物理竞赛课件8：功与能
合集下载
高二物理竞赛功和能课件
dA F dr ——元功
t+dt
b
在SI制中, 功的单位是焦耳, 符号是J: 1J＝1N·m
所做的总功:
t
drΒιβλιοθήκη rrFAab ab F dr
a
o
ab F dr cos ab FcosdS
3
合力做的功：
Aab ab F dr
若有多个力同时作用在质点上，则
Aab ab F dr ab(F1 F2 ...) dr
时间内，外力对质点作的功.
解法1:
ax
d2 x dt 2
0，
ay
d2 y dt 2
1，
Fx max 0，Fy may 0.5，
由功的定义：W =
F dr =
4
Fydy
0.5tdt 3J
2
解法2:
vx
dx dt
5，v y
dy dt
t，
v
v
2 x
v
2 y
t 2 25
应用动能定理，得
* 弹力的功
F
弹力是变力
F kx
0
xb Aab ? xa
x
Aab
xb F dx
xa
xb kxdx
xa
(
1 2
kxb2
1 2
kxa2
)令
Ep
1 kx2 2
是位置的函数, “弹性势能”
Aab (Epb Epa ) E p
13
* 重力的功 可以证明：
y
Aab (mgyb mgya )
8
上节课内容回顾
质点的角动量：
L
r
P
力矩：M rF
角动量定理： M dL
功和能知识点总结PPT
功和能知识点总结PPT一、功的概念及公式1.1 功的概念功是描述力对物体作用的效果的物理量，是衡量力的作用效果的大小。
当力使物体发生位移时，我们就说力对物体做了功。
1.2 功的公式在恒力作用下，物体在沿着力方向位移s的过程中所做的功W可以用下面的公式表示：\[ W = F \cdot s \cdot \cos\theta \]其中，F为作用力的大小，s为物体的位移，\(\theta\)为作用力与位移方向夹角的余弦值。
二、能的概念及分类2.1 能的概念能是物体由于自身的性质或者受到外力的作用而具有的做功能力，是物体的一种属性，是描写物体在某一过程中所具有的状态的物理量。
2.2 能的分类根据能量的形式和来源，能可以分为以下两类：（1）动能：物体由于运动而具有的能量。
（2）势能：物体由于位置关系而具有的能量。
三、能的转化和守恒3.1 能的转化在自然界和人类社会中，能的形式经常发生转化。
动能可以转化为势能，势能也可以转化为动能，而且能够相互转化。
3.2 能的守恒能量守恒定律是自然界中最基本的规律之一。
它表明在一个封闭系统中，系统内所有能量的代数和始终保持不变。
四、功率概念及计算4.1 功率的概念功率是描述力的作用速度的物理量，是衡量单位时间内所做功的大小。
公式如下：\[ P = \frac{W}{t} \]其中，P为功率，W为作用力在时间t内所做的功。
4.2 功率的计算在恒力作用下，力F对物体做功的功率可以用下面的公式表示：\[ P = F \cdot \cos\theta \cdot v \]其中，F为作用力的大小，v为物体的速度，\(\theta\)为作用力与速度方向夹角的余弦值。
五、应用实例5.1 计算功的应用在机械工程中，我们经常需要计算物体在受力作用下做的功，以便评估机械的性能。
5.2 能的转化应用在能源领域，我们需要掌握能量的转化原理，以便合理利用能源资源，减少能源消耗。
5.3 功率的应用在电气工程中，我们需要计算电路中的功率，以便设计安全可靠的电器设备。
全国中学生 物理竞赛课件8：功与能共42页
1、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
全国中学生 物理竞赛课件8：功与能
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
全国中学生 物理竞赛课件8：功与能
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
功和能课件pptx
能源运输安全
02
能源的运输需要安全的运输路线和运输方式，如果运输过程中
出现意外或被中断，就会对国家的能源供应造成影响。
能源使用安全
03
能源的使用需要安全的使用方式和安全的使用设施，如果使用
不当或设施老化，就会导致能源事故的发生。
THANK YOU.
生态破坏
大规模的能源开发和利用，特别是核能和水电，会对生 态环境造成破坏和影响。
发展可再生能源的必要性
可持续发展
可再生能源如太阳能、风能、水能等，具有清洁、可再生的特点 ，能够减少对环境的污染和破坏，是实现可持续发展的重要途径 之一。
能源安全
发展可再生能源可以减少对进口能源的依赖，提高国家的能源安 全性。
03
能的概念和分类
能的概念
能是物体做功的能力，是物体 由于运动或受到压力而具有的 能量。
能是标量，只有大小没有方向 。
能是一个相对量，其大小与参 考系的选择有关。
能的分类
1 2
动能
物体由于运动而具有的能。与物体的质量和速 度的平方成正比。
势能
物体由于相对位置或状态而具有的能。例如重 力势能、弹性势能等。
常见的能量转化形式
例如机械能转化为热能、电能转化为机械能、化学能转化为热能等。
能量转化的特点
能量转化是有方向性的，只能从一种形式转化为另一种形式，而不能凭空产生或消失。
能量守恒定律
定义
能量守恒定律是指在一个封闭系 统中，系统的总能量保持不变。
能量守恒定律的表述
能量既不能凭空产生，也不能凭 空消失，它只能从一种形式转化 为另一种形式，或者从一个物体 传递给另一个物体，在转化和转 移的过程中其总量不变。
05
物理功与能优秀课件
fd r fd r A ACB ADB
C
fd r fd r fd r D
l
ACBBDA
B
fd r fd r
ACB ADB
Alfdr0
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力
对它所作的功为零——保守力的第二种表述
三 势能
由于保守力作功只决定于系统的始末位置， 对于保守力系统，可以引进只与位置有关的势
Ep E Ek
Ep E Ek
EO
Ek EP
x
h x EP
O
h1
EP
x1 O x1
Ep
系统在每一位置时的动能的大小可方便地在图 上显示出来。因动能不可能为负值，只有符合 的运动才可能发生，所以，根据势能曲线的形 状可以讨论物体的运动。
质点系的动能定理
考虑两质点组成一个系统
F1
m1
第1个物体受合力为:内力 f12
能Ep。
以保守力相互作用的物体系统，相对位置变 动时，保守力所做的功等于系统势能的增量的 负值。
B
A A B A fd r ( E p B E p) A E P
若选末态为势能零点 2.常见的势能函数
势
EPA
能
参 f
考d点r
A
引力的功
AGM rAmGM rB m
引力势能 EpGMr m
AeAinE
质点系的机械能的增量等于外力与非保 守内力作功之和．——质点系的功能原理
讨论
功能原理表明,一个系统的机械能的变化,是 由于外力和非保守内力作功的结果
单个物体无内力可言，物体动能的增量 为所有力作功的总和；（无势能可言）．
取系统为研究对象，如果计算了保守内力 作功，不必再考虑系统势能的变化；而考虑 了势能的变化则不必计算保守内力的作功；
高二物理竞赛第章功和能课件
志不立，如无舵这舟，无衔之马，漂荡奔逸，终亦何所底乎。
m1
d A Fd r Fd r 男子千年志，吾生未有涯。
死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何!
1 2 死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何!
1
2 1 2
成功往往偏向于有准备的人
r1
r21
F12
r2
F 21
d r2
m2
F F 鱼跳龙门往上游。
少年心事当拿云。
功是过程量,与参考系有关
功的单位为焦耳J
三、功率：功对时间的变换率（力做功的快慢）
P d A F d r Fv
dt
dt
已知功率可求功： A t2 P d t t1
功率的单位为瓦特W
四、一对力的功 (作用力与反作用力) d r1
m 、m 组成一个封闭系统 追踪着鹿的猎人是看不见山的。
人生不得行胸1怀，虽寿百2岁犹为无也。
2、小球与木板的弹性碰撞，竖直方向动量守恒，机械
能守恒： m0vy m0vymv 1 2m 0(vx2vy2)1 2m 0(vx2vy2)1 2m2v
3、碰后，将木板、弹簧、地球看成一个系统，机械能守恒， 弹簧弹性势能和重力势能的零点都取在弹簧原长处：
且：1 2 mm g2 v kx1 2 1 k1 2 xFm ma1 xg k1 2 xx2k2 2 x mgm m202 m g 0mx2mgkh
外力功 内力功
m1
F外 i
m2
m F 内 i i
对质点系，有：
A 外 i A 内 i E k i2E k i1A内 不一定为零
i
i
i
i
A外A 内Ek2Ek1 质点系的动能定理
表示：所有外力对质点系所做的功与内 力所做功之和等于质点系动能的增量。
m1
d A Fd r Fd r 男子千年志，吾生未有涯。
死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何!
1 2 死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何!
1
2 1 2
成功往往偏向于有准备的人
r1
r21
F12
r2
F 21
d r2
m2
F F 鱼跳龙门往上游。
少年心事当拿云。
功是过程量,与参考系有关
功的单位为焦耳J
三、功率：功对时间的变换率（力做功的快慢）
P d A F d r Fv
dt
dt
已知功率可求功： A t2 P d t t1
功率的单位为瓦特W
四、一对力的功 (作用力与反作用力) d r1
m 、m 组成一个封闭系统 追踪着鹿的猎人是看不见山的。
人生不得行胸1怀，虽寿百2岁犹为无也。
2、小球与木板的弹性碰撞，竖直方向动量守恒，机械
能守恒： m0vy m0vymv 1 2m 0(vx2vy2)1 2m 0(vx2vy2)1 2m2v
3、碰后，将木板、弹簧、地球看成一个系统，机械能守恒， 弹簧弹性势能和重力势能的零点都取在弹簧原长处：
且：1 2 mm g2 v kx1 2 1 k1 2 xFm ma1 xg k1 2 xx2k2 2 x mgm m202 m g 0mx2mgkh
外力功 内力功
m1
F外 i
m2
m F 内 i i
对质点系，有：
A 外 i A 内 i E k i2E k i1A内 不一定为零
i
i
i
i
A外A 内Ek2Ek1 质点系的动能定理
表示：所有外力对质点系所做的功与内 力所做功之和等于质点系动能的增量。
全国中学生 物理竞赛课件8：功与能共42页文档
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
全国中学生 物理竞赛课件8： 功与能
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
Hale Waihona Puke
15、机会是不守纪律的。——雨果
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
全国中学生 物理竞赛课件8： 功与能
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
Hale Waihona Puke
功和能ppt课件.ppt
末了位置
b
b( xb , yb , zb )
Wab
b
F dr
a
a mgk dxi dyj dzk
z
za a
r
zb
b
mg
O
y
b a
mgdz
mg
za
zb
x
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与 质点经过的具体路径无关。
2. 万有引力作功
设质量为M的质点固 a m
c
dr
质力点F受对质F1点, F做2 ,的,功FN应作为用沿路径 L 由A 运动到B时，合
B B
WAB F • dr
F1 F2 FN
• dr
A
A
B
F1
• dr
B
F2
•
dr
B
FN
• dr
A
A
A
W1AB W2 AB WNAB
结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做的功的代 数和。
E pa E pb a F dr Wab
Wab (E pb E pa ) E p
保守力做功在数值上等于系统势能的减少。
说明：（1）势能是一个系统的属性。
（2）势能的大小只有相对的意义，相对 于势能的零点而言。
（3）势能的零点可以任意选取。
设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点 r 的势能为：
功和能
研究：力的空间积累作用 基础：牛顿三定律
1 功和功率
2 动能和动能定理
3 保守力和非保守力 势能
4 机械能守恒定律
5 碰撞
矢量的标积（点积、内积） A• B Ax Bx Ay By Az Bz
A• B AB cos 为A与B的 夹 角
物理功和能优秀课件
l f dr 0
势能(potential en保er守gy力) 作功仅仅与物体始、末位置 有关，我们可引入位置的状态函数--势能。
b
a f dr Eap Ebp E p
保守力所做的功等于势能的减少。
通常我们将参考点的势能取作零势 能。将空间一点与参考点的势能差称 作该点的势能。
物理功和能
说明：
1.功是标量，只有大小正负之分。
0 ,
2
,
2
W 0, W 0,
力对物体作正功； 力对物体不作功；
, W 0,
2
力对物体作负功。
2.多个力对物体作功，等于各力对物体作
功的代数和。
3.明确位移是力的作用点的位移。
例：子弹穿过木
f'
块过程
f
s
l
4.一对作用力和反作用力大小相等方向相
反，但这对力作功的总和不一定为0。
5.作功与参照系有关。
例如：传送带将箱子从低处运到高处，地面 上的人看摩擦力作功了，而站在传送带上的 人看摩擦力没有作功。
f静
2、变力的功
在实际问题中经常遇到的是变力作功问 题。如何处理变力作功问题？
解决方法：
b
(1).无限分割路径；
(2).以直线段代替曲线段；
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
1 m( v0 22
)2
1 2
mv0
2
3 8
mv0
2
(2)因摩擦力
f mg
W
3 8
mv0
2
方向与运动方向相反
பைடு நூலகம்
2R
W 0 mgds
mg
2R
《物理功与能》课件
04
生活中的功与能
汽车发动机的工作原理
总结词
汽车发动机的工作原理是能量转化的重要实例，它通过燃料燃烧产生的热能转化为机械能，驱动汽车 行驶。
详细描述
汽车发动机的工作原理主要是基于热力学和机械学的原理。燃料在发动机内部燃烧产生高温高压气体 ，推动活塞运动，进而转化为机械能，使汽车得以行驶。在这个过程中，化学能转化为热能，再转化 为机械能，实现了能量的转化和利用。
功能原理
总结词
描述机械能与其他形式的能量转换的 关系。
详细描述
功能原理指出，在一个封闭系统中， 所有外力对系统所做的功等于系统机 械能的增加量。这意味着机械能可以 转化为其他形式的能量，反之亦然。
机械能守恒定律
总结词
描述在没有外力做功的情况下，系统内机械能保持不变的规 律。
详细描述
机械能守恒定律指出，在一个没有外力做功或只有重力和弹 力做功的系统内，系统的动能和势能之和保持不变。即，系 统的机械能总量保持不变。
滑轮组的功与能转化
总结词
滑轮组是利用定滑轮和动滑轮组成的装置，通过改变 力的方向和大小实现功与能的转化。
详细描述
滑轮组的工作原理主要是基于力学和机械学的原理。定 滑轮可以改变力的方向，动滑轮可以改变力的大小，通 过将定滑轮和动滑轮组合起来，可以实现更复杂的力的 变换和功与能的转化。比如在建筑工地上的起重机，通 过滑轮组将人的拉力放大，实现重物的提升；在日常生 活中，我们也经常使用滑轮组来提升重物，如晾衣架、 窗帘等。这些实例中，滑轮组都起到了关键的作用，实 现了功与能的转化和利用。
02 步骤2
将小车放在水平面上，用测力 计拉动小车，使小车匀速பைடு நூலகம்动 。记录测力计的读数和匀速运 动的速度。
高中物理奥林匹克竞赛专题——功和能(共62张PPT)
地面为势能零点
1)重力势能 EP mgh 末态为势能零点
2)弹性势能
EP
1 2
kx2
以弹簧原长为 势能零点
3)万有引力势能
EP
G Mm r
以无限远为 势能零点
讨论 1）只有保守力才有相应的势能 2）势能属于有保守力作用的体系（质点系）
(对应一对内力作功之和) 3） 势能与参考系无关(相对位移) 4）质点系的内力
EA mgR
EB
1mv2 2
A
R
o
f
n
A阻EBEA
1mv2 mgR
2
B
可以看出，用功能原理计算最简单。
二、机械能守恒定律
n
n
由质点系的功能原理 Ai外 Ai内非 E
i1
i1
n
n
机械能守恒条件
Ai外 0 ,
Ai内非 0
i1
i1
E0 即 EE00
保守内力 (作功与路径无关) 非保守内力 (作功与路径有关) 耗散力
例1 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
1）沿圆弧；2）沿直径
解：
Aab
b
fr
dr
b
fr ds
圆弧 a
a
(b)
f r d s mgR
三、能量守恒与转换定律
各种形式的能量是可以相互转换的， 但是不论如何转换，能量既不能产生，也 不能消灭，只能从一种形式转换成另一种 形式，这一结论叫做能量守恒定律。
例2：一物体质量为 2kg，以初速 3.0m/s 从斜面的点 A 处下滑，它与斜面之间的摩 擦力为 8N，到达点 B 时，压缩弹簧20cm 达到C点停止，然后又被弹送回去。求弹 簧的劲度系数k和物体最后能到达的高度h’。 设弹簧系统的质量略去不计。
1)重力势能 EP mgh 末态为势能零点
2)弹性势能
EP
1 2
kx2
以弹簧原长为 势能零点
3)万有引力势能
EP
G Mm r
以无限远为 势能零点
讨论 1）只有保守力才有相应的势能 2）势能属于有保守力作用的体系（质点系）
(对应一对内力作功之和) 3） 势能与参考系无关(相对位移) 4）质点系的内力
EA mgR
EB
1mv2 2
A
R
o
f
n
A阻EBEA
1mv2 mgR
2
B
可以看出，用功能原理计算最简单。
二、机械能守恒定律
n
n
由质点系的功能原理 Ai外 Ai内非 E
i1
i1
n
n
机械能守恒条件
Ai外 0 ,
Ai内非 0
i1
i1
E0 即 EE00
保守内力 (作功与路径无关) 非保守内力 (作功与路径有关) 耗散力
例1 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
1）沿圆弧；2）沿直径
解：
Aab
b
fr
dr
b
fr ds
圆弧 a
a
(b)
f r d s mgR
三、能量守恒与转换定律
各种形式的能量是可以相互转换的， 但是不论如何转换，能量既不能产生，也 不能消灭，只能从一种形式转换成另一种 形式，这一结论叫做能量守恒定律。
例2：一物体质量为 2kg，以初速 3.0m/s 从斜面的点 A 处下滑，它与斜面之间的摩 擦力为 8N，到达点 B 时，压缩弹簧20cm 达到C点停止，然后又被弹送回去。求弹 簧的劲度系数k和物体最后能到达的高度h’。 设弹簧系统的质量略去不计。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“入水面W过积浮程”W中: ，阻gl浮力4d14随2入2l水5深m2h度gyl作h线性变 g化 ldF02浮F浮W示阻g 功4d图2 yh
Y
m
10
h l d2
4
160 3
h
h 16 1 m
1 2
5
8
mh
4.9 m
4
0
0
W浮
1 2
gl 4
d
2
l
Y
l
元贝驾考 元贝驾考2016科目一 科 目四
r
i
i
r n
2
r n
r2
i
r n
2
13 23 33
r ri
r gi
n
n3
r n
1 g r g r4
lim
1
nn 1
1
n2
n
12
4
n n2
2
n4
4 4
专题8-例4 一个质量为m的机动小车，以恒定速度v在半径为R
的竖直圆轨道绕“死圈”运动．已知动摩擦因数为μ，问在小车从最
x
A
mg
WA
m
g sin A
v2 R
R
n
i
i
n
当小车运动在与A关于x轴对称的B处元圆弧段时
NB
mg sinB
m
v2 R
续解
fB
NB
m
v2 R
g sinB
查阅
摩擦力在B处元功为
WB m
v2 R
g sinB
R
n
小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为
Wi
WA
WB
2 m
低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？
小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最
y
高点的过程中，由于轨道支持力是变力， 故而摩擦力为一随位置变化的力！
NB B
当小车运动在A处元圆弧段时
N A mg sinA
fA NA
摩擦力在A处元功为
m
m
v2 R
v2 R
g
sin
A
NA n B B
O A
n
mAg
驾考宝典网 / 驾考宝典2016科目一 科目四
♠方法 B
如果在某一位移区间，力随位移变化的关系
为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位
移区间分成n（n→∞）个小区间s/n，在每个小
区间内将力视为恒定，求其元功Fi·s/n ，由于功 是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个
x1 :x2 :x3 : :xn 1: 2 -1 : 3 2 : n n1
当xn=l时，由
x1 : xn 1: n
l 3
1
n 9次
ln
专题8-例2 某质点受到F=6x2的力的作用，从x=0处移到
x=2.0 m处，试求力F做了多少功？
本题中的变力力F与位移x成F=6x2关系，F-x图线为抛物线
本题中的阻力f为一与位移x成正比的变力，即f=kx
图中各阴影“面积” 表示第1、2、F 示功图
3……次锤击中，木桩克服阻力做
的功，数值上等于锤传给木桩的
能量，设为W0．
由图
0
x12 : x22 : x32 : : xn2 W0 : 2W0
:
…… W0 W0 W0
x1
3W0
x2
x:3
l
nW0
x
x1 : x2 : x3 : : xn 1: 2 : 3 : n
阻力，运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面，F量值随入水深度y变化
如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY和OF重合，为了确保运
动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？
对全过程运用动能定理:
F 示功图
mg H h W浮 W阻 0 0 5mg/2
其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆
小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段
位移中所做的功为：W
n
lim
n
i
1
WiBiblioteka 在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，
求总功即求数列n项和当n→∞时的极限．
专题8-例3 半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内
的水完全吸尽，至少要做多少功？
沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n
层，每一元层水的高度 h r
♠方法 A 利用图象求功之方法适用于当力对位移的关
系为线性时;或在表示力对位移关系的F-s示功图 中F(s)图线与s轴围成的图形“面积”有公式可依 时;因为在F-s示功图中，这种“面积”的物理意 义就是功的大小． F
W
0
s
x
专题8-例1 锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能量
传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度x成正比，试求木桩每次打入的深度 比．若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？
图中 “面积” 表示F力做的功
示功图
F/N
“面积” 由阿基米德公式
24
S弓
2底高 3
由示功图得F力做的功
W
S矩
1 2
S弓
W x/m
0
2
16 J
2
24
1 2
2 3
4
24
J
如图所示，一质量为m，长为l的柔软绳索，一部分平直地放在 桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为 μ．⑴柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？⑵由这一位置开始运动， 柔绳刚离开桌面时的速度多大？
l
gl l
v
1
mmg ll2 mx02
l
lg 22l
l
x0 g
x0 2
示功图
Ff
m l
l
x0
g
Wf
0
x l-x0
一质点的质量为m，被固定中心排斥，斥力的大小 F=μmr，其中r为质点离开此中心的距离．在开始时，r0=a，v=0，求 质点经过位移a时所达到的速度大小．
斥力为线性变化力！
2ma F 示功图
对示功图求梯形阴影“面积”ma
W 1 m a 2a a 3 ma2
2
2
0
WF r
a
a
对质点经过位移a的过程，由动能定理
3 ma2 1 mv2
2
2
v a 3
跳水运动员从高于水面H＝10 m的跳台自由落下，运动员的质
量m＝60 kg，其体形可等效为长度l＝1.0 m、直径d＝0.30 m的圆柱体，略去空气
n
每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层
水柱底面的半径
ri
r2
i
r n
2
这层水的质量 mi r2
将这层水吸出至少应做的元功是
将池水吸尽至少要做的功是 Wi
n
W lim n g r
Wi
i 1
4 lim
n
1 n2
g
r4
1 2
i n2
3
i3
n4
n
1 n4
12
x0⑴m设l 柔g绳恰由静l 止开x0始下ml滑g时下x垂0m部in分长1度为x0l，则由x
⑵柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理
其摩中擦W，力重为f W力线功性G等变2m于力lWg绳：f重Fl力f 1势2x0m能减v2m2少l WxgG
g
v2
l 2 x02
g l x0 2