命题、定理、证明
命题、定理、证明-ppt课件
知识点3 命题的真假 例3 下列命题是真命题的是( A ) A.同位角相等，两直线平行 B.同角的余角互补 C.方程2x＋4＝0的解为x＝2 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
1．下列语句中，是命题的是( A ) A．有公共顶点的两个角是对顶角 B．作∠A的平分线 C．用量角器量角的度数 D．直角都相等吗
2．命题“互为相反数的两个数的和为零”是___真_____命题(填 “真”或“假”)，将其改写成“如果……那么……”的形式：如果 ___两__个__数__互__为__相__反__数_______，那么___这__两__个__数__的__和__为__零_____．
课前预习
1.命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题．命题由___题__设___和___结__论___ 两部分组成． 2．命题的真假：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做____真____命 题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做___假_____命题． 3．定理：经过推理证实的___真_____命题叫做定理．定理也可以作为继续推理 的依据． 4．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这 个推理过程叫做证明．
训练 4.判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举 出一个反例．
(1)对顶角相等； (2)三条直线两两相交，总有三个交点； (3)如果ac＝bc，那么a＝b. 解：(1)真命题． (2)假命题．反例：三条直线交于一点． (3)假命题．反例：当c＝0时，1×0＝2×0，但是1≠2.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题 的题设，但不满足结论即可．
命题定理证明的定义
命题定理证明的定义一、定义和表述命题定理证明是指通过一系列的逻辑推理和数学运算，从已知的命题和定理出发，推导出新的命题和定理的过程。
它是一种严密的逻辑推理过程，需要遵循数学中的公理、定理、定义等基本原则。
在数学中，命题是一个陈述句，可以是真也可以是假。
定理是通过严格的逻辑推理和证明，被证明为真的命题。
二、证明步骤1. 明确已知条件和目标结论：在开始证明之前，需要明确已知条件和目标结论，这是证明的基础。
2. 构建逻辑推理框架：根据已知条件和目标结论，构建一个清晰的逻辑推理框架，确定需要证明的中间步骤。
3. 展开逻辑推理：根据逻辑推理框架，逐步展开逻辑推理，从已知条件推导出中间结论。
4. 反复运用定理和定义：在证明过程中，需要反复运用相关的定理和定义，以确保推理的正确性。
5. 得出结论：最终得出目标结论，完成证明。
三、证明方法1. 直接证明法：直接从已知条件出发，逐步推导出目标结论，不需要引入其他定理或命题。
2. 间接证明法：通过否定目标结论或其某些方面，然后利用已知条件和推理规则推出矛盾，从而间接证明原命题的正确性。
3. 数学归纳法：在证明与自然数有关的命题时，通过数学归纳法可以方便地证明。
它基于自然数的归纳原理，即如果一个数列从0开始，且每个后面的数都与前面某个数有关系，则所有自然数都满足这个性质。
4. 反证法：通过否定目标结论，然后推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。
反证法常常用于寻找反例或证明一些存在性定理。
5. 构造法：通过构造一个具体的实例或模型来直接证明某个命题的正确性。
构造法适用于一些存在性定理的证明。
四、完备性完备性是指一个数学系统中的所有真命题都可以通过系统的基本概念和公理、定理推导出来。
一个系统如果具有完备性，那么它的所有真命题都可以被证明或证实。
在数学中，完备性是一个重要的性质，它使得数学成为一个严谨的、没有遗漏的科学体系。
五、正确性检验在完成一个命题或定理的证明后，需要进行正确性检验以确保推理和证明无误。
《命题、定理、证明》
如何正确理解和使用命题、定理与证明
学生应该理解命题、定理和证明的基本概念和关系，掌握它们的证明方法和技巧 。 学生应该学会如何使用定理和命题来证明新的命题或解决问题。
学生应该理解证明的逻辑结构，并能够分析证明中的错误和不正确之处。
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《命题、定理、证明》
2023-11-06
contents
目录
• 命题与定理的基本概念 • 命题的证明方法 • 定理的证明方法 • 命题与定理的应用 • 命题与定理的局限性 • 命题、定理与证明的关系
01
命题与定理的基本概念
命题的定义与性质
定义
命题是一个陈述句，它表达了一个判断或观点。
性质
命题具有真假性，即它要么是真，要么是假。此外，命题还可以被分类为可 证明的或不可证明的。
命题是指一个可判断的陈述句，它表达了一个数学结 论或观点。
证明是使用逻辑推理来证明一个命题为真的过程。
命题、定理与证明在学术研究中的重要性
命题、定理与证明是数学学术 研究的基础，它们帮助学者们 建立和理解复杂的数学理论。
它们为数学和其他科学领域提 供了基础工具，促进了学术研
究的进步和发展。
在数学教育中，它们是培养学 生逻辑思维能力、分析和解决 问题的能力以及创新精神的重
• 步骤：首先通过观察具体实例，总结出一般规律；然后证明这个规律 对于所有情况都成立。
04
命题与定理的应用
在数学中的应用
代数
定理和命题在代数中应用广泛，如解方程、因式 分解、求根等。
几何
定理和命题在几何中用于证明角、边、面积的关 系，以及解决几何问题。
概率统计
定理和命题在概率论和统计学中用于证明各种概 率公式和统计规律。
《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案第一章：命题的概念与分类1.1 命题的定义1.2 命题的分类1.2.1 真命题与假命题1.2.2 简单命题与复合命题1.2.3 陈述句与疑问句第二章：定理与证明2.1 定理的定义2.2 定理的性质2.3 证明的类型2.3.1 直接证明2.3.2 间接证明2.3.3 综合证明第三章：几何图形的性质与判定3.1 线段的性质3.2 直线的性质3.3 三角形的性质3.4 四边形的性质3.5 圆的性质第四章：三角形的判定与性质4.1 三角形的判定条件4.2 三角形的内角和定理4.3 三角形的边长关系4.4 三角形的判定与性质的综合应用第五章：平行线的判定与性质5.1 平行线的判定条件5.2 平行线的性质5.3 平行线的判定与性质的综合应用第六章：全等三角形的判定与性质6.1 全等三角形的定义6.2 全等三角形的判定条件6.3 全等三角形的性质6.4 全等三角形的判定与性质的综合应用第七章：相似三角形的判定与性质7.1 相似三角形的定义7.2 相似三角形的判定条件7.3 相似三角形的性质7.4 相似三角形的判定与性质的综合应用第八章：比例线段的性质与判定8.1 比例线段的定义8.2 比例线段的性质8.3 比例线段的判定条件8.4 比例线段的性质与判定的综合应用第九章：圆的性质与判定9.1 圆的定义与性质9.2 圆的判定条件9.3 圆的性质与判定的综合应用9.4 圆周角定理9.5 圆的内接四边形的性质第十章：数学归纳法与不等式的证明10.1 数学归纳法的定义与步骤10.2 数学归纳法的应用实例10.3 不等式的证明方法10.3.1 直接证明法10.3.2 综合法10.3.3 反证法10.4 不等式的证明与数学归纳法的综合应用重点和难点解析重点一：命题的分类与性质学生容易混淆真命题与假命题，以及简单命题与复合命题的区别。
需要重点讲解命题的分类，并通过实例帮助学生理解。
重点二：定理与证明的方法学生可能对证明的方法和类型不够熟悉，难以选择合适的证明方法。
《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案第一章：命题的概念与分类1.1 命题的定义引入命题的概念，让学生理解命题是由题设和结论组成的陈述句。
举例说明命题的正确性和错误性。
1.2 命题的分类分类介绍简单命题和复合命题，包括并列命题、蕴含命题和条件命题。
引导学生理解命题的逻辑关系，如且、或、非等。
第二章：定理与证明2.1 定理的定义与特点解释定理的概念，强调定理是经过证明的命题。
引导学生了解定理的重要性和应用价值。
2.2 证明的方法与要求介绍直接证明、反证法、归纳法等常见的证明方法。
强调证明的逻辑严密性和步骤完整性。
第三章：几何定理与证明3.1 几何定理的分类分类介绍几何定理，如三角形的性质定理、四边形的性质定理等。
强调几何定理在几何学中的基础性作用。
3.2 几何证明的基本步骤与技巧引导学生掌握几何证明的基本步骤，包括命题的引入、证明的假设、证明的逻辑推理和结论的得出。
介绍几何证明中常用的技巧，如相似三角形的性质、平行线的性质等。
第四章：代数定理与证明4.1 代数定理的分类分类介绍代数定理，如多项式的性质定理、方程的解的定理等。
强调代数定理在代数学中的基础性作用。
4.2 代数证明的基本步骤与技巧引导学生掌握代数证明的基本步骤，包括命题的引入、证明的假设、证明的逻辑推理和结论的得出。
介绍代数证明中常用的技巧，如因式分解、恒等式的性质等。
第五章：命题、定理与证明的应用5.1 命题、定理与证明在数学中的应用通过实际问题引入命题、定理与证明的应用，让学生理解其在数学问题解决中的重要性。
引导学生运用命题、定理与证明的方法解决实际问题。
5.2 命题、定理与证明在其他学科中的应用引导学生思考命题、定理与证明在其他学科中的应用，如物理学、化学等。
鼓励学生探索命题、定理与证明在生活中的应用。
第六章：逻辑推理与命题、定理6.1 逻辑推理的基本概念引入逻辑推理的概念，让学生理解逻辑推理是推理的一种，是思维的基本形式。
解释演绎推理、归纳推理和类比推理等逻辑推理的基本类型。
中考数学知识点总结：命题、定理与证明
中考数学知识点总结：命题、定理与证明1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。
其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。
会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
1、命题及命题真伪的判断。
2、命题的条件和结论的区分。
3、写出命题的逆命题。
1、下列语句中，属于命题的是( )A、直线AB和CD垂直吗B、过线段AB的中点C画AB的垂线C、同旁内角不互补，两直线不平行D、连结A、B两点2、下列语句不是命题的是( )A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗?D、对顶角不相等3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( )A、垂直B、两条直线C、同一条直线D、两条直线垂直于同一条直线4、命题“直角都相等”的题设是，结论是。
5、把命题“有三个角是直角的四边形是矩形”改写成“如果……那么……”的形式：6、命题：①对顶角相等;②等式两边都加同一个数，结果仍是等式;③相等的角是对顶角;④同位角相等。
《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案一、教学目标：1. 理解命题的概念，能够判断一个句子是否是命题。
2. 掌握定理的定义，了解定理的重要性和应用。
3. 学会如何阅读和理解证明，能够运用证明的方法解决问题。
二、教学内容：1. 命题的概念和分类。
2. 定理的定义和特点。
3. 证明的方法和技巧。
三、教学重点与难点：1. 重点：命题的概念，定理的定义，证明的方法。
2. 难点：证明的构思和推理过程。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索和发现。
2. 通过案例分析和讨论，培养学生的逻辑思维和推理能力。
3. 利用多媒体辅助教学，提供丰富的学习资源。
五、教学准备：1. 教材或教学资源：《命题、定理与证明》相关章节。
2. 多媒体设备：投影仪、电脑等。
3. 教学工具：黑板、粉笔、PPT等。
教案示例：一、导入（5分钟）1. 引入命题的概念，让学生思考日常生活中遇到的命题。
2. 引导学生判断一个句子是否是命题。
二、命题的分类（10分钟）1. 讲解命题的分类，包括陈述句、疑问句、命令句等。
2. 举例说明不同类型的命题。
三、定理的定义（10分钟）1. 引入定理的概念，解释定理的定义和特点。
2. 给出几个经典的数学定理，如勾股定理、Pythagorean theorem等。
四、证明的方法（15分钟）1. 介绍直接证明、反证法、归纳法等常见的证明方法。
2. 通过示例讲解每种证明方法的步骤和应用。
五、课堂练习（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生运用所学的知识进行证明。
2. 引导学生分组讨论，互相交流解题思路。
六、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结命题、定理和证明的概念和方法。
2. 鼓励学生提出问题，解答学生的疑惑。
教学反思：本节课通过问题驱动法和案例分析，引导学生理解和掌握命题、定理和证明的概念和方法。
在教学过程中，注意关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
通过课堂练习和讨论，培养学生的逻辑思维和推理能力。
人教版七年级数学下册课件： 命题、定理、证明
是假命题，是假命题的举反例加以说明.
（1）如果AB＝BC，那么C是AB的中点；
（2）如果 ＝ ，那么a＝b.
思路点拨：（1）利用分类讨论思想可说明命题为假命
题；（2）分别取a，b的值说明这是假命题.
解：（1）这是假命题.
反例：当点C在AB的延长线上时，虽然AB＝BC，但点
条件，另一个作为结论构成一个命题，根
据平行线的判定和性质及对顶角相等进行
证明.
图5－10－1
解：命题为“如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么∠A＝
∠D”.
证明：∵∠1＝∠CGD，
∠1＝∠2，
∴∠CGD＝∠2.
∴EC∥BF.
∴∠AEC＝∠B.
又∵∠B＝∠C，∴∠AEC＝∠C.
∴AB∥CD.
∴∠A＝∠D.（答案不唯一）
（2）这是假命题.
反例：如答图5－10－1，∠1与∠2为
同位角，但∠1≠∠2.
答图5－10－1
典例精析
【例5】（创新题）如图5－10－1，有三个条件：①∠1
＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个
作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命
题的正确性.
思路点拨：根据题意，从中任选两个作为
举一反三
10. （创新题）如图5－10－2，在四边形ABCD中，①
AB∥CD；②∠A＝∠C；③AD∥BC.
（1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一
个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，
并说明理由.
图5－10－2
解：（1）命题为“如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么
AD∥BC”.
（2）这个命题是真命题. 理由如下：
命题定理证明(精选)
命题定理证明（精选）推荐第9节命题、定理、证明【学习目标】A级：掌握命题的定义，结构，分类B级：会将命题改成“如果，那么”的形式，并由此找出题设和结论部分 C级：会使用反例来说明一个命题是假命题D级：掌握文字命题证明的步骤并会证明文字命题。
【自学导引】自主学习教材P20—P22.【夯实基础】一、前面我们学过一些对其中一件事情进行判断的语句，请举例（多举）。
像这样判断一件事情的语句，叫做命题。
判断下列语句是否是命题（1）画线段AB＝CD （2）对顶角相等吗？（3） x＝1是方程x21的根（4） 2>1（5）不相等的角不是对顶角。
二、命题的结构命题是由题设和结论两部分组成的，题设是已知事项（已知条件），结论是由已知事项推出的事项。
所以命题往往可以改写：命题常常改写成“如果，那么”的形式。
这样容易找到题设和结论两部分。
例如：对顶角相等可以改为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 题设就是：如果两个角是对顶角，结论就是：那么这两个角相等将下列命题改成“如果，那么”的形式（1）两直线平行，同位角相等（2）内错角相等，两直线平行（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。
三、命题的分类：请说明命题、真命题、假命题、公理和定理五个概念间的关系思考：如何说明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题？四、证明证明的步骤（1）根据题意画出图形。
（2）写出已知、求证（3）证明：即写出推理过程。
1、求证：邻补角的角平分线互相垂直2、求证：两平行线被第三条直线所截，内错角的角平分线互相平行。
3、求证：两平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直。
4、书P24、第13提，册P20、第14题。
推荐5、3命题定理证明教案学习目标：（1）了解命题的概念以及命题的构成（如果……那么……的形式）．（2）知道什么是真命题和假命题．(3）理解什么是定理和证明．（4）知道如何判断一个命题的真假．学习重点：对命题结构的认识．理解证明要步步有据一、自学基础：（看书20页---22页）1、对一件事情___________________的语句，叫做命题。
13.定理与证明PPT课件(华师大版)
是( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．140°
2 完成下面的证明过程，并在括号内填上理由．已知：如图所
示，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD.求证：AB∥CD.
证明：因为AD∥BC( )，
所以∠1＝________(
)，
又因为∠BAD＝∠BCD(
)，
所以∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2(
)，
即∠3＝∠4，所以AB∥________(
2 × 3 + 1 =7, 2 × 3 × 5+! =31, 2 × 3 × 5 × 7 + l = 211.
计算一下 2×3×5×7×
11+1与 2×3×5×7× 11×13+1，你 发现了什么？
于是，他根据上面的结果并利 用质数表得出结论:从 质数2开始， 排在前面的任意多个质数的乘积加1 一定 也是质数.他的结论正确吗？
例2 填写下列证明过程中的推理根据．
如图13.1-2：已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分∠ABO与AC相交
于点E，∠A＝∠C.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠A＝∠C(已知)，
∴AB∥CD(________)．
图13.1-2
∴∠ABO＝∠CDO(________)．
又∵DF平分∠CDO，BE平分∠ABO(已知)，
)．
获取证明思路的方法： (1)从已知条件出发，结合图形，根据前面学过的定
义、基本事实、定理、公式逐步推理求证的结论，这 种方法叫做“综合法”． (2)从结论出发，去探求其成立的原因，直到与已知 条件相吻合为止，这种方法叫“分析法”． (3)“两头凑”，即在解决问题时，将上面的两种方 法结合起来用．
命题、定理、证明
5.3.2(1)命题、定理、证明一．【知识要点】1.判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
二．【经典例题】1．把命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式为 .2.在下列命题中：①两条直线相交所成的角是对顶角；①有公共顶点的角是对顶角；①一个角的两个邻补角是对顶角；①有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角，其中正确的是.3.已知a、b.、c是同一平面内的3条直线，给出下面6个命题：a∥b， b∥c，a∥c ，a ⊥b，b⊥c，a⊥c，请从中选取3个命题（其中2个作为题设，1个作为结论）尽可能多地去组成一个真命题，并说出是运用了数学中的哪个道理。
举例如下：∵a∥b， b∥c，∴a∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）三．【题库】【A】1.把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：2.把命题“零没有倒数”改写成“如果……那么……”的形式：如果，那么。
【B】1.把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是_______________________________. .【C】1.下列说法正确的是（）A.延长射线OA到BB.经过两点M/N的直线有且仅有两条C.凡是大于900 的角都是钝角D.直线a经过点M，即是点M在直线a上。
【D】1.有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直。
13-1 命题、定理与证明 知识讲解
命题、定理与证明知识讲解【要点梳理】要点一、命题、基本事实与定理1. 命题一般地，判断某一件事情的语句叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“开始的部分是结论.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．2.基本事实人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.如：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短等.3.定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.要点诠释：满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.要点二、证明1.证明根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．2.证明表述格式证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.要点诠释：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.【典型例题】类型一、命题1.判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？(1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； (4)a，b两条直线平行吗?(5)鸟是动物； (6)若24a =，求a 的值；(7)若22a b =，则a =b ．【答案与解析】句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的． 句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.【总结升华】主要考察命题的定义.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a b ＜，则＜-b a -；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程2230x x --=；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．2. 下列命题是真命题的是（ ）A ．如果|a|=1，那么a=1B ．有两条边相等的三角形是等腰三角形C ．如果a 为实数，那么a 是有理数D ．有两边和一角相等的两个三角形全等；【答案】C举一反三：【变式】下列命题中，真命题的个数有（ ）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．3个B ．1个C ．4个D ．2个【答案】Ｂ３.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。
命题、定理与证明
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补； （5）同角的补角相等.
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
问题6：
下列题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
√ （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； √ （3）互为相反数的两个数相加得0；
平行.
已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且
AB∥CD，EG、FH分别是∠AEF和
∠EFD的平分线
求证：EG∥FH
A
E
B
G
H
CF
D
例2.证明：邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，
OE平分∠AOB， OF平分∠BOC
求证：OE⊥OF
E
B
证明：∵OE平分∠AOB，
∴∠1=
（4）同旁内角互补；
√ （5）对顶角相等．
命题的真假
真命题：如果条件成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫做真命题．
假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确， 也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题．
问题7判断下列命题的真假。真的用“√”，
假的用“× 表示。
1）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（√ ） 2）一个角的补角大于这个角（ × ） 3）相等的两个角是对顶角（ × ） 4）两点可以确定一条直线（ √ ） 5）若A=B，则2A = 2B（√ ） 6）锐角和钝角互为补角（ × ）
命题
1.定义： 判断一件事情的语句.
2.构成：
1)每个命题都是由题设、结论两部分组成.
2)命题常写成“如果······那么······”的形 式3.分. 类： 1)真命题：正确的命题； 2)假命题：错误的命题.
人教版数学七年级下册5-3-2命理、定理、证明(第2课时) 课件
①BC平分∠ABE； ②∠BCE＋∠D＝90°； ③AC∥BE； ④∠DBF＝2∠ABC. 其中正确的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若a＝b，则a2＝b2是____真_____命题(选填“真”或“假”)， 其中“a＝b”是_题__设_______，“a2＝b2”是_结__论________．
7．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1 ＝∠2，则图中互相平行的直线是__E_F_∥__C_D__，__B_C_∥__D_E___________．
8．如图，给出下面的推理，其中正确的是____①__②__④________． ①因为∠B＝∠BEF，所以AB∥EF； ②因为∠B＝∠CDE，所以AB∥CD； ③因为∠B＋∠BEC＝180°，所以AB∥EF； ④因为AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF.
9．如图，AC⊥BC，垂足为点C，∠BCD是∠B的余角．求证： ∠ACD＝∠B.
证明：∵AC⊥BC(已知)， ∴∠ACB＝90°(______垂__直__的__定__义________)， ∴∠BCD是∠ACD的余角． ∵∠BCD是∠B的余角(已知)， ∴∠ACD＝∠B(____同__角__的__余__角__相__等______)．
c
2
a
证明的一般步骤： 1.分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根 据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； 2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地 写出证明过程.
如何判定一个命题是假命题呢？
只要举出一个例子(反例)，它符合命题 的题设，但不满足结论即可.
歌德的话蕴含了什么数学道理？
合作探究
命题定理与证明课件
详细描述
在命题的证明练习中，学生需要学习如何根据已知条件 和定义，通过逻辑推理和演绎法，推导出结论。这种练 习有助于学生理解命题证明的基本步骤和技巧，培养他 们的逻辑推理能力。
定理的证明练习
总结词
通过定理的证明练习，学生可以深入理解定理的证明过程，掌握定理的应用方法和技巧。
详细描述
在定理的证明练习中，学生需要学习如何根据定理的证明过程，理解和应用定理。这种练习有助于学生深入理解 定理的本质和应用，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
相对论
在相对论中，光速不变原理、质能方程等都是重要的命题 和定理，它们为理解宇宙的基本规律提供了基础。
在计算机科学中的应用
数据结构
在数据结构中，各种排序和查找 算法的效率定理、图的遍历定理 等都是关键的命题和定理，它们 为设计和分析算法提供了依据。
算法分析
在算法分析中，时间复杂度、空 间复杂度等概念都是重要的命题 和定理，它们为评估算法的效率 和可行性提供了标准。
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ANALYSIS
SUMMAR Y
04
命题与定理的应用
在数学中的应用
代数
概率统计
命题和定理在代数中有着广泛的应用 ，例如在解决方程、不等式和函数问 题时，需要运用各种基本定理和推论 。
在概率和统计中，命题和定理的应用 也十分重要，例如大数定律、中心极 限定理等，都是解决概率统计问题的 基石。
REPORT
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DATE
ANALYSIS
SUMMARY
命题定理与证明课件
目录
CONTENTS
• 命题与定理的基本概念 • 命题的证明方法 • 定理的证明技巧 • 命题与定理的应用 • 命题与定理的实践练习
人教版《命题、定理、证明》PPT精品课件
余角的性质: 补角的性质: 对顶角的性质: 垂线的性质: 平行公理推论:
4.下列说法正确地是( ) A.命题是定理，定理是命题 B.命题不一定是定理，定理不一定是命题 C.真命题可以是定理，假命题不可能为定理 D.定理可能是真命题，也可能是假命题
性质总结
3 定理与证明
定义: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能
作出判断，这个推理过程叫作证明.
证明几何命题的一般步骤: 1.明确命题中的_已__知___和__求__证__； 2.根据题意，画__出__图__形___，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出_要__证__的__结__论_的途径，写出证 明过程.
典例分析
例 已知:如图，直线b∥c， a⊥b.求证:a⊥c. ①如图，∠A+ ∠B=180°,求证:∠C+ ∠D=180°。
观察下面的命题由几个部分组成？ 如果+(题设)，那么+(结论)
②内错角相等；
在下面的括号内，填上推理的依据.
③画一条直线； 只要举出一个例子(反例):它符合命题的题设，但不满足结论即可.
如:画线段AB=CD. 下面的语句是不是命题？
④四边形是正方形；
根据题意，_________，并用数学符号表示已知和求证；
下面哪些语句是命题，哪些不是命题:
下列说法正确地是( )
①同旁内角互补( × ) ∵ CB ∥ DE，
②画一个角等于已知角. 观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？ ②只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
归纳:
②一个角的补角大于这个角( × ) ⑥同角的余角相等( )
⑦互为邻补角的两个角的平分线互相垂直( ) 过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.
人教版七年级数学下册第五章《命题、定理、证明》课件
2 下列语句是命题的是( C ) A．延长线段AB到C B．用量角器画∠AOB＝90° C．同位角相等，两直线平行 D．任何数的平方都不小于0吗？
解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． (2)如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这 两条直线平行． (3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的 角的余角，那么这两个角相等．
总结
(1)命题改写的原则：不改变命题的原意；为了改写 后的语句通畅且保持原意，应适当地增加或删减 词语或调换词序；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知识点 3 定理与证明(举反例)
1．定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理． 2．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经
过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
例4 如图，已知直线b//c，a⊥b .求证a⊥c.
证明：∵a⊥b (已知)， ∴∠1 = 90° (垂直的定义). 又b//c(已知)， ∴∠1 = ∠2 (两直线平行，同位角相等). ∴ ∠2= ∠1 = 90° (等量代换). ∴a⊥c (垂直的定义).
5 命题“如果a2＝b2，那么a＝b或a＋b＝0”的 结论是（ C ） A．a2＝b2或a＝b B．a2＝b2 C．a＝b或a＋b＝0 D．a2＝b2或a＋b＝0
知识点 2 命题的分类
命题的种类： (1)真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这
样的命题叫真命题． (2)假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，
1 举出学过的2~3个真命题.
解：如：等角的余角相等， 同旁内角互补，两直线平行．
人教版数学七年级下册5.3.2《命题、定理、证明》 课件(共23张PPT)
归纳总结
判断某一种事情的句子叫做命题，理清命题的 定义必须搞清楚两点： （1）命题必须是一个“完整的句子”； （2）命题必须作出判断，如“两条直线相交交 点唯一吗？”没有对事情作出判断，故不是命题。 定理和公理都是真命题，都可以作为证明其他 命题的依据，不同的是：公理是人们从长期实践 中总结出来的真命题，不用证明也不能证明；定 理是用推理证实为正确的命题。
命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直 于两条平行线中的一条，那么它也垂直于 另一条. 已知：如图，b∥c，a⊥b ． 求证：a⊥c． 证明：∵ a⊥b（已知） ∴∠1=90º （垂直的定义） 又∵ b∥c（已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） ∴∠2=∠1=90º（等量代换） ∴ a⊥c（垂直的定义）
题设是： a=b，b=c
结论是： a=c
③ 同位角相等.
如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
条件是：两个角是同位角
结论是：这两个角相等 ④ 同角的补角相等. 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相 等. 条件是：两个角是同一个角的补角 结论是：这两个角相等
讨论与归纳 思考：请问如何判断①是假命题？如何判断②是
真命题？
① 如果两个角相等，那么它们是对顶角. ② 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁 内角互补. 注意：要判断一个命题是真命题要经过严格
的推理；是假命题只要举一个反例。
1.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真 命题还是假命题？ 是 真命题 （1）兔子有四条腿； 是 假命题 （2）内错角相等； 否 （3）画一条直线； 是 假命题 （4）四边形是正方形； 否 （5）你的作业做完了吗？ 是 真命题 （6）同位角相等，两直线平行； 是 真命题 （7）对顶角相等； 是 假命题 （8）垂直于同一直线的两直线平行； 否 （9）过点P画线段MN的垂线；
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3.假命题，任意二条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三直线所截，才有同旁内角互补的结论。
4.假命题，如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行。
5.假命题，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a=2≠0，b=－2≠0。
6.假命题，如60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角。
例5.区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理：
1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
2.两点之间，线段最短；
3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；
4.对顶角相等；
5.垂线段最短。
思考：1.定义，公理，定理的内容你知道吗2.定义，公理，定理有何区别
思路分析：只要理解定义，公理，定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理。
解：(1)、(2)是公理；(3)是定义；(4)、(5)是定理。
课后习题
一、填空题：
1.命题常写成“如果……，那么……”的形式，在这种形式中，用“”开始的部分
是题设，用“”开始由部分是结论。
2.将命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”
的形式为。
3.已知∠AOB为锐角，直线l1⊥OA，直线l2⊥OB，那么l1
和l2的关系为。
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5
4.如图14所示，直线l∥m，若∠α=70°，则∠β= 。
图14
5.如图15所示，a∥b，∠1－2∠2=60°，则∠1= ；∠2= 。
6.“同位角相等，两直线平行”这个命题中题设是。
7.“过两点有且只有一条直线”是。
8. 叫做命题，每个命题都是
由；两部分组成。
图15
9.如果题设成立，那么结论也成立，这样的命题叫做。
10.证明一个命题的步骤是：
①根据题意；
②根据题设、结论、结合图形，写出；。
③经过分析，找出由推出的途径，写出。
二、选择
11.下列语句中，不是命题的是。
A.两点之间，线段最短；
B.对顶角不相等；
C.连结A、B两点；
D.不重合的两条直线有一个交点。
12.给出下列四个命题：
①同角的余角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④
平行于同一条直线的两条直线垂直。
其中真命题有。
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6
个；个；个；个。
13.如图16，下列推理中正确的是。
A.∵∠1=∠2，∴AB∥CD
B.∵∠ABC＋∠BCD=180°，∴AD∥B C
C.∵AD∥BC，∴∠3=∠4
D.∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠2，∴AB∥CD
14.下列命题，正确的是。
图16
A.如果∠α=180°－∠β，则∠α是补角；
B.如果∠α＋∠β=90°则∠α是余角；
°角是50°的余角；
D.余角是补角的一半。
15.将命题“对顶角相等”改成“如果……，那么……”的形式正确的是。
A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；
B.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
C.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角；
D.如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等。
16.下列语句是命题的是。
(1)过一点作直线的垂线；
(2)如果a∥b且b∥c，那么a∥c；
(3)∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3；
(4)同位角互补，两直线平行。
A.(2)；
B.(2)、(3)；
C.(2)、(3)、(4)；
D.(1)、(2)、(3)、(4)
7 呼和浩特产品教研部
7
17.下列命题，正确的是。
A.两锐角的和是直角；
B.若∠AOB＋∠BOC=90°，则∠AOC是直角；
C.若∠α是∠β的邻补角，则∠α与∠β中一定有一个是钝角，一个是锐角；
D.若∠α与∠β互为余角，则∠α、∠β均为锐角。
18.下列命题是假命题的是。
A.垂线段最短；
B.对顶角相等；
C.同位角相等；
D.一个锐角的补角大于这个锐角。
19.下列命题中，假命题是。
A.没有公共点的两条直线必定平行；
B.同一平面内，l1⊥l2，垂足为A，l2⊥l垂足为B，A、B两点不重合，那么l1⊥l；
C.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；
D.两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线平行。
20.下列四个命题中，真命题是。
A.如果一个角有补角，则这个角必是钝角；
B.如果一个角有余角，则这个角必是锐角；
C.互补的两个角一定是邻补角；
D.如果∠1＋∠2＋∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3互补。
三、解答题
21.根据下列命题，画出图形，并写出已知和求证：
(1)邻补角的平分线互相垂直；
(2)两直线平行，内错角相等。
8 呼和浩特产品教研部
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22.已知点C，C′分别是AB、
A′B′的中点，AC=A′C′，
求证：AB=A′B′。
23.已知AC⊥BC，∠ACD=∠CDE，图17
求证：DE⊥BC。
（如图17所示）图18
24.（如图18所示）已知∠1＋∠2=180°，
求证：∠3＋∠4=180°。
25.（如图19所示）AB∥CD，E、F分别与AB、CD交于G、H，MN过点G垂直于AB，GK是∠MGB
的平分线，
∠CHG=120°，求∠MGE和∠KGE的度数。
26.已知：如图20，AB∥DC，AD∥BC，图19 图20
∠1=30°，∠2=38°，求∠3的度数。
27.已知：如图21所示，BE平分∠ABC，
∠CBF=∠CFB=65°，∠EDF=50°，
求证：BC∥AE。
9 呼和浩特产品教研部
9
28.已知：如图22所示，AC∥DE，DC∥EF，
CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED。
图21 图22
29.图23，已知AD⊥BC于D，EF⊥BC
于F，∠E=∠3，求证：AD平分∠BAC。
30.已知，如图24，∠COF＋∠C=180°，
∠C=∠B，求证：AB∥EF。
四、同步题库
一、填空题：图23 图24
1.如果，那么；
2.如果两个角是等角，那么这两个角相等；
3.相交；
4. 50°；
5. 140°，40°；
6.同位角相等；
7.公理；
8.判断某一件事情的句子，题设，结论；
9.真命题；10.
①画出图形；②已知、求证；③已知，求证，证明的过程。
二、选择题
；；；；；；；；；。
三、解答题
21.(1)已知如图25，∠AOC与∠BOC为邻补角,OD为∠AOC平分
线,OE为∠BOC平分线，求证：OD⊥OE。
图25
10 呼和浩特产品教研部
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v1.0 可编辑可修改
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(2)已知如图26，直线a ∥b ，求证：∠1=∠2。
22. 证明：∵C 为AB 中点（已知）
∴AC =12
AB （中点定义） ∵C ′为A ′B ′中点（已知）
∴A ′C ′=12
A ′
B ′（中点定义） 图26 ∵A
C =A ′C ′（已知）
∴12AB =12
A ′
B ′（等量代换） ∴AB =A ′B ′（等式性质）
23. 证明：∵∠ACD =∠CDB （已知）
∴AC ∥DE （内错角相等，两直线平行）
∴∠DEB =∠ACB （两直线平行，同位角相等）
∵AC ⊥BC （已知）
∴∠ACB =90°（垂直定义）
∴∠DEB =90°（等量代换）
DE ⊥BC （垂直定义）
24. 证明：∵∠2＋∠5=180°（邻补角定义）
∠1＋∠2=180°（已知）
∴∠1=∠5（等角的补角相等）
∴a ∥b （同位角相等、两直线平行）
∴∠3=∠6（两直线平行，同位角相等）
∵∠6＋∠4=180°（邻补角定义）
∴∠3＋∠4=180°（等量代换）
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