专题二：整除及余数问题

专题二：整除、余数问题

【一】基础训练

1.用1～6这6个数字(每个数字只能用一次)，组成一个六位数abcdef ，使得三位数abc 、bcd 、cde 、d ef 能依次被4、5、3、11整除。求这个六位数。 解：因为5|bcd ，所以5d =。又因11|def ，所以， d f e +-是11的倍数。但是1e ≤≤6，

35611d f ≤+≤+=，因此，只能d f e +-=0，即5+f e =。又e ≤6，1f ≥，故只能1f =，6e =。

又因3|cde ，即3|56c ，所以，5c +能被3整除。而4|abc ，可知c 为偶数，只能4c =。进一行推知2b =，3a =。故324561abcdef =。

2.只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除。怎样修改？ 解题思路：

本题有四种符合要求的答案，就看你考虑问题是不是全面了。因为225＝25×9，所以要修改后的数能被225整除，就是既能被25整除，又能被 9整除。被25整除不成问题，末两位数75不必修改，只要看前面三个数字。有2＋1＋4＋7＋5＝19＝18＋1＝27－8，不难得出上面四种答案。

解：

3.如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？

解：因为199299÷105＝1898……9，所以199299－9＝199290就是105的倍数，所以填的两位数是90。

4.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？

解题思路：

依题意，能同时被2和5整除的数，其个位一定是0，其次该数若是8和9的倍数就一定是2、3、4、6的倍数，所以所求的数只需满足能被7，8，9整除。

(1)若能被9整除，百位与十位的和就是5或14，后三位有可能是500，410，320，230,140，050，950，860，770，680，590；(2)把上面的数用8来检查，即8的倍数应该检查末三位，

只有320和680；(3)最后用7来检查，只有320可以。所以最后的三位数是320。 解：

5.用数字6、7、8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？

解题思路：

168＝7×3×8，要是7的倍数，那么这个题中就一定是abcabc 的形式。 abcabc ＝1001×abc ，那么abc 必须是3和8的倍数，6＋7＋8＝21，保证了3的倍数，而要满足能被8整除就只有768，所以六位数是768768。

6.找出四个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除。如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少？

解题思路：

如果最小的数是1，则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2。所以先考察2、3、4、5这四个数，仍不符合要求，因为5＋2＝7，不能被3整除。再往下就是2、3、4、6，经试算，这四个数符合要求。

7.把若干个自然数1、2、3、……乘在一起，如果已知这个乘积的最末13位恰好都是0，那么最后那个自然数最小应该是多少？

解：1×2×3×4×5…×50，50÷5＝10(个)5的倍数，50÷25＝2(个) 25的倍数。即1×2×3×4×5…×50的积中有12个0，所以(1×2×3×4×5…×55)的乘积的最末13位恰好都是0。即乘到最后的那个自然数最小应该是55。

8.975×935×972×□，要使这个连乘积的最后四个都是0，那么方框内的数最小是多少？

解：四个0就说明至少4个2和4个5，975中2个5，935中1个5，972中2个2，还差1个5和2个2，所以方框中至少是2×2×5＝20。

9.试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13。 解：显然，这样的自然数不可能为两位数，因为如果是两位数，则必然具有形式xx ，但2x x x +=为偶数，与它的各位数字之和等于13矛盾。设所求之数为三位数xyz 。即①：13x y z ++=；②：x y z -+是11的倍数；③：所求之数为最小。有④：x y z -+=11。①－④得1y =。于是x z +=12，由于9z ≤，从而3x ≥。当3x =时，9z =。所以，所求的最小自然数是319。

10.173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数

字的和是多少？

解：因为能被9整除的四位数的各位数字的和是9的倍数，并且四位数173□的数字的和为：1＋7＋3＋□＝11＋□，因为□内的数字最大不超过9，所以□内只能填7。因为能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数。所以(7＋□)－(1＋3)＝3＋□应是11的倍数。同理：□内只能填8。因为能被6整除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数，而1＋7＋3＋□＝11＋□由此可知□内只能填4。7＋8＋4＝19。所求的和是19。

11.一个两位数去除251，得到的余数是41。求这个两位数。

分析：这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数。解题可从带余除式入手分析。

解：

12.用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16。被除数、除数、商数与余数的和是933，

求被除数和除数分别是多少？

解：被除数=除数×商＋余数，即被除数＝除数×40＋16。

由题意可知：被除数＋除数＝933－40－16＝877，所以（除数×40+16）+除数=877。所以，除数×41＝877－16，除数=861÷41，除数=21，所以被除数=21×40+16=856。答：被除数是856，除数是21。

13.两数相除商是8，余数是16，被除数、除数、商和余数的和是463。被除数是多少？

解：

14. 一个两位数除474，余数是6，求符合条件的所有两位数。

分析：被除数是474，余数是6，那么，被除数－余数＝除数×商，因此可以求出除数与商的积，然后将这个积分解质因数，求出它的两位数约数即可。

解：

15.用5除余2，用6除余5的数，求1—200中所有这样的数。

解：［5，6］＝30，被5除余2的数有：7，12，17，…，而在这一列数中，被6除余5的数最小是17。所以满足条件的数就有：

17＋30×0＝17； 17＋30×1＝47； 17＋30×2＝77； 17＋30×3＝107；17＋30×4＝137； 17＋30×5＝167； 17+30×6＝197。

16.一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？

解：200－5＝195，300－1＝299，400－10＝390，则195，299，390均能被所求