概率论与数理统计_7.3置信区间

一、 置信区间的概念 定义4 设 是总体 X 的待估参数, X1, X2, „, Xn 是取自总体 X 的样本, 对给定值 0 < <1, 若统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n) 和 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 满足
P ( ) 1 ，
/ n
n 1 X n Xi i 1
3. 由分位数|U| x 确定置信区间 (─ , )X . u X u /2 /2 ─ n n ( , ) 就是 的 100(1- )％ 的置信区间. ─ u , X u ) ( X /2 /2 总体分布的形式是否已知,是怎样 n n 的类型,至关重要.
通过计算，得 X 14.95,
所求置信区间为
X z 2 , X z 2 14.79, 15.11 . n n
(2) 未知方差 2 时 —— 实用价值更大 !! 由于 ( X u / 2 , X u / 2 ) 与 有关, 故不能采用已知方差
例
其中 > 0为未知参数, X1, X2, „, Xn 是取自总体X的一组样本, 求 的极大似然估计量与矩估计量.
( 2) x 1 , 0 x 1； 设总体 X 的密度为 f ( x ; ) 0, 其它,
故有对数似然函数： ln L ( ) n ln ( 2 ) ( 1) ln xi , i 1 n ) n ( d ln L ln xi= 0 , 对 求导并令其为 0 可得似然方程： d 2 i 1 n ˆ 2 n 解得极大似然估计量： ln X i i 1 2 2 1 n n Xi X , (2)EX x f ( x ; ) dx 令 i 1 3 3
对于给定的置信水平, 根据估计量U 的分布, 确定 一个区间, 使得 U 取值于该区间的概率为置信水平.
如何根据实际样本, 由给定的置信水平1- , 求出一个区间 ( , ), 使
(一) 单个正态总体置信区间的求法
设 X1, „, Xn 是总体 X ~ 均值和样本方差, 求参数 ① 确定未知参数的 1. 均值 的置信区间 估计量及其函数的分布 2时 (1)已知方差 n ─ 1 X n X i 是 的无偏估计量, 故可用 X 作为 EX 的一个估计量, i 1 X ~ N(0, 1), 由抽样分布定理知 U ─ / n X ~ N( , 2/n), 有了分布就可求出U 取值于任意区间的概率 对给定的置信度 1- , 按标准正态分布的双侧 分位数的定义 P( |U | u /2 ) , 即令 ( u / 2 ) 1 , 查正态分布表可得 u /2 , ② 由分布求分位数 2 | X | u /2 X u / 2 X u / 2 ③ 由u /2确 n n / n 定置信区间 u / 2 , X u / 2 ) , 简记为 X u 2 即得置信区间 ( X n n n
n
/2
n
/2
例2: 某厂生产的零件长度 X 服从 N( , 0.04),现从 该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下 (单位:毫米): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.
求:µ 的置信系数为0.95的区间估计。 解：n = 6， = 0.05，z/2 = z0.025 = 1.96，2=0.22 .
P ( ) 1 ,
ˆ | ) 1 ， P ( | ^ ˆ | 只要知道 的概率分布就可以确定 . 由不等式 | 可以解出 ： ˆ ˆ
这个不等式就是我们所求的置信区间 ( , ) . 下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求 置信区间的方法.
─
一致性 参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数. 使用 起来把握不大. 点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有 反映出这个近似值的误差范围. 而区间估计正好弥补了点估计 的这个缺陷. 为了使估计的结论更可信, 需要引入区间估计.
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§7.3
单个正态总体均值与方差的置信区间
譬如，在估计湖中鱼数的问题中, 若我们根据一个实际样本 得到鱼数 N 的极大似然估计为 1000 条. 但实际上, N 的真值可能大于 1000 条, 也 可能小于1000条. 一个可以想到的估计办法是：若我们能给 出一个区间,并告诉人们该区间包含未知参数 N的可靠度 (也称置 信系数). 也就是说,给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区 [ • ] 间包含参数 µ 。 这里所说的“可靠程度”是用概率来度 湖中鱼数的真值 量的, 称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1- , 这里 是一个很小的正数.
─ 2 N( , )的样本, X , S 2 分别是其样本 、 2 的置信水平为1- 的置信区间.
求置信区间首先要明确问题： 是求什么参数的置信区间? 置信水平 1- 是多少?
一般步骤如下: 1. 寻找未知参数 的一个良好的点估计量 ^ (X1, X2, „, Xn ); X ~ N (0 , 1) 确定待估参数估计量函数 U(^ ) 的分布 ; U
1
(1) 已知方差12,22 (2) 未知方差12,22,但相等!
2
P ( ) 1 ？ ^① 我们选取未知参数的某个估计量 , 根据置信水平1- , 可以 ˆ | ) 1 ， 找到一个正数 , 使得 P ( | ^ 的概率分布就可以确定 . 分布的分位数 ② 只要知道 ˆ | 可以解出 ： ˆ ˆ ③ 由不等式 | 这个不等式就是我们所求的置信区间 ( , ) .
的均值估计方法 —— 用 U X 分布的分位数求 的置信区间. S/ n 但其解决的思路一致. 由于 S 2是 2 的无偏估计量, 故可用 S 替代 的估计量: 由抽样分布定理知 T = X ~ t(n-1), S n 令 P { | T | t 2 (n 1) } 1 ， 查 t 分布表确定上侧 /2 分位数 t / 2(n -1), | X | t / 2 ( n 1) S n X S t 2 ( n 1) X S t 2 ( n 1) n n ( X S t 2 (n 1) , X S t 2 ( n 1 ) )即为 的置信度为 1- 的区间估计. n n
二、置信区间的求法 1. 均值 (一) 单个正态总体 2. 方差 2
(1) 已知方差 (2) 未知方差 2
2
1. 均值 1- 2 (二) 两个正态总体
(1) 已知均值 (2) 未知均值
(1) 已知均值 1, 2 2. 方差 2/ 2 1 2 (2) 未知均值 ,
ˆ 解得矩估计量： 3X 2 . 1 X
0, 当0<x i <1时, L()> 0, 1 i n，
i 1
解(1) 样本的似然函数为 n ( 2)n ( x1 xn ) 1 , L( ) f ( xi ; )
n
xi 0 , i 1, 2, , n ; 其他 .
则称随机区间 ( , )为 的置信水平为 1- 的双侧置信区间 . 和
置信度 置信概率 分别称为置信下限和置信上限. 1） 和 为两个统计量（由样本完全确定的已知函数）；
2）( , ) 是随机区间, 代入样本值所得的普通区间称为置信区 间的实现.
置信水平的概率意义： 置信水平为 0.95 是指 100 组样本值所得置信区间的实现 中, 约有95个能覆盖 , 而不是一个实现以 0.95 的概率覆盖了 . 并非一个实现以 1- 的概率覆盖了 估计的可靠度： ─ < < )= 1- 要尽可能大. 估计要尽量可靠, 即 P( ─ 要求 以很大的可能被包含在置信区间内 . 要求估计尽量可靠. 估计的精度： 即要求区间置信的长度尽可能短, 估计的精度要尽可能的高： 或能体现该要求的其它准则. 要求置信区间的长度尽可能短. 可靠度与精度是一对矛盾, 一般是在 保证可靠度的条件下尽可能提高精度.
2. 对于给定的置信水平 1- , 由概率 P ( | U | x ) , 查表求出分布的分位数 x , ( u / 2 ) 1 P ( |U | u /2 ) 2
─
例1 某乡农民在联产承包责任制前人均纯收入 X(单 位:元), 且 X ~ N (µ, 252). 推行联产承包责任制后, 在该乡抽得 ─ n =16 的样本, 得 x =325元, 假设 2 = 25 2 没有变化, 求 的置信水 平为 0. 95 的置信区间. 解 由于 =0.05 , 查正态分布表得 u0. 025 =1. 96 , | X | u / 2 | 325 | 1. 96 325 25 1. 96 325 25 1. 96 / n 25 / 16 16 16 即得置信区间 ( 312. 75 , 337. 25 ). 区间长度为 24. 25 如在上例中取 = 0. 01+ 0. 04 , 由正态分布上侧分位数定义知 0. 01 0. 04 1 ( u0. 01) 1 ( u0. 04 ) 1 ( u0. 01) ( u0. 04 ) 长度为 25. 5 1 P ( u0. 04 U u0. 01 ) 查表知 u0.01 2. 33 , u0. 04 1. 75 325 25 2. 33 325 25 1. 75
评选标准 无偏性 —— 估计量的期望值等于未知参数的真值.
• 样本 k 阶原点矩是总体 k 阶原点矩 的无偏估计量 ; • 样本方差 S 2 是总体方差 2 的无偏估计量 ; • 无偏估计量的函数未必是无偏估计量
有效性 —— 方差更小的无偏估计量.
• 在 的所有线性无偏估计量中, 样本均值 X 是最有效的.
置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如, 通常可取置信 水平 = 0.95 或 0.9 等等. 根据一个实际样本, 由给定的置信水平1- , 我们求出一个的 区间 ( , ), 使 如何寻找这种区间？
^ 根据置信水平1- , 可以 我们选取未知参数的某个估计量 , 找到一个正数 , 使得
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同一置信水平下的置信区间不唯一, 其长度也不相等. 当然区间长度越短的估计, 精度就越高. 谁是精度最高的？ 由于标准正态分布密度函数的图形是单峰且对称的, 在保持面积不变的条件下, 以对称区间的长度为最短 ! !
x
x
同一置信水平下的置信区间不唯一. 其长度也不相等. 但 ( X u , X u ) 的长度是最短的, 故我们总取它作为置信水平为 1- 的置信区间. 一般地, 在概率密度为单峰且对称的情形下, a =-b 对应的 置信区间的长度为最短. u , X u )可知, l 与 n , 的关系： 由置信区间公式 ( X /2 /2 n n ( x ) 置信区间的长度 l 为: l 2 u / 2 , n 10 若给定 n , l 随着 的减小而增大; u /2)就越大 , 这时 就越小. 则 u /2 越大, l( 就越大 , 20 若给定 , l 随着 n 的增大而减小; 且由于 l 与 n 成反比, 减小的速度并不快, ( u ) 1 / 2 例如, n 由 100 增至 400 时, l 才能减小一半. 2