第一章静电场2

静电场的通量
高斯定理
高斯面
+
+ + + + + + + +
+
+ +
+
+
+ + + + + + +
+
+ +
+ + + + +
r
r
+ + +
E |r R
—— 真空中的静电场 ——
Q 0 r 2 4πε0 r
静电场的通量 高斯定理
E |r R 0
例2 求半径为R、电荷体密度为 的均匀带电球体的电场。
第一步：分析带电体及其场的对称性； 第二步：取合适的高斯面，使其满足
（1）面元法向平行或垂直于电场线； （2）面元法向平行电场线处的场强大小相等；
第三步：计算通过高斯面的电通量
E ds ES E
S
第四步：计算高斯面所包围的净电荷 qi内 第五步：代入高斯面，求场强
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量 高斯定理
静电场的通量
高斯定理
[例3] 将电荷为q 的点电荷放置于半径为R的 圆盘的中轴线上， 距离圆盘中心为z， 求圆盘上的电通量。
q
z
O
R
q z Φ [1 ] 2 2 2ε 0 z R
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量 高斯定理
[例4] 将电荷为q的点电荷放 置于底面半径为R的锥体内， 并位于中轴线上，距离底面 为z，求侧面的电通量。
q

q
z
0
底面
R O
q z [1 ] 2 2 2 0 z R
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量 高斯定理
作业
P238：1.11； 1.12
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量 高斯定理
【电通量】通过电场中任一曲面的电力线数目 1、匀强电场中任一平面的电通量
n

ds
nE
ds

E
(1) E // n
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量
ds
(2) E n θ
高斯定理
2、电场中任一曲面的电通量
dS

E
—— 真空中的静电场 ——
静电场的通量
高斯定理
3、电场中任一闭合曲面的电通量 规定：闭合曲面的“外法向”为“正方向”
dS
电力线穿入
电力线穿出
dS θ
E2
1
E1
表示穿出闭合曲面S的净电力线数
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量 高斯定理
1、高斯定理的表述
+
—— 静电场 ——
高斯定理
2、高斯定理的证明
（2）包围点电荷 的任一闭合曲面
e 的电通量等于
q
0
q
+
S'
s
—— 静电场 ——
高斯定理
2、高Fra Baidu bibliotek定理的证明
（3）证明不包围点电荷的任一闭合曲面S” 的电 通量恒等于零。
e E ds 0
S"
S
q
—— 静电场 ——
C2 R1
a
C1
R2

—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量 高斯定理
【挖补法】 1、先填满空腔
E2 r2 3 0
R1
a
C1
C2
r1
R2
r2
E1
P
E2
E
E1 r1 3 0

2、电场叠加原理
E E1 E 2
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量
例1 求半径为 R的球面均匀带电荷Q时的电场分布。
dE
A
EA
dE
分析电场分布特点 结论一： E 的方向一定沿着径向；
r + dS+
+ + + +
+ +
+
+
dS
结论二：
+ + +
+
+ + r
E A EB EB
B
在以球心为圆心 的球面上，电场强 度大小相同。
—— 真空中的静电场 ——
理学院物理系
一、电场 二、电场强度 1、定义 2、场强的计算
F E q0
E
q 0 r （1）点电荷： 2 4πε0 r qi 0 （2）点电荷系： E r Ei 2 i 4πε0 ri dq 0 （3）连续带电体： E Q 4πε0r 2 r
—— 真空中的静电场 —— 电场 电场强度
三、几种典型带电体的场强公式
1、无限长带电棒外的场强
E
a
2、均匀带电圆环的场强
λ E 2πεo a
qx E 2 2 32 4 πε0 ( x R )
3、无限大带电面的场强
σ E 2ε 0
—— 真空中的静电场 —— 电场 电场强度
3-1- 3
几 种 带 电 体 系 电 场 线 实 验 图
点电荷
平行板电容器
一对等量异号点电荷
静电场的通量
一对等量同号点电荷
高斯定理
—— 真空中的静电场 ——
正、负点电荷
平行板电容器
一对等量异号点电荷
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量
一对等量同号点电荷
高斯定理
【电场线】形象描述电场的一簇虚拟有向曲线。
S
带电体
1 E dS
S
0 ( S内)
q
i
注意：
1、电荷是激发电力线的源，静电场为有源场 2、高斯面上的场强是由全部电荷（面内外电荷） 共同产生。
3、通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电
荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。
4、=0 并不意味着 Es =0；
—— 静电场 —— 高斯定理
dS
EA B
A
EB
1、规定：对电场线上任一点 1）切向 2）疏密
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量
E 的方向； E 的大小。
高斯定理
2、性质：
q
-q
(1) 电场线起自正电荷(或无穷远)，止于负电荷 (或无穷远)，但不会在没有电荷的地方中断； (2) 静电场中的电场线不形成单向闭合线； (3) 任意两条电场线在无电荷处不会相交。
A h G
B
h
G
E A EB
平行于带电平面的平面上， 电场强度大小相同。
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量 高斯定理
E
h h
S
E
σ E 2ε 0
—— 真空中的静电场 ——
静电场的通量
高斯定理
[例5] 在半径为R1,电荷密度为 的均匀带电球体
内，挖去以半径R2的球形空腔。空腔中心C2与带电 球心C1间距为a，且R1 >a> R2。求空腔内任意点的 电场强度。
E
Q 4o R 2
0
—— 真空中的静电场 ——
R
静电场的通量 高斯定理
r
例3 求电荷线密度为 的无限长均匀带电直线的电场。
分析电场分布特点： 结论一：
P
E 的方向一定沿着垂直于
EA
直线的方向
O
Q B
A
结论二：
E A EB
在以直线为轴的圆柱面上， 电场强度大小相同。
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量 高斯定理
例3 求电荷线密度为 的无限长均匀带电直线的电场。 n
l
n
R
E
E
E 2 o r
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量 高斯定理
[例4] 求无限大均匀带电平面的电场分布，已知
平面上电荷面密度是 。
EA
EB
分析电场分布 结论一： E 的方向垂直于带 电平面 结论二：
通过一个任意闭合曲面S的电通量 等于该面 所包围的所有电量的代数和 q 除以 0 ，与闭 合面外的电荷无关。
q7
qn
q1 q2
q3

—— 静电场 ——
1
0 ( S内)
qi
qi
高斯定理
q4
q6 q5
2、高斯定理的证明
（1）包围点电荷q同心球面的电通量都等于 点电荷在该点产生的场强为
q
0
dS
E
通过面元
的电通量为
+
—— 静电场 ——
高斯定理
2、高斯定理的证明
（1）包围点电荷q同心球面的电通量都等于
q
通过面元
的电通量为
0
dS
E
通过整个球面的电通量为
+
—— 静电场 ——
高斯定理
2、高斯定理的证明
（1）包围点电荷q同心球面的电通量都等于
q
0
通过各球面的电力线 总条数相等。
E a 3 0
高斯定理
[例1] 若将电荷为q的点电荷置于立方体的中央， 求每个面上的电通量。
q Φ ε0 Φ每个面
—— 真空中的静电场 ——
q
q 6ε 0
静电场的通量 高斯定理
[例2] 若将电荷为q 的点电荷置于立方体的
一个顶角上，求每个面上的电通量。
e
h
d
g
f
c
b
qa
—— 真空中的静电场 ——
高斯定理
（4）多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的 电通量的代数和。
q1
qN
q3
S
q4
q2
—— 静电场 —— 高斯定理
1 E dS
S
再推广到电荷连续分布情况：
0 ( S内)
q
i
1 E d S dV e 0 S
—— 静电场 —— 高斯定理
r
r
3 R E |r R r 3 3 0 r
—— 真空中的静电场 —— 静电场的通量
E |r R r 3 0
高斯定理
例2 求半径为R、电荷体密度为 的均匀带电球体的电场。
r R
E
Qr 4 o R 3 Q 4o r 2
r R
r R