5.3三维转动群的表示

j 2m j j = i −2 m ' ( −1) m −m ' Dm = ( −1) 2( m −m ') Dm ' mi ' m = Dm ' m ， j j j Dm ' m 是 Dm ' m ' 的等价表示，以后我们用 Dm ' m 作为转动群表示。 j j 2j j 下面我们讨论 Dm ' m 与 R 之间的关系：由于 D ( u ) = ( −1) D ( − u ) ，当 j = l （整数）时，
r r 算符应有 R(m, ϕ ) = MR(n , ϕ ) M −1 ， 所以绕转轴转相同角度的群元属于同一类， 做 M 变换时，
它们的特征标用 χ j (ϕ ) 来表示， 我们选最简单的表示矩阵来计算它。 绕 z 轴转 ϕ 角的表示矩 阵元
⎛ −iα 2 ⎜e 若取 u1 (α ) = ⎜ ⎜ 0 ⎝ ⎞ 0 ⎟ , 则由 h′ = u1 (α ) hu −1 (α ) ，即 α ⎟ i e2⎟ ⎠ ⎞ 0 ⎟⎛ z α ⎟⎜ i ⎝ x + iy e2⎟ ⎠ ⎛ iα x − iy ⎞ ⎜ e 2 ⎜ −z ⎟ ⎠⎜ ⎝ 0 ⎞ 0 ⎟ ， α ⎟ −i 2 ⎟ e ⎠
这 R(α , β , γ ) 是相同的转动。所以 SU(2) 群 u 与转动群 R 是二对一的同态关系。 2. 三维转动群的表示
R 与 SU(2) 同态，因此 D j 也是 R 的表示，与 R(α , β , γ ) 同态的 u(α , β , γ ) 为
a=e
−i
α +γ
2
cos
β
2பைடு நூலகம்
， b = −e
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我们可以通过幺正矩阵 M μ v = δ μ v i −2 μ 的相似变换去掉因子 ( −1)m −m ' ，
−1 −2 m ' ( MD j ' M −1 ) m ' m = ∑ M m ' v Dvjμ ' M μ (−1) μ −v Dvjμ δ μ m (−1) −2 μ m = ∑ δ m 'vi vμ vμ
由 0 ≤ ξ ≤ 2π , 0 ≤ η ≤
, 0 ≤ ζ ≤ 2π 得知 0 ≤ α ≤ 4π , 0 ≤ β ≤ π , 0 ≤ γ ≤ 2π 。
但对空间转动来说 0 ≤ α ≤ 2π 与 0 ≤ α ≤ 4π 是相同的，即 R( z, θ ) = R( z,2π + θ ) ， 0 ≤ θ ≤ 2π ， 所以由此可以看出一个 R 对应着两个 u 。 (2) u 和 R 的同态关系（对应怎样的两个 u ）
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§5.3 三维转动群的表示
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v r v r v r v r 设 u1 , u2 对应着相同的 R ,则有 u1σ ⋅ ru1−1 = u2σ ⋅ ru2 −1 ，则 u2 −1u1σ ⋅ r = σ ⋅ ru2 −1u1 ，
而 u2 −1u1 也是 SU(2) 的一个群元，因此它也是一个 det(u2 −1u1 ) = 1 的矩阵，即单（么）模矩阵，
−e e
i
−i
α −γ
2
α +γ
2
⎟ 2⎟ β ⎟ cos ⎟ 2 ⎠
sin
β⎞
与 u 的一般表达式 比较得出：
⎛ e − iξ cosη e − iζ sin η ⎞ u (ξ , ζ ,η ) = ⎜ iζ ⎟ iξ ⎝ e sin η e cosη ⎠
α = ξ +ζ ,
π
2
β = 2η ,
γ = ξ −ζ .
因此对一般转动 R(α , β , γ ) = R( z, α ) R( y, β ) R( z, γ ), 与之对应的 SU(2) 群元为
+γ ⎛ −iα 2 β e cos ⎜ 2 u(α , β , γ ) = u1 (α )u2 ( β )u1 (γ ) = ⎜ α −γ ⎜ i 2 β sin ⎜e 2 ⎝
∴ b = c = 0 。 再由
v r ⎛1
0⎞
⎛0 1⎞
⎛a b ⎞
⎛ a 0 ⎞⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 1⎞⎛ a 0 ⎞ ⎜ 0 d ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ = ⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 0 d ⎟ 得出： a = d , ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
则
∴
det M = a 2 = 1, a = ±1,
⎛1 0⎞ M = ±⎜ ⎟, 0 1 ⎝ ⎠
⋅e −im 'α e −imγ (cos ) 2 j + m '− m− 2 n (sin )2 n + m− m ' ， 2 2
为了和其它公式相一致，令：
j m −m ' j Dm Dm ' m ' → ( −1) 'm ，
β
β
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§5.3 三维转动群的表示
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β ⎛ ⎜ cos 2 若取 u2 ( β ) = ⎜ ⎜ sin β ⎜ ⎝ 2
− sin
2 ⎟ ,则可得出 ⎟ β ⎟ cos ⎟ 2 ⎠
β⎞
z′ = z cos β − x sin β , x′ = z sin β + x cos β , y′ = y, 所以
u2 ( β ) → R ( y , β ) 。
u → −u ， α = ξ + ζ → α + 2π ， β = 2η → β ， γ = ξ − ζ → γ ， 由 于 R(α , β , γ ) → u ， 则
R(α + 2π , β , γ ) → −u ， 而 R(α , β , γ ) 和 R(α + 2π , β , γ ) 在物理上是两个完全相同的转动， 所以
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§5.3 三维转动群的表示
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§5.3 三维转动群的表示 1. 三维转动群与 SU(2) 群的关系 （1） R 和 u 的对应关系 三维转动群与 SU(2) 群的群元都是由三参量决定的群元，他们之间存在某种对应关系。 我们首先将三维位形空间矢量与 2 × 2 矩阵联系起来。取三个迹为零的厄米矩阵
⎧→ u → ⎫ j j R⎨ ⎬ D (u ) ，这时 R 与 D 是一一对应的，因此是确实表示。当 j 为半奇数时， ⎩→ −u → ⎭ → D j (u ) ⎧→ u R⎨ ，则每个物理上的转动对应两个表示矩阵，称为双值表示。这 j j ⎩→ −u → D (−u ) = − D (u )
有时对讨论问题带来很大的不便。由前面讨论可知，当 ξ → ξ + π ， ζ → ζ + π ，η → η 时，
σx = ⎜ ⎟ ,σ y = ⎜ ⎝1 0⎠ ⎝i
令
⎛ 0 −i ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎟, ⎟ ,σ z = ⎜ 0⎠ ⎝ 0 −1⎠ v v v v σ = σx1 +σ y 2 +σz 3 ， ⎛0 1⎞
即 Pauli 矩阵，
v 将它与三维位形空间一点矢径 r 联系起来，设
⎛ z v v h = σ ⋅ r = xσ x + yσ y + zσ y = ⎜ ⎝ x + iy
σ ⋅r = ⎜ ⎟ ， 设 单 模 矩 阵 M 与 它 们 对 易 ， 令 M= ⎜ ⎟ ，应有 ⎟和⎜ ⎝1 0⎠ ⎝c d⎠ ⎝ 0 −1⎠
⎛ a b ⎞⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ a b ⎞ det M = ad − bc = 1 ，而 ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ，得出： b = −b, c = −c ⎝ c d ⎠⎝ 0 −1⎠ ⎝ 0 −1⎠⎝ c d ⎠
⎧→ u 有R⎨ 。 为了解决双值表示问题， 我们令 R(α , β , γ ) 和 R(α + 2π , β , γ ) 是两个不同的群元， u → − ⎩
由它们构成的群的群元比原来扩大了一倍，这个群用 R *表示，它是 R 群的复盖群，而 R * 与 u 是一同构关系，解决了双值表示问题。 特征标对群表示的讨论有重要意义，但对任意表示 D j (α , β , γ ) 求出其特征标是很复杂 的。但同类群元有相同特征标。对转动群来说，每个群元又可用转轴的方向余弦和转角决 r r r r 定。设 R(n, ϕ ) 为绕 n 轴绕 ϕ 角的转动。若 M 是一个转动，它将 n 轴转到 m 轴，因此当空间
−i
α −γ
2
sin
β
2
， 将此式代入 D j ( a, b) ，即可得到 R 的表示矩阵元
j m−m ' Dm ∑ (−1)n ' m '(α , β , γ ) = ( −1) n
( j − m)!( j + m)!( j − m ')!( j + m ')! ( j + m '− n)!( j − m − n)!n !(n + m − m ')!
r r v r v r v v (u1u2 )σ ⋅ r (u1u2 ) −1 = u1 (u2σ ⋅ ru2 −1 )u1−1 = u1σ ⋅ Ru2 ru1−1 = σ ⋅ Ru1 Ru2 r ，
因此， u1 → Ru1 ， u2 → Ru2 ， u1u2 → Ru1 Ru2 ，所以它们是同态关系。
⎛ −iα ′ ′ − z ' x iy ⎛ ⎞ ⎜e 2 = ⎜ x′ + iy ′ ⎟ − z′ ⎠ ⎜ ⎝ ⎜ 0 ⎝
可得出：
x′ = x cos α − y sin α ， y′ = x sin α + y cos α ， z′ = z ，
这是转动 R ( z , α ) 操作的结果，所以
u1 (α ) → R ( z , α ) 。
其中， z′ = (a*a − b*b) z + a*b( x + iy ) + b*a( x − iy ), ∵ 因此
a*a + b*b = 1 ，可得
x′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 = x 2 + y 2 + z 2 ，
r r r r v r h′ = σ ⋅ r ' 。这相当于将三维位形空间进行旋转，将 r 转到 r ' ，即 r ' = Ru r 。这个旋转
对 应 着 SU(2) 群 中 的 群 元 u 。 旋 转 结 果 应 有 r 2 = r '2 ， 这 由
− det h = x 2 + y 2 + z 2 , − det h′ = x′2 + y′2 + z′2 , det h′ = det(uhu −1 ) = det(u −1uh) = det h 可以看出。
x − iy ⎞ ⎟， −z ⎠
显然 h 也是一个迹为零的厄米矩阵，其矩阵元由位形空间一点的位置所决定。当我们用
SU(2) 群元对它进行相似变换时得到一个新矩阵：
显然有：
h′+ = u −1+ h + u + = uhu −1 = h′,
h′ = uhu −1 ,
(厄米阵)
Trace h′ = Trace(uhu −1 ) = Tr (u −1uh) = Tr (h) = 0,
所以 h′ 也是一个迹为零的厄米矩阵。变换后的 h′ 各矩阵元仍是空间位置的函数，
b ⎞⎛ z ⎛ a h′ = ⎜ * * ⎟⎜ ⎝ −b a ⎠ ⎝ x + iy
x − iy ⎞ ⎛ a * ⎟⎜ * −z ⎠ ⎝b
x′ − iy ′ ⎞ −b ⎞ ⎛ z ′ ⎟=⎜ ′ ⎟, − z′ ⎠ a ⎠ ⎝ x + iy ′ x′ − iy′ = −2abz − b 2 ( x + iy ) + a 2 ( x − iy ),
r v r v r 而 σ ⋅ r 是个迹为零的厄米矩阵。当 r 为任意时， σ ⋅ r 为任意一个迹为零的厄米矩阵，上式
表明 u2 −1u1 与一切迹为零的厄米矩阵对易。 我们可以证明和一切迹为零的厄米矩阵对易的单 模矩阵只能是单位矩阵的常数倍，常数只能是 ±1 。 证明：既然和一切迹为零的厄米矩阵对易，我们取其中两个，
证毕。
由此可以看出 u2 −1u1 = +1 时，则应有： u2 = u1 ；当 u2 −1u1 = −1 时，则有 u2 = −u1 。因此两 个 导 致 相 同 转 动 R 的 SU(2) 群 元 为 u 和 −u ， 而 且 只 有 这 两 个 。 对 u 的 一 般 表 达 式 中
ξ →ξ +π ， ζ → ζ +π ， β →β， 它对应转动矩阵中 α → α + 2π ， η → η 时， u → −u ， γ →γ ，
这样我们就把 SU(2) 群元中每个 u 与三维空间位置的一个转动 Ru 联系起来。这种联系是同 态关系。
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证明：设 则
r r v r v v r v u1σ ⋅ ru1−1 = σ ⋅ Ru1 r ， u2σ ⋅ ru2 −1 = σ ⋅ Ru2 r ，