第八章__变形及刚度计算

FN图
即杆被压短了1.572mm 即杆被压短了1.572mm
§ 8-1 轴向拉压杆的变形 例 等直杆容重为 γ ,抗拉刚度 EA ,长 l 。求自重作用 下的伸长量。 下的伸长量。
ql = γAl = G y FN (y) = qy
F N (y) + dFN (y)
dy FN (y) = qy
q
L 1
d
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
轴向线应变： 轴向线应变： ε = ∆l
l
由胡克定律
σ = Eε
且
FN = σ A
σ FN ∆l = εl = l = l E EA FN l ∆l = EA
上式表明，在线弹性范围内轴向拉、 上式表明，在线弹性范围内轴向拉、压杆件的 成正比, 伸长或缩短量 ∆l ，与轴力 FN和杆长 l 成正比,与EA 成反比。 成反比。 EA——抗拉（压）刚度 抗拉（ 抗拉
M Ti l i ϕ =∑ Gi I pi
§8—2
圆杆扭转时的变形和刚度计算
许用单位长度扭转角
ห้องสมุดไป่ตู้二、刚度条件
[θ ]
θ ≤ [θ ]
T 以弧度每米为单位时 θ = GI ≤ [θ ] rad/m p
[θ ]以度每米为单位时
三、刚度条件的应用
（1）校核刚度 （2）设计截面 （3）确定荷载
T 180 θ= × ≤ [θ ] ° /m GI p π
5KN.m 3KN.m d2 A C B d1
8KN.m
8KN.m 解：强度校核 分析： 分析：虽然 MTAB<MTBC，但 BC段的截面面 BC段的截面面 积也大于AB AB段 积也大于AB段 的截面面积， 的截面面积， 所以要分段分 别校核。 别校核。 d2 C
2
5KN.m 3KN.m
1
d1 A
d
d1
l
纵向伸长量： ∆l = l 1 − l ＞ 0 纵向伸长量： 横向缩短量： 横向缩短量：∆d = d 1 − d ＜ 0 轴向压缩： 轴向压缩： 纵向缩短、 纵向缩短、横向伸长 F
l1
F
d
d1 l1 l
纵向缩短量： 纵向缩短量： ∆l = l 1 − l ＜0 横向伸长量： 横向伸长量：∆d = d 1 − d ＞0
§ 8-1 轴向拉压杆的变形 例 等直杆容重为 γ ,抗拉刚度 EA ,长 l 。求自重作用 下的伸长量。 下的伸长量。
y FN (y) = qy
F N (y) + dFN (y)
dy
q
L 1
1
EA
q
y
(a)
F N (y)dy EA F (y)dy = ∆L = ∫ d (∆L ) = ∫ N EA L L d ( ∆L ) =
例题：圆轴如图所示。已知 例题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。 ， 。 材料的许用切应力[τ 材料的许用切应力 τ]=40MPa，轴的许用单位扭转角 ，轴的许用单位扭转角 [θ]=0. 8°/m，剪切弹性模量 θ ，剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴 。 的扭转强度和刚度。 的扭转强度和刚度。
ε′ = − µε
——负号表示纵向与横 负号表示纵向与横 向变形的方向总是相反
称为泊松比 µ ——称为泊松比，量纲为一 称为泊松比，
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
已知杆的长度、 受力如图。 例 已知杆的长度、截面面 积，受力如图。 材料的 弹性模量 E = 2.1 × 10 5 MPa。求杆的总变形 。
当EA和FN在杆长范围内为位置的函数时 和
x dx
+ + –
FN (x)dx ∆(dx) = EA(x)
FN (x)dx ∆L = ∫ ∆(dx) = ∫ l l EA(x)
当EA和FN在杆长范围内分段为常数时 和
FN图
FN i li ∆L = ∑ ) i =1 ( EA i
n
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
+
MT 图
[τ]=40MPa， [θ]=0. 8°/m，G=80GPa τ ， θ ， 刚度校核
o
MT1 180 θ1 = × GI p1 π
3 × 10 3 × 180 = = 0.69o / m < [θ ] π × 0.075 4 80 × 109 × ×π 32
MT 2 180o × = θ2 = GI p2 π
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
FN l ∆l = EA
E——弹性模量 弹性模量 EA——抗拉（压）刚度 抗拉（ EA 抗拉
∆l 表示长为 l的杆件在轴力 FN的作用下的伸长量或缩短量 的杆件在轴力 条件： 长范围内EA和 均为常数。 条件：杆件在 l长范围内 和FN均为常数。 长范围内
F N x） N（(x)
第八章 变形及刚度计算
第八章
变形及刚度计算
主讲教师：余茜 主讲教师：
轴向拉伸和
§8 — 1 目 录 §8 — 2 §8 — 3 §8 —
轴向拉伸杆的变形 圆轴扭转时的变形和刚度计算 梁的变形及刚度计算
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
§ 8-1 轴向拉压杆的变形 一、轴向拉压的变形分析
轴向拉伸： 轴向拉伸： 纵向伸长、 纵向伸长、横向缩短 F F
又因为BD段内虽然轴力 又因为 段内虽然轴力 为常数， 为常数，但截面面积又分两 所以要分4段求变形 段求变形。 段，所以要分 段求变形。
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
FN图
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
FN l EA
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
已知杆的长度、 受力如图。 例 已知杆的长度、截面面 积，受力如图。 材料的 弹性模量 E = 2.1 × 10 5 MPa。求杆的总变形 。
1
EA
q
⊕
y
(a)
(b)
(c)
解： 把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度 ＝γA 把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度q＝ 任意取一个截面1－ ，画受力图。 任意取一个截面 －1，画受力图。轴力 FN (y) = qy 截面处取出一微段dy作为研究对象 在1－1截面处取出一微段 作为研究对象，受力如图。 － 截面处取出一微段 作为研究对象，受力如图。 由于取的是微段， 可以忽略， 由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，认为在微段 上轴 可以忽略 认为在微段dy上轴 力均匀分布（常数） 力均匀分布（常数）
FN图
3
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
已知杆的长度、 受力如图。 例 已知杆的长度、截面面 积，受力如图。 材料的 弹性模量 E = 2.1 × 10 5 MPa。求杆的总变形 。
A1 = 250mm
50kN
2
A 2 = 200mm
30kN E
∆L DE
2
解：用直接法画轴力图 用直接法画轴力图
20kN
∆l = l 1 − l
轴向线应变： ε = ∆l 轴向线应变： l 2、横向变形量： 、横向变形量：
∆d = d 1 − d
d
d1
l
l1
F F
d
d1 l1 l
横向线应变： 横向线应变：ε ′ = ∆d
3、线应变的符号约定： 、线应变的符号约定： 与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。 与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。
注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不 绝对变形量不足以描述变形的程度， 一的杆件，因此引入应变的概念。 一的杆件，因此引入应变的概念。
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
二、线应变
线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长， 线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长， 称之为线应变。 称之为线应变。 1、纵（轴）向变形量： F 、 向变形量： F
§8—2
圆杆扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形——扭转角 扭转变形 扭转角 扭率： 扭率：
MT θ= GI p
单位长度扭转角（扭率） 单位长度扭转角（扭率）描述 了扭转变形的剧烈程度
GI p
——抗扭刚度 抗扭刚度
扭转角： 扭转角： ϕ
MT = ∫ θdx = ∫ dx 0 GI p l
l
单位： 单位：rad
8×103 ×180 o = 0.40 / m < [θ ] 4 9 π × 0.110 80×10 × ×π 32
满足刚度条件
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 实心圆轴受扭， 时，横截面的最大切应力是原来的 8 倍？ 圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
τ max MT MT = = W p πd 3 16
A1 = 250mm
50kN
2
A 2 = 200mm
30kN E 20kN
2
解：用直接法画轴力图 用直接法画轴力图 分析：多力作用下， 分析：多力作用下， 整个杆长范围内轴力 分段为常数， 分段为常数，只能分 段求变形，再求和。 段求变形，再求和。
A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – – 40KN 20KN
− 40 × 10 3 × 1 × 10 = 2.1 × 10 5 × 250 10 × 10 3 × 2 × 10 = 2.1 × 10 5 × 250 10 × 10 3 × 1 × 10 = 2.1 × 10 5 × 200
3
= − 0.762mm
∆L BC ∆L CD
= 0.381mm = 0.238mm
(c)
∫
L
FN (y) = qy
0
qydy qL2 γAL2 = = EA 2EA 2EA
γAL2 γAL ⋅ L GL ∆L = = = 2EA 2EA 2EA
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
y FN (y) = qy
F N (y) + dFN (y)
dy
q L 1
1
EA
q
L
y
(a)
γAL2 γAL ⋅ L GL ∆L = = = 2EA 2EA 2EA
(c)
FN (y) = qy
EA
G
令取一根相同的杆件， 令取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作 用在自由端， 用在自由端，此时杆件的伸长量为
∆L ′ = GL EA 1 ∆L′ = ∆L 2
结论： 结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集 中力作用在杆端所引起的变形量的一半。 中力作用在杆端所引起的变形量的一半。
A1 = 250mm
50kN
2
A 2 = 200mm
30kN E
∆L AB
2
解：用直接法画轴力图 用直接法画轴力图
20kN
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – – 40KN 20KN
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
3
FN l EA
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – – 40KN 20KN
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
3
− 20 × 10 3 × 3 × 10 = 2.1 × 10 5 × 200
FN l EA
= − 1.429mm
∆L AE = − 0.762 + 0.381 + 0.238 − 1.429 = − 1.572mm
τ max
MT MT 1 MT = = = W p π( d )3 8 πd 3 2 16 16
MT l MT l ϕ= = πd 4 GI p G 32
例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转 一空心圆轴，内外径之比为α=0.5， α=0.5 力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ， Ｔ，若将轴的横截面 力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面 面积增加一倍，内外径之比仍保持不变， 面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大 许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。 ？（按强度计算 许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。 解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大 设空心圆轴的内、外径原分别为d 一倍后内外径分别变为d 最大许可扭矩为Ｔ 一倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1
§8—2
圆杆扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形——扭转角 扭转变形 扭转角
MT 扭转角： 扭转角： ϕ = θdx = dx ∫ ∫0 GI p l
l
单位： 单位：rad
当在杆长l内扭率为常数时 当在杆长 内扭率为常数时
MT l ϕ= GI p
当在杆长l内扭率分段为常 当在杆长 内扭率分段为常 数时， 数时，用求和公式
8KN.m
B
3KN.m
[τ]=40MPa τ
+
MT 图
τ max = τ 1 = 36.2MPa < [τ ]
MT1 3×106 = = 36.2MPa τ1 = 3 Wp1 π × 75 16
MT 2 8×106 τ2 = = = 30.6MPa 3 Wp2 π ×110 16
满足强度条件
8KN.m 3KN.m
三、泊松比
h1
向线应变： 纵向线应变：ε =
b
∆l l
F
h
b1
F
l
l1
横向线应变： 横向线应变： h1 − h ∆h ε′ = = h h b1 − b ∆b = = b b
当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短； 当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受 压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。 压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。 实验表明，对于同一种线弹性材料，存在如下关系： 实验表明，对于同一种线弹性材料，存在如下关系：