梯形中位线的推广及应用

梯形中位线的推广及应用
一、梯形中位线的性质定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。

二、梯形中位线性质定理的推广公式：如图在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=a,CD=b(a ＞b).若EF ∥AB,EF 到CD 与AB 的
距离之比为m ∶n ，则可证明出：ma nb
EF m n
+=+
三、推广公式的证明过程：
证明：过O 作OH ⊥AB 于H ，分别交CD 、EF 于M 、N 点。

设OM=x ，由已知
MN m
NH n
=,设MN=my ， NH=ny ∵在△OAB 中：AB ∥CD, AB=a,CD=b,∴DC OM
AB OH
=, ∴
b x
a x my ny
=++ ①，又∵EF ∥AB ，∴EF ON AB OH =， ∴
EF x my
a x my ny
+=++ ② 由①得：bmy bny x a b +=
-，代入②式化简得：ma nb
EF m n
+=+
由此可以看出，梯形中位线的性质定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。

它是m ∶n=1∶1时，代入
ma nb EF m n +=+=2
a b +的情况。

四、推广公式的应用：
例1、如上图所示，设△OAB 、△OCD 的面积分别S 1、S 2，EF ∥AB 且EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，求△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系式。

解析：由三的证明过程知道了梯形中位线定理的推广公式，利用此公式来寻找三面积之间所蕴含的关系式。

由CD ∥EF ∥AB ，易知：
01EF
S a S =，02EF S b S =，∴10EF S a S = ，2
EF S b S = 代入ma nb EF m n +=
+中，可得12
0m S n S S m n
+=+ 例2、如图，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ，
AB=3,CD=1,则梯形的中位线长为___________，
若EF ∥AB ，且
1
3
DE EA =，则EF 的长为___________.
简答：由AB∥CD，EF∥AB，易知
1
3
DE
EA
=时，EF到CD与AB的距离之比为m∶
n = 1
3
，代入
ma nb
EF
m n
+
=
+
，得
13313
132
EF
⨯+⨯
==
+
，故答案为2，
3
2。