最新届人教A版理科数学课时试题及解析(51)直线与圆锥曲线的位置关系

课时作业(五十一) [第51讲 直线与圆锥曲线的位置关系]

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身

1． 已知椭圆C ：x 24＋y 2

b

＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C

恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )

A ．[1,4)

B ．[1，＋∞)

C ．[1,4)∪(4，＋∞)

D ．(4，＋∞)

2．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条

3．直线x －y ＋3＝0与曲线y 29－x |x |

4

＝1的交点个数是( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

4． 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫－153，－1

B.⎝

⎛⎭⎫0，

153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153

，

153 能力提升

5．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →

与x

轴正向的夹角为60°，则|OA →

|为( )

A.21p 4

B.21p 2

C.136p

D.1336

p 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )

A ．有且仅有一条

B ．有且仅有两条

C ．有无穷多条

D ．不存在

7． 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝2

3

，A ，B 是椭圆上关于x 、y 轴均不对称的两点，

线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)．设AB 的中点为C (x 0，y 0)，则x 0的值为( )

A.95

B.94

C.49

D.59

8．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )

A.13

B.23

C.23

D.223

9． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点．则cos ∠AFB ＝( )

A.45

B.35

C ．－35

D ．－45

10．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．

11．过点(0,2)的双曲线x 2－y 2＝2的切线方程是________．

12．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．

13．已知双曲线x 29－y 2

16＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平

分线交x 轴于点M ，则|MF |

|PQ |

＝________.

14．(10分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的定点M (m,0)(m >0)，过点M 作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．

(1)试证明A ，B 两点的纵坐标之积为定值；

(2)若点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，证明：直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．

15．(13分) P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是

双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为1

5

.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为

双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →

，求λ的值．

难点突破

16．(12分) 已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1.

(1)求曲线C 的方程；

(2)过点P (2,2)的直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，设AP →＝λPB →

，当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点)，求λ的值．

课时作业(五十一)

【基础热身】

1．C [解析] 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.

2．C [解析] 点(2，0)恰是双曲线的一个顶点，过该点仅有一条直线与双曲线相切，而过该点与双曲线的渐近线平行的两条直线也与双曲线仅有一个公共点，故这样的直线有3条．

3．B [解析] 当x ≥0时，方程是y 29－x 24＝1，当x <0时，方程是y 29＋x 2

4

＝1，作图即知．

4．A [解析] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋2，

x 2－y 2＝6，

消去y 后得 (1－k 2)x 2－4kx －10＝0，设交点坐标

为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋40(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝4k

1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2

>0，解不等式组得－15

3

【能力提升】

5．B [解析] 过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p ，

∴OA ＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212

p . 6．B [解析] 方法1：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB 的长为x A ＋x B ＋p ＝7，故这样的直线有且仅有两条．

方法二：①当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2，不合题意． ②当该直线的斜率存在时，设该直线方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得

k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2

＝0，由x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5⇒k 2＝43⇒k ＝±233

.故这样的直线有且仅有

两条．

7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由于点A ，B 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，所以x 21

a

2

＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 2

2

b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2

＝0.设直线AB 的斜率为k ，则得k ＝－b 2x 0a 2y 0，从而线段AB 的垂直平分线的斜率为a 2y 0

b 2x 0，线段AB 的垂直平分线的方程为

y －y 0＝a 2y 0b 2x 0(x －x 0)．由于线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，所以0－y 0＝a 2y 0

b 2x 0

(1－

x 0)，解得x 0＝a

2a 2－b 2

.

a 2a 2－

b 2＝a 2

c 2＝⎝⎛⎭

⎫1e 2.所以x 0

＝9

4. 8．D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线y ＝k (x ＋2)与抛物线y 2＝8x 联立，消掉y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.

根据韦达定理x 1x 2＝4，(1)．

根据焦点半径公式，有|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，由|F A |＝2|FB |，得x 1＝2x 2＋2，(2)，

由(1)(2)解得x 2＝1(负值舍去)，故点B 的坐标为(1,22)，将其代入y ＝k (x ＋2)(k >0)得k ＝22

3

.

9．D [解析] 法一：联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或4，

得A (1，－2)，B (4,4)，则|AF |＝2，|BF |＝5，|AB |＝35，由余弦定理得cos ∠AFB ＝－4

5

，故

选D.

法二：联立方程⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝2x －4，

y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，所以交点坐标分别为A (1，－2)，B (4,4)，