概率论与数理统计_7.3置信区间
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。
其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。
而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。
本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。
一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。
2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。
3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。
2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。
3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。
概率论与数理统计复习7章
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 1 − α 即P 2 <σ2 < 2 χα 2 ( n − 1) χ1−α 2 ( n − 1) ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 置信区间为： 2 , χα 2 ( n − 1) χ12−α 2 ( n − 1)
则有：E ( X v ) = µv (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) 其v阶样本矩是：Av = 1 ∑ X iv n i =1
n
估计的未知参数，假定总体X 的k阶原点矩E ( X k ) 存在，
µ θ , θ ,⋯ , θ = A k 1 1 1 2 µ2 θ1, θ 2 ,⋯ , θ k = A2 用样本矩作为总体矩的估计，即令： ⋮ µ θ , θ ,⋯ , θ = A k k k 1 2 ɵ ɵ ˆ 解此方程即得 (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k )的一个矩估计量 θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k
+∞
−∞
xf ( x ) dx = ∫ θ x θ dx =
1 0
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
7.2极大似然估计法
极大似然估计法： 设总体X 的概率密度为f ( x,θ ) (或分布率p( x,θ )),θ = (θ1 ,θ 2 ,⋯ ,θ k ) 为 未知参数，θ ∈ Θ, Θ为参数空间，即θ的取值范围。设 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 是 样本 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )的一个观察值：
i =1 n
概率论与数理统计智慧树知到课后章节答案2023年下安阳工学院
概率论与数理统计智慧树知到课后章节答案2023年下安阳工学院安阳工学院第一章测试1.当事件与同时发生时，事件必发生，则下列结论正确的是（）A: B: C: D:答案:2.已知=（）A:0.1 B:0.5 C:0.2 D:0.3答案:0.53.设事件与满足，则（）A: B: C:是必然事件 D:答案:4.设是两个互斥事件，且则结论正确的是（）A: B: C: D:答案:5.设三个事件两两独立，则相互独立的充要条件是（）A: B: C: D:答案:6.关于独立性，下列说法错误的是（）A:若相互独立，则相互独立 B:若相互独立，相互独立，相互独立，则相互独立C:若相互独立，则其中的任意事件仍然相互独立 D:若相互独立，则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相互独立答案:若相互独立，相互独立，相互独立，则相互独立7.已知则下列结论正确的是（）A:事件互斥 B:事件相互独立 C: D:答案:事件相互独立8.某人投篮命中率为，直到投中为止，则投篮次数为4的概率为（）A: B: C: D:答案:9.从0—9中任意选取三个数字，能“组成只有两位数字相同的三位数”的个数是243个。
（）A:错 B:对答案:对10.若事件满足相互独立关系，则。
（）A:对 B:错答案:对第二章测试1.设随机变量服从参数为50和的二项分布，则近似服从参数为（）的泊松分布。
A:10 B:1 C: D:50答案:12.设随机变量，则的概率密度（）。
A: B: C: D:答案:3.设随机变量的概率密度为是的分布函数，则对任意实数，有（）A: B: C: D:答案:4.设随机变量，则随着的增大，概率将会（）A:单调增 B:不变 C:不能确定 D:单调减答案:不变5.,则（）A:相互独立 B:对立 C: D:答案:6.设为连续随机变量，则 0。
（）A:对 B:错答案:对7.A:对 B:错答案:错8.设为连续随机变量，则（其中为一实数）。
（）A:错 B:对答案:对9.随机变量，且相互独立，则随机变量～。
概率论与数理统计 第七章2
P{θ1 ≤ θ ≤ θ 2 } ≥ 1 − α , (0 < α < 1)
称区间(θ1，θ 2 )为θ的置信水平为1 − α 该区间的置信区间 。
区间（θ1，θ2）是一个随机区间； α给出该区间含真 1− 值θ的可靠程度。α表示该区间不包含真值θ的可能性。
ch7-1 2
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
( X −u1−α
σ
2
n
,
X + u1−α
σ
2
n
)
可得所求的置信区间为
2 (12.35 ± 1.96 × ) = (12.35 ± 1.307) = (11.043,13.657) 9
ch7-1 8
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上海理工大学
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College of Science
理学院
概率论与数理统计
区 间 估 计
ch7-1
1
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1001，1004，1003，997，999，1000， ， ， ， ， ， ， 1004，1000，996， 1002，998，999. ， ， ， ， ，
求σ2的置信水平为 的置信水平为0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 −α的置信区间如 解:本例中 µ未知， σ2的置信水平为 −α的置信区间如 本例中 未知， 的置信水平为1−α的置信区间如. (n −1)S2 (n −1)S2 2 , 2 χ1−α (n −1) χα (n −1) 其中n=12,计算得：(n−1)s2=11×6.932=76.25.又 计算得： − 其中 计算得 × 又 查自由度为11的 分布分位数表,得 α=1− 0.95=0.05, 查自由度为 的 χ 2分布分位数表 得 −
概率论与数理统计习题详解（周概容）——习题7解
—习题解答●7.1— 7.1 假设总体X服从参数为??的泊松分布，nXXX21??是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值，2S是样本方差，对于任意实数??，证明12SXE是??的无偏估计量．熟知，对于任何总体，样本均值X是总体数学期望的无偏估计量，样本方差2S是总体方差的无偏估计量；对于泊松分布的总体，数学期望和方差都等于分布参数??，因此．11122SXSXEEE 7.2 设总体X服从参数为??的泊松分布；21nXXX??是来自X的简单随机样本，求2??的无偏估计量．熟知XXDE．设X为样本均值，则．，2222221nnXnXnXXXEEDE 由此可见2??的无偏估计量为．XnX12?? 7.3 设21mXXX??是来自正态总体2NX的简单随机样本，统计量1121niiiXXkD 是总体方差2??的无偏估计量，求常数k．由条件知：222XE．由于统计量D是总体方差2??的无偏估计量，则．22112221112211121122222 nkkXXXXkXXkDniniiiiiniiiEEE 由此可见121nk．7.4 总体2??aNX2??bNY；基于分别来自总体X和Y的两个相互独立的简单随机样本21mXXX??和21nYYY??，得样本均值X和Y及样本方差2xS和2yS；证明总体X和Y的联合样本方差1121222yxxySnSmnmS 是总体X和Y的共同方差2??的无偏估计量，并且计算其方差．熟知，对于任意总体，样本方差2xS和2yS都是2??的无偏估计量，可见22221121yxxySnSmnmSE，—习题解答●7.2—即联合样本方差2xyS是2??的无偏估计量．由正态总体的抽样分布，知2222 xySnm?? 服从自由度为2 nm＝??的2??分布；而自由度为??的2??变量的方差等于2??：事实上，设??UUU21??是独立标准正态分布随机变量，则服从自由度为??的2??分布的随机变量X可以表示为：22221??UUUX．由于10NUi，可见21102iUUUiiiEDE；．33de23e21de2122223244222 iuuuiUuuuuuUEE ??????．由此可见21UXEE．因此．22222222422222222 nmnmnmnmSnmnmSxyxy????????????DDD2 7.5 设总体X 服从参数为pm的二项分布，其中m已知；21nXXX??是来自X的简单随机样本，1 求未知参数p的最大似然估计量；2 证明所得估计量是无偏的．1 总体X的概率函数可以表示为．，若不然；，若；0 10 1Cmxpppxpxmxxm?? 参数p的似然函数为XnmnXnniXmniipppXppLi1C11；，其中X为样本均值．对数似然方程为0111ln1lnlnClnln1pXnmnpXnppLpXnm npXnpLniXmi；其解mXp即未知参数p的最大似然估计量．2 由于总体X的数学期望为mp，而对于任何总体X，样本均值X是其数学期望的无偏估计量，可见X 是mp的无偏估计量，从而mXp是未知参数p的无偏估计量．—习题解答●7.3—7.6 设总体X服从区间0??上的均匀分布，21nXXX??是来自X的简单随机样本，1 求未知参数??的最大似然估计量；2 假如所得估计量是有偏估计量，将其修正为无偏估计量． 1 总体X的概率密度函数为．，若不然；，若；001xxf 未知参数??的似然函数为，若不然．；，若；0 0111nnniiXXXfL?? 易见，似然函数??L无驻点．需要直接求??L的最大值点，记nnXXXXmax21；由于nX，且??L随??减小而增大，所以当??nX 时??L达到最大值，故??nX就是未知参数??的最大似然估计量．2 现在验证估计量??nX的无偏性．为此，首先求??nX的概率分布．总体X的分布函数为．，若，，若，若 1 0 0 0 xxxxxF 由于nXXX21??独立同分布，可见??nX的分布函数为，11nnnnnxFxXxXxXxXxXxFPPPP???? 其概率密度为．，若不然，，若0 0dd11xnxxFxFnxFxxfnnnnn 因此，有1dd01??nnxnxxxxxfXnnnnE．这样，??nX是??的有偏估计量．容易验证，??的无偏估计量为1nXnn??．7.7 已知随机变量X的概率密度为若不然．若0 101xxxf 试根据来自X的简单随机样本21nXXX??，求未知参数??的最大似然估计量．—习题解答●7.4—未知参数??的似然函数和对数似然函数为．；；10ln1lnln21n1112111niinnniiXXXXnLXXXXfL??????????由此，得似然方程n1 0lnlniiXnL；其惟一解是niinXnXXn11lnln??????．于是，就是未知参数??的最大似然估计量．7.8 设ugt??是严格单调函数且有惟一反函数．证明，若是未知参数??的最大似然估计量，则gtgT????是的最大似然估计量．设??L是未知参数??的似然函数．记th是??gt??的惟一反函数，则??LthL??．设D是函数??gt??的值域，由“是未知参数??的最大似然估计量”，可见maxmax??thLLLThLDt，即gT??是??gt??的最大似然估计量．7.9 设21nXXX??是来自总体X的简单随机样本，总体X的概率密度为：；，，，若若xxxfx0e 试求未知参数??的最大似然估计量1和矩估计量2． 1 参数??的似然函数为．nXniXniiniiiXfL??1ee11 由此可见，其似然方程无解，需要直接求其似然函数，，，若不然若0 exp211nniiXXXnXL?? 的最大值．当nXXX21??时0L，而当nXXX21??，即nXXXmin21??时??L随??的增大而增大，可见当nXXXmin21??时??L达到最大值．参数??的最大似然估计量为nXXXmin??211??．—习题解答●7.5— 2 求参数??的矩估计量．总体X 的数学期望为：．1edeeded xxxxxxxxxxxfXE 用样本均值X估计XE：1??2X，可得参数??的矩估计量为1??2??X＝??．7.10设每次射击的命中率为p．接连不断独立地进行射击直到命中目标为止，nkkk21??是n轮射击各轮实际射击的次数，求命中率p 的最大似然估计量和矩估计量．1 设X表示实际射击的次数，则X服从参数为p的几何分布，而nkkk21??是来自总体X的简单随机样本．总体X的概率函数为2111xpppxpx．命中率p的似然函数为．，1lnlnln1111111pnkpnpLpppppkppLniininknkniiniii将该式两侧对p求导数并令其等于0，得似然方程：．011dlnd1pnkpnppLnii 其惟一解niiknp1 ?? 就是命中率p的最大似然估计量． 2 设X是实际射击的次数，而nkkk21??是来自总体X的简单随机样本，则样本均值为pXknXnii111E，．于是，由pX??1 ??，得未知参数p的矩估计量niiknXp1 1??．7.11 设来自总体X的简单随机样本21nXXX??，总体X的概率分布为22112321????????X，其中0lt??lt1．试求—习题解答●7.6—1 未知参数??的最大似然估计量1；2 未知参数??的矩估计量2；3 当样本值为（112132）时的最大似然估计值1和矩估计值2． 1 求参数??的最大似然估计量．分别以2121n和表示21nXXX?? 中1，2和3出现的次数，则似然函数和似然方程为．，，01222dlnd1ln22ln22lnln1211221212121222222212122121 nLnLLnn 似然方程的惟一解就是参数??的最大似然估计量：n22??211．2 求参数??的矩估计量．总体X的数学期望为221314XE．在上式中用样本均值X估计数学期望XE，可得??的矩估计量：321??2X． 3 对于样本值（112132），由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值；321223222??211n?????? 矩估计值326523321??2X??．7.12 设随机变量X的分布函数为．，若，，若＝1 0 111xxxxF 其中参数1．设nXXX21??为来自总体X的简单随机样本，求 1 未知参数??的矩估计量；2 未知参数??的最大似然估计量．由条件知随机变量X的概率密度为．，若，，若1 0 11xxxxf 1 X的数学期望为1d11xxxXE．用样本均值X估计XE得—习题解答●7.7— 1X，1XX?? 就是未知参数??的矩估计量．2 未知参数??的似然函数和对数似然函数为；，，，若不然；若ininnnniiXnLXXXXXXXfL1211211ln1lnln 01 似然方程为0lndlnd1niiXnL??????，其唯一解niiXn1ln???? 就是未知参数??的最大似然估计量．7.13 设随机变量X的分布函数为．，，，＝xxxxF 0 122 其中0．设nXXX21??为来自总体X的简单随机样本，求未知参数??的最大似然估计量．由条件知随机变量X的概率密度为．，若，，若xxxxf 0 232 未知参数??的似然函数为．若若，，，nnnnnniiXXXXXXXXXXfL ***********??????似然函数??L显然无驻点，需要直接求其最大值点．由??L值随??增大而增大，可见??L的最大值点为nXXXmin??21??．于是nXXXmin??21??就是未知参数??的最大似然估计量．7.14 为观察一种橡胶制品的耐磨性，从这种产品中各随意抽取了5件，测得如下数据：—习题解答●7.8— 185.82，175.10，217.30，213.86，198.40．假设产品的耐磨性2NX，求2和的无偏估计值．样本容量n5．经计算，得样本均值X198.10，样本方差23.3240063.1822S．于是??的无偏估计值；10.198X?? 23.3242??S是2??的无偏估计．7.15 对某种袋装食品的质量管理标准规定：每袋平均重500克，标准差10克．现在从一商店的一批这种袋装食品中随意抽取了14袋，测量每袋的重量，得如下数据：500.90，490.01，501.63，500.73，515.87，511.85，498.39，514.23，487.96，525.01，509.37，509.43，488.46，497.15．假设这种袋装食品每袋的重量X服从正态分布2N．试利用??和??的0.95置信区间，说明抽查结果是否表明这一批袋装食品每袋平均重??和标准差??符合标准．经计算样本均值，64.503??X样本标准差11.11??S正态总体的数学期望??的1置信区间的一般形式为：XX，其中??的表达式区分202已知和2??未知两种情形：未知，若，已知，若 1 00nStnun 其中??u是标准正态分布水平??双侧分位数（附表3），1??nt??是自由度为1n??的t分布水平??双侧分位数（附表4）。
7.4单正态总体下未知参数的置信区间 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
2 的无偏估计为 ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
2 ，
取 a b 满足
G ˆ 2, 2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2 n
P
a
1
2
n
(Xi
i1
)2
b
1
二、方差的置信区间
取
a
2 2
n,b
2 12
n
此时，对应的 2 的双侧1 置信区间为：
n
X
i
2
n
X
i
2
i1
, i1
．
第7章 参数估计
1
07
参数估计
目录/Contents
第7章 参数估计
2
7.1 点估计
7.2 点估计的良好性评判标准
7.3 置信区间
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
7.5
两个正态总体下未知参数的置信区间
目录/Contents
第7章 参数估计
3
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
一、均值的置信区间 二、方差的置信区间
故 的双侧 0.95 置信区间的观测值为[1485.69,1514.31] ．
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
12
1
期望 已知, 方差 2的双侧置信区间；
2
期望 未知, 方差 2的双侧置信区间.
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
13
(1)期望 已知, 方差 2 的双侧置信区间
当 已知时，
0.95 的双侧置信区间.
解 由题设条件知 n 10, 0.05, x 1500, s 20, 查表得
概率论与数理统计教案随机事件与概率
概率论与数理统计教案-随机事件与概率一、教学目标1. 理解随机事件的定义及其分类。
2. 掌握概率的基本性质和计算方法。
3. 能够运用概率论解决实际问题。
二、教学内容1. 随机事件的定义与分类1.1 随机事件的定义1.2 随机事件的分类1.3 事件的运算2. 概率的基本性质2.1 概率的定义2.2 概率的取值范围2.3 概率的基本性质3. 概率的计算方法3.1 古典概型3.2 条件概率3.3 独立事件的概率3.4 互斥事件的概率4. 随机事件的排列与组合4.1 排列的定义与计算4.2 组合的定义与计算5. 概率论在实际问题中的应用5.1 概率论在社会科学中的应用5.2 概率论在自然科学中的应用三、教学方法1. 讲授法：讲解随机事件的定义、分类及概率的基本性质。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用概率论解决。
3. 互动教学法：提问、讨论，提高学生对知识点的理解和掌握。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算器、黑板、粉笔等教学工具。
3. 实际问题案例库。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对随机事件定义、分类和概率基本性质的理解。
2. 课后作业：布置有关概率计算和方法的应用题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用概率论进行分析，评价其应用能力。
4. 期末考试：设置有关概率论与数理统计的综合题，全面评估学生学习效果。
六、教学内容6. 大数定律与中心极限定理6.1 大数定律6.2 中心极限定理7. 随机变量及其分布7.1 随机变量的概念7.2 离散型随机变量7.3 连续型随机变量7.4 随机变量分布函数8. 随机变量的数字特征8.1 数学期望8.2 方差8.3 协方差与相关系数9. 抽样分布与抽样误差9.1 抽样分布的概念9.2 抽样误差的估计9.3 抽样方案的设计10. 估计量的性质与假设检验10.1 估计量的性质10.2 假设检验的基本概念10.3 常用的假设检验方法七、教学方法1. 讲授法：讲解大数定律、中心极限定理、随机变量及其分布等概念。
概率论与数理统计(第4版)浙江大学 盛聚编
对同一个参数，我们(wǒ men)可以构造许多置信区间.
1.在概率密度为单峰且对称(duìchèn)的情形，当a =-b 时求得的置信区间的长度为最短.
2.即使在概率密度不对称的情形，如 分布， F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的 置信区间.
17
共十八页
内容(nèiróng)总结
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本(yàngběn)算得的一个值去 估计未知参数. 但是，点估计值仅仅。X1,X2,。可靠度与精度是一对 矛盾，一般是。按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,。个区间, 使得 U取值于该区间的概率为置信水平.。从例1解题的过程，我们归纳出 求置信区间的一般步骤如下:。T(X1,X2,。的分布为已知, 不依赖于任何 未知参数 .。而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是。17
7
共十八页
2、置信区间的求法 在求置信区间时，要查表求分位点.
若 X 为连续型随机变量(suí jī biàn liànɡ) , 则有
所求置信区间为
8
共十八页
同样 对 (tóngyàng) 于
所求置信区间为
共十八页
由此可见，置 信水平为 的置信区间是 不唯一的。
9
例 设X1,…Xn是取自
的样本，
共十八页
第四节 区间 估计 (qū jiān)
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个 (yī ɡè)值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计 的这个缺陷 .
1
共十八页
1、 置信区间定义(dìngyì)
3. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 U(T, ),且其分布为已知.
概率论与数理统计课后习题答案 第七章
习题 7.2 1. 证明样本均值 是总体均值
证:
的相合估计
由定理
知 是 的相合估计
2. 证明样本的 k 阶矩
是总体 阶矩
证:
的相合估计量
3. 设总体 (1)
(2)
是
的相合估计
为其样品 试证下述三个估计量
(3)
都是 的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证:
都是 的无偏估计
故 的方差最小.
大?(附
)
解: (1) 的置信度为 的置信区间为
(2) 的置信度为 故区间长度为
的置信区间为
解得
四、某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
.假设两市新生身高分别服从正态分布:
,
其中 未知 试求
的置信度为 0.95 的置信区间.(附:
解:
.从该车床加工的零件中随机抽取
4 个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.
试求: (1)样本方差 ;(2)总体方差 的置信度为 95%的置信区间.
(附:
解: (1)
(2) 置信度 的置信区间为
三、设总体
抽取样本
为样本均值
(1) 已知
求 的置信度为 的置信区间
(2) 已知
问 要使 的置信度为 的置信区间长度不超过 ,样本容量 n 至少应取多
施磷肥的
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均
亩产之差作区间估计(
).
解:
查表知
概率论和数理统计（李慧斌）复习大纲-第7章-置信区间-Confidence-Intervals
概率论与数理统计(李慧斌)复习大纲Chapter 7 Confidence Intervals置信区间7.1 Sampling Distribution 抽样分布统计量的分布称为抽样分布。
在本节中，我们将从正态分布推导出随机样本的样本方差分布，以及样本均值和样本方差的各种函数的分布。
复习：Thm 5.5.2若X1, X2,…, X n独立且满足，i= 1,2,…,n，若C1, C2,…, C n不全为零，则Corollary 5.5.2 设随机变量X1, X2,…, X n组成随机样本，满足正态分布，其中均值μ和方差σ2，则7.2 χ2Distribution卡方分布定义：若随机变量X1, X2,…, X n独立同分布且其中每个随机变量都满足标准正态分布，所以有着以n阶自由度卡方分布(χ2distribution with n degrees of freedom)，记作，n来源于独立随机变量中以n阶自由度的χ2分布的概率密度函数其中欧拉函数定义为χ2分布的性质：定理1定理2 （χ2分布的可加性）若X ~χ2 (n) , Y ~χ2(m)，X, Y独立，则X+Y ~ χ2 (n+m)例：设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，证明Thm 7.3.1 设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，则：（1）与独立；（2）注：，虽然基于n个，但是它们之和为0，所以指定数量的n-1确定剩余值。
因此有n-1阶自由度。
结果表明，只有从正态分布中抽取随机样本，样本均值和样本方差才是独立的。
证明如下：的联合概率分布函数为其中A为正交矩阵(orthogonal matrix)，且的联合概率分布函数为因此独立且⇒与独立且7.4 The t Distribution t分布定义：设X ~ N(0, 1), Y ~χ2 (n)且X和Y独立，则随机变量所满足的分布称为n阶自由度t分布，记作，其中的概率密度函数为t分布的性质：（1）f(x)图像呈钟型，且中心为0；（2）它的一般形状类似于平均分布0的正态分布的概率密度函数。
概率论与数理统计教程第七章答案
.第七章假设检验7.1设总体J〜N(4Q2),其中参数4, /为未知，试指出下面统计假设中哪些是简洁假设，哪些是复合假设：(1) W o: // = 0, σ = 1 ；(2) W o√∕ = O, σ>l5(3) ∕70:// <3, σ = 1 ；(4) % :0< 〃 <3 ；(5)W o :// = 0.解：(1)是简洁假设，其余位复合假设7.2设配么，…，25取自正态总体息(19),其中参数〃未知，无是子样均值,如对检验问题“0 ：〃 = 〃o, M ：4工从)取检验的拒绝域：c = {(x1,x2,∙∙∙,x25)r∣x-χ∕0∖≥c},试打算常数c ,使检验的显著性水平为0. 05_ Q解：由于J〜N(〃,9),故J~N(",二)在打。
成立的条件下，一/3 5cP o(∖ξ-^∖≥c) = P(∖ξ-μJ^∖≥-)=2 1-Φ(y) =0.05Φ(-) = 0.975,-= 1.96,所以c=L176°3 37. 3 设子样。
,乙，…，25取自正态总体，cr：已知，对假设检验%邛=μ0, H2> /J。
,取临界域c = {(X[,w,…,4)：片>9)}，(1)求此检验犯第一类错误概率为α时，犯其次类错误的概率夕，并争论它们之间的关系；(2)设〃o=0∙05, σ~=0. 004, a =0.05, n=9,求"=0.65 时不犯其次类错误的概率。
解：(1)在儿成立的条件下，F~N(∕o,军)，此时a = P^ξ≥c^ = P0< σo σo )所以，包二为册=4_,,由此式解出c°=窄4f+为% ∖∣n在H∣成立的条件下，W ~ N",啊 ,此时nS = %<c°) = AI。
气L =①(^^~品)二①匹%=①(2δξ^历σoA∣-σ+A)-A-------------- y∕n)。
置信区间公式 (3)
置信区间公式什么是置信区间？在统计学中，我们经常会遇到需要对一个总体参数进行估计的问题。
然而，由于抽样误差的存在，我们的估计值往往会与真实值有所差别。
为了探究这个差别，我们引入了置信区间的概念。
置信区间表示我们对总体参数的估计范围，我们通常会给出一个下限和一个上限，这个范围内的数值有一定的置信度（通常以百分比形式表示）。
例如，一个95% 的置信区间表示，在重复抽样下，有 95% 的抽样均值会在这个区间内。
置信区间公式在统计学中，有多种方法可以计算置信区间，具体的方法取决于总体参数的分布情况以及样本的大小。
下面是一些常用的置信区间公式：1. 对于大样本和未知总体标准差的情况当总体标准差未知且样本容量较大（通常要求样本容量大于 30）时，我们可以使用z 分布进行置信区间的估计。
对于给定的置信水平（α），置信区间公式如下：置信区间 = x̄± Z * (s / √n)其中，x̄是样本均值，s 是样本标准差，n 是样本容量，Z 是与置信水平相关的临界值，可以在标准正态分布表中查找。
2. 对于小样本和未知总体标准差的情况当总体标准差未知且样本容量较小（通常要求样本容量小于 30）时，我们可以使用t 分布进行置信区间的估计。
对于给定的置信水平（α）和自由度（df = n - 1），置信区间公式如下：置信区间 = x̄± t * (s / √n)其中，x̄是样本均值，s 是样本标准差，n 是样本容量，t 是与置信水平和自由度相关的临界值，可以在 t 分布表中查找。
3. 对于已知总体标准差的情况当总体标准差已知时，我们可以使用z 分布进行置信区间的估计。
对于给定的置信水平（α），置信区间公式如下：置信区间 = x̄ ± Z * (σ / √n)其中，x̄是样本均值，σ 是总体标准差，n 是样本容量，Z 是与置信水平相关的临界值，可以在标准正态分布表中查找。
示例接下来，我们通过一个假设场景来演示如何使用置信区间公式计算一个总体参数的置信区间。
7.4单个正态总体均值与方差的区间估计
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1,
P
(n 1)S 2
2
/
2
(n
1)
(n
2 1
/2
1)S 2 (n
1)
1
,
即标准差 的置信水平为1 α 的一个置信区间为
n 1S ,
2 / 2(n 1)
n
2 1 /
1S 2(n
1)
.
11
概率论与数理统计
例2 (续例1) 求例1中总体标准差 的置信度为0.95 的置信区间.
506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的质量服从正态分布, 试求总体均值
的置信度为 0.95 的置信区间.
(1) 2 38.44; (2) 2未知. 解： 1 0.95, 0.05
6
概率论与数理统计
b
3
概率论与数理统计
由P
z
/
2
X
/
n
z /2
1,
P X
n
z / 2
X
n
z
/
2
1
.
即的一个置信水平为1 的置信区间为
X
n
z / 2 , X
n
z / 2 .
置信区间的长度为
2
n
z / 2 .
4
概率论与数理统计
2 2未知
“枢轴量”
X ~ t(n 1)
1
S/ n
由
P{tα
2(n 1)
X S
概率论与数理统计必考点
进一步可得:
标准差 的一个置信度为 1 的置信区间
是 2 的无偏估计 ,
( n 1) S
2
*2 n
~ 2 ( n 1),
P243
*2 n 1 S 2 n 2 由P /2 n 1 1- /2 n 1 1 2 *2 *2 n 1 S n 1 S n n 有P 2 2 2 1 /2 n 1 1- /2 n 1
2. 求置信区间的一般步骤(共3步) (1) 寻求一个样本 1 , 2 , , n 的函数: Z Z (1 , 2 , , n ; ) 其中仅包含待估参数 , 并且Z的分布已知 且不依赖于任何未知参数(包括 ). (2) 对于给定的置信度1 , 决定出两个常数a, b, 使P{a Z (1 , 2 ,, n ; ) b} 1 .
设给定置信度为1 , 并设 1 , 2 , , n 为
*2 总体 N ( , 2 )的样本, , S n 分别是样本均值和
修正样本方差.
（1） 2 已知，求
的置信区间
的一个置信度为 1 的置信区间 X u1- /2 . n
1. 要求 以很大的可能被包含在区间 ( , ) 内，就是说，概率 P{ } 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 ˆ ˆ 尽可能短，或能体现该要求的其 长度 2 1 它准则. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度.
（ 3）
未知，求
2
的置信区间
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
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第二章 随机变量 2.12.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。
单个正态总体参数的置信区间_概率论与数理统计_[共4页]
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142 概率论与数理统计 则称ˆθ为θ的相合估计量. 例如由第6章知，样本(1)k k ≥阶矩是总体X 的k 阶矩()k k E X μ=的相合估计量，进而若待估参数12(,,,)k g θμμμ="，其中g 为连续函数，则θ的矩估计量12ˆˆˆˆ(,,,)k g θμμμ="12(,,,)ng A A A ="是θ的相合估计量.由最大似然估计法得到的估计量，在一定条件下也具有相合性.相合性是对一个估计量的基本要求，若估计量不具有相合性，那么不论将样本容量n 取多么大，都不能将θ估计得足够准确，这样的估计量是不可取的.7.3置信区间前面讨论了参数的点估计，它是用样本算出的一个值去估计未知参数. 即点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有给出这个近似值的误差范围. 点估计方法不能回答估计量的可靠度与精度问题，不知道点估计值与总体参数的真值接近程度.若能给出一个估计区间，让我们能以较大把握来相信参数的真值被含在这个区间内，这样的估计就是所谓的区间估计.下面介绍区间估计的概念、方法，并重点讲述正态总体下参数的区间估计.7.3.1 置信区间的概念定义7.5 12,,,n X X X "是取自总体X 的一个样本，设θ为未知参数，对给定的数1α−(01)α<<，若存在统计量1212(,,,),(,,,),n n X X X X X X θθθθ==""使得{}1,P θθθα<<=− （7.6）则称随机区间(,θθ为θ的置信水平为1α−的置信区间，称1α−为置信度（置信水平），又分别称θ与θ为θ的置信下限与置信上限.如果取10.95α−=，那么(,θθ为θ的置信水平为0.95的置信区间，其含义是：重复抽样多次，得到多个样本值12(,,,)n x x x "，对应每个样本值确定一个置信区间(,θθ，每个区间要么包含了θ的真值，要么不包含θ的真值. 比如重复抽样100次，则其中大约有95个区间包含θ的真值，大约有5个区间不包含θ的真值.7.3.2 单个正态总体参数的置信区间正态总体是最常见的分布，下面我们讨论它的两个参数的置信区间.1．σ已知时，μ的置信区间设总体2~(,),X N μσ其中2σ已知，而μ为未知参数，12,,,n X X X "是取自总体X 的一个样本. 求μ的置信水平为1α−的置信区间.我们知道X 是μ的无偏估计，且有。
概率论与数理统计教学课件77单侧置信区间
在以上各节的讨论中,对于未知参数 , 我们给 出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元 件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们
关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在
考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的 “上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.
(n
1)
.
单侧置信上限 2
二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1), 若由样本 X1, X2,, Xn 确定的统计量 ( X1, X2,, Xn ) , 对于任意 满足
P { } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的单 侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧置
Xh
n
1
,
n,
的置信水平为 1 的置信上限 Xh . n
四、小结
正态总体均值 的置信水平为1 的单侧置信区间
, X
S n
t
(
n
1),
单侧置信上限
X
S n
t
(n
1),
,
单侧置信下限
正态总体方差 2 的置信水平为1 的单侧置信区间
0,
(n 1)S 2
2 1
X1, X2 ,, Xn 是一个样本,
由 X ~ t(n 1),
S/ n
有
P
X S/
n
t
(
n
1)
1
,
即
P X
S n
t
(n
1)
1
,
于是得 的一个置信水平为 1 的单侧置信区间
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通过计算，得 X 14.95,
所求置信区间为
X z 2 , X z 2 14.79, 15.11 . n n
(2) 未知方差 2 时 —— 实用价值更大 !! 由于 ( X u / 2 , X u / 2 ) 与 有关, 故不能采用已知方差
则称随机区间 ( , )为 的置信水平为 1- 的双侧置信区间 . 和
置信度 置信概率 分别称为置信下限和置信上限. 1） 和 为两个统计量（由样本完全确定的已知函数）；
2）( , ) 是随机区间, 代入样本值所得的普通区间称为置信区 间的实现.
置信水平的概率意义： 置信水平为 0.95 是指 100 组样本值所得置信区间的实现 中, 约有95个能覆盖 , 而不是一个实现以 0.95 的概率覆盖了 . 并非一个实现以 1- 的概率覆盖了 估计的可靠度： ─ < < )= 1- 要尽可能大. 估计要尽量可靠, 即 P( ─ 要求 以很大的可能被包含在置信区间内 . 要求估计尽量可靠. 估计的精度： 即要求区间置信的长度尽可能短, 估计的精度要尽可能的高： 或能体现该要求的其它准则. 要求置信区间的长度尽可能短. 可靠度与精度是一对矛盾, 一般是在 保证可靠度的条件下尽可能提高精度.
1
(1) 已知方差12,22 (2) 未知方差12,22,但相等!
2
P ( ) 1 ？ ^① 我们选取未知参数的某个估计量 , 根据置信水平1- , 可以 ˆ | ) 1 ， 找到一个正数 , 使得 P ( | ^ 的概率分布就可以确定 . 分布的分位数 ② 只要知道 ˆ | 可以解出 ： ˆ ˆ ③ 由不等式 | 这个不等式就是我们所求的置信区间 ( , ) .
一、 置信区间的概念 定义4 设 是总体 X 的待估参数, X1, X2, „, Xn 是取自总体 X 的样本, 对给定值 0 < <1, 若统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n) 和 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 满足
P ( ) 1 ，
─
一致性 参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数. 使用 起来把握不大. 点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有 反映出这个近似值的误差范围. 而区间估计正好弥补了点估计 的这个缺陷. 为了使估计的结论更可信, 需要引入区间估计.
§7.3
单个正态总体均值与方差的置信区间
譬如，在估计湖中鱼数的问题中, 若我们根据一个实际样本 得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条. 但实际上, N 的真值可能大于 1000 条, 也 可能小于1000条. 一个可以想到的估计办法是：若我们能给 出一个区间,并告诉人们该区间包含未知参数 N的可靠度 (也称置 信系数). 也就是说,给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区 [ • ] 间包含参数 µ 。 这里所说的“可靠程度”是用概率来度 湖中鱼数的真值 量的, 称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1- , 这里 是一个很小的正数.
2. 对于给定的置信水平 1- , 由概率 P ( | U | x ) , 查表求出分布的分位数 x , ( u / 2 ) 1 P ( |U | u /2 ) 2
─
例1 某乡农民在联产承包责任制前人均纯收入 X(单 位:元), 且 X ~ N (µ, 252). 推行联产承包责任制后, 在该乡抽得 ─ n =16 的样本, 得 x =325元, 假设 2 = 25 2 没有变化, 求 的置信水 平为 0. 95 的置信区间. 解 由于 =0.05 , 查正态分布表得 u0. 025 =1. 96 , | X | u / 2 | 325 | 1. 96 325 25 1. 96 325 25 1. 96 / n 25 / 16 16 16 即得置信区间 ( 312. 75 , 337. 25 ). 区间长度为 24. 25 如在上例中取 = 0. 01+ 0. 04 , 由正态分布上侧分位数定义知 0. 01 0. 04 1 ( u0. 01) 1 ( u0. 04 ) 1 ( u0. 01) ( u0. 04 ) 长度为 25. 5 1 P ( u0. 04 U u0. 01 ) 查表知 u0.01 2. 33 , u0. 04 1. 75 325 25 2. 33 325 25 1. 75
n
/2
n
/2
例2: 某厂生产的零件长度 X 服从 N( , 0.04),现从 该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下 (单位:毫米): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.
求:µ 的置信系数为0.95的区间估计。 解：n = 6， = 0.05，z/2 = z0.025 = 1.96，2=0.22 .
例
其中 > 0为未知参数, X1, X2, „, Xn 是取自总体X的一组样本, 求 的极大似然估计量与矩估计量.
( 2) x 1 , 0 x 1； 设总体 X 的密度为 f ( x ; ) 0, 其它,
故有对数似然函数： ln L ( ) n ln ( 2 ) ( 1) ln xi , i 1 n ) n ( d ln L ln xi= 0 , 对 求导并令其为 0 可得似然方程： d 2 i 1 n ˆ 2 n 解得极大似然估计量： ln X i i 1 2 2 1 n n Xi X , (2)EX x f ( x ; ) dx 令 i 1 3 3
置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如, 通常可取置信 水平 = 0.95 或 0.9 等等. 根据一个实际样本, 由给定的置信水平1- , 我们求出一个的 区间 ( , ), 使 如何寻找这种区间？
^ 根据置信水平1- , 可以 我们选取未知参数的某个估计量 , 找到一个正数 , 使得
对于给定的置信水平, 根据估计量U 的分布, 确定 一个区间, 使得 U 取值于该区间的概率为置信水平.
如何根据实际样本, 由给定的置信水平1- , 求出一个区间 ( , ), 使
(一) 单个正态总体置信区间的求法
设 X1, „, Xn 是总体 X ~ 均值和样本方差, 求参数 ① 确定未知参数的 1. 均值 的置信区间 估计量及其函数的分布 2时 (1)已知方差 n ─ 1 X n X i 是 的无偏估计量, 故可用 X 作为 EX 的一个估计量, i 1 X ~ N(0, 1), 由抽样分布定理知 U ─ / n X ~ N( , 2/n), 有了分布就可求出U 取值于任意区间的概率 对给定的置信度 1- , 按标准正态分布的双侧 分位数的定义 P( |U | u /2 ) , 即令 ( u / 2 ) 1 , 查正态分布表可得 u /2 , ② 由分布求分位数 2 | X | u /2 X u / 2 X u / 2 ③ 由u /2确 n n / n 定置信区间 u / 2 , X u / 2 ) , 简记为 X u 2 即得置信区间 ( X n n n
的均值估计方法 —— 用 U X 分布的分位数求 的置信区间. S/ n 但其解决的思路一致. 由于 S 2是 2 的无偏估计量, 故可用 S 替代 的估计量: 由抽样分布定理知 T = X ~ t(n-1), S n 令 P { | T | t 2 (n 1) } 1 ， 查 t 分布表确定上侧 /2 分位数 t / 2(n -1), | X | t / 2 ( n 1) S n X S t 2 ( n 1) X S t 2 ( n 1) n n ( X S t 2 (n 1) , X S t 2 ( n 1 ) )即为 的置信度为 1- 的区间估计. n n
16 16
同一置信水平下的置信区间不唯一, 其长度也不相等. 当然区间长度越短的估计, 精度就越高. 谁是精度最高的？ 由于标准正态分布密度函数的图形是单峰且对称的, 在保持面积不变的条件下, 以对称区间的长度为最短 ! !
x
x
同一置信水平下的置信区间不唯一. 其长度也不相等. 但 ( X u , X u ) 的长度是最短的, 故我们总取它作为置信水平为 1- 的置信区间. 一般地, 在概率密度为单峰且对称的情形下, a =-b 对应的 置信区间的长度为最短. u , X u )可知, l 与 n , 的关系： 由置信区间公式 ( X /2 /2 n n ( x ) 置信区间的长度 l 为: l 2 u / 2 , n 10 若给定 n , l 随着 的减小而增大; u /2)就越大 , 这时 就越小. 则 u /2 越大, l( 就越大 , 20 若给定 , l 随着 n 的增大而减小; 且由于 l 与 n 成反比, 减小的速度并不快, ( u ) 1 / 2 例如, n 由 100 增至 400 时, l 才能减小一半. 2
/ n
n 1 X n Xi i 1
3. 由分位数|U| x 确定置信区间 (─ , )X . u X u /2 /2 ─ n n ( , ) 就是 的 100(1- )％ 的置信区间. ─ u , X u ) ( X /2 /2 总体分布的形式是否已知,是怎样 n n 的类型,至关重要.
二、置信区间的求法 1. 均值 (一) 单个正态总体 2. 方差 2
(1) 已知方差 (2) 未知方差 2
2
1. 均值 1- 2 (二) 两个正态总体
(1) 已知均值 (2) 未知均值
(1) 已知均值 1, 2 2. 方差 2/ 2 1 2 (2) 未知均值 ,