…,n i=2,3,…,n
l ii = 1
当i ≤ j时,有 aij = ∑ l1k ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj + uij
k =1 n k =1 i k =1 n i i −1
a ji = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki + l ji ⋅ uii
3 2
例 用直接三角分解法解方程组
1 5 x1 11 2 4 1 12 x2 = 27 − 2 − 4 5 x3 12
解：由前面的公式可得
1 2 1 5 A = LU = 2 1 − 1 2 − 1 3 1 4
k = 1, d 1 = a11 = 5
k = 2,
d2 = a22 − u21l21 = 2.8
u 32 = a 32 − u 31l 21 = − 3.2
j = 3,
k = 3,
l32 = u 32 / d 2 = − 1.14286
d 3 = a33 − u 31l31 − u 32 l32 = 2.14285
LU分解法的基本思想 LU分解法的基本思想 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U 的乘积，其中L 的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角 矩阵，而且要求L的对角元素都是1 矩阵，而且要求L的对角元素都是1；
数值分析LU分解法
数值分析LU分解法数值分析是计算机科学中的一个重要分支，它研究数值计算的原理、方法和算法。
数值分析的一个常见问题是解线性方程组，而LU分解法是一种常用的解线性方程组的数值方法。
本文将详细介绍LU分解法的原理、应用和优势。
LU分解法是一种矩阵分解的方法，它将一个矩阵分解为两个特定的矩阵：L下三角矩阵和U上三角矩阵。
具体而言，给定一个n×n的矩阵A，LU分解法可以将其表示为LU=A，其中L是一个n×n的下三角矩阵，U是一个n×n的上三角矩阵。
通过将矩阵A分解为L和U的乘积形式，LU分解法可以更高效地解线性方程组。
LU分解的过程大致如下：1.初始化L和U为n×n的零矩阵。
2.对于矩阵A的第一列，将其元素依次作为L的第一列。
3.对于矩阵A的第一行，将其元素依次作为U的第一行。
4.对于矩阵A的每一列j（除了第一列），计算L矩阵的第j列和U矩阵的第j行。
具体方法是通过消元法将L矩阵的第j列元素计算为A矩阵的第j列元素除以U矩阵的第j行元素。
LU分解法的主要优势在于解线性方程组的效率和稳定性。
与高斯消元法相比，LU分解法具有更好的稳定性，特别是在矩阵的行主元不为零时。
当需要多次求解不同右端向量的线性方程组时，通过LU分解可只需一次分解，多次使用L和U来求解不同的线性方程组。
这样可以大大提高计算效率。
此外，LU分解法还有其他一些应用。
例如，通过LU分解法可以计算矩阵的逆和行列式。
由于LU分解法将矩阵分解为两个三角矩阵，求解矩阵的逆只需分别求解L和U的逆并将其乘积即可。
同样地，通过LU分解法也可以计算矩阵的行列式，行列式的值等于U矩阵对角线上的元素的乘积。
总结来说，LU分解法是一种在数值分析中常用的解线性方程组的方法。
它通过将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积形式，实现了高效和稳定的线性方程组求解。
此外，LU分解法还可以用于计算矩阵的逆和行列式。
因此，LU分解法在数值计算和科学计算中有着广泛的应用。
数值分析第五章解线性方程组的直接法
数值分析第五章解线性方程组的直接法解线性方程组是数值分析中的一个重要问题，对于大规模的线性方程组来说，直接法是一种常用的求解方法。
本文将介绍解线性方程组的直接法，包括高斯消元法和LU分解法，并对其稳定性和计算复杂度进行讨论。
高斯消元法是一种常用的直接法，用于求解非奇异线性方程组。
其基本思想是通过初等行变换将线性方程组转化为上三角方程组，然后通过回代求解得到方程的解。
高斯消元法的步骤如下：1.将线性方程组表示为增广矩阵[A，b]，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
2.从第一行开始，选择一个非零元素作为主元，通过行变换将主元下方的元素全部消为零。
3.重复第2步，直到矩阵变为上三角矩阵。
4.通过回代求解上三角矩阵，得到方程组的解。
高斯消元法的主要优点是简单直接，容易实现，但存在一些问题。
首先，如果系数矩阵A是奇异矩阵，即行列式为零，那么高斯消元法无法得到方程组的解。
其次，如果系数矩阵A的其中一行或几行接近于线性相关，那么在消元过程中会引入大量的舍入误差，导致计算结果不准确。
这也说明了高斯消元法的稳定性较差。
为了提高稳定性，可以使用LU分解法来解线性方程组。
LU分解法将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
这样，原始的线性方程组可以表示为LUx=b，进而可以通过两个步骤来求解方程组：1.进行LU分解，将系数矩阵A分解为L和U。
2.分别用前代和回代的方法求解方程组Ly=b和Ux=y。
LU分解法相对于高斯消元法的优点是，可以在求解多个右端向量时，避免重复计算LU分解，从而提高计算效率。
同时，LU分解法的稳定性也较高，对于多个右端向量求解时，舍入误差的累积相对较小。
然而，LU分解法也存在一些问题。
首先，LU分解法的计算复杂度较高，需要进行两次矩阵乘法和一次矩阵向量乘法，而且LU分解过程中需要对系数矩阵A进行大量的行变换，增加了计算量。
其次，当系数矩阵A的一些元素非常小或非常大时，LU分解法容易出现数值不稳定的情况，即舍入误差的累积较大，导致计算结果不准确。
数值分析5LU分解法 0528
数值分析5LU分解法§3 LU分解法——Gauss消去法的变形知识预备：1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积2矩阵的乘法3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆一、Gauss消去法的矩阵解释23Gauss 消去法实质上是将矩阵A 分解为两个三角矩阵相乘。
我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。
第一轮消元：相当于对A （1）左乘矩阵L 1，即)2()1(1A A L = 其中)1(11)1(11)2()2(2)2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)2(131211,,10111a a l a a a a a a a Al l lL i i nn n n n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=ΛΛO ΛΛΛΛOO ΛΛ第二轮消元：对应于)3()2(2A A L =4一般地1,,2,1)1()(-==+n k A A L k k k Λ ……………（1） 其中nk k i a a l l l L k kkk ikik nkk k k ,,2,1,,10111)()(1ΛO ΛO ++==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=+整个消元过程为U A A L L L L n n n 记)(1221=--Λ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nnn n u u u u u u ΛO ΛΛ22211211………（2） 从而UL U L L L L U L L L L A n n n n ⋅===---------1112121111221)(ΛΛ其中L 是单位下三角矩阵，即5,1,,1,,3,2,,1111)()(21323121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n j n i l l l l l l L j jj j ija a ij n n ΛΛΛΛO ΛΛΛ (3)【注】消元过程等价于A 分解成LU 的过程回代过程是解上三角方程组的过程。
lu三角分解法
lu三角分解法三角分解法（LU decomposition）是一种常见的矩阵分解方法，在数学和工程学科中都有广泛的应用。
其基本思想是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
这个分解有助于解线性方程组、求矩阵的逆以及计算行列式等问题。
三角分解法的步骤如下：1. 对矩阵A进行LU分解，令 L 的对角线元素为1.2. 解方程 Ly=b，求出y。
3. 解方程 Ux=y，求出x。
步骤1中，我们首先将矩阵A进行初等变换，使其变为下三角矩阵L 和上三角矩阵U的乘积形式，即\begin{align}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\l_{21} & 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\l_{n1} & l_{n2} & \cdots & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\0 & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & u_{nn}\end{pmatrix}\end{align}其中，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，且l_{ij}和u_{ij}分别表示L 和U的元素。
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§3 LU 分解法——Gauss 消去法的变形知识预备：1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积2矩阵的乘法3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆一、Gauss 消去法的矩阵解释Gauss 消去法实质上是将矩阵A 分解为两个三角矩阵相乘。
我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。
第一轮消元：相当于对A （1）左乘矩阵L 1，即)2()1(1A A L =其中)1(11)1(11)2()2(2)2(2)2(22)1(1)1(12)1(11)2(131211,,1001011a a l a a a a a a a Al l l L i i nn n n n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=第二轮消元：对应于)3()2(2A A L =一般地1,,2,1)1()(-==+n k A A L k k k (1)其中nk k i a a l l l L k kkk ikik nk kk k ,,2,1,,10111)()(1 ++==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=+整个消元过程为U A A L L L L n n n 记)(1221=-- ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnu u u u u u 22211211………（2） 从而U L U L L L L U L L L L A n n n n ⋅===---------1112121111221)(其中L 是单位下三角矩阵，即,1,,1,,3,2,,1111)()(21323121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n j n i l l l l l l L j jj j ija a ij n n …（3） 【注】消元过程等价于A 分解成LU 的过程回代过程是解上三角方程组的过程。
二、矩阵的三角分解1、若将A 分解成LּU ，即A=LּU ，其中L 为单位下三角矩阵,U 为非奇异上三角矩阵,则称之为对A 的Doolittle 分解。
当A 的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而A 存在唯一的Doolittle 分解。
证明：若有两种分解，A=L 1U 1，A=L 2U 2，则必有L 1=L 2，U 1=U 2。
因为L 1U 1=L 2U 2，而且L 1，L 2都是单位下三角矩阵，U 1,U 2都是可逆上三角矩阵,所以有112112--=U U L L因此 )(112112单位矩阵I U U L L ==-- 即L 1=L 2，U 1=U 2、2、若L 是非奇异下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵时，A 存在唯一的三角分解，A=LU ，称其为A 的Crout 分解（对应于用列变换实施消元）三、直接分解（LU 分解）算法LU 分解算法公式——按矩阵乘法⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n u u u u u u l l l l l A 22211211213231211111 第一步：利用A 中第一行、第一列元素确定U 的第一行、L 的第一列元素。
由),,2,1()0,,0,,,()0,,0,0,1(1211n j u u u u a jT ij j j j ==⋅=),,3,2()0,,0,()0,,1,,,(111111211n i u l u l l l a i T ii i i i =⋅=⋅=-得 u 1j =a 1j n j ,,2,1( =) l i1=a i1/u 11n i ,,3,2( =)第r 步:利用A 中第r 行、第r 列剩下的元素确定U 的第r 行、L 的第r 列元素（r=2，3，…，n ）.由),,1,()0,,0,,,()0,,0,1,,,(1121121n r r j u u l u u u l l l a rjkj r k rk Tjj j j rr r r rj +=+=⋅=∑-=-得U 的第r 行元素为∑-=+=-=11,,1,,r k kj rk rj rj n r r j u l a u由),,2,1()0,,0,,,()0,,0,1,,,(1121121n r r i u l u l u u u l l l a rrir kr r k ik Trr r r ii i i ir ++=+=⋅=∑-=-得),,1,1,,3,2(/)(11n r i n r u u l a l rrkr r k ik ir ir +=-=-=∑-=…………(4)直接分解的紧凑格式：方程组的三角分解算法（LU 分解）对于方程组Ax=b ，设A=LU (Doolittle 分解)。
由于 ⎩⎨⎧==⇔=yUx bLy b Ax1、求解Ly=b ：∑-==-==1111),,3,2(,,i k k ik i i n i y l b y b y (5)2、求解Ux=y ：)1,2,,2,1(,/)(,/1--=-==∑+=n n i u x uy x u y x ii ni k k iki i nn n n (6)LU 分解算法步1，输入A ，b ；步2，对j=1,2,…,n 求,:111j j j a u u =对i=2,3,…,n 求;/:11111u a l l i i i = 步3,对r=2,3,…,n 做（3.1）-(3.2): （3.1）∑-=+=-=11),,,1,(,r k kj rkrj rj n r r j u la u（3.2）);;,,1(/)(11n r n r i u u la l rrr k kr ikir ir ≠+=-=∑-=步4，∑-=-===1111;:,,,3,2,i k k iki i i y lb y y n i b y 求对步5，ii ni k k iki i i n n u x uy x x n i y x /)(:1,,1,1∑+=-=-==求对步6，输出);,,2,1(n i x i =结束。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-713542774322322x x x 解：对系数矩阵A 进行LU 分解6)(,2,2/)(1,3,1,2,3,2,22332133133332222123132322322121223121131211=--===-===-=-=====u l u l a u u u u l a l u u u l a u l l u u u j j j 所以因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=613322121121A 先解627,521,3,213121=-+-=-=-===y y y y y y b Ly 则。
再解22/)323(,23/)5(,1,321323=--=-=--===x x x x x x y Ux 解出程序：LU_factorization%Not Select Column LU_factorization clear alln=3;a=[2 2 3;4 7 7;-2 4 5];b=[3;1;-7]; %n=3;a=[1 4 7;2 5 8;3 6 11];b=[1;1;1]; %LU_factorazation for i=2:na(i,1)=a(i,1)/a(1,1); end afor r=2:n for j=r:n s=0.;for k=1:r-1s=s+a(r,k)*a(k,j); enda(r,j)=a(r,j)-s; endfor i=r+1:n s=0.;for k=1:r-1s=s+a(i,k)*a(k,r); enda(i,r)=(a(i,r)-s)/a(r,r); end a end%Extract Lower/Upper Triangular Part l=tril(a); for i=1:n l(i,i)=1; endu=triu(a);l u%Linear Lower Triangular Equation Solution y=l\b%Linear Upper Triangular Equation Solution x=u\y四、列主元LU 分解当用LU 分解法解方程组时，从第r(r=1,2,…,n)步分解计算公式可知 ∑-=+=-=11),,1,(r k kjrkrj rj n r r j u la u),,1(/)(11n r i u u l a l rrkr r k ik ir ir +=-=∑-=当rr u 很小时，可能引起舍入误差的累积、扩大。
因此，可采用与列主元消去法类似方法，将直接三角分解法修改为列主元三角分解法（与列主元消去法在理论上是等价的），它通过交换A 的行实现三角分解PA=LU ，其中P 为置换阵。
设第r-1步分解计算己完成，则有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→---r n n r r r r n l l l u u u lu u A,1,,12221111第r∑-==-=11),,(,r k krik ir i n r i u l a S则有：),,1(,n r i S S l S u r i ir r rr +===（1） 选主元：确定i ni r ir r S S i ≤≤=m ax ,使（2） 交换两行：,时当r i r ≠交换A 的第r 行与第r i 行元素（相当于先交换原始矩阵A 第r 行与第r i 行元素后，再进行分解计算得到的结果，且1≤ir l ）（3） 进行分解计算 附：列主元LU 分解a=[2 2 3;4 7 7;-2 4 5];b=[3;1;-7]; [l,u]=lu(a) y=l\b x=u\y%x=inv(u)*inv(v)*b[l,u,p]=lu(a) y=l\(p*b) x=u\y。